（电路与系统专业论文）光子晶体光纤传感机理的研究.pdf

摘要 摘要 先子晶体光纤静融现标志嚣一类薪型光纤辩诞生，壶予它其有“无休 止单模”特性、奇异的色散特性、极强的非线性特性以及商双折射特性等 健绞兜纾辑蠢法晓攒熬特豫竞学特性，巍遥尼年燕逮速发熊，或舞光纾透 信、光纤传感和光电器件领域的个研究热点。 本文主要研究的肉容有： ( t ) 介绍了光子晶体光纤的蕊本特性和光子晶体光纤传感的发展及研究 现状。 ( 2 ) 对露蓠精于研究免予晶体光纤特链静算法避行了总结帮舞纳，主要 介绍了两种广泛使用的方法一时域有限麓分算法和全矢量平面波算法。 3 ) 分鄹誊用时域蠢隈差分雾法和全矢量乎瑟波算法对三囊结构滟辑射 率引导型光予晶体光纤进行了分析计算，仿真出光纤的磁场分布图。为了 考察空气孔中态入不周分质对光纤模式特性的影响，改变空气孔中介质豹 相对介电常数( 即折射攀) 和传播常数的大小，计算光纤纤芯静磁场分布，得 到了在不同传播常数下介质相对介电常数与光纤纤芯磁场场强的关系曲 线。 ( 4 ) 利用盒矢量平耐波法计算了三角结构的光子带隙型光子晶体光纤的 带骧分布。改变空气魏中穷蒺躲靼对分电常数，计簿据应魏毙予带隙，褥 到介质相对介电常数岛光纤中传输光频率的关系。 本文通过分析充入介质对光纤特性的影响，为介质折射率的测爨以及 先予晶体光纤传感器韵姘南打下了理论基础。 关瓣淘巍纾传感器：毙子晶体光纾；辩壤有限差努篓法；垒矢量乎骥波算 法；模场；光予带隙 茎些盔兰三堂堡主堂垡笙苎 a b s t r a c t a san e w t y p eo p t i c a lf i b e r ，b e c a u s eo fi t sp a r t i c u l a ro p t i c a lp r o p e r t y ，s u c h s i n g l em o d ec h a r a c t e r ，n o v e lc h r o m a t i cd i s p e r s i o nc h a r a c t e r ，n o n l i n e a ra n d b i r e f r i n g e n c ep r o p e r t i e s ，p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ( p c f ) i sd e v e l o p e ds or a p i d l y t h a tp c fh a sb e e naf o c u si no p t i c a tf i b e rc o m m u n i c a t i o n ，o p t i c a lf i b e rs e n s o r a n dp h o t o e l e c t r i c i t yp a r tf i e l di nr e c e n ty e a r s t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ef o l l o w i n gs e v e r a lf a c e t s ： ( 1 ) t h eb a s i cc h a r a c t e ro fp c fa n dt h ed e v e l o p m e n to fp c fs e n s o ri s i n t r o d u c e di nt h ep a p e r r 2 ) t h em e t h o d su s e di np c fr e c e n t l yc a l c u l a t i o na r es u m m a r i z e d i ti s m a i n l yd i s c u s s e d f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e - d o m a i nm e t h o d ( f d t d m ) a n d f u l l v e c t o rp l a n e w a v em e t h o d ( f p w m ) i nt h ep a p e r , w h i c hi sw i d e l yu s e di n p h o t o n i cc r y s t a lo rp c e ( 3 ) t h er e f r a c t i o ni n d e xg u i d i n gp h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ( r g - p c f ) w i t h t r i a n g l es t r u c t u r ei sa n a l y z e db yf d t d ma n df p w mr e s p e c t i v e l y , a n dt h e m a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o no fp c fi sg o t t e n i no r d e rt oo b s e r v et h