（基础数学专业论文）关于一些数论函数的性质研究.pdf

中文摘要 在数学研究中，数论应该是最古老的分支之一，它在现代基础数学和科学 技术研究中具有特别重要和特殊的地位进入新世纪之后，数论研究被广泛应 用于通信与信息系统、计算机科学与技术、密码学等应用领域 在当代数论研究过程中，很多专家、学者对于数论特殊函数以及未解决的 数学问题进行了大量深入的研究，得到了一些具有非常重要理论价值的科研成 果其中，罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 教授，加拿大数论专家r k g u y , 日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 教授等专家学者提出并解决了很多数论问题，他们 的研究引起了很多数论爱好者的兴趣 本文应用初等数论、解析数论等相关知识对于他们提出的几个数论中未解 决的问题进行研究，研究了数论中一些问题具体来说，本文的主要成果包括以 下几个方面： 1 研究讨论了一类二重t o r n h e i m 型【广级数估值在本文中，对任意 的d i r i c h l e t 本原特征x ，砂，本文给出t - 重厶和来表达l ( k ，2 ，d ；x ，矽) 的简单 公式与t e r h u n e 的二重l - 和公式相比，得到了x ( 一1 ) 妒( 一1 ) = ( 一1 ) 七十件d + 1 时c ( 七，2 ，面x ，砂) 的封闭形式值 2 定义了两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数 ( n ) 及它的对偶函数7 惫( n ) 为a ( i ) = - 七( 1 ) = i k ；当n 1 且礼= p 宇1 p 呈2 霹r 为n 的标准分解式时，定 义 ( 佗) = m a x ( q ，q l ，口；) 和7 k ( n ) = m i n ( a ，q l ，q ；) 利用初等 数论和解析数论的方法研究了这两个函数的均值性质，得到了一些较好的渐近 公式 关键词 t o r n h e i m 型，i 广级数，算数函数，均值 a b s t r a c t ( 英文摘要) i nm a t h e m a t i c sr e s e a r c h ，n u m b e rt h e o r ys h o u l db eo n eo ft h em o s ta n c i e n t b r a n c h e s ，w h i c hh a ss p e c i a ls t a t u sb o t hi nt h em o d e r np u r em a t h e m a t i c sa n dt h e t e c h n o l o g i c a lr e s e a r c h a f t e re n t e r i n gt h en e wc e n t u r y , n u m b e rt h e o r yi sw i d e l y a p p l i e di ni n f o r m a t i o ns y s t e m ，c o m p u t e rs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , e r y p t o l o g y , a n d s oo n i nt h ec o n t e m p o r a r yr e s e a r c h ，m a n ys c h o l a r ss t u d i e ds o m eo l dq u e s t i o n s i n v o l v i n gt h em e a nv a l u eo ns o m ea r i t h m e t i cf u n c t i o n s ，a n do b t a i n e ds o m eg o o d r e s u l t s t h e ya l s os h o w e dt h e i rg r e a ti n t e r e s to no t h e rn e wq u e s t i o n sp o s e db y p r o f e s s o rf s m a r a n d a c h eo fr o m a n i a ，r k g u yo fc a n a d a ，k k a s h i h a r ao f j a p a na n ds oo n t h e i rr e s e a r c hh a sa r o u s e dm a n yt h e o r yo fn u m b e r sa m a t e u r s i n t e r e s t d u r i n gm ys t u d yo fn u m b e rt h e o r y , w ea p p l yt h em e t h o d so fe l e m e n t a r y n u m b e rt h e o r ya n da n a l y t i cn u m b e rt h e o r yt od i s c u