（概率论与数理统计专业论文）分组数据下两参数指数分布的参数估计.pdf

摘要 随着社会和科技的发展，产品的可靠性越来越受到人们的重视由于一种产品 的寿命是一个随机现象，所以确定一种产品的可靠性的指标最后都归结为一个统计 推断问题，为了弄清被测试产品的寿命分布，求出各项可靠性指标以便对产品可靠 性的改善提出建议，常常需要进行寿命试验，两分组数据是寿命试验中常见的一类 不完全数据对一批数量为寿命服从某确定分布的产品样本进行试验时，分别在 0 = 瓦t 正c c 瓦一，c 疋= 。o 时刻检测，每次的观测我们都会得到在【l 。r i ) 时段 内失效的产品数n ，最后所能得到的就是n ，( ，= 1 ，2 ，) 这样的分组数据假 设已经知道样本服从包含未知参数的分布，我们所要解决的就是在分组数据下估计 这个分布的未知参数 由于分组数据的易于缛到，它在统计推断闯题中越来越受到人们的重视，分组 数据下许多常见分布的参数估计的方法被不断提出来但是目前讨论分组数据下二 参数指数分布的参数估计文献却较少，本文考虑了分组数据下二参数指数分布的极 大似然估计问题，将个别的样品失效数据和分组数据结合起来得到了二参数指数分 布的极大似然估计，并把这个极大似然估计与顾益明( 2 0 0 1 ) 给出的分组数据下双参 数指数分布参数的近似极大似然估计运用蒙特卡罗模拟进行了比较结果证实了在 大样本情形下本文所提出的参数极大似然估计对二个参数的估计效果更好；进而在 本文最后证明了对于每次寿命试验，本文提出的极大似然估计的存在与唯性，而 上面的近似极大似然估计则有可能不能求出 关键词：分组数据；两参数指数分布；参数估计：极大似然估计 a - b s t r a c t w i t l i1 h cd e v e l 叩m c n io fs c i e n c ea n dt e c h n o l o 吕y ，p e o p l ea t t a c hm o r ea n dm d r e i m p o n a n c ct oc h er e l i a b j l i t yo fp r o d u c t i o n b e c a u s et h el j f eo ft h ep r o d u c i j o ni s a s t o c h a s t i cp h e n o m e n o n ， i tc o m e st oas t a t i s t i c a li n f e r e n c ep m b l c mt h a tw et r yt o d e t e f m i 聪t h er e l i a b m t yi n d c x e so ft h cp r o d u 吐b n ho f d e r 专。m a k ed it h 8l i f e d i s t r i b u t i o 玎d ft h ep r o d u c t i d nm e a s u r e da n ds o l v et h ei n d e x e so fr e l i a b i l i t yt og i v es d m e p i e c e so fa d v j c ca b o u ti i i l p r o v i n gt h cr e l i a b i l i t yo fp r o d c t i o n ，w eo f t e nh a v et 0m a l ( et l l e 1 i f ee x p e r i m e n t w h i l em a k i n gt h el j 托e x p e “m e n to n s 砌p l e so ft h ep i d d u c t i o n w b o s el i v c sf 0 1 l o wac c n a i nd i s f r i b u i j d n ，a to 口 五( ( 瓦一1 a t l a s t 疗，a f e t k g 阳u p 硝d 鑫t a 岫w e w 蛊n t t o 驴i 订( h m ，= 1 ，2 ，七) i e tw eh a v ek n o w nt h a tt b el i v e so ft h es a m p l e sf o u o wad i s t d b u t i o nw i t h u n l 【i l o w n p a r a m e t e r s ， n c x tw en e e dt oe s t i m a t et 蛐o w np a r a m e t e r so ft h e d i s t r i b u t i d nu n d e rg r o u p e dd a t a s i n c c “i se a s yt oo b t a i ng r o u p e dd a t a ，p e o p l ep a ym o r e 锄dm o r ca t t e n t i o nt o g m u p e dd a t a t h ep 盯锄e t e r 骼t i m a t eo fm a l l yc o m m o nd i s t r j b u t i o nu n d c rg r o u p e dd a t a h a v eb e e n n s t a i i t l yb w u 班f a 刑缸d ，w h i l f e w h o l a f sd i s c u s st kp a 瞧m e t e rp f o b i e m i nt h et w d p a r a m e t e re x p o n e n t j a ld i s t i j b u t i o nu n d e rg r d u p e dd a t a 1 nt h i s p a p e r rw e c o n s i d e rt h ep r o b l e mm e n t i o n e da b o v ea n do b t a i nam a x j m u ml i k e l j h o o de s t j m a t e ( m l e ) o ft h et w o ，p a f a m e t e re x p o n e n t i a id j s t r i b u t i o nw i i hg r o u p e dd a t aa n dai n v a l j ds a m p l e d a m m w e m p a 托维bm l ew i 啦协ea p p r o x i m a t em a x j m u m 融e i i h o o de s t j m a l e o 蝴l e ) w h i c hi sb r o u g h td u t b yg uy jm i n g ( 2 0 0 1 ) n ec 啪p a r i s o nc o n f i 咖st h a t t h em l ei sb e t t e rt h a nt h ea m l ei nt h ec a s eo fl a r g es a m p l e f u n h e 邶o r e ，t h ee x m n c e a n du n i q u e n e s so ft h em l ei sp m v ea n dt h er e a s o 玎t h a i t h ea m l em a y b ec a nn o tb e w o f k e do u lj sp r e s e n t e da t 山el a s lo ft h ep 6 p e f k e y w o r d s ：g r o u p e dd a t a ；t w o _ p a r a m e t e re x p o n e n t j a ld j s l r i b u t i o n p a t a m e t e fe s t i m a l i o n ；m a x i m u ml i k l i h q 甜e 导l i 礤a 沁 i j 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：日期：，年厂月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者弛研年 日期：d 6 年厂月伽日 导师张行钇阳 日期：d 年厂月矽日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程中的 规定享受相关权益。