（基础数学专业论文）几类特殊子群对有限群结构的影响.pdf

广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助 的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名： 耳忙 户年月弘日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) ：渺翩签名鹳冲锄加日 几类特殊子群对有限群结构的影响 摘要 用有限群的极大子群平f l s y l o w 子群的极大子群来研究有限群的结构在有限 群的研究中有非常重要的作用很多学者都在这方面做了研究，得到了很多 重要的结果。 本文中我们主要研究当有限群s y l o w 子群的极大子群为特殊子群时的结构 和性质，得到了一系列有关p 幂零性和少超可解的充分必要条件全文主题部分 分为三章，安排如下： 第一章，介绍有限群的素数幂阶子群研究的历史背景，发展状况和研究思 第二章，利用“或 的思想，通过对s s 拟正规子群和p c a p 子群的研究得 到有限群p 幂零，p 。超可解的一些充分必要条件 第三章，拓展c 正规子群和s 条件置换子群的概念提出c s c 正规子群的概 念，研究有限群s y l o w 子群的极大子群满足一定条件时有限群的结构和性质 关键词：厂s $ 拟正规子群p 覆盖远离子群c s c - 正规子群p 幂零p 超可解 t h ei n f l u e n c eo fs o m es p e c i a ls u b g r o u p s o nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t i ti sv e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sb ym a x i m a l s u b g r o u p sa n dm a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u pw h i c hh a v es o m e p r o p e r t i e si nt h er e s e a r c h e so nf i n i t eg r o u p s al o to fs c h o l a r sh a v es t u d i e dt h e s e r e s p e c t sa n dg i v e nm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h e p r o p e r t yo ff i n i t eg r o u pw h e nt h em a x i m a l s u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u pi sac e r t a i ns u b g r o u p ，a n do b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so np - n i l p o t e n ta n dp - s u p e r s o l v a b l ep r o p o s i t i o n o ff i n i t eg r o u p s t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t ot h r e e p a r t sa sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d s ，t h ep r e s e n ti n v e s t i g a - t i o n sa n dr e s e a r c hi d e a so fp r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s i nc h a p t e rt w o ，b yi n v e s t i g a t i n gi n f l u e n c eo fs s q u a s i n o r m a ls u b g r o u p a n dp - c a ps u b g r o u po ns t r u c t u r eo fg r o u p ，s o m es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n - d i t i o n sf o rp - n i l p o t e n ta n d p - s u p e r s o l v ea r eo b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e ，g i v i n gaf u r t h e re x t e n s i o no ft h ec o n c e p t s o fs s q u a s i n o r m a ls u b g r o u pa n dc n o r m a ls u b g r o u p ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f c s c - s u b g r o u pa n di n v e s t i g a t i n gt h es t r u c t u r ea n dp r o p o s i t i o no ff i n i t eg r o u p s w h e nt h em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p ss a t i s f ys o m ec o n d i t i o n k e y w o r d s ： s g q u a s i n o r m a ls u b g r o u pp - c a ps u b g r o u pc s c n o r m a l s u b g r o u p p - n i l p o t e n t p - s u p e r s o l v a b l e c o n t e n t s 摘要 i a b s t r a c t i i n o t a t i o ni v c h a p t e ro n ep r e f a c e1 1 1i n t r o d u c t i o n1 1 2p r e l i m i n a r i e s5 c h a p t e rt w op - c a ps u b g r o u p sa n ds s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s o ff i n i t eg r o u p s c h a p t e rt h r e eo nc s c - n o r m a ls u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s 3 1c s c n o r m a ls u b g r o u p sa n dp - s u p e r s o l v a b l e1 5 3 2c s c n o r m a ls u b g r o u p sa n ds u p e r s o l v a b l e2 2 r e f e r e n c e s2 6 致谢2 8 攻读学位期间发表论文情况2 9 h ao rc o r e a ( h ) lg ：h i a u t ( g ) h 1 月r 2 三k g = i h k d 。