（机械设计及理论专业论文）正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了正交面齿轮的齿面生成、齿面的几何特性、面齿轮传动的齿面瞬 时温升、齿面温升分布的有限元分析，并在此基础上开发了正交面齿轮传动的温升计 算系统软件。 在面齿轮齿面生成的研究中，推导了面齿轮的齿面方程、加工中的齿面接触线方 程、点接触方程；对面齿轮的齿面、齿面的接触线和齿面的接触点进行了可视化。 在齿面的几何特性研究中，利用微分几何的原理分析了圆柱齿轮和面齿轮的齿面 曲率、线接触和点接触面齿轮传动的主诱导法曲率以及啮合过程中齿面的相对速度和 接触区域计算问题，并获得有益的结论。 在面齿轮传动齿面瞬时温升的研究中，利用传热学基本原理，推导了齿面瞬时 温升的基本公式，求解了各有关计算参数，研究了模数、压力角、传动比等参数变化 时对齿面瞬时温升的影响。 在齿面温升的有限元分析中，利用a n s y s 软件，分析了在不同啮合位置处面齿 轮齿面的温度场。 关键词：齿轮传莉面齿轮。啮合胶合有限元方法 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 a b s t r a c t t h eg e n e r a t i o no f o r t h o g o n a l - s h a t t f a c eg e a rf i g ) ，t h eg e o m e t r i cc h a r a c t e ro ft h e t o o t hs u r f a c e ，t h ef l a s ht e m p e r a t u r eo ft h ef ga n dt h e d i s t r i b u t i n g o ft o o t hs u r f a c e t e m p e r a t u r ea n a l y z e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r es t u d i e di nt h ep a p e r t h es o f t w a r e a b o u tt h ef l a s ht e m p e r a t u r eo f t h ef g i sa l s od e v e l o p e d t h er e s e a r c ho nt h eg e n e r a t i o no ff gi sr n a d eu po ft h ed e r i v a t i o no f t h ee q u a t i o n so f f gt o o t h , c o n t a c tl i n e sa n dc o n t a c t p o 血o nt h e t o o t hi n p r o c e s s i n g ，a n d o ft h e v i s u a l i z a t i o no f c o n t a c tl i n e s ，c o n t a c tp o i n t sa n df gt o o t hs u r f a c e a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h e o r y , t h ep r i n t i p l ec u r v a t u r e sa n dp r i n t i p l e r e l a t i v ec b e v a t u r eo ft h es p u rg e a ra n dt h ef gi nl i n ec o n t a c ta n dp o i n tc o n t a c t ，t h et o o t h s u r f a c er e l a t i v es p e e da n dt h et o o t hc o n t a c ti n t e r f a c ea r ea n a b ，z e d , w h o s ed i s t r i b u t i n go n t h et o o t hs u r f a c ea r ev i s u a l i z e db y c o m p u t e r i nt h es t u d yo f t h ef l a s h t e m p e r a t u r e ，t h ef o r m u l a i sg i v e nf o rt h ef l a s ht e m p e r a t u r eb y t h eh e a te x c h a n g et h e o r y t h ee f f e c t so f g e o m e t r i ca n do p e r a t i n gp a r a m e t e r s0 f lt h ef l a s h t e m p e r a t u r ea r es t u d i e d t h er e s e a r c ho nt h ef l a s ht e m p e r a t u r ei sm a d eb yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s t h e d i s t r i b u t i o no f t h ef l a s ht e m p e r a t u r eo nt o o t hs u r f a c ei so b t a i n e d ， k e yw o r d s ：g e a rd r i v e s ，f a c eg e a r ；m e s h i n g ，s c u t f n g ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d s 南京航空航天大学硕士学位论文 1 1 论文的背景 第一章绪论 传动机械是机器的重要组成部分，用于将原动机的运动和动力传递给工作机，并 改变原动机运动的速度和形式、力或力矩的大小与方向，使之适应工作机的需要。任 何机器都必须包括传动机械，很多机器的工作性能、使用寿命、能源消耗、振动噪声， 在很大程度上取决于传动机械的质量。因此，发展传动机械学的研究，对提高机械产 品的质量有极为重要的意义。 传动机械包括机械传动、流体传动和电传动。在这些传动中，机械传动的优点是 恒功率输出，效率高而节约能源，相对而言，其成本也较低。故在多数机械中它仍然 是主要的传动形式而难于为其它传动所代替。因此，国内外学术界和生产厂家对机 械传动的研究与开发均倾以很大的关注。目前，几乎每年都有国际学术会议对这方面 的研究成果进行交流和讨论。 长期以来，为了提高航空齿轮传动的质量、可靠性以及减轻齿轮传动装置的重量， 人们做了大量的工作。近年来，据国外有关文献报道，在直升机传动系统中采用具有 面齿轮的动力分流传动装置，比传统装置的重量下降了4 0 ，且振动小噪声低。通常 情况下，面齿轮传动具有如下几方面的优点： 小齿轮为渐开线圆柱齿轮，其轴向移动误差对传动性能没有影响，其它方向误 差的影响也极小，无需防错位设计。 面齿轮传动比锥齿轮传动具有较大的重合度，在空载下一般可达到1 6 1 8 。 小齿轮为直齿圆柱齿轮时，小齿轮上无轴向力作用，可简化支承，减轻重量。 小齿轮为渐开线齿轮，同时啮合齿对的公法线相同，对于动力传动极其有利。 由此可见，面齿轮传动的使用能够带来很大的利益，因此开展面齿轮的研究是非 常值得的。从所掌握的资料看目前对面齿轮的研究大都集中于对面齿轮的传动原理、 传动特点以及应力强度等的分析，而有关面齿轮的胶合强度问题却鲜见报道，因此， 本文将围绕面齿轮传动的胶合问题作初步的研究。 1 2 齿轮传动技术的现状与发展 在工业生产中，看来似乎很简单的齿轮传动却是工业体系中很关键的基础零部 件，是机器和仪表中应用最广泛的一种机械传动，也是历史最为悠久的机械传动之一。 近代齿轮的发展大体可分为四个阶段“九“。 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 1 8 9 0 - - 1 9 3 0 年，赫兹( h e r t z ) 公式( t 8 9 1 ) 和l e w i s 公式( 1 8 9 2 年) 的提出奠定了现 代齿轮强度计算的基础，齿轮制造进入工业化生产，在欧洲和北美出现不少工厂。早 期以铸造齿轮为主，进入2 0 世纪则出现了滚齿机、插齿机以及磨齿机等加工机床。 第一次世界大战中及以后发展起来的航空工业使磨齿机发展成为有效的实用精加工 机床。在此期间已出现了渐开线直齿轮、斜齿轮、锥齿轮、准双曲面齿轮和蜗杆等传 动形式。工业通用齿轮仍用铸造生产，随着汽车工业的兴起，批量生产的精密齿轮则 用滚齿或插齿加工。此间动载荷已引起重视并开始研究。 1 9 3 0 1 9 6 0 年，四五十年代基本完成了各种类型啮合几何学和切齿刀具设计的 研究，2 0 。齿形角得到更多的应用，6 0 年代多头滚刀的应用显著地提高了切齿效率。 燃气轮机的发展要求制造出高性能的齿轮，因而研制出不少大尺寸的高速重载齿轮试 验台，并进行较系统的基础试验。剃齿工艺的应用制造出高精度齿轮，台式齿轮精密 检查仪应运而生。极压添加剂的出现和变位齿轮的广泛应用大大提高了齿轮承载能 力，并相继出现各种较为综合的齿轮强度计算方法。 1 9 6 0 1 9 8 0 年，齿轮技术在这一时期有了快速发展。航天事业的发展要求运载 工具和航空齿轮以很小的体积传递大功率，并要求9 9 以上的可靠度。因此，材 料及热处理质量控制得到高度重视和发展，中硬齿面和硬齿面重载齿轮广泛应用，珩 齿技术使齿面的质量空前提高，同时，促进了各种润滑技术的发展和应用。在此期间， 刀具齿形角更多的采用2 0 。至2 5 。，并对齿轮疲劳寿命和材料疲劳特性进行广泛研 究，美国( a g 姒) 、德国( d i n ) 以及国际标准化组织( i s o ) 先后制订了较为配套的齿轮标 准。 进入8 0 年代后，齿轮技术有了飞速的发展。国外已可生产功率5 0 0 0 0 k w 以上、 圆周速度2 0 0 m s 以上的齿轮。汽车等运输工具的齿轮，其寿命已接近整机寿命的水 平，许多高可靠性的齿轮，已可使用几十年而无明显的损伤。对行星齿轮传动的研究 开发已有很高水平，国外已可生产功率达5 0 0 0 0 k w 的行星减速器，以及输出扭矩太于 4 0 0 0 k n m 的行星齿轮装置。