（基础数学专业论文）正则环上两个矩阵方程组的解及其应用.pdf

摘要本文主要是在有单位元的正则环上研究了两个矩阵方程组有一般解的充要条件及其通解的表达式，并给出了它们的具体应用此外，我们还在四元数除环上研究了一个矩阵方程组的自反最小二乘解这些结果进一步丰富和发展了非交换环上的矩阵代数全文共分四章，第一章介绍了v o nn e u m a n n 正则环上的矩阵理论、实四元数以及实四元数矩阵的一些基本知识和研究背景、研究进展以及本文所做的工作另外还给出了一些预备知识第二章给出了矩阵方程组x 8 1 = q ，x b 2 =q ，也x 岛= 岛，血x b 4 = q 在有单位元的正则环上有一般解的充要条件及其通解的具体表达式；作为应用，我们导出了矩阵方程组x b t = a ，a 3 x b 3 = 岛在正则环上有中心对称解的充要条件及其解的表达式第三章建立了矩阵方程组托b i = q ，x i 岛= q ，恐玩= 仍，x 2 8 4 = q ，a 5 x i 岛+ 山恐b 6 = 岛在有单位元的正则环上有一般解的充要条件及其通解的表示式作为应用，给出了矩阵方程组x 岛= g ，x 风= 岛，也x 8 c = q 有中心对称解的充要条件及其解的表达式最后一章，利用四元数矩阵的奇异值分解，我们给出了四元数矩阵方程组a x = g x b = d 的自反最j 、z 乘解的表达式关键词t 正则环，四元数矩阵矩阵方程组，自反矩阵，矩阵的广义逆，最小二乘解，中心对称矩阵，奇异值分解a b s t r a c ti nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ee s t a b l i s ht h en e c e s s a r ya n ds u f l i c l e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n de x p r e s s i o n so fg e n e r a ls o l u t i o n st ot w os y s t e m so fm a t r i xe q u a -t i o n so v e rar e g u l a rr i n g t h ea p p l i c a t i o n so ft h e s er e s u l t sa r ea l s og i v e n m o r e -o v e r ，w ei n v e s t i g a t et h el e a s t - e q u a r er e f l e x i v es o l u t i o nt oas y s t e mo fq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n s t h e s er e s u l t sf u r t h e re n r i c ha n dd e v e l o pt h em a t r i xa l g e b r ao v e rn o n c o m m u t a t i v er i n g s t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t o4c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g e ，r d 3 e a l c hb a c k g r o u n da n dp r o g r e s s e so fm a t r i c e so v e ry o nn e u m a n nr e g u l a rr i n g s ，q u a t e r n l o n s ，q u a t e m i o nm a t r i c e s ，a n dt h em a i nc o n t r i -b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，w eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h ee x p r e s s i o no fg e n e r a ls o l u t i o nt ot h es y s -t e mo fm a t r i xe q u a t i o n sx b l = q ，x 岛= 岛，a 3 x b 3 = 岛，山x b 4 = 瓯a sa p p l i c a t i o n s ，w ed e r i v e t h en e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s -t c n c ea n dt h ee x p r e s s i o no ft h ec a n t r o s y m m t r i cs o l u t i o nt ot h es y s t e mo fm a t r i xe q u a t i o n sx b l2a ，a s x b 3 = c 3o v e rar e g u l a rr i n g w ei nc h a p t e r3g i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo