（基础数学专业论文）非线性椭圆型方程的nehari流形.pdf

非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 研究生黄娟 基础数学 指导教师蒲志林教授 论文摘要：本文研究了非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形第一章研究了一类具有 凹凸项的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形，利用n e h a r i 流形上的p a l a i s - s m a l e 序列，得到了该方程正解的存在性第二章讨论了无界区域皿”上具有无界系数的 非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形利用该方程的n e h a r i 流形和该章的一个紧性 命题得到该方程的非径向对称解的存在性第三章研究了加权s o b o l e v 空间的一 类非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形运用加权s o b o l e v 空间的嵌入定理和齐次特 征值问题的性质，分析了n e h a r i 流形与f i b r e r i n g 映射的关系进而讨论了n e h a r i 流形的性质迸一步，运用这些性质得到该非线性椭圆型方程正解的存在性 关键词：非线性椭圆型方程；n e h a r i 流形；f i b r e r i n g 映射；凹凸项；无界 系数；加权s o b o l e v 空间 第i y i ，共3 8 页 t h en e h a r im a n i f o l do fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s b a s i cm a t h e m a t i e s w r i t e r ：h u a n gj u a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rp uz h i - l i n a b s t r a e t ：i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t et h e n e h a r im a n i f o l do fn o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o 璐i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h en e h a r im a n i f o l do f8 n o n l i n e a r p r o b l e m si n v o l v i n gc o n c a v ea n dc o n v e xt e r m s b a s i n go i lt h ee x t r a c t i o no f p a l a i s - s m a l es e q u e r l c e si nt h en e h a r im a n i f o l d ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h e p o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h en o n l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e 瑚w i t hu n b o u n d e dc o e f f i c i e n t so nt h el l n b o u n d e dd o m a i nr “ c o m b i n i n gt h ec o m p a c te m b e d d i n gp r o p o s i t i o ni nh w eu t w om e t h o d st o o b t a i nt h ee x i s t e n c eo ft h en o n r a d i a ls o l u t i o n so ft h i se q u a t i o n s i nc h a p t e r t h r e e w ed i s c u s st h en e h a r im a n i f o l do ft h en o n l i n e a re l l i p t i ee q u a t i o