（计算数学专业论文）有理谱配点法求解奇异摄动问题.pdf

l s i n g u l a r i yp e r t u r b e dp r o b i e m s ( s u p p o r t e db yt h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ， g r a n t sn o 10 6 71 l4 6 ，n o 5 0 6 7 8 l2 2 ) c a n d i d a t e ：y i n g w e iv 矿a n g s t u d e n tn u m b e r ：0 7 2 010 2 0 0 6 d e p a r 咖e n t ： d i s c i p l i n e ： m a j o r ： s u p e r v i s o r ： d 印a r 仃n e n to f m a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c s c o m p u t a t i o n a lm a t l l e m a t i c s p r o s u q i nc h e n m a r c h ，2 0 1 0 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：王英伟 加lo 年多月【c i 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 王英伟 砂、o 年了月i ( 1 日 同济大学硕士学位论文摘要 摘要 最高阶导数项前带有小参数的微分方程问题称为边界层型奇异摄动问题， 其特性是解在某区域内变化剧烈( 此区域称为边界层或内层) ，在自然科学和工 程技术中都有广泛应用。本文主要研究这类问题的数值解法。 谱方法的最大优势在于谱精度，但用在奇异摄动问题时，经典谱方法需要大 量节点才能显现出指数阶收敛并得到高精度的数值解。为了能够用可接受的节点 数目来计算较薄的边界层问题，许多学者提出了改进的谱方法，主要思想是通过 引入适当的变换使配点在边界层处更加密集。本文采用带s i n h 变换的有理谱配点 法( r s c s i l l h ) 求解奇异摄动问题。 重心形式的有理谱配点法具有指数阶收敛精度，而且在引入适当变换后，原 微分方程不必随之变化。引入s i n h 变换的作用是使得变换后的c h e b y s h e 、，节点在 边界层处比较密集，在其他区域比较稀疏。因此，带s i n h 变换的有理谱配点法特 别适合求解边界层问题。 s i n h 变换中含有边界层位置和宽度的参数，如果直接把原微分方程中的小参 数作为边界层宽度代入此变换中，会影响结果的精度。对此，本文提出了利用 渐近展开的理论结果来确定8 i n h 变换中的参数的思想。 本文用带s i n h 变换的有理谱配点法求解了多种奇异摄动问题，包括两点边值 问题、一阶参数化问题、三阶问题和强、弱耦合的方程组等。对每类问题，分别 进行了渐近展开分析，并给出数值算法。数值实验表明，r s c s i n l l 方法具有诸多 优点，比如，边界层区域内配点合适，误差收敛速度快，算法简便易行，可处理 多种类型的边界层问题( 包括单、双边界层问题、内层问题以及强、弱耦合的方 程组问题) 等等。 对于奇异摄动发展型问题，在时间离散方面，本文研究了l a p l a c e 变换法和 指数时程差分法。利用t a l b o t 方法求数值l a p l a c e 逆变换，并结合增量线性化的 技巧求解了b u r g e r s 问题；采用复平面上围线积分计算矩阵函数的方法克服了指数 时程差分法中的e t d m “格式的数值不稳定难题，在奇异摄动b u 玛e r s h u x l e y 问 题上取得了较好的结果。 关键词：奇异摄动，边界层，有理谱配点法，重心形式有理插值，渐近展开， 参数化奇异摄动问题，三阶奇异摄动问题，耦合的奇异摄动方程组，l a p l a c e 变 换，t a l b o t 方法，指数时程差分法，b u r g e r s 问题，b u 玛e 璐一h 1 1 ) 【l e y 问题。 