（概率论与数理统计专业论文）copula方法在投资组合风险度量的应用研究.pdf

a p p l i c a t i o nr e s e a r c ho fc o p u l am e t h o di n p o r t f o l i or i s km e a s u r e m e n t b y z h o uz a i l i b s ( s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e i n p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry a n gx i a n g y u a p r i l ，2 0 1 1 咖4洲9帅9洲60哪9iiii-y 湖南大学 学位论文原创性声明 ” 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 作者签名：月再赴 学位论文版权使用授权书 | 6 月2 日 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文。 ， 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密豳。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：jj 年z 月z 日 日期：加j 年多月z 目 五煅 髓细 即猡 签签者师作导 c o p u l a 方法在投资组合风险度量的应用研究 摘要 金融市场风险的存在具有一定的客观性，彻底将其消除几乎是不可能的因 此，金融市场风险分析直是国内外关注的课题，而对资产收益的相关性研究在 风险分析中尤为重要，c o p u l a 函数作为处理变量间相关结构的有力工具，已经被 越来越多的学者关注，并被广泛地应用在金融风险研究领域，尽管如此，合适的 c o p u l a 函数的选取仍是研究者们待解决的问题之一，本文正是致力于探究这一问 题理论方面，本文从介绍c o p u l a 方法开始，随后介绍了几种单个c o p u l a 函数 和混合c o p u l a 函数在描述相关性方面的特点，针对合适的c o p u l a 函数选取的这 一问题，提出了两种选取合适的c o p u l a 的方法同时，针对v a r 的不足引入了 c v a r ，实行风险的双重监控实证方面，本文以上证指数和深圳综指组成的投资 组合为研究对象，取其2 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 3 l 间2 3 7 组收盘价为有效数据，将优 选出的c o p u l a 函数与m o n t ec a r l o 模拟技术结合，计算出投资组合的v a r 和c v a r ， 通过对比实证结果得出：本文提出的两种c o p u l a 函数的选取方法是可行的，采用 优选出的c o p u l a 函数计算投资组合的v a r 和c v a r ，使得风险预测的准确性有了 进一步的保障，也为c o p u l a 方法应用在投资组合风险方面的研究提供了一种新的 思路；用c o p u l a 方法度量投资组合风险时，c o p u l a 的选取对度量投资组合风险 的影响不容忽视，这也正说明了本研究具有重要的现实意义最后，本文给出了 c o p u l a 方法在风险研究方面的应用总结，提出了一些有待我们深入研究的问题 关键词：c o p u l a 函数；混合c o p u l a 函数；金融风险；v a r ；c v a r i l 硕j j 学位论文 a b s t r a c t t h ee x i s t e n c eo ff i n a n c i a lm a r k e tr i s kh a sc e r t a i no b j e c t i v i t y ，i ti s i m p o s s i b l et o e r a d i c a t ei t ，s of i n a n c i a lm a r k e tr i s k a n a l y s i sh a sb e e nt h eh o tt o p i ca th o m ea n d a b r o a d a n dt h ec o r r e l a t i o ns t u d i e so na s s e tr e t u r n sa t r i s ka n a l y s i sa r ep a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t c o p u l af u n c t