（基础数学专业论文）乘法半群为逆半群的半环.pdf

摘要 半环的代数理论，是重要的代数学分支。对半环理论的研究，具有十分重要的理论 和应用价值 本文研究了加法半群是半格、乘法半群是逆半群的半环类。讨论了该类半环的性 质、结构以及该类半环的子类第一章介绍了半环的相关知识和下文要用的记号第二 章讨论了逆半环，给出了逆半环所满足的充分必要条件和相关命题，得到了逆半环成为 单演双半格的充要条件第三章研究了c l i f f o r d 半环证明了完全正则半环是c l i f f o r d 半环，得到了0 一群半环是仅有的次直积不可约的c l i f f o r d 半环，利用m c a l i s t e rc o n e 理论，构造了半环上的偏序关系，得到了一些有趣结果第四章研究了加法半群是半 格、乘法半群是d 酉c l i f f o r d 半群的半环，阐述了该类半环的性质并且给出了该类半 环的结构性定理和次直积刻戈 关键词：逆半环；c l i f f o r d 半环；e 一酉性；偏序；半格；坚固半格；次直积 a b s t r a e t a l g e b r i ct h e o r yo fs e m i r i n g si sav e r yi m p o r t a n tb r a n c ho fa l g e b r a t h e r ea r e s i g n i f i c a n tv a l u e so fp r i n c i p l ea n da p p l i c a t i o n si nt h es t u d yo fs e m i r i n g s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e rs e m i r i n g sw h o s ea d d i t i v er e d u c t s 口es e m i l a t t i c e s a n dm u l t i p l i c a t i v er e d u c t sa x ei n v e r s es e m i g r o u p s ，d l i b e r a t et h en a t u r ea n ds t r u c t u r e o fs e m i r i n g sa n dt h es u b c l a s s e so fg i v e nc l a s so fs e m i r i n g s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c e r e l a t e dk n o w l e d g eo fs e m i r i n g sa n dn o t e sn e s e di nt h ef o l l o w i n g i nc h a p t e rt w o ，w e r e s e a r c hi n v e r s es e m i r i n g s ，o b t a i nt h ec o n d i t i o n sw h a tt h es e m i r i a g ss a t i s f ya n dr e l a t e d p r o p o s i t i o n s w eg i v es o f t i en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a ts e m i f i n g sb e c o m e d i s t r i b u t i v el a t t i c e s i nc h a p t e rt h r e e ，w eo b t a i nc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n g sa r ea i 浜 f o r ds e m i r i n g sa n do - g r o u ps e m i r i n g sa r eo i l l ys u b d i r e e t l yi r r e d u c i b l ec l i f f o r ds e m i r i n g s b yu s i n go ft h e o r yo fm c a i s t e rc o n e ，v v ec o n s t r u c tp a r t i a lo r d e r so ns e m i r i n g sa n d g e ts o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s ；i nc h a p t e rf o u r ，w ei n v e s t i g a t es e m i r i n g sw h o s ea d d i t i