ft h eg e n e r a ls o l u t i o nt ot h es y s t e mo fm a t r i xe q u a t i o n sx 1 8 1 = a ，x 1 8 2 = 岛，x 2 8 3 = 岛，恐b 4 =q ，血而岛+ 也恐风= 伤t h ee x p l i c te x p r e s s i o no ft h eg e n e r a ls o l u t i o ni sa l s op r e s e n t e dw h e nt h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d a sa na p p l i c a t i o n ，w eg i v et h en e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ec e n t r o s y m -m e t r i cs o l u t i o nt ot h es y s t e mx 玩= q ，x b b = 岛，a c x 玩= qo v e rr e s u l & rt i n g s i nt h el a s tc h a p t e r ，b yt h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h el e a s t - s q u a r er e f l e x i v es o l u t i o nt ot h es y s t e mo fq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa x = a x b = d k e yw o r d s ：r e g u l a rr i n g ，q u a t e r n i o nm a t r i x ，s y s t e mo fm a t r i xe q u a t i o n s ，r e -f l e x i v em a t r i x ，g e n e r a l i z e di n v e r s eo fam a t r i x ，l e a s t - s q u a r es o l u t i o n ，c e n t r o s y m -m e t r i cm a t r i x ，s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n原创性声明本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与同工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意签名t杂埠j本论文使用授权说明日期；0 7 要冲本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，a p , 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容( 保密的论文在解密后应遵守此规定)签名导师签名叮譬冲第一章研究背景与预备知识1 1 研究背景和研究进展著名数学家华罗庚，万哲先曾经在【1 】中指出t 除环上的矩阵是个值得注意的对象除环上的矩阵论研究不但与典型群，模论，环论，结合代数有密切的联系。而且也与几何学、算子代数、计算数学、数理逻辑等数学分支相关联很多当代著名的数学家如p m c o h n ，n j a c o b s o n ，1 1 c t h o m p s o n ，n a w i e g m a n ，r m g u r s l n i c k ，w g u s t s f s o n ，华罗庚、谢邦杰、万哲先等，对除环上矩阵论都做过深刻的研究( 如，【1 卜【6 】) 由于除环上元素乘法的非交换性所带来的困难，域上许许多多的经典结果和有效的方法无法推广到除环上来于是除环上矩阵的研究也越来越引人注目，已是目前矩阵论研究的活跃课题之一四元数体是一类特殊的除环近2 0 多年来，对四元数矩阵论的研究已经成为代数学研究的一个新的生长点( e g 【7 】- f 1 9 】) ，其研究内容也得到进一步深入和拓广，其中包括四元数矩阵的行列式、四元数矩阵的谱定理、四元数矩阵的标准型，四元数矩阵方程等对四元数矩阵的研究除了在理论上有重要意义外，还在力学、控制论、理论物理、理论电工技术、遥感技术等各领域中还有重要的应用矩阵方程是矩阵代数中非常重要的内容之一，而且人们对矩阵方程的研究一直非常活跃( e g 【2 0 卜【6 1 】) ，譬如，m i t r e 5 6 ) 首次在复数域上研究了矩阵方程组2a 3 x b s2 0 3( 1 1 1 )ia 4 x 玩= q 之后有很多学者都对它做过研究( e g 5 7 卜i 】) b h i m a s a n k s r s m ( 0 5 4 1 ) 在复数域上得出了矩阵方程组fx b l _ o i a 3 x = 仍( i i 2 )l 也x b 4 = 吼有一般解的充要条件及其解的表达式随后，很多学者对多种矩阵方程组做过研究( e g 2 8 卜i s 5 ) 众所周知，v o nn e u m a n n 