（应用数学专业论文）devaney混沌的等价刻画与赋范空间上连续自映射的回归点研究.pdf

摘要 摘要 作为一门新科学的混沌学( c h a o l o g y ) ，一般认为始于李天岩和约克( y o r k e ) 1 9 7 5 年发表于美国数学月刊的论文“周期三蕴含混沌”，因为该文中“混沌 ( c h a o s ) 首次被作为科学名词使用。l i y o r k e 混沌定义是高度抽象的数学定义，缺乏直观 性。因此，1 9 8 6 年d e v a n e y 给出了一个直观性更强的d e v a n e y 混沌定义。由于混 沌现象在自然界无所不有、无所不在，近三十年来混沌学研究得到了巨大发展并 且其研究成果在自然科学和社会科学的许多领域都得到广泛应用。 混沌的数学基础至今还很薄弱，寻找各种混沌的等价刻画以及各种混沌之间 的关系是当前混沌数学基础研究的重点课题。本文主要成果之一是：就此问题进 行研究。首先，将d e v a n e y 混沌定义从度量空间推广到一般拓扑空间。在一般拓 扑空间中分别得到了d e v a n e y 混沌的两组等价刻画。作为这两组等价刻画的推论： 如果实数区间，或紧度量空间z 上的连续自映射厂对于任意两个非空开子集都共 享同一周期轨，则厂是l i y o r k e 混沌映射。两个例子部分地说明本文所得结果在 应用中的有效性。 本文的另一研究成果是对赋范空间中回归点理论进行研究，得到了如下三个 结果：( 1 ) 如果厂是序列紧赋范空间x 上的连续双射，x 是厂的任一回归点，则对 于任意整数n 0 都存在厂的回归点矗x 使得f 以( h ) = 工：( 2 ) 序列紧赋范空间上 连续自映射的回归点集是厂的强不变子集；( 3 ) 如果厂是局部连通赋范空间x 上 的连续自映射，则厂的每一个回归点或是类周期点或是类周期点的聚点。 本文的成果是对混沌数学理论以及拓扑动力系统中回归点理论的进一步丰富 和发展，在一定程度上展示了拓扑学在上述理论研究中的良好应用前景。 关键词：混沌，拓扑传递，回归点，类周期点，d e v a n e y 混沌 a b s t r a c t a san e ws c i e n c e ，c h a o l o g yi st h o u g h tu s u a l l yb e g i n si nt h ep a p e r ：p e r i o dt h r e e i m p l i e sc h a o s ”b yl it i a n y a na n dj a m e sa y o r k ep u b l i s h e di n a m e r m a t h m o n t h l y ) ) i n19 7 5 ，b e c a u s e “c h a o s ”i sf i r s tu s e da st h es c i e n t i f i ct e r m i n o l o g yi nt h i sa r t i c l e s i n c e t h ed e f i n i t i o no fl i y o r k ec h a o si sh i g h l ya ：b s t r a c ta n dl a c k si n t u i t i v e ，t h e r e f o r e ， d e v a n e yh a sg i v e na l li n t u i t i v es t r o n g e rd e v a n e yd e f i n i t i o ni n19 8 6 i nr e c e n t3 0y e a r s ag r e a ta d v a n c e m e n th a sb e e no b t a i n e di nr e s e a r c ho fc h a o st h e o r ya n dan u m b e ro f r e s e a r c hr e s u l t si sa p p l i e di nm a n yf i e l do f n a t u r a ls c i e n c e sa n ds o c i a ls c i e n c e s c h a o sm a t h e m a t i c sf o u n d a t i o ni sv e r yw e a ku n t i ln o w s o ，i ti sc u r r e n t l yah o t t o p i t si nc h a o t i cm a t h e m a t i c sb a s i cr e s e a r c ht os e e k sf o re q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s b e t w e e nav a r i o u sk i n do fc h a o t i cd e f i n i t i o n sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m