n si n w e i g h ts o b o l e vs p a c e b yi n v e s t i g a t i n gt h ec o m p a c ti m b e d d i n gt h e o r e ma n d t h ep r o p e r t i e so fh o m o g e n e o u se i g e n v a l u ep r o b l e mi nw e i g h t e ds o b o l e vs p a c e a n de x p l o i t i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en e h a r im a n i f o l da n df i b r e r i n g m a p s ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h en e h a r im a n i f o l d u s i n gt h e s ep r o p e r t i e s w ea l s od e r i v eo u tt h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c er e s u l t sf o rp o s i t i v es o l u t i o l l 8 o ft h ee q u a t i o n s k e yw o r d s ： n o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s ；n e h a r im a n i f o l d ；f i b r e r i n g m a p p i n g ；c o n c a v ea n dc o n v 甑t e r m s ；u n b o u n d e dc o e f f i c i e n t s ；w e i g h ts o b o l e v s p a c e 四川师范大学学位论文独创性 及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师煎圭摧麴援指导下，独立进 伯彰矽 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：黄桶 伽卵年 0 ，1 p n ，1 r p 0 和b 0 以及日：= t w 1 p ( r ) ：丘i x l 。9 出 o 1 p n ，1 r p 叮 p ( 矿= 茹笔) 的条件下的n e h a r i 流形利用n e h a r i 流形上的p a l a i s - s m a l e 序列， 得到以上方程正解的存在性： 定理1 设1 r p g 0 ，则存在一个a ( 0 ，”) ，使得方程 ( o - i ) 至少有两个非负解 定理2 设1 r p p 2 ，d 0 和b 0 以及日：= t w 1 9 ( 础。) ： 丘一1 x 1 4 l u l p 如 b 0 且口p ，则，在t 处达到最小值，进而t 是方程 h u a u g j u a n j u n e h u a n g q l 2 0 第3 页共3 8 页毕业论文 绪论 ( 0 - 2 ) 的解 第三章，我们研究了加权s o b o l e v 空间的一类非线性椭圆型方程( 【1 6 1 ) ： 一d i v ( a ( z ) v u ( x ) l p - - 2 v u ( z ) ) = a 6 ( z ) i u ( z ) i 一2 u ( z ) + c ( z ) i 让( z ) i a - 1 t ( z ) ，。 玉q ， t 工( z ) n 詈p ( n ，q ) l 卜o j 这里q 是r j o 中的具有光滑边界的有界区域，实参数a 0 ，a ( x ) 是可测函 数，非负函数6 ( z ) l 南( p 口) 或6 ( z ) l ”( q ) ，c ( z ) 是q 内正负不定的光 滑函数运用加权s o b o l e v 空间的嵌入定理和齐次特征值问题的性质，分析了 n e h a r i 流形与f i b r e r i n g 映射的关系，进而讨论了n e h a x i 流形的性质，运用这些 性质还可以得到该非线性椭圆型方程正解存在性和无解的条件： 定理4 ( a ) 当0 a a r ( 6 ) 时，方程( 0 - 3 ) 存在一个正解； ( b ) 若厶c ( z ) 钟+ 1 d x 0 ，当a l ( b ) a 0 ，1 尹 n ， 1 r p g 矿扩= 