（基础数学专业论文）l预余拓扑空间中的理想及有限余复盖性质.pdfVIP

l 一预余拓扑空间中的理想及有限余复盖性质 郭连红 摘要： l 一预余拓扑空间以l 一余拓扑空间为特例但又不同于工一余拓扑空间， 其范围更广且具有良好的性质随着三一拓扑学研究的深入展开，三一预余拓扑空 间因其使用范围更广 1 将会扮演越来越重要的角色本文以文【2 】为基础，主要研 究了三一预余拓扑空间中的理想及有限余复盖性质 下面介绍本文的结构和主要内容： 第一章为了方便以后的讨论，本章给出了本文所需要的格论方面的基本概 念和结论 第二章说明了l 一预余拓扑空间是l 一余拓扑空间的推广，介绍了l 一预余 拓扑空间中的理想首先，说明了三一预余拓扑空间一定是三一余拓扑空间，但是 三一余拓扑空间未必是l 一预余拓扑空间其次，引入了远域这个在研究三一预余 拓扑空间时经常使用的工具，并在此基础上给出了附着点和聚点的定义及相关基 本命题最后，定义了工一预余拓扑空间中理想间的强弱关系，讨论了极大理想的 一些性质 第三章研究了工一预余拓扑空间中分子网和理想的收敛性，引入了序同态 作为l 一预余拓扑空间之间的基本映射首先，引入了工一预余拓扑空间中分子网 的收敛性、分子网的聚点和极限点等概念，并研究了它们各自的性质其次，引入 了l 一预余拓扑空间中理想的收敛性、理想的聚点和极限点等概念，并研究了它 们各自的性质第三，研究了l 一预余拓扑空间中分子网收敛和理想收敛之间的 关系最后，引入了序同态作为三一预余拓扑空间之间的基本映射，给出了连续序 同态、开闭序同态的概念以及等价刻划讨论了分子网和理想在序同态下的象的 性质，得到了一些比较有用的结果 第四章研究了三一预余拓扑空间中的有限余复盖性质首先，以素理想为基 本工具给出了三一预余拓扑空间中有限余复盖性质的一些等价刻划其次，研究了 有限余复盖性质的其它性质第三，结合分离性、齐性、上全序等条件研究了l 一 预余拓扑空间中的有限余复盖性质最后，比较了二一预余拓扑空间中的有限余复 盖性质和良紧性，说明二者之间没有必然的蕴涵关系 关键词：l 一预余拓扑空间；完备d em o r g a n 代数；远域；附着点；聚点；收 敛；极限点；理想；极大理想；素理想；分子网；序同态；有限余复盖性质 i d e a la n df i n i t ec o c o v e rp r o p e r t y i nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e s g u o l i a n h o n g a b s t r a c t ：a nl - p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ed i f f e r sf r o ma nl e o t o p o l o g i c a ls p a c e ( t h el a t t e ri sap a r t i c u l a re x a m p l eo fl p r e e o t o p o l o g i c a ls p a c e ) ，a n di t sc o n c e p t i o ni s m o r ee x t e n s i v ea n di ta l s oh a sg o o dn a t u r e w i t ht h ed e e pd e v e l o p i n go fl - t o p o l o g y , l - p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ew i l lp l a yam o r ei m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y b a s e do nr e - f e r r e n c e 【2 ，i d e a la n df i n i t ec o - c o v e rp r o p e r t yi nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ea r em a l l y s t u d i e di nt h i sp a p e r t h ef o l l o w i n ga r et h ec o n s t r u c t i o na n dm a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r ： i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h eb a s i cc o n c e p t sa n dc o n c l u s i o n si nl a t t i c et h e o r yf o rc o n v e - n i e n c eo ft h ef o l l o w i n gd i s c u