（理论物理专业论文）相对论束缚态及qcd求和规则.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 又 性 质 是 相 容 的 ， 能 很 好 描 述 一 些 q c d 的 非 微 扰 性 质 。了 体论 文 的 具 体 安 排 如 下 : 在第二章中，我们引入了平底势模型，考虑到胶子传播子的红外 囚禁和紫外渐近自由性质，对它的实施了修正;即加入一个 6 函数 型正规化的 红外修正项和一个代表渐近自 由 的 紫外修正项。 这里紫 外修正项取双圈重正化群的结果。 在第三章中，我们给出了彩虹近似、简化脉冲近似的s d方程， 详尽的讨论了这样做的可行性;并对求解过程中维克转动所可能遇 到的奇点进行了妥善的处理。 在第四章中，由于后面几章中经常用到重正化的夸克质量，我们 集中而详细的讨论了夸克质量在重正化后的红外、紫外行为，以及 它和组分夸克质量、流夸克质量的关系。 在第五章中，给出 b s方程及其归一化的详尽推导，然后把 b s 振幅用洛伦兹不变的函数和切比雪夫多项式展开。在最低级近似下， 分别把梯型近似、简化脉冲近似的 b s方程化简为欧氏空间中的祸 合的积分方程组。为了行文的简洁，后面所遇到 b s方程求解时， 直接引用这章的结果。 在第六章中，分别联合 s d方程和平底势模型、红外修正的平底 势模型、双修正的平底势模型，计算了夸克凝聚的非定域性，得到 了和他人理论符合得很好的结果。在计算的过程中，我们所得到的 重正化夸克传播子符合重正化群的结果，对动力学获得质量是一个 很好的理论支持。 中国科学技术大学博士学位论文 在第七章中，首先给出了介子电 磁形状因子表达式的详细推导， 接着联合彩虹近似的 s d方程和梯型近似的 b s方程，计算出k介 子的电磁形状因子，和实验结果符合得很好。在计算过程中，我们 得到了重正化的夸克传播子、b s波函数，和他人的理论结果符合得 很好。 在第八章中，联合 s d方程和 b s方程，计算出简化脉冲近似下 k介子的电磁形状因子，和实验结果符合得比较好。在计算过程中， 我们得到了重正化的夸克传播子、b s波函数，和他人的理论结果符 合得很好。 在第九章中，联合 s d方程和 b s方程，计算出简化脉冲近似下 的二 介子的电磁形状因子，和实验结果符合得很好。在计算过程中， 我们得到了重正化的夸克传播子、b s波函数，和他人的理论结果符 合得很好。 在第十章中， 首先给出了q c d求和规则的 一般形式及其推导， 接着作为一个具体应用，在彩虹近似的 s d 方程、红外修正的平底 势模型下，计算出p 介子的质量，和实验符合的很好。在计算过程 中，我们得到了重正化的夸克传播子，和他人的理论结果符合得很 好。 最后， 我们得出 结论: 在描述核子的强相互作用时， 平底势模型 是一个很好的模型，能给出许多和实验及他人理论符合得很好的结 果，可给动力学获得质量一个有力的支持。 事实上， 我 们可以 那它来做 a 乏、 9 西、 9 9 9系 统 方面的 研究， 只要这 里需 中国科学技术大学博士学位论文 ab s t r a c t i n t h i s d i s s e r t a t i o n , w e t a k e g r e a t p a i n s t o i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f t h e r e l a t i v i s t i c b o u n d s t a t e o f t h e p s e u d o s c a l a r m e s o n a n d t h e a p p l i c a t i o n o f t h e q c d s u m r u l e . t h e m a i n a c h i e v e m e n t s c a n b e d i v i d e d i n t o t h r e e p a r t s . i n t h e fi r s t p a r t , w e c a l c u l a t e t h e n o n l o c a l i t y o f t h e q u a r k v a c u u m c o n d e n s a t e in t h e f r a m e w o r k o f s c h w i n g e r - d y s o n ( s d ) e q u a t i o n w i t h t h e p h e n o m e n o l o g i c a l fl a t b o t t o m p o t e n t i a l ( f b p ) w h i c h i s a s u m o f y u k a w a p o t e n t i a l s . o u r n u m e r ic a l r e s u l t i s c o m p a t i b l e w i t h o t h e r t h e o r e t i c a l v a l u e s , m o r e o v e r , o u r m e t h o d h a s t h e a d v a n t a g e t h a t i t i s v e r y s i m p l e . l a t e r , w e m o d i f y t h e f b p w i t h c o n s i d e r a t i o n s f o r t h e i n f r a r e d a n d u l t r a v i o l e t b e h a v i o r s o f t h e g l o u n p r o p a g a t o r . t