（基础数学专业论文）相关toda链方程的达布变换.pdf

相关t o d a 链方程的达布变换 摘娶：本文利带规范变换，找出了与相关n d a 链对应的离散谱 问题的一个达布变换，进而给出了相关t o d a 链湿式解的一种代数算 法。作为达布变换的应用，获得了棚关j i b 如链方程糍黥两组微分差 分方程熬显式解 关键调：迭布交换，离散谱阂题，t o d a 链，规范交挨 d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft h e 翼意l a t i v i s t i c 弱d al a t t i c e s a b s t r a c t ：ad a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft h ed i s c r e t es p e c - t r a t p r o b l e m a s s o c i a t e dw i t ht h er e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e si sf o u n d w i t ht h eh e l po fg a u g e t r a n s f o r m a t i o n ，f u r t h e r ，a k i n do f a l g e b r a i c a l g o r i t h m t oo b t a i n e x p l i c i t s o l u t i o n sf o rt h e , r e l a t i v i s t i ct o d a l a t - r i c e si sg i v e n 。a sa na p p l i c a t i o n ，e x p l i c i ts o l u t i o n sf o rt h ef i r s t t w o s y s t e m s o fd i f f e r e n t i m - d i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt h eh i e r a r c h yo f r e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e sa r eg i v e n 。 k e y w o r d s ：d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，d i s c r e t es p e c t r a lp r o b - l e m ，t o d al a t t i c e s ，g a u g et r a n s f o r m a t i o n d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft h er e l a t i v i s t i c 髓d al a t t i c e s 1i n t r o d u c t i o n a si 8w e l tk n o w n ，s o l v i n gs o l i t o ne q u a t i o n si sc o m p l i c a t e da n d d i f f i c u l t 。 s e r e r a l8 y s t e m a t i cm e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e dt oo b t a i ne x p l i c i t s o l u - t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n ss u c ha st h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ，t h e b 螽c k l 疆歉dt r a n s f o r m a t i o n ，t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，t h ep o l a re x p a n s i o n m e t h o da n do t h e r s i n1 8 8 2 ，d a r b o u xf 1 】s t u d i e das c h r 6 d i n g e rs p e c t r a lp r o b l e m 蟊。一嚣固番= = a 1 , 1 ) w h e r eu ( x ) i sag i v e np o t e n t i a lf u n c t i o na n t iai sas p e c t r a lp a r a m e t e r d a r b o u xf o u n dt h ef o l l o w i n gf a c t s ：s u p p o s et h a t 艇f 嚣) a n d 簪 鬈 矗) s a t i s f y e q u a t i o n ( 1 1 ) ，a n d ( x ) = 眵( 茹，a 0 ) i sa s o l u t i o no ff 1 1 ) f o ra a o t h e n f u n c t i o n s 珏，拶d e f i n e db y 矗+ 2 ( i n d = ， f l 翻 毋茁，a ) = = 氐( 茹，a ) 一事眵( 嚣，a ) l s a t i s f yt h es c h r s d i n g e re q u a t i o n ( 1 1 ) a sw e l l ，t h a ti s 屯一= a 函( 1 e q u a t i o n ( 1 2 ) i sc a l l e d ad a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft h es c h r 6 d i n g e rs p e c t r a lp r o b l e m ( 1 。1 ) i nt h e1 9 6 0 s ，i tw a sf o u n d 2 】t h a tt h ek d ve q u a t i o nh a di n t i m a t e r e l a t i o nw i t ht h es c h r s d i n g e rs p e c t r a lp r o b l e m t h ek d ve q u a t i o n 豫+ 6 链铝$ + 珏。= 0( 1 4 ) i st h ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o no fal i n e a rs y s t e m ( c a l l e dt h el a xp a i rf o r k d v e q u a t i o n ) a b o u t 妒 一一钍= 槭 ( 1 5 ) 晚一一4 垂# 。一6 珏3 髓# 毋 t h r o u g h f u r t h e rr e s e a r c h ，i tw a sf o u n dt h a t ( 7 ，们d e t e r m i n e db yt h ed a r - b o u xt r a n s f o r m a t i o n ( 1 2 ) n o to n l ys a t i s f yt h ef i r s te q u a t i o no f ( 1 5 ) ，b u t t h e ya l s os a t i s f yt h es e c o n de q u a t i o no f ( 1 + 5 ) 。