（基础数学专业论文）二阶hamilton系统与二阶常微分方程同宿轨道的存在性.pdf

致谢 向导师吴绍平教授致以真诚的感谢l 多年来，导师在学 业上给予我极大的关心、鼓励和帮助，本文是在她精心指导 下完成的。 杨海涛博士后给了我许多帮助，在此表示感谢。 浙江大学 博 士 论文 摘要 本文运用变分方法和拓扑度方法讨论两类二阶h a m i l t o n 系统同宿轨道的存 在性和两类二阶常微分方程正同宿轨道的存在性。它由两章组成。 第章借助予h a m i l t o n 系统的拉格朗日泛函在特定流形上的极小化序列引 入一个新条件( 参看p 1 3 和p 2 2 ) ，从而研究h a m i l t o n 系统同宿轨道的存在性。 ( 一) 超二次渐近周期h a m i l t o n 系统 一i + l ( t ) u = ( 1 + g ( ，) ) k ( ，“) ，( h s ) 其中上c ( r ，r ”xr ”) 关于r 是周期的，n l ；v c 2 ( r r n ，月) 关于，是周期的， 关于“是超二次的；g c 1 ( 月，r ) 满足：g ( t ) 叶0o 斗+ c o ) 。由集中紧性方法、 e k e l a n d 变分原理和比较方法推得，系统( 蝴) 存在一条非平凡同宿轨道，即系统 ( i - i s ) 满足l “( ，) 一0 。u ( t ) 一0 ( ，r ) 的非零解 ( 二) 在r2 中考虑渐近周期奇异h n m i l t o n 系统 西+ ( 1 + ( r ) ) 岷0 ，) = 0 ，( h s s ) 其中c2 ( r ( 尺2 偕) ) ，r ) 在亭处具有强奇性，且关于f 是周期的；h c2 ( r ，月) 满足：舟( ，) 斗0 ( ，斗) 。将集中紧性方法、比较方法与b r o u w e r 拓扑度相结合， 证明系统( k i s s ) 具有两条非平凡同宿的轨道。 第二章( 一) 考虑超线性渐近周期常微分方程 一“”+ a ( x ) u = p ( x ) u 9 + y ( x ) u ”。 x r ， 其中1 g p 。假设系数函数g ，芦y 是渐近| i 怒期的，而且搬r ，有 0 ( d f x l，一m 3 ( x ) m，0 y ( x ) 利用极小极大方法和e k e l a n d 变分原理可得，该方程存在一条正同宿轨道，即方 浙江人学博 二l论文 程满足：k ( r ) 卜 陋7 ( 工) f 叶0 0 _ 。) 的正解 ( 二) 考虑超线性项加次线性项周期常微分方程 一“+ a ( x ) “= ( 工) “4 + y ( ) “” ，x r ， 其中0 q 1 p ，系数函数a 。，y 是周期函数。若系数函数口，y 满足 条件 0 ( a ( x ) ，p ( x ) o - 0 r ( x ) ，v x r ， 则应用山路定理和变分逼近方法证明，该方程具有一条正同宿轨道。 浙江人学博 士论文 a b s t r a c t t h i s p a p e ri s d e v o t e dt ot h e s t u d y o fh o m o c l i n i co r b i t so fb o t h h a m i l t o n i a ns y s t e m sa n do r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i tc o n s i s t so f t w o c h a p t e r s i n c h a p t e r 1w ef i r s tc o n s i d e rt h e a s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i c h a m i l t o n i a ns y s t e mp o s s e s s i n gs u p e r q u a d r a t i cp o t e n t i a l s 一+ l ( t ) u = ( 1 + g ( t ) ) v o ( f ，“) w h e r e l c ( r ，r ”r n ) ，v c2 ( r x r ”，只) ，n 1 a n d g c ( r ，晨) a s s u m i n g t h a t la n dv a r ep e r i o d i ci n ，a n dt h a t g ( t ) 斗0 ( f 一。) ，w ep r o v et h e e x i s t e n c eo fan o n t r i v i a lh o m o c l i n i co r b i to f ( h s ) t h i sh o m o c l i n