正则环是比除环更具有广泛性的一类环耳前国内外对正则环上矩阵方程和方程组的研究成果尚不丰硕因此，在正则环上研究矩阵方程和方程组是一项富有挑战意义的工作2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文2研究矩阵方程组的基本任务就是给出其可解的充要条件及其通解解的表达式此外，还研究矩阵方程组具有特殊意义的解，如对称解，最小二乘解等本文的工作主要是给出了正则环上的两类矩阵方程组的有解的充要条件和通解表达式作为应用，我们还研究某些矩阵方程组的中心对称解二十世纪三十年代末，实数域上的中心对称矩阵开始被研究( e g f 6 2 】) ，八十年代以来，又相继出现了中心h e r m i t e 矩阵，斜中心h e r m i t e 矩阵，广h e r m i t e 矩阵，斜广h e r m i t e 矩阵，双对称矩阵以及斜双对称矩阵，迄今已有大量的论著对上述各种对称矩阵做过深入的研究( e g 【6 3 】【7 8 ) ，这些矩阵在工程技术和应用数学中有广泛的应用，如线性系统理论，线性估计理论，信息理论，数值分析等( e g 【6 5 】，呻】) 比中心对称矩阵更广的一类矩阵是自反矩阵自反矩阵本身具有一些特殊性质，它在工程、科学计算等领域应用广泛( e g f 7 9 卜 8 1 】) 由于在线性规划、工程等领域广泛的应用，矩阵方程的最小二乘解问题被越来越多的学者所关注( e g 【8 2 】- 【8 _ 7 】) 许多文章在实数域、复数域上研究矩阵方程的最小二乘解，譬如，周富昭等( 【8 7 】) 给出了矩阵方程a x = b 中心对称矩阵反问题的最小二乘解等本文的另一工作就是研究四元数矩阵方程组a x = g x b = d 的自反最小二乘解本论文内容大体可分为四章第一章主要介绍了正则环和四元数矩阵方程组的研究背景和一些预备知识，如正则环上多种对称矩阵、矩阵的广义逆，四元数矩阵的复表示、四元数矩阵的奇异值分解等第二章研究矩阵方程组x b l = c l ，x 玩= q ，a s x b s = c 3 ，山x b 4 = q 得出了该方程组在正则环上有解的充要条件，有解时给出了其通解的表达式作为应用，还研究了矩阵方程组x 历= a ，a 3 x 岛= 国在正则环上有中心对称解的充要条件和解的表达式第三章给出了正则环上矩阵方程组五岛= 仍，噩岛= q ，恐岛= 岛，恐b 4 =c 4 ，a s x l 岛+ 如x 2 b e = g 有解的充要条件和通解表达式，并给出了一些特例的相应结果作为应用，我们给出了矩阵方程组x 岛= g ，x s b = c b ，也x 鼠= q 有中心对称解的充要条件及其通解表达式第四章给出了四元数矩阵方程组a x = c ，x b = d 的自反最小二乘解的表达式2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文31 2 预备知识及记号本节不加证明地介绍了有单位元的正则环上矩阵的一些基本知识，本节的另外个目的是提供一些文中的记号一个环r 称为正则的，如果对于任意的口r ，存在口( 1 ) r 使得a a 0 ) a = 口r ”“表示r 上全体m n 矩阵；j 表示适当阶数的单位阵；表示r 上的次对角线元素都为1 其它元素都为0 的n 阶矩阵本文恒假定r 是个含幺正则环矩阵的广义逆是研究矩阵方程的一个十分重要的工具，一个环是正则环的充要条件是这个环上任意一个矩阵都存在广义逆下面研究正则环上矩阵的广义逆及其性质定义1 2 1 对于r 上的矩阵a ，若存在a ( 1 ) r ，使得a a o ) a = a ，则称a ( 1 ) 为a的一个内逆或广义 1 ) 逆；若存在a + r ，同时满足 a + a = a ，a + 从+ = 矿，则称 + 为a 的一个反身逆或广义 1 ，2 逆显然，如果x 是一个内逆，则x a x 是a 的个反身逆；因此，a 有个反身逆当且仅当a 有一个内逆本文约定，l a = ，一a + a ，r a = i a a + 其中a +是a 的任意的但是确定的反身逆由文【5 0 i 知，正则环上每一个矩阵都存在一个反身逆；显然，“和r a 是幂等的，且它们都是各自本身的反身逆令= ：卜一一g ”) 对于矩阵a 1 r ”，b 1 p j “，研r ”“，如果存在可逆矩阵p h m + ，q 瓦+ f 1 晰。使得 言三 = p 吉小那么我们就说 a l ； 等价于 a l 三 ，记为 a l 三h 下面介绍有单位元的正则环r 上多种对称矩阵的定义及一些性质2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文4定义1 2 2 ( 【4 8 】) 设a = ( 叼) r ”“，a = ( a 刃r n “，a ( ) = ( _ 而瓦；= 鬲) 。”，a u = ( 一+ l ，n - j + t ) r ”“，其中巧是吩的共轭那么a ( ) = ，川=翰彳( 1 ) 矩阵a = ( 叼) r n “称为自共轭矩阵( 斜自共轭矩阵) ，如果a = a + = 一a + ) ( 2 ) 矩阵a = ( 叼) l p “称为广自共轭矩阵( 斜广自共轭矩阵) ，如果a = a ( ) ( a =一a ( ) 1 ( 3 ) 矩阵a = ( 叼) r ”“称为中心对称矩阵( 斜中心对称矩阵) ，如果叼=d ，i 一件1 n 叫+ l ( a u = - - a m i l 。