s ss e v e r a lu n s o l v e dq u e s t i o n s p r o p o s e db yt h e m s p e c i f i c a l l ys p e a k i n g ，t h em a i na c h i e v e m e n to ft h i sa r t i c l e i n c l u d e st h ef o l l o w i n gs e v e r a la s p e c t s ： 1 v a l u ee s t i m a t eo no n ek i n do fd o u b l et o r n h e i ml - s e r i e si sd i s c u s s e d i n t h i sp a p e r ，t ot h er a n d o md i r i c h l e ts o u r c ec h a r a c t e r i s t i c x ，砂，w eh a v eg i v e n d o u b l el - a n d e x p r e s s e sc ( 七，l ，d ；x ，矽) s i m p l ef o r m u l a c o m p a r ew i t ht e r h u n e d o u b l el - a n dt h ef o r m u l a ，w h e n x ( 一1 ) 砂( 一1 ) = ( 一1 ) 七+ “- d + 1 ，w eo b t a i n e d s e a lf o r mv a l u eo fc ( 七，l ，d ；x ，砂) 2 d e f i n e dt w on e wa r i t h m e t i cf u n c t i o n s ( n ) a n di t sd u a lf u n c t i o n 氕( 礼) i sa ( 1 ) =k ( 1 ) = 1 k ；w i t h n1a n d n = p 譬1 p 呈2 p 笋ri s s t a n - d a r dd e c o m p o s i t i o nt y p eo f n ，d e f i n e d ( 礼) = m a x ( 口 ，a ；，口；) a n d 瓦( n ) = m i n ( a l k ，q l ，q ；) t h et w on e w a r i t h m e t i cf u n c t i o n si ss t u d i e db y l l t h em e t h o d so fe l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r ya n da n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n d s e v e r a la s y m p t o t i cf o r m u l a ea r eo b t a i n e d k e y w o r d s t o r n h e i m st y p e ，l - v a l u e s ，a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，m e a nv a l u e 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：指导教师签名： 弘口年多月胗日 砂f 。年易月f ：；e t 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：彳岛章以j 如70 年易月阻日 两北大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 在数学研究中，数论应该是最古老的分支之一，它在现代基础数学和科学 技术研究中具有特别重要和特殊的地位进入新世纪之后，数论研究被广泛应 用于通信与信息系统、计算机科学与技术、密码学等应用领域但数论的特殊 性又需要研究者具有很强的理论基础，因此很多数学家敬而远之，不敢涉足其 中 在当代数论研究过程中，很多专家、学者对于数论特殊函数以及未解 决的数学问题和包括“哥德巴赫猜想”等一系列数学问题进行了大量深 入的研究，得到了一些具有非常重要理论价值的科研成果其中，罗马尼亚 数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在 o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中提出 了1 0 5 个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学问题及猜想：加拿大数论专 家r k g u y 所著的初等数论中未解决的问题一书中提出的的很多问题同 样引起了数论爱好者的研究兴趣；日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 教授也提出了 许多s m a r a n d a c h e 