v e r e d u c t s8 r es e m i l a t # i c e sa n dm u l t i p l i c a t i v er e d u e t s 盯ee - u n i t a r yc l i f o r ds e m i g r o u p s g i v es t r u c t u r et h e o r ya n dd e c o m p o s i t o no fs u b d i r e c tp r o d u c ta b o u tt h e s es e m i r i n g s k e y w o r d s ：i n v e r s es e m i r i n g s ；c l i f f o r ds e m i r i n g s ；f ，u n i t a r y ；p a r t i a lo r d e r s ；s e m i l a t t t i c e s ；s t u r d ys e m i l a t t i c e ；s u b d i r e c tp r o d u c t i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 叠霆 指导教师签名： 坊乏； 细年，月f 2 - e t。f 。年d r 月爻日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：邳密 胁号年 月 2 日 第一章绪论 半群代数理论是一门重要的代数学分支它在许多领域，如计算机、信息安全、自 动化控制等方面都有重要的应用价值【1 8 】经过一个多世纪的发展，现如今，半群代数 理论已发展的较为成熟，并在一些领域取得了大量的相关理论与结果，特别是对正则 半群的研究，成果颇丰近几十年来，正则半群的特殊情形如逆半群、纯整半群、完全 正则半群的研究，在半群代数理论研究中占有十分重要的地位1 9 7 6 年，jm h o w i e 所著的7 a ni n t r o d u c t i o nt os e m i g r o u pt h e o r y ”一书介绍了正则半群的基本理论和 结果，对半群理论的研究起到了巨大的推动作用1 9 8 4 年，m p e t r i c h 所编”i n v e r s e s e m i g r o u p ”一书，几乎囊括了那个时代逆半群研究的绝大部分成果，激发了代数学者 对逆半群及其相关理论进行深入研究著名的代数学者d b m c a l i s t e r 对逆半群上的 偏序关系进行深入的研究| 5 吼提出了著名的m c a l i s t e rc o n e 理论，该理论推广应用 到其它正则半群，得到了一些非常漂亮的结果 1 1 1 2 1 i a l l “m 】 半环代数理论的研究始于十九世纪末，但发展非常迅速如今，半环理论十分丰 富，已应用到自动机、语言、组合学、函数分析、图论等许多领域，并且有不少关于半 环理论和应用方面的著作【1 5 】【2 7 】1 2 8 1 半环( s ，+ ，) 是指非空集合s 上装有两个二元运算加法“+ ”和乘法“”的代 数，其中( s ，+ ) 和( s - ) 均是半群，且满足乘法对加法的分配律，即 ( v a ，b ，e s )( a + b ) c = o c + b c 和c ( o + 6 ) = c a + c 厶 从代数的角度来看，半环可以看成是由分配律联系的同一非空集合上的两个半群这 样一来，半群代数理论的一些研究方法和结论，有助于我们来研究半环近些年来， 些代数学者从半环的半群角度出发，对半环进行了研究 7 1 1 8 9 3 我们知道，g r e e n - 关系在半群理论的研究中，起着重要的作用同样地，半环 的加法半群和乘法半群上的g r e e n - 关系在半环理论的研究中也扮演着十分重要的角 色设s 是半环，我们分别用咒( 矗) ，c ( 互) ，口( 西) 表示s 的乘法半群【加法半鞘上 的g r e e n - 7 l ，d - 关系，一些著名的代数学者从幂等元半环的乘法带 加法制上的 g r e e n 关系出发，对幂等元半环进行研究，得到了非常优美的结论【g 】【1 1 l 【3 q p 若v 为任一给定半群类，我们用v 表示乘法【加法 半群属于v 的半环 的全体例如：若用s 和i c ，e c 分别表示半格类与逆半群 c l i f f o r d 半群，e 一酉 c l i f f o r d 半群】类，则s 和i 【c ，ec 】分别表示加法是半格的半环类和乘法半群是逆半 群 c l i f f o r d 半群，b 酉c l i f f o r d 半群 的半环类s ni 表示加法半群是半格、乘法半 群是逆半群的半环类 设s 是半环，若s 的加法半群和乘法半群都是正则的，则由文献【2 1 】节i i4 知 s 的加法半群和乘法半群均存在自然偏序，分别用+ 