鸽) 1 1 介绍 当p = 2 ，a a m b r o s e t t ie t8 1 ( 【1 7 1 ) 得到在0 p a = 1 时方程( o - i ) 有 无穷多解当p = 2 ，t ，b a x t s c h 和m w i l l e m ( 1 8 ) 得到方程他1 ) 的一列解 当p = 2 方程( 0 - 1 ) 的右边项改为次线性函数，( t ) 时，b a o ( 1 9 ) 在任意区域对 方程伶1 ) 的正解进行了精确估计 近来，很多学者研究以下非线性椭圆型边值问题 j a p u = x a ( z ) l u l q - - 2 “+ b ( z ) l u l - 2 ，11 、 10 t h 苫一( q ) 、7 当1 q p r 矿和n ) 三6 ( z ) 兰1 ，a m b r 0 8 e t t ie ta 1 ( 2 0 1 ) 研究 了方程( i - i ) 的正解的分歧性b r o w n 和z h 觇g ( p 0 ) 研究了当p = g = 2 ， 2 r 暑兰以及g ( z ) ，6 ( z ) 为不定号函数时，方程( 1 - 1 ) 的n e h a r i 流形并得 到该方程的分歧结果的一个有趣的解释当p = g = 2 ，1 r 2 ，a ( x ) 暑1 且 6 ( z ) 是一个不定号函数时，b r o v r n ( 1 1 1 ) 研究了问题( 1 1 ) 的n e h a r i 流形并且得 到了它在无穷远处的分歧结果同样运用n e h a r i 流形a l v e s 和e 1h a m i d i ( 【9 】) 得到了当1 g ， n ，r = p 且n ( z ) 兰6 ( z ) 兰1 时问题( i - i ) 解的存在性 运用p a l a i s - s m a l e 条件和山路引理g a r a c i aa t _ a 弛r e l o 和p e 试a l o l 啪( 【2 1 1 ) 得 第5 页，共3 8 页 第一章一类含有凹凸项的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 到了在a ( x ) 兰6 ( z ) 兰1 时，方程( 1 - 1 ) 多解的存在性 本章中，我们讨论方程( 0 - 1 ) 的n e h a r i 流形并且得到方程他1 ) 多解的存 在性运用a l v e s 和e lh a m i d i ( 9 1 ) 和b r o w n 和z h 柚g ( 【l o 】) ，我们利用f i b r e r i n g 映射找到了一个实值t ( 让，a ，p ) 使得t u 在n e h a r i 流形中从而讨论问题( 0 - 1 ) 的 n e h a r i 流形 本章的主要结论如下： ( i ) 设1 r p 口 0 ，则存在一个a ( o ，a + ) ，使得方程渺1 ) 至少 有两个非负解； ( i i ) 设1 r p 0 存在唯一的a ( u ，肛) 0 使得当 0 o ( 以，( t ( ，| ) ，t 1 ) = o ) 时，b 。( ，有两个( _ 。个) 正 零点，当只( t ( t ，p ) ，t ) o ( 最o 扣，p ) ，t ) 0 时，a 皿 ( ，钍) 有两个正零点t 1 ( t ，a ，p ) 和亡2 ( 仳，a ，p ) ，且0 t l ( t ，a ，曲 t ( ，p ) 0 ( t 0 ， o n 皿 一( 如( t ，a ，缸) 0 时，对任意i , x o ) ，t l ( u ，a ，p ) t 和 t a ( u ，a ，l f l ) t 在m ，p 中 利用s o b o l e v 嵌入不等式，对于任意牡x 0 有 a ( ，p ) c 掣9 卵” 0 ， 其中s 是对于嵌入x 一上r ( n ) ( 1 h 矿) 的最佳s o b o l e v 常数如果定义 a 。：= i n f a ( t ，脚：1 , x 0 ) ，p o ，( 1 - 5 ) 贝a e 岛7 s 芦西一可 0 而且，因为对任意世x o 有 a 霍 舢p 1 ( u ，a ，p ) ，t ) = 0 ，( 岛田 泓( t 2 0 , ，a ，p ) ，让) = o ) 从而泛函“一m ( t l ( u ，a ，p ) ，“) 扣一皿 0 2 m ， ，p ) ，t ) ) 在x o ) 上有下界 则对任意a ( 0 ，”) 定义 a l = i f 皿 p ( t l ，a ，p ) ，“) ：t x 0 ) ，( 1 - 6 ) 口2 = i n f 皿x 。p ( t 2 【仳，a ，p ) ，钉) ：t x t o ，【i - 7 j 注1 2 1 由皿 。