函数相关的数论问题还有很多数学专家对相关的一些问题 进行了深入的研究，并在结果上不断地加以的论证与解决，使研究不断的变的 深入有趣，并且研究课题具有一定的理论意义 由于以上的想法，本文应用初等数论、解析数论等相关知识对于他们提出 的几个数论中未解决的问题进行研究，研究了数论中的一些有趣的函数，以及 它们相关的性质，从而得出了一些有趣的结果 1 2 主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了数论中一些问题，内容主要分布在第三至第四章具 体如下： 1 第一章绪论 第三章一类二重t o r n h e i m 型l 广级数估值 第四章关于两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数的均值问题 2 两北大学硕士学位论文 2 1 数论的发展简史 第二章数论简介 弟一早 鳅t 匕间7 i 人类从使用数字开始，生活中就伴随着自然数随着实践的需要，数的概念 被进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整 数和负整数中间的中性数叫做0 它们合起来叫做整数( 注：现在自然数的概 念有了改变，包括正整数和0 ) 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算， 叫做四则运算随着人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数 的特性如，整数可分为两大类：奇数和偶数利用整数的一些基本性质，可以 进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今 来许多的数学家和学者不断地进行研究和探索 数论这门学科最初也是从研究整数开始的，所以就叫做整数论后来整数 论通过一步一步的发展，逐渐形成了一门学科，被称做数论确切的说，数论就 是专门研究整数性质的数学学科 古希腊数学家毕达哥拉斯是初等数论的先驱他和他的追随者致力于一些 特殊整数( 如亲和数、多边形数、完全数) 及特殊不定方程的研究公元前4 世纪，被称为“几何之父的古希腊数学家”欧几里德的几何原本通过1 0 2 个命题，初步建立了整数的整除理论他关于“素数有无穷多个 的证明，被认 为是数学证明的典范公元3 世纪，古希腊数学家丢番图研究了若干不定方程， 并分别设计一些巧妙解法为纪念他，后人称不定方程为“丢番图方程” 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰 富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了德国数学 家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探讨在本书中，高斯把过去 研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广， 把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法1 8 0 0 年，高斯 把此书寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好 3 第二章数论简介 在1 8 0 1 年自己发表了这部著作而这部书开始了现代数论的新纪元 2 2中国数论发展情况 在古代中国，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大 公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等中国古代对初等数论的 研究有着光辉的成就，周髀算经、张邱建算经、 孙子算经、数 书九章等古文献上都有记载孙子定理比欧洲早5 0 0 年，西方常称此定理为 “中国剩余定理” 在我国近代，数论研究也发展的非常迅速从二十世纪三十年代开始，在解 析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的成果，出现了华罗庚、陈 景润、王元、潘承洞等一流的数论专家 华罗庚在数论方面的贡献主要有：华林问题及其推广；指数和估计；对哈代 和李特伍德的关于渐进公式的结果进行了改进，提出了”华氏不等式”；后又 解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题j 得到了最佳误差阶估计，被称为 “华罗庚定理”；系统研究了“华林歌德巴赫问题”；将维诺格拉多夫方法 用来处理塔内问题，其中，他的两个积分均值定理给予了巨大的技术进展，关于 华林问题的变体和“华林歌德巴赫”问题的研究，对于弄清圆法的力量与范 围都是极为开创性的研究 陈景润最大的贡献在于对“哥德巴赫猜想”研究及“陈氏定理”的创 造1 9 6 6 年，陈景润证明了“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个 素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响， 盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点至今，这仍是“歌德 