h e n o n l o c a l i t i s o f t h e q u a r k c o n d e n s a t e c a l c u l a t e d f r o m t h e i n f r a r e d mo d i fi e d f b p a n d t h e d o u b l e mo d i fi e d ( i n f r a r e d a n d u l t r a v i o l e t ) f b p o n ly v a r y s l ig h t ly a r o u n d t h e o r i g i n a l n o n lo c a l i t y c u r v e . we g e t t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e f b p c a n g i v e t h e c o r r e c t n o n l o c a l i t y c u r v e o f t h e q u a r k c o n d e n s a t e . i n t h e s e c o n d p a r t , fi r s t l y , w e c a l c u l a t e d t h e k m e s o n e l e c t r o m a g n e t i c f o r m f a c - t o r i n t h e f r a m e w o r k o f t h e c o u p l e d r a i n b o w s d e q u a t i o n a n d l a d d e r b e t h e - s a l p e t e r ( b s ) e q u a t i o n w i t h t h e d o u b l e m o d ifi e d f b p . o u r n u m e r i c a l r e s u lt s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s . b a s e o n t h e v e r t e x a n s a t z , w e s i m p l i f y t h e i m p u l s e ( d r e s s e d v e r t e x ) a p p r o x i m a t i o n . t h e k a n d二m e s o n e l e c t r o m a g n e t i c f o r m f a c t o r s c a l c u l a t e d f r o m s i m p l i fi e d i m p u l s e v e r t e x a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s ， we g e t t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e f b p i s a s u c c e s s f u l m o d e l i n c a l c u l a t i n g t h e e l e c t r o m a g n e t i c f o r m f a c t o r o f p s e u d o s c a l a r m e s o n s . i n t h e t h i r d p a r t , w e c a l c u l a t e t h e p m e s o n m a s s i n t h e f r a m e w o r k o f t h e q c d s u m r u l e a n d t h e s d e q u a t i o n w i t h t h e i n f r a r e d m o d i fi e d f b p , o u r fi n i a l r e s u l t i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t v a l u e s . i t i n d i c a t e d t h a t t h e f b p i s c o m p a t i b l e w i t h t h e n o n p e r t u r b a t i v e p r o p e r t y o f q c d a n d c a n g i v e c r e d i b l e r e s u l t . we a r r a n g e t h e c o n t e n t o f t h e d i s s e r t a t i o n i n t h e f o l l o w i n g f o r m : i n c h a p t e r 2 , w e i n t r o d u c e t h e f b p , a n d m a k e s o me m o d i fi c a t i o n s w i t h c o n - s i d e r a t i o n s f o r t h e e ff e c t s o f t h e i n f r a r e d a n d u l t r a v i o l e t b e h a v i o r s o f t h e g l u o n 中国 科学技术大学博士学位论文 2 a p r o p a g a t o r . i n c h a p t e r 3 , w e i n t r o d u c e t