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山东大学硕士学位论文 几类反问题的偏差原则及收敛阶 王光明 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：张玉海教授) 摘要 反问题的一个特别重要的属性就是它通常是“不适定”的数学问题，使得它无论 在进行理论分析还是在进行数值计算时都有特定的困难其算子形式为； a u = ，( 1 ) 求解这类问题的普遍方法是正则化方法；用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问 题的解去逼近原i 叮题的解，如何建讧有效的止则化方法是反f f f j 题领域中不适定问题研 究的重要内容其中t i k h o n o v 提出求解不适定问题的变分正则化厅法包括解如下问 题f ( t ) ：= i l a u 一厶1 1 2 + 口恻1 2 = r a i n ，其中a 是大于0 的常数，称为正则化参数 如何有效地选取正则化参数是此方法的关键。偏差原则是选取正则化参数的一类 重要方法 首先，本文讨论了基于类动力系统方法的偏差原则及收敛阶 假设( 1 ) 是h i l b e r t 空问中的可解办程，1 1 4 1 i 0 ，f i h 。o e ( t ) = 0 ，l i m t _ 。s 印丢 6 ， 上 n ( a 2 ) ，并且c ( t ) 是一个单调递减函数，满足 那么方程 e ( t ) 0 ，l i r a 。o e ( z ) = o ，l i m t _ o o s u p 言如s 件一2 ( t ) = 0 有唯一的解如? 并凡 a ( b + r ( t ) ) - 1 a + 如一厶j l = 茂| l 厶0 6 l i r n a - ol lu ( t a ) 一剪i l = 0 ，f i m 一o “= o o 成立，此处y 是( 1 ) 的唯一极小范数解 进步地，对由该偏差原则得到的解收敛性作出如下估计： 定理2 如果a 是h i l b e r t 空间的有界线性算子。方程( 1 ) 可解，可是( 1 ) 的唯 极小范数解，u 6 ：。( 。) 由动力系统方程 i t = 一u + ( b + 以) ) _ 州，u ( o ) = = 老 解得那么 令y = a 4 ：，| i - - i i e ，可以选取( ( “) ：使得 | i 札d 。( 如) 一硎= ( ) ( 6 言) 本文第二部分讨论了求解不适定口j 题的几类动力系统方法及第二种偏差原则； ( 1 ) 自伴算子的动力系统方法 关于自伴算子的d s m 方法可如下构造考虑方程 也= ( a + z 。) u a - i f , u ( o ) = o ；d = 面d l t ， 其中，口，是大于0 的常数第一个结果由定理3 给出： 定理3 假设( 1 ) 中的a 是自伴算子，即a a 。如果a y = = f 且y 上v ，那么 l i r a 。j i l - f li t d ( t ) = y n o 一 山东大学硕士学位论文 第二个结果基于定理3 ，假设i i 一川6 ，则可以得到方程( 1 ) 的稳定解u 。6 ( t ) 定理4 存在t = t a ，l i 眦一0 “= ，且a = o ( 6 ) ，l i 酗。0n ( 6 ) = 0 ，使得u ：一- - - 缸。( d ) 6 ( t 6 ) 满足 舰一训= o ， 在定理3 和定理4 证明之后，我们给出n ( 6 ) ，如的选取方法 ( 2 ) 改进的自伴算子的动力系统方法 我们重新考察一下 也= z ( a + l n ) u 。- i l u ( o ) = 0 ；i t - - - 面d u ， 将其中的a 换为d ，( ) 定理5 假设a ( t ) 0 是单调递减的连续函数，且满足 l i mn ( z ) = 0 ，n 7 + 0 2 l 1 ( o ，。o ) ，o ( s ) d s = 。o t - - , o 。 j o 此问题的解为 ， t f ( t ) = c i a ( 卜) - c n ( p ) d p d s ( 一i f ) - ，0 那么 1 i mi i - ( t ) 一3 ：，| i = 0 进一步地，定理5 可得到方程( 1 ) 的稳定解 定理6 存在一个停止时刻t a ，l i m a 0 “= o 。，使得 恐怖一引i = o ， 其中u 6 = u 6 ( t 6 ) 是 i t = i ( a + i n ( t ) ) 札。( t ) 一f ，乱( o ) = ( ) ；矗= 面d u ， 的解，其中| i 厶一州冬6 ( 3 ) 动力系统方法的第二种偏差原则 在前面使用的动力系统方法的偏差原则中，我们假设厶上n ( a + ) 如果此假设不 成立，我们可使用如下的偏差原则： a t e ( t ) _ 1 a 2 矗一i o l i = p 6 i i f , i l f 6 i i i 山东大学硕士学位论文 其中，l 0 是单调递减二阶可导函数，且满足： 熙+ m 叫= o ，a o 牌兰= o 方程 i i a i l ( t ) _ 1 a 一 l | = c 6 7 其中，l l + b 那么对任意给定的巧 0 ，方程 l i a u 。