（计算机应用技术专业论文）基于局部特征的laplacian网格编辑方法研究.pdf

论文题目 专业 硕士生 指导老师 基于局部特征的l 印1 a c i a n 网格编辑方法研究 计算机应用技术 叶梦 罗笑南教授 摘要 三维网格模型编辑方法在计算机辅助几何设计和计算机动画等领域具有重 要的作用。由于自由变形技术和多分辨率编辑技术对模型的几何细节处理存在一 定的问题，因此产生了新的几何表示方法和计算模型，这些方法称为基于微分表 示形式的网格编辑方法。l a p l a c i a n 网格编辑方法是近年来新发展起来的这类方 法之一，可用于计算机动画和工业造型中的模型编辑，该方法易于实现、操作简 便，可实现变形、m o r p l l i n g 、光滑、融合等多种网格编辑功能，因而受到广泛关 注。 本文深入研究了l 印l a c i a l l 网格编辑方法，探讨l a p l a c i a l l 坐标的构造和模型重 建问题，分析l 邢1 a c i a n 坐标对网格模型局部几何细节特征的保持能力有限的原 因，提出了相应的改进方法。第一，针对l a p l a d 趾网格编辑方法在变形过程中可 能产生体积膨大、缩小等畸变情况，提出了一种基于线性边约束的l a p l a c i a n 网格 编辑方法。该方法通过对控制边进行变形操作，实现较为复杂的变形效果，并改 善变形过程中的畸变情况。第二，针对l a p l a c i a i l 坐标不具有平移敏感性的问题， 提出了平移敏感的l a p l a c i a i l 网格编辑方法。该方法两次求解最小二乘系统，首先 通过原l a p l a d a n 坐标重建一个中间模型，计算该模型的顶点法线，并旋转中间模 型的l a p l a c i a i l 坐标至顶点法线的平行方向，再次重建模型获得最终结果。该方法 实现了平移敏感的变形效果，能更好地保持三维网格模型的局部几何细节特征。 第三，采用迭代的方法重建模型，逐渐逼近精确解。即迭代求解最小二乘系统， 获得逼近精确解的变形模型。最后，在实验环境中实现了本文提出的上述改进方 法，实验结果证明，本文的方法能够得到较高质量的变形效果。 关键词：网格变形、拉普拉斯网格编辑、线性边约束、平移敏感、平均曲率法线 基于局部特征的l a p l a c i a n 嘲格编辑方法研究 a b s 订a c t t i i l e ： m e t l l o d so f l a p l a c i a i lm e s he d i t i n gb a s e do nl o c a lf e a t l l l 髑 m a j o r ：c o m p u t 盯a p p l i c a t i o nt e c i l i l o l o g y n 锄e ：y e m e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl u ox i a o n a i l a b s t r a c t 3 dm e s he d i t i n gi sc m c i a li nm 柚yf i e l d ss u c ha sc o m p m c ra i d e dg c o m e 缸c d e s i g n 锄d c o m p u t e r 卸i m a t i o n t i a d m o n a l f r e e - f o n nd e f o 衄a t i o na n d m u l t i r e s o l u t i o nm e s he d i t i n gh a v es o m ep r o b l e m si l lp r e s e “i 1 1 9g e o m e 砸cf e a t m s i t h ec d i t i n gp r o c e s s i no r d e rt ot a c k l em e s ep r o b l e l i l s ，n 0 v dg 咖e 缸c r e p r e s e n t a t i o n sa l l dc o m p u t a t i o n a lr n o d e l sh a v eb e e np r o p o s e d ，w h i c h a r ec a l l e dm e s h e d i 恤gm e t l l o d sb a s c do nd i 丘b r e n t i a lr 印r 器e l l t a 6 0 n l a p l a d a i lm e s he d i t i n gi so n e o f t l l 骼em e m o d s ，w t l i c he n l e r g e dr e c e n t ly ni su s e di nc o m p u t e r 趾i m a t i o na n d m o d e l i r 培i n d u s t r y 1 1 1 i sm e t l l o di se a s yt 0i m p l 锄吡a n do p c r a t e nc