（计算机应用技术专业论文）复指函数newton变换的j集和混沌系统的同步.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性理论由三大部分构成：分形理论、混沌理论和孤立子理论，它们是非线性这 门学科的理论基础，用于描述具有无规结构的复杂系统的结构形态。本文讨论了分形学 中具有重要意义的n e w t o n 迭代的j u l i a 集( 简称j 集) 的建模和表示，设计了耦合发电机 系统的反同步方案，研究了不确定r i k i t a k e 系统的自适应同步。 分形方面：利用迭代法构造了函数r ( z ) = z e 7 ( w c ) 的一系列松弛n e w t o n 变换的 j 集，并对w 取不同值时松弛n e w t o n 变换的j 集在两个不动点0 和o o 处的吸引域的结构 进行了分析。结果发现：w = 2 n ( n = 0 ，2 ，+ 4 ，) 时，不动点0 和o o 处的吸引域关于并 轴和y 轴均具有对称性；选取主幅角为卜兀，兀) ，对于任给w = a ( a c ) ，不动点0 和0 0 处 的吸引域均关于x 轴对称；w = 即时，j 集在两个不动点0 和0 0 处的吸引域均具有叩倍 的旋转对称性；选取参数w = - - 4 7 ，k = 0 8 时，不同的放大倍数的吸引域展现出惊人的 相似性，即j 集具有无穷嵌套的自相似结构；w 为复数时，由于主幅角馥的选取在负 x 轴处的不连续性，导致了两个不动点0 和0 0 处的吸引域的错动和断裂仅出现在负工轴 处。 混沌方面：以耦合发电机系统为研究对象，设计出一种反同步方法，使得系统能够 快速达到反同步。通过对耦合发电机系统的数值模拟，进一步验证了该方案的有效性； 还研究了不确定r i l d t a k e 系统的自适应同步，基于l y a p u n o v 稳定性理论，设计了自适 应控制器，理论证明了该控制器可使得两个r i k i t a k e 系统参数确定的驱动系统和参 数不确定的响应系统渐进地达到同步。数值模拟结果进一步证明了该控制器的有效性。 关键词：复指数函数；牛顿迭代；j 集；混沌同步；不确定r i k i t a k e 系统 大连理上大学硕士学位论文 t h ejs e t so f n e w t o n sm e t h o do fc o m p l e x e x p o n e n t i a lf u n c t i o n a n ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m s a b s t r a c t n o n - l i n e a rt h e o r yc o n t a i n st h r e ei m p o r t a n tp a r t s ：f r a c t a l ，c h a o sa n ds o l i t o nt h e o r y t h e yc o m p o s et h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fn o n l i n e a rt h e o r yw h i c hd e s c r i b e st h ec o m p l e x s y s t e m a t i cs t r u c t u r es h a p et h a th a sar a n d o mg 仇l c n 鹏b a s e do nn o n - l i n e a rt h e o r e t i c a l a n a l y s i s ，t h er e s e a r c hh a ss t u d i e di n t os o m ec h a o t i ca n df r a c t a lp r o b l e m s , s u c ha sm o d e l i n g a n ds h o w i n gjs e t so fn e w t o n sm e t h o do faf a m i l yo fe x p o n e n t i a lf u n c t i o n s ，p r e s e n t i n ga s y s t e m a t i cd e s i g np r o c e d u r et oa n t i - s y n c h r o n i z ec h a o t i cs y s t e m , a n dr e s e a r c h i n gi n t o t h e a d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo ft w or i k i t a k es y s t e m si nt h ep r e s e n c eo fu n k n o w n s y s t e mp a r a m e t e r s o nf r a c t a l ：n e w t o n sm e t h o di sa ni m p o r t a n tt e c h n i q u ew h i e hi su s e dt of i n dt h e s o l u t i o n so fn o n l i n e a re q u a t i o no re q u a t i o n s i tt r a n s f o t i n st h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，( 