l ，n o + 1 ) ，即a = 似= 一a # ) ( 4 ) 矩阵a = ( 叼) r n “称为双对称矩取斜双对称矩阵) ，如果叼= 一t + 1 ，。- j + 1 =写i ( 8 巧；一n n i + l - j + z = 一可- ) 全体n n 中心对称矩阵记为c t i ，全体n n 斜中心对称矩阵记为s c ，命题1 2 1 ( 1 4 8 】) 对于自共轭矩阵广自共轭矩阵、中心对称矩阵，其中任意两种意味着第三种所以对于双对称矩阵a ，必有( 1 ) a = a + = a ( ) = ( 2 ) k = “+ ) = 硎= w = 瞄1 ( 3 ) 对于r 上的矩阵a 和b ，有( a b ) = b + a + ，( a b ) ( ) = b ( + ) a ( ，( a b ) l = a 9 b 口( 4 ) 设a 可逆，则有( a 一1 ) 事= ( a ) ，( a 一1 ) = ( a ( + ) ) ，( a 一1 ) o = ( 创) 一1我们定义“) + = a 一引理1 2 1 ( 5 0 1 ) 设n ，圣是r 上的矩阵并且则垂=n = f i t ，q 2 】，f = 圣2 工壬1 ，t r n l n 2l o - - - - l o , l f , l n = l n l n 嚣切 ，c - z s ，耻晌”耻卜熹圣，甜z 由l 一耶圣2 圣 冗fi2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文5注意到垂1 l 。= 0 ，j b 。n l = 0 则很容易证得n 小地m ：味地p = r 凳= i z 劫从而得到( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 引理1 2 2 ( 【7 7 i ) 令以：卜k1 ，取：【k “，j厶0 一020攻0 厶一三卜其中而，恐是k p 矩阵( 2 ) k 0 2 k + l ，2 卅1 当且仅当一一三卜其中x 1 ，x 2 分别是( k + 1 ) 国+ 1 ) ，( k p ) 矩阵( 3 ) k c 2 2 p + 1 当且仅当一1 一球其中而，尥分别是k p ，( p + 1 ) 矩阵( 4 ) k c 2 k + 1 。2 p 当且仅当一三卜其中噩，x 2 分别是( k + 1 ) xp ，k p 矩阵引理1 2 3 ( 【7 7 】) 设v - k ，t k 有( 1 2 6 ) 中的形式， 三言卜( 1 2 6 )( 1 2 7 )( 1 2 8 )( 1 2 9 )( 1 2 1 0 )( 1 2 1 1 )2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文6( 2 ) 耳s c 2 k + 1 h 1 当且仅当一匕言卜其中x i ，恐分别是 + 1 ) x 。，+ 1 ) ，p ) 矩阵( 3 ) k s c 2 k ，聃1 当且仅当一1 卜其中x i ，恐分别是。p j ( p + i ) 矩阵( 4 ) k s c 2 七+ l ，2 p 当且仅当一匕言卜( 1 2 1 2 )( 1 2 1 3 )( 1 2 1 4 )我们再简要介绍一下实四元数表示实四元数除环，l p “表示h 上全体m n 矩阵，对于a h m “，表示 的转置，表示a 的共轭转置，g l 。( )表示h 上全体n 阶可逆矩阵，r ( a ) 表示矩阵a 的秩k 表示任意的一个除环设n = a o + a t i + n 2 j + a a k h ，其中e ，j ，满足庐= j 2 = k 2 = 一1 ，巧= 一剪= 女，j = 一巧= i ，航= - i k = 正称- d = 幻一a l l d 2 j a 3 k h 为a 的共轭元素实四元数a 的实部a o 记为m 【d 】，实四元数a 的长度或模定义如下、川= ( 瓜) = ( 碚+ 4 - 碹+ 0 3 2 ，1 。显然，对于两个实四元数p ，q 有两= i 芦，p + q = 多+ _ 陈景良和陈向晖在【8 l 】中介绍了广义反射矩阵( g e n e r a l i z e dr e f l e c t i o nm a t r i x )和关于广义反射矩阵的自反矩阵( r e f l e x i v em a t r i x ) 下面考虑四元数除环珏上的广义反射矩阵和关于广义反射矩阵的自反矩阵第四章将用到这个定义2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文7定义1 2 3 矩阵r h “”被称为广义反射矩阵如果它满足r ：r 和铲：矩阵a 即“被称为关于广义反射矩阵丑的自反矩阵或反自反矩阵( a n t i r e f l e x i v e m a t r i x ) ，如果a = r a r 或a = 一r a r h 上全体n n 阶关于广义反射矩阵r 的自反矩阵记为i p 。“( r ) = a i p 。“i a = r a r h 上全体n n 阶关于广义反射矩阵r 的反自反矩阵记为丑：。“( 动= a h “。”i a = 一冠a r 命题1 2 2 ( 1 5 1 t h e o r e m6 1 ) 设a i i ，i “，则存在酉矩阵u ，缈矿= u u = 使得u + a u 为上三角矩阵定理1 , 2 1 ( 1 5 t h e o r e m7 2 ，奇异值分解定理) 设a h 一，则存在酉矩阵u i t m 。”