( g ) m ( p ) z ( a ) f ( g ) 圣( g ) 磊 u pg c o r eo fhi ng i n d e xo ft h es u b g r o u phi nt h eg r o u pg a u t o m o r p h i s mg r o u po fg d i r e c tp r o d u c t s s e m i d i r e c tp r o d u c to fha n dk ，w h e r ehi sn o r m a li ng m a x i m a ln o r m a lr - s u b g r o u po fg t h es e to fa l lm a x i m a ls u b g r o u p so ft h ep - g r o u pp c e n t e ro fg f i t t i n gs u b g r o u po fg f r a t t i n is u b g r o u po fg c y c l i c g r o u po fd e g r e en 广西大掌硕士掌位论文 几类特殊子群对有限群结构的影响 c h a p t e ro n e p r e f a c e i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dt h ep r e s e n ti n v e s t i g a t i o n s o ft h ep r o b l e m ，a n dt h e nr e c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t sa n dm a i nl e m m a sw h i c ha r en e e d e d i nt h ep a p e r 1 1i n t r o d u c t i o n i nm a t h e m a t i c sa n da b s t r a c ta l g e b r a ，g r o u pt h e o r yi so n eo ft h em o s tf u n d a m e n t a l a n di m p o r t a n tb r a n c h i ti sn o to n l yr e f l e c ti ni t s e l f ，b u ta l s oh a sai m p o r t a n ta n dw i d e a p p l i c a t i o ni nm a n yo t h e ra s p e c t s f o re x a m p l e ，r i n g s ，f i e l d s ，a n dv a c t o rs p a c e sa n ds oo n g r o u p sr e c u rt h r o u g h o u tm a t h e m a t i c s ，a n dt h em e t h o d so fg r o u pt h e o r yh a v es t r o n g l y i n f l u e n c e dm a n ya s p e c t so fa l g e b r a t h i si sn od o u b tt h a tt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u pi sv e r yi m p o r t a n t i ti sa l li m p o r - t a n tm e t h o do fs t u d yo fg r o u pt h e o r yt oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sb ym e a n s o fs o m es u b g r o u p s w eo f t e nc o n s i d e rt h e s es u b g r o u p s ，s u c ha sm a x i m a ls u b g r o u p ，m i l l = i m a ls u b g r o u p ，f i t t i n gs u b g r o u p ，p - s u b g r o u pa n ds oo n t h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s i sc l o s e l yr e l a t e dt ot h ep r o p e r t i e so fp - s u b g r o u p ，a n dt h e r ea r em a n yp r o b l e m sw h i c h c a l lb es o l v e do n l yb yad e t a i l e de x a m i n a t i o no ft h er e l e v a n tp - s u b g r o u p s t h eh i s t o r yo f f i n i t eg r o u pt h e o r ys h o w st h a tt h ei n v e s t i g a t i o no fp - s u b g r o u p si so n eo fi t sm o s tp o w e r f u l m e t h o d s i nt h i sa r t i c lw es t u d yav e r yi n t e r e s t i n gp r o b l e mo fg r o u pt h e o r y t h a ti sc h a r a c t e r i z e dt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pb yt h em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p s s r i n i v a s a ni st h ef i r s to n ew h ou s et h i sm e t h o d i n 【1 】，h eg a v et h a t ： t h e o r e m l 1 1 1 1 】a f i n i t eg r o u pg i ss u p e r s o l v a b l ep r o v i d e dt h a te v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fs y l o ws 孔6 夕r o u p 拈n o r m a li