（运筹学与控制论专业论文）不确定时滞系统的鲁棒h∞控制与保成本h∞控制.pdf

内蒙吉师范大学硕圭学位论文 中文摘要 在许多工程系统中，不确定性总是不可避免的。不确定性能够更准确 地反映实际控制过程，体现系统的外部干扰及参数变化。另一方面，由 于系统的复杂性和多样性，系统中往往存在着时滞。与无时滞系统相比 较，时滞的存在不仅增加了理论分析和实践应用的难度，而且使控制系 统的相应性能变差，甚至难以保证闭环系统的稳定性。正是由于时滞的 广泛存在性和时滞系统的分析及综合的困难性，使得不确定时滞系统的 一鲁棒稳定性及鲁棒控制研究具有重要的理论意义和实际意义。 本论文主要基于l y a p u n o v 稳定性理论及h 控制理论，采用线性矩阵 不等式方法，研究不确定时滞系统的鲁棒h 。控制及保成本h 。控制问题。 主要工作如下： 1 研究了不确定离散时滞系统的二次保成本控制问题和不确定离散时 滞系统的指数稳定性问题。基于l y a p u n o v 函数方法和线性矩阵不等式方 法，给出了二次稳定保成本控制律存在的充分条件和指数稳定的充分条 件，且该条件是时滞相关的。 2 针对不确定离散时滞系统，研究了鲁棒h 。控制问题，利用二次稳定 性理论和线性矩阵不等式方法，给出了该类系统鲁棒比控制律存在的充 分条件和凰有记忆状态反馈控制器的设计方法。 3 研究了不确定离散时滞系统的时滞相关鲁棒如控制问题。基于 l y a p u n o v 泛函方法，给出了时滞相关型h 状态反馈控制器设计方案。 4 针对一类复杂的多时滞不确定连续系统，在控制器增益存在加性和 内蒙古师范大学硕士学位论文 乘性两种摄动形式时，分别设计了非脆弱保成本比控制器，利用构造的 l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式，证明并给出了非脆马弓保成本比控制器 的设计方法。 最后，研究了多时变时滞连续系统的鲁棒非脆弱保成本比状态反馈控 制器的设计问题。证明并给出了非脆弱保成本k 控制问题有解的充分条 件。 关键词：不确定性，时滞系统，线性矩阵不等式，鲁棒如控制，非脆弱 保成比本控制 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nm a n ye n g i n e e r i n gs y s t e m s ，t h eu n c e r t a i n t yi sa l w a y si n e v i t a b l e t h e u n c e r t a i n t yc a nr e f l e c tt h es u b s t a n t i a lc o n t r o lp r o c e s sa c c u r a t e l y , a n dm a n i f e s t t h ee x t e r i o rd i s t u r b a n c ea n dt h ep a r a m e t e rv a r i a t i o no ft h es y s t e m o nt h e o t h e rh a n d ，o w i n gt ot h ec o m p l e x i t ya n dm u l t i p l i c i t yo ft h es y s t e m ，i ta l w a y s h a st h e t i m e d e l a y c o m p a r i n g w i t ht h e n o n - t i m e d e l a ys y s t e m ，t h e t i m e d e l a ye x i s t e n c en o to n l yi n c r e a s e st h ed i f f i c u l t yi nt h ea n a l y s i sa n dt h e p r a c t i c ea p p l i c a t i o n ，b u ta l s oj e a d sc o n t r o ls y s t e mp e r f o r m a n c et ob ew o r s e ； h a r d l yt og u a r a n t e e t h e s t a b i l i t yo f c l o s e d l o o ps y s t e m b e c a u s eo ft h e w i d e s p r e a de x i s t e n c ea n dt h ed i f f i c u l t yi nt h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so ft h e t i m e - d e l a y , t h e r ea r ei m p o r t a n tt h e o r e t i ca n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ei nt h e