a nb ea p p l i e dt o d e f 0 皿a t i o l l ，m o r p l l i n g ，s m o o t l l i n 岛缸i o n 缸ds oo 玛a n dt l l l l sh a sa 饨r a c t e de x t e n s i v e a t i e n t i o n i l lt h i st l l e s i s ，m e m o do fi 丑p l a c i a l lm e s he d i t i n gi ss t u d i e d 1 1 1 ed 娟n m o n so f l a p l a c i a nc o o r d i n a t e sa 1 1 ds l l r f a c er e c o l l s t m c t i o na r er c s e a r c h e d m o r e o v e f t h e r c a s o n sw h y1 0 c a lg c o m e m cd e t a i l sa r ch a r dt op r c s e r v ei l ll a p l a c i a nc o o r d i n a t e sa r e 锄a l y z c d 1 1 1 i s 吐l e s i s p r o p o s e s t h e f 0 u o 矾n gi m p r o v 锄e i l t s f i r s t l y ， l i n e 小e d g e - c o n s 仃a i n 。dl 印l a c i a i lm e s he d i t i n gi sp r o p o s c d t h em e t l l o di sl l s e dt o s o l v ed i s t o n i o no fm o d e l s ，s u c h 勰c x p a l l s i o no rr e d u c t i o no ft 1 1 ev o l 啪e c o m p l e x d e f o m l a l j o nr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e dt on l ec 】【t tm a tv o l u m ee x p a n s i o na n d r 。d u c t i o na r ei i l 】p r o v e db yd e f o m i n gm ee d g e s s e c o n d l y ，t l l e 眦l s l a t i o n s c i l s i t i v e l a p l a c i 锄m e s he d i t i n gi sp r o p o s c dt oi n l p r 0 v e 血et r a n s l a t i o ni 1 1 s s i t i v i 够t h e m e 也o ds o l v e sal e a s t - s q u a r e ss y s e m 嘲i c e at e m p o r a r ym o d di so b t 8 i n e db y r e c 0 i l s 仃u c d o n 妇mo r i 西n a ll a p l a d a nc o o r d i n a t 器t h e i lv e n e ) (n o 册a l sa r e m p u t e dt om a k e 鲥g i n a ll a p l a c i 龃v e c o d r sp a m l l e lt 0 也c i l l a i l d l ef h l a lm o d e l i s r e p p o d u c c d 矗d m 也em o d i 壬i e dl 印l a c i a nc o o r d 证a t e s n a 工i s l a l i o n - s e n s i t i v er e s u l t s h a v eb e e na c l l i “e da n dt 1 1 eg e o m 砌cd e t a i l so fm o d e l sh a v eb e w d lp r 器e r v c d 1 i 基于局部特征的l a p l j a n 网格编辑方法研究 a b s 扛a c t u s i n gt h em e t l l o d n l i r d l y ，a i li t c r a t i v em e m o d i sw e dt or c c o n s h u c tm ed c f o r i i l e d m o d e l s i tc a n争a d u a l l y 印p r o x i m a t et l l ea c c u r a t es o l 埘o n b ys o l v i n gm e l e a s t - s q u a r e ss y s t e mi t e r a t i v e l