圄童迨塞埕銮蜃溢唇! 旦堂生；旦= 生；旦三生筮壶! 导师魏二p 铂 日期：d6 年f 月妒日 知了c s j 日 计一 吞 签 者期 怍日 第一章引言 在一般统计河题中，我们总是假设随机样本的观测值为一个确定的数值，然而 在一些实际问题中由于条件所限，不能长期连续的进行观测，我们往往得到的是样 本的观察值落入某些区间内的个数，这样的数据我们称为分组数据，也叫做区间型 数据 分组数据的一个重要的应用领域就是在产品的寿命试验中，下面对寿命试验先 做些简单介绍可靠性是产品寿命指标的总称，故产品的寿命指标又称为产品的可 靠性指标，它反映了一个产品在规定时间内和规定条件下完成规定任务的能力现 在从一个电子元器件、一台电视枫豺一台设备、一个系统都在研究可靠性指标随 着社会和科技的发展，产品的可靠性越来越受到人们的重视由于一种产品的寿命 是一个随机现象，所以确定一种产品的可靠性的指标最后都归结为一个统计推断问 题为了弄清被测试产品的寿命分布。求出各项可靠性指标，研究产品的失效机理 以便对产品可靠性的改善提出建议，常常需要进行寿命试验，因为只有出现故障才 能了解产品的寿命和失效原因由于寿命试验的破坏性，只能从产品中抽取部分样 品来进行寿命试验寿命试验的样品必须在经过筛选试验和例行试验后的合格品中 描取样品的数量应把统计分析的需要和试验的代价二者综合起来考虑 寿命试验按照产品失效的情况可分为完全寿命试验和截尾寿命试验两类完全 寿命试验要进行到投入试验的样品全部失效为止，因而试验后可以获得较完整的数 据，统计也比较可靠但是由于产品的寿命一般设计的比较长，因而要把投入试验 的样品做到全部失效为止往往需要很长时间，可能试验还没有做完新的产品又出现 了虽然可以采用加大应力的方法进行试验以加快产品失效，但这显然又增加了试 验成本因而在一般情况下，完全寿命试验难于采用截尾寿命试验是只要求进行 刘投入试验的撵品中有邦份失效就停止的试验虽然这种试验只能获得部分数据， 但若能充分运用寿命分布给我们的信息，统计分析的结果也是较好的，因丽截尾寿 命试验运用的更加广泛 截尾寿命试验又可以分为二类：一类是试验到事先规定的时间f 就停止试验 这叫做定时截尾寿命试验，或称为t y p e 1 型截尾试验令e 是失效了的单元集合， g 是一个未失效的单元的集合，则对于e 中的元素，单元的失效时间f ，s f ，而g 中 的元素在经历了时间跨度r 之后幸存下来了显然在这样的截尾方式下，e 集合中 单元的个数r 是一个随机变量，f ；( i = 1 ，2 ，) 即为所得到的定时截尾寿命试验 的数据，简称为定时截尾数据；另一类是参与试验的样品的失效数达到规定的失效 数，就停止试验，这叫做定数截尾试验或称为t y p e i l 型截尾试验，这里r 是一个预 先确定的小于总的试验样品个数j v 的整数设第r 个样品失效的时间f ，= f ，如上 类似的定义集合e 和g ，则e 集合中有r 个元素，g 中有一r 个元素设第i 个单 元是e 中的元素，则f ：s f ，而g 中的元素在经历了一个时间跨度f 之后幸存下来 了显然在这种的截尾方式下，第r 个样品失效的时间r 为随机变量，前r 个样品失 效的时间f ( f ：1 2 ，) 即为所得到的定数截尾寿命试验的数据，简称为定数截 尾数据 显然，由上面的介绍可知相对于截尾数据来说，在寿命试验中一般的分组数据 更容易获得，因为截尾数据的得到需要在一段时间内对所有样品进行全程观测，换 言之这段时间内观测不能间断，而要取得一般的分组数据只需要在试验中定期进行 观测得到数据就行了，因此在寿命试验中很多时候由于观测的条件限制，只能选择 去得到分组数据在寿命试验中得到一般的分组数据的通常做法是：对一个大小为 服从某分布的样本进行寿命试验，分别在0 = 瓦t 互t t 瓦。