ee f f e c to n p c f , w h e nt h ep c fa i rh o l e sa r ei n j e c t e dw i t hd i f f e r e n tm e d i u m ，t h em a g n e t i c f i e l dd i s t r i b u t i o ni sa n a l y z e d ，w h e nt h em e d i u mr e l a t i v ed i e l e c t r i cc o n s t a n ta n d p r o p a g a t i o nc o n s t a n t a r ec h a n g e d t h er e l a t i o nb e t w e e nm e d i u mr e l a t i v e d i e l e c t r i cc o n s t a n ta n dm a g n e t i cf i e l dv a l u ei nt h ec e n t e rp a r to fp c fi sf o u n d u n d e rd i f f e r e n tp r o p a g a t i o nc o n s t a n t ( 4 ) t h ep h o t o n i cb a n d g a po f t r i a n g l es t r u c t u r ep h o t o u l cb a n d g a pp h o t o n i c c r y s t a lf i b e r ( p b g p c f ) i sc o m p u t e db yf p w m f u r t h e r m o r et h ep h o t o n i c b a n d g a pi sa n a l y z e d ，w h e np c fi si n j e c t e dw i t hd i f f e r e n tm e d i u m ，a n dt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nr e l a t i v ed i e l e c t r i cc o n s t a n ta n dp r o p a g a t i o nf r e q u e n c yi s g o t t e ni nt h ep a p e r i i 垒! ! 坚垡 t h et h e o r yr e s e a r c h e di nt h i sp a p e ri st h eb a s i sf o ro p t i cf i b e rs e n s o r m a n u f a c t u r e k e y w o r d so p t i cf i b e rs e n s o r ；p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ；f d t d m ；f p w m ；m o d e f i l e d ；p h o t o n i cb a n d g a p i l l 燕山大学工学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 光纤传感就是将被测量的变化转化为光纤中传输光参数( 如光强、波长、 相位以及偏振态) 的变化，通过测量光纤的输出光来确定被测量的大小。光 纤传感技术在国际上是七十年代后期迅速发展起来的新技术【l 】，而光纤传感 器就是随光纤通讯及光纤传感等相关技术而飞速发展起来的一类新型传感 器。 光纤传感器与传统的传感器相比主要差别在于：传统的传感器是以应 变一电量为基础，以电信号为转换及传输的载体，用导线传输电信号，因 而使用时受到环境的限制，如环境湿度太大可能引起短路，特别是在高温 和易燃、易爆环境中容易引起事故等；而光纤传感器是以光信号为变换和 传输的载体，利用光纤传输信号，它具有许多独特的优点： ( 1 ) 不受电磁干扰，当光信息在光纤中传输时，它不会与电磁场产生作 用，因而，信息在传输过程中抗电磁干扰能力强，使其特别适合于电力系 统。 ( 2 ) 绝缘性能高，现在普遍使用的光纤是由石英玻璃制成的，是一种不 导电的非金属材料，其外层的涂覆材料硅胶也不导电，很方便测量带高压 电设备的各种参数： ( 3 ) 防爆性能好，耐腐蚀。由于光纤内部传输的是能量很小的光信息， 不会产生火花、高温、漏电等不安全因素，因此，光纤传感器的安全性能 好，适用于有强腐蚀性对象的参数测量： ( 4 ) 导光性能好，对传输距离较短的光纤传感器来说，其传输损耗可忽 略不计，目前利用这一特性制成了锅炉火焰监测器监视火焰的状态； ( 5 ) 可绕，光纤细而柔软，可制成非常小巧的光纤传感器，用于测量特 殊对象及场合的参数； ( 6 ) 光纤传感器的载体是光，其频率数量级为1 0 ”h z ，从而使传感器频 燕山大学工学硕士学位论文 带范围很宽，动态范围很大； f 7 ) 便于复用，便于成网，有利于与现有光通信技术组成遥测网和光纤 传感网络； ( 8 ) 光纤材料简单，便于获得，所以成本低 光纤传感器的优越性使其在军事、国防、航天航空、工矿企业、能源 环保、工业控制、医药卫生、计量测试、建筑、家用电器等领域有着广阔 的市场。 