y - f i n a l l y ，t h ea b o v em e t h o d sh a v e b e e ni m p l 锄铋t e di n e x p 甜m e n t a l “r o n m e l l t t h ec x p 甜m e n t sh a v es h o w nt 1 1 a t t l l e s em e t h o d sc a l l p m d u c ed e f o m a t i o n so f 蛐出q u a l i t i e s k e y w o r d s ：m e s hd e f b n l l a t i o i l l a p l a c i a i lm e s he d i t i n 岛l i n e a re d g ec o n s h 面n t ， t r a n s l a t i o n - s e i l s i t i v i 魄m e a nc u r v 叽鹏n o n i l a l i 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：芝乒灶一一 日期： & 逊g 。d 2 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文储躲叶梦新繇罗确 日期：湃歹月文g 日 日期：年月日 引言 随着信息获取技术的进步，如三维激光扫描仪器的问世，三维几何数据获取 的精度不断提高，用户可以由获取的数据高精度地重建出复杂对象的几何模型。 这些模型真实反映了具体对象的实际形状，可以用于进一步创新设计，产生丰富 多样的新模型。通过处理和重用已有的几何模型来构造目标曲面，可以提高几何 设计的效率，这在计算机辅助几何设计、计算机动画以及影视、游戏等领域中的 应用非常广泛。 计算机辅助几何设计( c o m p u t c ra i d c dg e o i n e t r j cd e s i 辨，c a g d ) 的主要研究 内容是曲线和曲面在计算机中的表示、逼近和计算，广泛应用于几何外观设计， 以及动画和艺术图案的创作及地形图复原等【l 】。计算机动画是随着计算机硬件和 图形算法的高速发展而形成的计算机图形学的一个分支，综合利用计算机科学、 艺术、数学、物理学和其它相关学科的知识在计算机上生成连续的画面，制作各 种逼真的虚拟场景舶。近年来，多部三维动画大片的上映，充分展现了三维计算 机动画的发展方向。 由于三维成像技术的发展，可以快速获取真实物体和动画角色的三维网格模 型，简化了建模过程。因此，如何对已有的复杂三维网格模型进行处理和重用成 为计算机辅助几何设计和计算机动画等领域的一个研究重点。从近几年的 s i g g 鼬”h 会议发表论文可以看出，有大量的学者对该问题进行了研究，并发 表了优秀的研究成果。 本文的主要研究对象为三维网格模型。为了解决动画制作和工业造型中的模 型编辑问题，常常需要对三维网格进行变形等操作，根据需求由原始模型产生各 式各样新的模型。网格编辑过程中如何保持曲面几何细节特征是网格编辑方法需 要解决的关键问题。基于微分属性的网格编辑方法是近年来发展起来的，该方法 能有效地保持模型表面丰富的几何细节，同时将误差均匀地分散开来，得到高质 量的编辑结果。 本文针对目前较热门的一种基于微分属性的网格编辑方法一l a p l a d 强网 螭十局部特征的l a p l a c i a nh 恪编辑方法研究 引言 格模型编辑方法进行了深入分析，研究目的是如何增强l a p l a d a l l 网格编辑方法 对三维模型局部几何细节特征的保持能力。为此，本文提出了基于线性边约束的 l 印1 a c i a n 网格编辑方法和平移敏感的l a p l a d a n 网格编辑方法，并通过迭代算法 多次求解变形模型，有效地改善了原方法在网格编辑过程中出现的体积膨大、缩 小等畸变情况，且实现了平移敏感的变形效果，产生了丰富多样的模型。 本文一共分成五章。各章节的安排如下： 第1 章：介绍三维几何模型的表示形式和处理技术，以及国内外网格编辑技 术的研究情况，包括自由变形技术，多分辨率网格编辑技术和基于微分属性的网 格编辑技术，并简要说明了本论文的主要研究工作等内容。 第2 章：介绍l 印l a c i a l l 网格编辑方法的基本理论，包括l a p l a c i a n 坐标的构 造和模型重建。分析l a p l a c i 肌网格编辑方法实现较为复杂的变形结果时存在的 问题，提出了一种基于线性边约束的方法，改善了变形中的畸变现象，丰富了变 形效果。 第3 章：分析l a p l a c i 柚网格编辑方法不能实现平移敏感变形效果的原因， 提出了一种通过顶点法线旋转变形后的l a p l a c i a i l 坐标，并迭代求解模型的方法。 通过该方法，使la p l a c i a l l 坐标实现平移敏感的变形效果，较好地保持曲面几何 细节特征，逼近变形后的最佳效果。 第4 章：详细说明基于局部特征的l a p l a c i 肌网格编辑方法的实现过程，并 采用本文提出的基于线性边约束和平移敏感的l a p l a c i a l l 网格编辑方法，对较复 杂的动画模型进行了变形操纵，通过实验对比分析本文方法与原方法的编辑效果 和性能。 