h e r a i n - b o w s d e q u a t i o n a n d t h e s i m p li fi e d i m p u l s e s d e q u a t i o n， a n d m a k e s o m e c o m m e n t s o n t h e i r a p p l i c a t i o n s , h o w t o d e a l w i t h t h e p o s s i b l e p o l e s w h e n p e r f o r m i n g wi c k s r o t a t i o n . i n c h a p t e r 4 , w e h a v e a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o n t h e i n fr a r e d a n d u l t r a v i o l e t b e - h a v i o r s o f t h e r e n o r ma l i z e d q u a r k ma s s . t o c o m p a r e w i t h t h e o f t e n u s e d c o n s t i t u e n t q u a r k m a s s a n d c u r r e n t q u a r k m a s s ， t h e c o n n e c t i o n a m o n g t h e r e n o r m a l i z e d q u a r k m a s s , c o n s t i t u e n t q u a r k m a s s a n d c u r r e n t q u a r k m a s s i s g i v e n . i n c h a p t e r 5 , w e g i v e a d e t a i l e d d e r i v a t i o n o f t h e b s e q u a t i o n a n d i t s r e n o r - m a l i z a t i o n，t o s o l v e t h e b s e q u a t i o n , t h e b s a m p l i t u d e i s a n a l y t i c a l l y r o t a t e d i n t o e u c l i d e a n s p a c e a n d e x p a n d e d i n l o r e n t z i n v a r i a n t s o ( 4 ) e i g e n f u n c t i o n s . a s t h e l o w e s t a p p r o x i m a t i o n , t h e e u c l i d e a n b s e q u a t i o n i s p r o j e c t e d i n t o f o u r c o u p l e d i n t e g r a l e q u a t i o n s ，i n c a l c u l a t i o n , b a r e v e r t e x a n d s i m p l i fi e d d r e s s e d v e r t e x a r e u s e d , r e s p e c t iv e ly . i n c h a p t e r 6 ， w e c a l c u l a t e t h e n o n l o c a l i t y o f t h e q u a r k c o n d e n s a t e i n t h e f r a m e - w o r k o f s d e q u a t i o n , o u r r e s u l t s a r e c o m p a t i b l e w i t h o t h e r t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n s . i n c a l c u l a t io n , f b p， in fr a r e d m o d i fi e d f b p a n d d o u b le m o d i fi e d f b p a r e u s e d r e s p e c t i v e l y.t h e r e n o r m a l i z e d q u a r k m a s s i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e r e s u l t o f r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p , t h a t i n d i c a t e s i t c a n s e r v e a s a p o w f u l s u p p o r t f o r t h e d y n a m i c a l s y m m e t r y b r e a k i n g . i n c h a p t e r 7 , d e t a i l e d d e r i v a t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f o r m f a c t o r o f t h e m e s o n i s g i v e n ， a n d t h e k m e s o n e l e c t r o m