ng i n1 9 8 2 ，g w a l l ， 2 】s t u d i e dt h ef i n i t eg r o u p sb yt h en o r m a l i t yo fm a x i m a ls u b g r o u p s o fs y l o ws u b g r o u p s t h e ya r ea l ls o m ee x t e n s i o n so fn i l p o t e n tg r o u p sb yc y c l i cg r o u p s i n1 9 8 7 ，z m c h e n ，【3 】g e n e r a l i z e dt h em a i nr e s u l t si n 【1 】a n dg a v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m ： 广西大掌硕士掌位论文 几类特殊子群对有良群结构的影响 t h e o r e m l 1 2 2 】af i n i t eg r o u pg i ss u p e r s o l v a b l e ，矿e v e r ym a x i m a ls u b g r o u po le v c r ys y l o ws 曲g r o u po ig i ss - s e m i p e r m u t a b l ei ng i nt h el a t e ry e a r s ，x y s u ，【4 】，b yu s i n gt h ec o n c e p to fs e m i - n o r m a l i t y p r o v e dt h a t ： t h e o r e m l 1 3 3 】af i n i t eg r o u pg i ss u p e r s o l v a b l ep r o v i d e dt h a te v e r ym a x i m a ls u b g r o u po is y l o ws u b g r o u pi ss e m i - n o r m a li ng i n1 9 9 2 ，m r a m a d a n ，【5 】p r o v e dt h a t ： t h e o r e m l 1 4 1 4 a s s u m et h a tg i ss o l v a b l ea n de v e r ym a x i m a ls u b g r o u po ft h es 管 l o ws u b g r o u po ff ( g ) i sn o r m a li ng t h e ngi ss u p e r s o l v a b l e t h e o r e m l 1 5 5 】a s s u m et h a tg hi ss o l v a b l ea n da l lm a x i m a ls u b g r o u po lt h e 勋一 l o ws u b r o u p s0 1ha r en o r m a li ng t h e ngi ss u p e r s o l v a b l e ， i nr e c e n ty e a r s ，al o to fs c h o l a r sh a v ea l s od o n em a n yw o r k sa b o u tt h i sw o r k ( s e e 【6 - 【9 】) a sag e n e r a l i z a t i o no nt h en o r m a l i t y , s u c ha st h ec o v e r a v o i d a n c ep r o p e r t y , ss - q u s i a n o r m a l ，a n ds oo n d e f i n i t i o n l 1 6 l e tla n dkb en o r m a ls u b g r o u po fgw i t hl k as u b g r o u p hc o v e r st h en o r m a lf a c t o rk lo lgi lhk=khh o l d s ；ha v o i dk lp r o v i d e dt h a t 日n k = h n l 巧he i t h e rc o v e r so ra v o i d se a c hc h i e f f a c t o ro fg ，t h e nh i ss a i dt o p o s s e s s e st h ec o v e r - a v o i dp r o p e r t y s u c hag r o u pi sc a l l e dac a p s u b g r o u po yg t h i sc o n c e p tw a si n t r o d u c e db yg a s c h i i t z wi n1 9 6 2 1 1 0 a n ds t u d yb ym a n ya u t h o r s i n1 9 9 3 ，l m e z q u e r r o 6 p r o v e dt h a t ：gi sas u p e r s o l v a b l eg r o u pi fa n do n l yi fa l lm e m - b e t so f 朋f g ) a r ec o v e r a v o i ds u b g r o u p s i n1 9 9 8a s a m l l l lo b t a i n e df u r t h e rr e s u l t si n t h ef o r m a t i o na s p e c t s r e c e n t l y , y f a n ，x g u oa n dk p s h u m 1 2 1i n t r o d u c e dt h es e m i - p - c o v e r a v o i d i n gp r o p e r t y ，t h a tg e n e r a l i z e sn o to n l yt h es e m i - p - c o v e r a v o i d i n gp r o p e r t y 1 3 】 b u ta l s oc - n o r m a l i t y 1 4 ，a n dt h e yo b t a i n e ds o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs o l v a b i l i t yo fg r o u p d e f i n i t e l 1 7l e thb ea 幽g r o u po fg i | he i t h e rc o v e r so ra v o i d se a c hp c h i e f f a c t o r , hi ss a i dap - c a ps u b g r o u po lg 2 e r a l ，t h e r ei sn oi n c l u s i o n - r e l a t i o n s h