第5 章：总结论文的研究工作，说明存在的不足，并指出未来的研究方向。 2 基于局部特征的l a p l a c i 叩网格编辑方法研究第1 章综述 第1 章综述 本章将介绍三维几何模型的表示形式和处理技术，并讨论自由变形技术、多 分辨率网格编辑方法以及基于微分属性的网格编辑方法等三维网格模型编辑方 法的研究发展情况，最后指明本文的主要研究工作。 1 1 三维几何模型的表示与处理 复杂三维模型的编辑和造型是计算机辅助几何设计和计算机动画设计中的 一个研究重点，如何以直观、有效的方法来编辑、修改三维模型及其特征，是人 们多年来一直不懈努力的目标。由于三维模型本身数据量非常庞大，而且所包含 的信息内容也很繁杂，因此，针对三维模型进行直观、高效的编辑和变形技术的 研究是目前的热点问题。 1 1 1 三维几何模型的表示形式 物体的三维数据包括物体的几何形状、三维坐标、表面纹理、颜色等信息， 另外，在每一数据点通常还附有颜色、光泽度以及透明度等属性数据【2 1 。而在三 维几何造型和处理中所有的工作都是针对三维模型在计算机图形学中的两个主 要属性：模型的外观属性和模型的几何形状展开的【2 】。 模型的外观描述了物体上的入射光线和出射光线之间的相互作用关系【2 1 。本 质上它是物体本身固有的一种物理性质。但是在计算机图形学中，人们常用一些 易于理解的光照明量来描述，如颜色、光泽度、以及透明度等。 三维模型的表示方法包括体素构造表示法、边界表示法、构造实体几何 ( c o n g 咖c t i v cs o l i dg 锄e h y ，c s g ) 等 2 】。其中边界表示法应用最广泛。在边界表 示法中，物体的形状信息是通过其表面来描述的。而物体的表面又可以有多种表 示方法【2 】，如参数曲面、代数曲面、隐函数曲面、细分曲面、点几何表示以及多 边形网格等。 由于多边形的形状简单，便于计算和处理，可以任意精度逼近曲面物体，因 基于局部特征的h p l 晒网格编辑方法研究 第l 章综述 此可用于表示拓扑结构复杂的物体。由于只需存储多边形顶点的位置坐标和属性 就可表示物体的几何信息，能有效地进行明暗处理，且是机器表示方法，因此多 边形网格表示方法普遍应用在计算机图形学中，且其它三维几何表示形式往往需 要转换为这种最基本的表示形式，以获得统一的处理，如参数曲面、c s g 表示、 体素表示等方法都经常在绘制前转换成多边形网格【2 1 。多边形表示方法一般支持 任意的n 边多边形，但是基于速度方面的考虑，很多绘制硬件要求多边形在提 交之前分解成三角形。本文的网格变形研究对象集中在三角形网格模型。 通过三角形网格表示的三维几何模型包括顶点、三角面等基本信息。顶点描 述了模型表面空间位置的离散采样，三角面描述离散采样点之间的拓扑连接关 系。若几何模型较复杂，可以通过增加顶点与三角面的数量来描述更丰富的几何 细节。在应用中，通过获取三角网格模型每个顶点的形状信息和外观属性，对其 进行编辑，得到具有新形状的网格。 1 1 2 三维几何模型的处理技术 建立三维模型后，为了更好地满足实际需求，需要对其进行进一步加工。数 字几何处理( d i 西t a lg e o m e f i yp m c e s s i n g ) 主要指对几何数据进行去噪声、压缩、 传输、分析、编辑等处理，以达到不同应用所要求的数据转换、模型表示或场景 绘制等目的 3 1 。数字几何的诞生得益于计算机视觉和激光技术发展。通过三维激 光扫描仪器获得的三维模型由多边形面片组成，在图形显示、快速原型制造等方 面有显著的优势。 三维数字几何处理主要有以下方面的研究：三维网格模型的简化与细分【4 】； 网格平滑【5 ，6 】；三维模型的网格编辑7 】；稠密点云数据的几何建模和绘制【8 】；基于 离散微分几何的特征线提取【9 】等。图1 1 为三维数字几何处理技术的相关应用。 雩， ( a ) 网格简化 4 ( b ) 网格细分 基于局部特征的l a p l a c i 锄网格编辑方法研究 第1 章综述 ( c ) 网格特征线提取( d ) 网格编辑 ( e ) 网格光顺( o 点云模型绘制 图1 1 三维几何模型处理技术的应用【5 ，7 。1 1 】 本文主要研究了基于三维模型的网格编辑和变形问题，提出了基于局部特征 的l 印l a c i a i l 网格编辑方法，能在处理过程中有效地保持三维模型的几何形状和 细节特征。 1 2 网格编辑方法 三维网格编辑指的是在已有的3 d 网格数据上进行操作 1 2 】。网格编辑中最重 要的问题是尽可能保持曲面的细节特征，包括光滑度、形状、相对朝向等几何特 征。 网格模型编辑方法的内容很丰富，下面主要介绍有关自由网格空间变形、多 分辨率网格编辑、基于微分属性的网格编辑等技术。基于l a p l a c i a n 坐标表示的网 格编辑算法是本文的研究重点，将在第2 章详细介绍。 1 2 1 自由变形技术 自由变形技术是计算机辅助几何设计和计算机动画的一个重要工具。自由变 形技术得名的原因在于，用户可以任意地操纵代理几何来对原始模型进行变形， 变形过程可以任意夸张，完全不受物理定律的约荆13 1 。