，6 一厶| | = 伽 有解u “满足 l i m ，( ! ) = 0 ， 6 一o 、7 以及 她愀一y l i = 0 定理1 0 可叙述为： 定理1 0 假定 i ) a 是h i l b e r t 空问的有界线性算子， i i ) 方程a u = ，可解，y 是极小范数解， i i i ) | | 厶一州6 ，i i d l l 6 0 ，此处c 为大于1 的常数 那么 a ) 方程 l i a t 协r 一厶i l = c 6 对任意万 0 可解，其中d f 满足不等式f ( “d f ) s l + ( c 2 1 一b w , f ( ，“) ：= i i a ( u ) 一 1 1 2 + f i i , , i 1 2 ：m = m ( 6 f ) ：= f 仃厶f ( ) ：b 为大于0 的常数，c 2 1 + b ， b ) 如果e = e ( 6 ) 是( 3 ) 的解，记u d ：= 珏6 e ( 6 ) ，那么l i m 6 oi i h 一y i i = 0 在此基础上，对由该偏差原则得到的解收敛性作出估计进一步得到； 定理11 假定 i ) a 是h i l b e r t 空问的有界线性算子， i i ) 方程a u = ，可锯，y 是极小范数解， i i i 圳如一i l 6 ，| i 办i | f d 此处c 为大于l 的常数 v 山东大学硕士学位论文 那么 c ) 如果c = f = ( 6 ) 是( 3 ) 的解，记仳 ：= t l c ( 6 ) ，那么忙 一, v l i = o ( 6 m ) d ) 若i l 蛳一洲= d ( 6 m ) ，则r ( a ) 为有限维，即收敛阶( ) ( 6 m ) 是最优的 关键词：正则化方法；动力系统；偏差原则；收敛阶 v i 山东大学硕士学位论文 d i s c r e p a n c yp r i n c i p l e a n do r d e r so fc o n v e r g e n c e f o ri n v e r s ep r o b l e m s g u a n g m i n gw a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ) ( s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry u h a iz h a n g ) a b s t r a c t ac h a r a c t e ro fi n v e r s ep r o b l e mi st h a ti t i sa ni l l - p o s e dp r o b l e mu 。s u a l l y o p e r a t o r f o r m u l a ： a u = | m e t h o du s c 0 ，a = c o n s t a ni m p o r t a n t m e t h o df o rd l o o s i n gr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ri sd i s c r e p a n c yp r i n c i p l e f i r s t l y , t h i sp a p e rs t u d yad i s c r e p a n c yp r i n c i p l ea n do r d e r so fc o n v e r g e n c eb a s e d d y n a m i c a ls y s t e m sm e t h o d ( d s m ) a s s u m e ( 1 ) i sas o h , a b l el i n e a r ( 圯l u a t i o ni nah i l b e r ts p a c e ，i i a i i 0 ，l i m t 。