曲= 0i n t oad y n a m i c a lp r o c e s s ，a n dt h es o l u t i o np r o c e s si sr e l a t e dt ot h ei n i t i a lv a l u e t 1 l e p a p e rd e v e l o p sf i g e nc i l i n g e r ss t u d i e s ，m a k ea s eo ft h er e l a x e dn e w t o n sm e t h o dt o p o l y n o m i a l sa n ds i m p l ee x p o n e n t i a lf u n c t i o n sf ( z ) = z e r ( wec ) ，c o n s t r u c tjs e t so f r e l a x e dn e w t o n sm e t h o d ，r e s e a r c hi n t ot h ea t t r a c t i v eb a s i no ft w of i x e dp o i n t s0a n d0 0 a c c o r d i n gt od i f f e r e n twv a l u e s ，a n a l y z ec h a r a c t e r so ft h es t r u c t u r e so ft h ejs e t s ，a n d 矗n d o u tt i l a tt h e y r es y m m e t r i c a l p e r i o d i ca n dc o n f o r n lt of i s s i o ne v o l v e m e n tl a w s t h er e s u l t sa r e ： i fw = 2 n ( n = o ，垃，+ 4 ，) ，t h ea t t r a c t i v eb a s i n so f0a n d0 0i ss y m m e t r i c a la b o u ta x i s 工 a n da x i s 弘c h o o s et h er a n g eo f m a i na n g l e 嬲【一码兀) ，f o rar a n d o mw = a ( a r ) ，t h e a t t r a c t i v eb a s i n so f 0a n d i ss y m m e t r i c a la b o u ta x i sx ( d t h ea t t r a c t i v eb a s i no f t w of i x e d p o i n t s0a n d 0 0i sc i r c u m g y r a t e ds y m m e t r i c a lw i t ha ，7 a n g l ew h e nt h ep a r a m e t e rwi sa n i n t e g e r s e tt h ep a r a m e t e r ss o m ep a r t i c u l a rv a l u e ss u c ha sw = - - 4 7 ，h = 0 8 ，也ef i g u r e s a r eq u i t es i m i l a rw i t hf i g u r e so fd i f f e r e n tz o o ms c a l e s i fwi sac o m p l e x ，t h ec h o o s e d m a i na n g l e 芝i sd i s c o n t i n u o u s n e s so nt h em i n u sa x i sx ，s ot h er u p t u r eo fa t t r a c t i v eb a s i no f t w of i x e dp o i n t s0a n d0 0 o n l yu e c u r eo nt h em i n u sa x i st o nc h a o s ：as y s t e m a t i cp r o c e d u r et oa n t i s y n c h r o n i z ec h a o t i cc o u p l e dd y n a m o s y s t e m s i sd e s i g n e d ，t h em e t h o di ss i m p l e ra n df a s t e rt oa c h i e v ea n t i s y n c h r o n i z a t i o ni nc o n t r a s tw i t h t h ec o n v e n t i o n a l s y n c h r o n i z a t i o na p p r o a c h e s ，a n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h et h e p r o p o s e ds c h e m ei se f f e c t i v e 1 1 1 ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo ft w or i k i t a k es y s t e m s i sa l s ob e