（基础数学专业论文）关于一些算术函数的均值.pdfVIP

= 塑! ! 奎耋堡圭堂堡篁圣 摘要 算术函数的均值问题在解析数论研究| - - 1 占有十分重要的位置，许多著名的数 论难题都与之密切相关在这领域取得任何实质性进展必将对解析数论起到重 要的推动作用 本文研究了+ 些算术函数的均值问题，给出了关于三次指数和，g a u s s 和，广 义b e r n o u l l i 数，k l o o s t e r m a n 和与c o c h r a n e 和的+ 系列均值公式：研究了整数及 其逆问题，以及d hl e h m e r 问题，在此基础上定义了多维高次l e h m e r 问题，并给 出了与之相关的世! 高次均值和加权均值；研究了。些特殊数列及函数的均值， 并给出了些较好的渐近公式具体说来，本文的主要成果如下： 1 d i r i c h l e t 一函数的均值刚题在数论研究巾非常重要，它与许多算术函 数的均值有着密切的关系本文建立了广义b e r n o u l l i 数，整数及其逆问题，以 及dhl e h m e r 问题与l 一函数的相互转换关系，并给出了关于l 一函数的些新的 均值公式，这些公式有助于研究一些均值问题 2 指数和，g a u s s 和与k l o o s t e r m a n 和有着悠久的历史和丰富的内容本文研 究了它们之间的关系，给出了三次指数和的四次均值的精确公式，广义三次g & n $ s 和的四次均值的精确公式，并得出了广义k l o o s t e r m a n 和的高次均值的一些渐近 公式：研究了g a u s s 和与广义b e r n o u l l i 数，c o c h r a n e 和与高次k 1 0 0 s t e r m a n 和的 混合均值，以及h a y d y 和的高次均值，获得了一系列的渐近公式 3 整数及其逆问题，以及d h l e h m e r 问题的研究有助于我们深入了解整数 分布的性质本文利用广义b e r n o u l l i 数研究了整数及其逆问题的高次均值，以及 与k l o o s t e r l n a n 和的混合均值，并给出了该问题的个推广；研究了d h l e h m e r 问题及其推广，定义了多维高次l e h m e r 问题，给出了些混合均值的渐近公式 4 研究了些特殊数列及函数的均值本文给出了m s b i u s 反转公式的 个推广，改进了关于s q u a r e r e e 原根数列与s q u a r e f u l l 原根数列的分布的渐近 公式，给出了两个有趣的均值公式，讨论了与分拆有关的一个问题，给出了关 于位数码之积的一个精确的计算公式：研究了原数列及其均值，阶乘补数以 及s m a r a n d a c h e 双阶乘函数j j m a n g o l d t 函数的混合均值 关键词：d i r i c h l e tl 。函数；指数和：g a u s s 和；k l o o s t e r m a n 和；整数及其逆 d h l e h m e r 问题：特殊数列 a b s t r a c t ( 英文摘要) m e a nv a l u ep r o b l e m so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp l a ya n i m p o r t a n tr o l ei nt h e s t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，a n dt h e yr e l a t et om a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i c p r o b l e m s a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l dw i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n t o fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o r t i ea r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s as e r i e so fm e a nv a l u ef o r m u l a eo nt h ec u b i ce x p o n e n t i a ls u m s g a u s s s u l r l s ，g e n e r a l i z e db e r n o u l l in u m b e r s ，k l o o s t e r m a ns u m sa n dc o c h r a n es u m sa r e g i v e n 碴s t u d yt h ep r o b l e mo fa ni n t e g e ra n di t si n v e r s e a n ddhl e h m e rp r o b 一 1 e mt h em u l t i p l ev a r i e t i e sa n dh i g hd i m e n s i o n sdh l e h m e rp r o b l e m 沁d e f i n e d 。 