（基础数学专业论文）含m型算子的变分不等式解的存在性及应用.pdf

摘要 摘要 本文中，y 是自反b a n a c h 空间， 是r 的有界、闭、凸子集我 们研究包含( ，) 型算子的变分不等式问题，v r v ，求“ ，使 一，t ，一zr ) 2o ，其中r 是一个有限连续、( 1 型、有界集值映 射利用i i l 讣i 映射和g w i n n e l 川定理，我们得到了该变分不等式可解性的 结果最后讨论了它的应用 关健词 变分不等式，( ，) 型算子，i 、i n 】映射，变分解，全连续算 子 函 i v a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r j ? d e n o t e s ar e a lr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e ，kc l i sb o u n d e d 、c l o s e da n dc o n v e x a p p l y i n gs o m er e s u l t s o fk k h i m a p p i n g a n dg w i n n e r l st h e o r e m s ( c f 1 】) ，w ep r o v e t h ee x i s t a n c e o fas o l u t i o no ft h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m si n v o l v i n gt h e o p e r a t o ro ft y p e ( m ) ：w h e t h e ro r n o tt h e r ee x i s t sa “kf o l v ，x + s u c ht h a tf o ru ) t u w eh a v e ( 札j 一，t 一“) 0 f r o m t h i sw ed i s c u s si t sa p p l i c a t i o na tl a s t k e yw o r d sa n dp h r a s e s v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s - m a p p i n g o ft y p e ( m ) ，k k mm a p p i n g ，w r i a t i o n a is o l u t i o n 、c o m p l e t e l y c o n t i n u o u sm a p p i n g i i 含f m ) 型算子的变分不等式解的存在性及应用 1 预备知识 变分不等方程理论是由s t _ m n p a c c h i a 和f i c h e , a 等人在研究力学和位势 理论过程中导出的后来被许多学者发展，成为非常有用的应用数学分支( 见 【2 】、【3 、 4 】) 目前，这一理论已成为研究很广泛的一类线性和非线性问 题的有效工具如控制理论，优化理论，偏微分方程和经济数学等 本文中，我们用。y 表示自反b a n a c l l 空间，、r + 是。y 的对偶空间，( ，- ) 表示x 和x 。之间的配对定义t ：k 一2 f 是( ，) 型算子，讨论是否存 在j ，使v f x + ，t x ，有 ( t p 一，一j ) 0v g ( 1 ) 若存在上述r ，则称r 为变分不等式 1 ) 的解我们知道。变分不等式解的 存在性与抽象方程t x = f 的可解性及泛函极值问题的可解性是等价的( 参 5 j ) 算子a ： 一x + 被称为( 4 ) 型的，若对任何序列( n 。 c ，当 t h 一“e 且l i r as u p 。f 4 u 。，t 。一“) 0 时，有“。_ “；4 被称 为d e m i 一连续的，若a 从一的强拓扑到x + 的弱拓扑连续； 被称为紧 的，若a 连续且映 中的有界集为相对紧集 a 被称为单调的，若对任何 c u h ，有( 4 u a v “一”) 01 4 被称为弱连续的，若对任何序列 “。) 且t h 一虬有a t 。一4 u ； 被称为全连续的，若对任何序列 ， 且t k 一“，有“。_ 。扎 算子t ： 一2 f 被称为( ，) 型的，如果对任何序列“。 c ， 当t 1 。一“，u h t u 。，叫。一u _ i 且f i r e 鲫m 。( t ，“。一c 1 ) s0 时，有 t u ；t 被称为伪单调的，若对任何序列和。) ，当t 。一l t u 。 且l i r as u p 。_ + ( t 上h t t 一“) 0 时，有l i r a i n 一t “。，地、一 ) ( ，u u ) ， v f 川t “ 河北大学斫士学位论文 定义1 1 ( 【2 中定义3 1 3 ) 设q - 和是两个拓扑空间一1 ：，。