（基础数学专业论文）关于具有迷向s曲率的指数度量及与黎曼度量射影相关的finsler度量.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本文主要研究了一类特殊的( a ，) 一度量一指数度量f = c t e “( 其中 j = p a ，口= a t t ( ，) ，。，7 是一个黎曼度量，卢= 岛( z ) _ y 是一个非零的1 - 形式，k 0 为 常数) 的s 一盐率的性质。证明了指数度量具有迷向s 曲率当且仅当它具有迷向平均 b e r w a l d 曲率。此时，该度量的s 一曲率为零，且是弱b e r w a l d 度量：讨论了指数度 量是局部m i n k o w s k i a n 的条件。本文还讨论了共形相关的f i n s l e r 度量的性质；最 后讨论了与黎曼度量射影相关的f i n s l e r 度量的一些性质。文中还利用m a p l e 程序， lo 计算出了指数度量f = a e 4 百( k 0 是常数) 的测地系数和平均c a r t a n 张量。 关键词：f i n s l e r 度量，( 口，p ) - 度量，测地系数，射影平坦f i n s l e r 度量，射影相关， 共形相关，s 一曲率。 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so f s c u r v a t u r eo f t h ee x p o n e n t i a lm e t r i c i nt h ef o r mf = t z e h ( w h e r ej = a ，口= 勺( 咖， i sar i e m a n n i a nm e t r i c ， ，= 岛( x ) y i san o n - z e r o1 - f o r m ，ki sac o n s t a n ta n dk 0 ) w ep r o v et h a tt h i sk i n d o f ( 口，卢) 一m e t r i c sa r eo fi s o t r o p i cs - c u r v a t u r ei fa n do n l yi ft h e ya l eo fi s o t r o p i c m e a nb e r w a l dc u r v a t u r e ht h i sc a s e , s c u l - v a t u r ev a n i s h e s ，i e s = o ，a n dt h e ya l e w e a k l y b e r w a l dm e t r i c s w ea l s od i s c u s st h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ee x p o n e n t i a l m e t r i c sa r el o c a l l ym i n k o w s k i a n f u r t h e r , w es t u d yc o n f o r m a u yr e l a t e df i n s l e rm e t r i c s f i n a l l y , w eg i v es o m ep r o p e r t i e so ft h ef i n s l e rm e t r i c sw h i c ha l ep r o j e c t i v e l yr e l a t e d t oar i e m a n nm e t r i c 口b e s i d e s ，u s i n gm a p l ep r o g r a m m e ，w ef i g u r eo u tt h eg e o d e s i c c o e f t i c i e n t sa n dt h em e a nc a r t a nt o r s i o no f e x p o n e n t i a lm e t r i c k e y w o r d s ：f i n s l e rm e t r i c s ，( 口，f 1 ) - m e t r i c s ，g e o d e s i cc o e f f i c i e n t s ， p r o j e e t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i c s ，p r o j e c t i v e l ye q u i v a l e n t ， c o n f o r m a le q u i v a l e n t ，s - c u r v a t u r e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：炒7 年磊 日 i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重宏盍堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重鏖太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 一签名渺一名：弘托处 签字日期：柙年月 日 签字日期：伽1 年占月乃日 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 绪论 1 1 引言 f i n s l e r 空间的最初概念可以追溯到r i e m a n n 的著名论文 u b e rd i eh y p o t - h e s e n ，w e l c h ed e rg e o m e t r i cz u g r n d el i e g e n 。