一i 一 1 o n 西iu n i v e r s i 哆m a s t e ro fs c i e n c e a b s 仃a c t a b s t r a c t d i 任e r e n t i a le q u a t i o n sw i t has m a l lp o s i t i v ep 猢e t e r 枷l t i p l y i n gt l l eh i g h e s to r - d e rd 硎v a t i v et 锄sa r es a i dt 0b es i n g u l a rp i e r 蛐e dp b l 锄so fb o u n d a 巧l a y e ft y l ) e ， w h i c ha r eu b i q u i t o u si nt h em 砒e m a t i c a lp r o b l e m sa r i s i n g 丘o mm a r l ya r e 勰o fs c i e n c e 觚de n g i n e e m g 1 1 1g e r a l ，嬲t e i l d st 0z e r 0 ，也es o l u t i o no fs i n g l l l 砌yp e r t l 拍e dp r o b l e me ) 出i b i t sam u l t i s c a l ec h a r a c t e r l a ti s ，t h e r ea r eb o u n d a 巧0 ri n t e m a l l a y e 瑙、他e r e t 1 1 es o l u t i o nv a r i e sr a p i d l 弘w h i l ea 、釉y 缸d mt 1 1 el a y e r st l l es o l u t i o nb e h a v e sr e g u l a r l y 觚d v 撕e ss l o w l yh e n c e ，t h e 姗m e r i c a ln e a t i n e n to fs i n g u l a r l yp e r t i l 而e dd i 任e r e n t i a le q u a t i o i l sg i v e sm a n y c o m p u t a t i o n a l d i 伍c u l t i e s s p e c 仃a lm e t h o ( i sa r ea t t r a c t i v ei ns o l v i n gs i n g u l a d yp e r t u 而e dp b l e m st l l a m 【st ot h e f a c tt h a ts p e c t r a lc o l l o c a t i o nn o d e sa r ec l u s t e r e da tt l l eb o u n d a 劬b u ts t i l lal a 玛e 删| m b e r o fc o l l o c a t i o np o i n t si sr e q u i r e dt 0o b t a i na c c u 船圭es 0 1 u t i o n sw h e n i s 锄伍c i e m l ys m a l l i np a s tf e wy e a r s ，i no r d e rt o 缸e a tv e 巧t h i nb o u n d a 巧l a y e r sb yu s i n gar e a s o n a b l e 肌m b e r o fc o l l o c a t i o np o i n t s ，s e v e r a lm o d i 6 e ds p e c 仃a l1 1 1 e t h o d sh a v e b e e np r o p o s e d at ) r p i c a l i d e ai st h a tb yi n 仃o ( i u c i n gs o m e 慨l s f o ms o 也a t 也e 仃a n s f o m e dc o l l o c a t i o np o i n t sa r e m o r el o c a t e di nm eb o u 咖l a y e r r e g i o n ，w h i c hi sa l s oc a l l e d c o o r d i n a t es 臼e t c h i n g a s i g i l i 五c a n ta d 旺l 切g eo ft l ：i es p e c 砌c o l l o c a t i o nm e t l l o db a s e do n 洲o n a li n t e r - p o l a n t si nb a 巧c e n t r i cf o 肌i st 1 1 a ta r e r 仃a n s f o 册，t l l ed e r i v a t i v e si nu n d e r l y i n gd i f f e r e l 卜 t i a le q u a t i o na r en o tr e q u i r e dt 0b e 仃a n s f l 0 