（机械设计及理论专业论文）基于有限元方法的自卸车运送中沥青料温度场仿真及分析.pdf

摘要 近年来，我国沥青混凝土路面高等级公路的发展状况日新月异。但是，在沥 青路面施工中，沥青混合料的温度离析情况一直发生。在自卸车从拌和站港发运 送沥青混合料到达施工现场的过程当中，车上的沥青料就随着时间的延续，发生 着温度的离析。 本文以有限元方法为工具，对自卸车运送中的沥青混台料的温度场进行仿真， 不但从质上，而且从量上对沥青混合料的温度离析情况进行分析，围绕仿真的情 况，本文主要丌展了以下几个方面的工作： 1 分析自卸车运送中沥青混合料温度离析产生的原因，并将各种原因按照有 限元方法，作为热学载荷施加到仿真模型当中。 2 按照有限元分析中常见的面单元法，建立仿真的模型，并对常渝施：f 环境， 低温施工环境和高温施工环境三种情况分别进行仿真。 3 通过仿真分析的结果，包括模型温度场图形、节点温度变化曲线和节点的 温度值，对结果进行初步的分析，建立三种环境的仿真结果的关系，并通过比较 确立温度离析的决定性因素。 4 按照已经完成的仿真，对自卸车侧板处的沥青混合料的温度变化情况进行 函数编制，并对已经编制的三组函数进行整合。 5 按照在实际的施工现场采样得来的数据，对降温函数进行验证，通过验证 的结果证明，满足工程和程序编制的要求。 关键词：沥青料；温度离析；有限元方法；仿真；函数 a b s t r a c t i nr e s e n ty e a r s ，t h ed e v e l o p m e n to fh i g h - g r a d ea s p h a l tc o n c r e t er o a ds u r f a c ei s c h a n g i n gw i t he a c hp a s s i n gd a y b u t ，i nw o r k i n go nt h ea s p h a l tr o a ds u r f a c e ，t h e c o n d i t i o n st h a tt e m p e r a t u r ei s o l a t i o na l w a y sh a p p e n e d i nt h ed u r a t i o nt h a t t i pt r u c k t r a n s p o r ta s p h a l tc o n c r e t ef r o mt h em i x i n gc h a m b e rt o t h ec o n s t r u c t i o nl o c a t i o n ， f o l l o w e dw i t ht h et i m eg o e so n ，t h ea s p h a l tc o n c r e t ew i l lo c c u rt h et e m p e r a t u r e i s o l a t i o n t h et h e s i su s e st h et o o lo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oc a r r yo nt h es i m u l a t i o nt e s to n t h et e m p e r a t u r ef i e l do ft h ea s p h a l tc o n c r e t et h a ti nt h em i d w a yo ft h et r a n s p o r t a t i o n b yt i pt r u c k t h ea n a l y s i so nt h et e m p e r a t u r ei s o l a t i o no fa s p h a l tc o n c r e t ei sn o to n l y o nt h eq u a l i t y ，b u ta l s oo nq u a n t i t y b a s e do nt h es i m u l a t i o nc o n d i t i o n ，t h et h e s i s c a r r i e so nt h ef o l l o w i n ga s p e c t sw o r k ： 1 a n a l y s i st h er e a s o nt h a tt h ea s p h a l tc o n c r e t eo c c u r st e m p e r a t u r ei s o l a t i o ni nt h e m i d w a yo ft r a n s p o r t a t i o nb yt i pt r u c k ，a n da c c o r d i n gt ot h em e t h o do ff i n i t ee l e m e n t m e t h o dt a k ee a c hk i n do fr e a s o na st h e r m a lb u r d e na d d si n t ot h es