c 瓦一* 时刻检 测，l 为第，次观测的时间点，第，次的观测我们会得到在【，r ，) 时段内失效的 样品数再，最后所得到的 ，( i1 ，2 ，t ) 即为分组数据 由于分组数据是寿命试验中常见的一类不完全数据，因而目前对分组数据的分 析研究也越来越多，出现了很多新颖的针对分组数据的参数估计的方法，为我们进 行参数估计研究提供了新的思路和方法其中对寿命试验中常见的指数分布的研究 比较多，王炳兴、王玲玲( 1 9 9 3 ) 给出了分组数据下指数分布的区间估计，周翠娥( 2 0 0 5 ) 提出了分组数据下指数分布参数的b a y e s 估计；对分组数据下各种分布中未知参数 的极大似然估计的研究也比较多，如高旅端、陈志( 2 0 0 2 ) ，郑明，杨艺( 2 0 0 3 ) 和郑明 ( 2 0 0 5 ) 就运用e m 算法给出了分组数据下威布尔分布、对数正态分布以及i d 西s t i c 分布参数的极大似然估计，但是目前讨论分组数据下二参数指数分布的参数估计文 献却较少，如顾益明( 2 0 0 1 ) 仅给出了分组数据下双参数指数分布参数的近似极大似 然估计借鉴上述文献中分组数据下的一些分布的极大似然估计的研究思想，本文 讨论了分组数据下二参数指数分布的极大似然估计问题研究中发现仅在已知分组 2 硕士荦住论文 m a s t e r st h e s i s 数据的情形下寻求二参数指数分布的极大似然估计十分困难，但是本文在已知样本 的最小次序统计量即第一个样品失效的时间和分组数据的条件下提出了二参数指 数分布的一个极大似然估计，并把这个极大似然估计与顾益明( 2 0 0 1 ) 文中的近似极 大似然估计通过蒙特卡罗模拟进行了比较，结果证明在大中型样本下本文提出的极 大似然估计对参数估计的效果要好得多；文章最后证明了所提出的分组数据下两参 数指数分布的极大似然估计的存在与唯一性 第二章参数估计的提出 本章的主要内容有二个：一是结合少量的失效样品数据与分组数据给出了二参 数指数分布的一个参数估计，并证明它为极大似然估计；二是为了与本文给出的极 大似然估计进行比较，简单介绍了顾益明( 2 0 0 1 ) 文中的分组数据下双参数指数分布 参数的近似极大似然估计的取得方法分组数据是寿命试验中常见的一类不完全数 据，而且二参数指数分布又是产品寿命的常见分布之一，有鉴于此，本文把对分组 数据下的二参数指数分布的参数估计的讨论放在寿命试验的模型下进行，这样得到 的结论同样也可运用于其它模型 2 1 极大似然估计 设z ；，f ；1 ，为独立同分布随机变量( 在寿命试验模型中x ；为个样品中 第x 。个样品的失效时间) ，它们都服从两参数指数分布，则分布函数和密度函数分 别为 f o 舶叩) 。1 一e 等，( f ，m ) ：舄e 等净：m ，时f o ，弘，叩) 1 一e ，( f ，口，叩) = ，7 。一“。” i o ， 其它 其中弘为位置参数，叩为刻度参数 通过寿命试验，我们能得到由服从上述两参数指数分布的样本组成的分组数 据，但是通过查阅目前已有的文献可知仅在有分组数据的条件下求两参数指数分布 的参数的极大似然估计仍然十分困难那么能否在增加个别的失效样本数据的情况 下再结合原有的分组数据得到两参数指数分布的参数的极大似然估计呢? 答案是 肯定的，下面我们就在已知这些样本中第一个失效的样本数据x ( 。) ( 这里x ( 1 ) 为 x 1 i 一，x 。这个样本中最小的那个样本值) 和分组数据的情形下考虑两参数指数 分布的参数的极大似然估计 那么现在我们首先就遇到了怎样由寿命试验得到由服从两参数指数分布的样 本组成的分组数据和第一个失效的样本数据。的问题在试验开始后与通常寿命 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 不同的是我们首先要观测得到一个失效样本数据x 。的确定值，这一步实际上就是 一个最简单的定数截尾寿命试验，有了x ( 1 ) 这样一个已知的条件后再进行第二步即 分组数据的观测：取x ( 1 ) 一瓦c 正c c 正一。