o n eo f t h i sa r t i c l ea i mi st od i s c u s st h i sq u e s t i o n f i r s t , t h ed e f i n i t i o no fd e v a n e yc h a o si s g e n e r a l i z e df r o mam e t r i cs p a c et oat o p o l o g ys p a c e t w og r o u p so fe q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n so fd e v a n e yc h a o so nat o p o l o g ys p a c ea r ep r o v e d a st h ec o r o l l a r yo f t h ea b o v er e s u l t s ，t h ef o l l o w i n gi so b t a i n e d ：ac o n t i n u o u ss e l fm a p p i n gf ：x 专xi s c h a o t i ci nt h es e n s eo fl i y o r k ei fa n yt w on o n - - e m p t yo p e ns u b s e t ss h a r eap e r i o d i c o r b i to f f ，w h e r exi sa ni n t e r v a lo rac o m p a c tm e t r i cs p a c e f i n a l l y , t w oe x a m p l e sa r e r e v e a l e dt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yi nt h ea p p l i c a t i o n so ft h ea b o v er e s u l t s n e x t ，t h i sa r t i c l ea n o t h e rs t u d i e st h er e c u r r e n tp o i n t so f ac o n t i n u o u sm a p p i n gf r o m an o r m e ds p a c ext oo n e s e l f ，o b t a i n e dt h e f o l l o w i n gt h r e er e s u l t s ：( 1 ) l e tfb ea s u r j e c t i v ea n di n j e c t i v ec o n t i n u o u ss e l f - m a p p i n gf r o mas e q u e n t i a l l yc o m p a c tn o r m e d s p a c ex t oo n e s e l f , i fzi sar e c u r r e n tp o i n to f f ，t h e nt h e r ei ss o m er e c u r r e n tp o i n t s x 0o f fs u c ht h a tf n ( 知) = 石f o re v e r yp o s i t i v ei n t e g e rn ；( 2 ) i f fi s ac o n t i n u o u s m a p p i n gf r o ms e q u e n t i a l l yc o m p a c tn o r m e ds p a c et oo n e s e l f , t h e nt h es e to fa l l r e c u r r e n tp o i n t si sas 仃o n gi n v a r i a n ts e to f f ；( 3 ) i ffb eac o n t i n u o u sm a p p i n gf r o ma l o c l l yc o n n e c t e ds p a c et oo n e s e l f , t h e ne v e r yr e c u r r e n tp o i n txo f f i sa na l m o s t p e r i o d i cp o i n to ra l la c c u m a l a t i o np o i n to ft h es e to fa l la l m o s tp e r i o d i cp o i n t s as e r i e so fr e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e r , t oac e r t a i ne x t e n t ，i sae n r i c h m e ta n d d e v e l o p m