少齿差( 摆线针轮、渐开线少齿差及谐波传动等) 行星传 动已经普遍地取代了中小功率的圆柱齿轮减速器，普通的圆柱蜗杆传动也广泛地发展 为点接触蜗杆传动和环面蜗杆传动。 国外对齿轮啮合理论的研究已有很高的水平，并用于开发曲面齿轮、环面蜗杆传 动、点接触蜗杆传动以及圆弧齿轮等新型齿轮传动，且已取得创造性的成果。近年来， 还开始进行弹性啮合理论的研究。 以大量试验为基础、应用经典力学进行的渐开线齿轮强度计算，已经比较完善。 其代表是i s o 的渐开线齿轮强度标准。当前的发展趋势是用现代计算力学的方法进行 承载能力计算，并引入可靠性设计，动态设计等内容，以提高计算的科学性和可信度， 改善目前承载能力设计中半经验、半科学的状态。 国外对齿轮的润滑机理与润滑剂的研究都很重视。已经开发了各种齿轮润滑油及 极压添加剂和抗磨损添加剂并对其抗胶合、抗点蚀和抗磨损能力进行了系统的研究。 ， 南京航空航天大学硕士学位论文 此外，应用弹性流体润滑理论研究齿轮的润滑机理也作了不少的工作。但是，由于齿 轮润滑是一个非稳定弹流润滑问题，其速度、压力、温度和齿面形状均在不断变化， 加之弹流润滑测试技术还很不完善，因而，目前对齿轮润滑机理的研究还很不充分。 齿轮装置的c a d c a m 技术国外发展较快，一些有名的厂家已经开发了自己的c a d 系统，用于产品设计。数控滚齿机和准双曲面齿轮磨齿机已经开发出来并投入使用。 综观学科的现状，其发展主要趋势如下： 1 ) 追求承载能力大、振动小、节能、高效、体积小、重量轻、以及能在高速和 重载条件下工作的传动。 t 2 ) 改变传统的设计方法，广泛采用新的技术与科学成就，诸如：c a d 技术、优 化设计技术、动态分析、计算力学、可靠性与寿命预测、以及摩擦学设计技术等，使 传动既有很高的性能，又有最低的成本。 3 ) 将齿轮等机械传动与流体传动、电传动结合起来，组成新的复合传动。例如， 将非圆行星齿轮与液压传动结合起来组成高性能的低速液压马达：以液压柱塞驱动的 章动( 锥齿少齿差) 传动：将电传动、流体传动与双自由度差动传动结合起来，既保证 有较高的效率，又实现无级调速的双流传动，以电磁波发生器代替机械波发生器，从 而取消高速电机的低惯量步进电机( 电磁谐波传动) 等。 我国已能生产功率达3 6 0 0 0 k w ，以及线速度达1 5 0 m s ，精度达3 - - 4 级的高速齿 轮装置；功率为1 2 0 0 0 k w 的行星增速箱和输出扭矩达i 0 0 0k n m 左右的行星减速器； 各种少齿差、蜗杆减速器已组织专业化生产并达到年产总数十万台的水平。在学术研 究方面，我国也取得了一批有国际先进水平的成就。例如，关于齿轮啮合原理的研究、 圆弧齿轮的强度计算及这种齿轮的工业应用研究、平面二次包络环面蜗杆传动的研 究、齿轮( 特别是锥齿轮) 整体误差测量技术的研究等。 但是，我国齿轮传动产品与国外先进水平相比尚有很大差距，总体说来，是质 量差、寿命短、承载能力低、噪声大。我国存在的主要差距是：基础研究跟不上齿 轮产品开发的需要。如国外有名厂家普遍采用了c a d 、c a m 技术，而我国有关厂家尚 很少应用，与此有关的研究也多未达到实用化的程度。不少产品往往停留在样机试制 或初步引进开发上，缺乏深入系统的消化吸收，更谈不上创新。不少有应用前景的 科研成果往往停留在理论阶段或实验室试验阶段，缺乏中间试验，形不成产品。这一 方面反映了对齿轮进行基础研究的部门与生产部门的脱节，也反映了科研课题与生产 实践结合不够。我国在齿轮传动的研究方面虽然有一支强大的队伍，并在不少领域 建立了专门的研究机构，有的还具备比较先进而完整的研究手段，但由于组织不好， 规化不够，特别是部门分割，一些热门方向大家在低水平重复，而另一些难度大，费 时费力的基础性研究又有被弃置的危险。 由于齿轮传动在工业生产中应用的重要性与广泛性，对齿轮的研究成为机械传动 研究中的重点。 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 1 3面齿轮传动的特点与研究现状 面齿轮传动( f a c eg e a rd r i v e ) 的原理如图1 - 1 所示，其中齿轮l 为渐开线直 齿圆柱齿轮，齿轮2 为圆锥齿轮，两轮轴线相交其夹角为y 。因此，面齿轮传动实 际上是圆柱齿轮与圆锥齿轮的啮合传动，f i 7 = 9 0 。时，圆锥齿轮的轮齿将分布在一个 圆平面上，锥齿轮即为面齿轮，从而泛称为面齿轮传动，它有许多独特的优点。 图l - 1 面齿轮传动简图 在面齿轮传动中，其中的锥齿轮并非为一般的普通圆锥齿轮，而是用与其相配对 的相同尺寸的圆柱齿轮的齿轮插刀经范成原理加工出来的。由于这种齿轮机构实现了 相交轴间的传动，因此与普通的锥齿轮传动类似，其节面为锥面。啮合角随齿宽上的 位置不同而变化，对于某个特定的位置来说它是常数。当位置向面齿轮的轴线变化时， 啮合角逐渐变小。在小齿轮的节锥半径等于圆柱齿轮的基圆半径的位置时，啮合角变 为0 。面齿轮的齿宽是不能到达啮合角等于0 。的位置。事实上，在这点附近，切削 加工过程中刀具的刀顶过渡部分会切掉面齿轮的共轭齿廓，即产生根切现象。在小齿 轮的节锥半径等于圆柱齿轮的分度圆半径处其啮合角即为分度圆的压力角。