r o b u s ts t a b i l i t ya n d c o n t r o 1o f t h eu n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m t h er o b u s th o oc o n t r o la n dt h e g u a r a n t e e d c o s ti - lc o n t r o lo ft h e u n c e r t a i nt i m e d e l a y ss y s t e m sa r es t u d i e d ，b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t y , i - lc o n t r o lt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ym e t h o d t h e p r i m a r yt a s k sa r e a sf o l l o w s ： 1 t h e g u a r a n t e e d c o s tc o n t r o la n di n d e x s t a b i l i t y o fu n c e r t a i n d i s c r e t e t i m es y s t e mw i t ht i m e d e l a ya r ed i s c u s s e d a c c o r d i n gt ol y a p u n o v f u n c t i o na n d i n e am a t i n e q u a l i t ym e t h o d ，t h es u m c i q conditionstunctlon a n dl i n e a rm a t r i xn e q u a l i t vm e t h o dt h e c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h e t h e x i s t e n c eo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra n dt h et i m e - d e l a yd e p e n d e n ti n d e x s t a b i l i t ya r eg i v e n 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 i nv i e wo fu n c e r t a i nd i s c r e t e t i m es y s t e mw i t ht i m e d e l a y , t h er o b u s t i - lc o n t r o li ss t u d i e d u s i n gt h eq u a d r a t i cs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t ym e t h o d s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fr o b u s ti - lc o n t r o la n di - l m e m o r ys t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra r eg o t t e n 3 t h e t i m e d e l a yd e p e n d e n tr o b u s th c o n t r o lo ft h e u n c e r t a i n d i s c r e t e - t i m e s y s t e m sw i t ht i m e d e l a y i sd i s c u s s e d v i at h e l y a p u n o v f u n c t i o n a lm e t h o d ，t h et i m e d e l a yd e p e n d e n ti - ls t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri s d e s i g n e d 4 a 。c l a s so fc o m p l e xc o n t i n u o u su n c e r t a i ns y s t e mw i t hm u l t i p l ed e l a y t i m ei sr e s e a r c h e d w h e nt h ep e r t u r b a t i o no fc o n t r o l l e ri sa d d i t i v ea n d m u l t i p l i c a t i v e ，t h en o n f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s th 。