，v h n “使得u a y = d r ： ，c 2 s ，其中d r = d i a g ( d l ，西) ，d i 是a 的正奇异值i = 1 ，r 定义1 2 4 设y 是一个右h 空间，如果对于y 中的任意两个向量t ，口恒有h中唯一的四元数( “， ) 与之对应，则称( t ，口) 为t ，口的一个内积，如果对于任意“，缈，l ，1 1 1 v ，口，b h 满足( 1 ) ( u l a + t 2 6 ，) 一a ( u l ，v ) + b ( t 2 ，口) ；( 2 ) ( “，”) = ( ”，u ) ；( 3 ) ( “，) 0 ，当且仅当u = 0 时等号成立；带有一个内积的y 称为一个广义酉空间注1 2 1 在右h 空间h m n 中定义( a ，b ) = t r a + b ，( 1 2 1 6 )其中t r a 表示a 的迹，则易知i ，i 。n 关于( 1 2 1 6 ) 构成一个广义酉空间定义1 2 5 设v 是一个广义酉空间，“v ，称非负实数( “，口) 为向量t 的范数。记为i 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文8命题1 2 3 设y 是一个广义酉空间，“，v ，啦，仇v , a ，6 ，a i ，k h j 则有下面的( 1 ) ( t m ，v b ) = a 似， m( 2 ) ( u ，1 j l t t + t j 2 6 ) = ( t ，v t ) a + ( u ，t j 2 ) 6 ；( 3 ) ( e t m ，e 脚吩) = e e 面( 蛳，吩) b ；( 4 ) l i m 0 = i a l i i * i l ；( 5 ) + 圳2 = l i , u t i 2 + l i v i l 2 ；( 6 ) 忆 0 i i t , l t 2 + 1 2 ，等号成立，当且仅当u ，右线性无关；( 7 ) i 阻+ 训0 “0 + i i v l l 定义1 2 6 设a i p 一，则称( t r a b ) 为a 的范数，记为l l a i i命题1 2 4a ，b 】 l m 。“，c h n 。，口h 则( 1 ) i l ad i 0 ，等号成立当且仅当a = o ；( 2 ) l i a a l i = l a i l l a l i ；( 3 ) 0 a + b ij i i a i i + i i b i i ；( 4 ) l i a c l i i i a i i + i f c l i 由四元数矩阵范数的定义可以知道，四元数矩阵范数具有广义酉不变性，即对任意u h m ，v 酽“，有0 u a v i i = i i a 特别地，我们可以定义四元数矩阵的广义f r o b e n i u s 范数如下，a 幅= t r ( a + a ) ，其中a h ”“它是四元数矩阵的广义酉不变范数第二章正则环上矩阵方程组x b t = c t ，x b 2 = q ，a 3 x b 3 = g ，a 4 x b 4 = c 4的解及其应用文( 【5 1 1 ) 研究了( 1 1 2 ) 在任意除环上有解的条件本章，我们在r 上研究一类更广的矩阵方程组ix b l = a 娼娟( 2 叭)i 也叉毋2 岛【, 4 4 x b 4 = 瓯并给出其具体的应用第一节中，我们首先得出矩阵方程组( 2 0 1 ) 在r 有一般解的充要条件，在满足有解的条件下给出其通解的表达式第二节考虑了( 2 0 1 ) 的几个特例，给出了经典矩阵方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，f 粕- = c 1 x b 2 = 岛( 2 0 2 )ia 3 x b s = 岛j 妻三：芝k ：呈偿x b l ：= 仍c 1 盎兰( 2 0 3 )( 2 0 4 )( 2 0 5 )2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 02 1 矩阵方程组可解的充要条件及其通解的表达式在给出本章主要结果之前，我们先看以下几个引理引理2 1 1 ( 【5 0 】) 设a r m “，b r r 。和c r ”“则以下条件等价( 1 ) 矩阵方程a x b = d有解( 2 )a a + c b + b = c 有解时，矩阵方程( 2 1 6 ) 的一般解是x = a + c b + + l a v + u r s这里u 和y 是r 有适当阶数的矩阵由【5 0 】的t h e o r e m2 4 可得下面的引理2 1 2 设b 1e r r ”，岛r r ”，a r m ”，c 2 r ”。已知，令t = r b t b 2 ，f = 岛l t 则以下条件等价( 1 ) 矩阵方程组 x x 玩b 1 ：= 岛c 1有解( 2 )g l s , = o ，f = 1 ，2 ；( c 2 耐一a b ) f = 0 ( 3 ) ：三芝 型 ：三三 ； ：主 爱 ：三有解时，方程组( 21 9 ) 的一般解可以表示为( 2 1 6 )( 2 1 7 )( 2 1 8 )x r ”未知，( 2 1 9 )( 2 1 1 0 )x = c l s , + + ( c 2 b 手一c 1 b + ) b 2 t + r 口l + w 1 r t r s l( 2 1 1 2 )其中- n 是r 上任意有适当阶数的矩阵2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 1下面我们给出本章中最重要的定理定理2 1 1 设历r r m ，b 2 w x m , b 3 r r ”，成r r ”，a r “，岛r n “，岛贴一，q 础m ，也贴“，山1 0 。”