( t ，“) 的定义，我们有 霍- 一似，；) 划“，a 氓加，；) = ；a f ( t u ) ， 如皿 。( 啊，；) = 1 巩皿 ，( 厶“) ， 则。 t - ( 缸，a ，p ) = ；t t ( ；，a ，p ) ，t 。( ，凡p ) = ；t ：( ；，a ，p ) 因此，口l ( a ) 和a 2 ( 柚可以记为 a 1 ( a ) 。撼皿 一( 砸，a ，_ f 1 ) ，牡) ， h u a n g j u a n j u n e h u a n g 1 2 6 第8 页共3 8 页 ( 1 8 ) 毕业论文 第一章一类含有凹凸项的非线性椭圆型方程的n e l l a r i 流形 锄( 2 盛田 p ( ，a ，u ) ， ( 1 - 9 ) 其中b 是x 中的单位球 引理1 2 2 令 “) c 召是( 1 - 8 ) ( ( 1 - 9 ) ) 的极小化序列，记以：t 1 ( ，a ，p ) t f i ( k t 2 ( t n ，a ，_ 1 1 ) ) 则 ( i ) l i r a s u p h o ) 证明( i ) 令 ) c 8 是( 1 8 ) 的极小化序列 因为 a 屯 p ( t 1 ( ，a ，p ) ，) = 0 ，所以 i i “p = a i 巩喀+ l , i 碥b ( 1 - 1 0 ) 因为瓯中 p ( t l ( ，a ，肛) ，t ，i ) 0 ，从而 ( p 一1 ) i l 1 1 9 一a ( g 一1 ) l v i ：一p ( r 一1 ) i 仁 0 ( 1 - 1 1 ) 结合( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) ，对任意的n 有 。( ) 0 设存在序列 以) ( 为了方便起见仍记为 圾 ) 使锝。坚l l u d = + 易 知存在常数a 使得对任意竹有l u l l r a l 玩i a - 则由( 1 - 1 0 ) 知。璺1 k = + o o 因为1 r p g 矿，所以i 0 | r = 靠( i l ：) 从而 0 酽= i 碥i ：n + m 。( 1 ) ) ， 因此 以，( 玩) = 吲：【( ；一；( 1 ) + ；1 一；) 柚 因而可以得到，当n 一+ o 。时， “( “) 一+ o o ，但是这是不可能的因此， l i r a s u pl l 以l l + 同样的，l j m s u pi i k 0 + o o h 锄g j t l 8 n j u n e h u 8 吐g q l 2 6 c o r n第9 页，共鸫页 毕业论文 第章一类含有凹凸项的非线性椭圆型方程的n h a r i 流形 ( i i ) 令 ) c8 是( 1 - 8 ) 的极小化序列且存在一个子序列 ( 仍记 为 ) 使得1 i 罂j ( 以) = 0 ，即，n 1 ( a ) = 0 但是由于对任意的n m ( t l 托。，a ，l 【) ，让。) = 以p ( ) 0 ， 所以 j i l k 0 ，一n k 喀一u l k l r = 0 ， 【一1 ) i i k l l p a ( q 1 ) l v , , i ：一u ( r 1 ) i k i r 0 从而，对任意的7 l 有p ( g r ) i k | r 0 ，因而需要极小化序列是非负的注意到，对任意的让x 0 及0 a ”有皿 ，p ( ，川) = 田 ( t ，t l ( 1 u ，a ，p ) = t 1 ( u ，a ，p ) 和 t 2 ( 1 _ , l ，a ，p ) = 屯( “，a ，p ) 则可将( 1 - 6 ) 和( 1 _ 7 ) 的每一个极小化序列 ，c8 认为是非负函数 从而，可以假设引理1 2 2 的 ) 和 k ) 是非负的 引理1 2 3 在引理1 2 2 的假设下，则 以) ( k ) ) 是以。的p a l a i s - s m a l e 序列 证明由引理1 2 2 知 ) 在x 上有界另一方面，对任意1 x 0 ， 和 ( 0 ，a ) 有 a 皿 ( t l ( t ，a ，p ) ，t ) = 0 ，a i 皿 ，p ( 1 ( a ，p ) ，u ) 0 由隐函数定理及虫g 1 知t l 似，a ，p ) 关于t 是c 1 的引入定义在b 的g 1 泛 函 ( 廿) = 皿 ( t d u ，a ，p ) ，让) 三。厶( t x ( u ，a ，p ) ，砧) h u a n g j u a n j u n e h u a n g 1 2 6 c o l n第1 0 页，共3 8 页毕业论文 第一章一类含有凹凸项的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 则 d ，( a ) 。