一2 5 ， 被称为上半连续映射，若对任意的一。，和- 吣。) 的任意开区域l c q ：， 存在。o 的邻域ucs l ，使a ( u ) c 卜 定义1 2 ( 2 】中定义7 2 )设是b a n a c h 空间，gc y 是闭、凸 集t ：g 一2 f 被称为有限连续映射若下面的条件成立。 ( a ) d ( t ) = g ，对任意的t g ，t ( x ) 是非空、闭、凸的 ( b ) 对g 的每个有限子集f = p l 、地_ t ，若g ，是，的凸闭包， 则t 是从g ，到2 的上半连续映射 定义1 3 设x 是个线性空间，g 是y 的子集t ：g 一2 x 被称为 i i k m 映射，若对g 的任意有限子集( 、r 。r ：z 。) ，有( 0 ( f 1 i 一2 h ) c u 坠l t ( , r 1 ) ，其中c o ( x l ，t ”) 表示( t 1 t 2 l ，；) 的凸壳 下面的引理是g w i n n e r 1 中的定理 引理1 1 设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，c y 是闭集若 t ：一2 z 是k k m 映射且满足， ( i ) 妇，t ( x ) 是有限闭的即对一的任意有限维子空间f ，f n r ( f ) 是闭的 ( i i ) 存在t 。，使t ( r 。) 是一中的紧集 ( i i i ) 对任意包含。的有限维子集d = h nf ，其中，是、，的任意包 含。o 的有限维子空间，有n e d t ( y ) nd = n v e o t ( t j ) n d 则n 。e d t ( y ) d 2 含f m ) 型算子的变分不等式解的存在性及应用 2 主要结果 定理2 1 设x 是自反b a n a c h 空间，cx 是有界、闭、凸集 t ：一2 p 是有限连续、( ) 型、有界映射则v f v 。，变分不等式 ( w d 一，”一“o ) o 帕e ( 2 ) 有解o ，1 0 0 t u o ， 证v t ，设g ( t ，) = peh ：( 一f ，c ，一“) 0 r 首先证g ( v ) ： 一2 x 是i 2 k m 映射 否则，存在有限集( 1 2 ，h ) c ，使c o ( u l ，f 2 ，虮) 茌u i = 1 g ( 虮) 因此存在多= e l - 1 u i y l ( 其中胁 o 1 2 7 = l “= 1 ) 且；掣u 墨l g ( 雏) ，即 ；型c ( y ) ( i ：l ，2 ，n ) 所以有“w et ；，使( 罚一，们一；) 0 ，e l - 1 i = l ，有 蔷一f ，坠l 凡非一；) 0 ， 特别令凡= t ，则( 西一f ，；一多) 0 ，矛盾! 下面证引理1 1 的条件 ( i ) w t ，g ( 。) 有限闭 令fcx 为有限维子空间取 u 。) cg ( t ) nf ，使一【l ，要 证“g ( r ) nf 因为t t u 。时，有【 c 。一，、f f f ，。) 20 t 有限连 续，g r ) n fci t n f ，h n f 在有限维子空间是有界、闭、凸的，所以 t ：i fnf 一2 f 上半连续，则有 t “且w 。一t u ，因此 而 0 ( u k f ，。一札。) m - ( t u 。，r u ) + t 蜥。，c l t t 。) 一 ，l 。一t t 。) 【w 。，。“) _ ( 1 1 3 ，。一“) ，( t 】。，“一u 。) _ 0 ，( f ，z 一“。) _ ( ，d 。一“) 所以( u ) 一，r 一“) 20 ，即“g t ) nf 3 河北大学硕士学位论文 ( i i ) x 自反，所以乏再酉c 是弱紧的注意到在有限维空间强拓扑与 弱拓扑一致，所以当给y 赋予弱拓扑时，满足引理1 1 的条件 ( i i i ) 令d = f nk ，其中f 是包含z 。的有限维子空间 取 。) cn 。d g ( y ) 且? 。一。即v d 扣。) cg ( 】【司此有 w 。t x 。且( t f 】。一，y 一。) 0 又因为丁有界， 、，自反，所以存在 的子列( 不防仍记作 t a 。) ) 弱收敛设w n 一 ，则令y = r ，有 l i ms u p ( w 。，z 。一z ) l i r as “p ( ，。一 ) = 0 ，由t 是( m ) 型的，知w 丁n 因此0 ( w n f ，y x 。) = ( w n ，y 一 t ) + ( 1 1 ) 。，x x 。) 一( ，y 一“；】，而 ( t u 。，一r ) + ( w ，y z ) ，( t u 。，t r 。) 0 ，( ，、y f n ) - ( ，一f ) 所以( u 1 一，y 一。) 0 ，即t n 。