o l ( t ) = 0 ，l i m t 一= s u p , 去 6 ， 上n ( a + ) ，a n dc ( ) s a t i s f i t 塔t h ea s s u m p t i o n ss t a t e da b o v c ， t h e ne q u a t i o n i a ( b + 4 0 ) _ 1 a 厶一 l l = d ，l ，6 i i 6 h a sau n i q u es o l u t i o nt 6 ，a n d l i r a 6 + ol l u 6 ( 如) 一y i i = 0 ，l i m 6 一o t 6 = 0 0 h o l d s ，w h e r eyi st h eu n i q u em i n i m a l n o r ms o l u t i o nt o ( 1 ) 1 n l r t h e r m o r e ，w ee 熔t i m a t et h ec o n v e r g e n c eo fs o l u t i o nf o rt h ed i s c r e p a n c yp r i n c i p l e ： t h e o r e m2i f 4i sab o u n d e df i n e a ro p e r a t o ri nah i l b c r ts p a c eh ，e q u a t i o n ( 1 ) i ss o l v a i ) l e ，u 6 ( “) f r o md s m 2 = - - z + ( b + ( ( f ) ) 一1 a + ，u ( o ) = u 。，u ：= 面d u o b t a i n e d t h e n l e t y = a + z ，蚓ise ，c a l lc h o o s ee ( 如) ，s u c ht h a t ? z ，( b ) 一训= ( ) ( 6 吾) ， t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e rs t u d 3 s o l n ed s ms o l v i n gi l l - p o s e dp r o b l e ma n d a n o t h e rd i s c r e p a n c yp r i n c i p l e ： ( 1 ) d s l v io fs e l f a d j o i n to p e r a t o r t h ed s mf o rs o l v i n ge q u a t i o n ( 1 ) w i t hal i n e a rs e l f a d j o i n to p e r a t o rc a nb ec o n - s t r u c t c da sf o l l o w s c o n s i d e rt h ep r o b l e m 讧+ m ) “九印) 0 江= 老， w h e r ea c o n 8 f 0 0 u rf i r s tr e s u l t i sf o r m u l a t e da st h e o r e m3 t h e o r e m3i fa y = fa n dy 上a t h e n v i i i l i n 汕i n ? l a ( t ) = 夥 n ，u ， 山东大学硕士学位论文 o u rs e c o n dr e s u l ts h o w st h a tt h em e t h o d ，b a s e do nt h e o r e m1 ，昏v 璐as t a b l e s o l u t i o no ft h ee q u a t i o na u = ，a s s u m et h a ti | 厶一划6 ，a n dl e tt t n 4 ( t ) b et h e s o l u t i o nt o ， i t = i ( a + i 咖n - i 州o ) - 0 ；拈等? w i t h h ip l a c eo fl 。 t h e o r e m4t h e r ee x i s tt = 如，l i m 0 如= 。，a n da = n ( 6 ) ，l i m 。o o ( 6 ) = 0 ， s u c ht h a t 缸6 ：= u a ( 6 ) ，6 ( 如) s a t i s f i c s 溉慨一训= o w ew i l ld i s c u s st h ew a y st oc h o o s eo ( 6 ) a n dt 6a f t e rt h ep r o o f so ft h e s et h e o r e m s a r eg i v e n ( 2 ) i m p r o v e dd s m o fs e l f a d j o i n to p e r a t o r c o n s i d e rp r o b l e m 吐= i ( a + i a ) u 一i f , u ( o ) = o ；吐= 鲁，w i t ha = a ( t ) t h e o r e m5a s s u m et h a tn ( t ) 0i sac o n t i n u o u sf u n c t i o nm o n o t o n i c a l l yd e c a y - i n gt oz e r oa st _ a n d 。1 i m 。n ( ) = o , a + a 2el j ( 。