目前，世界上已有光纤传感器上百种，诸如温度、压力、流量、位移、 振动、转动、弯曲、液位、速度、加速度、声场、电流、电压、磁场及辐 射等物理量都实现了不同性能的传感。而今，光纤传感器正处于发展阶段， 人们正在探索新的方法和新的结构。同时，也存在着许多问题要解决，例 如，常规光纤具有偏振态漂移、模间干扰等特点，使光纤传感器的应用受 到了限制，为此急需寻找新的光纤为光纤传感器注入活力，光子晶体光纤 就是人们寄予希望的新型光纤之一。 1 2 光子晶体光纤简介 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r , p c f ) 的概念最早由s t j r u s s e l l 等 人于1 9 9 2 年提出口j 。它在石英光纤中沿轴向均匀排列着空气孔，从光纤端 面看，存在周期性的二维结构，如果其中一个孔遭到破坏或缺失，则会出 现缺陷，光就能够在缺陷内传播。与普通单模光纤不同，p c f 是由周期性 排列空气孔的单一石英材料构成，所以又被称为多孔光纤( h o l e y f i b e r ) 或微 结构光纤( m i c r o s t r u c t u r e df i b e r ) 。由于p c f 的空气孔的排列和大小有很大 的控制余地，可以根据需要设计p c f 的光传输特性，激起了人们浓厚的兴 趣。 根据导光机制的不同，光子晶体光纤可以分为两种【3 1 ：一种是折射率引 导型光子晶体光纤( r e f r a c t i o ni n d e xg u i d i n gp c f , r g - p c f ) ，这种光纤类似 于纤芯为高折射率材料的传统光纤，采用改进的全内反射机制( m o d i f i e d t o t a li n t e r n a lr e f l e c t i o n ，m t i p ) 来导光；另外一种是光子带隙型光子晶体光 纤( p h o t o n i c b a n dg a pp c f , p b g - p c f ) ，其周期性排列的包层结构会产生光 第1 章绪论 子带隙，处在带隙中的频率不能在包层中传播。纤芯属于周期性结构中的 低折射率缺陷，在这个缺陷中存在一个局域化模，因此在其中可以传播属 于这个局域化模频率的光。 1 2 1 折射率引导型光子晶体光纤 折射率引导型光子晶体光纤1 4 是最早制作成功的一类光子晶体光纤。如 图1 1 所示为一典型的折射率引导型光子晶体光纤的横截面示意图。它的包 层由空气孔周期性均匀排布而成，其纤芯是一个缺失的空气孔。由于纤芯 区折射率大于包层区的等效折射率，其导光原理与传统光纤类似，但由于 是由空气孔实现对传输光的束缚，因而被称为修正的全内反射( m t i r ) 原 理。r g p c f 与传统光纤相比有许多新奇的特性，有效地增强了各种性能， 扩展了光纤的应用领域。它是目前光子晶体光纤领域研究最多、成果最丰 富、应用前景最广的一类光纤。 图1 - 1 三角排布的折射率引导型光子晶体光纤 f i g 1 - 1p r o f i l eo f ap c fb a s e do nr e f r a c t i o ni n d e xg u i d i n gw i t ht r i a n g u l a rl a t t i c e 121 1 无休止的单模特性对于空气孔为有限层的石英光子晶体光纤来 说，当空气孔的直径d 与孔间距a 艺比小于一定值时( 通常为d 1 - 0 4 ) ，就 能够实现单模传输，即不存在高阶模的传输频带，因此，这种特性被称为 “无休止单模”( e n d l e s s l ys i n g l em o d e ) 特性，并已经得到了很好的理论解 释。而空气孔较大的光子晶体光纤，将会与普通光纤一样，在短波长区会 燕山大学工学硬士学位论文 出现雾模现象。 “无休止单模”特性的部分原因是由于纤芯和包层间的有效折射率差 依赖于波长，警渡长变短时，攘式毫场静分毒藏雯热集中予簿蕊，廷释灭 包层的部分减少，从而提高了包腰的有效折射率，减少了折射率差，选抑 制了簧逶单攫光纾中当波长降低时出现多模现象的趋势。还寄更加复杂酶 原因；当波长降低到一定程度时，模式电炀分布基本上固定下来，不再依 赖于波长。在这个区域单模传输的原因是，当空气孔满足足够小的条件时， 高阶横式先静横向有效波长远小于孔翔琵，获丽谴褥高阶校或毙敞孔阕淫 漏出去。 1 9 9 6 年到1 9 9 7 年翔英国的s o u t h a m p t o n 襄b a t h 大学营先发现秘疑释 了“无休止单模”传输邀一新奇现象1 5 6 j 。这种光纤孔间距为以= 2 3p , m 。纤 芯壹径先d = 4 6 a m 。他们的计冀缝果与实验结果都证实了此种光纤的肇模 范围掇少为3 3 7 15 5 0l l n l 。美瀚贝尔实验室在2 0 0 0 年发表的论文表明， 他们研制的光予晶体光纤可在5 0 0 16 0 0 帆范围保持单模运转，对光纤弯 噩噩_ 和魏转都不熊激发商输模。