e nr e s e a r c h e di nt h ep r e s e n c eo f u n k n o w ns y s t e mp a r a m e t e r s 1 1 1 ep a r a m e t e r su p d a t e 复指函数n e w t o n 变换的j 集和混沌系统的同步 r u l ea n da na d a p t i v ec o n t r o l l e ra l ed e s i g n e db a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y i ti s p r o v e dt h a tt h ec o n t r o l l e ra n du p d a t er u l ec a nm a k et h es t a t e so ft h ed r i v es y s t e ma n dt h e r e s p o n s es y s t e mw i t hi l l l k r l o w ns y s t e mp a r a m e t e r sa s y m p t o t i c a l l ys y n e l l r o m z e d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n sh a v es h o w nt h ee f f e c t i v e n e s so f t h e a d a p t i v ec o n t r o l l e r k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a lf u n c t i o n ；n e w t o n m e t h o d ；js e t s ；c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ； u n c e r t a i nr i k i t a l ms y s t e m i v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特另f 1 ) j n 以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：查i ：塑日期： 大连理_ _ = 大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 当南、蝈 导师签名 丑兰乞 塑年三月上旦日 大连理_ 大学硕十学位论文 引言 本章是全文的引言。首先简单介绍了非线性理论及相关实际应用，然后交待了本论 文所作的一系列的工作，使读者整体上了解论文，最后给出了章节安排。 非线性科学的研究具有重大的科学意义和广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学 和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。在非线性科学的研究 中，已涉及对确定论与随机性，有序与无序，偶然性与必然性，量变与质变，整体与局 部等范畴和概念的重新认识，它将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑 体系的根本性问题。 分形理论是描述具有无规结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。在过去2 0 多年中，分形理论已成功地应用于许多不同学科的研究领域，并使得一系列研究取得突 破性进展。分形理论的发展是迅猛的，分形的思想和方法正日益影响着现代社会的生活 和活动，随着分形的广泛应用，一些新的数学方法和数学工具被不断提出，所有这些都 显示了分形理论的强大生命力。 混沌是物理科学和数学科学两栖的边缘科学。它讨论系统对初值的敏感依赖性、拓 扑传递性与混合性、周期点的稠密性、随机性和遍历性、正的l y a p u n o v 指数、分维数 和奇怪吸引子等。混沌学研究的重要特点就是跨越学科界限。混沌现象主要研究非线性 系统的时间演化行为，它揭示了由完全确定论方程描述的系统中，长时间行为对初值非 常敏感的依赖关系。混沌理论与计算机科学理论等领域相结合，使人们对久悬未解的基 本难题的研究取得了突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨 大作用。 本论文所作的工作有以下三个方面：利用松弛n e w t o n 迭代法构造了函数 f ( z ) = z e 7 的n e w t o n 变换的j 集，针对各种情况下的w 取值对n e w t o n 变换的两个不动 点0 和m 的吸引域做了研究，分析了其结构的对称性、周期性和裂变演化规律。以耦 合发电机系统为研究对象，设计出一种反同步方法，使得系统达到反同步。本文的方法 相对简便，并且能够快速达到反同步。通过对耦合发电机系统的数值模拟，进一步验证 了该方案的有效性。研究了不确定r i k i t a k e 系统的自适应同步，基于l y a p u n o v 稳定 性理论，设计了自适应控制器，理论证明了该控制器可使得两个r i k i t a k e 系统参数 确定的驱动系统和参数不确定的响应系统渐进地达到同步。数值模拟结果进一步证明了 该控制器的有效性。 