姗e dc o n e s p o n d i n g l y 懿i su s u a li no t l l e rm e t h - o d s 王哆m e a n so f t l l e8 i n h 仃卸l s f o m a t i o n ，t h e 嘶g i n a lc h e b y s h e vp o i n t s a r em a p p e do n t o m e 廿觚s f i o 珊e do n e sc l u s t e r c dn e a rt h es i n g u l a rp o i n t so ft l l ep r o b l e m t h er c s l l l t s 丘o m 嬲y m p t 嘶c 锄a l y s i s 硒r e g 莉s 也es i n g u l a r i t ) ，o f 也es o l u t i o na r ee i i l p l o y e dt 0 诎e 咖i n e t 1 1 ep a r a m e t e r si nt l l e 鲕n h 觚n s f 0 n n a t i o n t h e 删t so ft h em t i o n a js p e c 打a lc o h o c a t i o nm e m o dw i t l ls i n h 饷n s f i o m a t i o n ( r s c - s i n hm e t l l o d ) a r ew e u 叭i t e df o ra d d r e s s i n g b 伽n d a i yl a y e rp r ( b l e m s 耽er s c s i n hm e t h o di sp r e s e n t e d h e r e 衙s o l v i n gv 撕o u ss i n g u l 砌yp e r t 盯b e d p b l e m s ，i n c l u d i n gs e c o n d - o r d e rs i n g u l a rp e r 嘶e db o u n d a r yv a l u ep b l e m s ，丘r s t o r d e rp a r a m e t 甜z e ds i n g i l l 盯p e r t u 而e dp m b l e m s ，t 1 1 i r d o r d e rs i n g u l a rp e r t u r b e dp r o b - l e m s ，s 仃d n g l ya n dw e m d yc o u p l e ds y s t e mo fs i n g u l a r l yp e r t i l r b e db o u n d a 巧v a l u ep m b - l e m s f 0 re a c hl 【i n do ft h e s ep r o b l e m s ，t h ea s 舯p t o t i c 趾a l y s i si si n 臼o d u c e d 觚dt l l e n u m 甜c a la l g 耐l mi sc o n s 价l c t e d t h ed e t a i l so ft h en u m 甜c a la l g o r i t h m ss h o wt 1 1 a t r s c - s i n hm e m o di sv e 巧e 私yt 0u s ea n dr e a d yf b rc o m p u t e ri m p l e m e n t a t i o n ，a n dc a nb e e m p l o y e d t o 仃e a tm 锄yl 【i n d so f b o u n d a r yl a y e 璐，e g s i n g l ea n dd o u b l eb o u n d a 巧l a y e r s ， i n t 咖a l l a y e 娼，a n ds 仃g l yo rw e a “yc o u p l e ds y s t e m s n u m 嘶c a le x p e r i m e n t ss h o w t 1 1 a tn l er s c i s i n hm e t l l o de 巧o y sm a i l ya d v a n t a g e s ，s u c ha s l ep r o p e rp l a c e m e n to ft l l e c o l l o c a t i o np o i n t si nt 1 1 eb o 衄d a ql a y e rr e g i o n s ，t