在离开 面齿轮轴线愈远的位置，其啮合角愈大，齿项厚愈小。到达一定位置处，面齿轮的齿 顶厚为0 ，产生尖顶现象。从上述可知，由于面齿轮的轮齿一端易根切，另一端齿顶 会变尖，因此面齿轮的齿宽受到一定的限制，影响承载能力。 通常情况下，面齿轮传动具有如下几方面的优点： ( 1 ) 小齿轮为渐开线圆柱齿轮，其轴向移动产生的误差对传动性能几乎没有影 响。在普通圆锥齿轮传动中，两锥齿轮的锥顶要重合，轴向误差将会引起严重的偏载 现象。在一些重要的锥齿轮传动中( 如航空螺旋锥齿轮传动) 还要专门进行肪位错( 即 南京航空航天大学硕士学位论文 防止锥顶分离) 设计。 ( 2 ) 面齿轮传动比普通的锥齿轮传动具有较大的重合度。据有关文献中介绍， 理论上面齿轮的重合度可达2 以上。重合度大对提高承载能力和增加传动的平稳性是 相当重要的。 ( 3 ) 小齿轮为直齿圆柱齿轮时，小齿轮上无轴向力作用。这可以简化支承，并 相应地会减小系统的结构重量。这对于空间受到限制和要求重量轻的场合是极为有用 的。 ( 4 ) 小齿轮为渐开线齿轮，根据渐开线的性质可知，同时啮合齿对的公法线相 同，且在不同的瞬时也不改变。这对于动力传动极为有利。 ( 5 ) 对于点接触面齿轮传动，在理论上仍然能保证定传动比传动。而常用的点 接触锥齿轮传动从原理上已不能保证定传动比传动，其传动比是在一定范围内波动 的。因此，相对来说面齿轮传动的振动小、噪声低。 根据传统的观点，面齿轮传动的主要缺点有两方面： ( 1 ) 由于加工面齿轮的刀具的尺寸与实际啮合中的圆柱齿轮相同，因此，从理 论上讲加工面齿轮的刀具将是无穷多。 ( 2 ) 由于受根切和齿顶变尖的限制，面齿轮的齿宽不能设计得太长，从而使面 齿轮的承载能力受到了影响。 在较早期的文献中对面齿轮机构有一些简单的几何描述。最具有代表性的是 b u c k i n g h a m 在其著作a n a l y t i c a lm e c h a n i c so fg e a r s 中介绍了面齿轮传动。他 利用投影几何的方法近似地研究了面齿轮齿形的变化特点。有关面齿轮的最新研究则 出现在美军方与n s a 联合进行的a r t ( t h ea d v a n c e dr o t o r c r a f tt r a n s m i s s i o n ) 计 划中，对面齿轮传动进行了高速重载的研究，并设计了使用面齿轮传动的新型直升机 主减速器传动装置的分流传动结构，其结构组成如卜2 a 所示，图卜2 b 为其面齿轮传 动部分的传动简图。若采用通常的螺旋锥齿轮作为传动分流的环节，则必须采用两个 螺旋锥齿轮，其支撑结构较为复杂，重量会增加。这种带有面齿轮的分流结构的直升 机主减速器，其重量较传统的结构下降了4 0 ，且动力分流效果好、振动小、噪声低， 取得了很好的效果。参加面齿轮传动研究的主要有：m e d o n n e l ld o u g l a sh e l i c o p t e r c o ，l u c a sw e s t e r ni n c 和t h eu n i v e r s i t yo fi l l i n o i sa tc h i c a g o 。 从资料中看，目前的研究主要是面齿轮的几何设计和初步的试验研究。t h e u n i v e r s i t yo fi l l i n o i sa tc h i c a g o 的l i t v i n 等人对面齿轮传动的几何设计作了 研究。h a n d s c h u h 等人报道了初步试验的情况。试验包括了两方面的内容：第一是关 于面齿轮传动用于高速重载的可行性试验；第二是关于动力分流的初步试验。第一个 试验是在n a s ag l e n n ( 原l e w i s ) 研究中心进行的，试验转速为1 9 0 0 0 r m i n ，功率分 别为1 3 5 k w 和2 7 0 k w ( 为实际使用的八分之一和四分之一) ，试件尺寸是实际结构的二 分之一，共用了四对齿轮试验( 其中两对是陪试) 。经3 1 0 7 次循环( 小齿轮) 后表明， 试验齿轮( 即圆柱齿轮驱动面齿轮) 的齿面接触良好，接触分布在整个齿面上；而陪试 5 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 大 c a ) 大中心轮 ( c ) 入动力) 动机输入豺力) 入袖如 图卜2 具有面齿轮传动的直升机主减速器 的齿轮( 面齿轮驱动圆柱齿轮) 的齿面中部有一定程度的点蚀出现。第二个试验是在 l u c a sw e s t e r ni n c 进行的，主要进行了力矩分流的精度和动力学方面的试验。试验 中将圆柱齿轮的一端与挠性联轴器相联接( 输入动力) ，另一端浮动在两面齿轮之间。 试验表明，让转速在第一阶固有频率附近工作时，并没有出现共振现象，也即两面齿 轮与圆柱齿轮的浮动能有效地限制共振发生。同时，通过移动面齿轮使啮合偏离设计 6 南京航空航天大学硕士学位论文 位置时，在一个很大的范围内两面齿轮轴上的力矩几乎相等。这些试验都取得了初步 成功，证明了面齿轮传动用于高速大功率传动是可行的，且动力性能和力矩分流的精 度相当出色。 需要指出的是，如果加工面齿轮的齿轮插刀与实际啮合的圆柱齿轮相同，加工过 程是模拟实际的啮合运动，则理论上可以使面齿轮传动实现线接触。