和s 表示s 的加法半群与乘 法半群上的自然偏序若半环se s tn i ，则由上文知s 的加法半群和乘法半群上均 存在自然偏序文献f 1 3 】中，作者所研究的逆代数就是s fn i 中的半环，其中乘法半 群是逆独异点，并且+ = 本文把这定义加以推广，定义了完全正则半环瞪半 环，c l i f f o r d 半环 ，对这几类半环进行讨论第二章讨论逆半环，给出逆半环所满足的 充分必要条件，证明逆半环成为单演双半格的充要条件和s g i 中的半环成为分配格 的等价命题；第三章研究了s nc 中的半环，特别地，讨论了c l i f f o r d 半环，证明完 全正则半环是c l i f f o r d 半环，并且证明0 一群半环是仅有的次直积不可约c l i f f o r d 半环 ；第四章讨论s tn e e 中的半环，得到一些性质，给出该类半环的结构性定理和次直 积刻划 2 第二章逆半环 本章的主要研究对象是逆半环，给出了逆半环所满足的充要条件和逆半环成为单 演双半格的等价命题；讨论了壶ni 中的半环成为分配格的充要条件 2 1 逆半环 设( s ，) 是半群对a s ，若存在。s 使得a x a = a ，则。称为s 的正则元 若s 的每一个元素都是正则的，则s 称为正则半群对o s ，若存在z s 使得 t z x a = 。和x a x = z ，则z 称为a 的逆元若对任意的n s ，s 中有且仅有n 的一个逆 元，记n 的逆元为a ，则s 称为逆半群由文献1 14 节5 1 知；正则半群s 是逆半群 当且仅当s 的幂等元集合e ( s ) 是s 的子半格，亦即，当且仅当对任意的e ，f s ( s ) 有e ，= ，e e ( s ) 半群s 上的偏序关系是相容的，是指s 满足下面条件： ( v a ，b sz ，y s 1 )口sb 哥x a y sm 妇 例如：若在逆半群s 上定义二元关系如下： ( v a ，6 s ) n s6 骨( je ，e ( s ) ) a = b e = ，6 ， 则为s 上的偏序关系，由文献【1 4 】节5 1 知：s 为s 上的自然偏序，且是相容 若半环se s 。gn i ，则由绪论知+ 和分别表示s 的加法半群和乘法半群上的 自然偏序，即定义如下： ( v a b s )口+ b 甘a = a + b ， 。b 车= 争( je ，e ( s ) ) o = b e = f b 其中e ( s ) 表示s 的乘法半群的幂等元之集 设半环s g ，若s 的乘法半群 ) 是逆半群院全正则半群1 1 且满足5 - = ： 则s 称为逆半环【完全正则半环 由定义知逆半环是s en i 中的成员由+ = 5 知 s + ，与半环的加法运算和乘法运算均是相容的 设s 是逆半环，由文献 14 】命题5 1 2 可知：对任意的a ，b s ，a 6 当且仅当 a 。6 ，从两直接有 引理2 1 若s 是逆半环，则 ( v a ，6 sn + b = 争a 一1 + b 一1 ， 3 引理2 2 若s 是逆半环，则s 满足 ( v a ，b s ) ( n 舶) = o 。+ b ( 1 ) 证明对任意的a ，b s ，由+ 的定义，显然有a + b + a 、由引理2l 有 + 一1 + 8 交换a ，b 角色得( a + 6 ) - 1 s + b 。以上两个不等式左右相加，由 s s 得( o + 6 ) 一1 茎+ o 一1 + b 一由s + 的相容性得 ( a + 6 ) 一1 ( o + b ) + a 一1 + b 一1 ) ( 口+ 6 ) 【2 ) 对任意的c s ，设c + 。一1 ( 0 十b ) ，cs + b - 1 沁+ b ) ，由引理2 1 得c 。+ ( 。+ b ) 。n ， 同理可得c - 1s + 0 + 6 ) 一1 6 以上两个不等式相加，由se s e 得c _ 1 + 扣+ 6 ) 。( n + b ) ， 由；f 理2 1 得c s 。( a + 6 ) 一1 + 取c = ( a - 1 + 6 1 ) ( 。+ ，有 ( o 一1 + 6 1 ) ( o + b ) + ( a + 6 ) 一1 扛+ 6 ) ( 3 ) 由( 2 ) 式和( 3 ) 式得 ( 0 1 + b - 1 ) ( 口- 4 - = ( a + 6 ) 一1 ( 。+ 6 ) ( 4 ) 由的定义有 ( 。+ 6 ) 一1a + 6 ) ( n 一1 + b 一1 ) 。一1 + b 一1 ( 5 ) 设d s 并且d - 1 墨+ o ，d - 1 + b ，由引理2 1 得d + ( + 6 ) 由+ 的相容 性有d = d d 一1 d + ( o + 6 ) 一1 ( + b ) a 一类似可得ds + ( n + 6 ) 一1 ( o + b ) b 一，以上 两式相加，由s s 4 - 有ds + ( 。