已知。x r n 。未知，令t = r b 。疡，f = 岛切，s = r b l 风，k = 鲫s ，m = 山l 血，n = r b l 且4 ，p = r m 山，霍= a 3 a ；c 3 b 手一a b 一( c t b 一c i b ) b 2 t + r b 。】岛垂= 砑一q b 产慨r + 埘皿耳+ 而q = 西一a 4 c l b 产b 4 一a 4 圣则方程组( 2 0 1 ) 有解当且仅当( 2 , 1 1 3 )( 2 1 1 4 )( 2 1 1 5 )皿k 斗k = 耍，q l p n = 0 ，r m q l r 片所= 0( 2 1 1 6 )山砖o 砂岛= q ，j = 3 ，4 ；g 计最= g ，i = 1 ，2 ；( c 2 b + 一c i b _ ) f = o ( 2 1 1 7 )有解时，( 2 0 1 ) 的一般解是x = 仍b + ( c t b 亨一c i b ) b 2 t + r b l + a 十霍x + r t r m+ l a 。m + q ( r t n ) + 所砌l l a 3 m + a 4 p + r m q ( r t n ) + 聊如l+ p + r m q ( a k a r n ) + r k r t r a l + l a 3 z r t r 瓯一l 3 f + m z r r n ( r r n ) + r r r b l 一二a 3 盯+ a 4 w r k r t n ( r r n ) 十l c r r b t+ w r k r t r b l + l a 3 m + a p + p w r k r t n ( r r n ) + r t r mp + p w r k r t n ( r k r t n ) + r k n t r 口i ( 2 1 1 8 )这里形z 是r 上有适当阶敷的任意矩阵证明，证明包括两部分，我们首先证明在假设( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 成立时，具有( 2 1 1 8 ) 形式的矩阵x 是方程组( 2 0 1 ) 的解；然后证明( 2 0 1 ) 的任意一个解都可以表示为( 2 1 1 8 ) 的形式，同时( 2 1 1 6 ) 和( 2 , 1 1 7 ) 成立首先假设( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 成立注意到j b 。b l = 0 ，由( 2 1 1 7 ) 的最后一个等式可得( q 县 一a b ) b 2 r t = ( c 2 b 手一a 耐) b 2 一2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 2易证，具有( 2 1 1 8 ) 形式的矩阵x 是方程组( 2 1 9 ) 的解接下来我们需要证明具有( 2 1 1 8 ) 形式的矩阵x 也是( 1 1 1 ) 的解注意到也肘皿= 耍，r x k = 0 ，也工a 3 = 0 所以根据( 2 1 1 3 ) ，( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 可得a 3 x b s = a 3 c l b 产b 3 + a 3 ( c 2 b 手一c l b ? ) b 2 t + s + 雪= 岛由( 2 1 1 6 ) 可得口= q ( r t n ) + r t n , r m q = r m q ( r k p c l n ) + r k r t n ( 2 1 1 9 )由p 的定义可得m 肝+ 山= 血一p ( 2 1 2 0 )由于q 砑甄= q 同时，p p + r m q = p p + 砌a 4 ( 对瓯一c , b ? b 4 一圣)= p p + p ( a c - 一c , b b 4 一西)= p ( a c 4 一q b b 4 一垂)= r m a 4 ( a q c l b ? b 4 一西)= r f 0 所以由( 2 1 1 4 ) ，( 2 1 1 5 ) ，( 2 1 1 7 ) ，( 2 1 1 9 ) 和( 2 1 2 0 ) ，我们可以得到a 4 x b 4 = a 4 c , b f - b , a , ( c 2 b 才一c , b f - ) b 2 t + n+ a t a + 吨k + r , r n + m m + q一( a 4 一p ) p + r m q + a 4 p + r | l f q一( a 4 一p ) w r k r t n + a 4 w r k r t n+ ( 也一p ) p + p w r k r t n a 4 p + p w r k r t n= a 4 c l b ? b 4 + a 庐n + m m + q + p p r m q= a 4 c l b b 4 + a 4 圣n + q= c 4 反过来，我们假设弱是( 2 0 1 ) 的任意一个解，则根据引理2 1 