1 8 5 4 年，r i e m a n n 在他的演讲中提出 了微分几何学中的度量可以用二次形式的平方根来定义，或用四次微分形式的四 次方根来定义。后来，他更进一步发展了以基本弧长微元d s = f ( x ，为其度量 函数的度量几何( 最初称为广义度量空间理论) 。最后r i e m a n n 只是研究了具有二次 型限制的度量，即r i e m a n n 度量。这就是今天r i e m a n n 几何的发展基础。 f i n s l e r 几何的名称来自数学家f i n s l e r 在1 9 1 8 年所作的博士论文，后来又称为 r i e m a n n f i n s l e r 几何。然而此后的相当一段时间里f i n s l e r 几何没有像黎曼几何那 样得到人们的足够重视，一个重要的原因是当时许多几何学家在对f i n s l e r 度量的 认识上存在偏差，他们认为f i n s l e r 空间只是黎曼空间的推广，仅仅致力于将黎曼 几何中的结果推广到f i n s l e r 几何中，忽视了对f i n s l e r 几何中的非黎曼几何量的研 究，也就忽视了f i n s l e r 几何中与黎曼几何不同的性质和结构的研究。现代研究表 明f i n s l e r 几何并非是黎曼几何的简单推广，简单地说，它就是关于f i n s l e r 空间的 几何学，这里的f i n s l e r 空间大体上指的是正则的内度量空间( i n n e rm e t r i c s p a c e ) ，r i e m a n n 空间是特殊的f i n s l e r 空间，f i n s l e r 几何就是“没有二次形式限制 的r i e m a n n 几何【l 】 ，。 对f i n s l e r 几何真正作出重要贡献的第一位数学家应该是l u d w i gb e r w a l d ，他 是第一个在f i n s l e r 空间中引入联络并将r i e m a n n 几何中的r i e l n a t l r l 曲率推广到 f i n s l e r 几何中的数学家。b e r w a l d 联络满足无扰条件但并不与度量相容，它刻划了 l a n d s b e r g 曲率，定义了l a n d s b e r g 空耐1 6 1 。1 9 3 4 年，e c a r t a n 发表了他关于f i n s l e r 几何的著名论文，详细介绍了他的确定的f i n s l e r 空间联络( 我们称之为c a n t a n 联络) 的公理系统。c a f t a n 引入了线性元( 1 i n ee l e m e n t ) 空间概念，将他的欧氏联 络理论推广到f i n s l e r 空间。c a r t a n 联络不满足无扰条件，但与f i n s l e r 度量是相容 的。1 9 4 8 年，著名美籍华人数学大师陈省身教授引进了我们现在称之为c h e r n 联 络的一类重要联络f 2 ”，c h e r n 联络满足无扰条件且与度量几乎相容，这使得它在 f i n s l e r 几何的研究中具有独到的优势。这更加引导着f i n s l e r 几何向着更广的方向 发展【2 1 。c a f t a n 联络、b e r w a l d 联络与c h e m 联络及其相应的各类曲率张量对后来 的f i n s l e r 几何研究产生了重要的影响，并促进了f i n s l e r 几何在物理学、生物学等 领域中的应用研究【3 】【5 】【o l 。f i n s l e r 几何在近2 0 年得到了数学家特别是几何学家们 的高度重视并得到了长足的发展。在著名数学家、几何大师陈省身先生的大力倡 重庆大学硕士学位论文1 绪论 导和鼓励下，陈省身先生与美籍华人沈忠民、d b a o 以及国内外专家教授程新跃、 莫小欢等在这一时期发表的一系列重要成果 1 1 - 1 2 】等，将f i n s l e r 几何的研究带入一个 真正繁荣的阶段。 在f i n s l e r 几何中，几何量大致可以分为两大类：黎曼几何量和非黎曼几何量。 