t h i s m e a n st h a t 戡g i v e nb y ( 1 2 ) i san e ws o l u t i o no f t h ek d v e q u a t i o ni f 锚i sa no l ds o l u t i o no ft h e k d v e q u a t i o n c o n s e q u e n t l y t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nw a se x t e n d e dt o o t h e rm a r l ye q u a t i o n s ，s u c ha st h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ，m k d v e q u a t i o n ，s i n e g o r d e ne q u a t i o na n d s oo n i nt h el a s tf e wy e a r s ，t h es t u d yo fi n t e g r a b l ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c es y s - t e m sh a sa r o u s e di n c r e a s i n gi n t e r e s t 降6 j t h ed a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nh a s a l s ob e e nu s e dt oo b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s 7 - 9 i nt h i sp a p e r ，o u rm a i na i mi st od e r i v ead a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no f t h e d i s c r e t es p e c t r a lp r o b l e ma s s o c i a t e dw i t ht h er e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e sw i t h t h eh e l po fg a u g et r a n s f o r m a t i o n 。f u r t h e rw eo b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o n sf o r t h e l r s tt w os y s t e m so fd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt h eh i e r a r c h yo f r e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e s t h eo u t l i n eo ft h e p r e s e n tp a p e r i sa sf o l l o w s i n s e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c el e n a r dg r a d i e n ts e q u e n c ea n dd e r i v et h eh i e r a r c h y o fr e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e s i ns e c t i o n3 ，w ec o n s t r u c ta g a u g et r a n s f o r m a - t i o no ft h ed i s c r e t es p e c t r a lp r o b l e m ，f r o mw h i c hd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s o ft h ed i s c r e t es p e c t r a lp r o b l e ma n dt h er e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e sa r eo b - t a i n e d i ns e c t i o n4 ，u s i n gt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，e x p l i c i ts o l u t i o n s f o rt h ef i r s tt w o s y s t e m s o fd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt h eh i e r a r c h y o fr e l a t i v i s t i ct o d al a t t i c e sa r eg i v e n 3 2t h es o l i t o nh i e r a r c h y 妒n + 1 = u n q o n , = - l 镕v n ) ， w h e r eu na n d v na r et w op o t e n t i a l s ，ai sac o n s t a n ts p e c t r a lp a r a m e t e r i n o r d e rt od e r i v et h eh i e r a r c h yo fd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa s s o c i a t e d w i t h ( 2 + 1 ) ，w e f i r s ts o l v et h ed i s c r e t ez e r o - c u r a t i v ee q u a t i o n = k + 1 一巩k ，( 2 2 ) w h e r e ， m ：k ：卜溉 la g 玩 i ti se a s yt os e et h a t ( 2 2 ) i se q u i v a l e n tt o 铤耐= 铒；嚣n + l + 强矩( a n + 1 d 枉) 一a 2 芏袭， 蛳2 玩一a 2 ( 玩一锃n 瓯+ 1 ) ， ( 2 3 ) f k + 1 一u n c k 一a n ， d n + 1 = a n + v n l o k a 2 1 0 k + 1 ， w h e r ea h # 一+ l ，a + k = 是l 一。s u b s t i t u t i n gt h ef o l l o w i n g e q u a l i t i e s a 。= 一“。g 。，1 一t h 瓯，2 ，( 一g m l + 岛，2( 2 4 ) i n t o ( 2 3 ) ，w ea r r i v ea t ( “胁 ) r = ( 一a 2 厶) 瓯 ( 2 5 ) d ：卜岔以) u n + v n a u n - - u n a * v n a v n - - u n a ， l+ “。一+ v n 0 j 厶= ( 。二。，+ 。u 。_ ：二二一， 一帆一剖 豫6 ， a 驴) = 一“。g 骝一v ，g 。( m 。) ，e ) = g 骝+ g 嚣， b = 扎“暖譬一a 魁，璐n ) 一a 姓十一1 c 髂a 2 硼哆 g 燕( g 黠，g 。c m 。) ，a t = 善蟛叫a 2 洳刊，毋= ( 毹i ，嘏1 ) 于， 5 a s 毋) ( 1 ，o 只t h e f i r s ts y s t e mo fd i f f e r e n t i a l - 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