a n ds o m eh i g hd i m e n s i o n sm e a nv a l u ea n dh y b r i dm e a nv a l u ea r ep r o p o s e d w j a l s ow o r ko ns o m es p e c i a ls e q u e n c e sa n df u n c t i o n s ，a n dg i v eaf e ws h a r pa s y m p t o t i c f o r m u l a e t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 m e a nv a l u ep r o b l e m so fd i r i c h l e tl f u n c t i o ni sv e r yi m p o r t a n ti na n a l y t i c n u m b e rt h e o r y t h e r ee x i s tc l o s er e l a t i o n s h i p sa m o n gl f u n c t i o na n dm a n ya d t h - m e t i c a lf u n e t i o n s t h et r a n s f o r mr e l a t i o n sa m o n g g e n e r a l i z e db e r n o u l hn u m b e r s ， t h ep r o b l e mo fa l li n t e g e ra n di t si n v e r s e ，a n dd h l e h m e rp r o b l e ma r ew o r k e d o u t s o m en e wm e a nv a l u ef o r m u l a eo nl - f u n c t i o na r eg i v e n ，w h i c hi su s e f u lt o t h es t u d yo fs o n l em e a nv a l u ep r o b l e m s 2 e x p o n e n t i a ls u m s ，g a u s s s u m sa n dk l o o s t e r m a ns u m s e n j o yt h e i rl o n g h i s - t o r y w es t u d yt h er e l a t i o na m o n g t h e m a n dg i v ee x a c tf o r m u l a ef o rt h ef o u r t h p o w e rl n e a no ft h ec u b i ce x p o n e n t i a ls u m s a n d g e n e r a lc u b i cg a u s ss u m sr e s p e c - t i v e l y t h eh y b r i da l e s nv a l u e sb e t w e e ng a u s ss u i n sa n dg e n e r a l i z e db e r n o n l l i n n m b e r s ，c o c h r a n es u m sa n dh i g hd i m e n s i o n sk l o o s t e r m a ns u m s ，a n dt h eh i g h p o w e rr n e m lo fh a r d y s u m sa r es t u d i e d ，a n daf e wa s y m p t o t i cf o r m u l a ea r eg i v e n 3 t h es t u d yo nt h ep r o b l e mo fa ni n t e g e ra n di t si n v e r s e ，a n dd hl e h m e r p r o b l e m ，w i l lh e l pu st o k n o wm o r ep r o p e r t i e so ft h ed i s t r i b u t i o n so fi n t e g e r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s et h eg e n e r a l i z e db e r n o u l l in u m b e r st os t u d yt h eh i g h d i m e n s i o n sm e a nv a l u eo ft h ep r o b l e mo fa ni n t e g e ra n di t si n v e r s e ，a n dt h eh y b r i d m e a nv a l u eo