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数量积几何意义的应用 一【问题背景】向量是沟通代数与几何的一座天然的桥梁，向量能进行数量积运算是向量应用广泛的一个重要原因与的数量积的几何意义是：等于的长度与在的方向上的投影的积，其中为，的夹角由于数量积满足分配律，因此，对向量进行数量积运算就是不断地运用“有向线段的和在直线上的投影等于各有向线段的投影的和”这一结论二、【与平面几何定理的关联】射影定理：在中，于，则，证明：由数量积的几何意义知，又，所以，同理圆幂定理：过点的直线与圆相交于两点，则，其中为圆的半径图1证明：当在圆上时，结论显然，否则，连结并延长交圆于点，连结，则另一方面，根据数量积的几何意义， 图2当在圆内时（如图2），当在圆外时（如图3），故三、【范例】例1 在正中，是边上的点，且，则的值为 .解：如图，过作于，则，由数量积的几何意义得变式 在中，在斜边上，且，则的值为 .例2 在中，, ,则 .这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考，不仅思路自然，而且过程简单解1：设点直线上的射影为，则，于是，则，由数量积的几何意义得当然，考虑在上的投影同样可解另外，若注意，先利用将转化为可得如下简解： 解2：解法2充分利用了已知的垂直条件和数量积的几何意义，未添加一条辅助线，当为此题最佳解法例3 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有100个不同的点， 记，( 1，2，100)，求的值 解：延长交于点，由知，从而，由数量积的几何意义得，变式：如图，在直角三角形中，斜边上的高上有10个点，则 .例4如图，正六边形中，是内（包括边界）的动点，设、，则的取值范围是 解： 不妨设正六边形边长为1，两式相加得，即，根据数量积的几何意义，考查在上投影的变化，注意到，点与内（包括边界）的点的最短长度为点到的距离，最长长度为点与点的距离2，即，故反思：从上述解题过程可以看到，将“” 分别点乘和再相加，实际上只要直接点乘即可四、【练习】1在中，若为的外心，则的值 . 解：如图，过点于，于，则2如图，在平行四边形中，已知， 点为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围为 解： ，考查在上的投影的变化，当在处时，投影最小为；当在处时，投影最大为，故的取值范围为3如图，在半径为1的个圆的圆弧上有一点C，点D、E分别为线段OA、O
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