d g ( 目) 即万i 五i 石丽n d = ( n d g ( y ) ) n d 则由引理1 1 知n 。e k g ( x ) 0 ，即变分不等式( 2 ) 有解 在上面定理的证明过程中，我们参考了h e z h e n 7 】 下面的推论可由p a s c a l i 5 中第三章第五节中的结果导出 推论2 1 将定理2 1 中算子的( m ) 型条件改为伪单调条件，则结论 仍然成立 证 由 5 】知任何伪单调算子是( ，) 型的 推论2 2 设是自反b m a a c h 空间，凡c y 是有界、闭、凸集 丁： 一x 4 是d e m i 一连续、( 鼻) 型、有界算子，则v f x ，变分不等式 ( 2 ) 有解 证 由【5 】知，任何d e m l 一连续、( ) 型算子是( ，) 型的 推论2 3 设x 是自反ba 1 1 a c h 空间，cx 是有界、闭、凸集 t ：k x 。是d e m i 一连续、( 叶) 型、有界箅子c 1 ：一x 是紧算子， 4 含( m ) 蛩算子的变分不等式解的存在性及应用 则v f x + ，变分不等式 ( t u o + c u o f ， 一“o ) 20 ，e 有解o i f 证由( 5 1 。知，t + e 是d e m i 一连续、( m ) 型、有界的 ： 推论2 4 设x 是自反b a n a c h 空间，cx 是有界、闭、凸集 r ：一x - 是( 彳) 型算子，p ：一x + 是单调、弱连续算子且t + c 是 有限连续、有界的，则v ，x + ，变分不等式 。一 f 尸! - l 河北大学硕士学位论文 证 令丽可可表示半径为凡的闭球则 r = 可可币n 是v 中的 有界、闭、凸集由定理2 1 知存在t t r a r ，使vc 慷 只和t u r t i t r ， 有 ( t “尺一f ，掣凡一“凡) 0 ( 4 ) 因为0 r ，所以有( u ，r f ，u r ) s0 由条件( 3 ) 知 “r 鲫圳有界， 可设l l “凡| | sc ( c 为常数) 又对任意t - h ，取o ( 0 ，1 ) 充分小。使 u 月= ( 1 一a ) u r + o u ，代入( 4 ) 式，我们得到o ( t u 凡一f ， 一t 唬j 0 ， v u k 消去a ，得( t u r f ，u u r ) 0 ， v ”k 则a i r = o ，r = o 为( 2 ) 式的解 注2 1 将推论2 1 到推论2 5 中的条件改为上述定理中的相应条件， 则结论仍然成立 6 含( m ) 型算子的变分不等式解的存在性及应用 3 应用及举例 设nc 舻是一个有界区域且s o b o l e v 嵌入定理成立，考虑方程 a u ( x ) + g ( t t l ( t ) j = f ( x ) r f 2 的可解性问题我们设 a u = ( 一1 ) 1 。1 矿a 。( ，( “) ) ( “) = d 。i d lsm ) i a l 蔓m 其中如：n 尉吼n r 满足c a r a t h e o d o r y 条件，即对第一变元可测，对第 二变元连续又存在l p + o o ，使l 凡( 。，) i c ( t ) l 1 9 _ 1 + ( t ) ，这里， p ( n ) ( ；+ 了1 = 1 ) ， c l 。( n ) 非负 又设是x 的有界、闭、凸子集且满足x = w 丁p ( n ) 或、r = “9 ( n ) ， 定义 嘶。2 l 量胁h _ “心圳矿 沁t 讯 ”引i 由于 球胚l 岳加沁) 1 ( 1 p - i + h m 沁肘 2 s 妒( | | “l i 。，) 1 1 t 1 1 。， 其中妒( r ) = c r 一- 1 + l i h l l 一因此a ( u ，t ，) 决定了一个有界、连续算子五：一 x 使得 ( n “，t ) = “( “，t ，) v u ， l 。 取 = ( t 7 ，) 使7 7 = 矗：川 ，c = 矗：川= m ) 当 。，7 ，( ) 满 足川 0 对所有的c ( 7 ，r n 和 叩月- n “成立时，p a s c m i 5 l 中第六章第2 3 节证明了此时乃是d e m i 一连 续、( 凡) 型、有界映射 ， 河北大学硕士学位论文 再考虑函数g ( x ，z ) ：n r 一月满足以下条件 ( i ) g 满足c a a a t h e c d o r y 条件 ( i i ) l g ( x ，t ) i ! m ( 。) + c i t l 。，7 7 l ( j ) 工一( n ) 、0 口 p l ，c2 0 ( i i i ) g ( x ，) z 0 ，a t 5 t n f r 定义映射疋：一x 为 ， ( 乃帆= g ( r ，“ r ) ) t ，( r ) d r ，i j 由嵌入w 。( n ) 一胪( n ) 的紧性可知乃是全连续的。