ft h i sp r o b l e ma n dk l o o s t e r m a ns m i l s w eg e n e r a l i z et h ep r o b l e mo f a l li n t e g e ra n di t si n v e r s e ，a n dd h l e h m e rp r o b l e m t h em u l t i p l ev a r i e t i e sa n d h i g hd i m e n s i o n sd hl e h m e rp r o b l e m i sd e f i n e d ，a n ds o m eh y b r i dm e a nv a l u ea r e s t u d i e d 4 s o m es p e c i a ls e q u e n c e sa n dm n c t i o n sa r es t u d i e d w 色g e n e r a l i z et h e m 6 b i u si n v e r s ef o r m u l a ，i m p r o v et h ea s y m p t o t i cf o r m u l a eo nt h ed i s t r i b u t i o n so f t h en u m b e ro fs q u a r e f r e ep r i m i t i v er o o t s ，s q u a r e f l f l lp r i m i t i v er o o t s ，o b t a i nt w o i n t e r e s t i n gm e a nv a l n ef o r m u l a e 、d i s c u s sap r o b l e mr e l a t e s t op a r t i t i o n s ，g i v ea n e x a c tf o r m u l ao nd i g i t sp r o d u c t ，s t u d yp r i m i t i v en u m b e r sa n dt h e i rm e a nv a l u e ， l j f a c t o r i a lq u o t i e n t s ，s m a r a n d a e h ed o u b l ef a c t o r i a lm l m b e r sa n d t h e i rh y b r i dm e a n v a l u ew i t hm a n g o l d tf l m c t i o n s k e y w o r d s ：d i r i c h l e tl f u n c t i o n ；e x p o n e n t i a l8 1 u r l s ；g a u s ss u m s ；k l o o s t e r m a n s u i n s ；a ni n t e g e ra n di t si n v e r s e ；d t t l e h m e rp r o b l e m ；s p e c i a ls e q u e n c e s i i i 独创性声明 y6 2 3 8 3 2 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标 注的地方和致谢中所罗列的内容外，论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确地说明 并表示了谢意。 签名： 擀手 2 0 0 4 年5 月2 0 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 自变量n 在某个整数集合叶- 取值，冈变量取复数值的函数y ：，f n ) ，这种函 数称之为算术函数，它们在研究许多数论问题ii 起着非常重要的作用很多重要 的算术函数的取值是卜分不规则的，但是它们的均值f ，( n ) 却有很好的渐近公 n o 式【：l 】【l o 】 算术函数的均值是解析数论的重要研究课题，是研究各种数论问题不可缺少 的工具在这领域取得任何实质性进展必将对解析数论起到重要的推动作用 算术函数巾的指数和，g a u s s 和，以及k l o o s t e r m a n 和有着悠久的历史和 丰富的内容【_ l i 它们之问也存在着某种联系d u k es h l w a n i e c 18 】发现三次指数 和实际上是带有三次d i r i c h l e t 特征的广义k l o o s t e r m a n 和，b i r c h 5 】也获得了 三次指数和的些均值公式这就意味着，我们似乎可以得出关于三次指数 和，广义k l o o s t e r m a n 和的些新的均值公式张文鹏【7 ) l 证明了d e d e k i n d 和 与c o c h r a n e 和可以化为某种形式的g a u s s 和与d i r i c h l e tl 一函数，这样就可以得 出d e d e k i n d 和与c o c h r a n e 和的。