i o ni sap o w e r f u lt o o la saw a yt od e a lw i t ht h ec o r r e l a t i o n s t r u c t u r eb e t w e e nv a r i a b l e sa n di th a sg o t t e nm o r ea n dm o r ec o n c e r n sf r o m e x p e r t s a n dh a sb e e nu s e di nf i n a n c i a lr i s kr e s e a r c h f i e l d ，n o n e t h e l e s s ，c h o o s i n gt h ep r o p e r c o p u l af u n c t i o ni ss t i l lo n eo ft h ep r o b l e m st h a tt h er e s e a r c h e r sh a v et o s 0 1 v e t h i s p a p e ri sd e v o t e dt oe x p l o r i n gt h i si s s u e i nt h e o r e t i c a la s p e c t s ，t h er e s e a r c hs t a r t sf r o m i n t r o d u c i n gc o p u l am e t h o d sa n dt h e np r e s e n t ss e v e r a li n d i v i d u a lc o p u l af u n c t i o n s a n dm i x e dc o p u l a f u n c t i o n s c h a r a c t e r i s t i c so fd e s c r i b i n gc o r r e l a t i o n s i tg i v e su st w o m e t h o d sf o r c h o o s i n gt h ea p p r o p r i a t ec o p u l af u n c t i o n m e a n w h i l e ，d u et ot h e w e a k n e s s e so fv a r ，i tb r i n g si nc v a rf o rt h e s a k eo fd u a l m o n i t o r i n gr i s k i n e m p i r i c a ia s p e c t s ，t h i sp a p e ri sb a s e do ns h a n g h a is t o c ki n d e xa n ds h e n z h e ni n d e x c o m p o n e n tp o r t f o l i of o rr e s e a r c ho b j e c t ，a n dt a k e st h e2 3 7g r o u p sc l o s i n gp r i c ef r o m j a n 1s t ，2 010t od e c 31s t ，2 010a st h ev a l i dd a t a i tc o m b i n e st h ep r e f e r r e dc o p u l a f u n c t i o nw i t hm o n t ec a r l os i m u l a t i o nt e c h n i q u es oa st oc a l c u l a t et h ev a r a n dc v a r p o r t f o l i o b yc o m p a r i n gt h ee m p i r i c a lr e s u l t s ，i tc a nd r a wc o n c l u s i o nt h a tt h et w o k i n d so fc o p u l af u n c t i o ns e l e c t i o nm e t h o d sa r ef e a s i b l e ，i n d e e du s i n g t h ep r e f e r r e d c o p u l af u n c t i o nt oc a l c u l a t et h ev a ra n dc v a rp o r t f o l i om a k e sr i s kf o r e c a s t i n gm o r e a c c u r a t e ，a l s of o rc o p u l