然而再细分可以分为3 类：第一类是f i n s l e r 流形的切空间( 即m i n k o w s k i 空间) 中的几何量，它们描绘了m i n k o w s k i 切空间有别于e u l i d 空间的几何信息，目前已 知晓的这类几何量有c a f t a n ( 挠率) 张量和畸变( d i s t o r t i o n ) 1 0 3 第二类几何量是 第一类几何量在流形上的变化率，确切地讲他们是m i n k o w s k i 切空间的几何量沿 f i n s l e r 流形的测地线的导数。比如l a n d s b e r g 曲率和s 一曲率。这两类是非黎曼几何 量( 即在黎曼空间中等于零的几何量) 。第三类f i n s l e r 空间的几何不变量，人们称 它为黎曼几何量，包括反映空间上每一点弯曲程度的r i e m a n n 曲率，它的平均值 r i c e i 曲率，还有旗曲率( f l a g c u r v a t u r e ) 。我们称，黎曼几何量刻划了空间的形状 和结构，非黎曼几何量则描述了空间的“色彩”。我们就是通过对f i n s l e r 度量的一 系列曲率性质及相关问题的研究，来刻划空间的结构特征和性质，丰富人们对 f i n s l e r 空间的认识和把握。与此同时，f i n s l e r 几何的理论与方法在数学及其它中 多自然科学领域中的应用价值也日益突出。f i n s l e r 几何已显现出充满勃勃生机的 发展势头。 本文主要是对具有迷向s 一曲率的指数度量、共形相关的f i n s l e r 度量以及与 黎曼度量射影相关f i n s l e r 度量性质的研究。 1 2f i n s l e r 几何发展现状 f i n s l e r 几何中的旗曲率( f l a gc u r v a t u r e ) 是r i e m a n n 几何中截面曲率的自然拓 广。给定流形m 上的一个f i n s l e r 度量f ，旗曲率是切平面p 和p 中方向y 的函数 k - k ( p ，y ) 。如果旗曲率只是切丛耵汛 o ) 上的标量函数k 寻k ( x ，y ) ，我们称f 具有标 量旗曲率( s c a l a rf l a gc u r v a t u r e ) 。特别地，若k 是常数，我们称f 具有常数旗曲率。 f i n s l e r 几何中的一个重要问题是研究和刻划具有标量( 常数) 旗曲率的f i n s l e r 度 量，这是f i n s l e r 几何学家非常关注的热点问题。f i n s l e r 几何中与此相关的另一重 要问题是研究和刻划射影平坦的f i n s l e r 度量，这是正则情形下的h i l b e r t 第四问题。 近年来，f i n s l e r 几何的研究取得了快速而长足的发展。f i n s l e r 几何中的各种 曲率己得到广泛关注和研究，它们对f i n s l e r 空间结构的影响也越来越为人们所认 识和理解口“。这要部分归功于对位，卢) 一度量的研究。因为一般说来，在f i n s l e r 几何中计算f i n s l e r 度量的曲率是非常困难的，即使对一些由基础函数定义的 f i n s l e r 度量，它们的曲率表达式也是非常复杂的，以至很难得到它们的值。而自 从引入位，) 一度量以来，由于它们的计算相对方便，使这种情况发生了巨大的改 2 重庆大学硕士学位论文1 绪论 变。 ( 口，卢) 一度量【2 ”是一类特殊的f i n s l e r 度量，在f i n s l e r 几何研究中起到非常重 要的作用，通过对( 口，卢) 一度量的研究，使人们更好地理解和把握f i n s l e r 几何中的 各种曲率性质，为f i n s l e r 几何中的各种曲率的研究提供了丰富的思路和方法。目 前人们已完全确定了某些重要而特殊的射影平坦的且具有常旗曲率的位，卢) 一度量 的局部结构【”。】，这为一般的射影平坦且具有常数旗曲率的f i n s l e r 度量的局部结 构的研究提供了有力支撑，人们并已构造出许多具有特殊曲率性质的f i n s l e r 度量 【2 5 1 ，更丰富了这一领域的的研究内容 3 0 - 3 3 】。 在f i n s l e r 几何中存在若干重要的非r i e m a n n 几何量( 如( 平均) c a r t a n 张量、 s 一曲率、( 平均) l a n d s b e r g 曲率、( 平均) b e r w a l d 曲率等) ，它们在r i e m a r m 空间 中是等于零的，故而称为非r i e m a n n 几何量。现已有的研究表明：f i n s l e r 度量的 旗曲率与非r i e m a n n 几何量有密切联系。因此，在研究具有标量( 常数) 旗曲率 的f i n s l e r 度量的结构和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非 r i e m a n n 曲率性质。华人数学家在这一领域的研究中得到了一系列重要结果：刻划 了具有标量旗曲率且具有迷向s 曲率的f i n s l e r 度量，并首先完成了对局部射影平 坦且具有迷向s 一曲率的r a n d e r s 度量的分类；更一般地，运用z e r m e l o 导航术思想， 完成了对具有标量旗曲率且具有迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的分类；进而有完成了 对局部射影平坦且具有迷向s 曲率的f i l l s l c r 度量的分类。