i ci s o b t a i n e db yu s i n gt h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sm e t h o da n de k e l a n d s v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e n e x tw es t u d yt h ea s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i cs i n g u l a r h a m i l t o n i a ns y s t e mi n r 2 i i + ( 1 + a ( f ) ) 帆( ，“) = 0 ， ( h s s ) w h e r ew c2 ( r ( r 2 孝) ) ，r ) ，h c 2 ( r ，r ) a n da 0 ) 一0 ( ，_ + 。) w h e n wh a st h es t r o n gf o r c es i n g u l a r i t ya t 4 ：a n d i s p e r i o d i ci n t ，w ec a ns h o w t h a tt h e r ee x i s tt w on o n t r i v i a lh o m o c l i n i c o r b i t so f ( h s s ) t h ep r o o f o f t h e e x i s t e n c er e l i e so n t h et o p o l o g i c a ld e g r e ea n d t h e c o m p a r i s o n m e t h o d i n c h a p t e r 2w ed e a lw i t h p o s i t i v e h o m o c l i n i co r b i t so ft h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 4 浙江大学博七论义 一i i ”+ a ( x ) u = f l ( x ) u ”+ r ( x ) u x r ( o d e ) w e p r e s e n t t w oe x i s t e n c er e s u l t s i nt h ef i r s t o n e ，a s s u m i n g t h a t l q p ，口扛) ，p ( x ) a n d y ( x ) a r ea s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i ca n d 垤r 0 a ( x ) ， 一m p ( x ) m，0 ( r ( x ) b ym e a n s o ft h em i n m a xm e t h o da n de k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w e p r o v et h a tt h e r ei s ap o s i t i v eh o m o c l i n i co r b i to f ( o d e ) i no u rs e c o n d r e s u l t ，w es u p p o s e t h a t0 9 1 p ， 口( x ) ，声( 工) a n dy ( 石) a r ep e r i o d i c f u n c t i o n s a s s u m i n gm o r e o v e r t h a t 0 a ( x ) ，f l ( x ) 0 ； 1 ( v 4 ) v t r ，v u r ” 0 ，v s r + ，二( s u ) u 是j 的严格增加函数； j ( v 5 ) g c f r ，r ) ，l i m g ( t ) = 0 ，且v ，r ，1 + g ( f ) 0 。 容易验证；若v ( t ，) = ( 2 + s i n t ) l u i ”1 。则条件m h v 4 ) 成立。对于h a m i l t o n 系 统( n s ) ，我们得到如下结果： 定理a ：若系统( h s ) 满足条件( 、，1 h v 5 ) ，而且v t r ，g ( t ) 0 ，g 0 ， 则系统( h s ) 存在一条非平凡同宿轨道。 