全文共分五章：第一章简要介绍了分形和混沌理论，并阐述了它们的研究进展和现 状；第二章介绍了本文所涉及的基本原理和相关方法；第三章阐述了n e w t o n 变换的j 复指函数n e w t o n 变换的j 集和混沌系统的同步 集理论，并对一类复指数函数n e w t o n 变换的j 集进行了相关的研究；第四章设计了一 种有效的反同步方法，使得一类混沌系统达到反同步；第五章研究了不确定r i k i t a k e 系 统的自适应同步；最后是全文的结论。 2 大连理工大学硕士学位论文 1 分形与混沌概论 非线性科学是- 1 7 研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以来，在 各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪 自然科学的“第三次大革命”。分形和混沌是非线性科学的两个重要分支。 1 1 分形概论 1 1 1 分形理论的产生和发展 “分形”这个名词是由美国i b m 公司研究员暨哈佛大学教授m a n d e l b r o t 在1 9 7 7 年首 次提出的，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体。但早在1 9 1 0 年，德国数 学家h a u s d o 蹴开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1 9 6 0 年，m a n d e l b r o t 在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的 传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按c a n t o r 集排列。在对尼罗河水位和 英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表 现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为， 欧氏测度不能刻画这类集的本质，因而转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变 量，主张用维数来刻画这类集合。1 9 7 7 年，他出版了第一本著作分形：形态，偶然性 和维数( f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c e a n d d i m e n s i o n ) ，标志着分形理论的正式诞生。五年后， 他出版了划时代的专著自然界的分形几何学( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) ，至此， 分形理论初步形成。分形及其理论的发展大致可以分为三个阶段【l ，2 】： 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，在此阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关 问题，并为讨论这些问题提供了最基本的工具。 第二阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年，在这半个世纪里，人们实际上对分形集的性质做 了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。 第三阶段为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各领域的应用取得全面发展，并形成独立学 科的阶段。 到目前为止，分形的数学理论还没有形成公理化结构的理论体系，是不完备的。关 于分形理论的争议很多，如分形维数深层次的物理意义，如何判断一个对象是分形或多 分形问题，分数维所代表的实际意义问题，分形的动力机制问题，分形重构问题，关于 j 集和m a n d e l b r o t 集( 简称m 集) 的问题等。但是分形理论与其思考问题的思想所赋予给 我们的新鲜的、创造性的理论思维是丰富多彩的。 复指函数n e w t o n 变换的j 集和混沌系统的同步 近年来，分形几何被广泛地应用于物理学、生物学、地理学、冶金学、材料学、计 算机图形学等领域从几何学的角度来研究不可积系统即耗散结构图形或浑沌吸引子图 形的自相似性，并把复杂多变的自然现象看作是无限嵌套层次的精细结构，使分形理论 与耗散结构理论、协同论、混沌理论、渗透理论等这些与非线形复杂现象有关的理论成 为新的思想和理论模型。有人预测，本世纪初将出现类似于爱因斯坦广义相对论那样数 学物理学的革命。 1 1 2 分形的定义 什么是分形呢? 事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定 义。粗略地说，分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所包含 有的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度) 但具有一定意 义下的自相似图形和结构的总称。大多数分形在一定的标度范围内不断放大其任何部 分，其不规则程度都是一样的，这个性质称为比例自相似性；而按照统计的观点，其任 一局部经移位、旋转、缩放变换后与其它任意部分相似。这两个性质揭示了自然界中一 切形状及现象都能以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。