i m u l a t i o nm o d e l 2 e s t a b l i s hs i m u l a t i o nm o d e la c c o r d i n gt ot h es u r f a c eu n i tm e t h o d ，t h a to f t e n u s e di nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n dc a r r yo ns i m u l a t i o nt e s to nc o n s t r u c t i o n e n v i r o n m e n ta tn o r m a lt e m p e r a t u r e ，l o wt e m p e r a t u r ea n dh i g ht e m p e r a t u r es e p a r a t e l y 3 g i v ep r e l i m i n a r ya n a l y s i so nt h er e s u l to fs i m u l a t i o nt e s tt h a ti n c l u d et h em o d e l g r a p ho ft e m p e r a t u r ef i e l d ，c u r v e dl i n eo fn o d et e m p e r a t u r ea n dn o d et e m p e r a t u r e e s t a b l i s ht h er e l a t i o no fs i m u l a t i o nr e s u l t si nt h r e ek i n d so ft e m p e r a t u r e ，a n dc o n f i r m t h ed e f i n i t u d ef a c t o rt h a tl e a dt ot e m p e r a t u r ei s o l a t i o nb yc o m p a r e 4 a c c o r d i n gt o t h e c o m p l e t e d s i m u l a t i o nt e s t ，d r a w u p f u n c t i o no nt h e t e m p e r a t u r ec h a n g ec o n d i t i o no fa s p h a l tc o n c r e t ei nt h es i d eb o a r do ft j pt r u c k ，a n d c a r r yo nc o n f o r m i t yt ot h et h r e eg r o u pf u n c t i o n 5 t ot e s ta n dv e r i f yt h ed r o p t e m p e r a t u r ef u n c t i o nb yt h ed a t ew h i c hr e c e i v e d f r o ms a m p l i n gi nc o n s t r u c t i o nl o c a t i o n t h ep r o v e nr e s u l tp r o v e st h a tt h ef u n c t i o n s s a r i s f yt h ed e m a n db o t hi ne n g i n e e r i n ga n dp r o g r a m m i n g k e yw o r d s ：a s p h a l tc o n c r e t e ；t e m p e r a t u r ei s o l a t i o n ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ； s i m u l a t i o n ；f u n c t i o n i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 木人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。 除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：姗 日期埘年牛月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 丈备鸯 巷耦氏 日期：西年母月? ? 日 日期：箩年争月3 7 日 1 1 引言 第一章绪论 中国高速公路发展用短短十多年的时间走过了发达国家三、四十年的发展历 程。我国第一条高速公路是上海至嘉定高速公路，它于1 9 8 8 年建成通车，全长1 8 5 公里。中国高速公路从零起步，经过十多年的建设，目前已突破3 万公里，高速 公路总晕程位居世界第二。 但是，沥青混凝土温度离析的破坏在施工中是普遍存在的现象，所谓沥青混 凝土的温度离析是指原来经充分搅拌、温度均匀的沥青混合料，经过某一过程后， 温度出现较大差异的现象。