e n to fc h a o t i ct h e o r ya n dr e c u r r e n tp o i n t st h e o r yi nt o p o l o g i c a ld y n a m i c s y s t e ma n da p p l i c a t i o n so ft o p o l o g ya r es h o w e di n0 1 1 1 r e s e a r c h a b s t r a c t k e y w o r d s ：c h a o s ，t o p o l o g yt r a n s i t i v e ，r e c u r r e n tp o i n t ，a l m o s tp e r i o d i cp o i n t ，d e v a n e y c h a o s i n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：d 啦日期：d 叭t 声6 月。日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：壶! f 芝基因! i 导师签名： j 日期：江移7 7 年占月，口日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 混沌动力学的出现与发展 动力系统的研究可以追溯到牛顿。在牛顿的体系中，以时间为参变量的微分 方程占据了主导地位。牛顿的经典著作自然哲学的数学原理在接下来的两个 世纪中成为人们研究天体问题的典范，人们甚至乐观地认为可以像牛顿一样顺利 解决二体问题那样，通过求出微分方程的显式解来处理任何天体问题。遗憾的是， 这种愿望从未实现。 到了1 9 世纪8 0 年代，情况发生了一个质的转折。著名的法国数学家h p o i n c a r c 开始了对多体问题质点组动力学问题的研究。当时“三体问题”的求解具有 重大的现实意义和理论意义，为此h p o i n c a r e 以太阳系的三体为背景，证明了周 期轨道的存在，发现了三引力互相作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方 程的某些解有不可预见性。进而认识到当时的数学水平不足以解决天体力学的复 杂问题，因此就致力于发展新的数学工具，并与l y a p u n o v 一起奠定了微分方程定 性理论的基础，同时也拉开了动力系统研究的序幕。2 0 世纪3 0 年代，b i r k h o f f 等 人将经典的微分方程所定义的动力系统抽象为拓扑动力系统。到了2 0 世纪5 0 年 代，由于微分流形和微分拓扑的发展，使传统e u c l i d 空间上定义的微分方程扩展 到了微分流形上的动力系统，进而出现了新的研究分支一微分动力系统。 动力系统理论一直沿着两条并行的路线发展。方面，发现系统的简单性、 稳定性和可预测性；另一方面，揭示复杂性、不稳定性和混沌性。本文主要对混 沌性进行研究。 混沌的研究开始于混沌现象的发现，所谓混沌现象就是指动力系统中出现的 貌似不规则的运动。它的发现仍然可以追溯到h p o i n c a r e 关于天体力学的研究工 作。h p o i n c a r e 最先发现了“三体问题”中的不规则运动，他研究双曲点邻域内轨 道的变化，发现了被人们称为h p o i n c a r e 栅栏的极其复杂的几何图像。1 9 1 6 年， b i r k h o f f 在研究平面环的的扭转映射中发现了混沌吸引子。1 9 6 3 年，气象学家 l o r e n z ( 混沌理论少有的几位开创者之一，被誉为“混沌之父”) 在研究大气对流现 象时引进了l o r e n z 方程，他发现在一定的条件下，该方程可以出现混沌解。在同 一时期，k o l m o g r o v a r n o l d m o s e r 建立了分析力学中的k a m 理论，这些定理对近 电子科技大学硕士学位论文 可积的h a m i l t o n 系统解的性质给出了一些重要的结论，当这些定理的条件不适用 时，h a m i l t o n 系统可能出现混沌。1 9 6 7 年，s m a l e 在结构稳定性理论的研究中， 构造了著名的反例一s m a l e 马蹄映射，该映射限制在一个不变集合上且拓扑共扼 于双边符号系统从那以后，在微分动力系统的研究中，s m a l e 马蹄成为了混沌的 同义词。1 9 7 6 年，生物数学家m a y 在一篇对数学界产生很大影响的综述报告中指 出，生态学中的一些非常简单的数学模型具有极其复杂的动态行为，包括分支序 列与混沌。 然而，在相当长的时期内，没有人明确的指出什么是混沌。直到1 9 7 5 年，正 在美国马里兰大学攻读博士的华人李天岩和他的导师j a m e sj y o r k e 联名发表了一 篇震撼整个学术界的论文一“p e r i o d t h r e ei m p l i e sc h a o s ”( 周期三蕴含混沌) n 】。文中用 严格的数学语言给“混沌刀下了定义。