事实上，这种线 接触的情况是不会发生的。由于各种误差的影响，接触面会发生偏移，从而导致边缘 接触。为了避免这种情况，所使用的齿轮插刀的齿数要比圆柱齿轮的齿数多l 3 齿， 这将使接触区局部化，成为点接触面齿轮传动。 为了提高面齿轮的接触质量，要进行局部化处理，实现点接触。对于点接触齿轮 传动，问题之一是如何控制接触点位置及其诱导法曲率，这属共轭曲面理论问题；另 一问题是如何分析啮合性能( 包括动态性能、承载能力等) ，属于传动性能问题。这 些研究内容，对高速重载齿轮传动尤为重要。目前在面齿轮传动的研究中，关于面齿 轮的啮合特性、弯曲强度、接触强度已经有了初步的研究。 1 4 本论文的研究内容 面齿轮传动的特点和应用前景引起了许多国家的重视，在美国、意大利等国己 相继开展了面齿轮在直升机领域内的研究和探索。根据国内外文献资料的检索和分 析，目前对面齿轮的啮合特性、强度分析已有了较为系统的研究。但是，有关面齿轮 的胶合强度分析还鲜见于文献。 随着工业技术的发展，日益要求齿轮在高速和重载下工作。因此，齿面的抗胶 合能力已成为常见的失效形式之一。对于齿面的疲劳点蚀和齿根疲劳折断来说，都有 一个寿命期限，超载会降低寿命，一般不致立即破坏，但胶合破坏则不然，只要短时 间的超载就可能发生。一旦出现胶合，即迅速扩展，导致动载、噪声和齿面温升的迅 速增加进而造成更严重的破坏，使齿轮丧失工作能力，甚至断齿，因而较前者具有 更大的危险性。目前，人们已把齿面的抗胶合能力作为衡量齿轮承载能力重要指标之 一。因此，开展面齿轮传动的齿面胶合研究是必要的。 本论文主要围绕面齿轮传动中的齿面最大瞬时温升，做了较为全面的研究。主要 内容包括面齿轮的齿面方程；面齿轮齿面的几何特性；齿面最大瞬时温升的基本公式 及其分布规律；正交面齿轮传动齿面温升的计算软件开发；齿面温升的有限元分析等。 通过计算对面齿轮齿面瞬时温升的研究，获得了有益的结论，为将来设计面齿轮传动 提供了必要的理论基础。 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 第二章正交面齿轮的齿面生成以及啮合传动 2 1 引言 加工时刀具轴线与被加工面齿轮轴线之间的关系分为垂直相交、非垂直相交、偏 置垂直交错和偏置非垂直交错等4 种情况。为了研究的方便，可将相应于上述4 种情 况的面齿轮分别称为正交面齿轮、非正交面齿轮、偏置正交面齿轮和偏置非正交面齿 轮。 面齿轮的齿面几何形状已不是常见的渐开线齿面或其他常见的曲面，其齿面形状 相当复杂。同时，面齿轮的轮齿具有在靠近轴线的内径处的齿根易产生根切和在远离 轴线的外径处的齿顶易变尖等特殊的几何现象。在4 种面齿轮传动中，以正交面齿轮 传动较为简单。因此，本论文首先以正交面齿轮为研究对象，对其齿面的生成问题、 面齿轮传动的啮合轨迹作出研究，其主要内容为 ( 1 ) 加工过程中参数的描述和面齿轮齿面方程的形成； ( 2 ) 面齿轮齿根不发生根切的条件和计算结果； ( 3 ) 面齿轮齿项不变尖的条件和计算结果； ( 4 ) 面齿轮的齿根过渡曲面问题； ( 5 ) 面齿轮齿廓曲面的可视化； ( 6 ) 面齿轮传动的啮合轨迹。 2 2正交面齿轮加工中的坐标系与刀具齿面 2 2 1 坐标系的建立 参照齿轮啮合分析中的习惯，刀具和面齿轮加工过程中应采用如下4 个坐标系 ( 参见图2 一1 ) ，刀具s 和面齿轮2 初始位置时的两个固定坐标系：s s o 一0 s x s o y s o z s o 和 s 2 0 _ 0 2 x 2 0 y 2 0 2 2 0 与刀具s 和面齿轮2 同时转动的两个动坐标系：s s o s x s y s z s 和 $ 2 - 0 2 x 2 y 2 2 2 。其中，坐标原点o s 和0 2 为刀具和被加工面齿轮两轴线的交点o ；z s o 和z s 为同一坐标轴，是刀具的转动轴线；z 2 0 和z 2 为同一坐标轴，是被加工面齿轮的 转动轴线。初始时，y s o 与7 , 2 0 重合，x s o 与x 2 0 重合。由于本章所讨论的是正交面齿轮 的加工，则z s o ( z s ) 与z 2 0 ( z 2 ) 之间的夹角f 9 0 。 用优和仍分别表示刀具s 和被加工面齿轮2 转过的角度，则有如下各坐标系之 8 塑塞堕皇塾墨查堂堡主堂生笙兰 镯耋 间的常用的基本转换矩阵。 圈2 1 正交面齿轮加工时的坐标系 观。】= 阻邪。r = c o s 妒5 s i p , 妒8 0 0 一s m 妒s c o s ( p s o o oo 00 l0 o1 fc o s 矿2 一s i n 仍o 】= h 叫8 仍。茗仍 ： l 0o0 r1oo m 2 0 , s o = 叫： l0o0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 上述各式中，k 。】表示从坐标系s 到坐标系s s o 的转换，其余可类推；右上角标 “t ”表示对矩阵的转置。同时，可得下列各关系式 k ：脚】_ k 。雌】7 = m ：瑚】阻那。】 