h es p e e d e d - u pc o n v e 培e n c em t eo ft h e 一i 一 同济大学硕士学位论文有理谱配点法求解奇异摄动问题 e n l o r a n ds 00 n t h el 印l a c e 的n s f o 】衄( u ) a n de x p o n e n t i a lt i m ed i i n g ( e t d ) m 砒o d a r e 印一 p l i e dr e s p e c t i v e l yt 0s o l v et 1 1 et i m e - d 印e n d a n ts i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m s c o m b i n e d w i t ht h et a l b o t sm e m o df o rm em m l e r i c a l 曲e r s i o no f 【t 觚dm ei n c r e m e n tl i n e a r i z a t i 衄 t e c h n i q u e ，t l l eb u 略e r sp r o b l 锄i sw e l lr e s o l v e d t h ec o m b i n a t i o no f e t d a 1 1 df 0 i t h o r d e r r u n g e k u 抛m e m o d ( e t d r k 4 ) i sl l s e dt os o l v et h eb u r g e r s h u ) 【l e ye q u 撕0 n ，i nw h i c h t 1 1 em 删x 如n c t i o ni sc o m p u t e db yc o n t o u ri n t e g r a li nt 1 1 ec o i n p l e xp l a ni no r d e rt oo v e r - c o m et h ep r o b l e mo fi n s t a b i l i 够n u m e r i c a le x p e r i m e n t si l l u s 仃a t et h eh i g ha c c u m c ya n d e 伍c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d s k e yw b r d s ：s i n g u l a rp e n u b a t i o n ，b o u n d a 巧l a y l 葛m t i o n a ls p e c 由r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d ， r a t i o n a li m e 印o l a t i o ni nb a d ，c e n t r i cf 0 册，妒p t o t i ce x p a 邶i o n ，p a m m e t 嘶z e ds i n g u l a r p e r 岫e dp m b l e m ，也i r d o r d e rs i n g u l a r l yp e r t u m e dp r o b l e m ，c o u p l e ds y s t e mo fs i n g u - l a r l yp e m 曲e dp r o b l 咖，l a p l a c e 劬m s f 0 珊，t a l b o t sm e t h o d ，e x p o n e n t i a lt i m ed i 仃e r e n c i n gm e t h o d ，b u 玛e r sp m b l e m ，b u 玛e r s h u x l e yp r o b l e m 一一 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i 第l 章引言1 1 1 奇异摄动问题l 1 2 有理谱方法3 1 3 时间离散5 1 4 本文的工作6 第2 章带s i l l l l 变换的有理谱配点法 7 2 1 经典谱方法的困难7 2 2 有理插值8 2 2 1 重心形式有理插值8 2 2 2 微分矩阵1 0 2 - 3s i n h 变换1 l 2 3 1 变换的构造“ 2 3 2 与其它变换的比较1 2 2 4 在奇异摄动问题中的应用1 5 第3 章奇异摄动常微分方程1 7 3 1 二阶两点边值问题1 7 3 1 1 理论分析1 7 3 1 2 算法1 9 3 1 3 数值算例2 0 3 2 一阶参数化问题2 3 3 2 1 解的性质2 3 3 