s s i o n i nc h a p t e r2 ，t h ef a c tt h a tl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ei sag e n e r a l i z a t i o no fl c o t o p - o l o g i c a ls p a c ei ss h o w e da n di d e a li n 工一p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ei ss t u d i e d f i r s t l y , w e s h o wt h a ta nl p r e e o t o p o l o g i c a ls p a c ei sn e c e s s a r i l ya l ll c o t o p o l o g i c a ls p a c e ，w h i l ea n l c o t o p o l o g i c a ls p a c em a y n o tb ea nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e s e c o n d l y ，w ei n t r o d u c e r e m o t en e i g h b o r h o o dm e t h o db a s e do nc l o s e de l e m e n t ，w h i c hi so f t e nu s e dw h e ns t u d y i n g l p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e i nt h ef o l l o w i n g ，w eg i v et h ec o n c e p t so fa c c u m u l a t i o np o i n t ， c l u s t e rp o i n ta n dc o n c e r n i n gb a s i cc o n c l u s i o n si nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e f i n a l l y , w e g i v et h es t r o n g e ra n dw e a k e rr e l a t i o nb e t w e e nt w oi d e a l sa n ds o m ec o n c e r n i n gc o n c l u - s i o n si nl - p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e ，b e s i d e s ，t h ep r o p e r t i e so fm a x i m a li d e a la r es t u d i e d s p e c i a l l y i nc h a p t e r3 ，c o n v e r g e n c ef o rn e ta n di d e a li n 三一p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ei ss t u d i e d a n do r d e rh o m o m o r p h i s mi si n t r o d u c e da sb a s i cm a p p i n gb e t w e e nt w ol - p r e c o t o p o l o g i c a l s p a c e s f i r s t l y ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fc o n v e r g e n c e ，l i m i tp o i n ta n dc l u s t e rp o i n t f o rn e ti nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ea n dd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e s ，r e s p e c t i v e l y s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fc o n v e r g e n c e ，l i m i tp o i n ta n dc l u s t e rp o i n tf o ri d e a li n l p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ea n