这方面的工作可以见参 考文献1 2 2 - 2 4 1 和1 2 6 3 0 1 1 3 4 1 3 7 1 。人们也对具有其它非r i e m a r m 曲率性质的f i n s l c r 度量作了大量的研究，并得到了一系列富有意义的成果【7 2 1 - 2 2 1 1 3 5 4 7 1 4 5 1 。 射影几何是微分几何中一个重要的分支，射影相关是是射影几何中重要的概 念。近年来，在f i n s l e r 几何中有许多关于射影相关的研究：沈忠民教授研究了与 一个已知e i n s t e i n 度量射影相关的所有e i n s t e i n 度量的问题【3 8 1 ；程新跃和沈忠民教 授研究了射影几何中r i c c i 曲率上的比较定理，并且讨论了具有殆迷向s 曲率的射 影平坦的f i n s l e r 度量【3 9 】；在文献1 4 0 i q j 也讨论了f i n s l e r 射影几何中的保持m c c i 曲率曲率不变的f i n s l e r 射影变换，以及研究了一个b e r w a l d 度量与r i e m a n n 度量 射影相关的问题；程新跃教授研究了与一个m c c i 平坦f i n s l e r 空间或一个常曲率 f i n s l e r 空间射影相关的标量曲率f i n s l e r 空间，得到了一系列重要的结论【4 l 】：文献 【4 2 】中讨论了特殊f i n s l e r 空间上的测地映射，讨论了与黎曼度量有联系的特殊 f i n s l e r 度量的性质；文献1 4 3 q b 研究了( 口，p ) 一度量与黎曼度量口射影相关的问题。 以上这些研究方法和成果给了我们很好的研究思路和方式方法，将是我们在 本文进行课题研究的重要依据和基础。 1 3 本文研究的主要内容 本文第三部分介绍了关于( 口，) 一度量的一些性质，利用m a p l e 软件计算了指 重庆大学硕士学位论文1 绪论 数度量的测地系数和平均c a r t a n 张量。第四部分给出了指数度量f = a e “。具有迷 向s 一曲率的充要条件，讨论了它射影平坦和局部m i n k o w s l ( i 的性质。第五部分主 要是讨论了共形相关的f i n s l e r 度量的性质，并对共形相关的( 盘，卢) 一度量作了简单 的讨论。黎曼度量在f i n s l e r 几何中有着很好的性质，是一种非常重要的f i n s l e r 度 量，第六部分就讨论了与黎曼度量射影相关的f i n s l e r 度量的部分性质。 第四部分讨论了指数度量的相关性质，主要结果有： 定理4 1 1 对n 维流形m 上的一个指数度量f = a 矿( 其中j ：卢a ，k 0 为常数) ， 下列条件是等价的： ，具有迷向s 一曲率，即存在m 上的标量函数c _ c ( x ) ，使得s = ( n + 1 ) c f ； f 具有迷向平均b e r w a l d 曲率，即存在m 上的标量函数c ( x ) ，使得： e = + 1 ) c ( z ) ，。皇，其中h - h u d x d xy ，h f ，：= f f ，l ，； 3 关于口是长度恒定k i l l i n g1 一形式，即r o o = o r = 0 ； s = 0 ； f 为弱b e r w a l d 度量，即e = 0 。 定理4 2 1n 维流形m 上的一个具有迷向s 一曲率的指数度量f = d e “( 其中 s ：a t ，k 0 为常数) 是射影平坦的当且仅当口射影平坦。 定理4 2 2n 维流形m 上的一个具有迷向s 一曲率的指数度量f = 口矿( 其中 s ：口a ，k 0 为常数) 是射影平坦且具有常曲率当且仅当f 为局部m i n k o w s 虹度 量。 第五部分关于共形相关f i n s l e r 度量的研究的主要结果有： 首先计算了共形相关的f i n s l e r 度量的测地系数间的关系式， d - = g 。+ 芦 + d - ,( 1 1 ) 其中：f = 鲁，互= 一告f 2 ，这里心：= i j l y ，j i ：= ，p ：= g q z 。 “z j 并计算出其r i e m a n n 曲率的简化表达式， r ：= a ( 8 ：一f f o y 。) + t ： ( 1 2 ) 其中： a = ( p 一己y 7 ) + ( 芦2 一弓) ，) + 2 q 7 弓+ 2 ( p y 7 + q 7 ) 亏+ 2 互7 亏 t ：= 2 或一y j q j 。+ 2 q 7 q 0 - q ：，a + 2 磊- y 蟛- - i ”+ 2 虿豆0 一彩豆； + 2 ( , y 。+ q ) q _ 一f q j ，+ 2 q r k 一；q ； 然后又给出了共形相关的( 口，卢) 一度量的s 曲率表达式， s = q 一2 h q s 一2 h q 】( 6 2 5 2 ) 一2 ( n + 1 ) q j + a ) 5 0 + ( 2 h + 五) ，o 十口“ ( 6 2 一j 2 ) 日+ ( ”+ o j r o 。