2 2 算法2 6 3 2 3 数值算例2 7 3 3 三阶问题3 2 3 - 3 1 理论结果3 2 3 3 2 算法3 4 一v 一 同济大学硕士学位论文有理谱配点法求解奇异摄动问题 3 3 3 非线性问题3 5 3 3 4 数值算例3 6 3 4 本章小结4 0 第4 章奇异摄动方程组4 1 4 1 弱耦合的反应扩散问题4 2 4 1 1 渐近展开分析4 2 4 1 2 算法4 3 4 1 3 数值算例4 4 4 2 强耦合的对流扩散问题5 0 4 2 1 渐近展开分析5 0 4 2 2 数值算例5 2 4 3 本章小结5 5 第5 章发展型方程5 7 5 1l a p l a c e 变换法5 7 5 1 1 l 印l a c e 变换与数值逆变换5 8 5 1 2 线性对流扩散问题6 0 5 1 3b u r g e r s 问题6 4 5 2 指数时程差分法6 9 5 2 1 b u 玛e 璐h u x l e y 问题6 9 5 2 2 空间方向的离散7 0 5 2 3e t d 贼4 格式7 l 5 2 4 围线积分计算矩阵函数7 2 5 2 5 数值算例7 3 5 3 本章小结8 0 第：6 章总结与展望8 l 6 1 本文工作的总结8 l 6 2 迸一步工作展望8 2 致谢8 3 参考文献8 5 个人简历、在读期间发表的论文与研究成果9 5 一一 第l 章引言 1 1 奇异摄动问题 第1 章引言 在流体力学、弹性力学、量子力学、声学、光学、化学反应、最优化和系统 控制等诸多领域中，存在大量的含有小参数e 的微分方程问题。其中摄动参数 0 ：a ( z ) 鼠( ) ( 1 1 5 ) 善= 由 其中，鼠( ) 为e 的渐近序列( 最常见的是幂函数序列 ) ) 。但这样的展开式不能 对所有的z 都一致成立。比如，对例1 1 1 和例1 1 2 ，展开式( 1 1 5 ) 只在远离边 界层的外部区域才是普遍适用的，称之为外部展开式或外部解。 为了研究非一致收敛的区域，需要引入伸缩变换= ( z ，) ，其作用是放大 非一致收敛区域。比如，对上述两个例子，可以引入伸缩变量= 詈，找到对其 边界层内部有效的渐近解： 缸( ) 一 ( ) 6 i ( ) 。 ( 1 1 6 ) i = 0 称之为内部展开式或内部解。 若能够匹配外部解( 1 1 5 ) 和内部解( 1 1 6 ) 即可得到整个区域上的渐近展 开解。但在许多问题中，匹配外部和内部展开式的规则非常复杂甚至无法匹配。 一2 一 第l 章引言 另外，当非常小的时候，逼近解的的级数收敛速度可能会比较慢。因此，利用更 加直接有效的数值方法求奇异摄动问题的数值解就显得非常重要。 奇异摄动问题的数值方法发展较晚，这是由于数值求解这类问题有很大难 度。首先，奇异摄动问题的解是小参数e 的函数，具有边界层奇性，在边界层( 或 内层) 区域内变化很快，若用通常的数值方法求解此类问题，会遇到数值不稳定 等难题，求出的数值解往往有震荡( 见例2 1 1 ) ；其次，在参数非常小的情况 下要达到必要的计算精度，必须要求网格步长也相应很小，导致计算代价非常 大，甚至实际上已无法计算；另外，根据椭圆型、抛物型和双曲型方程的特殊性 质，经典数值方法有不同的处理方式，而奇异摄动问题常常出现在或椭圆抛物， 或椭圆双曲，或抛物双曲的分界面上，这给构造差分格式、寻找有限元子空间 以及误差估计带来困难。 针对奇异摄动问题的特性，研究人员对经典的有限差分和有限元方法从各个 方面进行改进，主要有以下三个途径： 1 构造先验非均匀网格。比如，b a l ( b v a l o v 型网格 1 】，s h i s h k i n 型网格【2 ，3 】和 的分层网格【4 】等。 2 修正检验函数，减小经典g a l e r k j n 方法的数值震荡。比如，流线扩散方法 s d f e m ( s 仃e 锄l i n ed i 廊s i o nf i n i t ee l 锄e n tm e t h o d ，见h u g h e s 【5 】，s 够n e s s 【6 】， c h e n 【7 】) ，泡函数法r f b ( r e s i d u a lf r e eb u b b l e s ，见b 弼疡【8 ，9 】和s 距g a l l i 【1o ，1 l 】) ，助有限元方法( ，砂f e m ，见m e l e n l 【1 2 】，s c h w a b 【1 3 ，1 4 】) 等： 3 根据后验误差估计构造自适应( a d 印t i v c ) 网格。前两种途径都是基于先验 误差估计，对未知真解有一定的依赖性；而后验误差估计使用实际计算误差 的数量信息，进一步可发展成为自适应的数值方法，通过迭代改进逼近效 果。其最大的优点是可以自动搜索奇性的位置，缺点是计算代价较大。