因此是紧算子 定理3 1 设五，噩为上面定义的算子， c y 为任意内部非空、有 界、闭、凸集则v f x + ，方程4 i 4 ( f ) + 9 r l i l 【f ) ) = ，( r ) 在、中有变分 解存在 证定义n 、疋如上，则可由推论2 3 知乃+ 乃是有界、连续、( m ) 型映射，v f x ，存在u o ，使 ( 正u o ( x j + 正t 6 0 ( a 。) 一，t 1 一u o ( f ) ) 0 v t l ( 6 成立即方程4 u ( r ) + 9 ( n “( t ) ) = ，( ，t ) 的变分解存在若t m ( 。) 是的内点，则 ( 6 ) 式可推出v ：y ，( l t o r ) + t 2 i t o r ) 一 ，：) = 0 ，即n t f u ( r ) + ? j t f u _ 1 ) = 特别地，我们设a u = 一鉴1d i , 4 t ( t “，v u ) 满足 nn a i ( x ，t ，c ) a c 0 k , l ，矗= d i u ，= ( “，c 。( ) 、q 为常数 ? ) i = 1i = 1 对几乎所有的z n 和( t ，( ) 冠x ，成立，则我们还可以进一步得到方程 有解的充分条件此时，定义 a u + g ( x ，) = ， 9 + ( r ) = l i m i n f t 一+ 。g ( b f ) ，9 一( 。) = l i m , s t e p t 州9 ( f ) ( 9 + 和9 一可能取到+ o 。和一o o ) ( 8 ) 含 m ) 型算子的变分不等式解的存在性及应用 定理3 2 若对任何f y ，不等式 n g d 。 0 对w t u 和| l t 成立否则，存在序列扣。) 使l l ”。| | 一o 。时，有 ( t 一f ，t t 。) 0 令”。= 丌：，则1 1 i l = 1 有界由y 自反可知一r 在、，中成立 i | “n | l 而又因为嵌入n p ( n ) 是紧的，我们知t t 。一 在l p ( f 1 ) 中成立从而 c k ( t ) + u ( t ) ，“f t n ，即 c 。上耋旧删蚪南 上如州。) v n d x - ( “圳曼。) 因为g ( z ，“n ) u n2 耐玎g ( 。，u n ) t k2 o 且瓶瑞河( ) _ o ，所以 矗墨1i d i v 。i p d x o ( 1 一。) 又忙；| | = 1 ，所以一f = o 0 由【) 式有 l i r as u p 上如) 刑r 0 ，因为“。= 。i k o o ，由f a t o u 引理。有 上n 州、rsm “”，上外n 小，一“ 9 。0i叠硼 i_ ：_l量i女l薯i i0，1 河北大学硕士学位论文 所以，ng + v d x 矗f v d m ，进而矗9 + d r 矗i d a l 相似的讨论o t 0 ，有如g - d r ，n f d n 都与条件( 9 ) 矛盾因此方程( s ) 有变分解 注3 1 p 拉普拉斯算子。4 u = 一d i v ( 1 v “l 一_ 2 v “) 即为满足上述条件的 算子因为【6 】已证明了4 是伪单调算子，因此是( ，) 型的又 蚤ni v u r 2 瓦o u 面o u = i v u r 2 薹( 鲁) 2 = l v p 满足条件( ? ) 因此满足定理3 2 参考文献 参考文献 1 j g w i n n e r o nf i x e dp o i n t sa n d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s - - a c i r c u l a rt o u r ，n o n l i n e a ra n a l v 0 1 5n o 5 ( 1 9 8 1 ) 5 6 5 5 8 3 2 f e b r e w e r ，n o n l i n e a ro p e r a t o r sa n dn o n l i n e a re q u a t i o n so f e v l u t i o ni nb a n a c hs p a c e s ，p r o c s y m p p u r em a t h a m s v o l1 8 ( 1 9 7 6 ) 3 j l l i o n s n o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yv a l n ep r o b l e m sa n d a p p l i c a t i o n s ，g r a n d l e t u r eb1 8 1 s p r i n g e rb e r l i n ( 1 9 7 2 ) 4 e z e i d l e r ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p p