aa p p l i c a t i o n si np o r t f o l i or i s kr e s e a r c hp r o v i d e san e w i d e a w i t hc o p u l am e t h o dm e a s u r i n gt h er i s ko fp o r t f o l i o ，t h e s e l e c t i o no fc o p u l ah a s 1 n f l u e n c eo ni ta n dt h ei n f l u e n c ec a nn o tb ei g n o r e d t h u si ti n d i c a t e st h a tt h i s p a p e r h a sl m p o r t a n tr e a l i s t i c s i g n i f i c a n c e a tl a s t ，t h i sp a p e rg i v e ss u m m a r yo nc o p u l a m e t h o d si nt h ea p p l i c a t i o no fr i s kr e s e a r c h ，a n dp u t sf o r w a r ds o m ep r o b l e m sf i o r o u r f u r t h e rs t u d y k e yw o r d s ：c o p u l af u n c t i o n s ；m i x e d c o p u l a f u n c t i o n s ；f i n a n c i a lr i s k s ；v a r ； c v a r i i i c o p u l a 方法在投资组合风险度量的应用研究 i 詈皇詈詈詈詈鲁暑暑詈詈詈詈詈詈皇暑詈暑宣昌= 皇= 皇詈= 量= 詈= 皇皇詈詈詈! = = 詈詈詈詈詈詈詈= = ! 詈詈詈喜暑詈皇搴= = = = 詈詈皇詈詈! ! ! ! ! ! = = = = 詈皇皇詈暑詈詈詈皇置暑詈皇皇詈詈皇= = = 暑詈昔詈量皇墨晕暑詈量詈冒号置 目录 学位论文原创性声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第l 章绪论1 1 1 研究背景1 1 2c o p u l a 理论的国内外研究现状l 1 3v a r 理论的国内外研究现状3 1 4 文章框架一3 1 5 主要创新点一4 第2 章c o p u l a 函数理论5 2 1c o p u l a 函数简介5 2 1 1c o p u l a 函数的定义一5 2 2c o p u l a 函数的分类一6 2 2 1 椭圆c o p u l a 函数6 2 2 2a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数9 2 2 3 混合c o p u l a 函数1 4 2 3 基于c o p u l a 函数的相关性测度一1 5 2 3 1k e n d a l l 秩相关系数15 2 3 2s p e a r m a n 秩相关系数1 6 2 3 3 尾部相关系数1 6 第3 章c o p u l a 函数的选取及参数估计1 8 3 1 利用k e n d a l l 秩相关系数选取c o p u l a 一1 8 3 2 根据混合c o p u l a 函数的权重系数选取c o p u l a 2 1 3 3 混合c o p u l a 函数的参数估计一2 1 第4 章c o p u l a 函数在风险度量中的应用2 3 4 1v a r 简介2 3 4 2v a r 计算方法2 3 4 3 确定对数收益率分布2 4 4 3 1a r ( 1 ) 一t a r c h t ( 1 ，1 ) 收益率波动模型2 4 4 3 2e v t 理论2 4 4 4 边缘分布检验2 5 i v 硕士学位论文 4 4 1k s 检验2 5 4 4 2q - q 图2 5 第5 章实证研究2 6 5 1 选取样本数据加以分析一2 6 5 1 1 数据分析2 6 5 1 2 异方差检验一2 7 5 2 单个资产边缘分布函数的估计及检验2 8 5 3c o p u l a 函数的选取2 9 5 4m o n t ec a r l o 模拟资产组合的v a r 3 0 5 5v a r 的后验测试31 第6 章结论与展望3 3 6 1 研究结论3 3 6 2 研究展望一3 4 参考文献3 5 致 射3 9 v 硕十学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 投资的目的是获得收益，未来的收益会受到各种不确定因素的干扰，故正收 