相关 文献见c h 锄【1 5 ，1 6 】和k 0 p t e v a 【1 7 _ 1 9 】等。 关于奇异摄动应用背景的详细介绍可参见c h 锄g 【2 0 】和m 0 n o n 【2 l 】。介绍奇 异摄动问题渐近展开及其数值解法的专著有o m a l l e y 【2 2 】，v 如i l y 唧 2 3 】，苏煜 城【2 4 】，m i l l e r 【2 5 】，d c ! j a g e r 【2 6 】，j o l l n s o n 【2 7 】，r o o s 【2 8 】等，相关综述性文章 有o m a l l e y 【2 9 】，k a d a l b 面o o 【3 0 _ 3 2 】，k l 肺a r 【3 3 】等。 1 2 有理谱方法 谱方法是用全局正交多项式来逼近微分方程的解，最大优点是，对于充分 光滑的函数，可以达到谱精度( 即误差随着自由度的增加是无穷阶收敛或指数 阶收敛) 【3 “1 】。若无特别说明，本文的“谱方法”指的都是谱配点法”，未考虑 g a l e 埘n 方法和t a u 方法。 与均匀网格的有限差分和有限元方法相比，谱方法在求解奇异摄动问题上的 优势在于谱配点是非等距节点，在边界处本来就比较密集【4 l 】。比如，对于经典 一3 一 同济大学硕士学位论文有理谱配点法求解奇异摄动问题 的c h e b y s h e v 节点 z 知= c o s ( 栅) ) 各。有： k 一加i = l z 一z 一。i = i c o s ( 丌) 一1 i 丢( 斋) 2 嘉 其两节点间距在区间【_ 1 ，1 1 的边界是o ( - 2 ) 阶的，在处理边界层问题时，比经典 有限差分和有限元节点的p ( o ) 阶具有优势。 若g 特别小，边界层非常薄，虽然奇异摄动问题的解是充分光滑的，但经典 谱配点法仍需大量节点才能显现出指数阶收敛并得到精度较高的数值解。为了能 够用可接受的节点数目来计算较薄的边界层问题，许多学者提出了改进的谱方 法( 比如g u i l l a r d 4 2 】，h u 锄g 【1 4 3 ，4 4 】，l i u 【4 5 】，h e i 埘c h s 【4 6 ，4 7 】，t a n g 【4 8 ，4 9 】 等) ，其主要思想是通过引入适当的变换使配点在边界层处更加密集。 在基于多项式插值的经典谱方法的基础上，利用适当的变换确实可以实现 “用可接受的节点数目来计算较薄的边界层问题 的目的，但其缺点之一是变换 后的方程也随之复杂，增加了计算量。 因此，我们发现了由b e m l t 【5 0 - 5 7 】和b a l t e n s p e r g e r 【5 8 “1 等提出的基于重 心形式有理插值的有理谱配点法( r a t i o n a ls p e c 仃a lc o l l o c a t i o nm e t h o di nb a 珂c e n t r i c f o l m ，简称r s c 方法) ，其主要优点有：第一，对于在复平面上某邻域内解析的函 数，有理插值的逼近误差能够达到指数阶收敛；第二，与多项式插值不同，在任一 何节点上的有理插值都不会出现龙格现象：第三，重心形式的有理插值，在引入 适当变换后，原微分方程不必随之变化；第四，其微分矩阵也比较容易得到。 对于边界层问题，b e m l t 【5 5 】用带有t a n 变换的r s c 方法和最优极点法解 决了一些内部层等奇性问题；t e e 和t r e f e t h e n 【6 2 ，6 3 】又提出了带有s i n h 变换 的r s c 方法( 我们称之为r s c - s i n h 方法) 和极点追踪方法，并用以解决b l o w u p 问 题和b u r g e r s 方程。t e e 等给出的s i n h 变换为： ( z ) = p + 7 7 s 汕ls i n h 。( 半) 竿+ s i i l h 。f 宰) 半i ( 1 2 - 1 ) l ， 厶 ， 厶 j 其中，z = p 是边界层( 或内层) 的位置，叩是边界层( 或内层) 的宽度。也就是 说，只要对解的奇性( 即边界层的位置和宽度) 有一个先验的估计，就可以利用 变换( 1 2 1 ) 把配点向边界层处集中。边界层越薄，节点聚集地越厉害。 通过数值试验，我们发现，变换( 1 2 1 ) 对参数p ，叼比较敏感，如果直接 把原微分方程中的小参数作为边界层宽度代入此变换中，会影响计算的精 度。t e e 等【6 2 】通过c h e b y s h e v - p a d e 逼近来搜索奇点，b e m n 等【5 3 ，5 5 】将奇点作为 待定参数放在分母上，通过迭代找到最优奇点。