巴赫猜想”的最好结果 王元在解析数论、代数数论以及数论方法应用等方面均做出了卓越的贡 献他关于“哥德巴赫猜想”的研究为中国夺得了该领域的第一个重要成果： 他与华罗庚一起开拓了高维数值积分的研究方向并创造了“华一王方法”，他 4 两北大学硕士学位论文 们的著作数论在近似分析中的应用被多个国家的1 4 种杂志予以好评，认 为“就抽象数学的应用而言，该书本身就是一个光彩夺目的例证”同样，王元 在代数数域上的丢番图分析以及数论方法在统计中的应用方面也取得了杰出的 成果 潘承洞在解析数论的研究中成绩卓著，尤其对“哥德巴赫猜想”的研究成 果为中外数学家所赞誉2 0 世纪5 0 年代，还在研究生学习期间的他第一个得 到了“算数级数中最小的素数 的上界定量估计，这一工作被国际数学大师哈 代作为一条定理收入其名著数论中；6 0 年代，他从事“哥德巴赫猜想”的 研究，首先确定出命题( 1 + c ) 中常数c 的具体数值，证明了命题( 1 + 5 ) 和 ( 1 + 4 ) ，两次在这一著名的世界难题的研究中居于国际领先地位7 0 年代，他 在简化陈氏定理( 1 + 2 ) 时提出并证明了一条新的均值定理，该定理成为筛法 应用中的一个重要工具 5 第三章一类二重t o r n h e i m 型l 级数估值 第三章一类二重t o r n h e i m 型l 级数估值 3 1引言 对任意的正整数k 多重z e t a 函数为 七 晌舰一七) ：=n 丐町， n l n 2 n k oj = l m = 1 ，2 ，七 近年来，由于其与纽理论、主上同调以及量子物理的深入联系而受到学者广 泛关注忌= 2 时，欧拉首先给出了c ( 8 1 ，8 2 ) 在8 14 - s 2 为奇数时的用r i e m a n n z e t a 函数表示的精确值 与多重z e t a 函数类似地，d a v i dt e r h u n e 考虑了多重l 广函数值 邵”渤m ，m 卜7 1 1 未 r t d 。驾b 掣， p 1 ， u 1“ 其中x 1 ，黝为d i r i c h l e t 特征，s j z + ，并证明了若x i ( - 1 ) x 2 ( - 1 ) = ( 一1 ) 3 + 8 。“，则二元l - 函数值l ( s l ，s 2 ；x l ，x 2 ) 是多重对数在p 次单位根 处的值的多项式，其中该多项式的系数属于q ( ( ( m ) ) ，m ，p n 可由x 1 ，x 2 定 出 t o r n h e i m 引入了二重级数 ( 3 2 ) 其中，l ，s 为满足r + t 1 ，s + t 1 及? + s + t 2 的非负整数h u a r d ， w i l l i a m s 和z h a n g 【2 3 】给出了7 4 - s + t 为奇数时的t o r h e i m s 级数计算公式 近来，z h o u ，c a i 和b r a d l e y 【3 1 考虑了类似与( 3 2 ) 的交错形式，即 丁印积丁卜薹。蒜，叩时1 ， 并给出了r + 8 + t 为奇数时t ( r ，s ，；吼7 - ) 的精确值 6 n 勺 蹰 m 皿 志 哪 = 力玎 西北大学硕士学位论文 现在我们考虑由h i r o f u m it s u m u r a 【2 8 定义的二重t o r n h e i m 型l 广级数 酬 删，= 羹。端，m n = l 、 ( 3 3 ) 其中x ，妒为d i r i c h l e t 本i g 特征，k ，l ，d z 满足k + d 1 ，f + d 1 ， 七+ f + d 2 对任意的d i r i c h l e t 本原特征x x o ，文献 2 8 】给出了当x ( 一1 ) = ( 一1 ) 七+ h “1 z ( k ，l ，d ；x o ，x ) 的精确计算公式，文献 2 9 】计算了二重l - 级数在导 子为3 、4 时的值 在本文中，对任意的d i r i c h l e t 本原特征x ，矽，我们给出了用( 3 1 ) 中二 重厶和来表达c ( 尼，l ，d ；x ，妒) 的简单公式与t e r h u n e 的二重厶和公式相比， 我们的结果得到了x ( 一1 ) 矽( 一1 ) = ( 一1 ) 七+ 。+ d + 1 时z ( k ，z ，d ；) ( ，矽) 的封闭形式 值在举例中，我们给出了z ( k ，l ，d ；x o ，x 3 ) 的一个新的精确公式，其中x 3 是导 子为3 的二次特征，x o 为主特征例如 ( l1 , 2 ；x o , x 3 ) 观( 4 ，咖) 一箬蜊， ( 2 , 2 , 2 ：x o , x 3 ) 一扩1 撕3 ) - 3 咖3 ) + 筹； l ( 1 , 1 , 1 ；x 3 , x 3 ) 一等7 r l ( 2 , x 3 ) + 西1 3 ) z ( i ，l ，2 ；x o ，) ( 3 ) 的计算公式由t s u m u r a 得到更多的例子将在举例中给出 3 2 定理的证明 记靠表示m 次单位根e 2 丌m 其中m z + ，r e , m 表示由q ( ( m ) 和多重 