些均值公式，如果我们能计算出相应的l 一函数 的均值 整数及其逆问题，以及d h l e h m e r 涮题的研究有助于我们深入了解整数分 布的性质张文鹏州”】给出了整数及其逆问题的二次均值，并要求我们研究 其高次均值这个问题具有挑战性，因为原有的方法基本上走不通与之类似， d h l e h m e r 4 6 1 要求我们研究。个整数与它的逆奇偶性不同的情形关于这 问题，张文鹏【6 8 】嗍i t 3 l 给出了很好的渐近公式，研究了 1 0 0 1 1 0 6 】渐近公式中的误差 项的混合均值和二次均值，并推广了这。问题( 参阅 7 6 】，【7 7 】， 7 8 】，【s o ，【8 l 】， 8 2 】， f 8 3 1 ，f 9 2 1 ，f 1 1 2 1 ) c o b e l i 和z a h a r e s c u ”j 考虑了模p 上不可约曲线中的l e h m e r 问 题这些问题是否能往其它方面推广，并获得有趣的结果? 在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) 书扎s m a r a n d a c h e 5 l l j 提出了1 0 5 个 未解决的数论问题对其中的些问题进行研究，并得到定程度上的解决，似乎 是有趣并有意义的 基于以上的想法，我们研究了指数和，g a u s s 和，及k l o o s t e r m a n 和的一些均 值，整数及其逆问题，d h l e h m e r 问题，咀及些特殊数列及函数，并得到了 定的成果 1 2主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了一些算术函数的均值，这些成果主要表现在指数和， g a u s s 和，及k l o o s t e r m a n 和的一一些均值；整数及其逆问题，d h l e h m e r 问题；以 及些特殊数列及函数这三个方面，内容分布在第三至第五章具体说来，本文的 第一章绪论 丰要成果和内容组织如下： 1d i r i e h l e tl 一函数的均值问题在数论研究。h e 常重要，它与许多算术函 数的均值有着密切的关系本文建立了广义b e r n o u l l i 数，整数及其逆问题，以 及d h l e h m e r 问题j l 函数的相互转换关系，并在第二章巾给出了关于l 函数 的些新的均值公式，这些公式有助于研究第三章和第四章中的。些均值问题 2 指数和，g a u s s 和与k l o o s t e r m a n 和有着悠久的历史和丰富的内容。在第 三章中，本文研究了它们之间的关系，给出了三次指数和的四次均值的精确公 式，广义三次g a u s s 和的四次均值的精确公式，并得出了广义k l o o s t e r m a n 和的 高次均值的些渐近公式；研究了g a u s s 和与广义b e r n o u l l i 数，c o c h r a x l e 和与高 次k 1 0 0 s t e r m a n 和的混合均值，以及h a y d y 和的高次均值，获得了系列的渐近 公式 3 整数及其逆问题，以及d h l e h m e r 问题的研究有助于我们深入了解整数 分布的性质本文在第四章中，利用广义b e r n o u l l i 数研究了整数及其逆问题的 高次均僮，以及与k l o o s t e r m a n 和的混合均值，并给出了该闯题的一个推广；研究 y d h l e h m e r 问题及其推广，定义了多维高次l e h m e r 问题，给出了些混合均 值的渐近公式 4 在第五章中我们研究了。些特殊数列及函数的均值本文给出了m s b i u s 反转公式的个推广，改进了关于s q u a r e f r e e 原根数列与s q u a r e f u l l 原根数列的分 布的渐近公式，给出了两个有趣的均值公式，讨论了与分拆有关的一个问题，给出 了关于位数码之积的个精确的计算公式；研究了原数列及其均值，阶乘补数以 及s m a r a n d a c h e 双阶乘函数与m a n g o l d t 函数的混合均值 2 塑! ! 奎耋! ! 圭耋堡堡塞 第二章关于d i r i c h l e tl 函数 2 1d i r i c h l e t 特征与d i r i c h l e tl 一函数 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论的发展史，可 以追述到远古时代，数系的起源自从人类可以辨别事物的多少开始，就有了整 数的概念最早对数论做出过贡献的，是希腊人当时以p y t h a g o r a s 为首的学派， 就明确提出了素数的概念什么叫素数? 一个整数，如果它的因数只有1 和它本 身，就称为素数，否则就是台数素数概念的出现很重要，因为由算术基本定理， 任何个整数都可以唯分解为素数方幂的乘积，这样，对整数的研究就归结到 对素数的研究个很自然的问题就是，素数是有限的，还是无穷的? e u c l i d 给出 了个很著名，很漂亮的定理，证明了素数有无穷多个 我们知道自然数中存在无穷多个素数后，很自然的要问，首项与公差互素 的等差索列中是否也会有无穷多个素数? 