我们则借鉴奇异摄动问题渐近展 开分析中的方法和结论，通过对某些具体问题进行渐近分析来确定变换中的位置 参数p 和宽度参数叩 正如i l y e v a 【2 3 】所指出的，“( 奇异摄动问题的) 数值计算和渐近方法不 是相互排斥，而是相互补充的 。上一节提到的有限差分和有限元方法中的“先 验非均匀网格 就是先对原问题进行渐近分析，然后根据边界层位置和宽度构 一4 一 第1 章引言 造相应的非均匀网格。我们把这种“在理论引导下进行数值逼近( 姐姐a l 妒c a l l y g u i d e d 伽嘶嘶c a l 印p r o a c h ) 弦的思想用到谱方法上来，用带s i n h 变换的有理谱配 点法( r s c 萄n h 方法) 与渐近展开分析相结合的方法得到奇异摄动问题的数值 解。 1 3 时间离散 带有时间项的非定常发展型偏微分方程的奇异摄动问题在实际中应用广泛 ( 最常见的就是描述粘性流体对流扩散现象的b u r g e r s 方程【6 4 】) ，其特征是对空 间变量的最高阶导数项前含有小参数e 。对于这类问题，一般需要在空间和时间 两个方向上分别处理。对解在空间方向的边界层奇性，前面已经介绍了多种处理 方法，我们采用的是i 峪c s i n l l 方法。而在时间方向上，普通的时间推进格式也会 遇到很大困难。这是因为，为了处理边界层，空间节点的最小间距必须取得特别 小，而由于c f l 条件的限制，要想得到稳定的数值解，相应的时间步长也必须特 别小，导致舍入误差累积，计算代价激增。因此，寻求高效率、高精度的时间离 散方法也是奇异摄动问题的研究热点。本文将分别利用l a p l a c e 变换和指数时程 差分方法进行时间离散。 1 l a p l a c e 变换法( l a p l a c e 缸狮s f o 珊m e t h o d ，简称u m ) l 印l a c e 变换是求解发展型偏微分方程解析解的一种经典方法，在数理方 程教材和相关文献( 如g 6 m e z 6 5 ，6 6 】，z h a 0 6 7 】，m 0 n t e l l a 【6 8 】，p e 骶l l a 【6 9 】，v a l k 6 9 【7 0 】等) 中都有详细的介绍。但若把l 印l a c e 变换用于求微分 方程数值解，则会遇到两大难点：首先，站在实值函数的角度看，数值 l 印l a c e 逆变换是个病态问题；其次，l a p l a c e 变换仅局限于线性问题，对非 线性问题不能直接进行l a p l a c e 变换。 关于数值l a p l a c e 逆交换的方法，可参见c 0 h 【7 l 】，m l 6 p e z f e m 缸d 睨 【7 2 】，t r e f e t l l e n 【7 3 】，a b a t e 【7 4 】，h 硒s 姐z a d e h 【7 5 】等综述性文献。我们采用 的是t a l b o t 方法【7 6 ，7 7 】，其主要优点是具有指数阶收敛精度，而且很容易 在m a t l a b 等支持复数运算的数学软件中实现。w r e i d 伽觚【7 8 】进一步研究 并给出了一定意义下最优的t a l b o t 曲线参数的选择。k o n g 【7 9 】结合多项 式t r e m z 方法、l a p l a c e 变换和t a l b o t 方法给出了一类线性发展方程的数值解 法。对于非线性问题，我们采用了增量线性化的技巧与l 印i a c e 变换相结合 的方法来求解。 2 指数时程差分法( e x p o n e n t i a lt i m ed i 虢r e n c i n gm e t h o d ，简称e ，) 方法) 指数时程差分法是一种有限差分时间域方法( f i n i t ed i 虢r e n c et i m ed 咖a i n m e t l l o d ，简称f d t d 方法) ，最早被用于求解电子动力学中的某些刚性问 题( s t 谁p r o b l e m si nc o m p u t a t i o 彻le l e c n 硼y n 锄i c s ，见t a n o v e 【8 0 】，b e y l l 【i n 【8 1 1 ，s c h u s t e r 8 2 】等) 。其主要思想是，通过对方程两边同乘积分因子使 线性部分( 一般是空间的最高阶导数) 得到精确地处理，与线性项有关 一5 一 同济大学硕士学位论文有理谱配点法求解奇异摄动问题 的稳定性限制得以放开，从而可以使用较大的时间步长。c o x 和m 舢e 、) l ，s 【8 3 】把e t d 方法与4 阶r u n g e k u 舰法相结合，提出了e t d 砌“格式，其优点是 可处理任意形式的非线性项。