，) ，o - o , s ) 幽= t h es o l u t i o nt ot h i sp r o b l e mi s t h e n 乱( t ) = te i a ( t - s ) - c 口( p ) d v d s ( 一i n 1 j ml l “( ) 一训= 0 t f u r t h e r m o r e ，t h e o r e m5y i e l d sas t a b l es o l u t i o nt oe q u a t i o n ( 1 ) t h e o r e m6t h e r ee x i s t sas t o p p i n gt i m e 如：l i r a d - - - , 0 如= 。o ，s u c ht h a t h o l d ，w h e r e = 仳d ( 如) s o l v i n g 黝慨一! ，i i = 0 也= t ( a + 衲( f ) ) 牡。( t ) 一i ，u ( o ) = o ；矗= 害， l 厶一i i 点 ( 3 ) a n o t h e rd i s c r e p a n c yp r i n c i p l eb a s e dd s m i x 山东大学硕士学位论文 s u p p o s ot h a tt h ea s s u m p t i o n 厶上n ( a ) d o e sn o th o l d t h c no n ec a nu s et h e d i s c r e p a n c yp r i n c i p l eo ft h ef o r m ： a 瓦( ) 1 a 。 一厶l | = c 点| j l i c 5 ，l 0i sai u o n o t o u i c a l l ) d e c a y i n gt w i c ec o n t i n u o u s l y d i f f e l e n t i a b l ef u u c t i o n t h ee q u a t i o n l i m 。 n ( ) + i a l + 刎= ( ) ，a ( 】i ，l i m 。a = o 一f_n a t , 。( t ) - 1 a 办一 l i = c 瓯c = c o n s t ，1 0 ，a n dc 2 1 + b t h e ne q u a t i o n a u 。，d 一厶l l = a 6 h a sas o l u t i o nf o ra n yf i x e dj 0 ，l i m 6 ，0 口( 6 ) = 0 ，a n d 熙一v i i = 0 a n o t h e rv e r s i o no ft h e o r e m1 0 ： t h e o r e m1 0 a s s u m et h a t i ) ai sab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ri nah i l b e r ts p a c e1 1 i i ) t h ee q u a t i o na u = fs o l v a b l e ，yi st h eu n i q u em i n i m a l n o r ms o l u t i o n ， i i i ) | i 知一刘d ，| | 厶i l 之c d c = c o n s t 1 t h e n a ) t h ee q u a t i o n j i a u a ：e 一 i i = p 6 h a sa , “) l u t i t mf o ra n yf i x ( ，t ld 0 ，w h e r eu d ，es a t i s f i ( df ( u 6 。) r n + ( c 2 一l 一 厶) 铲：f ( u ) ：= i i a ( u ) 一厶i 1 2 + e i m l 2 ，r n = m ( 5 ( ) ：= i n , f ( 珏) ，b = c a u s t 0 , c 2 1 + b ， b ) i f f = f ( 6 ) s o l v e di i a u n ，。一 0 = c ，机6 ：= u d f ( 6 ) ，t h e nl i m 6 0 陋d 一秒l i = 0 1 。h r t h e r m o r e ，w ee s t i m a t et h ec o m v r g e n c eo fs o l u t i o nf o rt h ed i s c r e p a a l c yp r i n c i p l e ： x i 山东大学硕士学位论文 t h e o r e m1 1a s s u m et h a t i ) ai sab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ri nah i l b e r ts p a c eh ， i i ) t h ee q u a t i o na u = ，s o l v a b l e ，yi st h eu n i q u em i n i m a l n o r ms o l u t i o n ， i i i ) i l 厶一川s ，| | 几i i p ，r = c x m s t 1 t h e n c ) i ft = t ( 1 1 i ) s o l v e di i a u 6 ，。