用数学语言来说，就是，当q 2 ， 0 f 1 时x ( n ) = o ； ( i i ) 对任意的n 有x 陬+ q ) = x ( 佗) ； ( i i i ) 对任意的m ，礼，有x ( m n ) = ) ( m ) x ( n ) 那么x ( n ) 称为模q 的特征其中x ( n ) il ，! 鼍( n ，q ) = l 时，为主特征，d i r i c h - l e t 证明了 ， 丽1 蝥q 归r ：票篡矗 以及 赤。p 呶2 忽： 再引入个d i r i c h l e tl 一函数，l ( s ，x ) = x ( n 扭一，d i r i c h l e t 得到 暑歹1 。志。三。- ( 2 ) 1 0 啦扣戌) + 。( 1 ) 这样，如果能够证明当s 一1 时，右边的和式趋于+ ，那么就证明了等差数 列f + 面巾有无穷多个素数 3 一 篁三塞茎至呈坚! ! 壁丝塑壑 ： d m c h l e t 的这些t 作显示了解析方法的强大牛r 命力初等方法不能解决的数 论问题可以转化为研究解析函数的性质，从而得到了令人满意的解决( 以上内容 参阅l i ) 关于d i r i c h l e tl 一函数的研究，至今仍然是兴盛不衰，尤其是l 一函数零点性 质的研究，尤为重要! 著名的未解决的h e c k e 猜想即就是：! 与x 为实特征时， l ( s ，x ) 0 ，0 8 1 如果“= 口且s t 1 ： 如果u = 口且8 = t 证明：我们只证( i i ) ，类似地可以得到( i ) 设( n ) = d 。，则有 d i “ ，el(ux)l(vx)l(sx)l(tx)=e1 xl一薹掣薹掣掣,- x ( 一1 ) = 一 1j 2 1 1 ”一 9 螺 击 舭 砖 岛 即 赤 肚帅 “f l 啦 第二章关于d i r i c h l e tl 一函数 ( p 一1 ) 专二垒= ! f 翌! ! ! = ! f ! ! z 。 n u + 3 n = 1 ( n ，p ) = 1 如果t t u 1 且s t 1 ，则由e u l e r 积公式可得 o o n = l ( n ，p ) = 同理有 业警掣：i 妻5 兰l 乞 = n p 1 p = p l p = ( ( u 一。( 赡) 。一t ( 硝) 匿譬黑襞掣 班( s 叫 刊+ 。( ；) 一黔一篙1 + 是1 硝“一1硝“一。硝“一j 。蠢，掣= 擀拼；篇兰_ 从而由以上三式我们有 了_ l ( u ，又) l ( ，x ) l ( s ，x ) l ( t ，x ) x ( 一1 ) = 一1 f 史e ( “一 ) e ( s t ) ( ( 口+ t ) + 0 ( p ) ， 如果u 一 1 且s t l = 鱼e ( s t ) ( 2 ( + t ) + 0 ( 矿) ， 如果“= u 且s t l ； 【掣揣+ o ( v ) ， 如果u = ”且s = t ：掣，( u ，u ，s ，z ) + 0 ( p e ) 证毕 定理2 4 ：设整数q 2 ，实数u ， 1 ，则有 i i ) 狮1 _ ) m ) 一) = 掣+ o ( q e ) ； x ( - 1 ) = l 4 砸，班( 峨) = 掣+ 。( q ) x ( 一1 ) = - 1 证明：我们只证明( i i ) ，类似的可以得到( i ) 不妨假定u m 设a 。( n ) = d 。，可 d h 得 + l ( u ，x ) l ( i ) = 4 x ( 一1 ) = 一1( 一1 ) - ：三 9 二一 ( n ，q ) = = ；p ( ：) 蜊) d l q ：掣+ 。( g ) n 三1r l l o dd ； m ，q ) = l 掣一号( 珈，n 妻= l 掣 证毕 定理2 5 ：设素数p 5 ，实数u ，v 1 ，x 2 为模p 的二次特征则有 ( i ) r 2 ( 又) ( 2 ) t 2 ( ) ( ) 三( x ) l ( u ，又) p i i i 机 x # x o x ( - 1 ) = i n 三一1i i i o dd 倒 r 2 ( 叉x 2 ) 1 2 ( x ) l ( u ，元) l ( ，又) p 导机 x ( - - 1 ) = 一i 证明：& g a u s s 和的性质我们有 恻咄卜塾e ( ；) 静，e ( ；) r 陬。) r ( x ) = 又( n ) ) ( 。( 。) e ( ：) x ( 6 ) e ( ：) 因此 =黔，萎x2(咖(掣)11 = x ( b ) 。) e ( 坠) 6 =o = 、 7 = r ( x 2 ) x ( b ) x 2 ( 1 舶) 6 = 1 p 一1p 一1 r 2 ( 趸) ( 2 ) r 2 ( ) ( ) = r 2 ( ) ( 2 ) ) ( ( 8 ) x 2 ( 1 + 。) x ( b ) x 2 ( 1 + 6 ) 则利用【9 6 】中引理4 的方法可得 r 2 ( 叉) 2 ) r 2 ( x ) l ( u ，又) l ( ”，元) ( 一1 ) = 一1 1 l 掣 州 坩 掣静 熹 掣 。