+ b ) - i ( n + 6 ) ( n 一1 + b - i ) 取d = c t - i + b ，则有 n 一1 + b 一1 + ( 口4 - 一1 ( 血+ 6 ) 忙一1 + b - 1 ) ，由+ = 得 由( 5 ) 式得( o + 6 ) 一1 ( + 6 ) ( n 一1 + b 一1 ) = n 一1 十b 由上式和( 4 ) 式有( n “+ b - 1 ) ( n + 6 ) ( n 一1 + b 一1 ) = n 一1 + 6 1 和( o + 6 ) ( o 一1 + 6 1 ) ( a - t - b ) = a + b 从而，( 口+ 6 ) 一1 ，n 一1 + b 一1 都是n 十b 的逆元，由- ) 中元素的逆元是唯一的，可得( + 6 ) 。= 口- 1 + b 引理2 3 若s 是逆半环，则s 满足 ( v n ，b s )口一1 ( 盘+ b ) = b - 1 ( n + b ) = ( o + 6 ) 一1a + b ) ( 6 ) 证明对任意的n ，b s ，由+ 的定义，显然有a + b + a ，由+ = 得 a + 6 a 由引理2 1 和偏序的相容性得 a + b ) 一1 ( n + 6 ) sa - 1 + 6 ) = a - 1 。+ n 一1 b ( 7 ) d 对任意的c s ，设c t 2 - 1 。，c a - 1 b 由csa l o , 和的定义得c e ( s ) ， 从而有c = c c b - 1 0 g 一1 b b - a b由s = 茎+ 得c = c + c + c + cs a - l o , + + 血一1 b + b - 1 n + b - 1 b = ( n 一1 + b 一1 ) ( n + ，即cs ( n 1 十b 一1 ) ( o + 6 ) 由引理2 2 得 c = c “( o + 6 ) 一1 ( n + 6 ) ，取c = o 一1 ( n + ，得8 。( a + b ) ( 口+ 6 ) 一1 ( 口+ 6 ) 由( 7 ) 式 有a - i ( n 十b ) = ( 。+ 6 ) _ 1 ( o + 6 ) 类似地，交换o ，b 角色得6 1 ( n + b ) 一( o + b ) 。( 。+ 6 ) 从而有a - 1 ( o + b ) = b - 1 ( o + b ) = ( a + 6 ) 一1 ( 。+ b ) 双半格( m ，+ ，) 称为单演双半格是指m 满足( v e ，m ) e + ，= e ，全体单演 双半格所形成的簇记为m ，由文献【5 引理l7 知；如果s 是上半格逆半群，那么对 任意的e ，f e ( j s ) ，有8 v ，蜀：s ) 从而可得 引理2 4 若s s g n i ，则 ( i ) s 的乘法半群的幂等元之集e ( s ) 是s 的子半环； ( i i ) 若s 是逆半环，则e ( s ) 是单演双半格 证明( i ) 设e ，e ( s ) ，由 - ) 是逆半群和( 日( s ) ，) 是半格得 e ( e + ，) - 1 = ( ( e + ，) e ) - 1 = ( e ( e + ，) ) 。 = ( e + ，) 。e 类似地得到f ( e + ，) _ 1 = ( e + ，) f ，以上两式相加得 ( e + ，) ( e + ，) 一1 = ( e + ，) 一1 ( e + ，)( 8 ) 又( e + 厂) 2 ；e + e l + ，e + f = ( e + ，) 3 ，从而有0 + ，) 2 ( e + ，) 一1 = ( e + ，) 3 ( e + ，) ， 由( 8 ) 式得( e + ，) ( e + ，) 一1 ( e + ，) = ( e + ，) 2 ( e + ，) 一1 ( e + ，) ，即e + ，= ( e + ，) 2 从 而，e ( s ) 是s 的子半环。 ( n 设s 是逆半环，e ，e ( s ) ，显然有e + f + e ，e + ，+ ，由+ = 和 的相容性得e + ，e ，由的定义知e + f = ( e + f ) e f = e f 从而，e ( s ) 是单演 双半格，即e ( s ) m j 下面给出s en i 中半环成为逆半环的等价命题 定理2 , 5 若s s e n i ，则下列命题等价： ( i ) s 是逆半环； ( i i ) e ( s ) 是单演双半格，并且s 满足 ( v a ，b s ) + 6 ) 一1 = 。一1 + b 一1 5 ( i i i ) s 满足 ( v a ，b s ) a 。( o + b ) = b - 1 ( n + b ) = ( 口+ 6 ) 一1a 十b ) 证明由引理2 1 、引理2 2 和引理2 4 知( i ) = ( i i ) ( i ) = ：争( ：l i i ) 显然成立 ( i i ) = 辛( i 戤对任意的a ，b s ，由( i i ) 有 ( a 十6 ) 一1 ( 。