dd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e s ，r e s p e c t i v e l y t h i r d l y ，w es t u d y t h er e l a t i o nb e t w e e nc o n v e r g e n c ef o rm o l e c u l a rn e ta n di d e a li nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e f i n a l l y ，w ei n t r o d u c eo r d e rh o m o m o r p h i s mb e t w e e nt w ol p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n d g i v et h ec o n c e p t so fc o n t i n u o u so r d e rh o m o m o r p h i s m ，o p e na n dc l o s e do r d e rh o m o m o r - p h i s ma 8w e l la ss o m ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r a t i o n so ft h e s eo r d e rh o m o m o r p h i s m s a l s o t h ei m a g e so fm o l e c u l a rn e ta n di d e a lu n d e ro r d e rh o m o m o r p h i s ma r es t u d i e da n ds o n i c i i u s e f u lr e s u l t sa r eg i v e n i nc h a p t e r4 ，f i n i t ec o - c o v e rp r o p e r t yi nl - p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ei ss t u d i e d f i r s t l y , w eg i v es o m ee q u i v a l e n tc h a x a c t e r a t i o n so f 丘n c o - c o v e rp r o p e r t yb yp r i m ei d e a la sf u n - d a m e n t a lt o o li nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e s e c o n d l y ，w ed i s c u s ss o m eo t h e rp r o p e r t i e s o ff i n i t ec o - c o v e rp r o p e r t y t h i r d l y , w es t u d yf i n i t ec o - c o v e rp r o p e r t yu n d e rs o m ec o n - d i t i o n ss u c ha ss e p a r a t i o np r o p e r t y , h o m o g e n e i t y ，c o t o t a lo r d e ra n ds oo u f i n a l l y , w e c o m p a r ef i n i t ec o - c o v e rp r o p e r t yw i t hn i c ec o m p a c t n e s si nl p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c ea n d s h o wt h a tt h e r ea r en o tn e c e s s a r yi m p l i c a t i o n sb e t w e e nt h e m k e y w o r d s ：l - p r e c o t o p o l o g i c a ls p a c e ；c o m p l e t ed em o r g a na l g e b r a ；r e m o t e n e i g h b o r h o o d ；a c c u m u l a t i o np o i n t ；c l u s t e rp o e t ；l i m i tp o i n t ；c o n v e r g e n c e ；i d e a l ；m a x i m a l i d e a l ；p r i m ei d e a l ；m o l e c u l a rn e t ；o r d e rh o m o m o r p