对数在f 次单位根处的收敛值所生成的环 首先回忆文献【2 5 给出的主要定理 定理3 1 ( t e r h u n e ) ：设) ( ( 或矽) 为导子为d ( 或e ) 的d i r i c h l e t 特征， 其中a ，b z + 满足a + b 3 并且假设a 1 或者x x o 记m = l c m ( d ，e ，砂( d ) ，咖( e ) ) ，f = l c m ( d ，e ) 若x 妒( 一1 ) = ( 一1 ) n + 1 ：则 l ( a ，6 ；x ，妒) r e , m 7 第三章一类二重t o r n h e i m 型k 级数估值 对任意的k n ，x c 满足ixi l ，我们考虑如下定义的多重对数： 姗加至o o 磊x m 仿效文 2 5 】，对d i r i c h l e t 特征矿，7 ，s ，t z ，8 + t 3 ，定义 s 一( s ，t ；，7 - ) = s + ( s ，t ；6 r ， o o 丁) = m n = l 盯( 仇) 7 - ( n m ) m s n t 矿( m ) 丁( n + m ) m s n t ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 引理3 2 设盯和f 是导子分别为d 和e 的d i r i c h l e t 本原特征，s 2 ， t 均为正整数记m = l c m ( d ，e ，咖( d ) ，咖( e ) ) ，f = l c m ( d ，e ) 若a t ( - - 1 ) = ( 一1 ) 8 + 2 + 1 ，贝0 同样有 s 一( s ，t ；盯，7 ) ，s + ( s ，t ；a ，7 ) r e , m s 一( 1 ，t ；吼丁) 一盯( 一1 ) s + ( 1 ，；6 r ，7 - ) r e , m 证明：对导子为d 的d i r i c h l e t 特征x ，有 小) = 寺喜g 秽， 其中a ( k ，x ) = 2 l x ( f ) 谚表示g a u s s 和 令 1 d 咖) 2 去占g ( _ f 盯) 秽，丁( 仇) = 去 由s 一( s ，t ；仃，7 ) 的定义和( 3 7 ) ，得 0 0 s 一( s ，t ；r r ，7 ) = t d , ，n = l de 丽1 蔷g ( - f 够。善g ( “毋一 8 m 8 n ( 3 7 ) 一 西北大学硕士学位论文 注意到对导子为d 本原特征x ，若( k ，d ) 1 ， 且若f = l c m ( d ，e ) ，则 s 一( s ，；吼7 ) = a ( k ，x ) = 0 ， 一1 de g ( 一f ，盯) g ( 一忌，丁) $ f ( 古一冬白叁d e 一l = l k = l g ( 一f ，盯) g ( 一忌，丁) $ f 古一毒白_ n f 考 。o e ( - i ，盯) g ( 一七，r ) 七= 1n - - - - 1 ( 七，e ) = 1 = 丽1 蔷d 苫e g ( 刊g ( 咕下皿霸酬s ，奶， ( z ，d ) = 1 ( 七：e ) = l ( 3 8 ) 其中g ( 一l ，仃) ，g ( - k ，7 - ) 均为由( 3 7 ) 式决定的复数，事实上，g ( - l ，盯) ( r e s p g ( 一k ，7 ) ) 属于q 上添加白( r e s p ( e ) 和仃( r e s p 7 ) 得到的分圆域中同 时，( 3 8 ) 式蕴含着s 一( s ，t ；盯，7 _ ) 属于由l i ( a ，( ) 乘积的q ( 岛) 一线性组合所构 成的集合，其中a z ，( 为f 次单位复根由此及多重对数( 3 4 ) 的定义，可 得s - ( s ，t ；盯，7 - ) r e , m 用相同的方法，我们也可推出 咖) = 丽1 蔷d 所以s + ( s ，t ；仃，7 ) r e , m 盯) g ( 一七，7 ) l i ( t ，靠叁) l i ( s ，f ( 古+ 妾) ( 3 9 ) 对s = 1 ，由于c ( - l ，= 盯( 一1 ) g ( f ，仃) ，有 s 一( 1 ，亡；盯，7 - ) 一盯( 一1 ) s + ( 1 ，t ；盯，7 ) 1 e ：土r d e 一 k = l ( k ，e ) = l d z = l ( f ，d ) = l g ( 一f ，) g ( 一七，7 - ) n i ( t ，尝) l z ( 1 ，古一冬) 仃( - 1 ) 志e d g ( 一2 ，盯) g ( 一七，丁) 她喜) l i ( 1 ，古+ 喜) 仃 ) 壶占g ( _ f g ( 以肌( ， 勘( 1 ，+ 点) ，e ) = 1 ( f ，d ) = l 9 一 咭一 唯石 $ 一 一 七一e 一 可 d 罐0 上加 = 第三章一类- 重t o m h e i m 型【广级数估值 ： 囊d 1 g ( - f ，班( 咄丁) 姚喜) 叫1 ，锚) ) 2 蚤1 = 1 g ( 班( “瑚t 乜1 ，割 一盯( 一1 ) 1f ef dg ( 一f ，盯) g ( 一七，丁) 础，m h f f ( 击+ 钆 叫( _ 1 ) 。