在16 0 0n m 黻下，光纤对直径小到0 5c m 豹 弯曲损耗都不敏感l ”。单模工作波段扩展的意义在于，对普通单模光纤而言， 嚣兹捷援襄秀发瓣c 波段f l5 3 0 15 6 5 a m ) 、l 溲毅 0 4 ，其中d 为气孔直径，一为气孔间距) ，规 则的六边形晶格结构才存在完全的二维光予带隙。光纤中心引入的气孔使 光子晶体的周期性结构被破坏，即在光子晶体的二维带隙中产生一个缺陷 态，这种不完全光子带隙结构便是传光的通道。在空气导光型p c f 中，由于 光子带隙效应，光被严格限制在纤芯中传播，从而实现了光在低折射率的 空气中传播，打破了传统光纤的“硅限制”，r u s s e l l 说“这就像完全重新发 明了光纤一样”。 1 3p c f 传感国内外研究现状 最早对p c f 进行研发的国家是英国。英国南安普敦大学光电研究中心 的j c m i g h t 、t a b i r k s 等人与丹麦技术大学的研究人员组成了课题组，开 始研究和制备r g p c f 和p b g - p c f 。9 0 年代至今，光子晶体和光子晶体光 纤的基础研究和应用开发一直是光电子行业的热门课题，发表的论文数以 每年近7 0 的速度增长，有5 0 0 多家研究单位投入了设计和制造。我国国 家科技部2 0 0 1 年公布的新材料技术领域计划( “8 6 3 ”计划) 的光电子材料及 器件主题课题申请指南中，列有“光子晶体光纤”项目。近两年国内2 0 多 所大学的研究生招生计划中列入光子晶体及光子晶体光纤课题口”。与此同 时，一些较为敏感的科学家对光子晶体光纤传感的可行性及意义进行了分 析，并投入到了研究工作中。 国外对光子晶体光纤传感的研究起步较早，在1 9 9 5 年就有关于光子晶 体光纤传感的论文见报，仅2 0 0 0 2 0 0 4 年发表的有关光子晶体光纤传感的 文章就有近3 0 余篇被e i 收录。到目前为止，国外所研究的光子晶体光纤 第1 章绪论 传感器主要有以下几类： 第一类是光子晶体光纤弯曲传感器。一方面，当光纤受到弯曲作用时， 弯曲损耗迅速增加，根据透射光光强的变化就可以测试出光纤的弯曲半径， 丹麦的k n u d s e n 、e r i k 等人使用此方法进行了弯曲损耗的测试1 2 6 j 。另一方 面，对于双芯或多芯的光子晶体光纤，当它受到弯曲作用时，不同纤芯的 光会产生光程差，从而导致干涉，通过对于涉光的测量就能够得到弯曲半 径的大小口。1 。英国的w n m a c p h e r s o n 、m j g a n d e r 等人用双芯光纤实现了 对光纤弯曲度的测量。光纤的两个纤芯相当于马赫一曾德尔干涉仪的两臂， 光源发出的光分布到两个纤芯中，当光纤受到弯曲作用时，两个纤芯中的 光就会产生相位差，通过对相位差的测量就能得到光纤的曲率半径，其弯 曲分辨率为1 7 0p r a d ，相位分辨率为2 2i x r a d 口”，这种光纤中两个纤芯处在 同一测量环境下，抗温度影响能力较强，应用方便灵活，但对光纤本身结 构要求较高。 第二类是光子晶体光纤拉伸传感器。光子晶体光纤在拉( 压) 力作用下， 光纤的结构参数会发生改变，色散特性也会随之变化，通过测量色散的变 化情况就能够得到其长度的变化情况1 2 9 j 。国外目前使用的是干涉法，利用 迈克尔逊干涉仪通过受拉伸作用的光子晶体光纤同参考臂之间的光程差所 导致的干涉光的改变来测量光纤拉伸的长度，这种长度变化可以由温度、 应力和形变等各种因素造成，丹麦学者在这一方面进行了研究，相位敏感 度达到9 0r a d l k m 。这种光纤传感器的优点是光子晶体光纤在很大范围内 可以保证单模传输，满足干涉条件口。 第三类是光子晶体光纤气体或液体传感器。空气孔内充入不同介质时， 光子晶体光纤中传输光的光强就会发生改变，通过测试输出光光强的变化 就能测出光纤内充入气体的种类。香港理工大学的y l h o o 和w j i n 等就对 充入气体时的光纤进行了测试p ”。另外，对于液体传感器一般采用光谱分 析法，对比不舍介质的溶液和含介质溶液的光谱，得到对所舍介质的测量， 这种方法一般用于生物分子的检测口q 。 第四类是光子晶体光纤光栅传感器。将光栅做入光子晶体光纤内部， 实现传感测量。英国的w e b b d j 等人对此进行了研究，提出使用2 0 2 5 个 燕山大学工学硕士学位论文 传感器可以精确的测出桥腹的弯曲度p ”。 从以上情况来看，国外对光子晶体光纤传感的研究主要是基于实验， 在理论分析上目前还比较少。国内对光子晶体光纤传感的研究起步较晚， 还是处于光子晶体光纤的制备工艺及性能的研究阶段，对光纤传感的研究 也不多，主要有华中理工大学对于2 2 0k v 光子晶体互感器的研究0 4 。从国 内外的总体情况来看，光子晶体光纤传感器具有很大的发展空间和广阔的 应用前景。 1 4 本课题主要研究的内容 本文的主要内容如下： ( 1 ) 算法分析在查阅大量文献资料的基础上对目前用于分析光子晶体 光纤的算法进行了比较和归纳，在此基础上，给出了广泛用于分析光子晶 体光纤模式及光子带隙的时域有限差分算法和全矢量平面波展开算法的推 导和计算过程。 ( 2 ) 折射率引导型光子晶体光纤传感特性分析给出时域有限差分算法 和全矢量平面波展开算法在光子晶体光纤中的具体计算过程，用这两种方 法对比和分析了折射率引导型光子晶体光纤的模式特性，并对空气孔中充 入不同介质和不同传播常数时折射率引导型光纤的模式特性进行了仿真， 得出充入介质相对介电常数与模场强度的变化关系。 ( 3 ) 光子带隙型光子晶体光纤传感特性分析介绍光子晶体以及光子晶 体带隙的基本概念和全矢量平面波展开算法计算光子晶体光纤带隙分布的 具体过程，在此基础上分析了介质折射率对光子带隙影响。 ( 4 1 程序设计在w i n d o w 操作系统中m a t l a b 环境下利用时域有限差分 算法进行编程，主要实现对折射率引导型光予晶体光纤的仿真和分析；在 l i n u x 操作系统中进行采用全矢量平面波算法编程，对折射率引导型和光子 带隙型两种光子晶体光纤进行了模场分析和带隙计算。 本文的主要目的在于，通过对空气孔中充入不同介质的光子晶体光纤 进行分析，得出介质折射率( 也就是相对介电常数) 变化对光纤的模场以及带 隙的影响，为今后研制光子晶体光纤气体或液体传感器打下理论基础。 第1 章绪论 本文结构安排如下：第1 章为绪论，对光子晶体光纤的分类、基本特 性和简单的制作过程以及光子晶体光纤传感的国内外发展情况作了简要介 绍；第2 章介绍了用于光子晶体光纤计算的时域有限差分算法和全矢量平 面波算法；第3 章分别用两种方法仿真了折射率引导型光子晶体光纤的模 场特性，和不同介质对模场强度的影响；第4 章使用全矢量平面波方法对 光子带隙型光子晶体光纤的带隙进行了计算，并分析了介质相对介电常数 对带隙分布的影响；最后对全文进行了分析总结。 燕山大学工学硕士学位论文 2 1 概述 第2 章理论分析基础 数懂分耩方法是分糖、设诗光子晶体必纾器傅瓣理论基旗，只毒壤理 论与实验相结合才能够对此领域有一个本质的理解，推动这个领域的发展。 目前，研究光予晶体光纤的数学方法较多，主要分为以下两大类：第一类 是已肖的用于分辑光波母酶通用的数值方法，翔时域有限差分法p 书、光 束传播法【”3 “、有限元法”o ”、有限差分法”等，这类方法由于具有通用 缝强、襞鬃霹嚣等特点，攫抉霞梭应援亏二嫒究竞子藉葬光纾，其主簧赣轰 是由于没有考虑光子晶体光纤的特点，因而计算量较大，糟度方面一般也 稍羞一些，但在不少场合也已经够用了。第二类是专门针对光子最体巍纤 或光子晶体提出来韵新方法，例如有效折射率法辩1 、平面波展开法 4 5 。矧、 多极法【4 ”等。这类方法针对性强，在计算方面各有优势，如平面波展开法 在诗舞先子带潦，蠲籁魏包罄模鹣有效搏瓣率效巢好、诗算蓬孛；多授法 可以获得很高精度的模式有效折射率和损耗值，这擞方法主要适合光予晶 搏光纾麴频域特经戆势辑，在零器对光子菇体光终遴霉亍晦域分辑波j 臻究是 子晶体光纤中的非线性现象、耦合问题) 时，一般仍需要采用时域有限蔗分 法或光束传播法寒进行计算。 有效折射率模型( e f f e c t i v ei n d e xm o d e ，e t m ) 是由t a b i r k s 等提出，将 p c f 粗略等效为阶跃折射率光纤，而忽视了p c f 截面的复杂折射率分布， 诧方法援用予籀释折射攀g i 导型光子晶体毙纾豹蠢休止单模特往。箕后， p e y r i l l o u x 通过将光子晶体光纤结构近似为圆对称结构折射率分布的方法， 鞋获褥更好鹣效果 4 2 1 。 平面波展开法( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，p w e m ) 魁将m a x w e l l 方 程组中鲍。和嚣用平群波展开，然后代入波动方程求解，褥到光纤的摸场 分布、带隙等特性。通过采用超晶格结构还可计葬光子晶体光纤的模场分 布和模式有效折射率等，其缺点是当模场向包层区扩展较多时，可能会导 致需疆采焉静怒晶捂缀六蠢无法计算，并鼠；| 入趣菇格戳嚣计算量璎蕊狠 2 第2 章理论分析基础 快。 多极法( m u l t i p o l em e t h o d ) 是将电场和磁场分量在各个圆柱坐标系内表 示为b e s s e l 函数的形式，利用边界条件，求解h e l m h o l t z 方程。它适合于分 析具有圆形孔的光子晶体光纤( 理论上经一定处理后，也可用于分析具有椭 圆孔的光子晶体光纤1 。空气孔数目较少时，其计算速度很快，且精度很高( 模 式的有效折射率可有十几位有效数字) 。但随着空气孔数量的增大，计算量 和计算时间急剧增加，所以不适合孔数量很多的情况。多极法已被广泛应 用于分析折射率引导型光子晶体光纤、空芯光子带隙型光子晶体光纤的模 式、色散和损耗等特性。 此外，p o l a d i a n 等人还提出了基于矢量波方程的可调边界条件一傅立叶 分解法( a d j u s t a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o nf o u r i e rd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ， a b c f d m ) 4 9 , 5 0 ，这种方法可以计算微结构光纤的模式折射率和损耗特性， 该方法的一大特点是可用于分析非圆空气孔( 如椭圆孔) 结构的光子晶体光 纤。 