1 和引理2 1 2可知( 2 1 1 7 ) 成立，同时弱具有( 2 1 1 2 ) 的形式于是a = a 3 岛= a 3 c 1 b 产+ ( 伤动一q 耐) b 2 t + j b l + y r t r b l b 3 ，2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 3也就是a s y k = 皿对y 来说有解根据引理2 1 1 和a s a + s 皿= 霍，( 2 1 1 6 ) 的第个等式成立，并且y = a + q k + + l a 3 v + u r k ，这里k 矿是r 上有适当阶数的矩阵因此x o = c l b + ( c 2 b + - c , s + ) b 2 t + r b l + a 屯k 斗r t r b l + l a s v r c r b , + u r k p p r r b , 所以，由a = a 4 x o b 4 和( 2 1 1 5 ) 得4 4 u r k p c r n + m v u r t n = q( 2 1 2 1 )注意到p v r n l 斯n = 0 ，r k r t r n l r 所r = 0 由( 2 1 2 1 ) 可以证明( 2 1 1 6 ) 的后面两个等式成立下面我们要证明可以表示为( 2 1 1 8 ) 的形式令u = w p + p w r k r t n ( r k p 吁n ) + + p + r m 口( r k r t n ) + v = z m + m z r t n ( r ：r n ) + + m + ( 口一a 4 u r k r t n ) ( t b n ) +那么( 2 1 1 8 ) 变为( 2 1 2 2 )( 2 1 2 3 )x = a 日产+ ( 岛1 3 + 一c , b + ) b 2 t + r 8 1 + a + 皿k + r t r b l + l a s v r t r b l + u r k p 【，r r b , ( 2 1 2 4 )注意到，于是a 3 k = a 3 x o s a 3 x o t t + s= 岛一a s c l b + b s a s ( x o b 2 一x o b , b + b 2 ) t + s= c 一a s c i b + b s a s ( c 2 一c - , t b 产b 2 ) t + s= 霍( 2 1 2 5 )圣= ( c 2 b + 一c 1 b ) b 2 t + + a + a s x o k k + b t ( 2 1 2 6 )在( 2 1 2 2 ) 和( 2 1 2 3 ) 中，令注意到w = x o z = x o k k 斗a 4 n = a 4 x o r 8 l b 4 = q a 4 c i b f - b 4( 2 1 2 7 )2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 4于是a 4 x o t = a 4 x o r v ，b 2 = 山( 岛耐一c l b + i ) b 2山r k i 珏n = 4 4 x o r t n a 4 x o k k + r t n= a 4 x o n a x o t t + n a x o k k 斗p , r n= c 4 一a 4 c 1 b f b 4 一a 4 ( c 2 b 一c l b ) b 2 t + n a 4 x o k k + r t n ( 2 1 2 8 )由( 2 1 1 5 ) ，( 2 1 1 7 ) ，( 2 1 2 2 ) ，( 2 1 2 6 ) ，( 2 1 2 7 ) ，( 2 1 2 8 ) 及r m m = 0 得凰一u = p + p x o r k r r n ( r k p u r n ) + 一p + r m q ( r k r t n ) += p + r m ( a 4 x o r k p u r n c i + a 4 c 1 b b 4 + a 4 壬n ) ( r k r t n ) += p + 2 m a 4 x o r k ! z l t n q + 山q b 凰+ 血( 岛砑一c i b ) b 2 t + n + a 4 对a 3 x o k k + r t 1 ( r k r t n ) += p r m ( a 4 a + 3a 3 x o k k + 一a 4 x o k k + ) r t n ( r k r t n ) += p r m a l a 3 x o k k r t n ( r k r t n ) +，= p + r m m x o k k + r t n ( r k i ；b r n ) += 0 ，即u = x o 由( 2 1 1 5 ) ，( 2 1 2 6 ) 和( 2 1 2 8 ) 可得口一a 4 x o r k r t n = a 4 x o k k + r t n a 4 a + a 3 x o k k + r t n= 山工 3 x o k k + 所= m x o k k + r t n反过来，由( 2 1 2 3 ) 和( 2 1 2 7 ) 得x o k k + 一v = m + m x o k k + p 吁n ( r t n ) + 一m + 旧一也j ，o 鼢所) ( 所) + = 0 即v ；x o k k + 所以x o = a b + ( c b 手一c i b + ) b 2 t + r s l + 露皿j r + r t r b l + l a 3 v l 岳r r s l + u r k r g r r b l 这表明弱可以被表示为( 2 1 2 4 ) 即( 2 1 1 8 ) 的形式，这里w = 弱，z = x o k k + 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 52 2 重要的特例下面我们考虑定理2 1 1 的几个特例推论2 2 1 假设b l r r “，b 4 r r x la “，岛r k 。