器 、阮一p， e ” x 一m 、 o p ，、 en “ x 1 鼍 = 掘+ q地 汹 地 叫瞄 “ 三 地 产 一一 第二章关于d i r i c h l e tl 一函数 从而 = t 2 ( ) ( 2 ) r 2 ( ) ( 2 ) r 2 ( x ( n ，p ) = 1 b = - - n r o o d 口 x 2 ( 1 + 施) 元( n ) a ( n ) p 一1 x 2 ( 1 + n ) x 2 ( 1 + 6 _ ) = 1 另一方面，由引理2 2 有 p - - 1 p 一1 _ ) ( 2 ( 1 + 。) 2 ( 1 + 6 _ ) = x 2 ( 。2 ) ) ( 2 ( 1 + b ) x 2 ( 1 + 施) a = l o = 1 p 一1 = ) ( 2 ( 。) x 2 ( 0 2 + a b + n + 6 ) p i 口= 1 r 2 ( x x z ) r 2 ( x ) l ( u ，i ) l ( ”，x ) p 譬i 莹妻专掣+ 善塞鼍笋l 毋+ c l 6 i n r o o d p b ；一nr o o dp j 这就证明t ( i i ) ，类似的我们司以得到( i ) 定理2 + 6 ：设素数p 2 ，实数， 21 ，x 2 为模p 的二次特征，则有 f 影 r ( x ) f ( x x 2 ) l ( u ，x ) l ，x x 2 ) p + ； 例 t ( x ) r ( x x 2 ) l ( u ，射l ( ，_ x z ) p 卜 证明：我们只证明( i i ) ，类似的可以得到( i ) 由g a u s s 和的性质我们有 假m 抛，= 薹p - 1 弛，eg ) 喜心c 。，e ( ；) = 三p - - 1 若p - - 1 水c 。k c n ，e ( 旦型) = r ( x 2 ) x ( 6 ) x 2 ( 6 ) x 2 ( 1 + 6 ) m 盟。 噎m 掣 、委 尘胪 垒 州1垒删器嘶=静蕤尝莲 斗型 迦。 西北大学硕士学位论文 设( ) = x 2 ( d ) 扩，利蹦定理2 5 中的方法可得 圳“ r ( 夏) r ( x ) ( 2 ) l ( u ，) l ( u ，x ) ( 2 ) ：，( ) ( 。) p - ix ( b ) x 。( d ) x 2 ( 1 十6 ) 妻掣= r z + 6 ) 型掣 ：剑萎妻掣删赋，+ 6 ) 智n 鲁= 1 2 ( n ，p ) ；1 一掣喜p - 1 耋掣姒呱z c 删 ( n ，p ) = 1 口；“ 证毕 定理2 7 ：设整数q 3 和i 0 ，则有渐近公式 x ( 2 。) 1 l ( 1 ，那2 严1 。m a ，骣( - 一圹1 飘( ，一学) 州，p 【口、 4 水q 、 4 知 x ( 2 i ) l ( 1 ，x ) 胪( 1 ，又) 三( 3 ，叉) xr o o d 口 x ( - 1 ) = - 1 c 2 t i ) ( “+ 1 ( 4 ) q 1 一琢即就是说，；q 玎丽1 则利用定理2 7 的方法可得 皿t = 矿+ 1 d 1 4 x r o o du d x ( - 1 、= 1 ( d ，) d k + l i ； x ( d 1 d k + 1 ) 妻逊掣 n = 1 = “蚪m d + 1 didlijd + l ”2 1 l u ( d k 十1 ) d 1 - d k + l d h + l ( n ) + x ( d 1 d k + 1 礼) x r o o du d x ( 一1 ) = 一1 = e 即u k + 1 d k + l 磊肛( 铷s ，d 磊t d 协3 l u d 、 7 l ； 。删 d l - d k + 1 n d + l i ；n = l d l d k + ln ；lm o d 8 p ( d + 1 ) d 1 d k + 1 d k + 1 ( 佗) d l d + 1 - “ 一；e 如u k + l d k + l 磊p ( 警) 曲( s ) d 1 i ：咄+ l i ；n 2 1 d 1 靠4 l n - - - - - - - im o d3 第二章关于d i r i c h l e tl 、函数 、，弘l n lj p t 8 七十1 ) 程1 a k + l 8 k + 1 1 7 善， d 1 d 缸 1 + 咒 = ；u k + ：d k + lj ( 乱d ) + o ( 。 + i + ) = 兰! ! ；尘d k + lj ( d ) + o ( 。 + i + ) = 掣骣p 小崧) + 。( 扩弘) = 掣骢( ，一崧) + 。( 扩和) ， 证毕 定理2 9 ：设整数q = u ，其中( u ， ) = 1 ，“s q u a r e f u u 数或者u = 1 ，” s q u a r e f r e e 数则有 u 抖1 d k “ d 卜d l i ： 肛( d ) d k + t l g k + ；h ，j = 1 ，2 ，一，女+ 1 f k + l d k + 1f d i d i l ； “抖1 1 d扣dli d + 1j ； 型生删碧(2)又(d1dk+1)lm(2，叉)d d 1 一k + l y 惫u d ” ” x ( 一1 ) = 1 j = 1 ，2 ，一，k + 1 ； 荟：学。