但很多人还没有意识到其危害性之大，不重视控制影 响温度损失的一些可控因素，使沥青混合料的温度差别较大，影响路面质量，是 沥青砼路面施工中较普遍的现象i ”。 为保证路面的摊铺质量，要求沥青混凝土具有一定的温度。沥青混凝土搅拌 站按规定对物料进行级配、加热和搅拌，成品沥青混合料由自卸卡车运到摊铺现 场i 列。应该说，搅拌站供给卡车的混合料是符合质量要求的，既不存在级配的离析， 也没有温度的离析。然而，在沥青路面的施工中，却普遍存在沥青混合料的温度 离析，而且还相当严重。 沥青混凝土温度离析，与从沥青混凝土拌和厂将混合料运送到铺筑现场过程 中沥青混合料的温度损失有关。一旦混合料装入运料车，沿运料车周边立即产生 热量损失。显然，混合料的温度愈高，温度差别愈大，混合料的温度损失也愈多。 周围空气温度较低时，热量损失也愈大。由于沥青和集料的导热系数较小，在产 生热量损失的车厢周边，冷混合料占有较大百分率，热量从混合料中心部分向边 部缓慢传导。由于导热系数小，在运料车的周边混合料与中心混合料之间产生大 的温度差别。 如果侧板内的这些混合料输送到摊铺机并摊铺出来，摊铺层内将会有足够数 量的冷混合料。降低的沥青混凝土温度对密度和空隙率有明显影响，这些冷点的 温度相当低，在这些小面积上将不可能达到要求的压实度，出现沥青混凝土的空 隙率大。空隙率愈大，其透水性就愈大，其疲劳寿命就愈短，其抗辙槽能力也就 愈差。摊铺层上冷的地点会导致路面的密度不均匀，将导致空气率大和不平整。 r 玎于冷地点宁气率大，水容易透入混合料，容易产生水破坏，产生坑洞，其根源 是温度离析。即使在拌和厂正确生产了沥青混合料，然后合适地进入了贮料仓， 且正确地装入运料车，由于温度离析也会产生质量差的危害1 2 j 。 1 2 国内外研究情况概述 1 2 1 国内对相关问题的研究 国内村i 关研究认为：有许多因素会影响运料车内混合料热量损失的总量，以及 运料车内混合料温度差的量。这些因素如下1 3 】： 1 混合料装入运料车时的温度； 2 周田空气温度； 3 车厢是否隔温： 4 车厢尺寸与所运混合料吨数的关系； 5 运距； 6 运料车车速； 7 在摊铺机前等待的时间： 8 混合料是否覆盖； 9 交通的延误。 纵观我国高速公路施工工地，沥青面层施工单位往往不重视控制上述变量中 的一些可控因素，使沥青混合料的温度差别较大。 经常出现以下现象：旖工单位的运料车位往往没有专用的隔温措施，而是常 向当地运输公司临时租用自卸车，往往存在车况不佳且脏的情况。此外，工程管 理人员本身对保护混合料的温度的必要性也缺乏足够认识。有人认为运距近不需 要覆盖，有人认为空气温度高( 特别在夏季) 时不需要覆盖，而空气温度与混合 料温度之差常在1 2 0 。c 以上。 运料车常无覆盖保温措施。有时虽各有覆盖篷布，但有的篷布小，仅覆盖了 整个车厢顶面。有的运料车虽备有覆盖篷布，也要求驾驶员将篷布覆盖混合料后 出厂，但由于篷布不完整、扣不紧，在运输途中会被风刮开或掀起。有的运料车 刚到达现场，驾驶员不管其前方有5 6 辆运料车停车待卸，立即将篷布卷起，收 在车厢前头紧靠车头处，让混合料暴露在空气中，热量损失加快。在其前方的运 料车辆都是如此。而运料车等在现场待卸时的时间常达1 h ，有时超过1 h 。不言而 喻，温度出现了较大的损失。 我幽在公路施工中，沥青混合料的运输工具大都为载重量不大于1 0 吨的自卸 卡车，载重量不及发达国家的一半。司机为了方便省事，对斗中的物料基本上小 做覆盖。这一切均会加剧车内局部区域物料的冷却，造成严重的温度离析。因此， 尽管我国在这方面未有人作过专门研究，但可以肯定地说，我国在路面施工中沥 青混合料的温度离析现象比发达国家要严重得多1 1 、引。 自卸卡车的运输和卸料过程是造成沥青混合料温度离析的主要原因。 众所周知，修筑高速公路时，除了非常靠近沥青混凝土搅拌站的路段外，铺 2 筑其它路段路面所需沥青混合料总有一定长度的运输距离，需要一定的运输时渊。 即使在炎热的夏天，气温比沥青混合料的温度也低得多，势必会通过车厢壁进行 热量的交换，且热交换的三种方式同时存在，造成混合料的热量损失，从而引起 温度的下降。毫无疑问，热量的损失与温度的下降主要出现在靠近车厢壁的混合 料中。如果车厢不加覆盖，车厢顶部的沥青混合料则与相对运动的空气直接接触， 顶层物料的热量损失和温度的下降将严重得多。随着运输距离的加大，运输过程 造成的热量损失也相应加大。混合料温度愈高，气温愈低，则热量损失愈大，造 成的温度差异越严重。混合料中沥青和骨料的导热性能都比较低。在行驶过程中， 卡车周边的混合料温度大幅降低，但由于导热性能低的缘故，热量从混合料堆的 中心向四面传导的速度相当缓慢。当卡车抵达摊铺现场时，卡车周边物料的温度 就会大大低于物料中部的温度，出现温度差别“3 。 卡车到达摊铺现场向摊铺机卸料时，车厢中部的物料因温度高、粘性低首先 被卸到摊铺机的料斗中，而靠近车厢壁的物料因相反的原因总是最后落在料斗的 两侧和顶部。因此，又是高温物料最先经刮板输送器传输到摊铺机的后部，出螺 旋摊铺器摊铺到基层上，而低温混合料却被延时到最后才被摊铺。