本文主要采用了时域有限差分法和平面波法两种方法分析光子晶体光 纤的模场和光子带隙，在本章第二节和第三节中分别说明这两种算法的原 理和详细计算过程。 2 2 时域有限差分法 时域有限差分法f f i a i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i nm e 血o d ，f d t d m ) 是近 年来在光波导模拟中占有重要地位的一种数值模拟方法，它通过将麦克斯 韦方程在时间空间上离散化的方法实现对电磁波传播的模拟，能够得到电 磁波传输的瞬态( 即时域) 信息，通过傅立叶变换即可得到相应的频域信息， 可用于分析光子晶体光纤的模场分布、色散、有效折射率、截止频率等。 时域有限差分法由k s y e e 于1 9 6 6 年首先提出口“，在以后的三十多年 中经过众多学者的努力，使之不断完善。并且在许多方面它仍在继续发展， 解决问题的能力和应用范围在不断地提高和扩大。 时域有限差分法从依赖时间变量的麦克斯韦旋度方程出发，在电场和 磁场各分量交叉设置的网格空间中，利用具有二阶精度的中心差分格式把 燕山大学工学硕士学位论文 各场分量满足的微分方程，转化为差分方程。它在解决任何电磁场问题中 均按初值问题处理，依时间步推进计算，并在每一时间步交替地计算每一 离散点的电场和磁场。虽然其本质上属于时域方法，但也可以直接用于稳 态电磁场的计算。 时域有限差分法的最突出优点是节省计算机的存贮空间和c p u 时间， 如果用表示问题的离散点数，用矩阵法进行计算时所需的存贮空问与 ( 3 ) 2 成正比，所需的c p u 时间与o n ) 2 o r 成正比。而对时域有限差分 法而言，两者均只与成正比，而且，它还非常适合于并行计算，这正好 与当今计算机的发展趋势相吻合，这就更加提高了时域有限差分法解决实 际复杂问题的能力。 时域有限差分法的另一个主要特点是各种复杂的边界条件能自动地得 到满足，这为解决非均匀介质和复杂结构系统中的电磁场问题提供了极大 的方便。由于它能使用多种形式的网格，使它具有非常强的能力来模拟形 式和结构都很复杂的系统。与频域法相比，在解决瞬态电磁场问题时，它 还具有众所周知的优越性，即不必经过傅氏变换就能直接得到系统的时域 响应特性，时域有限差分法的以上各种特性对解决光学中的各种电磁场问 题都是非常重要的。 时域有限差分法是在计算机的数据存储空间中对连续的实际电磁波的 传播过程在时间进程上进行数字模拟，在电磁场的辐射、散射等问题中， 边界总是开放的，电磁场将占据无限大空间，由于计算机的内存总是有限 的，故只能模拟有限空间。这就是说，差分网格将在某处被截断。如何处 理截断边界，使之与需要考虑的无限空间有尽量小的差异是时域有限差分 法中必须很好解决的一个重要问题。实际上，这是要求在网格截断处不引 起波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大空间传播一样。 一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界，使传输到截断处的波 被边界吸收而不产生反射，这就起到了模拟无限空间的目的。 在本论文中，我们采用一种降维的二维时域有限差分法，结合 e n g q u i s t 。m a j d a 吸收边界条件以及m u r 的差分格式来分析光波导的模式等 特性。 墨! 量垩丝坌堑堇型 2 2 1 时域有限差分法原理及推导 设媒质的介电常数为s 、磁导率为p 、电导率为a 、磁阻率为p ，麦克 斯韦方程组的微分形式为【5 2 】 “号+ m = - v x e ( 2 - 1 ) soe+瘟：vho(22)t 。j 式中，s 为是空间位置的函数。在本论文中，取= 风= 4 月1 0 - 7h m ( 真 空中的磁导率) n 在直角坐标系中，写成分量形式，式( 2 1 ) 、( 2 。2 ) 变为 堡=i1。ioeyoto z 一一等一彬， ，) l却一。j ”。 堡= i 1i ( o e , 一一i o e x o t o x码 ( 2 4 ) 如一j ”1 ， 堡= i ii ( o 印e 。o t一堡o x 讽 弘5 ) l 印。j ”。7 堡o t = 等一警葩。 ， s l 却 如 2 j ” 堡o t = ( 盟o z 一警一哆 p ， i彘j ” oez=【警一可ohxot一哦 p s ， s 【反却。 ”0 7 1 9 6 6 年，k sy e e 对上述6 个耦合偏微分方程引入了一种差分格式。按 照y e e 的差分算法，首先在空间建立矩形差分网格，网格节点与一组相应 的整数标号一一对应 0 ，) = o 血，缈，k a z ) ( 2 9 ) 而该点的任一函数f ( x ，y ，乙f ) 在时刻”f 的值可以表示为 f 。0 ，j ，曲= f n 缸，j 咄k 翰 ( 2 i o ) 燕山大学工学硕士学位论文 式中，a x ，a y ，a z 为矩形网格分别沿x ，y ，：方向上的空间步长，出是 时间步长。y e e 采用了中心差分代替对时间、空间坐标的微分，具有二阶精 度 翌：亟! 盟：! 二亟直垒! 