c o n t r o l l e ri sd e s i g n e dv i a l y a p u n o vf u n c t i o na n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y f i n a l l y , t h en o n - f r a g i l eg u a r a n t e e d c o s t h 。c o n t r o l l e rw i t hm u l t i p l e t i m e v a r y i n gd e l a yi sd e s i g n e d ，a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r o v e da n dg i v e n f o r t h es o l v a b i l i t yo ft h en o n f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s t h 。c o n t r o lp r o b l e m k e yw o r d s ：u n c e r t a i n t y , t i m e d e l a ys y s t e m s ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , r o b u s th 。c o n t r o l ，n o n f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s th 。c o n t r o l 独创性声明 本人声明声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人己近发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获 得内蒙古师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示感谢。 签名：委建艮日期：矽年月口日 关于论文使用授权的声明 本论文作者完全了解内蒙蒙古师范大学有关保留、使用学位论文的 规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门和机构送交论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵循此规定。 签名：谚速蔹 导师签名：局夕丛蠡 日期：矽，啤多月f o 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 不确定时滞系统鲁棒控制发展概述 现代鲁棒控制理论主要研究如何使动力系统的行为达到预定目标。其主要内容可 以分为两个方面，也就是系统的鲁棒稳定性分析和控制律的综合【1 】。即对给定系统的 数学模型，当系统存在外部摄动和不确定性时对系统进行稳定性能分析以及设计有效 的控制器，从而保证相应的闭环系统具有更强的鲁棒性或满足人们期望的性能指标。 系统鲁棒稳定性问题的研究最早可追溯到无穷小分析的思想，例如，微分方程的解在 给定区间内的任意小变化对初值和方程参数的充分小变化的连续依赖性。再如偏微分 方程中的适应性研究、计算方法中关于误差的敏感性研究等。2 0 世纪5 0 年代经典控 制理论是以传递函数数学模型为基础，以l a p l a c e 变换为工具，采用频域响应法求解。 但时滞系统在频率域内进行分析与综合具有一定的局限性。是因为对于时变时滞系 统，l a p l a c e 变换存在着局限性，有时很难处理这些系统，并且计算的复杂性也造成 了很大的困难。6 0 年代，k a l m a n 把状态空间法引入到控制理论中，标志着现代控制 理论研究的开始，于是系统的控制问题形成了以频域空间为基础的经典控制理论和基 于状态空间的现代控制理论。通常来讲，在对控制系统的综合或设计控制器中，经典 控制理论重点在于满足特定的性能指标而现代控制理论的着眼点是性能指标的优化， 力求使其达到最优。时滞系统的时域分析与综合，克服了频域分析不能处理时变时滞 和参数扰动的缺陷，是对频域分析的非常有意义的补充和完善。2 0 世纪7 0 年代， l y a p u n o v 泛函开始引入对不确定时滞系统的分析与综合。从这一理论创立开始。 l y a p u n o v 稳定性理论及其方法就成为研究者们分析与综合不确定时滞系统的有力手 段。众所周知，l y a p u n o v 方法的优点体现在：方法统一，最后都转化成求解一个类 r i c c a t i 方程或求解一个线性矩阵不等式( l m i ) ，而m a t l a b 这一软件工具包的有效应用， 使得上述方法的实现成为可能；适用范围广泛，无论系统是否具有时变时滞或是否具 有外部扰动，都可以用此方法来处理。 