h i s m ；f i n i t ec o - c o v e rp r o p e r t y i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献韵个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意 作者签名：酶型 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利日的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名沙日期：型6 忠 前言 1 9 6 5 年，美国控制论专家l a z a d e h 提出了模糊集的概念从纯数学的 角度来看，模糊集的概念是分明集概念的推广1 9 6 8 年， c l c h a n g 提出了 模糊拓扑1 的概念有了这个模糊拓扑，一系列的基本概念就可以完全仿效点集 拓扑学中的相应概念而得出但是，模糊拓扑学和点集拓扑学还是有重大差异， 比如排中律和择一律在模糊拓扑空间中不再成立基于这种考虑，王国俊教授于 1 9 7 9 年提出了拓扑分子格理论1 ，其中分子、远域、序同态构成了拓扑分子格理论 的三大支柱从此以后，许多学者在肯定这一理论的同时，也提出了如何进一步拓 宽其理论框架的问题王国俊教授于1 9 8 3 年和1 9 8 5 年又分别提出了广义拓扑分 子格理论3 和完全分配格上的点式拓扑理论1 后来的学者如赵东升、杨忠强、 赵彬等教授以及我的导师李生刚教授也一直致力于拓扑分子格理论的研究，并且 取得了丰硕的成果 从拓扑分子格理论的产生背景和发展历程来看，它是数学工作者一步步探索 修正并不断推广而逐渐完善的受此启发，本文研究了工一预余拓扑空间中的理 想和有限余复盖性质( l 一预余拓扑空间是三一余拓扑空间的推广) 下面介绍本文的结构和主要内容： 第一章为了方便以后的讨论，本章给出了本文所需要的格论方面的基本概 念和结论 第二章说明了三一预余拓扑空间是l 一余拓扑空间的推广，介绍了l 一预余 拓扑空间中的理想首先，说明了l 一预余拓扑空间一定是l 一余拓扑空间，但是 l 一余拓扑空间未必是工一预余拓扑空间其次，引入了远域这个在研究三一预余 拓扑空间时经常应用的工具，并在此基础上给出了附着点和聚点的定义及相关基 本命题最后，定义了五一预余拓扑空间中理想间的强弱关系，讨论了极大理想的 一些性质 第三章研究了三一预余拓扑空间中分子网和理想的收敛，并引入了序同态 作为l 一预余拓扑空间之间的基本映射首先，引入了工一预余拓扑空间中分子网 的收敛、分子网的聚点和极限点等概念，并研究了它们各自的性质其次，引入了 三一预余拓扑空间中理想的收敛、理想的聚点和极限点等概念，并研究了它们各自 的性质第三，研究了l 一预余拓扑空间中分子网收敛和理想收敛之间的关系最 后，引入了序同态作为三一预余拓扑空间之间的基本映射，给出了连续序同态、开 闭序同态的概念以及等价刻划讨论了分子网和理想在序同态下的象的性质，得 到了一些比较有用的结果 第四章研究了工一预余拓扑空间中的有限余复盖性质首先，以素理想为基 本工具给出了工一预余拓扑空间中有限余复盖性质的一些等价刻划其次，研究了 有限余复盏陛质的其它性质第三，结合分离性、齐性、上全序等条件研究了工一 预余拓扑空间中的有限余复盖性质最后，比较了l 一预余拓扑空间中的有限余复 盖性质和良紧性，说明二者之间没有必然的蕴涵关系 2 第一章预备知识 本章给出了本文所需要的格论方面的一些基本概念和结论，作为本文的基础 所提及的概念和命题参见文献【8 , 9 ，2 3 定义1 1 设工是集，是工上的二元关系，若茎满足下列三个条件： ( 1 ) 自反性：任取o l ，o o ； ( 2 ) 反对称性：任取a ，b l ，若a b ，b sa ，则a = 6 ； ( 3 ) 传递性：任取a ，b ，c l ，若a 6 ，b c ，则a c ， 则称s 为l 上的偏序，并称( l ，s ) 为偏序集 定义1 2 设工是集，称 为l 上的线性序或全序，如果 满足下列条件： ( 1 ) 如果a b ，则a b 或b ； ( 2 ) 如果a b ，则b o 不能成立； ( 3 ) 如果a b , b c ，则o c 赋以线性序或全序 的集五称为线性序集或全序集，有时记作( 工， ) 定义1 3 设集l 上具有偏序，如果对工的某子集a 的任意两点a ，b 有o b 或b n ，可以规定 6 当且仅当os6 及o b ， 这样得到4 上的线性序( 全序) ，集a 称为偏序集l 的线性序( 全序) 子集，也称 为链 公理1 4 ( z o r n 引理) 如果偏序集l 的每一链都有上界，则l 有极大元 定义1 5 设三是偏序集，如果任取a 扣l ，a vb 与o ab 存在，则称工是一个 格；若三关于任意并和任意交封闭，则称l 是一个完备格 定义1 6 设工是格，a l ( 1 ) a 叫素元，若对l 的任意元z 与y ，当z ay a 时有zsa 或y a ( 2 ) a 叫交既约元，若对三的任意元z 与y ，当za y = n 时有z = o 或y = n ( 3 ) a 叫余素元，若对l 的任意元z 与y ，当asz vy 时有a z 或a y ( 4 ) a 叫并既约元，若对l 的任意元x 与y ，当a = 。