益或负收益( 损失) 都有可能发生，这种负收益( 损失) 发生的可能性就是投资行为的 潜在风险金融市场的投资，譬如说证券、股票这些非实物的投资，未来的收益 完全在于市场价格的波动，所以，这些投资行为特别是股票投资的首要问题就是 分析市场的波动，测算具体投资行为面临的潜在风险，这样才能最大限度地保障 投资者自身的收益 为了测算投资行为面临的潜在风险，加强和完善金融风险管理，诞生了各种 结合金融工程理论和数学方法的风险计量和管理工具，其中v a r 方法可以说是现 行风险管理技术的主流方法，由于它能简单又清晰地表示市场风险的大小，得到 了国际金融界的广泛认可当然，v a r 方法也存在一些缺点，比方说：只能有效 地测量正常市场情况下的风险；是基于历史数据估计未来损失，并且假定变量之 间过去的关系在未来一直不变，许多情况下与实际并不符；不一定满足凸性；并 非一致性风险度量，不满足次可加性针对v a r 的不足，r o c k a f e l l e r 和 u r y a s e v ( 2 0 0 0 ) 1 j 提出了条件风险价值( c v a r ) 的风险计量技术 近2 0 年来，随着全球经济一体化的不断深入及金融衍生工具市场的飞速发 展，金融市场迅猛发展，金融市场间的影响与依赖与同俱增，也使得金融市场波 动性加剧、市场风险复杂化因此，对风险分析和管理的理念、技术以及方法都 有了更高的要求相关性分析是金融市场风险量化分析中的一个重要问题，而在 研究相关性方面，尤其是尾部相关性，c o p u l a 函数具有独特的优势；另外，它可 以将边缘分布和相关性信息分离开来，不仅可以更全面有效地捕捉金融市场间的 相关性信息，在计算v a r 方面还可以将风险分解成单个金融资产的风险和由投资 组合产生的风险两部分其中单个金融资产的风险可以完全由它们各自的边缘分 布来描述，而由投资组合产生的风险则完全由连接它们的c o p u l a 函数来描述，这 使得建模问题大大简化c o p u l a 方法因此成为风险管理一大重要工具 1 2c o p u l a 理论的国内外研究现状 c o p u l a 方法最早由s k l a r ( 1 9 5 9 ) t 2 】提出，经g e n e s t ( 1 9 8 6 ) 13 1 、j o e h ( 1 9 9 3 ) 1 4 】等 的发展，使其成为构造多元联合分布和分析随机变量间相关结构的重要工具二 十世纪九十年代末，c o p u l a 方法作为相关性分析和多元统计分析的工具，开始应 c o p u l a 方法在投资组含风险度量的心用研究 用于金融领域b o u y ee ( 2 0 01 ) 5 1 ，e m b r e c h t s ( 2 0 0 2 ) f 6 1 ，f o r b e s ( 2 0 0 2 ) 7 】描述了c o p u l a 的各种相关模式，并把这个方法广泛地应用于金融市场的风险管理、投资组合的 选择及资产定价等方面j o n d e a ue 等( 2 0 0 2 ) 哺j 建立了c o p u l a g a r c h 模型，并对 金融收益指数间的相关性进行分析e m b r e e h t s ( 2 0 0 3 ) 例认为选择一个恰当的边缘 分布模型是正确构建c o p u l a 模型的重要前提b e a t r i z p ( 2 0 0 4 ) o j 用几种不同的 c o p u l a 函数对金融风险进行比较分析，并提出了把c o p u l a g r a c h 模型和e v t 理 论结合起来度量投资组合条件风险的思路 在我国，c o p u l a 函数在金融领域的应用还在起步阶段，大多数文献都只是做 介绍性、引入性的研究，将国外己研究成型的理论应用到中国的实际市场中来张 尧庭( 2 0 0 2 ) t 1 1 】最早在理论上探讨了c o p u l a 在金融上应用的可行性韦艳华和张世 英( 2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) f 1 2 03 1 ，结合中国股票市场系统地介绍了c o p u l a 理论在金融中的应 用，将三种常见的a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数以线形组合的形式构造出了一个混合 c o p u l a 函数，并做了实证分析，这种混合c o p u l a 函数的出现对c o p u l a 函数的选 择和混合方法提出了新的启发和要求，除此之外在参数估计和模型检验方面也引 出了新的研究问题史道济( 2 0 0 4 ) t 1 4 】给出了相关结构c o p u l a 、秩相关系数 s p e a r m a n p 