（基础数学专业论文）弱j覆盖超富足半群和r°ample半群的覆盖.pdf

摘要 y m l i l i l l i l l l l 7 l l l l l 6 l ! 1 8 m l l l l l 3 l l l l l 8 洲5 孙 本文分为两部分第一部分研究了歹一覆盖的超富足半群的性质及其结 构首先定义了了+ 一覆盖的超富足半群，弱歹+ 一覆盖的超富足半群，覆盖的 超富足半群以及弱覆盖的超富足半群研究了这些半群类的性质然后，给出 了歹+ 一覆盖的超富足半群的结构定理，证明了下面三个条件是等价的：( 1 ) 半 群s 是弱覆盖的超富足半群；( 2 ) s 是覆盖的超富足半群；( 3 ) 半格y 是链且 s 是了覆盖的超富足半群 第二部分研究了冗。一a m p l e 半群的真覆盖首先，定义了亿。一a m p l e 半群， 真g o _ a m p l e 半群，给出了这些半群一些重要的性质同时，研究了g o _ a m p l e 半群s 的相容子集及其性质，进而，用双重预同态构造出g o _ a m p l e 半群s 的真覆盖 关键词：了+ 一覆盖的超富足半群；覆盖；冗。一a m p l e 半群；相容子集；关系 同态；双重预同态 1 1 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so f , * - c o v e r e d s u p e r a b u n d a n ta n di t ss t r u c t u r et h e o r e mi nc h a p t e ri i nc h a p t e ri i ，p r o p e r c o v e r sf o rt 已。- a m p l es e m i g r o u pa r es t u d i e d i tm a i n l ya c h i e v ei nt h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： 1 w ei n t r o d u c et h en a t u r a lp a r t i a lo r d e ro na b u n d a n ts e m i g r o u pa n d d e f i n ej * - c o v e r e ds u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p ，w e a k l y , * - c o v e r e ds u p e r a b u n - d a n ts e m i g r o u pa n dt h es e m i g r o u pw h i c hi sc o v e r e da n dw e a k l yc o v e r e d t h e i rp r o p e r t i e sa x es t u d i e di ns e c t i o nt w oo fc h a p t e ri 2 w es t u d yt h es t r u c t u r eo f , * - c o v e r e ds u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p f u r t h e r m o r e ，w eh a v ep r o v e dt h a tas e m i g r o u psw h i c hi sw e a k l yc o v e r e di s e q u i v a l e n tt oi t sc o v e r e d ，a n da l s oe q u i v a l e n tt oi t ss e m i l a t t i c eyf o r ma c h a i na n dsi s , * - c o v e r e d 3 w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fc o v e rf o rs e m i g r o u p s 7 已。- a m p l es e m i - g r o u p ，p r o p e r 冗oa m p l es e m i g r o u pa n dr i g h to m o n o i da r es t u d i e d 4 b yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nr e l a t i o n a lm o r p h i s ma n dp r o p e rc o v e r s w ec o n s t r u c tt h ep r o p e rc o v e r so f 亿。一a m p l es e m i g r o u p su s i n gp r e h o m o m o r - p h i s m s w es t u d yt h ec o m p a t i b l es u b s e to fs ，t h e nw ec a nc o n s t r u c tt h e p r o p e rc o v e r so f 亿oa m p l es e m i g r o u p sb yd u a lp r e h o m o m o r p h i s m s k e y w o r d s ：, * - c o v e r e ds u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p s ；c o v e r e d ；7 已。