他们说，如果区间歹上的连续自映射厂有 一个三周期点，则该映射一定是混沌的。即，存在一个不可数集合scj p e r ( f ) 合于下列三条件： ( 1 ) l i m s u p d ( f ”( x ) ，f “( y ) ) 0 ，对于v 工，y s ：x y ； 月，q u ( 2 ) l i m i n f d ( f “( 功，f ”( y ) ) = 0 ，对于v x ，y s ； n - - o o ( 3 ) l i m s u p d ( f ”( x ) ，f “( p ) ) = 0 ，对于v 工s ，v p p e r ( f ) n d 其中d ( x ，y ) 表示x 与y 两点之间的距离。 后来，这个定义被人们广泛地应用于各种紧致系统的研究当中。在文献【l 】中， 作者指出了在单位区间上的连续自映射只要具有周期3 的轨道，则一定具有以任 何自然数为周期的轨道，并且从一个不可数( u n c o u n t a b l e ) 集合中出发的轨道表现出 时分时合的不稳定性态。事实上，早在1 9 6 4 年，俄罗斯数学家s a r k o v s k i i 就给出 了一个更为精致的定理( 见文献心1 ) ，定理叙述了区间上的连续自映射的周期之间 出现的必然次序。无论是李天岩、j a m e sj y o r k e ，还是s a r k o v s k i i 的工作都揭示了 一维映射迭代确实具有远非简单的动力学行为。作为具有复杂动力学行为的一维 映射，一个十分重要的而且典型的例子便是l o g i s t i c 模型。该二次模型本身是用来 描述动物种群的繁衍过程的，美国生物学家r o b e r tm a y 于1 9 7 6 年在自然杂志 上发表的题为具有极复杂的动力学的简单数学模型文章( 见文献【3 】) 便指出 了在这类简单数学模型中由周期向混沌演化的复杂动力学现象。1 9 7 8 年，在l o s a l a m o s 实验室工作的f e i g e n b a u m 发现了倍周期分叉过程中的普适常数 ( 4 6 6 9 2 0 1 6 0 9 0 ) ( 见文献【4 】) 。 2 第一章绪论 从此，混沌动力系统的探究以及与混沌现象相关联的应用进入了一个全新发 展的阶段数学家、理论物理学家们试图利用数学工具给混沌以合理的定义，给肉 眼所看见的相平面、空间中复杂缠绕的轨道以合理的数学解释，表现为( 1 ) 双曲动 力系统理论的发展日臻完善；( 2 ) 统计力学在动力系统中的运用与探讨；( 3 ) 奇异吸 引子的专题研究和深刻分析；物理学家、工程师们则在具体的领域构造混沌或是 控制混沌，以期能在具体的模型中利用混沌所具有的特性，表现为( 1 ) 时空混沌模 型的出现与探讨；( 2 ) 混沌控制的方法改进；( 3 ) 混沌在具体信息通讯中的运用；( 4 ) 混沌反控制在有限维和无限维动力系统中的研究与应用；生物学家、经济学家、 医学家则在相应的领域中构造出非线性数学模型，使人类能够真正了解生态、生 物、经济、生命等或是宏观或是微观系统中动力学行为的演化规律，表现为( 1 ) 各 类生物神经元模型、神经网络的建模与动力学行为的分析；( 2 ) 各类人工神经网络 模型的建模与动力学行为的分析；( 3 ) 经济系统中各类模型的建模与分析等等。 正如前面所讲的那样，l i y o r k e 混沌是第一个用严格的数学语言给出的混沌定 义，但实际上，不同的领域内的人对混沌的理解是很不相同的。许多学者在对不 同的系统的研究中给出了不同的混沌判定规则。下面几种有严格定义的混沌系统， 都是理论研究中采用过的。 ( 1 ) l i y o r k e 混沌系统【1 】 ( 2 ) d e v a n e y 混沌系统【5 】 ( 3 ) 拓扑混合系统【6 】1 1 7 ( 4 ) r u l l e t a k e n s 混沌系统7 】【1 5 】 ( 5 ) 国混沌系统【8 】【2 3 1 ( 6 ) s m a l e 马蹄 ( 7 ) 存在横截同宿点的系统 除此之外，还有一些其他的混沌的描述，我们就不再一一列举了。 这里我们感兴趣的混沌定义是定义( 1 ) 和( 2 ) ，两者都是最早出现的混沌定义， 也是被研究的最深入、最广泛的混沌定义。 1 2 混沌动力学的研究现状 混沌一直以来都与非线性科学紧密相连，借由非线性科学的发展，混沌动力 学的研究工作者通过实验、仿真等手段在实际应用中取得了巨大的成绩，尤其在 混沌控制与混沌反控制中，一批学者作出了开创性的工作，如：e o t t 、g g r e b o g i 、 电子科技大学硕士学位论文 j y o r k c 提出了混沌控制的参数扰动方法，称之为o g y 方法；陈关荣、汪小帆等 人提出了混沌反控制理论，并最早研究了离散系统、连续偏微分系统、无限维系 统等系统的混沌反控制。目前，由于计算机技术的发展，使得一些复杂的仿真、 实验得以顺利的进行，混沌控制与混沌反控制已经逐渐形成了较为完善的理论系 统，混沌动力学在应用领域的研究成果已经日新月异。 