+ b ) = a - l g + a - l b + b - l a + 6 1 6 + 一1 0 十a - 1 b 设c s ，并且cs + 6 - 1 a ，c + a - 1 b 由5 + 的定义得c = c + a - i b ，给上式两边取 逆，由( i i ) 得c - 1 = c - 1 + b - i a ，即c _ 1 + b - l a ，从而有c - 1 c + b - i a a - 1 6 由s ( s ) 是 单演双半格得b - 1 a f t 一1 b + b - 1 b = b - 1 a a 一1 b b 一1 b = b - 1 口8 b ，即b - 1 n n 一1 5 s o b 这样 得到c - t c + b - l b 由+ 的相容性得c = c c - 1 c + c 6 一b 令c = t 2 - 1 t 2 十a - l b ，则有 a - l a + a - 1 6 s + ( o 一1 a + a - 1 b ) b 1 b = a - i 口+ a - l b + b - 1 6 ， 显然a - l a + a - l b + b - 1 6 + a 一1 a + a - l b ，从而 a - 1 ( 8 + b ) = a - l a + 口一1 6 = a - l a + a - l b + b - l b ( 9 ) 设d s ，并且d s + a 一1 n ，d 5 + a 一1 b ，d + b 一1 b ，由引理2 1 得d - 1 + b - l a ，出+ 的 相容性得 d = d d 一1 d 。d b 一1 a d 。b 一1 b b - l a a - 1 a = b - 1 0 从而，有d + a 一1 a + a 1 b + b 一1 a + b 一1 b = + 6 ) - 1 ( n + 6 ) 不妨取d = a - 1 a + a - 1 b + b b ， 显然0 + 酚- 1 ( 。+ 6 ) + 。8 + a - ：b + b - ：b ，由( 9 ) 式得 ( 盘+ 6 ) 一1 ( + b ) = a - 1 0 + a - 1 b + b - 1 b = a - 1a + 6 ) 交换o b 角色有b 。( d + b ) = ( n + 6 ) “( n + 6 ) ( i i i ) = 号( i ) 只需证明+ = s 对任意的a ，b s ，设o + b ，则由( i i i ) 得 a = n + b = ( a4 - 0 + 一1 沁+ 6 ) = + 6 ) ( n + 6 ) 一1 b 由的定义有a b ，从而s + 对任意的a ，b s ，设n b ，由的定义有= ( t - 1 a b ，则a + b = a - 1 a b + b = ( - 1 n + 砷- 1 ) 6 由( i i i ) 和引理2 4 ( i ) 知：对任意的e ，f e ( 固，有e + f = e ( e + f ) f ( e + f ) = e 厂 从而( a - i a + 砧。) 6 = a - 1 a b b 。b = a - 1 a b = a ，即a + b = n 由+ 的定义有o s 十b ，从 而，s + 这样得到+ = 由逆半环的定义得s 是逆半环。 6 设s 是半群，e ( s ) 是s 的幂等元之集，若对任意的d s ，e e ( s ) ，由e c l ( a e ) e ( s ) 可得口e ( 曰，则s 称为左( 右) b 酉的若s 既是左e - 酉的又是右昂酉 的，则s 称为e 一酉的 上文给出了完全正则半环酌定义，特别地，若完全正则半环s 的乘法半群是带， 则s 称为幂等元半环设s 是幂等元半环，若( s ，) 是半格，则s 称为交换的幂等元 半环在文献f 1o 】中，作者证明了交换的幂等元半环是单演双半格本文中，为了推 广这一结果，需要如下引理： 引理2 6 若s 是逆半环，则对v a s ，e e ( s ) ，有e + 。e ( s ) 证明对任意的口s ，e 联s ) ，由s s 得e + a 十e ，由s + = s 得e + ase 由偏序的定义知存在，e ( s ) ，使得e + n = e ，e ( s ) ，即e + o e ( s ) 命题27 若s 是半环，则下列命题等价： ( i ) s 是幂等元半环； ( i i ) s 是逆半环，并且( s ，) 是日一酉的； ( i i i ) s 是单演双半格 + 证明( i ) = = 争( i 虮设s 是幂等元半环，则对任意的e ，s ，由s s 得到 e + f + 8 ，e + ，s + - ，由+ = ，得e + ，e ，e + ，因此 f e = f e + ，e = ，( e + ，) e = e + ， = ，+ e 从而：s 是单演双半格 ( i i ) = j ( i i i ) 设s 是逆半环，对任意e e ( s ) ，a s ，由( 6 ) 式得( e 十o ) 。