vy 时有a = 。或a = y 定义1 7 设l 是完备格，称l 满足分配律，如果任取a ，b ，c l ，a a ( b v c ) = ( n b ) v ( a c ) 或t 2 v ( b ac ) = ( o vb ) a ( a vc ) 命题1 8 设l 是分配格，则 ( 1 ) a 是素元，当且仅当a 是交既约元 3 ( 2 ) a 是余素元，当且仅当a 是并既约元 定义1 9 设x 是非空集，工是完备格，a ：x _ 三( 即l x 中的元素) 被称为 l 一集如果a 仅在x 中一点z 处取值为a ，其它点处取值为0 ，则称a 为工一点， 记为a = z 。 注1 1 0l 一集与工一点之间的关系： ( 1 ) z 。a 当且仅当n a ( g ) z 。ga 当且仅当oga ( z ) ( 2 ) 三是完备格( r e s p 分配格) 时，亦为完备格( r e s p 分配格) ，且 a c a p r ( l ) 当且仅当z 。c o p r ( l x ) ，x ， 其中c o p r ( l ) 是工中非零余素元的全体，c o 纠r ( l x ) 是三x 中非零余素元的全体 定义1 1 1 设l 是完备格，：三_ l 是二到自身的映射，如果 ( 1 ) 7 是对合对应，即v a l ，( 0 7 ) 7 = o ； ( 2 ) 是逆序对应，即n sb 蕴含6 ，n ， 则称7 为l 上的逆序对合对应，或简称为逆合对应 命题1 1 2 设：三一三是完备格三到自身的对合对应，则 ( 1 ) 两条d em o r g a n 对偶律等价 ( 2 ) 映射满足d em o r g a n 对偶律当且仅当它是逆序对应 定义1 1 3 设工是完备格，是l 的非空子集如果j 满足 ( 1 ) a ，b j 哥a v b j ； ( 2 ) b a i 寻b j ； ( 3 ) 1 隹f ， 则称j 是l 的理想 定义1 1 4 设工是完备格，j 是l 的理想，则 ( 1 ) j 是l 的素理想，如果a b j 寻a i 或b ， ( 2 ) j 是l 的极大理想，如果对于l 的任意理想，当j ，时，总有，= i 定义1 1 5 设三是完备格，f 是l 的非空子集，如果f 满足 ( 1 ) a ，b f = a a b f ； ( 2 ) a f a bjb f ； ( 3 ) 0gf ， 则称f 是l 的渗透 定义1 1 6 设如是完备格上的非空子集，如果而满足 4 ( 1 ) a 1 ，a 2 i o 存在a 3 i o 使得a 1va 2 a 3 ； ( 2 ) 1g 而， 则称如是l 的理想基记j = a l 1 存在a o i o 使得a o 舢，则称j 是j l 的一 个理想，称它为由如生成的理想 对偶地，可以定义渗透基和由它生成的渗透的概念： 设f 0 是完备格三的非空子集，如果昂满足 ( 1 ) a 1 ，a 2 f o = 辛存在a 3 f o 使得a l a 2 a 3 ； ( 2 ) 0g f o ， 则称昂是三的渗透基记f = a 三i 存在a oe f o 使得a o a ) ，则称f 是工的 一个渗透，称它为由f 0 生成的渗透 定义1 1 7 设l 是完备格，a l ，b l 如果d ss u p b ，则称b 为。的覆盖； 如果n = s u p b ，则称b 为a 的恰当覆盖又，设b 与c 是l 的任二子集，如果对 任意z b 有y c 使得z y ，则称b 为c 的加细 定义1 1 8 设l 是完备格，l ，b l 如果 ( 1 ) b 为a 的恰当覆盖； ( 2 ) b 加细a 的每个覆盖， 那么，称b 是a 的极小集 注1 1 9 设l 是完备格，a l ，则a 的若干极小集的并仍是a 的极小集，从而 若a 有极小集，则必有一极大极小集，记作卢( n ) 令矿( a ) = 卢( n ) nm ( 三) ，易验证 卢+ ( o ) 是。的极小集，称它为a 的标准极小集 定义1 2 0 设l 是完备格，c o p r ( l ) 是l 的非。余素元之集若对每个。