定理a 将r a b i n o w i t zp 【5 】5 关于二阶周期h a m i l t o n 系统的结果推广到二阶 渐近周期h a m i l t o n 系统另外，在文1 6 】中，r a b i n o w i t z t a n a k a 讨论的系统其左 端三( ，) 是渐近周期的，而右端不舍有函数1 + g ( f ) 在文【1 0 】中，a l e s s i o - c a l d i r o l i m o n t e c c h i a r i 讨论的是d u f f i n g 方程( = 1 ) - 而且证明方法与我们的方法也不相 同： i j i江大学 博 士 论文 还要说明的是，c a r r i a o - m i y a g a k i1 1 2 】( 1 9 9 9 ) 乖j 用l i o n s 集中紧往方法研究 t - 阶渐近自治h a m i l t o n 系统的同宿轨道。他们所用的方法不适用于二阶渐近周 期h a m i l t o n 系统。 第二类是奇异h a m i l t o n 系统； + ( 1 + h ( t ) ) w o ( ，“) = 0 ( h s s ) 其中w ，h 满足条件； ( w 1 ) 存在孝r2 0 ) ，使得w c2 ( 尺( r2 善) ) ，r ) ，r w ( t ，x ) 关于，是i 一 周期的； w 2 ) v t e 【0 , 1 ，( f ，o ) = 0 ，当z o 时w ( t ，工) 2 ) 中二阶周期奇异h a m i l t o n 系统存在一条非 平凡同宿轨道。 2超二次h a m i l t o n 系统情形 在本节中，我们总假设系统( 傩) 满足条件( v 1 ) 一( v 5 ) 我们先给出一些 相关结果，然后证明定理a 。 设e = w “2 ( r ，r ”) ，n 1 。v “，v e ，规定 ( 9 7 v ) = f ( 洲+ 三( ，) ) a t ，i l u l l = 厕 则i | 与e 的通常范数等价定义泛函，。；e r 如下；v u r ，有 坳) = 扣卜i ( 1 + 酏) ) 呻，“) 西， u 炉抓1 2 一1 w ，啪 由文【1 7 】可知，。c 。( e ，月) ；泛函的临界点就是系统( 乒巧) 的同宿轨道 设 函是e 中序列。若 ，( “。) 有界，( “t ) 一0 ( 女斗m ) ，则称缸t 是泛 函，i r ( p s ) 序列；若l ( u 。) _ d ，( “。) 寸0 ( 七_ m ) ，则称 吨) 是泛函，的( 船) 。 序列。参看文【1 7 】 令 西= 扛e 职“) “= o ，“o ，c = i n m f l - 中。= “ 圮( “m 2 0 ，“o ) ，吒2 噼o * ， k 。= “e 疋( “) = o ) ，k 。如。) 2 k 。n ，* 2 c m o 浙江火学恻 一。 论文 由条件( v 1 ) 一( v 5 ) 可知对任何“e 0 ) ，s r + ，f ( s ) = l ( s u ) 是s 的上凸 函数而罢厂( j ) = 兀j “) “，故射线 叫s r + ) 与流形m 仅相交一次定义 丑( “) = j ，s r + ，s u o ，n ) = 4 ( u ) u ，e 口n ( “) 中。于是，五( “) ，n ( “) 关 于“都是连续的( 参看文1 1 8 ，命题3 6 1 ) 。同样，对于流形o 。，可定义丸( “) - s ， s r + ，s u 中。，n 。( “) = 。( “) “。由文f 1 8 ，命题3 1 1 和评注3 1 6 1 知，c 。c 。 分别是，和，。在e 上的极小极大值，且c 0 ，c 。 0 。再由文【5 】及文【1 9 定理2 1 3 和定理2 1 4 知，k 。( c 。) 。 受文【2 0 。2 1 】的启发我们给出一个集中紧性引理。它不是由积分而是由上 下极限确定的。定理a 的证明思想来源于这个引理 引理1 ：设 乙是( ，| h f ) 中有界序列，则 ) 必有子列 “。) 己，使得下列 情形之一成立： ( 1 。) 紧性：存在有界数列也) c r ，使得。l i m 。i n f 。”。( ) l 0 ； ( 2 0 ) 消失：! 受s u p l “。( f ) 1 = o 。a e ，r ； i ( 3 。) 非衰减：存在数列n ) c r ，! 受= m - 使得；l + i m 。i n f l u , ( ，。) l o 证明：由于 是( e ，* i i ) 中有界序列，故恤。) 必有弱收敛子列 ) ：，设 “。) 弱收敛于“。e 。 若0 ，因为“。_ ( 上嚣( 尼r ”) ) ，所以情形( 1 。) 发生 若“。= 0 ( i ) 当“。寸o ( r ( 月，r ”) 时，则情形( 2 0 ) 发生l ( i i ) 当f h 。 关 于r ( 矗，r “) 不趋于零时，因为。一0 ( l t 。( n ，r ”) ) 所以，情形( 3 0 ) 必发生。 