与k e n d a l l r 和尾部相关系数a 刘大伟( 2 0 0 6 ) 1 5 j 基于c o p u l a 方法，对 m a r k o w i t z 现代投资组合选择理论与v a r 计量方法进行了重构，为投资组合选择 及其风险计量提出了一种新的思路吴振翔( 2 0 0 6 ) t 1 6 j 构建了投资组合风险分析的 c o p u l a g a r c h 模型并对我国股票市场实际组合投资问题进行了风险分析刘志 东( 2 0 0 6 ) 1 7 】构建了基于c o p u l a g a r c h e v t 的资产组合选择模型并为此模型设 计了混合遗传算法求解李悦，程希骏( 2 0 0 6 ) 8 j 将c o p u l a 理论应用到上证指数和 恒生指数的尾部相关性中，得出上海和深圳股市具有较强的上尾相关性欧阳资 ! - e ( 2 0 0 8 ) 1 9 l 讨论了如何利用c o p u l a 连接函数对多元金融数据的相依结构进行统 计建模储小俊( 2 0 0 8 ) 2 0 j 用混合c o p u l a 方法对中国股市收益和流动性在尾部的相 关关系进行了实证研究傅强，邢琳琳( 2 0 0 9 ) b l j 将极值理论和c o p u l a 函数应用于 资产风险的研究以及条件v a r 的估计，实证得出极值理论能更好的刻画金融风险 的边缘分布，g u m b e lc o p u l a 能更优地确定两种风险之间的相关结构，为研究金 融风险的相关结构提供了更优的模型任仙玲，张世英( 2 0 1 0 ) 【2 2 】基于核密度估计 建立了一种新的c o p u l a 函数选择方法一一核密度选择原理，并通过蒙特卡罗模 拟，将核密度选择原理与常用的基于a i c 准则和基于经验c o p u l a 函数的选择原 理的选择效果进行了系统比较史道济，郭慧等( 2 0 1o ) 【2 3 j 提出可由现有阿基米德 c o p u l a 生成元得到生成元的半参数阿基米德c o p u l a 族，其独特的构造方式、灵 活的相关结构，能“自适应 地描述数据中包含的相关结构，对选择何种c o p u l a 描述金融资产间的相关结构也有一定的参考意义 2 硕士学位论文 1 3v a r 理论的国内外研究现状 v a r 的思想最早是由鲍莫尔( b a u m o l ，1 9 5 2 ) 提出的1 9 9 3 年，g 3 0 集团发表 了题为衍生产品的实践和规则的报告，提出了度量市场风险的v a r 方法之 后由j p m o r g a n ( 19 9 5 ) 1 2 4 1 推出的用于计算v a r 的r i s km e t r i c s 风险控制模型更 是被众多金融机构广泛采用，成为大多数投资银行、商业银行、投资机构以及政 府监督当局所采用的主流风险管理方法1 9 9 6 年巴塞尔协议修正案提出将 v a r 作为全球各金融机构进行风险度量的基本方法 国外学者对v a r 方法研究己经是十分成熟了，j o r i o n 、d o w d 及b e s t 都有关 于v a r 的专著，此外还专门设有一个提供v a r 的研究情况的网站在我国，对 v a r 方法的应用研究也在逐渐发展中王志诚，史树中等( 19 9 9 ) 1 2 5 】介绍了金融风 险分析的v a r 方法范英( 2 0 0 0 ) 2 6 j 初步探讨了v a r 方法在股市风险分析中的运 用王春峰( 2 0 0 1 ) 1 27 l 则系统地介绍了金融市场风险管理的基本概念理论和技术蒲 明( 2 0 0 3 ) 2 8 j 从理论上论证了v a r 模型在对开放式基金风险估计的可行性，并提出 了“方差。协方差”这种简单的计算方法孟海亮( 2 0 0 4 ) 2 9 】以我国证券市场为例， 研究了v a r 方法在我国证券投资基金评价中的应用刘彪和刘小茂( 2 0 0 6 ) 刈提出 了c o p u l a m o n t e c a r l o 模拟计算v a r 与c v a r 李晓庆和郑垂勇( 2 0 0 5 ) t 圳对v a r 方法进行了归类和比较，并给出了各类方法的适用条件张慧毅、徐荣贞和蒋玉 洁( 2 0 0 6 ) 【3 2 】详细分析了v a r 模型作为衡量金融市场风险的标准在我国的应用i i 景杨湘豫和彭丽娜( 2 0 0 6 ) 1 3 3 】论述了v a r 更具体的运用，明确列出了v a r 的三种 不同的计算方法：方差协方差法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法梁冯珍，钟君， 史道济( 2 0 0 7 ) 3 4 1 通过模拟方法，研究用v a r 度量风险时，收益率间的尾部相关性 对投资组合v a