广义的自由变形技术1 4 】 基于局部特缸的l a p l a c i 柚州格编辑方法研究第l 章综述 包括的范围很广，任何一种能将控制单元变化通过插值形式直接扩散到整个模型 上的算法都属于自由变形技术的范畴。狭义的自由变形技术【l4 】特指将三维模型 嵌入到一个较粗糙的控制网格中，通过编辑控制网格，由映射，：f 一詹把控制 网格的变化传播到变形物体上。根据代理模型的类型不同，自由变形技术可以分 为基于控制网格的变形技术【1 5 】，基于控制曲线的变形技术【1 6 】，以及基于控制点 的变形技术【1 7 】。 b a r r 最早将变形思想引入到几何造型领域，提出基于c s g 树表示的整体和局 部变形方、法【”j ，并使用可分层的变换方法用于几何模型变形，包括拉伸、均匀 张缩、扭转和弯曲等基本操作。该技术使用变形前曲面的面法线和变换矩阵，计 算任意变形后的光滑曲面的法线向量。由于变形与分层结构结合，复杂模型的位 置向量和法线向量可由简单模型的位置向量和法线向量计算而得，从而可以方便 地构造出复杂模型。由于该方法仅能用于特定的几何形体，且缺乏交互控制手段， 存在一定的局限性，称该方法为非自由变形。w a t t 等人发展了b a r r 的方法，扩展 了b a 盯的因子曲线的定义范围，使其不但包括空间域，还包括时间域，成为时间 和空间的函数【1 8 】，图1 2 为该方法的变形效果。 f 卜j | | j 一一岁 图1 2 自由变形模型效果图【1 8 】 在b a 玎提出变形的思想后，许多学者继而探索如何把变形方法融入传统的造 型系统以及如何进行自由变形。s e d e r b e 曙和p a y 提出使用自由方法变形几何模 型，称为自由变形( f r e e f o r i nd e f o m a t i o n ) ，简称f f d 【”】。该方法将几何形体扩 展到各种曲面的形式，例如，平面，二次曲面，参数曲面，隐函数曲面。其核心 思想在于【19 】：变形操作不是直接作用于物体，而是作用于物体所嵌入的变形空 间格子，如果改变了变形空间，则嵌入其中的物体自然随之改变。但是该方法只 适合于平行六面体的网格形状，因此限制了应用范围。 谬 基于局部特征的l a 口1 a c j 硼网格编辑方法研究第1 章综述 c o q u i l l a n 提出了扩展f f d ( e x t e n d e df r e e - f o md e f 0 咖a t i o n ) 方法，简称 e f f d 【2 。该算法使用非平行六面体网格，增加了初始网格的形状，如棱柱体、 圆柱体等，从而增加了f f d 技术的使用范围。k a l r a 等人提出的有理f f d 限a t i o n a l f r e e - f o md e f o 加a t i o n ，r f f d ) 方法 2 i 】，即给每个控制顶点都附加了权值，可通过 权值来控制变形。h s u 等人提出的直接操纵的f f d 算法【埘，可直接控制嵌入曲面 上的点的变化位置，然后反求格子顶点的变化以实现变形。l a m o u s i n 等人提出了 一种基于n u r b s 的f f d 方法( n f f d ) 吲，把整体和部分变形有机地结合起来，能 更有效地控制所嵌入的物体。l 配a m s 等人提出一种基于外插的自由变形技术， 通过物体的轴线来控制变形【2 4 1 。c h a n g 和r o c k ，o o d 提出类似的变形方法，可由用 户定义模型弯曲的轴线圈。s i n 曲等人提出一种基于网格表面曲线约束的方法【2 6 】， 该方法在脸部表情动画中有较好的应用。 自由变形技术是三维模型变形操作中的重要技术，在m a y a ，3 d sm a ) 【等动画 制作商业软件中都实现了该算法。但是该类算法通过控制网格或轴线对三维模型 进行变形操作，未涉及对几何细节特征的保持，变形能力有限。 1 2 2 多分辨率网格编辑技术 自由变形技术中未对模型的几何细节进行描述，因此在对细节丰富的三维模 型进行变形处理时存在局限性。多分辨率网格编辑( m u l t i r e s o l u t i o nm e s he d i t i n 曲 的变形技术可以解决这一问题。 基于三维网格模型多分辨率表示的网格编辑算法目前的研究和讨论较为 广泛，其是受图像中傅立叶和小波分析在处理空间非均匀散乱点集中的启发，将 其发展到网格编辑领域。多分辨率网格中，原始网格模型的几何信息分解为若干 频带，即由基网格( b a s em e s h ) 及若干层细化( r e f i n 锄e n t ) 网格组成的多分辨率网 格表示 2 引，其中基网格反映了原始网格模型的基本轮廓，是模型的低频部分， 一般在笛卡尔坐标系中表示。细化网格模型由粗至精逐层包含了原始网格模型的 局部几何细节。利用多分辨率表示进行网格变形编辑的基本思想剧14 】：先将原 始网格模型转化为多分辨率网格表示形式，调整基网格的形状，再根据细化合成 过程将各层细化网格的几何细节成分自动恢复到变形后基网格上，生成最终的变 形效果。