在混沌动力学的理论研究工作中，经历了一个由简单空间、维空间到复杂 空间、高维空间的研究与探索，人们首先研究了实直线、单位圆上的连续自映射 的混沌性，接着将其扩展到r “空间及一般的度量空间上的研究( 见文献【9 j ) ，由于 l i y o r k c 混沌和d c v a n c y 混沌定义中都反映出了系统的拓扑性质，为了更好地研究 混沌的本质，研究工作者引进了新的研究工具拓扑理论。从拓扑学的角度， 学者们主要从两个方向研究了拓扑动力系统的混沌行为：一是通过遍历理论、拓 扑熵来研究拓扑动力系统的复杂性；二则是用拓扑理论来研究系统在各种不同混 沌定义下的混沌性以及不同混沌之间的相互联系，尤其是针对l i y o r k c 混沌和 d c v a n c y 混沌的研究更为广泛。 l i y o r k c 混沌和d c v a n c y 混沌两个混沌定义都涉及到动力系统轨道的周期性 及渐进性，而系统的混沌性态也正是由系统轨道的周期性及渐进性表现出来。在 混沌动力学中，对轨道周期性的研究已有很长历史，取得突破性的结果始于1 9 6 4 年s a r k o v s k i i 发现的s a r k o v s k i i 序；而对轨道渐进性的研究主要体现在对不规则集 合( s c r a m b l e ds e t ) 的研究。下面就具体介绍混沌动力学在这两方面的研究现状。 1 2 1 轨道周期性研究 不论是研究系统的简单性、稳定性还是研究系统的复杂性、混沌性，都涉及 到对系统轨道周期性的研究就研究系统的混沌行为而言，不论是对系统进行混沌 控制还是进行混沌反控制，其基本方法也都是基于对系统轨道周期性的研究。事 实上，一个混沌系统中，混沌吸引子内嵌着大量的不稳定周期轨道，它们在混沌 动力学系统演化的过程中一直存在着。除此之外，由于混沌系统的遍历性，混沌 轨道还将经过或接近这些周期轨道中的任意一个混沌轨道的真实运动是在各个不 同的不稳定周期轨道之间进行随机的变换。因此，混沌运动可以直接地想象为： 系统在不稳定周期轨道附近作近似于周期的运动。稳定的和超稳定的周期轨，往 往对应于实际问题中能够观察和易于计算出来的周期现象。因为这种周期现象不 因初始数据的不够准确和计算误差的微小扰动而有显著的变化。于是，稳定和超 4 第一章绪论 稳定的周期轨的存在性，自然成为大家所关心的事。 对稳定周期轨和超稳定周期轨的研究可以更好的了解倍周期分岔现象以及其 混沌现象，而系统周期轨的稳定与否会随着系统参数的微小变化而发生改变。1 9 6 4 年，s a r k o v s k i i 在文献中指出区间上单峰函数的超稳定周期轨的出现顺序符合 s a r k o v s k i i 序。1 9 7 8 年，美国物理学家f e i g e n b a u m 对l o g i s t i c 映射，a 【工j 2 m 工l l _ 工j 的超稳定周期轨进行了研究，从而全面研究了倍周期分岔现象。f e i g e n b a u m 在文 献h 1 中发现，当旯= o 5 时出现超稳定的不动点，当见= o 8 0 9 0 时出现超稳定的2 周期轨，当旯= 0 8 7 4 6 时出现超稳定的4 周期轨，随着参数值的增加，还会出现超 稳定的2 周期轨及超稳定的3 周期轨，而3 周期轨则往往意味着混沌。文献p j 1 也通过对系统轨道周期性的研究讨论了动力系统的一些混沌性。 为了在更广阔的空间中得出类似于s a r k o v s k i i 序这样奇妙的结论，一些学者试 图在更复杂的空间上取得突破，文献叫讨论了一类连续体上连续映射的周期点， 文献1 讨论了可降映射的周期点。在这些空间上对轨道周期性的研究虽然困难重 重，但一旦得到某些优秀的结论很可能会开创出混沌理论研究的新局面。 1 2 2 拓扑传递系统的研究 拓扑传递性是动力系统的一个全局性质。尽管一个拓扑传递的动力系统其局 部满足诸如存在吸引不变集等性质，对于整个系统而言系统仍然是不确定的，例 如，有些拓扑传递的动力系统具有稠密的周期点集，而有些系统可能是不含周期 点的极小系统拓扑传递的概念最早由g d b i r k h o f f 提出。 随后，很多学者对不同空间上( 例如：实线段、圆周、紧空间等) 的拓扑传 递系统做了进一步的研究，探讨了一些特殊的具体映射在拓扑传递条件下的性质， 得到了在这些空间上的系统是拓扑传递系统的若干等价命题( 见文献训) 。除此以 外，人们还进一步研究了具有拓扑传递性质的系统的拓扑共扼性、拓扑熵及混沌 性。 关于拓扑动力系统混沌性态的研究可以追述到r u e l l e 和t a k e n s ，在文献1 中， 他们认为混沌系统便是对初值敏感依赖的拓扑传递系统。李天岩和y o r k e 在文献1 中则认为一个系统中如果有一个不可数的l y - 不规则集合( s c r a m b l e ds e t ) ，这个系 统则是混沌的。d e v a n e y 在文献p 1 中将具有对初值敏感依赖的周期点稠密的传递系 统定义为混沌系统。然而许多作者发现，周期点稠密的传递系统本身就具有对初 值的敏感依赖性。