+ 专 6 2 ( 1 2 h q s 一2 h )、 一2 b 2 ( b 2 一j 2 ) ( q h ) 。一2 h s ( b 2 5 2 ) 】o + 【2 h ( 62 一j 2 ) + 2 ( b2 一j2 ) ( q 日) + 2 h ( s q + t ) p 一 ”6 。) 4 重庆大学硕士学位论文1 绪论 并由此得到共形相关的 ，p ) 一度量的s 一曲率性质。 第六部分中与黎曼度量射影相关的f i n s l e r 度量性质研究的主要结果有： 定理6 1 2 指数度量f = 口e 5 言，k 为常数，它与黎曼度量口射影相关的充要条 件：当且仅当关于口是长度恒定的k i l l i n gl 一形式，即= 岛= o 定理6 2 1 在n 维流形m 上，f 和口分别是普通f i n s l e r 度量和一个黎曼度量，如 果f 与口射影相关，则，是d o u g l a s 度量。 定理6 2 - 3 设f 与口分别是流形m 上的f i n s l e r 度量和黎曼度量，若f 与口射影相 关，则f 的弘曲率为： s = ( n + 1 ) p a o 其中， a ：= i n0 ，ao ：= a y ，p = 等， 其中： 0 ：! ! ! ! ! ! ! ! ! 竺! 兰! 羔2 三! ! 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 2 预备知识 2 1f i n s l e r 度量 首先，介绍m i n k o w s k i 空间。 令矿是一个n 维实向量空间。 定义2 1 1v 上的一个m i n k o w s k i 函数，是指函数f ：v o r 满足： f 在矿 0 ) 上是c 。的； f 是一阶正齐次的，即对任意的y v ， ，( 旯y ) = 2 f ( y ) ， 旯 0 ， f 对任意的y 矿 o ) ，使如下定义的双线性对称函数g 。是矿上的一个内 积，其中 g y ( 叫) 2 寺靠i f 2 ( y + j “+ t v ) 儿 内积g 。称为f 在y 方向上的基本形式，且它是非退化的，这时称( v ，f ) 为一个 m i n k o w s k i 空间。如果对任意的y v 都有f ( - y ) = f ( y ) ，则称f 是对称的。 ( v ，f ) 为一个m i n k o w s k i 空间，取弛) = i l 为矿的一个基，) ，可q ，( y ) r 4 ，则 f ( y ) = f ( y 岛) 是p 。) r 4 的函数。对y 0 ，令 g ，( 办鸹( 钏= 吾器( y ) ， 则有 g 。( “，v ) = g u ( j ，) “v ， 其中u = ”。岛，= c e ，有f 的齐次性则 f 2 ( j ，) = g o ( y ) y 1 y 其次，介绍一下流形上的f i n s l e r 度量。 假设我们的研究都是在光滑连通的有限维流形上。令m 为一个流形，取流形 上一点x m ，r m 表示流形m 在点x 的切空间，流形的切丛是带有自然微分结 构的切空间的集合， t m - u ，。m 用( x ，y ) 表示t m 上的元素，其中y 巧m 。 粗略地讲，流形m 上的一个f i n s l e r 度量是一簇定义在其切丛i m o ) 上的 m i n k o w s k i 范数。 定义2 1 2 设m 是一个流形，在t m 上定义的一个函数f ( x , y ) 称为f i n s l e r 度量， 如果它满足以下性质： f 在t m o ) 上是c ”的； 6 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 对m 上的任意一点工e m ，e ( y ) _ f 力均是疋膨上的m i n k o w s k i 范 数。 这时我们称( 膨，f ) 是一个f i n s l e r 流形。 对于v ye 正m ，工m ，f 在吖上诱导了如下的一个内积g 。， g ，( “，v ) = g “( x ，y ) u v ， 其中 岛( 工，y ) ：= 【，2 ( x ，y ) 川， x = ( x 7 ) 为x m 的坐标，( x ，y ) = ( 一，y 7 ) 为y t 膨的局部坐标，这里 【】川( x , y ) ， 表示f 2 关于y i 枷7 的偏微分。如果有t m 一个标准局部坐标系( 一，y ) 使 e ( j ，) = f o ，y ) 只是( y ) r “的函数，则称f 是局部m i n k o w s k t 的。 令f = f ( x ，y ) 为定义在流形膨上的一个f i n s l e r 度量，对于任意的y m ， 如果满足f ( x , - y ) = f ( x ，y ) ，则称它是对称的；对于任意的工m ，如果 c ( y ) = f ( x ，y ) 在l m 上是欧氏范数，则f 是黎曼度量，即： f 。