l ， 存在岛c o p r ( l ) 使得z = v 艮，则称l 是闭集格 5 第二章l 一预余拓扑空间及其中的理想 本章讨论了工一预余拓扑空间与三一余拓扑空间之间的关系，说明了三一预余 拓扑空间一定是三一余拓扑空间，但l 一余拓扑空间未必是三一预余拓扑空间由 于本文许多命题都要用理想来刻划，本章第二部分专门介绍了工一预余拓扑空间 中的理想、理想问的强弱关系，特别介绍了极大理想所提及的概念和命题参见文 献【8 1 3 】 2 1l 一预余拓扑空间及其中的一些基本定义 定义2 1 1 设工是完备格，x 是非空集，q l x 如果 ( 1 ) o x ，1 x 口，即可含有三x 的最小元与最大元； ( 2 ) a ，b r l a v b q ，即q 对有限并运算关闭； ( 3 ) v t t ，a t r l = = ha t r l ，即q 对任意交运算关闭， 那么，称目为x 上的三一余拓扑，称( l x ，q ) 为l 一余拓扑空间，称目中的元为闭 集或闭元 定义2 1 2 设l 是完备格，x 是非空集，q l x 如果 ( 1 ) 0 x ，l x q ，即q 含有工x 的最小元与最大元； ( 2 ) t ，a t q aa t 目，即”对任意交运算关闭， 那么，称q 为x 上的工一预余拓扑，称( 工x ，”) 为l 一预余拓扑空间，称q 中的元 为闭集或闭元 注2 1 3 当工是带有逆合对应“”的完备格时，令q = a l aeq ) ，称口中 的元为开集或开元 定义2 1 4 设( l x ，q ) 是工一预余拓扑空间，a l x ，那么 ( 1 ) 包含于a 的一切开集的并叫a 的内部，记作4 。，即a 。= v b q i b a ) ( 2 ) 包含a 的一切闭集的交叫a 的闭包，记作a 一，即a 一= a b q i a b ) ( 3 ) a7 的内部叫a 的外部，记作，即a 8 = a ” 注2 1 5 ( 1 ) 显然a 一q aeq 当且仅当a = a 一 ( 2 ) 由内部及闭包定义易得，对任意a ，b l 。，a 。a a 一；当a b 时， 4 0 b oa 一 b 一 从l 一预余拓扑空间和l = 余拓扑空间的定义可以看出，三一预余拓扑空间一 定是l 一余拓扑空间，但反过来未必成立下面的例子说明了这一点因此，工一 预余拓扑空间是工一余拓扑空间的推广 例2 1 6l = o ，1 ) ，x = o ，b ，c ) ，目= g p ，= ：三毒。c z ，= ( 1 ) o x = a q ，i x = b q ( 2 ) a a b = a a c = a a d = o x 目 b a g = c ( c a d ) ( 。) = a ，b ，c ，_ d ，其中a = 0 x ，b = i x z = b o = n - c ， 叼， z = n z = b ，即c a d = 0 x = a 町， o = c - 可见q 对交关闭 ( 3 ) ( g v 洲= k ：掣 可见目对有限并不关闭 接下来，我们将给出l 一预余拓扑空间中余素元的远域的概念，这个基于闭元 的工具在研究三一预余拓扑空间时要经常用到 定义2 1 7 设( ，q ) 是l 一预余拓扑空间对任意z 。c o p r ( l x ) ，令q ( z 。) = p qz 。甚p ) ，称q ( 。) 为z 。的远域系，其成员叫做。的远域 定义2 1 8 设( l x ，q ) 是三一预余拓扑空间，a l x ，z 。c o p r ( l x ) 。q 做 a 的附着点，若对任意p 口( 。) ，a 芷p 命题2 1 9 设( 工x ，q ) 是l 一预余拓扑空间，a 三x ，c o p r ( l x ) z 。a 一 当且仅当z 。是a 的附着点 证明必要性用反证法若z 。不是a 的附着点，则存在p q ( 。) ，使得 a 墨p 而p 为闭集，a sp 一= p 由z 。墨p 知，口。芷a 一 充分性用反证法若z 。ga 一，则由a 一为闭集知，a 一q ( 。) 又a a 一， 所以z 。不是且的附着点 定义2 1 1 0 设( 萨，q ) 是工一预余拓扑空间，a 工x ，z 。c o p r ( l x ) z 。叫做 a 的聚点，若 ( 1 ) z 。a 一且 ( 2 ) z 。垂a ，或z 。a 且对任意p 7 1 ( x 。) 及z 。卯a ，拍c o p r ( l x ) ，有 a p v g 日 7 d吼吼仉 = j | = = d 0 1 o 人 b l o o h，、l 2 2l 一预余拓扑空间中的理想 如果没有特别说明，本节中格l 均指完备d em o r g a n 代数( 即带有逆合对应 “”的完备格) 定义2 2 1 设( 三x ，q ) 是l 一预余拓扑空间， ，丘是三x 中的理想若 1 2 成立，则称 弱于如，或 粗于如，儿强于 ，或如细于五 设 矗1t t ) 是二x 中的理想族，按上述规定的理想间的强弱关系，确定序 关系为 s1 2 当且仅当 如 命题2 2 2 设( l x ，q ) 是工一预余拓扑空间， ，2 是三x 中的理想，8 l ，鲍是 生成理想 ，如的理想基，则 弱于正当且仅当对任意b 1 8 1 ，有b 2 玩，使 玩2 8 1 证明必要性因b x b l 2 ，1 2 = 似五xf 存在b 2 玩，使b 2 a ) ，故 对应于b l 8 1 ，有b 2 如，使b 2 b 1 充分性若a j 1 ，则有b 1 b 1 ，使b 1 a 由命题条件有b 2 如，使口2 b 1 ， 故玩a ，于是a 厶，故有 厶，即 弱于如 由理想间的强弱关系可知，三x 中理想全体的集合是有序集，且有如下命题： 命题2 2 3 设( 萨，q ) 是三一预余拓扑空间，则工x 中理想全体的集合关于强 弱关系构成归纳的有序集( 即任意全序子集都有上界) ， 证明设弛| t q 是l x 中理想的全序族令，= u 五 ( 1 ) 因为1 xg 五( 亡t ) ，故1 xg i ( 2 ) 设且l ，a 2 i ，则存在t l ，t 2 t ，使a 1 i t 。