黄文和叶向东在文献【l o 】中研究了紧度量空间中具有周期点的传 5 电子科技大学硕士学位论文 递系统中的混沌现象，指出这类系统在l i y o r k e 意义下是混沌的，解决了这个长 期未解决的问题，其论证方式简洁而明快。麦结华在文献【1 6 】中则用构造性的方法， 指出紧度量空间中，具有周期点的拓扑传递系统如果对初值敏感依赖，则存在比 l i y o r k e 混沌更为严酷的条件下的不规则集合。熊金城等人在文献【6 】中用有别于 l i y o r k e 混沌的语言描绘了拓扑混合、拓扑弱混合以及拓扑混合的保测变换中产生 的混沌现象。熊金城还在文献【1 2 1 中研究了拓扑传递的幂系统中产生的混沌现象， 指出在这一类系统中轨道对于时间的异常依赖方式其异常程度远大于通常所说的 “l i y o r k e 混沌 中所描述的；并且推广了“对于初值敏感依赖”这一概念，并且 讨论了这种广义的对于初值敏感依赖的传递系统中产生的混沌现象。 1 3 本文的选题和研究内容 混沌在不同的学科领域有不同的定义，在数学理论中，常用的定义有l i y o r k e 混沌系统、d e v a n e y 混沌系统、拓扑混合系统、 r u l l e - t a k e n s 混沌系统、国混沌 系统、s m a l e 马蹄、存在横截同宿点的系统等而在这几种混沌中最常用的是 l i y o r k e 混沌系统和d e v a n e y 混沌系统，因此对这两种混沌的深入研究就显得十分 重要。本文希望解决的问题就是：通过研究l i y o r k e 混沌系统和d e v a n e y 混沌系 统的等价性进而探讨l i - y o r k e 混沌系统和d e v a n e y 混沌系统之间的关系。 另一方面l i y o r k e 混沌的出现引出了一些问题，例如不可数的l y - 不规则集合 ( s c r a m b l e ds e t ) 里的元素是什么? 这些元素又有哪些特殊的性质? 廖公夫在文献【1 7 】 中证明了若厂的回归点集不是闭的，则厂是混沌的后来他又在【1 8 】中证明了混沌的 等价条件是有一个c o 一极限点x ，使得序列 厂2 “o ) ) ：不收敛到x 。可以知道回归点、 c o 极限点、非游荡点和链回归点都可以作为l y - 不规则集合( s c r a m b l e ds e t ) 里的 元素，因此对它们的研究就非常必要。本文另一个研究对象是赋范空间中连续自 映射的回归点性质。 1 4 本文内容结构 本文共分为五章，第三章和第四章是本文的主要研究成果，其结构如下： 第一章，是本文引言部分，首先介绍了本文的选题背景和理论意义；其次对本 文用到的基本符号进行说明；然后，给出相关的概念和基本引理，为后面的理论推 导工作做准备。 6 第一章绪论 第二章，本章给出拓扑动力系统中的一些基本概念和结果，这主要是为后继的 讨论作准备。 第三章，主要研究在拓扑空间研究d e v a n e y 混沌的等价刻画，得到了两组 d e v a n e y 混沌的等价刻画，并利用所得结果研究d e v a n e y 混沌与l i y o r k e 混沌的 关系。 第四章，讨论在赋范空间中连续自映射的回归点性质，获得了如下三个结果： ( 1 ) 如果厂是序列紧赋范空间x 上的连续双射，x 是厂的任一回归点，则对于任 意整数n 0 都存在厂的回归点x o x 使得f ”( ) = x ；( 2 ) 序列紧赋范空间上连 续自映射的回归点集是厂的强不变子集；( 3 ) 如果厂是局部连通赋范空间x 上的 连续自映射，则厂的每一个回归点或是类周期点或是类周期点的聚点。 第五章，我们对迄今为止本学位论文所涉及的研究成果，特别是本学位论文 的获得的成果进行系统总结。 最后是本文的相关文献和在硕士阶段取得的研究成果。 电子科技大学硕士学位论文 备。 第二章相关背景知识介绍 本章给出拓扑动力系统中的一些基本概念和结果这主要是为后继的讨论作准 2 1 动力系统的一些基本概念及有关结论 2 1 1 动力系统 动力系统的研究主要是从数学的角度研究物体的运动规律，它偏重的是运动 的某些较为长期的规律的研究，例如研究运动的趋势，运动的极限性质，运动的 周期性，返回性，以及根据运动的短期规律探索运动的长期规律。若考虑空间的 拓扑结构或度量结构，且考虑运动的连续性，那么，相应的动力系统便是拓扑动 力系统。假如所考虑的空间还具有光滑性，所考虑的运动还具有可微性，那么， 相应的系统便是微分动力系统。假如我们关注系统的每一个时刻的状态，那么， 相应的便是时间参数连续的动力系统( 连续流) 。当我们只是间断地观测运动系统 的状态时，相应的便是离散动力系统。离散动力系统可以由一个映射产生，它的 表达方式比较简洁，但它的许多思想方法，概念及结果都与其他形式的动力系统 ( 如连续流等) 有相似之处。因此，人们可以通过离散动力系统去了解一般的动力 系统理论。 经典的动力系统理论十分重视运动系统的稳定性的研究。在今天，这仍然是 个热门话题。不过，近年来人们发现了许多动力系统中存在一种既非稳定也非不 稳定的更复杂的现象一混沌现象。动力系统的混沌成了众多学科关注的研究对象。 设x 为紧致度量空间，f ：x 寸x 是x 上的连续自映射。