c o s 妒2 一s i n 妒2 o o 0 一s i n 妒2 0 一c o s t p 2 10 oo 9 叫1 必夕 1，lllllj 1，llj o 0 o 1 0 o 0 1 )4 - 2( 1，j 0 o o 1 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 阻：，。】_ 阻即】7 = 阻：珈i m 轧。】 c o s q sc o s 妒2 。c o s p ss m 妒2 s i p p s 0 2 2 2 刀具齿面方程 图2 2 所示是为了表示刀具齿 面渐开线所采用的坐标系，这和图 2 1 中的坐标系是对应的( 窀垂直 于纸面) 。则易得到刀具渐开线齿 面向量略方程为 一s i n 妒sc o s 伊2 s i l l 缈s s i l l 妒2 c o s 妒s o 一 血妒2 0 一c o s 妒2 0 00 01 ( 2 5 ) 图2 - 2渐开线齿面的参数 珞( b ) ：ky 。z 。f 】7 【s 叫靠o + 8 s ) 一以c o s ( a s o + o s ) 】 一r h c o s ( 9 s o + o s ) + 臼ss i n ( t g s o + 吼) 1 u s 1 ( 2 6 ) 2 焘一m 口s 旺。7 磁=f：l=iijj鬻=l-一t-sc洒osc(os。o+臼a。s，) cz。，end , j l ” j 1 0 南京航空航天大学硕士学位论文 2 3 正交面齿轮的齿面方程 2 3 1刀具齿面与被加工面齿轮接触处的相对速度 对于刀具齿面上某点p ( x s ，y s ，z s ) ，设其在坐标系s s 中的矢径矗为 弓= b 。y 。z 。r = z 。0 + y 。矗+ ：。e ( 2 1 0 ) 式中4 i s 等为s s 坐标轴的单位向量。p 点随同s s 运动的速度瑶为 砧= 面。痞= 国。五x 弓 式中为刀具的角速度。p 点随同s 2 运动的速度v 2 为 ( 2 1 1 ) 吃= 面：略= ：丘弓 ( 2 - 1 2 ) 式中g - 0 2 为被加工面齿轮的角速度。p 点随同s s 运动与随同s 2 运动的相对速度i 即为 由式( 2 5 ) 有下列关系 ( 即) = 呔一 一p 2 = ( 咏乓一珊2 毛) x 弓 ( 2 - 1 3 ) t = s i n 0 + c o s q ) s 五 ( 2 1 4 ) 又设刀具和面齿轮的齿数分别为n s 和n 2 ，齿数比为q s 2 或q 2 $ ，则有 “：丝：生：上 ( 2 1 5 ) 如：2 贡2 0 ) 22 i “ 将式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 代入式( 2 - 1 3 ) 得 蜉2 哆2 v 妒 2 3 2 正交面齿轮的齿面方程 齿轮的齿面啮合条件为 元。哥 5 ，2 ) = 0 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 螂嗽咄妒5 | 哪哪 慨 ys 盐 卜小b = 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 将式( 2 9 ) 和( 2 1 6 ) 代入上式可得刀具与被加工面齿轮的啮合方程 f ( u s ，0 s ，妒s ) = r b s u s q 2 sc o s 妒日= 0 ( 2 1 8 ) 式中9 口= 妒s ( o s o + 以) 。 由坐标系s s 到坐标系s 2 间的转换关系式( 2 5 ) ，得被加工面齿轮的齿面方程为 五( 舔，) = 阻：，s 】略( 以) l( 2 - 1 9 ) ，0 s ，0 s ，妒s ) = oj 由式( 2 1 8 ) 得 2 s = = 二l ( 2 2 0 ) q 2 sc o s 妒口 将式( 2 2 0 ) 代入式( 2 1 9 ) 中的第一式，可得用两参数醣和卿表示的正交面齿轮的 齿面方程的展开式为 铲k 卜小m 旷即唧沪赢s i n 妒z y ：= 一r b s t s i n 尹2 ( s i n 千曰。c 。s ，+ i ：；：羚 z 2 = 一r 缸( c o s 口o ss i n 妒曰) 上式中晚= q z s 。 2 4 正交面齿轮不产生根切的条件 2 4 1 基本理论 ( 2 2 1 ) 加工过程中，接触点沿着刀具齿n z s 和被加工面齿轮齿面2 移动的速度吒和t ： 满足下列方程 帚，2 = i r s + ( 3 2 ) ( 2 2 2 ) 式中哥即) 为接触点的相对移动速度，见式( 2 1 6 ) 。当i ，2 = 0 时，即 酩+ 可3 t 2 = 0 ( 2 2 3 ) 1 ， 南京航空航天大学硕士学位论文 则在面齿轮齿面岛出现根切，相应地在刀具齿面瓿上存在根切界限线。考虑到啮合 方程f ( u s ，o s ，妒。) = 0 ( 即式( 2 1 8 ) ) 对所有时刻t 为恒等式，对其微分有 堕一d u s + 笪盟+ 旦d c p _ _ _ _ l s ：0 知s d t 8 8 s d t 8 争s d t 这样，确定刀具齿面s 上存在根切界限线所需的方程式集合起来为 弓= 。，靠) 弓+ y s 扣。，靠) 五+ ：。( ，靠) t f ( u s ，o s ，) = 0 旦堕+ 旦盟+ 笪亟：o 锄s d t o o s d t 却s d t 只”v 。