多分辨率表示使得原始网格模型在不同频带上的细节在变形过程中得到 7 基于局部特征的l a p l a c i 柚网格编辑方法研究 第1 章综述 了有效地保持，因此可以获得自然合理的变形结果。 图1 3 为多分辨率网格编辑方法的变形效果。 图1 3 多分辨率网格编辑方法的变形效果图【2 9 j 对三维网格模型进行构造获得多分辨率表示的方法一般有两种，一种是 由模型的拓扑连接关系和几何性质构造，第二种只通过几何性质构造。前者改变 了原始网格模型的拓扑连接关系，后者在多分辨率的分解与合成过程中不改变原 始网格模型的拓扑连接关系，对具有复杂拓扑结构的网格模型更具普遍性，但缺 点是分解层级过多。 早期的多分辨率网格编辑技术大都需要具有细分结构的网槲h 】。e c k 等人提 出了一种可用于任意网格构造多分辨率细分结构的方澍捌。t a u b i n 等人采用低 通滤波进行网格光顺 3 1 】。由于输入网格常不具备细分结构，因此需要适用于任 意拓扑网格的多分辨率变形编辑技术。k o b b e l t 等人对任意拓扑结构的网格进行 简化、光顺处理，用于构造多分辨率层次结构【3 2 1 。r c h e r 等人提出动态划分层 次结构的方法【2 9 1 ，可以提高变形的质量。一些研究者利用m a p s 算法进行网格 模型的m o r p l l i n g 操作，根据多分辨率表示的各层网格模型之间的对应关系实现 光滑的m o r p h i n g 效果【3 3 】。a u 等人提出的方法中以网格多分辨率表示为基础，在 网格模型编辑中应用信号处理中的滤波器设计概念，对原始网格模型进行钝化、 锐化及去噪处理等网格编辑操作。 多分辨率网格编辑方法的优点在于：可以根据网格模型多分辨率表示形式提 供的分层信息，独立地编辑模型的基本轮廓与分层细节，得到丰富的编辑效果。 但是该方法构造网格模型多分辨率表示形式的实现过程困难，需要显式地设置光 滑条件，以构造满意的基网格，且编辑操作较为复杂，原始模型连接关系的自适 应调整算法有很大的局限性，另外对几何细节的保持只能在一定条件下进行【3 5 1 。 由于上述原因，使多分辨率网格编辑方法远未达到实用的目的，在计算机动画制 作中的应用受到限制。 1 2 3 基于微分属性的网格编辑方法 随着三维扫描技术的快速进步，几何模型的精度和数据复杂程度达到了新的 高度，这些三维模型包含十分丰富的几何细节。在网格编辑过程中如何保持模型 几何细节特征，成为网格编辑算法需要解决的关键问题。 自由变形技术和多分辨率网格编辑技术在处理几何细节时存在各种问题，前 者在变形过程中未考虑几何细节特征，后者的实现过于复杂。为了解决上述问题， 出现了基于微分属性的网格编辑方法。该方法在局部坐标内尽可能地保持网格平 均曲率法线在变形编辑前后一致，从而保持了表面几何细节，同时通过最小二乘 系统将误差均匀地分散开来，得到高质量的编辑结果。 基于微分属性的曲面变形的主要思想是【3 6 】：使用曲面的微分属性表示形式， 保持微分属性在变形操作前后不变，得到保持几何细节的变形结果。该方法的实 现步骤为：构建原曲面的微分表示形式，根据约束条件对微分属性进行操纵，最 后根据变形后的微分表示形式重建模型。 根据定义的微分属性和操纵方法可以将基于微分属性的网格编辑方法分为 以下几类。 ( 1 ) 基于梯度的表示形式 基于梯度的表示形式是受图象处理中的梯度算法的启发，将其应用到曲面编 辑上。y u 等人开创性地在网格表面构建泊松( p o i s s o n ) 方程，通过操纵网格梯度场 进行网格编辑【期。该方法通过对曲面的梯度场操纵达到变形的目的，将对象从 传统的欧氏空间中的顶点坐标切换到离散流形( 域网格) 上的微分属性。作为微 分属性的梯度描述了三维几何模型的几何信息，包括网格的局部朝向和弯曲程 度，并且很容易操作。 但是基于泊松方程的网格编辑方法未涉及体积保持和重要距离的长度约束 方面的研究，因此对复杂模型的变形存在局部自交、体积缩小或膨胀等畸变现象。 另外泊松网格编辑方法对平移变换、旋转变换、扭曲变换都不会产生旋转量，均 需要显式指定旋转量。 图1 - 4 为泊松网格编辑方法的变形模型效果图。 9 基于局部特征的l a p l a c i a n 心格编辑方法研究 第1 章综述 幽1 - 4 泊松网格编辑方法的模型效果豳f 3 7 】 ( 2 ) 基于l a p l a c i a n 的坐标表示形式 基于l a p l a c i a n 坐标表示的网格模型编辑方法是近年来新发展起来的，并且 随后有多篇文献对该方法加以改进。该方法实现简捷、效果良好、操作简便，并 可实现变形、m o r p h i n g 、光滑、融合等多种网格编辑功能，因而受到广泛关注。 a l e x a 首先提出利用网格的l a p l a c i a n 坐标形式取代笛卡尔坐标【3 8 】。l a p l a c i a i l 坐标表示方法又称为微分坐标方法或占坐标，或局部平均曲率法线，在网格顶点 处应用l a p l a c i a n 算子，可用于描述局部曲面的几何特征。但是，由于l a p l a c i a l l 坐标对网格模型局部几何形状的描述过于粗糙，导致在变形过程中对原始网格模 型局部几何细节特征的保持能力有限。