鲁棒控制理论经过研究者们的不断发展和完善，已经有很多成果。2 0 0 0 年，陈东 彦和王丽娟【2 】针对不确定线性时滞系统的鲁棒控制问题，在不确定矩阵满足范数有界 情形时，考虑了系统的线性状态观测器，利用李雅普诺夫方法及线性矩阵不等式 ( l m i ) 方法，提出了系统基于此观测器的状态反馈控制器设计方案。赵培文等【3 】研 究了时变时滞不确定系统的鲁棒控制问题，基于二次稳定性理论，证明了时变时滞不 确定系统鲁棒镇定的充分条件并讨论了时变时滞不确定系统的鲁棒控制器设计问题， 内蒙古师范大学硕士学位论文 利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法，通过求解不同的凸优化问题，设计了满足不同性 能指标要求的控制律。俞立、冯浩【4 1 于2 0 0 1 年研究了一类不确定离散时滞线性系统， 结合一个二次型性能指标，采用线性矩阵不等式方法，给出了状态反馈保性能控制律 存在的充分条件并设计了相应的控制器。陈东彦【5 1 等利用线性矩阵不等式性质，采用 李雅普诺夫函数方法，导出了离散时滞不确定系统鲁棒镇定的充分条件，状态反馈控 制器的设计保证了相应的闭环系统鲁棒稳定。进一步，许立滨、陈东彦【6 1 针对离散线 性时滞系统的鲁棒稳定问题，研究了其稳定性判据，推导得出所考虑不确定离散时滞 系统鲁棒稳定的条件，所采取的方法仍然是构造一个适当的李雅普诺夫函数并借助线 性矩阵不等式。而且该充分条件是时滞相关的，从而大大减少了所得结果的保守性。 文献【7 - 9 】关于时滞系统的指数稳定控制问题得到该时滞系统指数稳定的充分条件，且 该条件也是时滞相关的。马克茂【1 0 1 对时滞不确定系统的输出反馈镇定进行了研究， 给出了由线性矩阵不等式描述的输出反馈镇定律存在的充分条件以及当此镇定律存 在时输出反馈控制器的设计方法。2 0 0 5 年，汤红吉【1 1 1 等探讨了二类线性离散系统的 鲁棒控制问题，该系统同时具有状态时滞和输入时滞。利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法，基于李雅普诺夫稳定性理论，推导得出所讨论时滞离散系统鲁棒稳定的时滞相 关的充分条件。只需求解一个线性矩阵不等式即可得到相应的反馈控制器。最后的利 用数值仿真验证了文中所述方法的有效性。孙文安和沈连山 1 2 1 对一类具有范数有界 时变参数不确定性的离散时滞切换系统，研究了其在任意切换下的二次稳定保成本状 态反馈控制律的设计问题。基于线性矩阵不等式处理方法，导出了二次稳定保成本控 制律存在的条件。文献【1 3 j 利用l y a p u n o v 函数研究了具有状态时滞的离散系统的指数 稳定问题。构造了无记忆的状态反馈控制器，使得闭环系统指数稳定。 非线性时滞系统的稳定与控制研究目前难度很大，这是因为非线性系统本身的多 样性和复杂性。非线性系统一般含有一个或多个非线性环节，而且非线性扰动又是多 种多样的。因此没有一个比较统一的、适用性广的处理方法。通常来说主要有基于李 雅普诺夫技术的鲁棒控制方法、基于微分几何非线性系统理论的微分几何控制方法以 及滑模变结构控制方法等。文献【1 4 】考虑了具有非线性扰动的离散奇异时滞系统的保 性能控制问题，其中，要求非线性扰动满足l i p s c h i t z 条件。通过线性矩阵不等式方法， 获得所研究系统的保成本控制器，使得闭环系统稳定、因果、正则且具有一定的性能 指标上界。刘金艳等【i5 】研究了一类带有状态时滞和非线性扰动的离散不确定系统的 鲁棒状态反馈镇定问题。利用s c h u r * t 公式和线性矩阵不等式的方法，给出了闭环系 统鲁棒渐近稳定的充分条件，同时还优化了非线性扰动项所应满足的最大上界，此外 2 第一章绪论 指出了这一问题可以通过判断一个凸优化问题的可解性来解决。 目前有关不确定多时滞系统控制的研究还较少。年晓红等【1 6 】运用l y a p u n o v 泛函 方法讨论了二类具有多时变时滞不确定系统的鲁棒渐近稳定性，提出了此类系统鲁棒 渐近稳定的时滞无关判据。何勇、吴敏 1 7 1 研究了多时变时滞系统的鲁棒稳定及有界 实引理的时滞相关条件，通过引入自由权矩阵，用来表示牛顿莱布尼兹公式中各项 的相互关系。推导得出一类不确定连续多时变时滞系统鲁棒稳定且具有h 。性能的充 分条件，此条件是时滞依赖的，从而降低了已有文献的保守性。文献【1 8 1 研究了一类 离散多时滞不确定系统的鲁棒镇定和性能问题。采用与文献【 1 类似的方法，即利用 线性矩阵不等式( i ) 方法以及通过在李雅普诺夫泛函中引入自由权矩阵和零项式 的方法，导出了离散多时滞不确定性系统鲁棒镇定、具有给定的h 。范数的基于线性 矩阵不等式的充分条件，且该条件是时滞相关的。从而推广已有文献的结果到离散多 时滞不确定系统。2 0 0 8 年，李文林【1 9 】针对多输入离散时滞系统，给出了一个保性能 滑模变结构控制设计方法。首先利用状态变换将离散时滞系统化成为无时滞的离散系 统形式，然后用线性矩阵不等式和保性能控制求解出切换函数的设计参数。 