这一过程进一 步加剧了沥青混合料温度的不均匀性，即温度的离析更加严重。由于这种现象出 现在每车运输和卸料过程中，故离析也周期性地出现【5 】。 为了减少温度离析和温度差别，从而提高路面质量。建议在进行沥青混凝土 面层施工时，应该注意并做好以下问题： 1 不同尺寸的材料分别堆放，可以减少离析现象； 2 冷料仓上方宜搭一蓬或篷布盖，防止下雨时雨水淋湿料斗中的集料；如果 碎石含水量比较大，可增加烘干及拌和时间来消除内部的含水量，从而使混合料 温度均匀。否则，混合料就存在一定的温度离析： 3 组织好运输的路线，尽量减少在路上的时间，减少温度损失； 4 运输车的状态好，一般采用大吨位的马担车，有足够宽的篷稚，车厢两侧 最好有隔温措施； 5 运输能力的配套，应根据产量和运距的实际情况备足运输车； 6 在较高温度下生产混合料及将较高温度的混合料装入运料车车厢； 7 拌和机的出料能力应满足摊铺机最低限度的摊铺速度，满足最长的碾压时 间的速度； 8 分料器连续运转，使新旧混合料较好拌和。调整分料器的速度，使出料连 续而缓慢，如分料器运转不连续，混合料会在摊铺机内产生显著离析； 9 尽可能减少将侧板翻起的次数，仅在需要将受料斗中的混合料整平时，才 将受料斗的两块侧板翻起。翻起侧板可以消除两侧材料的堆积过多的现象，从而 可以减少往后输料时发生的滚动现象； 3 t 0 尽可能连续摊铺混合料，只有在必要时才停顿和重新启动，调整摊铺机的 遮度，使摊车j i i 机的产量与拌和机的产量相平衡： 1 1 尽量缩短端头的和起步施工时间； 1 2 准备好应急的措施，减少中问停顿时间。 通过采取必要的措旋，尽量减少沥青混凝土的温度离析，从而提高路面质量1 3 6 i 。 1 2 2 国外对相关问题的研究 发达国家对沥青混凝土的温度离析已作了大量的研究。如美国的爱斯太克 ( a s t e c ) 公司使用高精度的红外线摄像机对摊铺作业进行拍摄，发现温度离析的 程度比人们所估计的要大多：1 4 3o c 的沥青混合料装入自卸卡车，运距仅为1 6 2 4 k m ，抵达摊铺现场时，沥青混合料的温度差别竞达到4 4 。c 之多，摊铺面上有些 区域的温度竞低到9 9o c 。1 9 9 7 年，澳大利亚一个建筑承包商从2 7 8 k m 远的地方运 料，到达施工现场时，卡车车厢两边的料温只有8 0o c ，车厢顶部的料温为9 6o c ， 而车厢中问的料温仍然有1 5 2o c 【4 1 5 】。 a s t e c 公司d o n b r o c k 博士研究指出：由于沥青混合料在运输和卸料过程中热量 流失的不均衡而产生明显的温度差异，摊铺到路面时，局部区域的物料温度甚至 低于沥青混合料所需的摊铺温度。低温混合料将不能被压实，从而导致熨平板起 伏，造成摊铺表面的不平整；一些较冷区域的混合料还可能冷却结块。碾压时， 结块物料可能会承受压路机的全部重量，而使其超载碎裂出现裂纹，造成混合料 不能碾压成型，破坏路面结构，影响路面强度。压实改性沥青混合料需要比传统 混合料更高的摊铺温度。出现温度离析的可能性更大，摊铺后的路面质量更难得 到保证。 摊铺路面的冷点还会导致路面密实度的不均匀，产生较高的空气间隙率和粗糙 度。研究表明：在混合料温度为1 4 9o c 的情况下进行压实，空气间隙率只有6 8 当温度降t 氐至- e j 9 3o c 时，空气间隙率增加到9 3 。这些高空气间隙很容易让水渗 透进入沥青混凝土，在冬天结冰后使沥青混凝土破裂，形成路面坑洼，影响路面 质量，使公路寿命缩短。 国外有人对此在试验室做过对比性的疲劳断裂试验，用数据证明了上述结论 的正确性。当摊铺料中的空气间隙率增加时，试件断裂所需要的轮式试验次数显 著降低。在1 0 4o c 压制的试件，其寿命大约只相当于在1 4 9o c 时压制的试件的 1 0 一1 2 。美国一个州的运输部研究指出，由于温度离析，路面的预期寿命可能 只有设计寿命( 1 2 1 5 年) 的一半，即公路的实际寿命缩短了5 0 ，导致公路建设 投资的巨大浪费。 温度离析还将使路面维修费用大幅度上升，汽车的燃料消耗和轮胎磨损增加， 4 行车安全和行车效果也大打折扣。 荚幽a s t e c 公司的研究结果表明，温度离析是导致摊铺质量问题的一人因素。 现行工艺中，运输车一般吨位较小，由于普通的运输车辆没有良好的保温设施， 至多采用帆蓬遮盖，在长时间的运输和待卸料过程中会使混合料温度f 降过多， 陶1 1 是红外线摄像仪拍摄的自卸车内的混合料温度分布情况【5 i 。从图中可以看 出，红色部分为温度较高的区域。蓝色部分为温度较低的区域。自卸车混合料外 表面的料温比中部的料温要低2 0 左右，造成温度离析。而摊铺机的布料过程无 法使混合料进行充分的混合，消除温度的差异。温度较低的混合料在摊铺和压实 过程中是不能与热混合料进行很好的衔接，将是沥青路面早期破坏的潜在因素。 图i 1 自卸车中沥青混合料的温度离析 红外摄像仪可绘制整个区域的热量分布图，并可以利用软件分析热量分布图， 评价温度离析状况l 引。红外摄像仪只能探测到表面及表层的温度分布情况，红外摄 像仪对完工后路面的评价精确度不够高，不同红外摄像仪经过标定后测定结果才 可用于分析比较。 