乳撇岫舭吣翮坤 g 蚌i 扣，j = 1 ，2 ，k + 1 证明：利用定理28 中的方法我们容易证明此定理 2 3 小结和展望 本章给出了关于l 函数的一些新的均值公式，这些公式有助于研究第三章 和第四章中的些均值涮题由于许多算术函数的均值都可以归结到某种形式 的l 一函数的均值，甚至许多著名数论难题都与之密切相关，所以研究l 一函数的均 值问题就具有重要的意义! 由于在许多抽象的代数结构中都存在相应的l 一函数，因此若能把本章巾的 些方法和结果推广到某些代数结构中的l 一函数上，必然会在这些领域得到。+ 些新 的结果 1 8 一x + l + d 似一x砷妒 “- 哚x + d p 西北大学硕士学位论文 另方面，随着代数数论的发展 这些思想和方法应用在解析数论小的 的发展 很多有力的思想和方法涌现出来若能把 些问题l ：，或许能够促进原有领域和问题 1 9 第三童指数和、g a u s s 和以及k l o o s t e r m a n 第三章指数和、g a u s s 和，以及k l o o s t e r m a n $ 1 3 1 三次指数和的四次均值 指数和力法第次川于解决数论问题，是g a u s s 利用完整三角和公式 于。f ，兰1 - r = l m 给出了二次互反律的。个证明其中e ( 口) = e 2 1 i y 近代解析数论的发展是和指 数和方法的提出与发展分不开的张文鹏口0 2 j 给出t b o m b i e r i 关于指数和的估 计的一些应用 加法数论中经常出现 妄e ( 学) c s ， 这种类型的三次指数和，许多学者研究过它的性质l i v n 6 3 3 】猜测此和式当a b 0 时满足相应于素数q 的s a t o - t a t e 分布，并证明了当a ，b r o o dq ，q 十n ，q 取素数 且趋于无穷大时，该和式服从s a t c - t a t e 分布，d u k e 和1 w a n i e c ”j 发现三次指数 和实际上是带有三次d i r i c h l e t 特征的广义k l o o s t e r m a n 和， 设口3 为+ 个正整数对任意整数m 和n ，广义k l o o s t e r m a n 和k ( m ，n ，x ；q ) 定义如下： q，、 k ( m ，嗽；q ) = x ( n ) e ( m a - + n 西) ， o = l 1 ， 其中f 表示对与q 互索的所有n 求和，x 为模q 的d i r i c h l e t 特征，o 石三1 r o o dq 与x = ) ( o 为毛特征时，( m ，n ，x o ；q ) = k ( m ，n ；g ) ，即就是经典k l o o s t e r m a n 和 k ( m ，n ；口) 最重要的性质可能是下面的估计式f 2 0 j ： l k ( m ，n ；q ) 【d ( q ) q ，t ，n ，q ) i ， 其d i = l d ( q ) 为除数函数，( m ，u ，q ) 表示m ，n ，q 的最大公因数当q 取素数p 时， c h o w l a 1 2 1 和m a y s h e v d j i 研究了广义k l o o s t e r m a n 和，并得到了类似的结果张 文鹏f 8 7 艄】发现t k ( m ，礼，x ；q ) ，与d i r i c h l e tl - 函数的。些良好加权性质 在f 1 8 1 1 1 一，d u k e 和1 w a n i e c 写道“人们应该可以估计此类三次指数和在模q 上的均值”设 g c 唧= 圭e ( 警半) 以及 ( p ) = i c ( m ，啪) 严一p 2 r ， 西北大学硕士学位论文 b i r c h r , 1 证明了对于15 r 4 和p 5 ，有 嘶) = 茫赫( p _ 1 扩( 2 p - r + 1 ) 并且 ( 们= l l p ( p ) 一( p 一1 ) 矿( 3 3 0 p 一2 4 6 ) 及 魄( p ) = 4 2 p 5 ( p 一1 ) ( p 一2 ) + p 4 ( p l b ( p ) ， 其中1 1 ( p ) l 2 p la t k i n 给出了吖的一个模解释 本节利用d u k e 和1 w a n i e c 的重要工作，以及广义k l o o s t e r m a n 和的性质给出 了c ( m ，n ；q ) 的四次均值的精确计算公式即就是证明下面的： 定理3 1 ：设p 3 为一个素数，礼为任意与p 互素的整数，则我们有 驴pc 妒= 2 p 3 _ p 2 , ：，剖置 为了完成定理3 1 的证明，我们需要几个引理 引理3 1 ：设p 为一个素数，札为任意与p 互素的整数如果3 f p 一1 ，则 p i g ( m ，n ；p ) 1 4 l = 1 证明：注意到( n ，p ) = 1 ，以及三角和等式 p l e ( 1 ，粥力1 4 l = 1 fq ，如果q is ； ，q 。、 1o ，如果q h 一_ 则由( = ：，( m ，n ig ) 的定义可得 三p ，唧旷= 三p - - 1 i c ( mi c ( m ，n ；p ) 1 4 = 薹匡e ( 竺害) + ， ，唧) 1 4 = ，4 = l e ( 竿) + 1 l m = 1m 兰1 m = il 口= i 、 l 由于3 十p 一1 ，