r 的影响高莹、周鑫和金秀( 2 0 0 8 ) t 3 5 】综合考虑金融资产收益数据 分布的波动集群性和厚尾特征，尤其是波动的条件异方差对动态v a r 估计的影响， 运用极值理论( e v t ) ，建立g a r c h e v t 模型，计算动态v a r 姚京，袁子甲等 ( 2 0 0 9 ) 1 3 6 】在一些常用v a r 估计方法的基础上，发展了三种v a r 系数估计方法： 核密度方法、高阶矩方法和c o p u l a 方法，并得出了相应的解析表达式王春峰， 张亚楠等( 2 0 lo ) t3 7 j 为了更加精确地度量在险值的估计精度，基于广义极值理论推 导了条件极值v a r 的动态区间估计模型，得到了条件极值v a r 置信区间解析解的 一般形式，对在险值的估计精度进行了实时度量利用高频数据重点考察了不同 置信水平和不同样本容量分块下的条件极值v a r 区间估计结果的精度和模型的有 效性 1 4 文章框架 本文大致结构如下： 第一章为绪论，主要介绍本文的研究背景、国内外研究现状以及选题意义， c o p u l a 方法在投资组合风险度量的戍用研究 同时也介绍了本文主要内容及创新之处 第二章引入c o p u l a 函数理论，介绍了二元c o p u l a 函数的定义、性质、相关 的定理，并给出c o p u l a 函数的分类及几类重要的二元c o p u l a 函数的表达式以及 密度分布图，分析这几类重要的c o p u l a 函数在描述相关性方面的特点，最后探讨 了由c o p u l a 函数引出的几种相关性测度 第三章是本文的主要创新所在，针对如何选取合适的c o p u l a 函数这一问题提 出了两种选取c o p u l a 函数的方法 第四章引入了e v t 理论，给出了边缘分布模型的选择过程，也介绍了本文选 取的边缘分布模型一一a r m a t a r c h e v t 最后引入了边缘分布检验：k s 检 验和q q 图 第五章为实证分析部分，针对收集的中国金融市场的数据，根据第三章介绍 的两种方法选取c o p u l a 函数，再用选出的最合适的c o p u l a 函数做风险分析 第六章总结本研究所得出的主要结论和对未来研究的展望 1 5 主要创新点 第一，针对金融市场因子之间的非线性、非对称的关系特别在本文的第二章 中引入了a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数及混合c o p u l a 函数 第二，尽管国内外对c o p u l a 函数的研究不少，但是目前合适的c o p u l a 函数 的选取仍是研究者们待解决的问题，本文在这方面做了一定的尝试和探讨，提出 了一种在二元a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数族中选取最合适的c o p u l a 的方法；一种在 常用的几种二元c o p u l a 函数之间选取最合适的c o p u l a 的方法 第三，应用现行风险管理技术的主流方法一一v a r 方法，同时针对v a r 方法 的不足之处加入了具有一致性特征的c v a r 方法，在投资组合风险分析中双管齐 下 4 硕十学位论文 第2 章c o p u l a 函数理论 2 1c o p u l a 函数简介 2 1 1c o p u l a 函数的定义 c o p u l a 函数又名连接函数，它能将单个边缘分布和联合分布联系起来 定义2 1 【3 8 】一个门维的c o p u l a i 函数是指定义在【o ，l 】”上，具有标准均匀边际分 布的分布函数，且具有以下性质： ( 1 ) 对甩维向量甜= ( u 1 “2 ，u 。) ，c ( u l ，“2 ，) 对任何珥，扣l ，2 ，n 都是增函 数； ( 2 ) 对于所有的f = l ，2 ，门，u l 【r l 】，c ( 1 ，l ，1 ，1 ) = ； ( 3 ) 对于所有( a i ，a 2 ，g n ) ，( 2 j l ，6 29o 既) 0 ，1 】”，q 包，有 22 ( 一1 ) 忡一kc ( u l t nz ，2 岛，) o ，i = 1 ，2 甩，“ = q ，“= 6 f = i ，= l 定理2 1 ( s k l a r 定理) 【2 j 若f 是一个具有边缘分布函数e ，呸，e 的刀维累积概 率分布函数，则存在c o p u l a i 蜀l 数c ( ) ，满足 f ( x j ，x 2 ，h ) = c ( e ( 五) ，最( 而) ，日( h ) ) 又如果边缘分布函数巧，e ，e 连续，则c o p u l a 函数c ( ) 唯一存在反之，若 c ( ) 是一个c o p u l a i 丞! 