m a n d e l b r o t 最先引入分 形( f r a e t a l ) - - 词，意为破碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种 意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集合1 2 1 。为此，在他的最初论述 中曾给出分形的一个尝试性的定量刻画。 定义1 1 如果一个集合在欧氏空间中的h a u s d o r f f 维数d n 恒大于其拓扑维数d t ， 即 则称该集合为分形集，简称分形。 这个定义是由m a n d e l b r o t 在1 9 8 2 年提出的，该定义不合理，因为它把一些明显应 是分形的一些集排除了。四年以后，他又提出了一个实用的定义： 定义1 2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 但这个定义也不够精确和全面。英国数学家f a l c o n e r 在其所著分形几何的数学基 础及应用一书中认为，分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出， 即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性。一般地，称集f 是分形，即认 为它具有下述典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 ( 2 ) f 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 - 4 - 大连理丁大学硕十学位论文 ( 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情况下，f 可以以非常简单的方式来定义，可能由迭代 产生。 事实上随着分形研究工作的不断深入，其意义一直在不断延伸，李厚强从五个方面 作了概括【3 】： ( 1 ) 分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”构架起来的数理模型。 ( 2 ) 分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似，也可以只有其中某一方 面的自相似。 ( 3 ) 自相似可以是严格的，也可以是统计性的，自然界的大多数分形都具有统计意 义的自相似。 ( 4 ) 自相似性有层次结构上的差异，数学中的分形具有无限嵌套的层次结构，而自 然界中的分形只有有限层次嵌套，且在进入到一定层次结构后才有分形规律( 通常是幂 率1 。 ( 5 ) 相似性有级别( 即使用生成元或放大倍数) 上的差异，级别最高的是整体，最低 的是0 级生成元。级别越接近，则越相似，级别相差越大，相似性差异越大，可用无标 度区或标度区不变范围来表示。 1 1 3 分形理论在计算机科学中的应用 今天，分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们对久悬未解 的基本难题的研究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了 巨大作用。其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学。分形已被认为是研究非线 性复杂问题最好的一种语言和工具。并受到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩 目的学术热点。 分形理论与计算机科学理论相结合，一方面，分形理论推动了计算机可视化图像方 法的迅速发展，使计算机在信息压缩、储存及模拟自然界的各种奇妙图形方面发挥了重 要作用；另一方面，计算机应用的广度和深度也大大推动了分形理论的发展，由于模拟 分形图展现出了一批优美的图像，促使分形理论与计算机科学理论的进一步融合及发 展。 1 2 混沌概论 1 2 1 混沌理论的产生和发展 混沌是一种普遍现象，有关混沌现象及其机理的研究成果是2 0 世纪最重要的科学 复指函数n e w t o n 变换的j 集和混沌系统的同步 成就之一。自从2 0 世纪6 0 年代以来，国际上对混沌现象的研究就一直长盛不衰。通过 对混沌的研究，人们看到了自然界及社会中普遍存在着的非线性复杂现象，如有序与无 需的统一，确定性与随机性的统一等等。混沌以一种新的方式重新对自然界进行了描述。 目前对混沌的研究已遍及了自然科学的各个领域，如密码学、激光、化学生物、脑科学、 神经网络及系统工程等领域，并有成功应用。 1 9 0 3 年p o i n c a r 6 在他的科学与方法一书中指出了三体问题中，在一定范围内， 其解是随机的，实际上这是一种保守系统中的混沌，从而p o i n c a r 6 成为世界上最先了解 混沌存在的可能性的第一人【刀。2 0 世纪的2 0 、3 0 年代，b i r k h o f f 建立了动力系统理论的 2 个主要研究方向：拓朴理论和遍历理论。到1 9 6 0 年前后，非线性科学研究得到了突飞 猛进的发展，k o l m o g o r o v ，a r n o l d 和m o s e r 提出了著名的k a m 定理，k a m 定理为揭 示h a m i l t o n 系统中k a m 环面的破坏以及混沌运动奠定了基础。给出混沌解第一个例子 的是1 9 6 3 年美国数学家l o r e n z 的在美国大气科学杂志上发表的文章“确定性的非 周期流”【引。