综合来看，线性时滞系统、非线性时滞系统的研究还有许多问题亟待解决。因此， 未来的研究空间非常广阔。 1 2 不确定时滞系统鲁棒h 控制的发展及研究现状 1 9 8 1 年，z a m e s t 2 0 1 首次提出了著名的思想，标志着h 。控制理论的诞生。考虑 了这样一个单输入单输出的设计问题，即对于一个有限能量集的干扰信号，设计一 个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数h 。范数 作为目标函数对系统进行优化设计，这就使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出 的影响最小。d o y l e 等【2 1 j 在1 9 8 9 年的d g k f 论文中提出了“2 - r i e e a t i 方程方法， 证明了只需求解两个非耦合的代数r i c c a t i 方程即可解决相应的h 控制器的设计问 题。而且其阶次不大于广义对象的阶次。这在h 。控制理论上是一个重大的突破，标 志着时域h 。控制理论的成熟。d o y l e 等人还总结了h 。控制问题与l q g 问题的联系， 简化了比控制理论中的概念，使得鲁棒稳定问题变得简单、实用。文献1 2 2 - 2 3 j 利用 代数r i c c a t i 方程推导出鲁棒输出反馈控制器存在的充分条件。给出了控制器的设计 方案。文献【2 4 1 研究了同时具有状态时滞与控制时变时滞的系统，借助于代数r i c c a t i 方程方法，给出了h 。输出反馈控制器的设计方案。 在各种实际工业系统中，如环境系统、传输系统、化工生产过程系统等都存在 着时滞。时滞使系统产生振荡、系统的相应性能变差，造成系统的不稳定。因此时滞 内蒙古师范大学硕士学位论文 的存在往往使控制系统达不到人们所期望的性能。正是由于时滞在实际系统中的大量 存在，使得从事时滞系统的鲁棒稳定和镇定研究十分必要。在控制理论中，时滞系统 的稳定性条件可以分为两种：时滞无关型和时滞相关型。具备时滞无关稳定性条件的 系统对于任意滞后都是稳定的，而时滞相关型条件则与时滞大小有关，并且要保证与 控制器构成的闭环系统有一定的鲁棒稳定性或满足一定的性能指标。因而，一般时滞 独立的稳定性条件是比较保守的，而时滞依赖的稳定性条件则保守性较小。时滞依赖 h 。控制研究指的是：对给定的h 。性能指标，设计一个控制器，使得闭环时滞系统既 满足该h 。性能指标又能保证系统时滞依赖稳定的时滞上界最大：或者对事先给定的 一个时滞上界，设计一个控制器，使得闭环时滞系统是时滞依赖稳定且在此基础上获 取的h 。性能指标尽可能小。近些年来，对于参数不确定时滞系统的鲁棒h 控制取 得了一系列成果 2 5 - 2 9 i 。邵克勇等【3 0 1 研究了离散时滞不确定系统的时滞依赖型h 。状态 反馈控制器的设计问题。分别给出不确定性和确定性时滞系统的鲁棒h 。控制器的设 计方法。2 0 0 3 年，李志虎、王景成、邵惠鹤【3 l 】基于线性矩阵不等式( l m i ) 方法研究了 时变不确定离散系统的鲁棒h 。控制。姜偕富，徐文力 3 2 1 针对具有状态时滞的离散 时滞系统，利用李雅普诺夫泛函分析方法，得到了鲁棒h 。镇定的充分条件并设计了 一个相应的时滞相关的h 状态反馈控制器，而且该控制器只需求解一个线性矩阵不 等式即可获得。苏宏业等【3 3 】针对一类不确定离散时滞系统研究了时滞依赖鲁棒h 。控 制问题。2 0 0 5 年，杨雪等【3 4 】针对一类具有状态时滞的不确定离散系统，研究了其时 滞依赖的非脆弱保性能控制问题。2 0 0 6 年，黄洋、谢永芳【3 5 1 研究了线性系统时滞相 关鲁棒h 。控制问题。借助李雅普诺夫泛函，通过牛顿莱布尼茨公式中各项的相互关 系和引入零阵：获得了保守性较小时滞相关h 控制器，只需求解一个线性矩阵不等 式即可得到该控制器。夏建伟等【3 6 1 通过引入一个没有任何约束的一般变量，使李雅 普诺夫函数矩阵和系统矩阵分离，得到所研究系统的时滞依赖h 。稳定的充分条件， 进而设计了系统的状态反馈控制器。张蕾等嘲研究了一类具有状态时滞的离散系统 的鲁棒h 。控制问题。得到了该系统的有记忆状态反馈控制器。同年，胡明慧，邵惠 鹤【3 8 】针对时变不确定时滞扰动非线性离散系统，基于l y a p u n o v 函数及线性矩阵不等 式方法，在非线性项满足特定的条件下，得到了时滞相关无记忆状态反馈鲁棒h 。控制 的充分条件。研究了不确定时滞非线性系统具有时变未知且满足一定条件的不确定参 数和输入、状态时滞，得到了一种鲁棒控制器的设计方法。 不确定时滞系统的鲁棒h 。控制越来越多地引起广大学者的关注，h 。控制理论已 经有许多有益的成果，在实践中得到了较好的应用。但这类问题的研究还有待于进一 4 第一章绪论 步完善，例如对于广义系统、变时滞系统以及广义时滞系统的鲁棒h 。弹性控制及非 线性系统的h 。控制问题的研究还比较少。因此，h 。控制问题仍然是研究的热点之一。 