此格式涉及矩阵函数的计算，用在奇异摄动问 题时，由于时间步长亡和小参数都很小，若用通常的方法计算矩阵函数， 就会遇到数值不稳定的难题。我们采用h a l e 8 4 】和k 瓠s a m 【8 5 】等提出的复 平面围线积分计算矩阵函数的方法解决了数值不稳定的问题。 1 4 本文的工作 本文主要工作是研究带s i i l l l 变换的有理谱配点法( r s c s i l l l l 方法) 及其在边 界层型奇异摄动问题中的应用。本文主要创新点和内容组织结构如下： 1 充分利用了渐近分析的理论结果。对奇异摄动问题进行渐近分析，可以方 便、准确地得到边界层位置和宽度的相关信息，再据此确定s i n h 变换中的 参数，进而利用有理谱配点法得到原问题高精度的数值解。第2 章将详细 介绍r s c s i n h 方法，包括重心形式的有理插值，微分矩阵，分别针对单、 双边界层问题的单s i n h 变换和联合s i n h 变换，以及怎样利用渐近分析确定 s i n h 变换中的参数。 2 拓宽了r s c - s i n h 方法的应用领域。结合相应的渐近分析理论，在第3 章中， 用r s c 一8 i n h 方法求解了多种奇异摄动常微分方程问题，包括二阶两点边值 问题、一阶参数化问题 8 6 】、三阶问题 8 7 】等；第4 章研究了奇异摄动方程组 问题 8 8 】，包括单边界层的强耦合对流扩散问题和双边界层的弱耦合反应扩 散问题。在数值试验中，我们比较了几种带变换的谱方法以及非均匀网格的 差分方法等已有的奇异摄动问题的数值解法，证明了我们的方法具有高精 度、高效率等优点。 3 在时间方向的处理上进行了有益的探索。第5 章研究了奇异摄动发展型方程 的数值解法。在空间方向上，仍然采用r s c 8 i n h 方法；在时间方向上，用 l 印l a c e 变换及t a l b o t 曲线求数值l a p l a c e 逆变换的方法分别求解了高斯峰问 题 8 9 和b w g e r s 问题 9 0 】，结合指数时程差分法，4 阶r l m g e - k u t t a 法与围线 积分计算矩阵函数的方法求解了b u r g e r s h u x l e y 问题【9 1 】。 最后，在第6 章“总结与展望中，我们给出了一些结论和体会，并指出了将 来可能的研究方向。 一6 一 第2 章带s i n h 变换的有理谱配点法 第2 章带s i n h 变换的有理谱配点法 对于普通光滑函数的多项式插值，若采用等距节点，则会遇到龙格现象；若 在c h e b v s h e v 节点上插值，可以得到较好的逼近，但当函数有奇性的时候，逼近 精度也会下降。对于带有奇性函数的数值逼近，有两种解决方案：一是把多项式 插值换成有理函数插值；二是引入适当的变换，扩大函数的解析椭圆。 本章将先从多项式插值的困难出发，引出重心形式的有理插值，然后介绍 8 i l l h 变换，并与其它已有的变换作比较，最后研究怎样利用渐近分析方法确定 s i n h 变换中的参数。 本章介绍的思想和方法是我们求解各类奇异摄动问题的基石，将贯穿全文。 2 1 经典谱方法的困难 谱配点法求解微分方程的基本思想是，用全局的插值函数来逼近微分方程 的解，并且要求插值在给定配点上精确地满足微分方程。不同类型的插值和不 同的配点集合就形成了不同的谱方法。我们主要考虑c h e b y s h e v 谱方法，即在区 间一1 ，1 1 上以c h e b y s h e 、，一g a u s s l 0 b a t t o 节点为配点的谱方法。对于多项式差值的 c h e b y s h e v 谱方法，有如下的收敛性定理。 定义2 1 1 记玩是复平面上以士1 为焦点，长半轴和短半轴之和为p 的椭圆。 定理2 1 1 ( c h e b y s h w 谱方法的指数阶收敛1 3 5 ，4 0 】) 设p 是函数厂的次插值多 项式，插值节点为c h e b y s h e v 节点= c o s ( 南7 r ) ，七= o ，1 ，若，在椭圆 b ( p 1 ) 内部和边界上解析，则有 珥a x ，l p 【n ) ( z ) 一，n ) ( z ) l g p ， 一( 2 1 1 ) o 卜l l j 其中，n 附，g 与，有关，且与是代数相关。 注：上述定理体现了谱方法最大的优势，即谱精度。但是，若函数，在其子区域 内变化非常快，则式( 2 1 1 ) 中p l ，此时就需要很大数目的配点才能得到合理 的数值解。下面通过一个例子来说明这个问题。 例2 1 1 在例1 1 2 中，令q = 0 ，p = 1 ，则有： ( z ) + o 50 ( z ) = o ，z 【一1 ，1 】， u ( 一1 ) = o ，钍( 1 ) = 1 我们用普通的c h e b y s h e v 谱方法来