采用红外摄影仪对高速公路沥青路面的温度离折状况进行了调查，调查表明上 面层改性沥青混合料在低气温施工存在明显的温度离析。 由于沥青混合料在自卸车中已经产生了温度离析现象，摊铺机不能很好地实现 温度低的混合料和温度高的混合料的均匀搅拌，使铺层出现明显的温度离析。 1 3 选题依据 本论文依托由三一重工股份有限公司、长沙理工大学、中南大学和北京自动 化研究所共同承担的国家“8 6 3 ”计划重大专项“基于转运车的机群智能化工程机 械及信息化制造” 其科技部编号为：2 0 0 3 a a 4 3 0 0 2 0 。 本论文的内容是其中两个课题： 1 “沥青路面机械化施工工艺” 2 “机群监控与智能调度”的重要组成部分。 5 1 4 主要研究内容 本论文结合国家“8 6 3 ”计划项目的任务，需要完成的内容有： 1 研究困内外有关于沥青料运送中温度离析的情况及原因； 2 用有限元的数学方法为温度场分析提供理论依据； 3 论述有限元仿真软件的基础知识； 4 将温度离析的原因作为载荷考虑到仿真中去，分析各种仿真初始条件； 5 描述沥青料运送过程中温度场仿真的基本过程； 6 对三种外部环境条件下的施工中自卸车沥青料的温度场进行仿真： 7 由仿真数据编制降温函数； 8 用现场施工采样数据对函数进行验算，使函数能够进行工程应用，并可以 作为“8 6 3 项目”监控中心编程的依据。 6 第二章热学有限元及热分析 2 1 引言 2 1 1 温度应力与温度场 在石油化工、动力、核能等许多重要部门中，在变温条件下工作的结构和部 件，通常都存在温度应力问题。在正常工况下存在稳定的温度应力，在启动或关 闭过程中还会产生随时问变化的瞬态温度应力。这些温度应力经常占有相当的比 重，甚至成为设计和运行中的控制应力。要计算稳态温度应力和瞬态温度应力首 先确定稳态的或瞬间的温度场。 由于结构的形状以及变温条件的复杂性，依靠传统的解析方法要精确地确定 温度场往往是不可能的，有限元却是解决上述问题的方便而有效的工具。 稳态或瞬态温度场问题，即稳态或瞬态热传导问题，在空间域的离散与弹性 力学问题类同，采用c n 型的插值函数，弹性力学问题中讨论过的单元和相应的模 式在这里都可以使用。主要的不同在于场变量，在弹性力学问题中，场变量是位移， 是向量场。在热传导问题中，场变量是温度，是标量场。对于瞬态温度场，除了空 间域的离散外还有时间域的离散。 在本章中将用加权余量的伽辽金法建立稳态温度场及瞬态温度场的有限元格 式，并讨论时间域的离散问题。 2 1 2 热传导微分方程及边界条件 在一般三维问题中，瞬态温度场的场变量中( x ，y ，z ，f ) 在直角坐标中应满足的微 分方程是 p c 詈一去卜詈) 一专( 七，詈) 一言( t ；誓) 一加一o c z - ， 在q 内应满足边界的条件是 屯；莓 在r l 边界上 ( 2 2 ) ，票n ，+ k y 詈n y + k ：詈n ：= 。 在r 2 边界上 ( 2 3 ) t 等n x + k s 詈n y + k , 詈也= ( 垂n 一嘞在r 3 边界上 ( 2 - 4 ) 式中： p 为材料密度( k g m 3 ) c 为材料比热( j ( t g k ) ) f 时间( s ) k 。k 。k ，分别是材料沿x ，y ，z y ：向的热传导系数( w ( m k ) ) q = q ( x ，y ，z ，t )物体内部的热源密度( w k g ) n x , h 。，n ：是边界外法线的方向余弦 由；中( r ，t ) 是r ，边界上的给定温度 q = q ( r ，t ) 是f 2 边界上的给定热流量( w m 2 ) h 放热系数( w m 2 k ) m 。= 中。( r ，f ) 在自然对流条件下，m 。是外界环境温度；在强迫对流条件下，巾。 是边界层的绝热壁温度。 边界应满足 r i + r 2 + f 3 = r 其中f 是q 域的全部边界。 微分方程( 2 1 ) 是热量平衡方程。式中第一项是微体升温需要的热量；第二、三、 四项是由x 、y 和z 方向传入微体的热量：最后一项是微体内热源产生的热量。微 分方程表明：微体升温所需的热量应与传入微体的热量以及微体内热源产生的热 量相平衡。 ( 2 2 ) 式是在r 1 边界上给定温度西( r ，t ) ，称为第一类边界条件，它是强制边界 条件。( 2 3 ) 式是在r ：边界上给定热流量q ( f ，t ) ，称为第= 类边界条件，当q = o 时就是绝热边界条件。( 2 4 ) 式是在r ，边界上给定对流换热的条件，称为第三类边 界条件。第二、三类边界条件是自然边界条件。 当在一个方向上，例如z 方向温度变化为零时，方程( 2 1 ) 就退化为二维问题的 热传导微分方程： p c 詈一去卜罢) 一专( t ，詈) 一言卜罢) 一艘= 。在q 内 c ：m 这时场变量( x ，y ，t ) 不再是z 的函数。场变量同时应满足的边界条件是 币= 中( r ，f ) t。娑rtx+kv娑nr=q(ox o y r ，f ) 在r l 边界上 在l 边界上 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 缸詈n 于等旷a p 。