在他的天气模型中，l o r e n z 看到了一种细致的几何结构，发现了天气演变 对初值的敏感依赖性。i o r 即z 提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶煽动几下翅膀， 可能会改变3 个月后美国得克萨斯州的气候”，这被称为“蝴蝶效应”，用混沌学术语 表达就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。 1 2 2 混沌的定义 在一个完全确定的系统中出现了类随机的状态，这种现象被人们称为混沌现象。尽 管混沌现象引起了学术界的广泛兴趣，但是，究竟什么是混沌呢，作为科学术语，“混 沌”至今仍然没有一个被普遍认可的定义。目前，已有的定义是从不同的侧面反映了混 沌运动的性质。1 9 7 5 年李天岩和他的导师y o r k e 在美国数学月刊上发表了题为“周 期3 蕴含混沌”的文章，首次提出了“混沌”一词，并并给出了混沌的一种数学定义， 现称为l i - y o r k e 定义或l i y o r k e 定理【9 】，这是混沌的影响较大的数学定义，它是从区间 映射出发进行定义的，该定义可描述如下。 l i - y o r k e 定理设厂( 力是【口，b 】上的连续自映射，若f ( x ) 有3 周期点，则对任何正 整数n ，厂( x ) 有n 周期点。 混沌定义( l i - y o r k e ) 区问，上的连续自映射厂( x ) ，如果满足下面条件，便可确定 它有混沌现象： ( 1 ) ，的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 一6 大连理t 大学硕士学位论文 1 i m s u p l f “( 曲一f 4 ( ) ，) l 0 ，毒，s ，x y ， l i m i n f f 4 ( 功一f “( y ) l 0 ，x , y s ， ! i r a s u p i f ( x ) - f 4 ( y ) j 0 ，j s ，) ，为周期点。 l i - y o r k e 定义准确刻画了混沌运动的几个重要特征：存在可数无穷多个稳定的周 期轨道；存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；至少存在一个不稳定的非周期轨 道。 为了使人们更直观，更易于理解混沌，一些科学家在此都有过一些后续卓越的工作， 比如d e v a n e y , m a r y 等学者。 目前人们普遍接受的是d e v a n e y 给出的定义： 定义1 3 设y 是一度量空间，映射厂：v 斗v 如果满足下列三个条件，称厂在v 上 是混沌的【1 0 1 。 ( 1 ) 对初值敏感依赖：存在艿 0 ，对任意的占 0 和任意的工v ，在x 的任意占邻 域内存在y 和自然数以，使得a ( f 4 ( 功，“( y ) ) 万。 ( 2 ) 拓扑传递性：对v 上的任一对开集x ，y ，存在k o ，使得f ”( x ) n y a ( 如一 映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的1 。 ( 3 ) ， 的周期点集在v 稠密。 1 2 3 混沌运动的基本特征 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可 积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中7 ，9 1 。它有时被描述为具有无穷大周期的 周期运动或貌似随机的运动等，与其他复杂现象相区别，混沌运动有自己独有的特征， 主要包括： ( 1 ) 有界性：混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域，该区域称 为混沌吸引域。 ( 2 ) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌运动 轨道经过混沌区内每个状态点。 ( 3 ) 内随机性：本质上指的是混沌运动的不可预测性，对初值的敏感性造就了这一 性质，说明混沌是局部不稳定的。 ( 4 ) 分维性：指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运动状态 具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 复指函数n e w t o n 变换的j 集和混沌系统的同步 ( 5 ) 标度性：指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要实验精度足 够高，总可以在小尺度的混沌区内看到有序的运动形态。 ( 6 ) 普适性：指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，不随具体的 系统方程或参数而变。普适性是混沌内在规律性的一种体现。 ( 7 ) 统计特征：正的l y a p u n o v 指数以及功率普等。 1 3 分形与混沌的关系 混沌与分形具有很深的内在联系。如果说分形几何为描述混沌吸引子的内部结构提 供了一个很实用的语言，那么，混沌运动则被认为是产生分形结构的根源之一。分形与 混沌有着密切的关系1 。1 4 】。 它们的起源不同。分形起源于对不规则集合的研究，例如，弯弯曲曲的海岸线、凸 凹不平的路面等自然物表面的几何形状，数学中处处连续而处处不可微的函数等“逻辑 怪物”或“病态”函数。