因此，随后有很多研究者针对该问题进行 了深入地研究，并提出了各种解决方法。 图1 5 为l a p l a c i a l l 网格编辑方法的变形效果。 图1 5l a p l a c i 网格编辑方法的模型效果图 ( 3 ) 基于局部标架的表示方法 在严格旋转不变性表示方法的研究中，基于标架的表示方法引入了传统 微分几何中的活动标架理论。该方法在每个网格顶点处建立正交标架( a i ，b i ，n i ) ， 并通过系数表示标架之间以及顶点一圈邻域上邻接顶点之间的联系。曲面上两个 邻接顶点v ，v ，的局部标架的系数为3 3 的矩阵a 口： i o 蓬 基于局部特征的l a p l 虻i a n 网格编辑方法研究 第l 章综述 ( a f a ，b j b ，n f n ，) = a f ( a ，b ，n f ) ( 1 1 ) 顶点一圈邻域上的顶点关系描述如下： v ，一v ，= a ，+ 岛b ，+ 巧n f ( 1 2 ) 其中，每条边对应三个系数( 嘞，岛，) 。 通过系数a 口，岛，可以证明局部标架是旋转不变的。使用线性等式 ( 1 2 ) 进行变形操作时有两步，首先建立曲面的局部标架，将该局部标架代入( 1 2 ) 的右侧，然后通过求解( 1 2 ) 的最小二乘形式获得顶点位置。 图1 6 为基于局部标架的模型编辑效果图。 飞 图1 6 基于局部标架的模型编辑效果图【加】 除了上述介绍的方法外，还有很多研究者提出了一些其他的局部坐标表示形 式。s h e 丘h 和心a “o y 提出了金字塔坐标( p y r 咖i dc o o r d i n a t e s ) 【4 ”，由法线和局部 曲面的切线描述金字塔坐标系中的顶点，其中，顶点的法线向量为顶点到局部投 射面的距离，局部曲面的切线由边长和角度组成。由于金字塔坐标具有旋转不变 的特点，通过在操作柄处设置平移约束，可以保持所有顶点的金字塔坐标不变， 因此可以执行较大尺度的变形。但是金字塔坐标中定义的顶点坐标关系是非线性 的，其重建过程计算代价比线性系统要高昂很多。 虽然基于微分属性的网格编辑方法得到了长足的进步，但是上述方法均为基 于表面的变形方法，未考虑三维模型的体积，在编辑过程中，会出现体积缩小、 膨大、局部自交等现象，不能很好地保持变形模型的几何形状。针对局部自交的 问题，b o t s c h 等人利用多分辨率框架，考虑了细节特征的体积因素【4 3 1 。但是该方 法严格地保持体积，导致时间复杂度大幅度增加。 由于网格是三维空间的二维流型，仅描述了模型的表面特征，但大多数时候 只通过表面曲率来描述物体的几何属性是远远不够的。如果在变形中能够进一步 地保持更多其他的表面几何属性，比如测地距离，就能得到高质量的变形效果， 基于局部特征的l a p l a c i 加同格编辑方法研究第1 章综述 并扩展基于微分属性的网格编辑方法的应用范围。 1 3 本文主要研究工作 本文深入研究了基于l 即l a c i a n 坐标的网格编辑方法。该方法中，网格模型 的l a p l a c i 锄坐标和笛卡尔坐标之间易于转换，且编辑操作简便，可实现变形、 m o 甲h i n 昏光滑、融合等多种网格编辑功能。但由于网格模型的l a p l a c i 眦坐标 表示形式对网格项点的局部几何形状描述较粗糙，导致在变形过程中对原始模型 的局部几何细节特征的保持能力有限。 本文的主要研究工作是针对l a p l a c i a n 网格编辑方法的几何形状和细节特征 保持能力这个主题展开的。在查阅了大量国内外公开资料的基础上，结合自己对 于该方法的理解，力求对l a m a c i a l l 网格编辑方法的理论基础和实际应用进行深 入的研究。 本文的主要研究内容为： ( 1 ) 针对l a p l a c i a l l 坐标不具有平移敏感性，不能很好地保持三维网格模型几 何细节特征的问题，提出了平移敏感的l a p l a c i a i l 网格编辑方法。该方法两次求 解变形后模型，即通过原l a p l a c i 蛆坐标重建一个中间模型，计算该模型的局部 平均曲率法线，并旋转原l a p l a d a i l 坐标至平均曲率法线的平行方向，再次重建 模型获得最终结果。该方法使l a p l a c i a i l 坐标实现了平移敏感的变形效果，且自 动计算平均曲率法线，避免了繁琐的l 印l a c i a i l 向量估算，实现简捷，较好地保 持了模型的几何细节特征。 ( 2 ) 分析l a p l a d 觚坐标实现复杂变形效果时存在的问题，即只通过操纵三维 网格模型的顶点l a p l a c i a l l 向量实现变形，造成模型变形效果单一，且可能出现 体积膨胀、缩小、局部自交等畸变情况。针对该问题，本文提出了基于线性边约 束的l a p l a c i a n 网格编辑方法，添加控制边作为位置约束，通过对控制边的平移、 旋转、弯曲等变形操作，可获得丰富的变形效果。同时通过对控制边长度的调整， 改善原方法在变形过程出现的畸变效果。 ( 3 ) 采用迭代的求解算法，逐渐逼近精确的变形编辑效果。