一企) 对于轴对称问题，在柱坐标中场函数中 在r 3 边界上 ( 2 8 ) ( r ，z ，t ) 应满足的微分方程是 缈警一言( ”詈) 一杀卜r 罢) 一q = 。在q 内舢i 面r i j 一瓦i t ij 一妒。 叫峒 边界条件是 币= 面( r ，t ) t ，丝娑：目( r ，f ) 2 x o xn x + k z i n z2 目) k 竺v 女：娑n z ： ( m 。一m ) 戚d z ( 2 9 ) 在r 边界上 在r 2 边界上 ( 2 1 0 ) 在r 3 边界上 在( 2 5 ) 一( 2 ，l o ) 式中，各项符号意义与( 2 1 ) - ( 2 4 ) 式中的类同。 求解瞬态温度场问题是求解在初始条件下，即 中= 币o t = 0( 2 1 1 ) 满足瞬态热传导方程及边界条件的场函数中，中应是坐标和时间的函数。 如果边界上的丽，一q ，中。，及内部的q 不随时间变化，则经过一定时间的热交换 后，物体内各点温度也将不再随时间而变化，即 塑；o 斑 ( 2 1 2 ) 这时瞬念热传导方程就退化为稳态热传导方程了。由( 2 1 ) 式，考虑( 2 1 2 ) 式的情况， 得到三维问题的稳态热传导方程 去卜罢) + 专( 七，詈) + 昙卜詈) + 艘目。 在q 内 cz ，s ， 由( 2 1 5 ) 式可得二维问题的稳态热传导方程 去( t ，警) + 专一詈) + p q = 。 在q 内 - ， 由( 2 1 9 ) 式则可得到轴对称问题的稳态热传导方程 * ，詈雕( 罢) 伽= 。 在q 内 求解稳态温度场的问题就是求满足稳态热传导方程及边界条件的场变量 中，巾只是唑标的函数，与时间无关。 9 2 2 热传导的有限元格式 2 2 1 稳态热传导的有限兀格式 本节着重介绍用加权余量的伽辽金法建立稳态热传导的有限元格式，这是解 决稳态热传导的常用有限元格式 现以二维问题为例，说明用伽辽盒法建立稳念热传导有限元格式的过程。构 造近似函数面，如；已满足r 1 ，边界上的强制边界条件( 2 6 ) 式。将近似函数代入 场方程( 2 4 ) 式及边界条件( 2 7 ) 式、( 2 8 ) 式中将因为不满足方程而产生余量，即有 。孙卦孙卦p q t 罢州，詈旷g ( 2 1 6 ) k i 油xn , , + k r 詈旷 ( 中。一面) 用力权余量法建立有限元格式的基本思想是使余量的加权积分为零，即 正比m d q + 正：辟，w 2 d f + 正，辟，d r _ 0 ( 2 1 7 ) 式中，暖，比是权函数。上式的意义是使微分方程( 2 1 4 ) 黎1 自然边界条件( 2 7 ) 式及 ( 2 8 ) 式在全域及边界上得到加权意义上的满足。 将( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 7 ) 式并进行分部积分可以得到 阡帮- - f f 州i i , - 施- i f 、) 叫d q + 亚m 卜詈+ b 詈n ，p r 饥f r ik ，o 孤面n ，峨詈驴q 扛d r + 小罢也+ b 詈叫( 卟面) p 瑚 ( 2 1 8 ) 将空间域q 离散为有限个单元体，在典型单元内各点的温度币可以近似地用单元 中一；= 艺n em ( 上，y 净，= 旷 ( 2 1 9 ) = 【n 1 , n ：m 。 2 2 0 式中心是每个单元的结点个数，n i ( z ，y ) 是插值函数，与弹性力学问题一样，它亦 应满足 ( x j , y j ) 2 o 及? ；1 驽i 匈= i ( 2 2 1 ) 山于近似场函数是构造在单元中的，因此( 2 2 3 ) 式的积分可改写为对单兀积分的总 和。 用伽辽金法选择权函数 彬= n ，- l 2 ，” ( 2 2 2 ) 其中n 是q 域全部离散得到的结点总数。在边界上不失一般性地选择 = 彤= 一暇= _ ，- 1 , 2 ，- ，月 ( 2 2 3 ) 因零己满足强制边界条件( 在解方程前引入强制边界条件修正方程) ，因此在1 1 ，边 界上不再产生余量，可令w 在r 1 边界上为零。 将以上各式代k ( 2 2 3 ) 式则可以得到 圳警( k 警) + 等( t ，讣 一正，俐，d q 一善丘，q d f 一善正r ，l 中a 打+ ；正j 怂博。订l o ( j = 1 , 2 ，1 ) ( 2 2 4 ) 写成矩阵形式则有 ；正。f ( 警) 7 ti o n + i b 眇n 、i j r k ，詈卜加 + 善丘m 7 7 肿叼r 一；层7 d r 一；矗n r h d p , d f + 善正n r 加扭l o r 2 2 5 ) x 式是n 个联立的线性代数方程组， 限元格式( 2 2 5 ) 式可表示为 k m = p 1 1 ( 2 2 5 ) 用以确定n 个结点温度m 。按照一般有 ( 2 2 6 ) 式巾k 称为热传导矩阵 m “m 。，中：中， 7 是结点温度列阵 p 是温度载荷列阵 矩阵k 和p 的元素分别表示如下 = ；l ，卜警警+ k y 等警p q + 善丘叩r z 7 ， 卑5 ；f 6 n i q d f + m 西。