p ，q r q “，a 3 r k “，血r q ”已知，x 。7 未知，m = a 4 l a 3 ，n = r b 。b 4 ，口= c 4 一 a b _ 鼠一a 4 a c s n ，则方程组( 1 1 2 ) 有解当且仅当q l n = 0 ，勋q = 0( 2 2 2 9 )a , a ：c 4 酣s 4 = c 4 ；c 1 b b t = 白；a 3 a c b = c 3 ；c 3 8 1 = 3 白( 2 2 3 0 )这种情况下，方程组( 1 1 2 ) 的一般解为x = a 口 + a 伤r 玩+ l a 。m + q r 口l+ l a 3 z r 口l l a 3 m + + m z n n + r s l这里z 是r 上有适当阶数的任意矩阵证明：在定理2 1 1 及其证明中，令岛= o ，g = 0 ，岛= i 则( 2 1 2 7 ) 变为山舒a 耐甄= c 4 ，c 1 b 产b 1 = a ，a 3 a 岛= 仍，并且s = k = r b ，f = o ，t = 0 ，皿= 岛一a 3 c 1 b ，圣= a 岛b 。注意到璐。= r b 。，b r 8 ，= 0 ，如。的反身逆还是r b 。，( 2 1 1 6 ) 的第个等式皿+ k = 皿就变为( 岛一a 3 c 1 计) = q a 3 c 1 b 产所以( 2 2 3 0 ) 成立很显然，( 2 1 1 5 ) 变为口= c 4 一山c l b 产b 4 一山a 伤，并且( 2 1 1 6 ) 的第二个等式变为( 2 2 2 9 ) 再根据( 2 1 1 8 ) ，我们可以证明剩余的部分推论2 2 2 假设b 3 r r ”，玩r r ，仍贴”，o r g ，a 3 贴“，山r q 。“已知，x r n 。未知，m = 4 4 l 3 ，g = r s 3 8 4 ，p = r f a 4 ，e = b 4 l o则方程组( 1 1 1 ) 有解当且仅当、a 产g 耐晟= g ，i = 3 ，4( 2 2 3 1 )2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 6p ( n t c , m 一a c j b 手) e = 0 ( 2 2 3 2 )这种情况下，方程组( 1 1 1 ) 的一般解为x = a + 3c s b 3 + + “3 m + a 4 l p ( a + q 耐一对仍酣减耐+ l 3 昭一m + m z b 4 b + ) + p p l a c 4 b ：一砖c 3 b ) b 4 g + r a ,一工 3 m + a 4 l p w g b + + ( w p t p ( 硷+ ) r 岛( 2 2 3 3 )这里z ，w 是r 上有适当阶数的任意矩阵证明；在定理2 1 1 及其证明过程中，令b i = o ，b 2 = o ，q = o ，q = 0 则t f 不存在，同时( 2 1 1 7 ) 变为( 2 2 3 1 ) ，( 2 1 i 8 ) 变为a s 对岛耐b s = 岛，s = k = 岛，m = a 4 l a 3 ，n = b 4 ，p = r j l f 4 ，r k r t n = 奶3 鼠垒g圣= 越c a b ，圣= a c ；b ；b 乳q = c t 一4 4 a + c 3 b 手b 4并且( 2 1 1 6 ) 的第一个等式变为也封岛甜b 3 = 岛在条件山对q 耐鼠= q 成立时，( 2 1 1 6 ) 的第二个等式变为单位矩阵事实上。q l r ，r n = q l b , = a 4 ( a + 4c 4 b ：一a c 3 b ) b 4 l b 4 = 0 ( 2 1 1 6 ) 的最后个等式变为r m q l g = 0 ，即( 2 2 3 2 ) ( 2 1 1 8 ) 可以通过下面计算过程得出。x = a t c 3 磁+ l h m a d a + c t b 一缱c 3 b + 、b t 破一l a 。m + 山尸+ p ( 对瓯砑一对c 3 b ) b 4 耐+ p 卉p t a c 4 b 一a c 3 b ；) b 4 g + r b s + l m 3 z一工 3 m + m z b 4 b + 一工 3 m + l 矿g 母 + w r b 3+ l 3 m + 也p + p w g b + 一p + p w g g + r b s= a c 3 b + l a 4 m a 4 l p ( a + c 4 b 一a c 3 b 、b t b ：+ l 3 t z m 斗+ m z b 4 b + 4 ) + p p t a e 4 b 一a c 3 b j ) b 4 g 斗r b 3一l a 3 m + a 4 l p w g b + + ( w 一尸+ p w g