一厶l i = c 6 ，u 6 ：= 乱6 ，c ( 6 ) ，t h e n | l 乱d 一可0 = 0 ( 6 1 2 ) d ) i fl i 札6 一洲= o ( 6 m ) ，t h e nr ( a ) h a st ob ef i n i t ed i m e n s i o n ，t h a ti s ，o r d e r s o fc o n v e r g e n c ed ( 占m ) i so p t i m a l k e yw o r d s ：r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ；d y n a m i c a ls y s t e m sm e t h o d ；d i s c r e p a n c y p r i n c i p l e ；o r d e r so fc o n v e r g e n c e x i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承 担。 论文作者签名：三整亟日期：塑呈! 查，z 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学f 迓 论文 c 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：重望鲴导师签名： 第一章引言 随着当代各门科学技术相互交叉、渗透、融合以及对系统的深入了解，人 们不再满足对系统的被动的认识，而是试图对各类系统进行主动的控制， 使系统按照指定的方式运行，从而达到预期的目的。于是，反问题应运而 生越来越多的科学技术领域正在提出和研究各自领域中的反问题，2 0 世 纪6 0 年代以来，在地球物理、生命科学、材料科学、遥感技术、模式识别、 信号( 图像) 处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中，都提 出了“由效果、表现( 输出) 反求原因、原象( 输入) ”的反问题 反问题的一个特别重要的属性就是它通常是“不适定”的数学问题， 使得它无论在进行理论分析还是在进行数值计算时都有特定的困难。适定 性的概念是数学家h a d a m a r d 在1 9 2 3 年首先针对偏微分方程定解问题提出 的，这个概念很容易推广到一般算子方程的情况。根据h a d a m a r d 在1 9 2 3 年 提出的定义，同时满足如下三个条件的问题，称为是适定的： ( 1 ) 问题的解存在； ( 2 ) 2 问题的解唯一； ( 3 ) 问题的解连续依赖于定解条件( 解稳定) 否则问题称为是小适定的我们给出问题适定性的严格数学定义如卜： 定义1 1 设a ：x y 是赋范空间x 到赋范空间y 的一个算子方程 a u = 称为是适定的，如果a 是一一对应的并且逆算子a 一1 ：y x 是连续 的否则称为是不适定的 根据定义，可以把小适定问题划分为三种类砸： ( 1 ) 问题的解不存在：如果a 不是满射，方程a u = 厂不是对所有的i y 有解； ( 2 ) 问题的解不唯一：如果a 不是单射，方程a “= ，口j 能有不i t 一个 解； ( 3 ) 问题的解不稳定：如果逆算子a 1 ：y x 存在，但不连续，方程 胤= ，的解u 不能连续地依赖于数据，；即数据厂有微小误差时，得到的解 u 与真解的误差很大 山东大学硕士学位论文 近三十年来，系统控制、系统识别、摇感、资源勘探、大气测量、地下 水、生物器官性态分析、疾病诊断、量子力学等自然科学和工程技术学科 的发展把反问题的研究推进了一大步起初，各学科领域提出反问题的方 式不同，获得数据的手段各异，因而求解反问题的方法也各具特色近年 来，不同学科相互渗透，通过反问题研究的国际学术会议互相交流，使反 问题研究的理论和算法发展到新的阶段前苏联的学者对反问题的研究作 出了重要贡献t i k h o n o v 及其同事和学生们较系统地研究了不适定问题的 求解方法，证明了只要在不适定问题的允许解类上加以适当的附加限制， 就可使小适定问题具有相对于扰动数据稳定的解，从眍转化为条件适定问 题据此，t i k h o n o v 提出了求解不适定问题的j e 则化( r e g u l a r i z a t i o n ) 方法， 在数据具有误差时构造带有正则参数的适定问题族，当正则参数趋于其极 限时，该适定问题的解趋于条件适定问题的解美国学者j r c a n