初三数学专题讲义折叠和对称.doc

初三数学讲义寒假专题探究：折叠和对称问题 教学过程：一、教学衔接（课前环节） 1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见； 2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析 翻折和对称问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。例题解析例题1. （2012海南省I11分）如图（1），在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.练习1已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（）如图，当BOP=300时，求点P的坐标；（）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）例题2. 在直角坐标系中，C(2，3)，C(4，3)， C(2,1)，D(4，1)，A(0，)，B(，O)( 0). （1）结合坐标系用坐标填空 点C与C关于点 对称; 点C与C关于点 对称; 点C与D关于点 对称 （2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若PAB的面积等于5，求值练习2已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB=4PD例题3.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由练习3已知：如图，抛物线y=a（x1）2+c与x轴交于点A和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）巩固练习1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合（1）求证：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的长2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3的顶点为M（2，1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2PB2PC235，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积例题1. （2012海南省I11分）如图（1），在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA）。（2）证明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC， FNEM。四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF中，FEMEFM。FMEM。四边形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 设DN=x，则由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。过点N作NHAB于H，则HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四边形NMQP是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2。【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到ANDCBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设DN=x，则由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=。过点N作NHAB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。练习1. （2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（）如图，当BOP=300时，求点P的坐标；（）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（）根据题意，OBP=90，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）点P的坐标为（ ，6）。（）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）点P的坐标为（，6）或（，6）。【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）根据题意得，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点P作PEOA于E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值： 过点P作PEOA于E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。将代入，并化简，得。解得：。点P的坐标为（，6）或（，6）。例题2. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C(4，3)， C(2,1)，D(4，1)，A(0，)，B(，O)( 0). （1）结合坐标系用坐标填空 点C与C关于点 对称; 点C与C关于点 对称; 点C与D关于点 对称 （2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若PAB的面积等于5，求值【答案】解：（1）（1，3）；（2，2）；（1，2）。（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），PAB的面积=（1+a）6a21（6a）=5，整理得，a27a+10=0，解得a1=2，a2=5。所以，a的值为2或5。【考点】网格问题，坐标与图形的对称变化，坐标与图形性质，三角形的面积。【分析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可：由图可知，点C与C关于点（1，3）对称； 点C与C关于点（2，2）对称；点C与D关于点（1，2）对称。（2）先求出点P的坐标，再利用APB所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解。练习2. （2012广东珠海9分） 已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB=4PD【答案】解：（1）PO与BC的位置关系是POBC。（2）（1）中的结论POBC成立。理由为：由折叠可知：APOCPO，APO=CPO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A与PCB都为所对的圆周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）证明：CD为圆O的切线，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。由折叠可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO为等边三角形。AOP=60。又OPBC，OBC=AOP=60。又OC=OB，BC为等边三角形。COB=60。POC=180（AOP+COB）=60。又OP=OC，POC也为等边三角形。PCO=60，PC=OP=OC。又OCD=90，PCD=30。在RtPCD中，PD=PC，又PC=OP=AB，PD=AB，即AB=4PD。【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】（1）由折叠可得，由AOP=POC ；因为AOC和ABC是弧所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得AOP=ABC；根据同位角相等两直线平行的判定，得PO与BC的位置关系是平行。