厂可以看作是x 上 的一个作用：点x x 在厂作用下生成像点厂( x ) ，厂( x ) 仍然是x 中的点，厂可以 继续它的作用，生成像点厂( 厂( x ) ) = 厂2 ( 工) 这个过程可以无限的进行下去。令 厂o = 谢( 即x 上的恒等映射) 厂1 = f ，f 2 = f 。厂，一般地，对n 2 ，f 一= f ”1 。f 。 定义2 1 1x 上连续自映射序列 f o ，7 r 1 ，厂2 ) ，叫做“x 上由连续自映射厂 经迭代生成的离散拓扑半动力系统”，记为( 工，厂) ，简称动力系统对任意x x ， x 在厂作用下生成的轨道扛，厂o ) ，f 2 ) ，) 记作o r b ，( x ) 如果o r b r ( x ) = x ，则称 第二章相关背景知识介绍 x 的轨道在x 中稠密。 定义2 1 2 设( x ，厂) 是动力系统，如果闭子集x ocx 对厂不变，即 f ( x o ) ck ，则把厂在k 上的限制映射厂k x o 一五所生成的系统( k ，f l , , o ) 称 为( x ，厂) 或的子系统。 2 1 2 动力系统中轨道的周期性、回复性 在一个变化发展的系统中，若系统的某种状态会一再出现，则这种状态可称 为系统的周期状态。迭代中的周期轨，是描述现实世界中周期现象的重要数学模 型之一。动力系统的核心问题是轨道的渐进性质或拓扑结构，即当万一o o 时轨道 的极限性质。下面我们引进轨道的周期性、回归性等回复性概念。 定义2 1 3 对于x x ，如果存在整数刀 0 ，使得f ” ) = x ，则把x 称为厂 的周期点，并把厂” ) = x 成立的最小的正整数n 叫做它的周期。厂的全体周期点 的集合记作p e r ( f ) 。周期为1 的周期点叫做不动点，厂的全体不动点的集合记作 f i x ( f ) 。 定义2 1 4 设厂是线段，到自身的连续可微函数，x o 1 是厂的咒一周期点。 如果( 厂”( x ) ) 。i ，。 0 ，存在n 0 ，使得厂 ) u ( x ，占) ， 9 电子科技大学硕士学位论文 这里u ，占) 是x 的以占为半径的球形邻域，则把x 叫做厂的回归点，也即z x 为 回归点当且仅当l i m i n f d ( f ”( z ) ，功= 0 。f 的全体回归点的集合记作r e c ( f ) 。 定义2 1 6 对于x x ，我们把x 叫做厂的游荡点，如果存在6 0 ，使得对 于任意n 0 都有f “( u ，占) ) nu ( x ，占) = a ；把x 叫做厂的非游荡点，如果x 不是厂 的游荡点，即对v 6 0 ，存在n 0 ，使得厂( u ( x ，占) ) nu ，占) a 。厂的全体 非游荡点的集合记作q ( 厂) ，称做的非游荡集。 从各类点集的定义易见： f i x ( f ) cp e r ( f ) cr e c ( f ) cq ( 厂) 而且，容易验证，它们都对厂是不变的。 定义2 1 7 对于x x ，如果存在单调递增正整数序列 n i ) 函，使得 l i m f 啦( x ) = y ，则把点y 叫做x 的c o 一极限点( y 彳) ；并称x 的全体c o - - 极限点的 i - - a 0 集合为x 的缈一极限集，记作c o ( x ，厂) 。 容易看出国( x ，厂) 对厂是不变的。c o ( x ，f ) 描述了x 的轨道的渐进性质和拓扑结 构，限制在c o ( x ，厂) 上的子系统是最重要的子系统。动力系统的重要问题的研究往 往归结为这样的子系统的研究。 下面给出上述各类集合的一些相关结论。 命题2 1 1 设z x ，则c o ( x ，厂) 是x 的非空闭子集。 命题2 1 2 设x x ，则x r e c ( f ) 的充分必要条件是x c o ( x ，厂) 。 命题2 1 3 设x x ，则对任意n 0 ，有 ( 1 ) f ( c o ( x ，) ) = o j ( x ，厂) ； ( 2 ) v n n ，( 缈0 ，f ”) ) = c o ( f ( x ) ，厂“) ； ( 3 ) v 7 z n ，o j ( x ，厂) = u 2 l 国( ( x ) ，厂“) 。 证明( 1 ) 对于任意y f ( c o ( x ，厂) ) ，存在z c o ( x ，厂) ，使得厂( z ) = y 。因为有 厂4 ) ) 的子列厂( 功jz ，由厂在点z 的连续性，则厂”1 ( 功专厂( z ) = y 从而， y 国( 五) 。另一方面，对跏c o ( x ，厂) ，存在子列厂m ( x ) 哼y 。可知序列 f n k - 1 i x ) ) 有一个收敛的子列 厂叫 ) ) ，不妨设其收敛于点z ，则z 国( x ，f ) 并且 厂( z ) = y f ( c o ( x ，厂) ) 。故f ( c o ( x ，) ) = c o ( x ，厂) 。 ( 2 ) 对固定的托n ，对渺f ( c o ( x ，f ”) ) ，3 z c o ( x ，f “) 使得厂0 ) = 少。