引理2 ；若a 0 ，则中n ( “e i ，( “) s 彳) 是e 中的有界集。 证明；设”中n “e 1 ，( “) s 爿) ，刚 2 一【( 1 + g ( ，) ) _ ( 埘) “d t = 0 ， 扪1 2 一f ( 1 + 苫( ，) ) 呻，“) d t 0 ，使得川s ，时- 有 懒肛尝。 假设“。且f l u l l r 。、) r ，则 o = 2 一l ( 1 + 占( f ) ) 圪( r ，“d t l i “1 2 一丢【l “i2 出三l 卜0 2 。 矛盾! 因此，r 一) r 引理4 t 若 函是泛函，的( 船) 。序列且o d 0 ( + ) 证明：必要性显然成立，下证充分性。 设恤。 二是，在中上的极小化序列且满足条件( ) 。令 i = y 芒c ( o ，1 ，e ) 陟( o ) = o ，( y ( 1 ) ) o o ) ， i 陋一订( - + q 。r ) 8 叶0 ( 七- ) 。 进而， 1 “。( t k ) 玎( + g t r ) 1 斗0 ( 女叶。) 。 但是! 翌玎( “+ 吼) = 0 ，故。是数列啦t ( ，t ) 0 ，的聚点这与条件( 。) 矛盾l 因此， c 是，的临界值 评注l ：条件( ) 是我们引入的一个新条件满足条件( ) 的极小化序列 蜥) ： 可i 蓖过变分逼近方法得到。d i n g - n i 【1 9 l 和r a b i n o w i t zp 1 5 1 5 应用的是有界区域 或有界区间逼近方法，而c h e n t z e n g 【2 4 】所用的是无界区间逼近方法 评注2 ：从定理1 的证明看出：泛函，在流形中上的极小化序歹i ) 函满足 条件( * ) 的充分必要条件是 是相对紧的。参看文1 1 1 1 推论2 4 下面的定理2 是l i o n s 的结果在二阶超二次渐近周期h a m i l t o n 系统的推广 ( 参看文1 2 0 ，2 5 】) 定理2 。若c c 。，则系统( 册) 存在一条非平凡同宿轨道l 而c c 。的充分 必要条件是泛函，在流形。上的所有极小化序列都是相对紧的。 证明若c c 。，则存在序列 w k ) e ，使得，( ) _ c c 2 则c 2 c 。由定理2 知，c 2 是，2 的临界值；若 q = c ：则 n ：( h t ) 是，：在o ：上的极小化序列由评注2 得，恤。) 是相对紧的 因而， n 。( ) ) 也是相对紧的， i l l n ：( ) 满足条件( * ) 因此，再由定理1 得， c ：是，：的临界值 匮垂至硇：取昌( ，) 三0 ，9 2 ( ，) = g ( ，) ，v t r 。则由定理4 知，系g a ( h s ) 存在一条非平凡同宿轨道 定理5 ：设系统( 1 4 5 ) ，( h s ) 。，( m = 1 , 2 ，) 满足条件( v 1 ) 一( v 5 ) 。且当m 斗c 。 时，g 。寸g ( r ( 尼r ) ) ，则。斗，c 。_ c 寸) 证明lv u e ，有 。( ) 2 坳) 一i ( g m ( r ) 一g ( t ) ) v ( t , u ) d t - i ，。( “) 一，( “) j g 。一9 0 r ( e 。) l y o ，“) d r 于是，。( “) 一，( “) _ ) 由于0 g 气= 1 , 2 ，) ，故 c 。) 是有界数列进而， c 。) 的下极限和上 极限都存在令巳= 熙i n f c c + 2 腮s u p c 。下面应用反证法证明q 2 c + 2c ， 从而有c 。一c ( m 斗) ( 1 ) 假设c 。 l l 嫦i i f 。( 1 + g k 拶瓴一吉哪张) 破 ( 吉劫w i i 于是， 是有界序列类似予引理3 的证明可知 虬) 具有正下界。而 n ( u 。) = 蚝o ( 铱 o ) ，故当 吼) 有子列满足吼l 时， n ( u 。) ) 存在有界子 列若吼 1 则由条件( v 3 ) 得 硎w = ( 1 + g ( f ) ) 圪( f ，吼虬) 心d t 2 p l ( 1 + g ( f ) ) 矿，a k u k ) d t _ p t z k p i ( t + g ( t ) ) v ( t ，) d r 假设! 骢【( 1 + g ( f ) ) 矿( f ，“t ) d r = 0 ，则由条件( v s ) 得 l 鳃【矿( 枷。) 以= 0 因为 l k ( “i ) = ，( “。) 一【( g 。( f ) 一g o ) ) 矿o ，。) d r 所以，i ( u 女) 专c 。( 女斗) 而v v c ；( r ，r “) ，= 1 ，有 e ( “。) v = ，( ”。) v 一( g 。