a g n e t i c f o r m f a c t o r i s c a l c u l a t e d i n t h e f r a m e w o r k o f t h e c o u p l e d r a i n b o w s d e q u a t i o n a n d l a d d e r b s e q u a t i o n . t h e r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s . i n c a l c u l a t i o n , w e o b t a i n t h e r e n o r m a l i z e d q u a r k p r o p a g a t o r a n d t h e b s w a v e f u n c t i o n s w h i c h a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h o t h e r t h e o r e t i c a l r e s u l t s . i n c h a p t e r 8 , t h e k m e s o n e l e c t r o m a g n e t i c f o r m i n t h e f r a me w o r k o f v e r t e x . th e t h e c o u p l e d s d e q u a t i o n a n d b s e q u a t i o n f a c t o r i s c a l c u l a t e d w i t h t h e s i mp l i fi e dd r e s s e d r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s .i n c a l - 中国科学技术大学博士学位论文 3 a c u l a t i o n , w e o b t a i n t h e r e n o r m a l i z e d q u a r k p r o p a g a t o r a n d t h e b s w a v e f u n c t i o n s w h i c h a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h o t h e r t h e o r e t i c a l r e s u l t s . i n c h a p t e r 9 , t h e 7 r m e s o n e l e c t r o m a g n e t i c f o r m f a c t o r i s c a l c u l a t e d i n t h e f r a m e w o r k o f t h e c o u p l e d s d e q u a t i o n a n d b s e q u a t i o n w i t h t h e s i m p l i fi e d d r e s s e d v e r t e x . t h e r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s.i n c a l - c u l a t i o n , w e o b t a i n t h e r e n o r m a l i z e d q u a r k p r o p a g a t o r a n d t h e b s w a v e f u n c t i o n s w h i c h a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h o t h e r t h e o r e t i c a l r e s u l t s . i n c h a p t e r 1 0 ， g e n e r a l f o r m a n d d e t a i l e d d e r i v a t i o n o f t h e q c d s u m r u l e a r e g i v e n . a s a n a p p l i c a t i o n , t h e ma s s o f p m e s o n i s c a l c u l a t e d i n t h e f r a m e w o r k o f t h e r a i n b o w s d e q u a t i o n w i t h t h e i n f r a r e d m o d i fi e d f b p. t h e r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s . i n c a l c u l a t i o n , w e g e t t h e r e n o r m a l i z e d q u a r k m a s s w h i c h i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e r e s u l t o f r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p , t h a t i n d i c a t e s i t c a n s e r v e a s a p o w f u l s u p p o r t f o r t h e d y n a m i c a l s y m m e t r y b r e a