因有 u h ( x * o ：l 的子列厂中( x ) _ z ，故 厂o + 1 ( x ) = 厂( 厂勺“( x ) ) = 厂一( 厂( x ) ) f ( z ) = y ， 即y c o ( f ( x ) ，f ”) 。 1 0 第二章相关背景知识介绍 反之，对于任意y c o ( f ( x ) ，厂”) ，有( f 勋( 厂 ) ) ) 乏。的子列厂中u ) ) - - y ， 即厂印+ 1 ) - y 。而序列( 厂印o ) ) ：。必存在收敛的子列 厂b ”o ) 兰。，不妨设 f k j f n ( x ) 争z ，贝0z o j ( x ，f “) 并且厂“+ 1 ( z ) = 厂h ”( 厂( x ) ) f ( z ) 。 又由厂斛1 ) jy 与度量空间中极限的唯一性，有f ( z ) = y 。因此， y f ( c o ( x ，f ”) ) 故f ( c o ( x ，f ”) ) = c o ( f ( x ) ，f ”) 。 ( 3 ) 同上，对固定的n n ，砂c o ( x ，厂) ，存在 厂”o ) ) 的子列f ( x ) 专y 。 则对任意k n ，有仇= q , n + i k ，其中吼为正整数，1 0 ，假设结论对五聊已经成立。下面证明聆：扰+ 1 时结论成立。 设x r e c ( f ) ，可知x c o ( x ，f ) = u = c o ( f ( x ) ，f ”) ，若x c o ( x ，f n ) ，结论已经 成立。 下设0 p n 是最小的整数使得石c o ( f p ( z ) ，f ”) ，易知 c o ( x ，f 咒) cc o ( f p ( x ) ，f 咒) = f p ( a o ( x ，f 刀) ) ， 因此p 也是满足国( x ，f 以) cf p ( c o ( x ，f 咒) ) 的最小正整数。 由于f 一( c o ( x ，f 聆) ) c 国( x ，f 聆) ，所以存在最小的正整数t 咒使得 厂( c o ( x ，f 聆) ) cc o ( x ，f 万) ，我们有f ( x ，f 刀) ) c 国( x ，f 以) c 厂p ( c o ( x ，f 拧) ) ，不妨 设p t ，并用厂卜p 作用上式，得到：厂t - p ( c o ( x ，f 拧) ) cf ( 缈( x ，f 以) ) cc o ( x ，厂以) ， 根据关于f 的假设，我们有p = t ，并且厂p ( c o ( x ，f 万) ) = c o ( x ，厂珂) 。 令n = p q + ，0 ， l ，这时p n ，使得 a ( f “ ) ，f “( y ) ) e 万，则称厂对初值是敏感依赖的。 1 2 第二章相关背景知识介绍 下面将给出人们熟知的d e v a n e y 混沌的定义。 定义2 2 3 【5 1 设石为度量空间，厂：xjx 是x 上的连续自映射。若厂满足 下列条件： ( 1 ) 厂是拓扑传递的； ( 2 ) 厂的周期点集在x 中是稠密的； ( 3 ) 厂对初始条件是敏感依赖的。 则称厂是d e v a n e y 混沌的。 然而，以上三个条件并不是相互孤立的，它们之间有着密切的联系，其结果 如下j 定理2 2 1 【1 9 1 设x 为度量空间，厂：x x 是x 上的连续自映射若厂是拓 扑传递的且其周期点集在整个空间中是稠密的，那么厂具有对初值的敏感依赖性。 定理2 2 2 【2 0 1 令厂：z 专x 是x 上的连续自映射，并且x 是r 上的一个区 间，若厂在x 上是拓扑传递的，那么映射厂是对初值敏感依赖的，且其周期点集 在x 中是稠密的。 g l a s n e r 和w e i s s 推广了上述定理，得到了如下结论： 定理2 2 3 1 9 1 设石为紧度量空间，厂：x x 是x 上的连续自映射。若厂是 拓扑传递的但不是极小的，并且厂的几乎周期点在x 中稠密，则厂对初值是敏感 依赖的。 d e v a n e y 混沌还有其他的定义方式，像在文献2 1 1 中，t p a t 给出了d e v a n e y 混沌 的另一个等价定义，即厂在x 上是混沌的若x 的任意两个非空开子集享有共同的 周期轨。在文献2 1 1 中，v e l l e k o o p 等证明了在区间上，拓扑传递性就等价于d e v a n e y 混沌但这个结论对通常的映射并不成立。 2 2 2li - y o r k e 混沌 1 9 7 5 年，李天岩与j y o r k e 在文献【l 】中给出了一个意义深远的结果：周期3 蕴 涵了混沌这架起了系统周期性与混沌性之间的直接桥梁，使得著名的s a r k o v s k i i 定理与混沌联系起来了。该文虽然没有直接提出混沌的定义，但现在著名的 l i y o r k e 混沌便是源自该文。除此以外，n a t h a n s o n 与o o n o 分别证明了周期5 ，7 及非2 幂周期也蕴涵着混沌。下面我们给出l i y o r k e 混沌的定义。 定义2 2 4 设( x ，d ) 为度量空间，厂：xj 彳是x 上的连续自映射，集合 sc x ( 至少包含两个点) 称为厂的l y 一不规则集，若s 中任意不同的两