变形编辑后从 l a p l a c i a n 坐标系重建笛卡尔坐标系中模型，需要求解一个线性系统。该线性系 统为超定方程组，故没有精确解，在实现过程中，可通过迭代算法逐渐逼近理想 基于局部特征的b p l 眦i 柚网格编辑方法研究 第l 章综述 的变形效果。基于线性边约束的l a p l a c i a n 网格编辑方法和平移敏感的l 印l a c i 蛆 网格编辑方法均可通过迭代算法获得较高质量的变形效果。实验证明，对于细节 特征较显著的区域，多次迭代的方法可以实现很好的变形效果。 1 4 本章小结 本章主要介绍了三维几何模型的表示形式和处理技术，并指出本文的研究对 象为三角形网格模型。然后讨论了自由变形技术、多分辨率网格编辑方法的研究 发展情况，分析其在处理三维网格模型时存在的问题，说明基于微分属性的网格 编辑算法具有的优势，并简要介绍了该类方法的前人工作。最后说明了本文的主 要研究工作。 基于局部特征的l a p f a c i a n 网格编辑方法研究第2 章媾于线性边约京的l a p l a c i a n 罔格编辑方法 第2 章基于线性边约束的l a p l a c i a n 网格编辑方法 本章将全面地介绍基于l 印l a c i a i l 坐标表示形式的网格编辑方法，包括其研究 发展情况，涉及的理论基础，以及三维网格模型的l a p l a c i a l l 坐标构造和模型重建。 同时分析l 印l a c i a n 网格编辑方法存在的不足，提出基于线性边约束的l 印l a c i a n 网格编辑方法。 2 1 基于l a p l a c i a n 坐标的网格编辑方法 网格模型的l a p l a c i 觚坐标是一种重要的基于微分属性的网格模型表示形 式。a l e x a 根据t a u b i n 利用l 印1 a c i a n 算子对网格模型进行光滑滤波的思想， 提出在三维网格模型编辑技术中，使用网格的l a p l a c i a n 坐标形式取代笛卡尔坐 标冈。网格模型的基本操作是改变网格的局部形状，例如，m o r p h i n g 操作在不 同时间只需要改变模型的局部区域或不同特征处；网格变形通常是由用户操纵， 通过一些离散的顶点对网格进行局部变换，并尽可能保持模型的整体形状不变。 在笛卡尔坐标系中进行上述两种操作存在以下问题：m o i p h i n g 操作时，不同时 间同一特征区域在笛卡尔坐标系中位于不同位置；网格变形关注模型的整体形状 而不是空间位置。因此，根据利用l 印l a c i 蛆算子对网格模型进行光滑滤波的思 想，舢e x a 提出了采用l a p l a d a i l 坐标系的表示方法描述顶点和其周围邻接点的关 系。l a p l a c i 皿坐标表示方法又称为微分坐标方法，或局部平均曲率法线，描述 了顶点相对于其邻接顶点的方向和弯曲程度。该方法实现简捷，得到了大量的应 用和发展。 l a p l a c i a l l 坐标表示方法将网格变形问题转化为线性最小二乘问题，计算与操 作均十分简便。但是该方法对网格顶点的局部凡何形状的描述过于简单，导致 l a p l a c i a i i 坐标仅对整体平移变换具有不变性，但不具有旋转不变性和缩放不变 性，在变形过程中对原始网格模型局部几何特征的保持能力有限，且需要指定较 多的控制顶点。 在l a p l a d a i l 表示形式的基础上，l i p m a l l 和s o r l ( i n e 等人提出了保持细节特征 1 4 基于局部特征的l a p i a c i a n 网格编辑方法研究第2 章基于线性边约束的l 印l 粒i 柚网格编辑方法 的网格变形方法删。z 1 1 0 u 等人将l 印1 a d a n 坐标扩展到体模型中，在三维模型的 内部构造网格，用于解决模型在大变形时出现的扭曲问题1 。该方法能在保持 模型的表面细节特征的同时保持体积形状，但是却增加了模型表示方式的复杂 度。图2 1 为基于l a p l a c i a n 网格编辑方法的应用实例。 飞莎毒鬟如。，嚷驾憩纛 镧麓溯淄 图2 一ll a p l a c i 网格编辑方法的应用。5 ，“ 2 2l a p l a c i a n 坐标表示形式 本节主要介绍l 印1 a c i a n 网格编辑方法中用到的相关概念，包括网格、网格 上的场、l a p l a c i a n 算子、三维变换矩阵的定义，以及网格模型的l a p l a c i a i l 坐标 构造方法。 2 2 1 基本定义 l 印1 a c i a i l 网格编辑方法涉及的主要概念有网格，三维仿射变换，以及 l a p l a c i a i l 算子，下面具体解释这些术语。 ( 1 ) 网格 离散网格是三维几何模型的常用表示方式。任一网格m 在形式上可以表示 为竹= ( 尸 世) ，其中p 是三维欧氏空间中网格顶点位置集合 p = p f r 31 1 f ) ，集合中的每个元素对应着网格模型的一个顶点坐标，即 网格模型的几何信息【3 5 】。k 是一个抽象单纯复形( a b s 仃a c ts i m p l i d a lc o m p l e x ) ， 堑局部特征的l a p l