1 3 不确定时滞系统保成本h 控制的研究概况 在实际的控制系统中，由于一些客观条件的限制，如模型误差、测量误差和线性 近似误差等，总是不可避免地产生一些不确定问题。一般的，系统不确定性按其结构 可以化分成两大类。其一，不确定性的结构未知，但已知不确定性变化的范围；其二， 不确定性的结构已知，但存在着参数变化。第一类不确定性系统的鲁棒控制的研究导 致了h 。控制理论的诞生。而参数控制理论就是在针对第二类不确定性系统进行研究 过程中逐步形成的。正因为不确定性的客观存在，在控制系统模型建立过程中和控制 器设计方面考虑不确定性的影响就显得尤为重要。于是以二次型最优控制( l q ) 为 代表的一类控制系统的分析与综合方法就应运而生了。但是这种方法设计出来的控制 器在实际的应用过程中对不确定性较敏感。也就是说，要求系统有一个精确的数学模 型，如果系统的数学模型中存在参数摄动，哪怕是微小的扰动，就不能保证闭环系统 的鲁棒稳定性，更达不到人们期望的性能指标。而在实际控制过程中很难得到系统的 精确数学模型，因此，如何设计控制器使系统鲁棒稳定以及在鲁棒稳定的前提下使系 统满足一定的性能指标就成为人们关注的重点。1 9 7 2 年，c h a n g 和p e n g 1 3 9 】首次提出 不确定系统保成本控制的思想，其目的是对具有参数的不确定系统设计一个控制器， 使得闭环系统对所有允许的不确定性不仅满足二次稳定而且其相应的性能指标不超 过某个确定的上界。这个上界就称之为成本。因此，保成本控制问题，也可以称为鲁 棒二次型最优控制、保代价控制或保性能控制问题。 。 多年来，随着不确定系统鲁棒控制研究所取得的进展，不确定系统的保成本控制 问题又得到了广泛的研究，在不确定连续系统和不确定离散系统领域内都得到了许多 结果 4 0 - 4 2 i 。文献【4 3 1 基于李雅普诺夫稳定性理论，研究了一类离散时滞线性不确定性 系统具有比干扰抑制的保成本控制问题。获得了h 。保性能控制器，证明了该控制器 不仅使闭环系统稳定、性能指标不超过某个确定的上界，而且具有一定的h 。范数干 扰抑制。文献】利用线性矩阵不等式方法研究了不确定时滞系统的保成本控制问题。 文献1 4 5 - 4 6 1 研究了单时滞系统的优化保成本控制；文献【4 7 1 对一类非线性离散时滞系统 研究了模糊保成本h 。控制；文献【4 8 1 针对一类同时具有状态时滞和输入时滞的时变不 确定连续系统，研究了h 。保成本状态反馈控制器的设计，假定其中的时变不确定性 项是范数有界的，但不需要满足匹配条件。通过构造广义l y a p u n o v 函数和线性矩阵 不等式( l m i ) 方法，给出了系统可h 。鲁棒镇定同时满足保性能指标的一个充分条件， 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 通过求解一个相应的线性矩阵不等式，可得到鲁棒h 。保性能控制器使得闭环系统的 一个保成本函数对所有允许的不确定参数有上界，并经过迭代，通过求解凸优化问题 得到最优鲁棒h 。保性能控制器。但是，由于系统工作环境的变换、测量误差、模型 近似、非线性的线性化等因素的客观存在，导致控制器的参数存在着变化，造成系统 震荡、达不到要求的性能指标。因此，需要设计一种控制器来弥补这些不足。即所设 计的控制器不但要使系统鲁棒稳定，而且本身还应该对参数干扰具有抑制作用。这种 控制器是非脆弱的。文献 4 9 - 5 1 】基于二次稳定理论和线性矩阵不等式( l m i ) ，针对一类 单时滞系统的非脆弱鲁棒h 。控制问题分别进行了研究。张小美等【5 2 】研究了不确定离 散时滞随机大系统的鲁棒非脆弱h 。控制问题。利用李雅普诺夫函数方法，以几个不 同的线性矩阵不等式描述了控制器存在的充分条件。并设计了具有加性增益的非脆弱 控制器。文献【5 3 l 研究了具有多时滞的不确定多变量反馈系统的鲁棒稳定问题。文献1 5 4 l 针对多时滞不确定系统，设计了鲁棒非脆弱h 。控制器，利用构造的l y a p u n o v 函数和 线性矩阵不等式，证明并给出了非脆弱鲁棒h 。控制问题有解的充分条件。文献【5 5 l 针 对一类多时滞不确定系统，基于l y a p u n o v 稳定性理论给出了鲁棒保成本比控制器。 文献嘲】研究了基于观测器的广义时滞系统的最优保成本控制问题，基于凸优化理论， 设计了不确定广义时滞连续系统的基于观测器的状态反馈控制器。 经过许多学者的不断努力，不确定时滞系统的保成本控制问题已经比较完善，获 得了许多处理方法，为各种系统的分析和综合提供了有力的工具。但是随着数学理论、 控制理论和计算机技术的飞速发展，使得对控制系统内在过程的描述趋于精确，控制 算法的实现能力也在逐步提高。因此离散数学自然变成了计算机、工程控制、信息系 统等科学技术的不可忽视的重要理论基础之一。但是，目前关于离散时滞系统各种性 能的文献还比较少，值得我们进一步去考虑和研究。 1 4 论文框架 本论文考虑了不确定时滞系统的鲁棒h 。控制及保成本h 。控制，主要内容如下： 第一章：概述了不确定时滞系统的鲁棒控制、鲁棒也控制和保成本h 。控制的发 展和现状。 