，a 2 五：因理想五。，i t 。由全序性 是可以比较的，故有j t l ，t 2 ，使厶。，五：与因a 1 ，a 2 巧，故a l v a 2 厶i ( 3 ) 若a i l x ，a 1 a 2 i ，则存在t t ，使a 2 厶，从而由 为理想知， a 1 五i 由作法确定f 是饥1t t ) 的上确界，故工x 中理想全体的集合是归纳的 命题2 2 4 设( l x ，q ) 是工一预余拓扑空间，对于三x 中的任意理想j ，有比j 强的l x 中的极大理想 证明由命题2 2 3 结合z o r n 引理可得 推论22 5 设( ，q ) 是工一预余拓扑空闻，工满足分配律，3 为l x 中的理 想基，则存在包含1 3 的极大理想 8 命题2 2 6 设( l x ，目) 是l 一预余拓扑空间，三满足分配律，是上x 中的极 大理想，- 4 ( 1 i n ) 为三x 中有限个子集若 a ，则a t ，a 2 ，a 。中必有 一个属于j 证明当i = 1 时命题成立 假设命题对于n 一1 ( n 2 ) 成立若天a i j ，但a 1 ，a 2 ，a 。都不属于i ，由 归纳法假设，必有a ：x 1 a g ，观察l x 中的理想 l = 1 j = ( b l xi a a b 目， 易见j ，而a 。g i ，与j 是极大理想矛盾故a l ，a 2 ，厶中必有一个 属于j 推论2 2 7 设( l x , q ) 是l 一预余拓扑空间，l 满足分配律，j 是l x 中的极 大理想，a l x 若且 = 0 x ，则必有a i 或者a i 证明a a a = o x j ，由命题2 2 6 可得 命题2 2 8 设( l x ，们是l 一预余拓扑空间，j 是l x 中的理想，a l x 若 a a = 0 x 时必有a i 或者a i ，则，是工x 中的极大理想 证明由命题2 2 4 知，存在弘中的极大理想，使，若a i ，a a a = o x ， 但a 掣i ，则必有a i 因f ，故a 7 ，此时在，中， 。 a va = ( ) v a = ( a a a ) 7 = ( aa a ) = ( o x ) = 1 x ， 亦即1 x ，这是不可能的故a i 从而i = ，i 是工x 中的极大理想 定义2 2 9 设( 工x ，q ) 是l 一预余拓扑空间，“是五x 的不空集族若“中任 意有限个元素的并不为1 扎则称“具有有限并性质 命题2 2 1 0 设( l x ，q ) 是l 一预余拓扑空间，是l x 中具有有限并性质的 集族，则存在极大理想j 包含着j 证明设皿= j i 是包含着，的具有有限并性质的集族) 因为i 皿，所以 皿0 规定： v 、1 2 皿， 2 当且仅当五丘， 则( 皿，) 成为一偏序集显然皿的每个全序子集都有上界由z o r n 引理，皿中存 在极大元j 下面证明j 是一个理想显然，1 x 掣i 对任意a ，b i ，因，具有有限 井| 生质，a v b 1 x ，集族i ”= 4 v b u i 也具有有限并性质且j ”三f2f 7 ：从而 9 ，皿由于j 是m 的极大元，所以a v b i 设bsa i ，则集族 b u zd f2 ， 且具有有限并性质，从而 目u ，由，的极大性，b ， 命题2 2 1 1 设( l x ，7 7 ) 是三一预余拓扑空间，j 是工x 中的理想，则j 是极大 理想当且仅当每个与j 中各元素并不为1 x 的元是j 中的元素 证明必要性设，是工x 中的极大理想，a 与，中各元素并不为1 x 置 i = p i c a v b ，b f 则j 是一理想事实上，c 曼a vb 1 x ，故c l x ，l x 隹，；若c 1 c j ，则 由研c 茎a v b ，b i 知，n ，；若q ，q ，则c 1 av b l ，岛a vb 2 ， 其中b l ，岛i ，此时qv 岛sav ( b 1v 岛) ，b lv 岛j ，故av 岛，对任 意b i ，有bsa v b ，从而b ，i ，由于j 是极大理想，故，= i 又 a a v b ，b i ，从而a ，亦即a i 充分性设j 是工x 中的理想且满足命题中的条件，是包含着j 的任一理 想，则，三，下面证明，j 设a ，对任意b ，a v b ，又1 x 岳， 从而a vb 1 x 由命题条件知a i ，则，f 因此i = i ，从而j 为极大理想 1 0 第三章用理想刻划l 一预余拓扑空间中的聚点和连续映射 拓扑与收敛的本质是等价的，可以用收敛定义拓扑空间，也可以在拓扑空间 中定义收敛所以讨论三一预余拓扑空间中的收敛很有意义这一理论有广泛的应 