一蚤若 g ( 一一) g ( ，脚；m h f 咕坨) ) ， 这就蕴含着s 一( 1 ，t ；以7 ) 一仃( 一1 ) s + ( 1 ，t ；仃，7 - ) 收敛于r 只m 注3 3 ：一般来说，l ( 1 ，t ；盯，7 ) 是不收敛的在l ( s ，t ；盯，7 ) ( 见第4 节( 2 8 ) 式) 的计算过程中，利用了己( 1 ，亡；吼7 - ) ，然而我们仅需( 3 1 0 ) 式 对d i r i c h l e t 特征x ，妒和正整数s ( 1 ) ，t ，记 孙囊删) = 也熹掣 现在：我们计算n ( s ，t ；x ，砂) 的值 引理3 4 ：若e 定义为 r 。 讪、一r茎!竺!丝f竺兰2en, nt；x 一( s ，矽) = 型铲， 其中x ，砂为d i r i c h l e t 特征，s ，t z ，s + t23 ，则 l i m e ( s ，t ；x ，妒) = o 证明：见文献【2 5 引理1 2 定理3 5 ：设x 和矽为导子分别为d 和e 的d i r i c h l e t 特征，s ，t 为满足s + t 3 的正整数假设矽咖，s 1 或x x o 令m = l c m ( d ，e ，妒( d ) ，妒( e ) ) ，f = l c m ( d ，e ) 若x 砂( - 1 ) = ( 一1 ) 升汁1 ，则 n ( s ，t ；x ，矽) r e , m 证明：易知 n ( s ，t ；x ，移) = x ( m 矿- n ) _ i b ( m ) m n o 1 0 两北大学硕士学位论文 x ( m 一扎) 砂( ，n ) 一：= m s 礼t 由m a r k e t t 【5 】( 或文献 2 3 】) 部分分数分解公式 有 击= 萎( i 占 所以 由于 1 ) m 8 ( m n ) m 七一i ( m + 竹) 2 + ( 一1 ) ( n m ) m 5 + + 萎( 专二j x ( 佗) 妒( m ) m 5 ( m n ) r ( i 嚣1 ) 嚣1 ) 1 ) m s - i n t + i ( 礼一m ) 。一i 佗5 + 冗呶m 斗妒 1 ，f + d l ， k + d + z 2 的正整数则 ( 后+ ；二i 1 ) l ( 1 + d + k - i , i ；妒，x ， ( 尼+ 七l - 一i 1 1 ) ，已( 2 + d + 七一t ，t ；x ，砂) ( 3 1 3 ) 证明：用下式同时乘以( 3 1 1 ) 式的两边 ) ( ( m ) 砂( m + n ) ( m + 礼) d 同时遍历所有的序对( m ，孔) 求和，得 由 和 础 圾m = 篓( i + l - 1 ) c c k - i , o , l + d + i ；x , 2 ， + 萎( 三1 ) 熹。群 妻甓j 等= 。学叫和；肭 急8 ( i + 歹) 。息o m ” 一p 。m ”门 c ( s ，0 ，t ；x ，矽) = l ( t ，s ；砂，x ) ， 我们完成了定理3 6 的证明 结合定理3 1 ，定理3 5 及定理3 6 ，有如下 推论3 7 ：设七，f d 为满足后+ d 11 + d 1 ，k + d + l 2 的正整数， x ，妒为d i r i c h l e t 特征，) ( ( 一1 ) 妒( 一1 ) = ( 一1 ) 抖+ 抖1 则 c ( k ，l ，d ；) ( ，妒) r f , m 七汹。沮 = + 、l ， 砂 x d ， ， ， 七 ，j 西北大学硕士学位论文 由( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 式以及文献 2 5 】给出的l ( t ，s ；妒，) ( ) 的计算公式，我们的 方法也提供了一个精确计算c ( k ，z ，d ；x ，砂) 的方法 3 3 举例 这里我们给出c ( 七，l ，d ；x o ，x 3 ) 一个新的计算公式 因为 己( 叫一i ，i ；x ，x o ) = 7 已( 一i ，i ；x o ，) ( ) ， 记k + 1 + d = w ，由定理3 6 ， c ( k , l , d ；x o , x 3 ，= 妻( l - i 。1 ) l c w - i , i ；x 3 , x o ， + 妻( l - i 。) l c w - i , i ；x 3 , x o 3 以， 由s 一式( 3 5 ) 的定义，有 s 一( 叫一l 1 ；x 3 ，x o ) = m ，n = l x z ( m ) m w l l l l 用有限f o u r i e r 展开x 3 ( 佗) = 箐及( 3 8 ) 式，若t l ，得 s 一( w - l , f ；x 3 , x o ) = 压1 ( 三 ( w - - 1 , w ) 一i ( 叫一1 ) ) 其中l i ( a ，z ) = 是1x n n 。是通常的多重对数 类似地，有 s 一( w - i , l ；x o , x 3 ) = 历1 ( l i ( w - - l , 。