t y l = a q t x 、y ly i ，y = y l e 。r , m 显然，r i e m a n n 度量是对称的f i n s l e r 度量。 2 2f i n s l e r 度量的测地系数 首先，粗略地介绍一下s p r a y 。 令m 是一个n 维的流形，石：t m o - 肼 0 斗m 为流形上的一个典型丛投 影。 定义2 2 1 流形肘上的s p r a y 是定义在切空间t m o 上有如下形式的一个特别的光 滑向量场， g - j ，专_ 2 寿， ( 2 ” 其中g 。= g ( x ，y ) 是具有如下性质的局部函数： g 。( 工，a y ) = 旯2 g x ，) ) ， 旯 0 ， 这时称g = g ( x ，y ) 为g 的s p r a y 系数( 或测地系数) 。 设c ( f ) 为切丛t m o 上的一条参数曲线，若它满足方程： 0 = g c ， 则称c ( f ) 为g 的积分曲线。若用( 一0 ) ，y o ) ) 表示曲线c ( t ) 的坐标，则它满足 童1 0 ) = y 1 ( f ) ，夕0 ) + 2 g ( 工o ) ，y o ) ) = 0 令c r ( t ) 是曲线c ( f ) 在映射万下的投影，贝l j t r ( t ) 的坐标( d ( f ) ) = ( 一( r ) ) 满足方程 考( f ) + 2 g ( 盯( f ) ，疗( f ) ) = 0 7 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 s i j 称a ( t ) 为g 的测地线。 对于流形上的每一个f i n s l e r 度量，均诱导了一个s p r a y ， g 。= f2 b ，1 f2 b ) = z 争一等卜，2 彳12 蒂一嚣f 少， 其测地系数定义为： 其中( g “) = ( 酣。用 酽】厂2 哆【明p y k = 掣g ，t y m + 2 嘎v ) ， 我们可以得到 g = p y + q ，( 2 3 ) 其中 胙簪，q f = 丁fg h f x j , y t y k - t f ) 若g 为由f i n s l e r 度量f 诱导的一个s p r a y ，那么对于一个新的f i n m e r 度量 f f ：= 2 f ，其中a 为常数且不等于0 ，f 所诱导的s p r a y 召恒等于g ( 见文献【2 l j ) 。 下面我们所提及的s p r a y 均指的是由f i n s l e r 度量所诱导s p r a y 。 在f i n s l e r 流形( m ，) 任意一点x m ，如果有t m 一个标准局部坐标系 ( 一，y ) 使得f 诱导的测地系数g = 0 ，则称g 是平坦( f l a t ) 的，也f 称为是平坦 的。 命题2 2 2f 是平坦的当且仅当，是局部m i n k o w s k i 的。 再介绍一下c h e r n 联络，f i n s l e r 流形上的c h e r n 联络是拉回切丛上的线性联 络，关于c h e r n 联络我们有以下定理： 定理2 2 3 ( c h e r n ) 2 1 1 设( m ，) 是一个n 维，f 埘如r 流形，对于拉回切a kr h m 上 任意局部坐标架他) 和矿r m 上它的对偶余标架 国) ，使在t m 。有唯一的一簇1 一形式伽，) 满足 d c o = o j j ，d g p = g , j c a f + g i , a - o ；+ 2 c 社， 其中 ”- d y 4 - y j 叫，石t m k ，) ：= ( x ，y ，v ) l ，正肘) 2 3r i e m a n n 几何量 首先介绍黎曼曲率，黎曼曲率是f i n m e r 几何中最重要的几何量。 由c h e r n 联络我们可以定义r i e m a n n 张量 r ：= 月；p f 圆c o ， 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 其中 r 。t - - 2 等- y j 研0 2 g i + 2 g j 两a 2 g i 一箩等 仁 并且由f i n s l e r 度量f 的齐次性可以知道r i e m a n n 张量r 有以下性质， 尺：y = 0 ，r v = r ， ( 2 5 ) 其中心：= g 。r ? 。 定义2 3 1 我们定义一组线性映射 r = r ，f y l m o ，x m ， 其中 r ，2 硝出圆专i ，：疋m 专t x m r e ( v ) ：= r i ( x , y ) 矿昙，v = 三o x 骐c 则称尺为f 度r i e m a n n 曲率。此时我们有 r ，( y ) = 0 ，r ，= 3 2 r ，a 0 ， ( 2 6 ) 由( 2 5 ) 可知r ，关于毋是自伴随的，即 g ，( 0 ( “) ，v ) = g y ( u ，b ( v ) ) “，v r , m ， ( 2 7 ) 式子( 2 6 ) ( 2 7 ) 我们称是r i e m a n n 曲率的基本方程。 