t 瓦= o 。，上述这些随机变量分别落入 阮，瓦) ，【t 一瓦) 这女个区间内，试验后能得到落在区间【0 + 一) 的随机变量x ， 的个数n ，记n ，一，其中，= 1 ，2 ，t 首先要注意的是与平常寿命试验所选 择的兀= 0 不同这里我们选取的是瓦= x f l ) ；其次根据二参数指数分布的密度函数 的定义域对任意一个样本值x 。( f t l ，) 都应有。岸，从而有肖( ，) ，因 此对于位置参数肛的估计p ，也应该有卢s x ( ，) ：最后要指出的是这样得到盖( 1 1 和分 组数据的试验是一个最简单的定数截尾寿命试验与获得分组数据的寿命试验的混 合体，从这个试验的过程来看它还是比一般的定数截尾寿命试验更容易操作记样 本区间为【i m l ) ，= 1 ，2 ，t ，x ( ，) = 瓦c 五t t 。c 疋；0 。，月，为落在区间 哦一1 ) 的样本数目且艺雌2 ，下面我们所要解决的问题是已知x ( 1 ) 和上述分组 数据的情形下估计双参数指数分布的两个参数岸和叩 记p ，= p ( 工【l + i ) ) ，显然有 p ，- e x p ( 一生! ) 嘣p ( 一墨! ) 。 蚜，7 那么可得一、叩的似然函数为： b 的卜 继续化简得 h 阶扣心卧竽h 砸一竿卅埘啡 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 下面我们对l n ) 分别关于参数p 和，7 求导，得到如下两式： 等= 套 o ， 8 群铝斗 汕掣_ 刊e x p ( 一等钆”) e x p ( _ 字) 】 。町夤 舟；p ( 一生! ) 喇p ( 一墨! ) 】 町叩 ( - 1 一口) n t 十= _ 一 叩 由上式( 1 ) 可知型当堕) o ，因此对任意固定的，o ，l n 仁( 叩。，肛) ) 是岸的单调 d “ 递增函数，故为了取得极大似然估计的需要，这里可取“的一个参数估计为 ；峨，令掣- 0 ，删下式 掣! 竺耄差兰：竺：芏磷独扎 世吼一) 蹦p ( 一等一( 1 一) 娃p ( 一等 ( 矗_ l - 口) 。 角 蟹：【强p ( 一玉! ) 堋p ( 一至! ) 】 叩2 一 令式( 3 ) 中的芦。；a x ( 1 】再求解此等式，即可得到叩的一个参数估计； 下面说明( 肛，弓) 这个参数估计的优良性质：设( f 。，蟹。) 为( 肛，节) 的任 意一个的参数估计，则心s x ( 1 1 ，叩。，o ，我们可以证明l n 犯( 五，；) ) z l n 但( ，叩。) ) 因而可以既明( p ，7 7 ) 为( p ，呀) 的极大似然估计 由( 1 ) 式我们可知对于固定的叩。) 0 ，l n 犯( 叩。，弘) ) 为芦的单调递增函数，而 sx m ；，故我们有 l n 仁加o ，o ) ) sl n 仁向。，) ) ( 4 ) 而由( 2 ) 式我们可知对于固定的；，；为l 。o ，五) ) 的稳定点记型丛掣： d ” 6 s ( 胁可) ，可以证明当o c ，7 叩时s ( p ，叩) o ，而叩 o ，而当叩趋于 正无穷时s ( p ，叩) co ，故由函数的连续性可知在区间( o ，m ) 内存在这样的；使得 s ( ，叩) = o ；而由附录一我们知道在o t 叩t * 时s 似，叩) 叩2 是关于叩单调递减的函 数并且同样的当叩趋于正无穷时s ( 肛，叩) 叩2to 当叩趋于零时s ( 五，叩) - ，72 ，o ，故只 存在唯一的o c ；c 。它满足s ( ；，】；) ；。o ，而由s ( ；茹) ；o 又必然可以得到 s 似，叩) ；o ，也就是只存在唯一的o 刁 * 它满足s ( ，茹) ；o 综上可知，本文所 提出的极大似然估计是一定存在且唯一的。 而在对顾益明( 2 0 0 1 ) 文中的近似极大似然估计进行数据模拟的过程中，我们可 以发现这个估计的取得是有限制的：在【f ，) ，p 吒。瞰一。) 这前女一1 个样本 区间内落入的样本个数n 。