j - 1 ) 姚u ) 一厶w - - l ，w ) 厶l , w a ) ) ， 矿( w - i , l ；x o , x s ) = 面1 ( iw - - l ，0 3 ) 姚u ) 一厶( w - 1 , w - 1 ) 己i ( 1 , w - 1 ) ) ， 和 s + w l ，f ；x 3 ，x o ) = s w l ，f ；x 3 ，x o ) ， = 压1 ( l u ) 一l u 一1 ) ) 1 3 也 x 一 脚 第三章一类二霞t o r n h e i m 型l - 级数估值 把这些方程代入l ( t ，s ；砂，x ) 的计算公式，得 其中 i ；x 3 ，x o ) ( 一1 ) 备1南( l i ( 叫一f ，u ) 一l i ( w f ，u 一1 ) ) ( ( f ) - l ( w ，x 3 ) ) + ( - 1 ) f ( 墨。) ( 南( 酬w - - 1 ，w ) 姚u ) - l i ( w - l , w - 1 ) l i ( 1 , w - 1 ) ) ) ) 一( - 1 ) i t + ( 1 - ( - 1 n l ( i , x o ) l ( w - i , x 3 ) 一南( 地小酬叫1 ) ， t = 喜 ( - 1 ) ( 一l - 一11 ) ( 去旷1 酬m t c w - - l ，w 胁u 1 ，) + c _ 1 ) f ( ( 去c l i ( w - 1 , w ) - l i ( w - 1 , w - 1 ) z ，) ) 易得如下计算公式： 因为 , 1 , 1 ；x o , x 3 ) = 一去丌2 l ( 2 ，瑚； c ( 1 , 1 , 2 ；x o , x 3 ) 地( 4 ，列一喾州3 ) ； c ( 2 , 2 , 2 ；x o , x 3 ) = 一( 4 x 3 ) 地( 6 ，煳+ 筹； ( 4 , 1 , 1 ；x o , x 3 ) = 一面1 3 九( 2 ，煳一去祝( 4 ，瑚+ 万1 1 印，x 3 ) ) ； ( 1 , 1 , 4 ；x o , x 3 ) 北( 6 ) 瑚地( 3 x 3 ) 郸) 一鬻 最后我们推出的计算公式c ( 1 ，1 ，1 ；) ( 3 ，x 3 ) 由x 3 的定义知) ( 3 ( 一1 ) = 一1 ，且满足) ( 妒( 一1 ) = ( 一1 ) 七十件d 由定理3 6 ，得 c ( 1 ，1 ，l ；x 3 ，x 3 ) = l ( 2 ，1 ；x 3 ，x 3 ) + n ( 2 ，1 ；x 3 ，x 3 ) n ( 2 ，1 ；x 3 , ) ( 3 ) = 一l ( 2 ，1 ；x 3 ，x 3 ) 一l ( 1 ，2 ；x a ，x 3 ) + s + ( 2 ，1 ；x 3 ，x 3 ) ， 1 4 b，【 一 1 2 = ， l 西北大学硕士学位论文 所以 注意到 并且 我们有 c ( 1 ，1 ，1 ；x 3 ，x 3 ) = - l ( i ，2 ；x 3 ，x 3 ) + s + ( 2 ，1 ；x 3 ，x 3 ) l ( 1 ，2 ；) ( 3 ，x 3 ) = 去s + ( 2 ，1 ；x 3 ，) ( 3 ) 一s 一( 1 ，2 ；) ( 3 ，x 3 ) 一s + ( 1 ，2 ；x 3 ，x 3 ) 一互1 s 一( 2 ，1 ；x 3 ，x 3 ) + l ( 2 ，x 3 ) l ( 1 ，) ( 3 ) 一l ( 3 ，) ( 。) ， 矿( 2 , i ；) 3 , x 3 ) _ - 壁2 7l 0 9 3 - 需丌l ( 2 , x 3 ) ， 州2 ，1 x 3 x 3 ) = 百2 7 t 2l 0 9 3 - 害咧2 ，x 3 ) s 一( 1 , 2 ；x 3 , x 3 ) ( 1 , 2 ；x 3 , x 3 ) ：一雩批煳， 三s + ( 2 ，1 ；x 3 , x 3 ) + s 一( 1 ，2 ；x 3 ，) ( 3 ) s + ( 1 ，2 ；x 3 ，x 3 ) + 互1 s 一( 2 ，l ；) ( 3 ，x 3 ) v 害7 1 l ( 2 , x 3 ) + 芴1 3 一喾此瑚+ 两1 3 ) = + 一 = 、，3，3x l ， l1 ，、 c 第四章关于两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数的均值问题 第四章关于两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数的均值问题 4 1引言 我们定义对任意正整数n ，我们定义两个新的算术函数丘( n ) 及它的对偶 函数f k ( n ) 为f k ( 1 ) = f k ( 1 ) = l k ；当佗 1 且n = p p l p 呈2 p 笋r 为n 的标准分 解式时，定义h ( n ) = m a x ( q ，乜，口；) 和九( n ) = m i n ( a f ，q ，q ；) 例如f k ( 1 ) = 1 知，a ( 3 ) = 1 七，h ( 4 ) = 2 七，h ( 5 ) = 1 知，h ( 6 ) = 1 知，h ( 7 ) = 1 七， a ( 8 ) = 3 七，f k ( 9 ) = 2 七，a ( i o ) = 1 七，；f k ( 1 ) = 1 七，7 k ( 2 ) = 1 七，7 ( 3 ) = 1 七， 无( 4 ) = 