r i e m a n n 曲率的迹 r i c ( x ，j ，) = r ：( 工，y ) ， 称为r i c c i 曲率。r ( x ，y ) = _ r i c ( x ，y ) 称为r i c c i 标量。 旗曲率足是黎曼几何中截面曲率在f i n s l e r 空间的自然推广，定义旗曲率为 础川一币警掣赫， 其中p = s p a no ，u ) 匕t 膨，u p 。由r i e m a n n 曲率的基本方程，我们容易得到 k ( p ，y ) 与所选的u p = s p a n o ，u ) 无关。显然k = 0 营r = 0 定义2 3 2 设f 为n 维流形时上的一个f i n s l e r 度量。 如果足( p ，y ) = k ( x ，y ) 是m f 。上与p 无关的标量函数，则称f 具有标量旗曲 率k ； 如果有流形m 上的标量函数c = c ( 工) 和盯= a ( x ) 使得度量的旗曲率有如下 形式： k ( p , y ) ：k ( z ) ：3 三芝二+ j ， ( 2 8 ) 则称f 具有殆迷向旗曲率： 如果k ( p , y ) = k ( z ) = 仃为流形上的标量函数，则称它具有迷向旗曲率； 如果k ( p ，y ) = d 为常数，则称f 具有常旗曲率； 9 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 如果k = 置( z ) 是m 上的标量函数，且使 r i c = f 柞一1 ) k f 2 ， 则称f 为e i n s t e i n 度量。 由s c h u r 引理知道，在维数n 23 时，如果f 具有迷向旗曲率，则它有常旗曲 率。 由定义可知：流形膨上的f i n s l e r 度量f = f ( x ，) 具有标量旗曲率 k = r ( x ，y ) ，当且仅当对任意的y ，“t m 。，有 r y ( “) = k i g y ( y ，n g y ( y ，u ) y ， 这等价于方程： r j = k f 2 h ：， 其中 h i ：= 艿i f 4 9 k q y 4 y ， 为f 的角度量张量，它有性质：联j ，= 0 。 如果，是r e m m m 度量，取只力= k ( d 与y p 无关，在r e m a n n 几何中称为尸 的截面曲率。 2 4 非r i e m a l m 几何量 首先介绍描述m i n k o w s k i 范数几何性质的最原始的两个几何量：c a r t a n 张量 和畸变( d i s t o r t i o n ) 。 定义2 4 1 设，：f ( y 1 为向量空间v 上的一个m i k o w s k i 范数，取向量空间v 的 一个基 b ，) ，那么f ：f ( y 6 f ) 是( ) ，) 的函数。令 c o k ：= 【f 1 】y fv ，y i ，f ：= g ”c 肚， 其中( g ”) ：= ( g f ，) 对于向量y 矿 o ) ，令 c y ( “，v ，w ) _ c ，t ( y ) “v 7 w ，y ) - i i ( y ) u ， 其中“_ 如，v _ 一6 f ，w 车瓯矿，则集合c ； g i y 叭 o ) 和，# 以i y 矿 0 ) 分别 称为f 的c a f t a n 张量和平均c a r t a n 张量。 不难发现【2 1 】 ， = g 业c 种= 寿【l n 扣五丽1 c a r t a n 张量和平均c a r t a n 张量刻划了一个f i n s l e r 流形偏离r i e m a n n 流形的程 度，即f 是欧氏度量当且仅当对v y 、 o ) ，恒有c ，= 0 。 定理2 4 2 向量空间上的m i n k o w s 肼范数是欧氏范数当且仅当i = 0 。 每个n 维流形必上的f i n m e r 度量都可以定义一个体积形式。度量的体积形式 不只有一种，这里我们单介绍一种常用的体积形式一b u s e m a n n h a u s d o r f f 体积形 1 0 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 式。 定义2 4 3 在流形膨上取任一点工，令 6 ， 为班上的一个基，妒) 是碱 在f m 上的对偶基，定义，卜形式d 咋：仃，( x ) 口1 0 一，其中 叫硝2 研赢鬻 亿 其中v o l 表示彤子集的欧氏体积，这个”一形式d 阼称为f i n s l e r 度量的 b u s e m a n n h a u s d o r f f 体积形式。如果f 是欧氏范数，则可以得到它的欧氏体积形 式 口= 4 d e t ( g # ( y ) ) ，d ；4 d e t ( g # ( y ) ) 0 1 a p “ 设f 是一个m i n k o w s k i 范数，由上述的体积形式，定义 f ：i n d e t ( 口g 。i j ( y ) 一) ， ( 2 1 0 ) 称之为f 的畸变( d i s t o r t i o n ) 。