( e + n ) 一 a - i ( e + 。) ，给上式两边取逆得( e + 。) - 1 ( e + o ) = ( e + n ) - 1 0 ，给上式两边左乘e + n 得 e + = ( e + q ) ( e + 口) 一1 n 由引理2 6 得( e + d ) ( e + 口) 一1 a e ( s ) ，由( s ，) 的e 一酉性 得d 岳( s ) 由口的任意性，有s = 刀( 占) 从而，由引理2 4 ( i i ) 得s 是单演双半格 ( i i i ) = 辛( i ) ，( i i i ) 哥( i i ) 显然成立 2 2 面n i 中的半环 上文已阐述了逆半环成为单演双半格的等价命题，接下来给出壶ni 中的半环成 为分配格的充要条件 7 设】和2 是集合s 上的两个偏序关系，若( 。，b s ) n 扣= ja _ 2 b ，则称2 是1 的延拓 引理2 8 设s 由n i 若+ 是s 的延拓，且( 1 ) 式成立，则。= ，其中 + 表示s + 的逆序 证明由+ 是的延拓知：+ 从而，只需证明芝+ 曼设a b s 且 b + a( 1 0 ) 则有a = a + b 由逆元的唯一性和( 1 ) 式得a - 1 = ( a + 6 ) 。= o _ 1 + b ，又由+ 得 b - 1 + o ( 1 1 ) 从而，给( 1 1 ) 式两端分别左、右乘b 以及给( 1 0 ) 式两边左乘k _ 1 得 b = b b l 晓+ b a 。b + b a 。o( 1 2 ) 由的定义知b a “口b ，再由s + 得 6 0 。+ b ( 1 3 ) 结合( 1 2 ) 式和( 1 3 ) 式有 b = b a 一1 0 f 1 4 ) 这样，给( 1 1 ) 式两端分别左乘以b - 1 b 和右乘以a 得 b - 1 d = ( b - 1 b ) b 一1 。+ ( 6 1 b ) 。1 n = 6 。( 6 口。1 0 ) = b - a b ( 1 5 ) 进一步，在( 1 1 ) 式中分别取b = b - l a 和a = b - l b ，有 a - l b = ( b - t 。) - 1 + ( 6 。6 ) “= b - l b ( 1 6 ) 又( 1 1 ) 式两端右乘以b ，有b - 1 b + a b 结合上两式有a - l b = b - 1 b 由文献( 1 4 】命 韪5 2 1 ( 5 ) 得逛o 从雨2 - + ss 故+ = 上 引理2 9 设s s gn i 若+ = ，则s 是分配格 证明对任意的，b s ，显然。+ a + b 由+ = s 和引理2 1 得o 1 ( 。+ 6 ) 由文献f 1 4 l 命题5 2 1 得a 一1 = 一1 n ( o + 6 ) 同理可得b _ 1 = b - 1 b ( 。舶) 设a c b ，由 文献1 4 1 命题5 1 2 知a - i a = b - 1 6 从而一1 = 口- 1 a ( a + 6 ) 。= b - 1 6 + 6 ) - 1 = b - 。 8 由逆元的唯一性得a = b 这样得到s 的每个类只有一个元紊由文献f 1 4 1 定 理5 1 1 知s 的每一个- 类只有一个幂等元，从而a e ( s ) 由。的任意性可得 s = e ( s ) 对任意的e ，工g s 有e l e ，e 9 s e 由+ = 得e + e f = e = e + e g 从而 ( e + ，) ( e + g ) = e + f e + e g + f a = e + f 9 这样，( s ，+ ，) 是分配格 根据引理2 8 和引理2 9 有 4 - 定理2 1 0 若s s n i ，则下列命题等价： ( i ) + 是s 的延拓和( 1 ) 式成立； ( i i ) + = ； 陋) s 是分配格 由文献 1 0 知双半格簇b i 有三个非平凡真子簇，分别为单演双半格簇m ，分配格 簇d 和m v d 上文已经对m 和d 中的半环进行了讨论，下面从偏序角度对m v d 中的半环进行刻划由文献【1 0 】直接有 引理2 1 1 设s 是双半格，则s 是m v d 中的成员，当且仅当s 满足 ( r e ， ges ) ( e + ，) ( e + g ) = e + ，9 从而有 命题2 ，1 2 设s 是双半格，则s m v d ，当且仅当 ( v e ：f ，g s ) e f 考e + g sf + g 证明辛设s m v d ，取e ，s 并且e ，则对任意的ges ，由引理2 1 1 得( e + 9 ) ( ，+ 9 ) = e f + 9 = e + g ，从而e + g f + 9 乍对任意的e ，9 s ，显然e 1 9 ( e f + e g ) e ，由( s ，+ ) 是半格得 e + e f a + 如e + ( e f + e g ) + ，9 ，e + f 9 而e + e ，9 + f g = e + ，夕，这样得到 e + f a = e 十( e ，+ e 9 ) + ，g = ( e + ，) ( e + g ) ， 由引理2 1 1 知s m v d 9 第三章c l i f f o r d 半环 本章首先阐明了完全正则半环是c l i f f o r d 半环，证明了0 一群半环是仅有的次直积 + ， 不可约的c l i f f o r d 半环；对s nc 中的半环进行了讨论，得到了一些结果 3 1c l i f f o r d 半环的性质和结构 回想一下，逆半群s 称为c l i f f o r d 半群是指对任意的a s 有a - 1 a = n 口也就 是说s 的幂等元集合e ( s ) 是中心的，亦即，对任意的a s 和e e ( s ) 有a e = e a 若s 是c l i f f o r d 半群，则由文献1 2 1 引理i v 2 3 知s 是完全正则的，并且是群的半 格 设a 为一非空集合，p 为a 上的二元关系，对任意的a a ，儿表示a 所在的p 类 设s 是逆半群，定义s 上的二元关系弘如下： a # b 错( v i e e ( s ) ) a - i e 。= b - 1 e b 由文献 1 4 】引理5 3 6 可知：弘是逆半群s 上最大的幂等分离同余，并且p m ， 从而有如下的引理： 引理3 1 设s 是逆半群，则u g ( s ) 芦。是s r 的最大c l i f f o r d 子半群 证明首先证明u 。e ( s ) p 。是c l i f f o r d 半群设口u 。e ( s ) 卢。，则3 e e ( s ) ，使得 8 p 。，即对任意的，e ( 固，由p 的定义有n - 1 ，。= e y e = e ，给上式两边左乘n 得 n o 。f a = a e f 由弘。日e 和文献【1 4 】引理2 3 2 得a c = e a = a 和d o 。= a - 1 a = e 这样得到加= a f 由，的任意性知e ( s ) 是u 。f ( s ) 他的中心由，是中心元和 f a a - 1 = a f a - 1 得a y a - 1 = e y e ，由“的定义有a “肛e 对任意的b ，9 e ( s ) 有 b - 1 亿一1 9 a ) b b “( e g e ) b b - 1 9 b = e 9 e 由“的定义可知a b ，从而p 。是群由e 的任意性知u 。e ( s ) t z 。是群的半格，由文 献 2 l 】定理i v ，2 ，4 知u 。e ( s ) 弘。是c l i f f o r d 半群 下面证明u 。f ( s ) 肛。是s 最大c l i f f o r d 子半群 1 0 不妨设s + 是s 的任一c l i f f o r d 子半群，则对任意的s * ，存在e e f s ) ，使 c l a 。2 。- 1 口2e 对任意的，e ( s ) ，我们有n a 一1 ，= e ，由s + 是c l i f f o r d 半群，有 a - 1 如= e ，e ，即o 由。的任意性得s u e e e ( s ) # 。故u 。e f 鼬p 。是s 的最大 c l i f f o r d 子半群 设s 是逆半环，若s 的乘法半群是c l i f f o r d 半群，则s 称为c l i f f o r d 半环上文 讨论了逆半群与c l i f f o r d 半群之间的荧系，下面给出逆半环成为c l i f f o r d 半环的等价 命题 命题3 2 设s 是逆半环，则下列命题等价： ( i ) ( v a s ) a a _ 1 = a - l a ； ( i i ) s 是c l i f f o r d 半环； ( i i i ) s 满足( v a ，b s ) a + 曲：a + b n 证明( i ) = 毒( i i ) 显然成立 ( i i ) ( i i i ) 设s 是c l i f f o r d 半环，对任意的，b s ，由引理2 6 和幂等元是中心 的得 。( n _ 1 0 + 6 ) 一1 n + 6 ) n a 一1 2 十b a = o n q + b a ( o o = a - l a ) ：=o + 扫o ( i i i ) = = 争( i ) 对任意的a s ，由( i i ) 有。