d f + 正，n , p q d r ( 2 2 8 ) ( 2 2 7 ) 式中的第一项是各单元对热传导矩阵的贡献，第二项是第三类热交换边界 条件对热传导矩阵的修正。( 2 2 8 ) 式中的三项分别为给定热流、热交换以及热源引 起的温度载荷，可以看出热传导矩阵和温度载荷列阵都是由单元相应的矩阵组集 而成。我们把( 2 2 7 ) 及( 2 2 8 ) 式改写成单元集合的形式 式中 = 巧+ 日； # = 弓+ 焉+ 吃 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 畅2 小，警警+ 七 v 吣- - g - ；。q s ， ：2 fh n t n i d f ( 2 3 2 ) 弓。e n i q d f ( 2 3 3 ) 磁5 正j 中。d f ( 2 3 4 ) 2 正。n j p q d f ( 2 3 5 ) 以上就是二维稳定热传导问题有限元的一般格式。热传导问题也存在变分的 泛函， 由变分法建立的有限元方程与用伽辽金法建立的有限元方程是一致的，读 者可以作为练习加以验证。 2 2 2 瞬态热传导的有限元格式 瞬态温度场与稳态温度场主要的差别是瞬态温度场的场函数温度不仅是空问 域q 的函数，而且还是时问域t 的函数。但是时间和空间两种域并不糊合，因此 建立有限元格式时可以采用部分离散的方法。 我4 1 h ) 5 以二维问题为例来建立瞬态温度场有限元的一般格式。首先将空间域 离散为有限个单元体，在典型单元内温度中仍可以近似地用结点温度中；插值得到， 但要注意此时结点温度是时问的函数： 中= 面2 蓦f ( w ) 中r ( f ) ( 2 3 6 ) 插值函数m 只是空间域的函数，它与以前讨论过的问题一样，也应具有插位函数 的基本性质。构造莓时已满足f t 上的边界条件，因此( 2 - 3 6 ) 式代入场方程( 2 2 5 ) 和 边界条件( 2 7 ) ，( 2 8 ) 式时将产生余量 r q = p c 狮* 哥孙舟艘 s ， t 罢”b 詈n ，一目 ( 2 3 8 ) 吒一，豢”t ，詈n ，一一( 零。一丕) s ，) j ：心w d q + y r ：r r ：d r + 正，r r ，形d r 0 ( 2 4 0 ) 按伽辽金法选择权函数 嵋= n ，= 1 , 2 ，n 峨= 一暇 ( 2 4 1 ) 代入( 2 4 0 ) 式、与稳态温度场建立有限元格式的过程类同，经分部积分后可以得到 用以确定l q 个结点温度由；的矩阵方程 c 巾+ k 垂= p ( 2 4 2 ) 这是一组以时间t 为独立变量的线性常微分方程组。式中c 是热容矩阵，k 是热传 导矩阵，c 和k 都是对称正定矩阵，p 是温度载荷列阵，m 是结点温度列阵。击是 结点温度对时问的导数列阵，击：塑。矩阵k ，c 和p 的元素由单元相应的矩阵 元豢集成： = 蠕+ h ； g = g 只= 巧+ 吃+ 呓 单元的矩阵元素由下列各式给出 争正。卜警警批，軎等弘q 是单元对热传导矩阵的贡献 h ；5 矗h n i n j d f 是单7 i 热交换边界对热传导矩砗的修正 q 。l r p c n i n _ f d f f 2 是单元对热容矩阵的贡献 呓2 上，p q n f l f f 2 是单元热源产生的温度载菏 乓2 正q n f l f 是单元给定热流边界的温度载荷 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 磁。正肺。n , d r ( 2 4 9 ) 是单元对流换热边界的温度载荷 至此，已将时间和空间域的偏微分方程问题在空间域内离散为n 个结点温度 币( f ) 的常微分方程的初值问题。对于给定温度值的边界r 。上的，i ，个结点，方程组 ( 2 4 2 ) 中相应的式子应以 中兰中 ( 2 。5 0 ) 取代，式中i 足r ，上q 个结点的编号。 1 4 2 2 3 时间域的离散：两点循环公式 对于只有一阶导数的常微分方程组如( 2 4 2 ) 式，时间域的离散可以采用简单的 两点循环公式。 木节重点介绍用加权余量法建立两点公式。 把时问也分成若干时间单元对时间域进行离散。以时间为独立变量可以写出 以下公式： 中。面；了n i ( f ) 中， ( 2 5 1 ) o 、。 这里中，是在时刻i 时的巾的一组结点值。插值函数f ( t ) 对于向量m 的簿个分量都 取相同的数值，因此m ( t ) 是一个标量函数。 当常微分方程组中只包含对时间的一阶导数时，对插值函数m 的最低要求是 m 也必须是一阶的，即m 至少是一次多项式，单元至少有二个结点。 取一个典型的时间单元长度“，单元内巾由结点值中及m 。插值得到 西= n 。中。+ 虬+ 1 中。+ 1 的一阶导数 巾= m 西。+ 虬+ l 巾。“ 插值函数及其一阶导数可以用局部变量亭给出 ，t f n ，= 1 - n + 。= 0 皇1 成- 一三 f 或+ 。1 一 f ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 由于采g l ( 2 5 2 ) 式的近似插值，在单元中方程( 2 4 2 ) 必然产生余量。