= 巧5 。v w = 也5 2 i v 。= 一1 ( 2 2 4 ) 式中，v , x t 、v _ 和v 。为的分量；v 岁翔、v 岁。和v 为口即的分量，这时的速度 分量都是在s 坐标系中讨论的。因为速度矢量站和哥( 5 0 都在曲面接触点处的切平面 上，故方程组( 2 2 4 ) 中的第四式中的3 个等式只有两个是独立的。 在方程组( 2 2 4 ) 中的第一个式子是表示根切界限线在刀具齿面s 上。在具体运 算中，只要方程组( 2 - 2 4 ) 中的后3 个式子的坐标参数用它代入即可。因此，为了求 刀具齿面黾上界限线的坐标蜥和岛，可利用方程组( 2 - 2 4 ) 中的4 个方程：第二个式 子、第三个式子和第四个式子中的任意两个等式。这4 个方程式中包含的未知量为 姆、o s 、! 孥和竺，并且是在固定运动参数卿值的情况下求出这些未知量。随仍 讲日f 变化的一系列蜥和岛函数值的集合将确定刀具齿面s 上的根切界限线。为了避免上 述! ! 箬和华的求解，可采用下述处理方法。 讲讲 接触点在刀具齿面z s 上的速度的分量为 = 鲁= 鲁警+ 鲁警 v 幛= 警= 薏警+ 薏鲁 v m = 誓= 善警+ 象誓 ( 2 2 5 ) 根据从方程组( 2 - 2 4 ) 中的第四式选两个独立的等式的3 种情况，可从方程组( 2 2 4 ) 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助j j 析 中分出3 个线性方程组，即 一o f d u s 。旦一d c p s o f d 妒, a u s d t a 妒5d t 却ld t 盟一d u s + 盟d o s _ v 卵 鼬s d t a b d t ” 一o z s d u s + 堕盟h ( 炉s 2 o u s d t a 靠d t 一o f d u s ；盟盟；一堕盟 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 上述3 个方程组是等价的，以下取( 2 2 8 ) 作为研究对象。在方程组( 2 2 8 ) 中是关 于型警和掣为未知量的，3 个方程应当组成相容的线性方程组，则方程组的系数矩 d ld t 阵【a 】和增广矩阵【b 】的秩应该相等。而矩阵【a 】和【b 】为 l 4 】= 毯 踟s 盘j 抛s 赴s 缸s o a s o a s 如s a e s 和渊= 耖o fd f a s 8 8 s8 译s m 垫 一v 妒 o o s ” i o z s 一蝶m a 目。 “ 矩阵 a 】的秩不大于2 ，因矩阵【b 和 a 】的秩相等则矩阵f 1 3 的行列式必等于0 ，即 1 4 飞 飞 f f f f 堕讲堕斫 一眠饥一慨 + + 煎m 煎西 弧一弧饥一弧 妒一佻鱼一 南京航空航天大学硕士学位论文 j 可矿可d i i o u s8 0 sa 鸭d tj 馨嚣-v妒卜(2-29)8ui sa 艮 ” j 麓o u 舞一叫jsa 岛 ” l 由式( 2 2 9 ) 的展开式可获得u s 、国和卿之间的关系式 o ( u s ，o s ，妒s ) = 0 ( 2 - 3 0 ) 将此式与啮合方程式f ( u 。，o s ，p 。) = 0 联立起来，就得到刀具齿面s 上根切界限线的 参数“j 和国之问的关系。 2 4 2 面齿轮不发生根切的最小内径 根据式( 2 1 8 ) 和式( 2 6 ) ，式( 2 - 2 9 ) 中的各导数求得如下。 瓦o f 叫：s c o s 妒。 象地s q 2 s s i n 咻 瓦一吼s菰越 咻 篆警砘 峨罄= 。 嚣赶岫( b o + o s 矿822_st 善一。 将这些关系式及式( 2 1 7 ) 代入式( 2 2 9 ) 经整理可得 s i n 2 妒目o s q 2 s ( s i n 妒口t - o sc o s 妒日) c o s 3 妒日= 0 ( 2 3 1 ) 为了求出面齿轮不发生根切的临界尺寸，可以考虑刀具齿面s 上根切界限线与刀具 顶圆的交点处，有 o s ：监垡 ( 2 3 2 ) 式中最6 为刀具齿面s 在其齿顶圆处的角度参数：r a s 为刀具齿顶圆半径。由式( 2 3 1 ) 和( 2 - 3 2 ) 可解得参数仍的值，设为西。采用式( 2 2 1 ) 求得面齿轮齿面的所对应 的坐标x ；和) ，：，从而得到不产生根切的最小内半径r i 正交砸齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 r ，= i 毒丽= 屹s i ：i ；i ；：；：i ：i ；i 焉 c z s 。， 式中西= 戎( 靠。+ ) 。由此定义无量纲参数露j = 月脚。( m s 为刀具的模数) ，称 为最小内半径系数 月? = 华c s i n 妒；干曰。sc 。s 妒；，2 + 志c 2 _ ，。， 2 4 3 计算结果 z 簇。：? q s 2 兜夕7一，荔夕。 篪 夕多 二， 多多 f缁i 夕彳一 ： 彩彳彳：笔己：多孝夕 ? 彳 刀具齿数 圈2 - 3正交面齿轮的最小内半径系数月? ( - ：压力角盯s = 2 5 0 ；一：压力角口s = 2 0 0 ) 根据上述分析，作者已开发了相应的计算机程序。