数，e ，e ，e 为边缘分布函数，由此定义的函数f 就是有着 边缘分布函数e ，e ，c 的联合分布函数显然，c o p u l a 函数可以将边缘分布和相 关性信息分离开来，不仅可以更全面有效地捕捉金融市场间的相关性信息，还可 以在计算v a r 时将问题分解为边际分布函数的确定和相关性的描述这两方面 s k l a r 定理表明任何多个随机变量的联合分布函数都可以被分为各个随机变 量的一维边际分布和表达它们之间相关性的c o p u l a 函数两部分： 厂( 五，x t ，吒) = ，矗) 砜 f ( ，挑， ，) 饥 ) ，e ( 吒) ) 一 ，、 ( 2 1 ) i ；i 掣 一 = c ( ，u i ，) 兀z ( ) 面一鲰班一睇坐鲰 = 一( 一 三一 生一矾一 堡| 、 盟铂叫一 型钆 c o p u l a 方法在投资组合风险度量的戍用研究 其中u i e ( 薯) ，c ( ，) = 等裂，z ( ) 是边际分布f ( ) 的概 率密度函数 2 2c o p u l a 函数的分类 常见于金融相关性分析的c o p u l a 函数主要有两大类：椭圆c o p u l a 函数和 a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数其中，椭圆c o p u l a 函数主要包括正态c o p u l a 和 t - c o p u l a ，而a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数类包含许多参数族，每个a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数由其独特的生存函数生成的下面介绍几种常见的c o p u l a 函数 2 2 1 椭圆c o p u l a 函数 1 二元正态c o p u l a 函数的分布函数和密度函数分别为： 其中r ( 一1 ，1 ) ，为。1 ( 甜) 和。1 ( ，) 的线性相关系数，即相关参数；一( - ) 表示 标准一元正态分布函数( ) 的逆函数一般情况下，二元正态c o p u l a i 函数就可以 较好地拟合样本数据，因此常常被用来描述金融资产的相关性，二元正态c o p u l a 函数具有对称性，无法捕捉到非对称相关性，而且对尾部相关的变化不敏感，这 一点在图2 2 中也体现出来了图2 1 和图2 2 是p = 0 7 的二元正态c o p u l a 函数1 0 0 0 次模拟的散点图和密度函数图 6 图2 1 型 协 世 砒 | 坐， 型 z一2、j一 + 一只 ，一 ，i 一 ：一缸 m 一 等 掣毒 ” 竺 e 尹 一氓 一正? 雨 硕十学位论文 2 t - c o p u l a 函l 数 二元t - c o p u l a 函数的分布函数和密度函数分别为： c ( “，v ；p ，w ) = e 、”仁、”云丽1 - + 等】孚破幽 伊们寻r ( 孚) f ( 抄酱】一孚 ( 2 3 c ( u ，v ；9 ，川= p2 二二_ 丁二兰 t 备一 ( r ( 掣) ) 2 i = i ( 1 + 等) 一t 其中p ( 一l ，1 ) 为线性相关系数，巧1 ( ) 为自由度为w 的一元标准t 分布函数瓦( ) 的逆函数，白= 巧1 ) ，岛= 巧1 ( v ) 二元t - c o p u l a 函数与二元正态c o p u l a 函数类似， 具有对称性，只能捕捉到金融资产的对称相关性，但是相较二元正态c o p u l a 函数 而言二元t c o p u l a 函数具有更厚的尾部，这一点在下面的函数分布图( 图2 4 ) 上可以 直观的看到，故二元t c o p u l a 函数对变量间的尾部相关更为敏感，能较好地捕捉 金融资产的尾部相关性图2 3 和图2 4 是自由度w = 5 ，相关系数p = 0 7 的二元 t - c o p u l a 函数1 0 0 0 次模拟的散点图和密度函数图 7 8 6 4 2 0 1 22 o 图 0 c o p u l a 方法在投资组合风险度量的应用研究 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 00 10 20 30 4 0 50 60 7 0 80 9 图2 3 v 0 0 u 图2 4 8 2 0 8 6 4 2 0 ， 硕l 学位论文 2 2 2a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数 定义2 2 1 3 1 设缈( ) ：【o ，l 卜争【o ，) 为连续严格递减的凸函数，妒( o ) - = - - 0 0 ，伊( 1 ) = 0 ， 则巴( “，v ) = 伊- 1 ( 缈( “) + 伊( v ) ) ，“，【o ，1 】为缈( ) 生成的a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数， 而缈( ) 被称为该a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数的生成函数 g u m b e l 、c l a y t o n 、f r a n kc o p u l a 函数是最常用到的a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数， 下面将详细介绍这几类a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数及它们在相关性分析中的应用特 点 1 c l a y t o nc o p u l a 函数 c l a y t o nc o p u l a i 函数的分布函数和密度函数分别为： 2 兰嚣- 一0 - 善1 ：譬旷州口 仁4 ， 白= ( 1 + 秒) ( 甜，) ( 甜一口+ y f 1 ) - 2 叫坩 。 其中o ( o ，o o ) 为相关参数，当0 0 时，随机变量u 和，趋向于独立；当0j 0 0 ， 随机变量u 和，趋向于完全相关，_ 且c l a y t o nc o p u l a 函数的相关参数0 与一致性测 度k e n d a l l 秩相关系数有如下一一对应关系： f = 雨0 ( 2 5 ) 除此之外，c l a y t o nc o p u l a 函l 数的相关参数秒还有尾部相关系数a 妒和a 如有如 下对应关系： 允u p = 0 a 如：l i m 垡盟：l i m ( u - 口+ u - 一- 1 ) 三o 2 瓣忑1 刁2 炽磊1“4 。“( 2 “一一一1 ) 古。- + 。( 2 一“口) 古 ( 2 6 ) 图2 5 和图2 6 是相关参数0 = 2 的二元c l a y t o nc o p u l a 函数l0 0 0 次模拟的散点 图和密度函数图，从图2 6 不难看出c l a y t o nc o p u l a 函数具有非对称性，故可以捕 捉金融资产的非对称相关性且c l a y t o nc o p u l a 函数的密度分布呈”l ”字形，即上 尾低下尾高，可见c l a y t o nc o p u l a 函数对下尾相关的变化非常敏感，对上尾的变化 不敏感，难以捕捉上尾相关的变化简单地说c l a y t o nc o p u l a 函数可以很好地描述 熊市时期股票市场间相关性增强的情形 9 c o p u l a 方法在投资组合风险度量的应用研究 0o 1 0 20 30 4 0 50 6 0 70 8 面 图2 5 v 0 0 图2 6 2 g u m b e lc o p u l a 函数 g u m b c lc o p u l a i 函数的分布函数和密度函数分别为： l o u ； 筋 加 佰 竹 5 o ， 硕十学位论文 c g ( 材，；9 ) = e x p ( - ( 一t n u ) 口+ ( - l n v ) 口】一) 龟：兰立垒生兰型塑堕堡坚鹄 【( 一l n ”尸+ ( 一l i l v ) 口】吉+ 0 1 ) 2 7 l 【( 一l n u ) 一+ ( 一i n v ) 口】口 其中矽【l ，o o ) 为相关参数，当0 = 1 时，随机变量甜和1 ，独立；当秒斗0 0 时，随 机变量u 和，趋向于完全相关，_ f 1 g u m b e lc o p u l a 函数的相关参数秒与一致性测度 k e n d a l l 秩相关系数有如下一一对应关系： 弘卜吉 ( 2 名) 除此之外，g u m b e lc o p u l a i 丞l 数的相关参数秒还有尾部相关系数五印和允如有如 下对应关系： 旯妒：l i m c g ( 1 - u , 1 - u ) ：l i m 1 - 2 u + c a ( u , u ) _ l l u u - - - ! l u ：l i m 兰竽芷：l i m ( 2 - 2 1 a u 2 u 口- ) ：2 _ 2 l 坩 ( 2 9 ) u - - l 1 一u “_ l 彳f o ：0 图2 7 和图2 8 是相关参数秒= 2 的二元g u m b e lc o p u l a 函数l0 0 0 次模拟的散点 图和密度函数图，从图2 8 不难看出g u m b e lc o p u l a 函数和c l a y t o nc o p u l a 函数类似， 也具有非对称性，不过密度分布刚好相反从下面的密度函数图不难看出g u m b e l c o p u l a 函数的密度分布呈