二生生盟+ o ( ( ，) z ) (212)ata t 、。 为了获得( 2 1 1 ) 中的精度，并满足式( 2 3 卜( 2 _ 8 ) ，y e e 将空间任一矩形网 格上的层和日的6 个分量如图2 1 所示设置，每个磁场分量由4 个电场分 量环绕着；反过来，每个电场分量也由4 个磁场分量所环绕，这与电磁波 在波导中的传播过程相同。为了获得式( 2 1 2 ) 的精度，y e e 将f 和日在时间 上相差半个步长交替计算。按照这些原则，将式( 2 3 ) - ( 2 - 8 ) 化为如下差分方 程 ( i + l j ，k ) j + l ，k + 1 ) 图2 - 1三维时域有限差分算法的y e e 氏差分网格 f i g2 - 1y e e su n i tc e l lu s e di nt h e3 df d t da l g o r i t h m 1 6 一 掣 堡 卜( “1e + 妒 ( + 挣 m 小扣卜h 圳声一 m 肿u + 妒如t + 匀 彰 ( ，书t + 宇q 愕m + * 卜m + 耖；( r 匆t + ) + f e ：l i + l , j , k + 1 ) m + ；) 卢一 心咖叫一e ( 1j t 舻 陆 h ：+ ；( ，+ ；，+ ；，t ) = t f z + ；，+ ；，t ) 卜1 ，+ 纠彰弓( ，+ 引+ m + _ ，1 川，t 卜( 哆，t 肌一 m 扎，制可，制陆均 e “( j + ，t ) = c ：( ，+ j 1 ，t ) 一q ( ，+ ；，t ) e ( ，+ j ，t + f ，州；( 哆一圳声 7 f ”1m 甘叫1j t 一舭卜s ， e ；“( t ，+ ；，t ) = c ，( t ，+ j 1 ，t ) 一b ( f ，+ ；，t ) e ；( t ，+ ；，t + 日：+ ；( t ，+ 三1 ，t + ； 一日? + ；( t ，+ 日：+ ；( r + 互1 ，+ ；，t ) 一h ：+ ；( t ： e ：n + l ( t ，t + ；) = c ：( t ，t + ； 一。：( t ，t + ；) 彰( t 。h ；+ ；( z + j 1 ，e + ；) 一日y ”+ ；( ，；， 式中巴o ， 见( f c ：o ， 噬( f ， 日：+ ；( j + ；，七+ ；) 一日：+ ；( ，一 。( f ，t ) 1 _ l 1 厂j o ，j ，后) rl 盘趔 l _ l f j i o ，j ，七) 1 ， ( 2 - 1 7 ) ( 2 一1 8 ) 下标r 表示x 、y 和：中的任意一个。 在执行以上计算时，为了保证算法的稳定性，时间步长a t 与空间步长 第2 章理论分析基础 ( 缸、a y 、止) 间应该满足一定的关系 r ；= = = = = = = ；= = = = = = 一 f 1 11 ”j 萨+ 矿+ 矿 式中v 为媒质中的光速。 r 2 1 9 ) 2 2 2 吸收边界条件 用f d t d 法求解电磁场问题时，如求解通常导波系统一样，亦假定问 题空间是无限大的，即为“开放”系统。用f d t d 法计算时，每个单元网 格上的六个场分量均需在任一时间步作计算，因此所求解问题的空间愈大， 要求存储量也愈大，对于开放或半开放问题，所需的网格空间就成为无限 大。然而，任何计算机的存储空间都是有限的，因此问题空间应是有限的， 要求它能将被研究的模型“装入”，并实施f d t d 的运算过程。为了让这种 有限空间与无限空间等效，须对有限空间的周围边界面作特殊处理，使得 向边界面行进的波在边界处保持外向行进的特征、无明显的反射现象，并 且不会使内部空间的场产生畸变。具有这种功能的边界条件，称为吸收边 界条件，或网格截断条件。具有这种边界条件的网格空间，亦可以和波导 系统相比拟。在一个实际波导系统中，一般负载端和电源端均是匹配的， 使向负载和激励端行进的波被“吸收”，以维持系统的正常运行。 本文主要研究e n g q m s t m a j d a 吸收边界条件及m u r 差分格式和完全匹 配层( p e r f e c tm a t c h e dl a y e r , p m l ) 吸收边界条件。 2 2 2 1 e n g q u i s t - m a j d a 吸收边界条件如果一个偏微分方程允许波沿一定 的方向传播，则称它为单向波方程。当单向波方程用于f d t d 网格的外边 界时，它可以吸收外向散射或辐射波。 e n g q u i s t 和m a j d a 导出了适合作直角坐标f d t d 网格吸收边界条件的 单向波方程。他们的单向波方程可以用偏微分算子分解因式得到，以直角 坐标系中的二维波动方程为例【5 2 1 ： 宴+ 罂一占罂：0( 2 _ 2 0 1 缸 o y c t g t 燕山大学工学硕士学位论文 u 是一标量场分量，c 是真空中的光速。定义偏微分算子 = 等+ 等一吉等= 珥+ 巧一吉珥 ( z 埘) l 2 萨+ 矿一7 萨2 址+ 够一7 u l 2 。