2 知，无( 5 ) = 1 南，九( 6 ) = 1 七，无( 7 ) = 1 后，7 k ( 8 ) = 3 七，f k ( 9 ) = 2 屉， 无( 1 0 ) = 1 七，显然这两个函数是s m a r a n d a c h e 可乘函数，即对任意的正整 数m ，n ，若( m ，扎) = 1 ，则我们有 ( m n ) = m a x ( 几) ， ( m ) ) ， i k ( m n ) = m i n f k ( m ) ，七( n ) ) 本节的主要利用初等和解析方法研究这两个函数的均值性质，并给出了两 个较好的均值公式具体地说，我们证明了下面的： 定理4 1 ：对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 ( a ( n ) 一1 ) 2 = b x + o ( z 扣) ， 其中6 - 脚”( t - 面1 ) 2 莩为为撇e 为任意给定的碱) 枷e m a n nz e t a - 函数 定理4 2 ：对任意实数z l ，我们有渐近公式 薹嘶h ) 2 二器。+ 。1 _ l i l 2 z ) ， n 1 ， 设n = 西1 p 呈2 霹r ，a 为所有无平方因子的集合，b 为至少含有一个素因子 的指数大于等于2 的整数集合，c 为所有素因子的指数不超过t 的整数构成的 集合 对于定理4 1 ，我们有 ( 厶( n ) 一1 ) 2 = ( ( n ) 一1 ) 2 + ( ( n ) 一1 ) 2 n x，l z n x n e an e b 当死a ，由 ( n ) 的定义易知 当佗b ，设f k ( n ) = t ，p 为t 所对应的素因子，结合引理1 我们有 ( a ( n ) 一1 ) z =( t 一1 ) z 札zn z n e b ，m ) = z ，n e b = ( 一1 ) 2 矿z n 素 。2 ( n ，p ) = i ，n e c = 肌t = 2 ，2 乏 志舄机) = z 丽( t - 1 ) 2 茄+ 。( 疹) p 王 = z 薹躺怿舄一刍茄j + 0 ( 步) = z 薹躺莓茄+ 0 ( 声) 注蝴2 2 时，薹躺莩茄憾故有 ( ( n ) 一1 ) 2 = b x + o ( z ， 几z 1 9 0 = d 一 七 慧 l l p n a 麓 第四章关于两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数的均值问题 为任意给定的正数，( ( s ) 为r i e m a n nz e t a - 现在我们来证明定理4 2 设b 是所有s q u a r e - f u l l 数构成的集合，d 是所 有不属于b 的整数构成的集合，c 是所有c u b i c f u l l 数构成的集合由引理4 2 和引理4 3 及注意到当几含有任意素数的一次方幂时，氕( n ) 一l = 0 ，于是有 于是完成了定理4 2 的证明 生l 惫盎 d 一 、， 鬟鬈吨埘时矿o、f1品川扪睦坼 肌黧即蒜厂瞬懦跏慧秘 l n 一，j 疃 第四幸关于两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数的均值问题 总结 本文应用初等数论、解析数论等相关知识研究了一类二重t o r n h e i m 型【广 级数估值以及两个新的s m a r a n d a c h e 算术函数，得到了一些有价值的结论 由于时间的关系，以及在数论基础知识上的欠缺，所以文章还有诸多 的不足，本文研究的问题仅仅是数论领域中的冰山一角罗马尼亚数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授曾经在他的著作o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书 中提出了1 0 5 个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学问题及猜想，很多问 题都值得我们去研究和解决，这也是我将来努力的方向 2 1 参考文献 参考文献 1 潘承洞潘承彪初等数论 m 北京大学出版社，1 9 9 2 【2 】张文鹏初等数论 m 】陕西师范大学出版社，2 0 0 7 【3 】潘承洞：潘承彪哥德巴赫猜想【m 】北京：科学出版社，1 9 8 1 【4 】易媛，亢小玉s m a r a n d a c h e 问题研究 m 】h i g ha m e r i c a np r e s s ，2 0 0 6 【5 z h a n gw e n p e n g o nt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n a n ds q u a r ec o m p l e - m e n t s j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ，l ( 1 ) ：l 一3 6 】f s m a r a n d a c h e o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h