i pb e t w e e ns s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p sa n dp - c a ps u b - g r o u p s e x a m p l e l 1 1 0l e tg = a 5 ，ai sas u b g r o u p 盯ga n di a i = 1 2 t 话e a s yt os e e t h a tai ss s - q u a s i n o r m a li ng ，b u tai sn o ta p c a ps u b g r o u po fg e x a m p l e l 1 1 1l e tg = & a n db = t h en o r m a ls e r i e sg 堡a 4 堡甄堡1 诋t h eu n i q u ec h i e fs e r i e so g w ec a ns e et h a tb 诋ap c a ps u b g r o u po g l b u ti sn o t s s - q u a s i n o r m a li ng i n 【l s ，t h e ya l s os h o w e d d e f i n i t e1 1 1 2l e tdb et h es m a l l e s tg e n e r a t o rn u m b e ro fap - g r o u pp w ed e n o t e m d ( p ) = 只，p d ) b eas e to fm a x i m a ls u b g r o u p so fp s u c ht h a tn ：1 ( 只) = 圣( p ) ， t h ef r a t t i n is u b g r o u po fp s u c hs u b s e t m d ( p ) i sn o tu n i q u ef o raf i x e dpi ng e n e r a l w ek n o wt h a tl m ( p ) i = ( p d - 1 ) ( p - 1 ) ， m d ( p ) l = da n dl i m d 。( d1 ) ( p 1 ) ) d = s oi 朋( p ) i i m a ( p ) i i nr e c e n ty e a r s ，i th a sb e e no fi n t e r e s t i n gt ou s et h es u p p l e m e n t a t i o np r o p e r t i e s o fs u b g r o u p st oc h a r a c t e r i z ep r o p e r t i e so fag r o u p f o re x a m p l e ，y a n m i n gw a n g 1 4 】 i n t r o d u c e dt h ef o l l o w i n gc o n c e p t ：as u b g r o u pho fgi sc a l l e dc - n o r m a li ngi ft h e r e 3 i san o r m a ls u b g r o u pks u c ht h a tg = h k a n d 日n k h a i n 【1 4 ，w a n gs h o w e d t h a tgi ss u p e r s o v a b l ei fe v e r ym e m b e ro fm ( a ) i sc - n o r m a l w a n g sr e s u l t sh a sb e e n g e n e r a l i z e db ys o m ea u t h o r s ( s e e 1 9 一1 2 1 ) i nc h a p t e rt h r e ew es t u d ya n o t h e rs u p p l e m e n t a t i o n p r o p e r t i e so fs u b g r o u p sw h i c hi s ag e n e r a l i z a t i o no fb o t hc - n o r m a la n d s c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l e d e f i n i t i o n l 1 1 3 as u b g r o u phi ss a i dt ob es - c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l ei ng i i o r e v e r ys y l o ws u b g r o u pt ，t h e r e 捌s 幻a ne l e m e n tz gs u c ht h 口th t = ：t z 日 o b v i o u s l y , e v e r ys s q u a s i n o r m a ls u b g r o u pi ss - c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l ei ng b u t t h ec o v e r sd o e sn o tt r u e ， d e f i n i t i o n l 1 1 4 a s u b g r o u ph 盯gi sc a l l e doc s c n o r m a ls u b g r o u po yg ，扩 t h e r ee 觑s 幻口n o r m a ls u b g r o u pk o fts u c ht h a tg = h ka n dhnk i s 口s c o n d i t i o n a l l y p e r m u t a b l e8 u b g r o u po fg o b v i o u s l y , e v e r yc - n o r m a ls u b g r o u pa n ds c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l es u b g r o u pi s c s c - n o r m a li ng b u tt h ec o v e r sd o e sn o tt r u e e x a m p l e l 1 1 5l e tg = a 5 ，w ek n o wg = x y ，x 笺a 4 ，y 笔c 5 o b v i o u s l y ，x i s as s q u a s i n o r m a ls u b g r o u po ia o f c o u r s exi s 口c s c n o r m a ls u b g r o u po fg xi sn o tc n o r m a li ng i n f a c t 矿xi sc n o r m a li ng b yd e f i n i t i o n ，t h e 他e z i s 拈口 恕口m 口? s u b g r o u pko cs u c ht h a tg = x k ，x n k y 0 s i n c eg i s 口s i m p l eg r o u p k = g ，= 1 t h e nxnk = 义gx a ，ac o n t r a d i c t i o n e x a m p l e l 1 1 6l e tg = & ，口= ( 3 4 ) ，卢= ( 1 2 3 ) s i n c eg = a 4a n d n a 4 = 1 ， 妇c - n o r m a li ng o fc o u r s e 诂口c s c n o r m a ls u b g r o u po fa l e tyi sns u b g r o u po fas u c ht h a tg = y w e k n o wy = a 4o rg 礼c e i s 口s y l o w3 。