关于畸变( 加幻，幻，1 ) 我们有以下引理： 引理2 4 4 对于向量空间矿上的a 砬 n k o w s a 范数f ，下列条件是等价的： 1 ) f 是欧氏度量；2 ) f 是常数；3 ) f = 0 。 对于f i n s l e r 流形( 肘，) ，在它的每一个切空间上的；l 虚n k o w s k i 范数定义畸变 ( d i s t o r t i o n ) ，则可以得到切丛t m o 上的标量函数f = r ( x ，力，我们称之为f i n s l e r 度 量f 的畸变( d i s t o r t i o n ) 。由d e i c k e s 定理( 定理2 4 2 ) ，f 是黎曼度量当且仅当它 的畸变( d i s t o r t i o n ) 等于零，即r = 0 。因此，畸变( d i s t o r t i o n ) 将黎曼度量从f i n s l e r 度 量中分离出来。 对d i s t o r t i o nr = f ( x ，y ) 做垂直协变导数很容易得到 旷旁 i n 匦u f ( x ) 1 1 = 旁 i n 丽”1 肛等= g # c o - k 铂， 下面介绍s 一曲率。 s 一曲率是f i n s l e r 度量的d i s t o r t i o n 沿测地线的变化率。 定义2 4 5 设( m ，f ) 为f i n s l e r 流形，对于切空间上的向量y 疋m o ，令c ( f ) 是流 形m 上的一条测地线，且它满足c ( o ) = 毛e ( o ) = y ，令 s ( x ，y ) ：= 岳 f ( c ( f ) ，o ( f ) ) ：。， s = s ( x ，力对于y 是正一阶齐次的，即 s ( x ，2 y ) = 2 s ( x ，y ) ，a 0 我们称s 为s 一曲率。 在一个标准局部坐标系( x ，) ，) 下，令d ：= a p ( x ) d x l d x 4 表示f 的体积 形式，g 7 = g ( x ，y ) 表示f 的测地系数。这时s 一曲率的表达式为【2 4 】： 跏川= 等y 一”嘉( 1 n 州枷( 2 1 1 ) 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 再介绍与s 一曲率相关的另一个几何量，令 岛- 。t s ( 训) = 圭南l 铲卜y ) ， ( 2 1 2 ) 则我们称e ：= 乓出。 a k 为t m 。上的层一张量，它可以看是成一组定义如下形式 的对称映射： e y ：l m l m 专r ，日( “，v ) ：= 岛( x ，y ) u 1 ，7 ， 其中 忭专i x , v = y j 专垤l 虮 集合e ：= 峨i y 砜) 称为平均b e r w a m 曲率。 由定义容易得到： e ，v ) = e ，y ) = o ， 其中“，v 驯订 定义2 4 6 令，为肛维流形m 上的f i n s l e r 度量。 如果存在流形m 上的标量函数c = c o ) 和一个l 一形式玎= r l ( x ) 使s 一曲率 有如下形式： s = ( n + 1 ) c f + q ， ( 2 1 3 ) 则称f 具有弱迷向s 一曲率； 如果c = c o o 和，7 = 碾o ) _ y4 是流形m 上的标量函数和闭的l 一形式，则我们 称f 具有殆迷向s 一曲率； 如果玎= 0 ，c = c 是标量函数，则称f 具有迷向s 一曲率； 如果玎= 0 且c 为常数，则称f 具有常s 一曲率。 f i n s l e r 度量f 的s 一曲率与它的旗曲率有很紧密的关系。 定理2 4 7 4 5 1令f 为流形m 上具有标量旗曲率的f i n m e r 度量，若它就有迷向 s 一曲率，s = + 1 ) c f + 玎，其中c = c ( 功和叩= 吼y 分别是流形膨上的标量函数和闭 的1 形式，则它具有形式如下的殆迷向旗曲率 足：! ! 掣：+ 仃 我们再了解一下b e r w a l d 曲率、d o u g l a s 曲率等几何量。 由f i n s l e r 度量，的测地系数g ( 而y ) ，可以定义b e r w a l d 曲率曰： b ：= b j , t d x 7pd x 固d x 。固专i ，：l m l mx 疋肘- - - 4 l m ， 其中 ( y ) 净万a 丽3 g i7 ( x , y ) ( 2 1 4 ) 同时我们可以定义平均b e r w a m 曲率层： 1 2 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 e ：= e “d x 圆d x l ；：t m t m r ， 其中 e u ( x ，y ) ：= _ 1d 。m “( z ，y ) ( 2 1 5 ) 前面已经讲述过平均b e r w a m 曲率又称为e 一曲率以及它的性质。如果b = 0 ，则称 f 为b e r w a l d 度量；如果e = 0 ，则称f 为弱b e r w a l d 度量。 在f i n s l e r 流形( m ，f ) 上，如果存在标量函数c = c ( ，使得b e r w a l d 曲率满足 下面表达