（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出APO=CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到A=APO，等量代换可得出A=CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到A=PCB，再等量代换可得出COP=ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行。（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OCCD，又ADCD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OCAD，根据两直线平行内错角相等得到APO=COP，再利用折叠的性质得到AOP=COP，等量代换可得出APO=AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出AOP三内角相等，确定出AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60得到AOP=60，由OPBC，利用两直线平行同位角相等可得出OBC=AOP=60，再由OB=OC，得到OBC为等边三角形，可得出COB为60，利用平角的定义得到POC也为60，再加上OP=OC，可得出POC为等边三角形，得到内角OCP=60，可求出PCD=30，在RtPCD中，利用30所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC=圆的半径OP=直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证。例题3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点， ，解得：。抛物线解析式为。当y=2时，解得：x1=3，x2=0（舍去）。点D坐标为（3，2）。（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2）。当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2。代入抛物线的解析式：，解得：。P点的坐标为（，2），（，2）。综上所述：P1（0，2）；P2（，2）；P3（，2）。（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方。设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（），当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=。又CQO+FQP=90，COQ=QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP，即，解得F Q=a3OQ=OFF Q=a（a3）=3， 。此时a=，点P的坐标为（）。当P点在y轴左侧时（如图2）此时a0，0，CQ=a，PQ=。又CQO+FQP=90，CQO+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=QFP=90。COQQFP。，即，解得F Q=3a。OQ=3，。此时a=，点P的坐标为（）。综上所述，满足条件的点P坐标为（），（）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标。（2）分两种情况进行讨论，当AE为一边时，AEPD，当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标。（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（），分情况讨论，当P点在y轴右侧时，当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可。练习3. （2012湖南益阳10分）已知：如图，抛物线y=a（x1）2+c与x轴交于点A和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）【答案】解：（1）P与P（1，3）关于x轴对称，P点坐标为（1，3）。抛物线y=a（x1）2+c顶点是P（1，3），抛物线解析式为y=a（x1）23。抛物线y=a（x1）23过点A，a（1）23=0，解得a=1。抛物线解析式为y=（x1）23，即y=x22x2。（2）CD平行x轴，P（1，3）在CD上，C、D两点纵坐标为3。由（x1）23=3，解得：。C、D两点的坐标分别为。CD=。“W”图案的高与宽（CD）的比=（或约等于0.6124）。【考点】二次函数的应用，翻折对称的性质，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用P与P（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。（2）根据已知求出C，D两点坐标，从而得出“W”图案的高与宽（CD）的比。巩固1. （2012广东汕头12分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合（1）求证：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的长【答案】（1）证明：BDC由BDC翻折而成， C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。设AG=x，则GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=。（3）解：AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD。HD=AD=4。tanABG=tanADE=。EH=HD=4。EF垂直平分AD，ABAD，HF是ABD的中位线。HF=AB=6=3。EF=EH+HF=。【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。【分析】（1）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在RtABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tanABG的值。（3）由AEF是DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tanABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。巩固2. （2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3的顶点为M（2，1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2PB2PC235，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。【答案】解：（1）抛物线yax2bx3的顶点为M（2，1）， 设抛物线的解析式为线。 点B（3，0）在抛物线上，解得。 该抛物线的解析式为，即。（2）在中令x=0，得。C（0，3）。 OB=OC=3。ABC=450。 过点B作BNx轴交CD于点N（如图）， 则ABC=NBC=450。 直线CD和直线CA关于直线BC对称， ACB=NCB。 又CB=CB，ACBNCB（ASA）。 BN=BA。 A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），A（1，0）。BN=BA=2。N（3，2）。设直线CD的解析式为，C（0，3），N（3，2）在直线CD上，解得，。直线CD的解析式为。（3）设P（2，p）。 M（2，1），B（3，0），C（0，3）， 根据勾股定理，得，。 PM2PB2PC235，。 整理，得，解得。 P（2，2）或（2，）。 当P（2，2）时，直线OP与该抛物线无交点；当P（2，）时，直线OP与该抛物线有两交点。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的顶点式，用待定系数法求解。 （2）由直线CD和直线CA关于直线BC对称，构造全等三角形：过点B作BNx轴交CD于点N，求出点N的坐标，由点B，N的坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式。 （3）设P（2，p），根据勾股定理分别求出PM2、PB2和PC2，由PM2PB2PC235，列式求解即可求得点P的坐标（2，2）或（2，）。 当P（2，2）时，直线OP的解析式为，与联立，得，即。=912=30，无解，即直线O