s u b g r o u po f a 4a n dg s i n c egh a s4s y l o w 3 s u b g r o u p b yc a l c u l o t i o n 1 0 te v e r ys y l o w3 - s u b g r o u pq ，w eh a v e q q s d 妇佗d s c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l ei ng 4 广西大掌硕士掌位论文 几类特殊子群对有限群结构的影响 1 2p r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o n ，w ep r e s e n ts o m eu s e f u ll e m m a s t h e ya r ev e r yh e l p f u li no u rl a t e r p r o o f s l e m m a1 2 11 1 8 】s u p p o s et h a thi ss s q u a s i n o r m a li nag r o u pg ，k ga n dn an o r m a ls u b g r o u po g w eh a v e ： ( i ) 巧h k ，t h e nh i ss s q u a s i n o r m a li nk 0 i i 、h n ni ss s q u a s i n o r m a li ng i n ( 讹) 巧n ka n dk ni ss s q u a s i n o r m a li ng n ，t h e nki ss s q u a s i n o r m a li n ( i ) 巧ki sq u a s i n o r m a li ng ，t h e n 日ki ss s q u a s i n o r m a li ng l e m m a1 2 2 1 2 1 】l e t 日b eap c a p - s u b g r o u p 巧ga n dn 笪g ，t h e nt h e f o l l o w i n g t w os t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) ni sap c a p - s u b g r o u p 盯g ( i i ) i fn h ，t h e nh ni sap - c a p - s u b g r o u p0 ，g n k i i i 、l e t 氤b eas e to | p r i m e s 。h 谯a 弧s u b g r o u p0 ga n dn i sai t - s u b g r o u po g 。 t h e nh n | ni sap c a p s u b g r o u po fg j g l e m m a 1 2 3 2 4 】l e tnb ean o r m a ls u b g r o u p 盯ga n dh g ，矿圣( 日) ，t h e n n 垂( g ) l e m m a1 2 4 2 4 】l e tnb ean o r m a la b e l i a ns u b g r o u po fga n dn msgs u c h t h a t ( i g l ，j g ：m i ) = 1 ，i fac o m p l e m e n ts u b g r o u po fn i nme x i s t s ，t h e nnp o s s e s s e sa c o m p l e m e n ts u b g r o u pi ng l e m m a1 2 5 【2 3 】l e tgb ea7 r s e p a r a t eg r o u p 巧0 。，( g ) = 1 ，t h e n ( 0 霄( g ) ) s 0 丌( g ) 5 广西大学硕士掌位论文几类特殊子群对有限群结构的影响 l e m m a1 2 6 2 5 】l e tgb eag r o u pa n d pap r i m ed i v i d i n gi g lw i t h ( 1 g i ，p 一1 ) = 1 t h e n ： ( i ) i f ni sn o r m a li ngo fo r d e r p ，t h e nn z ( g ) ( i i ) 巧gh a sc y c l i cs y l o wp s u b g r o u p ，t h e ngi sp n i l p o t e n t ( 捌) 巧m ga n di g ：m i = p ，t h e nm 塑g l e m m a1 2 r 2 # t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) gi sp - 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n o r m a ls u b g r o u po fg ，ni san o r m a l 8 u b g r o u po fg w eh a v e ： ( i ) i fh m 旦g ，t h e n 日i sc s c n o r m a li nm 0 i i ) i f n 曼h ，t h e nh | ni sc s c n o r m a li ng n ( i i i ) l e t7 rb eas e to f p r i m e s ，hi sa7 r s u b g r o u po y g ，ni sa7 r - s u b g r o u po f g f f h i sac s c n o r m a ls u b g r o u po fg t h e nh n | n i sa c s c n o r m a li ng i n ( i v ) i fh i sac s c n o r m a ls u b g r o u po fg ，t h e nh 9i sc s c n o r m a li ng f o re a c h e l e m e n tgo f g p r o o f ( i ) hi s ac s c n o r m a ls u b g r o u po fg ，b yd e f i n