用，特别是针对紧空间的研究，因此本文第四章就介绍工一预余拓扑空间中的有限 余复盖性质所提及的概念和命题参见文献 8 】及【1 4 2 0 】- 3 1l 一预余拓扑空间中分子网的收敛理论 分子网是研究l 一预余拓扑空间中的收敛的最有力的工具在本节的工作中， 我们引入了分子网的聚点和极限点的概念，建立了l 一预余拓扑空间中分子网的 收敛理论 定义3 1 1 设d 是非空集，是d 上的二元关系，若 ( 1 ) 冬是反身的，即对任意d n 叫 ( 2 ) s 是传递的，即若m n ，n k ，则m sk ，这里m ，n ，k d ； ( 3 ) 曼是定向的，即对d 中任意两个元m ，n ，存在第三个元k 使m sk ，n k ， 那么称d 为定向集 定义3 1 1 2 设d 是定向集，x 是非空集，则称映射s ：d _ x 为x 中 的网特别地，设l 是完备格，c o w ( l x ) 是萨中非零余素元之集，则称映射 s ：d _ c o p r ( l x ) 为工x 中的分子网，记作s = ( s ( n ) ined ) 若对任意 n d ，s ( n ) a ，则称s 为a 中的分子网 定义3 1 3 设( l x ，q ) 是三一预余拓扑空间，s = s ( n ) lne d 和t = 归( m ) l m 日是l x 中的两个分子网，如果存在映射n ：e 一+ d 使得 ( 1 ) t = s 。； ( 2 ) 对任意竹o d ，存在m o e ，当m m 0 ，m e 时，( m ) n o ， 则称t 为s 的子网 定义3 1 4 设s ：d _ x 是网，p 是针对x 中的点而言的某个性质，如果存 在n o d 使得当n d 且n n o 时s ( n ) 具有性质p ，则称网s 最终具有性质p ； 如果对任意n o d ，存在n d ，n n o 使得s ( n ) 具有性质p ，则称网s 经常具有 性质p 定义3 15 设( l x ，”) 是工一预余拓扑空间，z 。c o w ( l x ) ，s = s ( n ) ln d ) 是l x 中的分子网，那么 1 1 ( 1 ) 如果对任意p q ( 口。) ，s 最终不在p 中， 收敛于。，记作s _ z 。 ( 2 ) 如果对任意p q ( z 。) ，s 经常不在p 中， 于z 。，记作s o o z 。 则称茹。为s 的极限点，或称s 则称茁。为s 的聚点，或称s 聚 s 的一切极限点之并记作l i r as ，s 的一切聚点之并记作a d s 命题3 1 6 设( 工x ，”) 是三一预余拓扑空间，z 。c o p r ( l x ) ，s = 侈( n ) in d l 是l x 中的分子网，那么 ( 1 ) 如果s 有子网t ，t _ + z 。，则s o o z 。 ( 2 ) 如果s o o x 。，且q ( 。) 为定向集，则s 有子网t ，t _ z 。 证明( 1 ) 设t = t ( m ) lm 日是s 的子网且t z 。，p q ( 。) ，7 t 0 d 由 子网的定义知有映射n ：e 叶d 以及m o e ，当m e 且m m o 时，n ( m ) d 且n ( m ) n o 又由t 斗。知有m l e 使得当m e 且m m 1 时，t ( m ) 基p 因为e 是定向集，有r i 2 2 e 使得m 2 d 0 且m 22m l ，这时t ( r n 2 ) 名p 且 n ( r n 2 ) n o 令n = n ( m 2 ) ，则s ( n ) = s ( n ( m 2 ) ) = t ( m 2 ) 盛p ，且n n 0 这就证明 了s 经常不在p 中因此s o o x 。 ( 2 ) 如果s o o x 。，则对任意p q ( 。) ，n d ，存在k d 且k 吼使得s ( k ) g p 固定一个这样的k ，并把它记为七= ( ( n ，p ) ) ，则得一映射 n ：d q ( o n ) _ d 且s ( ( n ，p ) ) p 以e 记上述之d ”( 譬。) ，在e 中规定 ( n l ，p 1 ) 2 ( t t 2 ，p 2 ) 当且仅当n l r t 2 且p 1 p 2 ， 则由d 为定向集，目( 。) 亦为定向集知e 构成定向集对任意( n ，p ) e ，令 t ( ( n ，p ) ) = s ( n ( n ，p ) ) ，则得一分子网t = t ( ( n ，p ) ) i ( n ，p ) e ) 不难验证t 是s 的子网，并且对任意q q ( 。) ，取( k ，q ) e ，这里k 是d 中任一元，则当 ( n ，p ) ( 自，q ) 时，由t ( ，p ) ) = s ( ( n ，p ) ) gp 以及q p 得t ( 扣，p ) ) 基q 这 就证明了t 最终不在q 中，从而t z 。 命题3 1 ，7 设( 五x ，目) 是工一预余拓扑空间，s 是三x 中的分子网，z 。 c o p r ( l 。) ，那么 ( 1 ) z 。5l i m s 当且仅当s - z 。