k i n g . i n c h a p t e r 1 1 , w e g e t t h e c o n c l u s i o n t h a t , t h e f b p i s a s u c c e s s f u l m o d e l i n d e s c r i b i n g t h e s t r o n g i n t e r a c t i o n s . i t c a n b e e x t e n d e d t o o t h e r s y s t e m , s u c h a s q q s y s t e m , q q s y s t e m , v e c t o r m e s o n a n d q q q s y s t e m o r b y a p p l y i n g t h e r e s u l t s t o t h e c a l c u l a t i o n o f q u a n t i t i e s a n d p r o c e s s e s r e q u i r i n g d e t a i l e d k n o w l e d g e o f t h e q u a r k p r o p a g a t o r a n d t h e b s w a v e f u n c t i o n . 乃 赵 兮口五 二口 七 州-4 - _t _ 71 西 第一节b e t h e - s a lp e t e r 方程 我们知道，b e t h e - s a l p e t e r ( b s ) 方程是处理相对论两体问 题的最经典的方 法，许多人都曾做出过贡献. 第一个假设是南部做出的， 他凭物理直觉写出 了 梯型近似下坐标空间的 微分方程【 1 . 现在人们 常用的b s 方程由b e t h e , s a l p e t e r 基于费曼图 在1 9 5 1 年导出【2 ， 其理论基础是c e l l- m a n n 和l o w 技术 3 , 9 ，同时s c h w i n g e r 也独立提出b s 方程4 ， 他用的 是泛函积分的方法. 另一方面，k i t a 在1 9 5 2 年用s 矩阵的 方法得到了b s 方程5 .m a n d e l s t a m 在 1 9 5 5 年根据能量平面的 解析性也导出b s 方程6 ， 评述性文章见1 9 6 5 年 p h y s . r e v 7 . 自 从c e l l - m a n n 和z w e ig 提出 夸克假设， 大量强子的性质得到了 很成功的 解释 $ 1 . 基于非相对论的 理论计算都用了 很简单的假 设和近似， 比 如说: 夸克 振幅的可加性、i n s t a n t a n e o u s a p p r o x i m a t i o n 、n u ll - p la n e a p p r o x i m a t i o n 1 3 . 在1 9 7 0 年， g u t h 1 0 用 满 足m o r p u r g o 1 1 假 设 的 唯 象 势 研究 了 相对 论 形 式的 等质量夸克、反夸克束缚态. 他分析了束缚态的对称性， 并用数值求解了b s 方程， 但结果不是很好， 所求出的介子的电 磁半径比 实验值小得多， 而且没有 计 算电 磁形状因 子. 后来汪 克林 1 2 等人提出了 相对论 协 变的s c a l a r - s c a l a r 型 的平底势， 在b s 方程框架下， 克服了计算介子电 磁半径的困难， 但所得到的 电磁形状因子和实验符合得不好. 近来，g u p t a、m it r a , s in g h 1 3 提出 夸 克、 反 夸 克系 统的 束缚态 应该 是v e c t o r - v e c t o r ( ,y u ,y u ) 型的 ， 并解 释了 这 样做的 三 方 面 的 优点. 首 先， 对于夸 克、 反夸 克系 统的 束 缚态 ， 有自 旋为告 的 组分，v e c t o r - v e c t o r 型的囚 禁， 比 较显著的摹仿了规范变换的有效性， 这一点人们一直想通过含有胶子的标准 象空间积分的形式包括进来， 而s c a l a r - s c a l a r 型的则不能做到. 其次， 在7r 子 介内部自由夸克质量近似为零，它满足手征不变性. 其三，它和9 9 , 4 9 9 型 的囚禁有共同的起源相容. 但他们算出的7r 介子电 磁形状因子只在一个很小 的范围内 和实 验 符合得很 好( k 2 0 . 在轴规范下胶子的传播子呈下述 形式: 这里 其 中 : 一 哥 g m , ( q , y ) = ma i f l ( q , y ) mu v ( q ， 二 ) +凡凡i ( q , n ) , 二d u 。 一q u n +q v n u 9 n . _ 2 q u g v 个 了 下 ，一 一不万 ， k q t 1 ) n p , ( q ， 二 ) =6 u 。 一 几 拜 n ( 6 ) 是 轴 参 数 . 在自 由 的 情 况 下 ， 取f 1 二 赤 和凡= 0 . 中国科学技术大学博士学位论文 在轴规范下三胶子顶角的s l a v n o v - t a y lo : 等式 p a r a p , g p p ( 9 ) g , , ( r ) 二g p o ( r ) 一 g p o ( 9 ) ( 7 ) 它可把胶子传播子的纵向部分定下来了，但横向部分仍是不知道的. 