图2 3 是部分计算结果，其计 算条件为：压力指a ，= 2 0 。( 图中的实线所示) 和a ；= 2 5 。( 图中的虚线所示) ，齿 顶高系数吃= l ，顶隙系数c = 1 。从图中可见最小内径系数都是随着刀具的齿数增 加而近似于线性增加的，增加的幅度又随着齿数比g s 2 的增加而变大。此外，在其他 条件相同时，最小内半径系数都是随着刀具压力角的增加而减小的，在使用中只要将 1 6 面齿轮的最小内半径系数 南京航空航天大学硕士学位论文 图2 3 中的纵坐标值乘以刀具的模数即为面齿轮的最小内半径月- 。 2 5 正交面齿轮齿顶不变尖的条件 2 5 1 面齿轮齿顶不变尖的最大外径 面齿轮齿顶变尖的几何特征是轮齿两侧齿 面相交，其齿顶厚等于零。现设想( 参见图2 4 ) 用通过面齿轮2 轮齿项的圆平面来截其两侧齿 面，这个圆平面也与轴线和插齿刀的轴线相同， 且半径为= r s 一坍。的圆柱面相切。应当注意 的是：当r s m s k 时，须取= 。这是 因为此时切于插齿刀基圆柱面是决定面齿轮2图2 - 4 正交面齿轮的晟大外半径 的界限尺寸。 因为y 2 0 2 2 平面是面齿轮轮齿两侧齿廓的对称平面，所以面齿轮齿顶变尖处应在 y 2 0 2 2 平面上，参见图2 4 ，则变尖处的坐标为 x 2 = 0 ，y 2 = 一r 2 ，2 2 = 一7 岛 ( 2 3 5 ) 根据上式中的第一和第三式，利用面齿轮齿面方程式( 2 2 1 ) 可得 。0 8 伊口土以8 h 一7 r b s2 0 l( 2 3 6 ) 目2 s c o s 妒日( s i n 妒口千0 sc o s o 口) 一t a n p 2 = 0 j 由式( 2 3 6 ) 可解出参数和以的值痪和联，从而代入式( 2 2 1 ) 中求出相应的坐 标y ：的值y ：，也即得出齿顶不变尖的最大外径r ：为 尺：= 一y ：= k s h p ：( s i f l 戎千c o s 妒；) + 竺翌 ( 2 3 7 ) l 9 2 so o s p 2j 式中，妒：= q 2 s q p ；：西= 讲士( 以。+ o d 。由式( 2 3 7 ) 定义无量纲参数= r 2 州。( m s 为刀具的模数) ，称为最大外半径系数 = 尘量。! 兰墅 s m 妒；( s m 妒；干珙c 。s 西) + i 三；耋蠹 ( 2 - ，s ) 正交面齿轮传动齿面温升的计算机辅助分析 2 5 2 计算结果 根据上述分析，作者已开发了相应的计算机程序。图2 - 5 是部分计算结果其计 算条件为：压力角口s = 2 0 。( 图中的实线所示) 和口s = 2 5 。( 图中的虚线所示) ，齿 顶高系数e = 1 ，顶隙系数c = 1 。从图中可见最大外半径系数都是随着刀具的齿数 一 ， 一一 4 ” 岁节一 ； i 一一 易 三蹦7 。 一一7 j i 形：龟三 p 一一， ，一 多溉二：每。q ! 毒圣十一一_ ，一一 j ，_ _ 一 要筹乏薹尹一q 监：2 毒“ ，一一 痔鼍5 。：；一l r - _ ，一 = ：f 一一 ；- q 曲= 1 刀具的齿数 图2 - 5 正交面齿轮的最大外半径系数r ： ( - ：压力角= 2 5 。；一：压力角= 2 0 。) 增加而近似于线性增加的，增加的幅度又随着齿数比g s 2 的增加而变大。这些规律与 最小内半径的相类似。此外，在其他条件相同时，最大外半径系数都是随着刀具压力 角的增加而减小的，但当刀具齿数较少时其减小的幅度较大。在使用中只要将图2 - 5 中的纵坐标值乘以刀具的模数即为面齿轮的最大外半径胄2 。 2 6 面齿轮的齿根过渡曲面及面齿轮齿面的可视化 2 6 1 齿根过渡曲面的基本方程 面齿轮的最大外半径系数 南京航空航天大学硕士学位论文 面齿轮的齿根过渡曲面是由刀具齿顶圆与齿廓的交线形成的。将刀具齿廓方程式 ( 2 - 6 ) 中的角度参数如用齿顶圆处的参数代替，可得齿顶线的方程。这里的靠为 = ( ) 2 一( k ) 2 ， ( 2 。3 9 ) 式中k 为齿顶圆半径，g s = r s + 1 2 5 m s 。这里的齿项高系数e 取l ，顶隙系数c 取 0 2 5 。 在坐标系s 2 中，过渡曲面的方程i ( “。妒。) 为 曩啊s 妒。) = 【 彳2 , s 】西( “，彰) ( 2 4 0 ) 由此得坐标分量方程 x ；= 【c 0 8 伤( 血西t - 靠c o s 西) 一s m 仍】) j ，；= - r , s s i n2 ( s i n ；- t - o ；c o s 妒；) + “sc o s 妒2 】 ( 2 4 1 ) z ：= 一( e o s 妒；土s i n 妒；)j 式中，西= p s ( a s o + 占；) ，妒2 = 9 2 s 妒s 。 面齿轮的齿根过渡曲面与工作齿面会有一条公切线l ( 如果不发生根切的话) 。 因公切线l 上的参数应当满足啮合方程，将靠= 畦代入式( 2 - 1 9 ) 就可得加工过程中 刀具顶线与接触线交点的位置，即在坐标系s s 中满足下式 “；( ) = _ 二 ( 2 4 2 ) q 2 sc o s p e 由式( 2 4 0 ) 和( 2 - 4 2 ) ，在坐标系s 2 中l 的方程可用下式表示 i ( ) = i ( “；(