第二章：研究了不确定离散时滞系统的二次保成本控制问题和不确定离散时滞系 统的指数稳定性。基于l y a p u n o v 函数方法和线性矩阵不等式方法，分别给出了二次 稳定保成本控制律存在的充分条件和时滞依赖的指数稳定的充分条件。 第三章：基于二次稳定性理论，采用线性矩阵不等式方法，讨论了不确定时滞系 统有记忆状态反馈鲁棒h 。控制问题，给出了该系统鲁棒h 控制器存在的充分条件和 6 第一章绪论 h 。有记忆状态反馈控制器的设计方法。 第四章：研究了不确定离散时滞系统的时滞相关鲁棒h 。控制问题。基于l y a p u n o v 泛函方法，给出了时滞相关型鲁棒h 。状态反馈控制器设计方案。 第五章：针对一类复杂的多时滞不确定连续系统，在控制器增益存在加性和乘性 两种摄动形式时，分别设计了非脆弱保成本h 。控制器。 第六章：研究了多时变时滞连续系统的鲁棒非脆弱保成本h 。状态反馈控制器的 设计问题。利用构造的l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式，证明并给出了非脆弱保成本 h 控制问题有解的充分条件。 1 5 预备知识 本论文用到以下引理： 引理1 t l ( s c h u r 补引理) ：给定如下形式的常数矩阵碣i ，4 2 ，彳2 i ，彳2 2 ，这里 簟= 4 。，铭= 4 。，爿丢= 彳毖，则彳= 爱：乏 。，当且仅当如下条件之一成立： ( 1 ) a 1 1 o ，a 2 2 一彳五彳l a l 2 0 。 ( 2 ) a 2 2 o ，a i l a 1 2 彳2 - 2 1 以l t 2 0 引理2 t 4 】：设r ，m ，表示具有适当维数的矩阵，其中r 是对称的，则对任意的 矩阵f ，满足f r f ，下式成立： f - + m f n + n r ，r m r 0 ，使得： r + 2 m m r + ! r r n o ，有： 888 ( x u ) ) r q ( z x ( 埘( 一口+ 1 ) x t ( j 珍( - ，) j = aj = aj 4 引理5 【5 5 】给定矩阵么，d ，e 及任意的矩阵，满足，r f i ，则有： ( 1 ) 对任意的标量常数s 0 ，d f e + e r f r d r 0 及标量 0 ，满足p 一6 d d r 0 ，则有： ( a + d f e ) r p - 1 ( a + d f e ) a r ( 尸一6 d d r ) - 1 a + 6 - 1 e r e 第二章不确定离散时滞系统的稳定与控制 第二章不确定离散时滞系统的稳定与控制 2 1 不确定离散时滞系统的二次保成本控制 近年来，关于不确定时滞系统的鲁棒控制已经有许多有益的结果【2 - 3 】，但在实际 工程中，不但要求控制系统具有良好的稳定特性，而且还要求系统满足某些性能指标， 保成本就是这些性能指标之一。文献对具有时滞的不确定离散系统的保性能控制问 题进行了研究。文献【挖1 研究了一类不确定离散时滞切换系统的二次保成本控制，给 出了对所有允许的不确定性，该系统在任意切换策略下二次保成本控制的充分条件。 本文研究了同时具有状态时滞和输入时滞的不确定离散时滞系统的二次保成本 控制问题。在文献【1 2 】的基础上加入了输入时滞，并利用线性矩阵不等式方法给出了 二次稳定保成本控制律存在的充分条件，并且设计了系统的状态反馈控制器。最后利 用数值例子说明了该方法的有效性。 2 1 1 问题描述 考虑如下具有不确定性的离散时滞系统： x ( k + 1 ) - 似州眇“”蚴扯“趴“妨+ ( b h + 蚓“肛砷 ( 2 1 ) i 工( j | ) = 0 ，k o 是给定的加权矩阵。 引理：对闭环系统( 2 4 ) ，控制律“( 后) = 戤( 后) ，如果下列条件成立： y ( x ( 七”+ x r ( 露) q x ( 后) + “r ( k ) r u ( k ) 0 ( 2 7 ) 则闭环系统( 2 4 ) 是二次稳定保成本控制，且成本指标上界厂= 尸 证明：首先证明闭环系统( 2 4 ) 是二次稳定的。取二次l y a p u n o v 函数如下： 矗 y ( x ( 尼”= ， ) a ( 七) + ，( k - i ) s l x ( k - i ) + ，( k - i ) s 2 x ( k f ) ( 2 。8 ) i = l i = l 则h = q + k r r k 为对称正定矩阵。由式( 2 7 ) ，得： 矿o ( 七) ) - - 工r ( 七) ( q + k r r k ) x ( k ) - a m ( h ) u x ( k ) 1 2 ( 2 9 ) 其中k ( h ) 为何的最小特征值，取0 s k ( h ) ，于是闭环系统( 2 4 ) 是二次稳定的。 其次证明闭环系统( 2 4 ) 具有成本指标上界厂= 由( 2 7 ) 式得： x r ( 后) q x ( 豇) + “r ( k ) r u ( k ) - 2 x v ( x ( k ) ) 在上式两边对k 从0 到求和，考虑到系统的稳定性，并注意到k 0 时，x ( 露) = o ， 可得： z t x r ( 后) q x ( 尼) + “r ( 后) 尺“( 七) 】厂= x o r p x o ( 2 lo ) k = o 综上，闭环系统( 2 4 ) 是二次稳定保成本控制。 