= + d n 一1 0 = o + a - 1 g 2 ，即墨+ n 1 0 2 由一= 5 得ns 口一1 n 2 ，由s 的相容性得口n 一1 ( - 1 口8 8 1 n l 口类似她，可以 得到a - l g a a 从而n a 1 = g - 1 n 设s 是c l i f f o r d 半环，显然占是完全正则半环下面欲证完全正贝口半环是c l i f f o r d 半环 设s 是完全正则半环，由定义知：se g e ，+ = s 结合文献 2 1 j 定理i v ，16 直接 有 引理3 3 设s 是完全正贝4 半环，则下列命题成立： ( i ) ( c a ，b s ) a + b + a ，a + b 茎+ 抚 ( i i ) s + = ； ( i i i ) 与s 的运算相容，即( v n ，b ，c s ) a5b = 号a + c b + c ，a csb c ：c a c 6 ： ( i v ) s 是n o r m a lc r y p t i c 完全正则半环 定理3 4 若s 是完全正则半环，则s 是c l i f f o r d 半环 证明设s 是完全正则半环ie ，f e ( s ) ，则e 十，s + e ，e + ，s + f 由s + = = 有e 十fse ，e + f 厂这样得到 e + ，= ( e + ，) e ，( 1 7 ) e + ，= ( e + f ) f ， ( l 8 ) e + f = e ( e + ，) ，( 1 9 ) e + ，= ，( e + ，) ( 2 0 ) 由( 1 7 ) 式和( 1 8 ) 式得 ( e + ，) ( e ，) = ( ( e + f ) e ) f = e + f ( 2 1 ) 类似地，由( 1 9 ) 式和( 2 0 ) 式得 ( e f ) ( e + f ) = e + f ( 2 2 ) 再由s 玉，( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式得 ( e ，) 2 一( e ，) ( e + f ) ( e f ) = e + f 由e + fs e 和文献【2 1 j 引理i i 4 6 得 e + f = ( e 1 ) 2 e ( s ) ( 2 4 ) 这样得到( e ，) 2 是( s ，) 的子群( 晓，) 的恒等元，从而，由( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式得 e ，( e ，) 2 ( e ，) ( e + f ) e + f = ( e ，) 2 这表明e ，e ( s ) ，由( 2 3 ) 式得e ( s ) 是s 的子半环既然e ( s ) 是幂等元半环，由定 理2 , 7 得e ( s ) 是单演双半格和( e ( s ) ，- ) 是半格，这样得到( s ，) 是c l i f f o r d 半群， 因此s 是c l i f f o r d 半环 1 2 容易看到，并非任意c h f f o r d 半群都是某个c l i f f o r d 半环的乘法半群，非平凡群就 是个明显的例子这也就是说，非平凡的c l i f f o r d 半环的乘法半群一定不是群设 g 是群，给g 添加零元素0 ，记g o = c u 0 ) 显然g o 是半群，并且是c l i f f o r d 半 群称g o 为0 一群对任意的a ，b g o ，定义g o 上的加法“+ ”运算如下： a + b ：j o 。6 g 。， j 口。= b g o ， 容易验证( g o ，+ ) 是半格，对任意的c g 0 ，由群g 中消去律成立得 如+ = ：。寡篙：， o b g o ， a = 6 g o 从而，c ( a + b ) = c 。+ c b 成立，类似地有( a + 6 ) c = a c + b c 则( g o ：+ ，) 是半环， 并且g o 是s p n c 中的半环对任意的a ，b 伊，若g + 6 ，则a + 6 = g ，由加法定 义得a = 0 或a = b 从而有b ，这样得到+ s 若a b ，则由的定义知 a = a a b ，则a = b 或a = o 。从而s + ，这榉得到+ = 由c l i f f o r d 半环的定义 知( g 。，+ ，) 是c l i f f o r d 半环由于( g 。，) 是o _ 群，故把这样的半环称为o 一群半环 设a 是个代数，著恒等关系和泛关系是a 仅有的两个同余，则a 称为同余自由 的显然，若a 是同余自由的，则a 是次直积不可约的从而有 命题3 5o 一群半环是同余自由的c l i f f o r d 半环。并且是次直积不可约的c l i f f o r d 半环 证明如果g 是平凡群，那么g 。是2 元素的半格并且g o 是同余自由的否 则，g 是非平凡群设p 是g 0 的非恒等同余，我们将证明p 是伊的泛同余设 d ，6 s ，n b ，b 0 ，并且a p b ，则a b 。p l 并且a b h l 1 。由文献【1 3 】引理2 3 得 0 ；1 + n 6 1 p 1 + 1 = 1 ，从而，对任意c g o ，有o p c 即p 是g o 的泛同余这样就证 明了g 0 是同余自由的c l i f f o r d 半环因此是次直积不可约的c l i f f o r d 半环 设p 是半群s 上的同余关系，p 的迹( t r