便的 取 法 是略去 横向 部 分， 求 解s la v n o v - t a y lo r 等 式2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 ， 一种方 1 a a v =e a p (p , 9 , r ) + 日 ， 以 ( 4 , r , 夕 ) + wa p ( r , p , 4 ) , ( 8 ) 其中 一，_ 、: p v q 1 = -a lav kp , 9 , ” 一 ” a y i p f i (p 2 , yp ) 一 9 2 丽2 y , ) 砰 五 1p 2f i (p 2, ,yp) 1 v 2 f , ( a 2 , ti 9 ) l 9 v一p v i . . , 1 lp pa p一9 a p p 1 _ 2 一 2 , l y l 尸一一 y 它没有动力学的奇异性. 进一步可假定f 2 二0 ，以保证穿衣胶子传播子和自 由的有一样的张量结构. 把上述结果代入胶子真空极化张量的s d方程中， 减 除紫外发散，最后得到: 1 f 1 ( p 2 , y p ) p 2 + 命 f d 4 9 k (p , q , - ) f l (4 ,-yy ) 一 卜南f d 4 4 l (p , 4 , n ) f (9 ,yq )f (r ,1 * ) ( 1 0 ) 这里k和l 是复变函数， 其具体的值可见文献2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 1 . 立了一个不依赖于7 ， 且参数不多的f 1 ， 精确度可达几个百分点. 渐近行为: b a k e r 等人建 它有如下的 f (p 2 , yp ) p z.o 1p 4 f t (p 2 , 7 p ) p2.;- 1 p 2 ( lo g p 2 ) 一 桔 ( 1 1 ) 在求解s d方程时， 另一种比 较流行的做法是取朗道规范 7 4 , 7 5 , 7 3 , 2 6 1 ( 对此详细的讨论， 见文献4 1 ) 下的 胶子传播子. 这里我们 给出 协变规范下 的一般情况，朗道规范只是其中一个极限. 中国科学技术大学博士学位论文 在协变规范下。完全的胶子传播子取如下的形式: 。 ， _ 、 _9 (p ) ;p a p ,. 1 p /1 p 1 u , k p ， 一石 不lu t - - . p z - j t 、 习 ( 1 2 ) 其中g 是胶子的重正化函数.由于理论分析的极其复杂， 这里只给出最后结 果 7 3 其中 。 二 一 a p 2 、 cj oo (p z )。 。 。二 牛了 。 p n 二 p “ 十p o ( 1 3 ) ， ， 。 ( “ ) ， ， p z 、 _ 2 8 . 1 jc - (p ) 一 ( 十 舔 lo g 十 一 53 ) 一 ，(1 4 ) 这里p 是重正化点，a. p o , a n , b 可 根据积分方程的自 洽性确定，f 是 夸克味数. 另外: 在文献 2 8 , 2 9 , 3 0 , 3 1 , 3 2 中， 也假定了导致夸克囚禁的 胶子传播子 在小动量时可近似为1 / k 9; 基于朗道规范、 轴规范的格点计算和基于轴规范 理论 计算， 也证明了 这一 点3 3 , 3 4 . 如果我们 用g ( k 2 ) 、 户) ( k ) 来代表胶子的传播子， 并不和上述讨论矛盾， 它依 然说明了 夸克囚 禁， 只 不过换了 一 种 正 规 化的 说 法!3 5 , 3 6 , 3 7 . 实际 上， 量子引力中也经常采用这种方法 叫 . 在我们 后来的工作中， 考虑到胶子传播 子的红外行为， 对平底势实行了修正， 即加入一个b 函数项. 第二节紫外修正 在大动量时， 我们知道， 由 于渐近自 由 性质， 胶子的传播子可用重正化群 的结果. 这里我们取双圈重正化群的结果作为对平底势的紫外修正， g ( k 2 ) 二 1 6 7r a 3 、 3 k16 7r23 d 二 一 一 冲 - . 下 不 - 1+ 口 k l n .( - q c d ) - l n l n ( - - t -a - c 石 l n ( 一厂 一 gz 升 ，( 1 5 ) 这里 0 2 二天了 5 54 ( 1 6 ) h一2 一 rj 11-qj - 局 中国科学技术大学博士学位论文 其中j 是夸克的味数， 取为6 . a q c d 是 q c d标度参数， 渐近自由性质表明 对于动量大于几个g e v， 取a q c d 二2 0 0 m e v是和实 验相符合的 3 8 . 把不同的模型结合起来， 我们得到由 三部分组成的唯象势3 9 , g ( k 2 )= 1 6 7 , 2 ,d -1 i t十 b s - ( k+x o ) l 川a t 一 +x o ) -lc口 l n l n ( _ z n + x o ) qld 灭 k 冬+ x 。 ) - v c 刀 ， - ，a;， _、 ， a， 。 、 ， +), i 一 下 万 ; 下 下 一 二 2+( l 7 7 ) - d l ( k ) j = 0一 十 1 v 十7 n ) ( 1 7 ) 这里77 是表示红外修正大小的量. 在汪老师和完老师以前所做的工作中，发现它在计算7 r 介子的电磁形状 因子、电磁半径、衰变常数时，能取得和实验符合的极好的效果. 中国科学技术大学博士学位论文 第三章 s c h w in g e r - d y s o n方程 在完全的顶角和传播子的情况下，夸克传播子的s d方程呈如下形式: s - 1 ( p ) =7 p 一 f n +( 2 , 7 ) 4j d 4 k y s (k )r g k (k 一 ， )，(1 8 ) 这里 s - ( p )= a (p 2 ) y . p 一 b v) 三 a (p 2 ) y - p 一 二 ( p 2 ) 1 ,( 1 s ) g , (k ) = 一 、 。 ， 一 k k 2 0 1 g (k 2 ), 这里仇代表明显的质量破缺项，r 。 