撼“( u ) 。里厶一( ) = 口- ( a ) 在( 召，i i ) 上对泛函厶，使用e k e l a n d 变分原理，得到 i i s 刘，v 死。8 ， 其中2 k 8 是以t l ，l 为心的单位球b 的正切空间而且，对任意的死。8 有 = - i - = ， 其中记t l ( ，a ，p ) 的关于第一变量在( ，a ，p ) 的微商，为t ：( ，a ，p ) 而且，令 e ：x o 一( o ，+ o o ) 8 u ”( i i 赢) ：= ( ( 1 ( 让) ，( 2 由h s l d e r 不等式知，对任意的( “，妒) ( x o ”x x 有： li l i ￥, 1 1 ， i is2 糊 由引理1 2 2 知存在正常数c 使得 t l ( t 正，i ， ，p ) g vn n 从而对任意妒x 存在以r 和碟8 使得以i i , p 1 1 ，碟吾0 i p 0 和 = + = = 成立因此 勃妒2 0 h u a n g j u a a j u n e h u a n g 1 2 6 t o m第1 1 页，共鹊页毕业论文 第一章一类含有凹凸项的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 从而有 证毕 匆妒u l i r a 。帆p ( u j i i = 0 1 3 解的存在性 在本- i 、节中，我们将证明( o - i ) 非平凡解的存在性为了得到主要结论，首 先将用到d i n c se ts 1 ( 【2 4 】) 的结论 命题1 3 11 2 4 1 空间x 是一致凸的 引理1 3 1f 2 4 】如果x 是局部一致凸的且h ( h ：x x + ) 是常值函数，则 日满足( 毋) 条件：如果在x 上一z 且l i i n s u p 0 则在 ，l + x 中z 。_ z 引理1 3 21 2 4 】算子一，：x x 是势算子更特殊的，它的势泛函是 妒：x r ，定义为 和 其中日：x x + 是对偶映射 帅) = 扣u ， = 一，= h 运用命题1 3 1 ，引理1 3 1 和引理1 3 2 得到一下引理： 引理1 3 3 蚴算子一，满足( 文) 条件： 如果在x 中一让和l i r a s u p 0 ，则在x 中t ，i - + 饥 n - + 引理1 3 ，4 泛函氏p 满足p a l a i s - s m a l e 条件 h u a n g j u a n j u n e h u a n g 1 2 6 c o s 第1 2 页，共3 8 页 毕业论文 第一章一类吉有凹凸项的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 证明令 cx 是泛函以，p 的p a l a i s - s m a l e 序列运用标准讨论知 是有界的则由引理1 3 4 知存在子序列( 仍记为 ) ) 和t x 使得 一u 由于当n 一+ 时， “( ) 一0 ，从而 = + 0( 仃 + o o ) ( 1 1 2 ) 由紧嵌入x 一驴( q ) ( 1 h p ) 知 ，0 由( 1 - 1 2 ) 知 _ 0 饥_ + o o ) ( 1 1 3 ) 结合( 1 1 3 ) 和引理1 3 3 知在x 中一 定理1 3 1 设1 r p 0 ，a t 田 。p ( 1 ，玖) 0 ， 从而有以k 由h a r n a c k 不等式( 【2 5 】) 知， 和玖在q 内为正证毕 定理1 3 2 设l r p p 2 ，n 0 和b 0 而且，我们记日：= t 工w 1 9 ( r ) ： 厶一i z h u i ，如 + o 。) 且其范数定义为陋i i ：= 厶一( 1 w l ，+ l “i p + h 。i u l ，) ；出 当p = 2 ，口= 0 ，q 2 ：= 斋笺和2 b b 0 且n 3 ，s i r a k o v ( 2 7 ) 也证 明了在2 q 2 一厕4 b 时方程( 0 - 2 ) 解的存在性 文章( z s - s 1 1 ) 以下半线性椭圆型方程解的存在性 一t + y ( $ ) 缸= ，( 2 ，u ) $ r ( 2 - 1 ) 文章中讨论了当y ( 功在无穷远处足够大并且，次临界的，即存在a o 醋， c 畸和p 2 使得 v ) a ov z r “，j i my ( 。) = + o o 和i ，( z ，t ) l c ( 1 + l “l p - 1 ) 当n 4 ，f ( x ，u ) = 2 以u + g ( u ) 且9 ( u ) 