从集合的观点来看，它们都是属于不规则的点集。混沌则起源 于非线性动力学的研究。也就是说，混沌是研究非线性确定性方程所具有的内在随机性 在时间上的非周期过程。 从研究问题来看，它们又具有类似性。混沌主要研究非线性动力学系统的不稳定的 发散过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子。这与分形的生成过程十分 相似。因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征，那么 分形则主要研究吸引子在空间上的结构。混沌运动的随机性与初始条件有关；而分形结 构的具体形式或其无规性也与初始状态有密切关系。混沌吸引子与分形结构都具有自相 似性。所以，它们是从不同侧面来研究同一个问题的。 分形与混沌的这种类似性有着更深刻的根源，或者说它们有着共同的数学祖先 动力系统。动力系统是研究抽象系统随时问变化的动态规律：，= ：x 斗x 。而混沌学是 研究动力学系统随时间变化的规律。如果把逃逸时间算法生成分形的迭代步骤看作一种 时间的话，那么分形的生成也是随时间变化的一种规律。因此从理论上说，动力系统既 与混沌存在着一定的关系，又与分形有着密切的关系。动力系统与混沌的具体关系表现 在，动力系统存在混沌必须满足的三个条件：对初始条件的敏感依赖性、具有拓扑传递 性质以及周期点的稠密性。这三个条件正好对应着产生混沌现象的三个条件：不可预测 性、不可分解性以及有一定的规律成分。具体地说就是，对初始条件的敏感依赖性，在 动力系统中表现为其长期行为的不可预测性；拓扑传递性表明，动力系统不可能被分解 成两个或几个互不影响的子系统；周期点稠密性表明，动力系统产生的混沌并非完全无 序，而是有一定的规律成分的。动力系统与分形的具体关系表现在，从生成分形的迭代 大连理 大学硕士学位论文 函数系统( i t e r a t i v ef u n c t i o ns y s t e m ，i f s ) 出发，可以定义( 随机) 移位动力系统，而移位动 力系统正是一个混沌动力系统。因此，在一定条件下，动力系统的斥性吸引子( 即斥子) 与对应的i f s 的吸引子是重合的，或者说在一定条件下，i f s 中的变换是相应的动力系 统中变换的逆变换。 分形与混沌的关系表明，如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那 么由i f s 生成的分形吸引子正好是一个不稳定的收敛过程，因此，可认为：“如果把混 沌广义地看作是具有自相似的随机过程和结构，则分形也可看作是一种空间混沌。反之， 由于混沌运动具有在时间标度上的无规自相似性，它也可以看作是时间上的分形。”简 单地说，分形是空间上的混沌，而混沌是时间上的分形。 9 一 复指函数n e w t o n 变换的j 集和混沌系统的同步 2 原理及方法介绍 2 1 分形原理及方法 2 1 1 构造分形图的逃逸时间算法 逃逸时间算法是一种具有深刻理论背景，又行之有效的绘制分形图的方法，它可以 用来描绘极其复杂的分形图。提到分形就不能离开动力系统，它是确定性分形的源泉。 通过对动力系统的轨道的研究，一方面可以认识更多的分形；另一方面可以了解构造分 形图的理论根据。下面给出动力系统的定义。 定义2 1 度量空间( x ，p ) 上的动力系统是一个变换f ：x 斗x ，记为 x ，厂) 。x 中 一点x 的轨道是序列矿”( ：胛= l ，2 ，) 。 设( ) ( 力为给定的度量空间，( ，( x ) k ) 代表相应的带有豪斯道夫距离的非空紧子集 空间( 即分形空间) ，则确定性分形集a 即为( f ( x ) ，k ) 上的压缩映射与折叠变换的不动点 集，而 x ，n ( ，为( x ，力上的变换) 构造了( f ( x ) ，k ) 上的分形动力系统。 定理2 1 设( y ，力为度量空间，x c y 是y 的非空紧子集，又设f ：x 斗y 是连续 的，且满足，3 x ，则： ( 1 ) 由形( a ) = ，( a ) ，v a f 0 0 定义了一个变换矽f ( 殉，( x ) 。 ( 2 ) w 具有不动点a ，( 均，它由下式决定： a _ n 厂4 ( x ) = l i m w ”( x ) 。 n 4 如果厂还满足：设u x 是度量空间( x ，p ) 的开子集，则，( u ) 是度量空间u ( x ) ，力 的开子集。则有： ( 3 ) w 是从度量空间( f ( x ) ，k ) 到它自身的连续变换。 由定理2 1 知，不变集( 分形集) a 可表示为： a = 工x ：f ”( d x ；n = 1 ，2 ，3 , - - ) ， 即a 是那些轨道不离开x 的点组成的，它是轨道逃离a 的点集的余集。故可得如下构造 分形集的逃逸时问算法： ( 1 ) 已知动力系统 x ，f ) ，给定视窗形及逃逸半径r 和逃逸时间限制n 。 ( 2 ) 定义逃逸时日j 函数 大过理丁大学硕士学位论文 r ( 工) = i ，( x ) 怿r 且i ，( 工) i r ；f - 1 2 ，七- 1 j i 1 i ( x ) i 即= 1 ，2 ，1 ( 3 ) 对视窗内的点毛计算，( b ) 。 ( 4 ) 如果r ( 嘞) = o ，则a ( 分形集) ；如果丁( x f ) o ，则而五。 以上就是逃逸时日j 算法的理论性描述。由于其简洁及易实现性，常被用来构造各类 奇特的分形集。