j 于是，波动方程( 2 - 2 0 ) 可以写成 l u = 0 r 2 - 2 2 ) 式中波动算子上可通过分解因式写成如下形式 l u = r f u = 0 ( 2 - 2 3 ) l - ；域一旦打了 ( 2 2 4 ) e ；d ：+ 坠踊( 2 - 2 5 ) d ”彘( 2 - 2 6 ) e n g q u i s t 和m a j d a 已经证明，在网格边界，例如x = 0 处，将算子f 作 用于波函数将完全吸收以任意角度0 入射向边界的平面波 上u = 0 f 2 - 2 7 ) 即将式( 2 2 7 ) 用于图2 - 2 中的边界x = 0 ，可构成一个准确的解析吸收边界条 件，它将吸收来自臼内的波动。相似地，算子r 作用于波函数，将构成z = h 处的准确解析吸收边界条件。 h 0h 图2 - 2 二维吸收边界条件 f i g 2 - 22 da b s o r b e db o u n d a r yc o n d i t i o n 2 0 2 2 2 2m u r 的差分格式对于二维、三维近似解析吸收边界问题，m u r 引入了一种简单有效的差分数值算法，利用这些吸收边界条件来截断f d t d 仿真区域，其总体虚假反射在l 5 之间，能够满足许多工程设计的要 为了简单明了，先以一阶情形x = o 边界为例来说明m u r 的算法。在 x = ；缸处、r = ( ”+ ； m 时刻用中点差分来代替偏微分 ! ：医：! ：擘二主! 塑。去 u 一+ ；。) 一u 一+ ；( o ) 。一：。， a u 附”+ 洲 * 却“( 扣倒 弘z ， 式甲，半恻格点或半时日j 步长日寸刻的值列以用r 列二r 精度朗平均公式计 算 u ”j i ) * ；眇“( m ) + u 一) 】0 - 3 0 ) u “( m + 挣抄b + ) 删( m ) 】 ( 2 _ 3 ，) 以此为基础，我们推导出w 分量在x = 0 网格边界处的二维边界条件 睁一矿n 面c a t - 五a x 卧, + ，+ + 意眠+ 吵 面( 丽c a t ) 2 a x r rl , 。, j + l - 2 w l ：，+ 。+ i i 。一2 矿l i ，+ 矿l 一。 ( 2 3 2 ) 同理，我们还推出了w 分量在x = 0 网格边界处的二维边界条件 矿巴= 一巴+ 面c a t + - 血a x ( i v 。+ 1 。+ 刚+ 面2 a 五x 队”卅+ b ) + 燕山大学工学硕士学位论文 面( c 丽a t ) z , s x r 川, 吣旷2 哺ik + w ：，埔+ 矿 i 。，。一2 i i 肚+ 矽i i ”，。j + 鑫訾面吼犷：吮，置蒯+ 扩已舢；一2 彤l i 甜+ 形l i ，列】( 2 - 3 3 ) 光纤产生的场分布司分离成陋梗截回二：耋厦分币嗣穰瓦功利珊【可阴铍功 顼e - 豫表达式为 e ，e ，嚣；g ，弘f ) ) = 每，q ，q g ，y ，f ) - p 一” ( 2 - 3 4 ) 妇。，h y ，：g ，b f 癸= k ，如，恁g ，y ， 鞋t 。一”( 2 - 3 5 ) 将( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 拭代八三维嶷克斯韦方程组( 2 - 3 ) 叫，2 - 8 ) 中，并用一伊代 入方程中的彰如，通过推导，可以得到下列横向的= 维时域有限差分方程 组 警= * 僻，专 警 iv o 瓠e = 一+ 膨； p 。，) 辫群l 瓠l 盟：土1 譬一要l ( 2 - 3 8 ) o t i 咖赢l 鲁= 剖等+ 册1 研f i 劫j 鲁= 牛j f l h 一- 馘e 1 冬：三l 譬一豢l ( 2 - 4 d 西p l 苏跏| 利用中心麓分离散他上述横向二维麦克斯韦方程，各场分量在横向二 臻瓣穗 韵符鬻耐南茸存= 臻润颟弼毒蓦串的嵇霉嘲x p 平蕊垂考授影褥 茎! 塞堡丝坌楚薹型 到，如图2 - 3 搿示嘲。 h 一a y m f i g 2 3t h eu n i tc e l lu s e di nt h ec o m p a c t - 2 df d t da l g o r i t h m 透过推导可褥到降绻居的m a x w e l l 方程表达式 日：+ ；( k ，+ ； 篇h ：；( ，+ ； 一 希扩( “舭地川m 撕批卜) e ：“( z + ， = e ：( z + i 1 ， + 煮护；( 1 小舭卟i 一舭+ t2 。， 硝； 睁 1 f 2 - 4 3 ) l 燕山大学工学硕士学位论文 其他4 个差分方程可以类似得到。 2 , 2 23 完全匹配层( p e r f e c tm a t c h e dl a y e r , p m l ) 吸收边界条件用于时域 有限差分法的吸收边界条件由于差分网格已经简化为二维网格，因而我们 只需在二维平面内设置完全匹配边界条件，在直角坐标系中，表示电场和 磁场的6 个场分量可以被分解成如下形式：e 。= e 。，+ e ，e ，= e 。+ e 。， e ：= e 。+ e # ，h 。= h h + h 。，h y = h 口+ h 日，h ：= h 。+ h ：v ，凝1 这 些分量代入p m l 吸收边界条件中，可以得到p m l 媒质中的差分格式5 目 h ；( t ，+ j ) = 一j ( ，+ ； 打孑；( t ，+ ； 一彰( ，+