代表完全的顶角. ( 2 0 ) 为了消除发散， 这里我 们 取朗道规范.唯一确定r 。 的方法是联立求解顶角的s d方程叫 ， 这里我 们不采用这种方法. 根据可重正化的一般原理， 即考虑到圈图修正后的等效拉氏量， 如果能保 持原有拉氏量的对称性， 诸如:cp t等， 就可以引入抵消项， 把费曼积分中 的 无穷 大消 去.( 对此简明 而 扼 要的 论述， 见w e i n b e r g 量 子场 论卷二4 0 ) 其中 最主要的一条， 就是它必须满足s l a v n o v - t a y l o r 等式. 下面采取q c d中 的v e r t e x a n s a t z 4 2 ， 4 u r l ( k , p ) 1 + b ( 4 2 ) 1 = 1 一 b ( 9 , p ) s - ( k ) 一 s - ( p ) 1 一 b ( 4 , p ) , ( 2 1 ) 这里9 二k - p , b ( 护 ) 是鬼粒子的自 能b (p , 4 ) 是鬼粒子的 散射核， 限制着 顶角的纵向部分. 如果忽略掉鬼粒子， 那么就得到了量子电 动力学中的w a r d - t a k a h a s h i 恒等式。从而可用电 动力学中顶角分析得到的结果4 3 , 4 4 , 4 5 , r , ( k , p ) = r a c ( k , p ) + r c p ( k , p ) ,( 2 2 ) 这里 r a c ( k , p )_ a ( p ? ) + a ( k 2 ) 。 ，。 二 一2 ( p +k ) a p 2 一k 2 a ( p 2 ) 一 a ( k 2 ) 7 p+7 k 2 b (p 2 ) 一 b ( k 2 ) , p 乞 p ( k , p )二 ,y u ( k 2 一 p 2 ) 一 ( p + k ) ( 7 k 一 -y p ) 2 d ( k , p ) (a ( k 2 ) 一 a (p 2 ) , ( 2 3 ) 中国科学技术大学博士学位论文 d ( k , p ) 一1 两 (、 2(k2 + p 2) (k 一 )2 + : 2 2+ b z(k2) + b 2 2 (p 22) )2. (24) 在 这 些 方 程 中 ，r b 。 是b a l l- c h iu 顶 角4 3 ) ， r c r 是 后 来c u r t is 和p e n n i n g t o n 发现加上去的4 4 ) .当然， 还可以加入许多横向 部分， 这要根据具体情况而 定.在人们一般的计算中， 从上面的完全顶角中，取r b a 就足够了. 通过分析，我们可以 发现上述完全顶角不但满足w a r d - t a k a h a s h i 等式， 而且没有动力学奇异性;当没有相互作用时， 可退化成裸顶角. 也许有人要问，能不能以下述传播子直接代人而不求s d方程呢? s - ( p ) = 7 1 p 一 m ,( 2 5 ) 其中m是组分夸克质量. 如果作为一个粗略的近似是可以的， 但实际上是有问题的. 根据重正化群 的分析， 夸克质量随着动量而演化， 当动量很小时， 会趋于无穷大， 所以人们 从没观测到自由的夸克， 而动量很大时， 又趋于渐近自由的流夸克质量. 如果 单纯以组分夸克质量代人， 显然不能满足要求. 实际上， 我们用s d方程得到 的穿衣的夸克传播子，已 经包含了组分夸克质量，即。 回 =b 伽 ) / a 伽 ) 在动 量比 较小时， 可认为是组分夸克质量， 这里可能引起的争议解释在后面的章节 中;而当大动量时，趋于渐近自由. 我们可以用一个粗略的分析， 把上述顶角大大简化.r b c中第二和第三 项可近似认为是微分项， 从文献 3 9 中的s d波函数图 上可看出它们 是很小 的， 可略去， 而且在wi l l i a m s 4 6 ) 的 文章中， 也是这徉处理的. 在本文中 所涉 及的完全顶角， 都是用下面的简化顶角代替， r (k ,p ) = a (p 2) + a (k 2 ) ,y .2 ( 2 6 ) 下面给出在裸顶角，即通常所说的彩虹近似下的s d方程的解. 在本文 中， 我们假设s d方程中的积分变量可以从阂氏空间中解析的转动到欧氏空间 5 5 ) . 实际上， 这样做可能会遇麻烦， 即可能会遇到奇点. 由 于 夸克囚禁， 在 类时的轴上不会遇到奇点， 但对类时轴上方的复数区 域可能的奇点; 我们可以 把积分变量转动到接近它的地方， 从而求解一个复的s d方程， 这样更符合物 中国科学技术大学博士学位论文 理实 际14 7 1 . 另一 方面， 我们 也可以 用欧氏 空间 中 的 路 径积 分直 接 得到欧氏 空 间中的s d方程， 从而避免一切维克转动可能遇到的 麻烦14 8 ) 。 下面把动力学 变量p 的 s d 4 解析的转到欧几里德空间 并用p . 4 来表示， 然后把欧氏空间中 方程化为a ( p 2 ) 和b ( p 2 ) 的两个锅合方程组， a ( p 2 )= 1 + (2 ) 9 p 2 f a t a ( k 2 ) g 1 ( k 一 p ) 2 1 l “ ti k 2 a 2 ( k 2 ) + b 2 ( k 2 ) (p k 十2 p - (k - p ) k ( k - p ) 1 ( k一p j z b ( p 2 )二 m+止 1 / 【 2 , , 、 任j ( 2 二 )( 2 4 d 4 kb ( k 2 ) g ( k 一 p ) 2 ) k 2 a 2 ( k 2 ) + b 2 ( k 2 ) ( 2 7 ) 在求解s d方程时，引入一个质量标度参数a q c d 把变量无量纲化是很重要 的， b (p 2 ) =b ( p2)a q c da q c d a q c d 二 aqc d ( 2 8 ) 由 于k o , k i , k 3 , k ; 是对称