n o n 和p d u e h a t c m l 对线性和非线性扩散方程的反问题作了较系统的研究，得到了一 系列有意义的结果美籍华人学者y m c h e n ( 陈永明) 提出的脉冲谱技术( p s t - i m i s es p e c t r u mt e c l m i q , m ) 是求解波动方程、热传导方程和椭圆型方程问 题的有效的数值方法近年来，经陈永明先生和我国学者的修改和发展，义 提出厂广义脉冲谱技术( g p s t ) 、改进脉冲谱技术( m p s t ) 和脉冲谱 优化( p s t - o p t i m i z a t i o n ) ：并应用这些方法解决了一些领域提出的反问题 在小适定问题i | t ，人们，般关心的是不满足稳定性条件的一类不适定 问题。求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相“邻近”的 适定问题的解去逼近原问题的解，这种方法称为正则化方法。如何建立有 效的诈则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容通常的正则 化方法有基于变分原理的t i k h o n o v 正则化、各种迭代方法以及其他的一些 改进方法，这些斤法都是求解不适定问题的有效方法，在各类反问题的研 究中被广泛采用，并得到深入研究【1 - 【2 2 其中t i k h o n o v 提出求解不适定问 题的变分正则化方法包括解如下问题 ( ) ：= | i a u 一 1 1 2 + n i l 札i | 2 = r a i n( 2 ) 其中“是大于0 的常数，称为正则化参数，厶是“扰动数据”，“扰动 误差”6 ( ) ，怖一州j ，而精确数据，厂未知方程( 1 ) 的稳定解，u 一使 得l i m 。卅一i ：，1 = 0 ，其中a y = ，且炒是方程( 1 ) 的极小范数解如果 y 是h i l b 甜f 空间h f 以下都作此假定) ，那么极小范数解正交于a 的零空间 2 山东大学硕士学位论文 ，n = n ( a ) = u ：a u = 0 如果4 有界，那么二次泛函( 2 ) 极小解的充要条件是e u l e r 方程 t u = a ，死：= t + a i ，t ：= a a ，( 3 ) 其中，是单位算子，t 是自伴算子方程( 3 ) 有唯一解u “= 野- a 木 我们可以选择a = 口( 6 ) 使得1 i m 6 一。口( 6 ) = 0 且札一：= u a ( ) 一是( 1 ) 的稳定解： 娥一可i l = 0 ， ( 4 ) 其中a y = , y 上。 n ( 6 ) 有两种选取方式：先验选取和后验选取 先验选取基于以下估计： 孵a - y i | 0 ：由方程6 = 2 厕7 7 ( 口) 可得口( 6 ) 如果( 1 ) 中a 是无界线性算子，我们假设a 闭、稠密，n 是大于0 的 常数，那么叮以证明算子巧1 a + 在d ( a + ) 上的闭扩张是h 上的有界算子， i i t ：1 以l i 丽1 ，仍记为巧1 以。，且( 1 ) 成立为了说明算子巧1 以+ 是可闭的， 取h 。j d ( 耳1 a ) = d ( a + ) ，使得当n c k ) 时，h 。一0 ，巧1 a + k ，我们说明 9 = 0 事实上，对讹，有 ( g ， 1 ) = l i m ( t - 1 a + h n ：“) = l i r a ( h 竹，a 耳1 u ) = 0 ( 1 1 ) n + n + o c 由u 的任意性可得g = 0 自上式可看出巧1 a 闭扩张的伴随算子是a 巧1 ， 且 1 惮瓦1 i i = i t u t t 。10s 熹 vu 因为l i a 。i i = 悄0 ，所以i i 写1 a + i l = l | 4 巧1 l i 去于是当a 是闭的稠密无界线 性算子，可以类似证明 f 面我们描述一下使得( 4 ) 成立的后验选取n ( ) 的方法，称之为偏差原 则此方法由如卜方程得到o ( ) a u “一y , i | = c 1 ( ) ，( 1 2 ) 有唯 解a ( d ) 1 d ，o n ( 6 ) = f l 且 1 1 6 = t k ( ) ， 满足( 4 ) 即 t t , f 是( 1 ) 的稳定解 考察( 1 2 ) 耐= i i m ：l 4 * - i j 1 1 2 = i i q q , ：1 叫砒= o 篱：刈州) ( 1 3 ) ，l ( m 万) 是关于n 的单调连续函数，h ( o c ： ) = i l y , 1 1 2 c 2 6 2 ，7 z ( + o 6 ) = i l p 。圳2 d 2 因此存在唯一的a = a ( 6 ) ? 使得 ( n ( d ) ，6 ) = c 2 d 2 其中，n + ：= n ( a ) ，利 用了以卜结论：n ( q ) = n ( a 。) i ：p n 驯i i p ( 一1 ) 1 l + i i p f l i 茎怖一划= 再丹。