其中值得注意的是迭代次数界限的选择，如果的数值选的太小， 只有较少的点能够逃逸出去，结果不是分形a 上的点也保留下来，而得到一个粗略的不 准确的图像；反之，如果值太大，则a 上的一些点也能逃逸出去，所得图像模糊不 清。选择适当的值，要根据实际需要在计算机反复调整合积累经验。把逃逸时间算法 应用到形式为 r ：，n ， c ，厂) 或 e ，厂) 的动力系统上，都可以得到千变万化的分形集。 但对于不同的问题，观察视窗缈会有不同。同样对于逃逸区域也可以采用不同的形态， 这就是后面将会提到的轨道。而且我们还可以根据逃逸时间的不同赋予每个点不同的颜 色，这样就要可以得到一幅美丽的彩色分形图像，也更有利于对不同点的性质进行分析。 2 1 2j 集 取f ：c 哼c 为复系数一2 的多项式f ( z ) = 4 0 + q z + a 。，。记厂为函数的k 重复 合，广= f o o f ，f ( 叻为珊的第k 次迭代厂( ，( ( 厂( 功) ) ) 。如果厂( o j ) = 国，国就称 为，的不动点，如果存在大于1 的整数p ，使厂9 ( 功= 国，则称c o 是厂的周期点，使 厂9 ( c o ) = 国的最小正整数p 称为脚的周期，而称 纰，( 功，f 9 ( 动) 为周期p 的轨道。设 是周期为p 的周期点，且( 厂9 ) 7 ( 曲= 旯，其中“”表示复变微商，点( - 0 称为： ( 1 ) 超吸引的，如果五= 0 ； ( 2 ) 吸引的，如果0 川 1 。 定义2 2 设厂：e e 是阶数大于1 的多项式，f ，表示c 中那些轨道不趋于无穷点 的点的集合，即 f ，= z c ： i ( z ) i 二，是有界的 ， ，l，l 复指函数n e w t o n 变换的j 集和滟沌系统的同步 称此集为相应于，的充满的j 集，的边界称为多项式，的j 集，记为j ，即 j ，= o f s 定理2 2 设 g k 为开区域u 上的一族复变解析函数，如果 g 量) 为非正规族，则对 所有的w e c ，至多除去一个例外值，存在k 和z u ，使g k ( z ) = w 。 这就是m o n t e l 定理，由它我们可以得到j 集的一系列性质，其证明过程非常复杂这 里不作过多说明，如有需要可查阅相关参考文献f 1 5 】。现只将其性质总结如下： 定理2 3 设：e - - 9 e 是阶数大于l 的多项式，f ，是，的充满的j 集，j r 是厂的j 集，则f ，和j ，是c 的非空紧子集，即f ，j ，f ( c ) ；同时f ( jr ) = j ，= 广1 ( j ，) 及 f ( f r ) = f ，= 厂一- ( f ，) ，且u = e f ，是路径连通的。 定理2 4j 集j ，为多项式厂的斥性周期点的闭包，它是不含孤立点的不可数紧子 ： 集，如果z j ，则j ，是u 厂。( z ) 的闭包。j 集是，的包含无穷远点在内的每一吸引不 k - i 动点的吸引域的边界，而且厂在j ，上的作用是混沌的。 图2 1 是几个j 集的例子。 ( a ) c _ 一o 5 一o 5 i( b ) c = 一o 5 + 0 5 i【c ) c = - - 0 6 6 1( d ) c = l 图2 1z4 - - z 2 + c 构造的j 集 f i g u r e2 1j u l i as e t sc o n s t r u c t e db yz 卜z 2 + cm a p p i n g 2 1 3n e w t o n 变换理论概述 n e w t o n 奠定了经典力学，光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的 基础学科之外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被 证明直到今天还是非常有价值的。事实上，目前越来越多地应用n e w t o n 方法来求 f ( x 1 = 0 的根，这是因为在计算机上可以非常容易地应用这方法，而且精度也比手算高 大连理工大学硕十学位论文 得多。 n e w t o n 算法是一种巧妙的技巧，它将解方程，( 曲= 0 的问题转化为一个动力学过 程，求解过程与初值选择有关。开始我们不需要知道正确的解，我们可以从一个任意的 假定开始，用n e w t o n 方法得到接近方程解的某个近似解，这些解相当于吸引场的中心。 各个中心点的吸引影响究竟有多远? 它们吸引区域之间的边界是什么样的? 数学 家c a y l e y 于1 8 7 9 年首次将牛顿迭代法推广到复多项式，分析了复平面上方程z 3 1 = 0 的 三个解及其特性，从而开创了复动力系统这一领域的研究工作。之后，大约1 9 3 0 年j u l i a 和f a t o u 对复多项式迭代进行了竞争性的研究，但是由于缺乏计算机的辅助，使研究基 本处于停滞不前。1 9 8 0 年m a n d e l b r o t 率先利用计算机绘制了第一张引人入胜的m 集分 形图，从而开创了动力系统分形几何的研究，这是m a n d e l b r o t 在非线性分形领域中所作 出的杰出贡献。 2 2 混沌同步方法 所谓混沌同步，指的是两个或多个混沌系统在耦合或驱动作用下使其混沌运动达到 一致的过程。自p e c o r a 和c a r r o l 在理论和实验中发现混沌系统可以同步以来，混沌同步 及其在保密通信等领域的应用研究己成为混沌和控制领域的研究热点n 4 1 。下面是本文 中用到的混沌同步方法。 2 2 1 激活控制法 设存在驱动系统 圣= a x + ，( 善) ，( 2 1 ) 其中x = ( ，x 2 ，) 7 r “是状态向量， 数。 令