( ，) 一g ( f ) ) 圪( ，h 。) v d t 故，( ) 一0 ( 叶。) 于是， 吨 是，的( 船) 。序列- 进而，由引理4 知- 或c 。是 ，的临界值，进而，f f ，矛盾l 或 ”。( 一g t d ) 是相对紧的，其中k l 斗。 从而，由l 鳃y ( t , u d d t = o 耨矛盾因此，i n fi ( 1 + g ( ，) ) ( t , u t ) d t o 这样， 浙江大学 博 士 论史 a k p - 2 与( ( 1 + g ( f ) ) 呻，酊忱n 即 吼 有界。于是， n ( “。) 有界。 由于 o c 。 于是，由定理2 知，c 是川| g 临界值记唧= c 。，。= ，。，n 。= n 。，则有， 在中上的极小点”，使得 ( “) ，( n 。( “) ) = ( n ) ) 一豇g ( f ) 一g 。( f ) ) y ( f ，n 。) ) 西 c 。 g - g 。h 耻) i 。v ( t ，n 。( ”) ) 础。 若 f y ( f ，n t ( “) ) 出) 存在有界子列，则c c + ，矛盾l 为此，我们需要证明 l y ( ，n t ( “) ) 螂存在有界子列与情形( 1 ) 类似，只要证明， ( i ) n 。( “) 存在有界子列l ( i i ) i n f ( 1 + 乳( f ) ) y ( ，“) a t 0 进而， o q l ( n ( 酣) ) = i n n ) 1 2 一( 1 + g ( f ) ) y ( f ，n 。( “) ) 西， 故有 i ( 1 + g 。( f ) ) ，( f ，n 。( “) ) t i t 三f i n 。( w ) 8 2 。 于是，由条件( v 5 ) 得， l ，( r ，n - ( “) ) 曲) 存在有界子列矛盾i 最后，综合( 1 ) 和( 2 ) 两种情形可得，一l i m 。c “= c 推论；设系统( h s ) ，( 船) 。= l ，2 ，) 满足定理5 的条件，孑是泛函。在 浙江大学博士论文 流形中。，上的极小点，且存在有界数列) c r ，使得牌i n f u 。，( ，) l ，0 ，则c 是 泛函，的临界值 证明：若c 0 ，且占充分小，有c ，。( “) + 从而，f c 。+ 。 因此，c 茎c 。 引理2 ：若吖 0 则f n “e l l ( u ) m 是e 中的有界集。 此弓f 理的证明参看文1 8 ，命题3 1 2 1 。 引理3 ic 0 且泛函在f 中的极小点必是，的临界点。 证明；用反证法假设c = 0 ，划存在序列扭。 c f ，使得l i m ， 。) = c = 0 ， 即 熙( 告k 。1 2 加一i ( 1 + ( f ) ) 矽( f ，“。o ) ) 础) = o 由条件( w 2 ) 和( w 5 ) ，得 1 ，l i m 。1 2 研= l i r a 。w ( t , u , ( ，) ) 斫= o 于是，c 。= 0 这与文【8 ，命题3 1 0 l 矛盾l 因此，c o 此引理第二部分可由导数定义直接推得 引理4 l 若 。 ：。是泛函，的( 尸s ) d 序列，d 0 ，则有自然数，z ，( d ) ，数列 g ：) ：；匕z ( 1 - 0 。 ( i ) 若d e g ( v 。) 0 ，则v 。r 。于是，( v 0 ) c 。由于l 是非负泛函， l ( v o ) = f ，阮- v o l j 叶o ( m 寸* ) 从而，c 在r 中可达到。 ( i i ) 老：d e g ( v o ) 0 ，则必有某个f 0 ，使得d e g ( v 。) 0 不妨设f 0 = 1 于 是，v l f ，。( v 1 ) c 。c 。进而，l ( v o ) = 0 ，。( v ，) = o ( i = 2 ，) 令万= v ， 则引理得证 利用上面6 个引理，我们先证明几个定理，它们是证明定理b 的基础。但是， 它们本身也是很重要的 定理1 ：c 在r 中可达到的充分必要条件是存在泛函，在r 中的极小化序列 “。) 和有界数列 c r 。使得 l i r ai n f l u 。( ，。) 0 。 芷明：必要性显然成立。下证充分性 因为 “。) 是，在r 中的极小化序列，所以存在m o ，使得m i n f i ( “) ， ， ( “。) - 0 ，使得v ，r ，k ( ，) 一纠 c o ( m ) ，( f ) 一剖 c o ( m ) 。 y 1 夭t v t r - i b t n , ( 1 ) - - 1 2 0 ( f ) i - + o ( m 斗c o ) ，d e g ( u 。) 0 ，i 孜d e g ( u 。) 0 ，即“。r 。 于是，“。l 。