，= 0 最后一个关系成立是因为，( a ) ，r ( a ) 上胪 如果n ( ) 是( 1 2 ) 的解，那么扎d = u 枷) 。满足( 4 ) ，由f ( u 6 ) sf ( yj ，得 i i a , u 。一 l ；2 + “( f j i ) f lz b | | 2 6 2 + “( d ) i i 1 1 2 ( 1 4 ) 4 山东大学硕士学位论文 又i i a u 6 一如i f 2sc 2 铲 铲且n ( 6 ) 0 ，于是 因此可选择一个弱收敛序列u 。= “礼_ o 。时，缸。一u 进一步可说明钍= y 及l i r a 。l i 让。一秒i l = o 这种偏差原则的缺点是需要( 2 ) 的精确解，如果我们在某种意义下得到 ( 2 ) 的近似解那么( 6 ) 6 ( 相应的口( ) 是( 1 2 ) 的近似解) 是否收敛到y ? a g a a 3 l l l l l 在【5 】中肯定了以上想法，进而得到一种新的偏差原则这种 新的偏差原则与通常使用的偏差原则相比，其优点在于只需近似解其包含 的最小化问题，而不用精确求解基本结果如下： 假定 i ) a 是h i l b e r t 空间的有界线性算子， i i ) 方程a u = ，可解，y 是极小范数解， i i i ) 怖一刘6 ，i i 一i l c d ，此处c 为大于1 的常数 那么 a ) 方程( 1 2 ) 对任意( ! 0 可解，其中啪，t 满足不等式f u 耻) m + ( c z 一 1 一b ) x 2 ，f ( u ) ：= i i a ( u ) 一 | 1 2 + e 州1 2 ，m = m ( 巧，e ) ：= i n u f ( u ) ，b 为大于0 的常 数，c 2 1 + b ， b ) 如果c = c ( d ) 是( 1 2 ) 的解，记“ ：= t “( 6 ) ：那么l i m d 。oi | “6 一妒l l = 0 本文在此基础上，对由该偏差原则得剑的解收敛性作出估计进一步得 到； c ) 如果e = ( ( 再) 是( 1 2 ) 的解，记t ：= 椰( ( ) 那么 一钞f | = ( ) ( d m ) 。 d ) 若i l “a y i l = o ( 6 m ) ，则r ( a ) 为有限维，即收敛阶d ( 6 m ) 是最优的 应用较为普遍的还有基于动力系统的偏差原则： 动力系统方法是解决算子方程 f ( “) ：a u 一，= 0 ，h 尤其是非线性和不适定算子方程的有效方法动力系统解h i l 抛r ，t 空间日中 非线性和不适定问题包括构造一个动力系统，由此而得名，具体而言，需 构造一个满足如下特征的c a u c h y 问题： ( 1 ) 存在全局解； ( 2 ) 时间趋于无穷时，此解极限存在； 山东大学硕士学位论文 ( 3 ) 此极限是原问题的解 即构造c a u c h y 问题： 也= 移( ，“) ，缸( 0 ) = u o ， 满足如下特征： j u ( t ) v t o ；3 u ( c o ) _ 1 i m 札( t ) ；f ( u ( ) ) = 0 下面构造一具体的c a u c h y 问题，以此阐述动力系统解h i l b e r t 空间日中 不适定问题的思想： 假设( 1 ) 是h i l b e r t 空间中的可解方程，恤l | 0 ：l i m 。0 f ( t ) = 0 ，l i m t s 乱以 艿 l i m d ol lu d ( t 6 ) 一yi l = 0 ，2 ：7 ，砧o f d = o 。 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 山东大学硬十学位论文 如果a 是h i l b e r t 空间的有界线性算子，方程( 1 ) 可解， i i f 6 1 i 6 ， 上 n ( a ) 并且e ( ) 满足以上陈述中的假设，那么方程( 1 8 ) 有唯一的解t 6 ，并且 ( 1 9 ) 成立，此处y 是( 1 ) 的唯一极小范数解 本文对由该偏差原则得到的解收敛性作出估计基本结论如下： 如果以是h i l b e r t 空间的有界线性算子，方程( 1 ) 可解，y 是( 1 ) 的唯一 极小范数解，札昧由动力系统方程( 1 7 ) 解得那么 令y = o z ，l i ：1 i e ，可以选取( ( t 6 ) ，使得i k 。( t 。) 一拶l i = o ( 稿) 7 第二章基于一类动力系统方法的偏差原则及收敛阶 2 1 基于一类动力系统方法的偏差原则 假设( 1 ) 是h i l b e r t 空间中的町解方程，l i a i i o ，l i r ac ( ) = o ，舰s 札p 6 ， 上n ( a + ) ，并且c ( ) 满足以上陈述中的假设，那么方程( 2 1 3 ) 有唯一的解 t 6 ，并且( 2 1 4 ) 成立，此处y 是( 1 ) 的唯一