是超线性和次临界的，c h a b r o w s k i 和y a n g ( 3 2 1 ) 证明了方程( 2 - 2 ) 的非平凡解的存在性为了得到s c h r 挺l i n g e r 方 程解的存在性和性质，c a o ( 3 3 1 ) 讨论方程( 2 2 ) 2 1 准备知识 本章中用”1 1 和i i h 记日和驴( r ) 的范数l g ( r ) 加权l e b e s g u e 空 间且其范数为l u = 丘”蚓6 l 钍i a d x 而且除非另行说明全章均是在r 上的 积分 第1 4 页共3 8 页 第二章一类具有无界系数的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 引入f r i e d m a n 在文【3 4 j 中的一个不等式： 引理2 1 1 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g e 不等式) 懈：sc 彬1 一掣j v t 上i 掣， 秕n 1 一( r ) 其中g 为正常数 由z h “a g ( 3 5 1 ) 中紧性引理的启发，我们得到以下紧性命题 命题2 1 1 设p 一1sq b 时对任意的e 0 和 口 0 有1 1 = 1 4 & 由( 2 - 3 ) 知 一0 在扩( 川研) 中 因此，存在m 0 使得当行2 m 有 7k l 如s 则当n m 时有 k = z 1 1 = 1 b i - i d x se + 7 4 | 珏。i d x j k i b e + e c a p 因此 一0 在口( 畎) 中 h u a n g j u a n j u n e h u a n 9 0 1 2 6 c o l n 第1 5 页。共3 8 页毕业论文 第二章一类具有无界系数的非线性椭圆型方程的n e h a x i 流形 从而嵌入日一扩( 豫) 是紧的 当q p 一1 对，运用q = p 一1 的结果和g a g l i a r d o - n i r e n b e r g e 不等式，定 理立即得证 引理2 1 2 如果a b 0 和q p ，则嵌入l g ( r ) 一驴( r ) 是连续的 其中k = 等 证明由h s l d e r 不等式有 啪卵如= 厂刚矿m 出 几f n 衅出卜 k d x c i 钍慨 由v a _ l = j 5 等式知上罟( r ) c 胪( r ) 证毕 注2 1 t 容易证明詹= 篆字 g 弘 2 2n e h 撕流形 在本节中我们将讨论方程( 0 - 2 ) 的n e h a r i 流形( 【2 3 】) 从而得到它的非径向 解 引入n e h a r i 流形： r = u h ：，( t 1 ) ( t ) 一0 ，u o 在a f 中有 m ) = 珈v 卵坩m 触一：弘h 卯如 = ；1 一w i 仆 川u n 如一m ，如 - o i l 卵如一；1 一拗枇 因此j 在 厂上有下界因此定义 口2 蒜t ，( u ) h t m a g j u a n j u n e h u a a g 1 2 6 t o m 第1 6 页，共3 8 页毕业论文 第二章一类具有无界系数的菲线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 定理2 2 1 若n b 0 且口p ，则，在u 处达到最小值，进而t 是方程 ( 0 - 2 ) 的解 证明首先证明极小化序列 ) c 在日中有界用反证法，反设其无 界则| i 一o o 一o o ) 但是另一方面，由 ，( “n ) = ；1 一：) ( i v i + h 。醒) 如 ( ；一；) 1 1 1 1 9 知j ( “。) 一o 。( n o o ) ，矛盾因此 t 。 在日中有界 从而存在子序列 z l ，i ) ( 仍记为 ) ) 和u 日使得在日中t ，l t 用命 题2 1 1 ，引理2 1 2 以及注2 1 1 知，在l k ( r ) 中一“因此，由弱下半连续 性知 n = l i m o o j ( u ) _ j ( “) = ；1 一：) u = a ， 矛盾因此，在h 中一t 现在证明t 因为 c ，所以州v 1 9 + 川。i i ) 出= f 6 l u 。