2 1 2 主要结果 定理l ：给定正定对称矩阵q ，r ，若存在矩阵k 及正定矩阵p ，墨和是，使得下 面的矩阵不等式成立： 0oo ，k r oo0 oo0 0oo 一1 00 幸 一q 。0 幸牛 一r 一1 1 0 0 ( 2 1 1 ) o j 0 0耳枣宰宰 一 一b 0 0气宰。卑掌乙o拳宰拳宰誊一么中木宰奎枣。 一 p 枣 卑 毒 。 幸 奎 第二章不确定离散时滞系统的稳定与控制 则闭环系统( 2 4 ) 是二次稳定的，成本函数，= 纸，i i lu ( k ) = 戤 ) 。 证明：取l y a p u n o v 函数如( 2 8 ) 式，则： 矿( x ( 尼) ) + x f ( 尼) ! 参( 七) + “r ( k ) r u ( k ) = 矿( x ( j j + 1 ) ) 一y ( x ( 尼) ) + x r ( 后) ! 劣( j | ) + “r ( k ) r u ( k ) = x r ( 尼+ 1 ) 尸_ ( 尼+ 1 ) 一x r ( j j ) 尸戈( j i ) + x r ( j j ) 墨j ( 七) 一工r ( k - d ) s l x ( k - d ) + ( 2 1 2 ) x r ( k ) s 2 x ( k ) - x r ( 七一h ) s , x ( k - h ) + x r ( k ) q x ( k ) + x r ( k ) k7 r k x ( k ) = 等u 缶 其中， 缶= x r ( 尼) x r ( k - d ) x r ( 七一 ) 2 u = na r p a d7 p - 串 z p 乙一墨 - - 么d t 尸- - b 幸掌 否r p 否一 1 7 = 么4p a p + s + + k r e k + q ( 2 1 3 ) 对矩阵u 应用s c h u r 补引理，即可得出与之等价的( 2 1 1 ) 式，从而u 0 。于是 y ( z ( 动) + x r ( 后) 参( j j ) + “r ( k ) r u ( k ) 0 ，使q 0 。 则系统( 2 4 ) 是二次稳定保成本控制，且相应的保成本控制律为u ( k ) = g x ( k ) ，且 k = y x 一。 其中，q 为： q = 一xa x 七b ya d xb jq q q qdq 宰 一xoox xxy 10 ( e l 石+ 岛聊1 幸事 一正 o00o00 ( e ，x ) 。 宰 幸 一疋 0 000o ( e 4 y ) 1 宰宰 幸宰 一瓦 0 0 000 幸宰 毒幸 枣 一正0 000 幸宰宰宰宰幸 一d 一10 0 0 掌掌宰幸枣木 一r 一100 宰率 宰幸 謇木幸卑 一么_ 1 10 宰 宰宰幸 宰 t宰毒奉 一m o ( 2 1 4 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 证明：注意到( 2 2 ) 、( 2 5 ) 式，( 2 1 1 ) 式可写成： r + m f n + 杼f t m t 0 其中， f = 一p 叫a + b k a db k 0000 搴 一p00iiik r 幸宰 一墨 00000 幸幸 一s ，0000 宰 一。s l000 宰 一s i 00 幸掌奎 一q 一1 0 幸 宰 一r 一1 = 【0e l + e 3 ke 2e 4 k 0 000 】 由引理2 知，( 2 1 5 ) 式成立，等价于下式成立： 一p _ 彳+ b ka d b k 0000 幸 一p00tiik 擘搴 一&ooo 00 奉 一s ，oo0o 宰宰宰 一s f l000 宰幸宰幸宰 一s 00 宰掌宰 一q 一1 0 枣宰幸奉 一r 一1 万1 倔曹目r l 芎r j 的蜀+ 岛足点2 点_ k 。1 。 利用s c h u r 补引理，( 2 1 7 ) 式即为： q = 一p 一1 掌 幸 奎 幸 宰 幸 a + b k p 宰 掌 o 1 0 o s 掌 奉 宰 0 1 0 0 0 一酹1 掌 幸 幸 o i o 0 o o q 。1 掌 簟 1 2 _ f d m = = d o o o 0 0 0 o ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 【d r 0 0 00 00o 】+ d 0 o 0 0 o 0 0 一万1 j 幸 0 ( 局+ e 3 k ) r e ： 佤k ) r 0 o 0 o o 一 o ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 一 o o o o o o书幸。 o o 是宰 搴 枣 木宰枣 口 一 也。瓜宰 幸 搴 枣 簟宰 第二章不确定离散时滞系统的稳定与控制 记人= d f a g ip - 1 p 。p - 1i i i