对于一个 单元建立典型的加权余量格式 j ： c ( 机m 。+ 晓+ t 巾一) + 世( m 中+ m + t 中一) 一p p 宇；o ( j = 1 ) ( 2 5 5 ) 当求解的是个初值问题时，一组参量中假定为已知，利用h - 程( 2 5 5 ) 就可以用 来近似确定另一组参数巾。把( 2 5 4 ) 式代入( 2 5 5 ) 式就可以得到时间单元前后结点 上两组参量的关系式 f k f w f i d 耋+ c j m o ，堕a t ) k 一 + f “( 1 一亭) 睁c m 堕a t h ) 一f 朋宇；0 ( 2 5 6 ) 式中可以代入不同的权函数。在以上讨论巾假定热传导矩阵k 和热容矩阵c 不随 时间t 而变化。 r 2 5 6 、式可以表达为任何权函数都适用的一般形式： ( c a t + k 日) 中。+ ，+ ( 一c n t + k ( 1 一币。) = ( 2 5 7 ) 式中 e = 酒斟专 妇畦 ，一一l p d | 扣d 乇。) ，热量从左侧平面向右侧平面传递。而且满足关系： 旦：丝! 玉二王趔!( 2 6 2 ) fd 式中：q 为时间t 内的传热量； k 为热传导率： t 为温度： d 为两个平面之间的距离。 这就是傅立叶定律，又称为导热基本定律。 2 3 1 2 对流 对流是指的温度不同的各部分流体之间发生棚对运动所硬气的热量传递方 ，。高温物体表面常常发生对流现象。这是因为高温表面附近的空气凶为受到热 量而膨胀，密度降低并且向上流动。与此同时，密度较大的冷空气将下降并代管 原来的受热冷空气。 对流换热的基本计算公式是牛顿冷却公式： 流体被加热时q = o 。一f ，) ( 2 6 ： ) 物体被冷却时q = h ( t ，一t 。) ( 2 6 4 ) 式中：t 。和t ，分别为壁面面温度和流体温度； h 为对流换热系数，它不仅仅取决于的物理性质以及换热表面的形状和 布置，而日和流速密切相关。 2 3 1 3 辐射 与传导和对流不同，热辐射是通过电磁波的方式传递能量的过程。辐射不需 要物体之间的直接接触，也不需要任何中间介质。 同一物体，无度不同的时候热辐射能力是不同的，温度相同的不同物体的热 辐射能力也不相同。同意温度下的黑体的热辐射能力最强。黑体在单位时问内发 丑的热辐射能量由s t e f a n b o l t z m a n n 定律揭示： 巾。s a t 4( 2 6 5 ) 式中：t 一黑体的热力学温度； 口一黑体的辐射常数； s 一辐射表面积。 一切实际物体的辐射能力都小于同温度下的黑体。实际物体的辐射量的计算 可以采用s t e f a n - b o l t z m a n n 定律的修正形式： 中；e s a t 4( 2 6 6 ) 称为实际物体的辐射率，数值介乎于o 一1 之间。 自然界中的任何物体都在不断的想周围空间发射辐射能，并吸收来自空间其 他物体的辐射能。这种辐射和吸收过程的综合作用便形成了辐射换热过程。 2 3 2 热分析基本材料属性 用有限元仿真软件进行热分析的时候，需要给出每一个实体的材料属性，由 f 已经对热传导率、对流换热系数和辐射系数进行了介绍，因此现在介绍以下几 种材料属性。 2 3 2 1 比热容 比热容指的是单位质量的物质每升高或者降低一度的时候所吸收或者放出的 热量，热量变化与温度变化的关系可以表达为： 1 9 q = c r o a t 式中：q 为热量； m 为质量； a t 为温度的变化 c 就是比热容，如果发生相变， 的时候，热量变化不会改变温度。 2 3 2 2 焓 ( 2 6 7 ) 上述的关系式不再成立。这是因为发生相变 焓的定义式为： i - u + p v 式中：h 为焓； u 为内能； p 为压力； v 为温度。 对于常压情况，上式又可以表达为： = 矿+ m y 说明在常压条件下，焓的变化就是热量的变化。 2 3 2 3 生热率 ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) 生热率既可用做属性赋予材料，又可用做体载荷施加到单元上，用以模拟化 学反映生热或电流生热。 2 ，3 3 三类边界条件 为了使得每一个节点的热平衡方程具有睢一的解，需要附加一定的边界条件 和出事条件，统称定解条件。 2 3 3 1 第一类边界条件 第一类边界条件是指物体边界上的温度函数为已知，用公式表示为： t | r 一0 ( 2 7 0 ) 或者t i r = f ( x ，y ，t ) ( 2 7 1 ) 式中：r 为物体边界； l 为已知壁面温度： f ( x ，y ，t ) 为已知温度函数。 2 3 3 2 第二类边界条件 第二类边界条件是指物体边界上的热流密度q 已知，用公式表示为： 一女婴：| r ；譬 ( 27 2 ) 或者 一坚。i ，；g o ，y ，f ) ( 2 7 3 ) 式中：q 为已知道热流密度； g ( z ，y ，t ) 为已知热流密度函数。 2 3 3 3 第三类边界条件 第三类边界条件指的就是与物体相互接触的流体介质的温度l 和换热系数a 知。用公式表达为 一女蓑”i 咿一弓) | r ( 27 ” z ，和a 是常数，也