l q d x ，即， i i , 1 1 9 一摇= k 由命题2 1 1 和引理2 1 2 ，有 显然“是方程( 0 - 2 ) 的解证毕 h u a n g j u a n j u n e h u a n 9 0 1 2 6 t o m 第1 顶，共3 8 页 毕业论文 第三章加权s o b o l e v 空间上的非线性椭圆型方程的 n e h a r i 流形 本章考虑一类非线性椭圆方程( 0 - 3 ) 一d i v c a c x ) l v u c x ) l ”2 v u ( 石) ) = = a 6 ( z ) i 札( z ) i 一2 ( z ) - i - c ( z ) l “( z ) 1 4 1 u c x ) ， z q ，u 和) 矸2 p 0 ，q ) 其中q 是f 中的具有光滑边界的有界区域，实参数a 0 ，口( 霉) 是可测函数， 非负函数6 ) 二南 口) 或6 ( 工o o ( q ) ，c ( z ) 是q 内正负不定的光滑函 数 3 1 预备知识 懈9 ( q n ) 是以o ( 功为权函数的加权s o b o l e v 空间，其范数是 i l u l i = ( 厶a l v u l p d z ) ；权函数口( z ) 满足 ：! = ! 8 ( 习c l l ，( ) ，z q 其中，。l 1 ，l ，也是一个权函数且满足 l ，l k ( q ) ，v - 南l k ) ；l ，1 l 1 ( q ) ，其中s ( 鲁，o o ) n ；备，o o ) 因此，我们定义p l = 卫s + i ，p ：= 嘉并限定p 一1 q 虻一1 ，p s ( s + 1 ) 此外，为了方便起见我们记x = 懈9 ( o ，n ) 对于方程( 0 - 3 ) ，当d p ) 三1 ，p = 2 时，a m a a n 和l o p e z - g o m e z ( 3 6 ) 运用 了全局分歧理论研究了方程( 0 - 3 ) 在二阶l a p l a c i a n 算子为自共轭算子时的正 解的存在性和重度闷题当a ( x ) 兰1 时，b i n d i n ge t8 l ( 【3 7 ，3 8 j ) 运用变分方法 研究了方程( 0 - 3 ) 的正解和多解的存在性问题当n ( z ) = 1 ，p = 2 时，b r o w n 和 z h a n g ( 1 0 ) 运用n e h a x i 流形的变分观点研究了方程( 0 - 3 ) 的正解和多解的存 在性问题 第1 8 页，共3 8 页 第三章加权s o b o l e v 空间上的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 本章将运用b r o w n 和z h a n g ( 1 0 ) 中的方法，得到方程( 0 - 3 ) 的n e h a r i 流 形的性质，从而讨论方程( 0 - 3 ) 正解和多解的存在性问题 令a 1 ( 6 ) 是方程 - d i v ( a ( z ) l v u ( z ) i 2 i v “( 正) i ) = a 6 ( z ) i ( z ) i 一2 t z q ， u x 的第一特征值，且其对应的特征函数为咖( 【6 】) 进而，本章的主要结论如下 定理3 1 i ( a ) 当0 a a , c b ) 时，方程( m 3 ) 存在一个正解； ( b ) 若厶c ( z ) 钟“如 0 ，当a 1 ( 6 ) 0 ，札”( 1 ) o ) ， 同样地，分别用“ ”我们可以定义工一和驴 g + = t x ：u 0 = l ，c i t | j 1 如 o ， 类似的，也可以定义d 一和c 0 从上面的分析可知： h u a n g j u a n j u n e h u a n 9 0 1 2 6 c o m第2 0 页，共3 8 页 毕业论文 第三章加权s o b o l e v 空间上的非线性椭圆型方程的n e h a r i 流形 ( a ) 如果u pn 矿，则f 一丸( ) 在t = t ( u ) 时达到其局部极大值，且 t ( u ) u 厂_ ： ( b ) 如果t l n c 一，则t 一札( t ) 在t = t ( u ) 时达到其局部极小值，且 t ( u m + ； ( c ) 如果“l + n c ( 或l n c 咔) ，则t 一九( ) 是严格单调增加的( 或减少 的) ，且在中无t 的倍式 引理3 2 1 【6 l 当1s r 缓时，x p ( q ) 是紧嵌入进而，xl p ( q ) 是紧嵌入 下面将主要讨论n e h a r i 流形的性质首先，我们讨论当a p ( a ) ，p l 出，对于 i t , x 0 用反证法容易得到：存在d 0 使得 f ( a l v u l 一a 6j 仳1 7 ) 缸 6 | i u 0 ， t x 因此，三一= l o = d 进而牛= 死 严= o ) 所以，= u o 并且 a t - = t ( u ) t ：t l i c ， 定理3 2 2 如果a 0 证明设旷，则t ，= 稀l 十n c + ，