对泛函，在l 上应用e k e l a n d 变分原理( 参看文1 2 3 1 中定理4 2 和推论4 1 的证明) 得，存在，的( p s ) 。序列 v 。， c l ，使得帆一v 。，f f 斗0 ( m 一。) 。 接下来用反证法。假设c 在r 中不可达到则由引理6 得，存在数列 目。) cz ， k l 斗o 。( m o o ) g t i - ( k 。 o ) n r ，使得 帆( - - q 。，) 一矿0 斗0 寸。) ， f f v 。一f ( + g 。) f f 0 ( 埘寸m ) 进而， i l “。一矿( + g 。，) 0 ，0 ( ，”叶。) 。 由嵌入定理知， 卜。( ，。) 订0 。+ 9 。) l 0 ( 坍斗。) 而熙v ( t 。+ “) = 0 ，故1 i m i u , ( f 。) i = 0 。这与条件( “) 矛盾i 因此，c 在r 中 可达到 评注1 t 从引理6 和定理1 的证明可以看出：，在i 上的极小化序列 ) 满 足条件( * ) 的充要条件是姐。) 是相对紧的 评注2 ：设s 是以亭为顶点且不舍有原点的闭锥。若存在在r 上的极小化序 列( “。) 和有界数列( ，。) ，使得“。以) s ，则扛。 满足条件( + ) 特别地，可取 s = o 学l o 1 ，0 r 此时，由评注1 知文【8 ，定理l 7 1 中的弱收敛序列实际上 是强收敛的 定理2 l 若c c 。，则c 在r 中可达到。而c c 。的充分必要条件是，在r 中 的所有极小化序列都是相对紧的。 证明。由引理6 和定理1 的证明可知，当c c 。时，c 在r 中可达到下证定 浙江大学博 士 论空 理的第二部分 充分性：用反证法，假设c = c 。由文i s ，命题3 1 0 】，可设“是。在r 中的 极小点，则v ( g 。，) 亡z q 。j m ( m _ m ) ，有 c ，( “( g 。) ) = 。( “) 一i + h ( t ) w ( t , u ( ，一9 。) ) 加 2 气一j “( h g 。) 舻( f ，u ( t ) ) d t 而 怒_ 【 ( h 如) ( f ，“( f ) ) 出= 0 故 “( 一q 。) 是，在f 中的极小化序列。进而，它是相对紧的。矛盾i 因此，c c 。 必要性：设姐。) 是，在r 中的极小化序列，即 照砌m ) 2 c c 气 由定理1 及此定理的第一部分知， ) 满足条件( + 。) 再由评注2 得， ) 是 相对紧的 评注3 ：定理2 是l i o n s 的结果( 参看文 2 0 】) 在二阶奇异h a m l i t o n 系统的 推广 现将系统( h s s ) 中的砸) 分别换成h 。( f ) 和h 2 ( ，) 得到系统( h s s ) ，和( s s s ) ： 同样可以定义泛函，和下确界c ( i = 1 , 2 ) 。对此，我们有 定理3 ：设( h s s ) ，( f = 12 ) 满足条件( w 1 ) 一( w 5 ) g h l ( f ) s 2 ( ，) ，v t r 若c ：在f 中可达到，则c 在r 中也可达到。 证明l 设“f ，则 c t f ( “) = 厶( “) 一f ( ：( t ) - h 2 ( j ) ) 纾( f ，甜( ，) ) 西1 2 ( “) 。 于是，f ls c 2 - ( i ) 若c ， c 2 ，则c 。 0 ， 柏( x ) 0 ，v x 0 。1 9 9 9 年，g r o s s i n h o m i n h o s t e r s i a n 【3 3 】仍用变分逼近方 法研究了二阶常徽分方程 “”一a ( x ) u + 卢( x ) “2 + r ( x ) u 3 = 0 ，x r 的正同宿轨道的存在性，其中a ( x ) ，p ( x ) ，r ( x ) 是周期函数，且v x r ， 0 口a ( x ) ，0 b 卢( x ) b 0 c r ( x ) c 由于系数函数周期性条件的出现，文 3 3 1 中的方程与文 3 0 1 有所不同。在文1 3 3 1 h b ， 条件b 2 一b 2 4 a c 在证明方程的解非零时起着关键作用。 这一章的主要目的是推广和改善文 3 3 1 的结果具体来说就是考虑二阶常微 分方程 一“”+ a ( x ) u = ( x ) “。+ y ( 砷“x r ( o d e ) 浙江大学博 士 论文 正同宿轨道的存在性。我们分两种情形讨论。第种情形为：1 q p ，系数函 数口( x ) ，( x ) ，y ( x ) 均是渐近周期函数，即方程( o d e ) 是超线性渐近周期微分 方程。利用极小极大方法及e k e l a n d 变分原理证明方程( o d e ) 具有一条正同宿 轨道。我们的结果没有条件b 2 一b 2 4 a c 。第二种情