，一，都不能为零，否则的话将导致口，、6 ，和c ，的分 母为零，从而近似极大似然估计无法解出这个限制条件说来还是有点严格，因为 n 。，n 。在试验前是不能确定的，因此有可能试验进行了之后得不到想要的参 数估计我在实际的蒙特卡罗模拟过程中就有很多组分组数据得不到近似极大似然 估计而不得不舍弃它们，而相比之下求极大似然估计时就不会有这样的问题 1 3 附录一 证明；当o 蹿t ，7 时s 似，彩o ，而簟 暂时s 似，彩s o 只证当o 叩叩时5 ( 一，7 ) 2 0 ，同理可证叩 叩时s 似，叩) s o 当| = 1 时，n l ；，s ( ，可) 一o 当七i2 时，1 1 + h 2 宥， 以一娟一腩( 一半册；) s 似川卜一i 磊毒+ 半1 1 - c x p ( 一垃m ： ” 贝9 s ( 肛，叩) - 7 2 = 一 。，旺一五) 。；“一墨型) ， + n 2 ( 1 一p ) ( 1 0 ) 【1 吨“一墨! ) 】 ，7 可以知道等式( 1 0 ) 的右边的第二项与町无关，下面来看式( 1 0 ) 的右边的第项为了简 化这项，设互一五：彳，则彳) o ，第二项可变为：一彳一f e x p 芦) 一1 】，很明显它在化这项，设互一p 一彳，则彳) o ，第二项可变为：一彳雄。f e x p ( ! ) 一1 】，很明显它在 叼 oc 叩c m 时是关于叩单调递减的，因而在0c 叩tc 。时s ( p ，叩) - ，72 是关于叩单调递减 2 的函数而我们知道因为0c 叩c * ，由s ( 卢，叩) = o 就有s ( ，叩) 叩一0 ，故当oc 冲c 叩 2 时5 ( 肛，叩) 叩2 s ( ，叩) ，7 = o ，又由0 叩 m 两边同时除以t 7 2 即有s ( 肛，7 ) o 同理由函数的单调性可证当女，2 时若o 叩c 叩即有s 似，可) o 这样出数学归 纳法可知当o c 叩c 叩时s 似，7 ) o ，证明完毕 1 4 附录二随机模拟源程序 这个源程序的主要目的是产生n 个服从实验所要求的分布的随机样本数据，并 经过数据处理后成为分组数据，每运行一次即能产生一组数目为n 的分组数据这 个程序是在m a t l a b 下面运行的，我把它做成了一个m 文件，名为d a t a ( n ) f u n c t i o nd a t a ( n ) 建立名为d a t a 的m 文件 a = r a n d ( 1 ，n ) ；产生一个n 维的数组，其每一个元素服从( o ，1 ) 上的均匀分布 b = z e r o s ( s i z e ( a ) ) ；产生一个大小和a 一样的零数组8 f o ri = 1 ：n b ( i ) = ( 一l 2 ) 木1 0 9 ( a ( i ) ) + 2 ： e n d c = s o r t ( b ) n l = o ：n 2 = o f o ri = l ：n 把a 中服从( 0 ，1 ) 上的均匀分布的元素转化为服从p = 2 ，7 = 0 5 的 二参数指数分布的n 个数并让它们成为b 中的元素 把b 中元素按升序排列并形成一个新的数组c n 3 ：o ：n 4 - o ：n 5 = o ：n 6 _ o ：产生6 个变量，并初始化为o i fc ( 1 ) ( = c ( i ) c ( i ) ( 3 n l = n 1 + 1 ： e ls e n 1 = n l ： e n d e n d f o ri = 1 ：n i f3 = c ( i ) c ( i ) 4 n 2 5 n 2 + l ： n 2 = 2 ： e n d e n d f o ri = 1 ：n i f4 = c ( i ) c ( i ) 5 n 3 2 n 3 + l ： n l 为在落八区间( z f l ) ，3 ) 中的数据个数 n 2 为在落入区间( 3 ，4 ) 中的数据个数 慧荐。 n 3 = n 3 ： e n d e n d f o ri ：l ：n i f5 ：c ( i ) c ( i ) 6 n 4 = n 4 + 1 ： e l s e n 4 = n 4 ： e n d e n d f