- a m p l e s e m i g r o u p s ；c o m p a t i b l es u b s e t s ；r e l a t i o n a lm o r p h i s m s ；d u a lp r e h o m o m o r p h i s m s u 1 1 v 目录 摘要 前言 第一章弱歹+ 覆盖的超富足半群 1 1 引言及预备知识 1 2 弱歹+ 一覆盖的超富足半群的性质 1 3 7 + 覆盖的超富足半群的结构 1 4 弱歹+ 一覆盖的超富足半群 第二章冗。- a m p l e 半群的真覆盖 2 1 引言与预备知识 2 2 关系同态，预同态与真覆盖， 2 3 相容子集 2 4 双重预同态与覆盖 参考文献 致谢 v i 1 7 7 1 4 2 5 5 8 3 7 1 5 1 1 2 2 2 2 3 3 4 副 目录 4 工- 月i j 。昌 正则半群是半群代数理论的经典对象，逆半群和完全正则半群是研究得 最为透彻的两类正则半群由m p e t r i c h 撰写的( ( i n v e r s es e m i g r o u p s ) ) 和由 m p e t r i c h 与n r e l l y 共同撰写的( ( c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) ) 这两 本书分别集中了关于可逆半群和完全正则半群的主要研究成果最近几十年 来，特别是在n a m p o o r i p a d s u 】给出正则半群的结构后，诸多半群代数学者都 已把这类半群进行扩张，从而引入了各种广义正则或非正则半群的研究，如 7 r 一正则半群，富足半群、半富足半群等等 本篇论文包括两部分，第一章研究了歹一覆盖超富足半群的结构在正 则半群中，由于完全正则半群可以表示成群的并，也就是说，每个咒一类都是 群，所以完全正则半群类是正则半群类的核心p e t r i c h 在1 9 7 4 年【铋】，1 9 8 7 年【4 4 】给出了完全正则半群的结构若每一个咒+ 一类都是可消幺半群，那 么这样的半群称为超富足半群( 即一般的超富足半群) ，显然，超富足半群 在富足半群中的地位类似于完全正则半群在正则半群中的地位，而且完全正 则半群是超富足半群的子类，f o u n t a i n 于1 9 8 2 年在文献l oj 中证明了半群 s 是超富足半群当且仅当s 是完全了+ 一单半群& 的半格y ( q y ) ，其 中对每一个o l y 和a & ，有l ：( s ) = e ( 鼠) ，成( s ) = 蟛( & ) ，r e n 和s h u m 4 7 】在2 0 0 4 年用p e t r i c h 在构造完全正则半群的思想来构造超富 足半群，他们给出了如何把超富足半群表示成可消幺半群死上的正规r e e s 矩阵半群& = 肛( 死；厶，a n ；只) 的半格y ( q y ) 这个结果不仅加强了 f o u n t a i n 的结果，而且包含了p e t r i c h 的结果 1 9 8 0 年，n a m b o o r i p a d ，k ，在文献【测】中给出了正则半群的自然序之 后，在1 9 8 5 年，m a r kv l a w s o n 在文献【趵】利用幂等元给出了富足半群上 的自然序半群的自然序在一定程度上反映了半群自身的乘法性质半群上 的序也自然成了关注的对象2 0 0 3 年，h ey ，在弘列中利用正则半群自然序 定义了正则半群的一些子类( 即( 弱) 覆盖的完全正则半群) ，并且给出了 歹一覆盖的、弱覆盖的完全正则半群的结构，证明了一个完全正则半群是弱覆 盖的当且仅当是覆盖的在第一章中，我们用h ey 的方式，利用富足半群上 的自然序来定义超富足半群的一些特殊子类；第二节研究了弱了一覆盖的超 富足半群的性质；第三节中给出歹+ 一覆盖的超富足半群的结构；第四节中给 1 2 前言 出了弱覆盖的超富足半群的结构，证明了一个超富足半群是弱覆盖的当且仅 当其是覆盖的这些半群类的关系见下图( 注：( 1 ) 下图中箭头的指向方向代 表包含于关系( 即：) ；( 2 ) 下图中圆角形框内标记的半群类代表本章研究的 半群类) 本论文的第二章研究了冗。一a m p l e 半群的真覆盖问题半群的此类覆盖 问题最早源于逆半群，1 9 7 4 年，m c a l i s t e r 在文献【列j 中证明了，对任意的逆 半群s ，g 是群，存在b 酉逆半群p 及一个幂等元分离的满同态0 ：p s 使得：p o = g ，其中：仃是最小群同余1 9 7 7 年，d b m c a l i s t e r 与n r r e i l l y 在文献【“】中证明了，逆半群s 在群g 上的b 酉覆盖p 产生于s 到可 分解逆幺半群f 的一个严格嵌入问题逆幺半群f 称为可分解的当且仅当 f = e ( f ) u ( f ) ，其中：e ( f ) 是f 的幂等元半格，u ( f ) 是f 的单位群嵌 前言 3 q i 鬟二卜 其中：s ，s 分别是逆半群，b 酉逆半群；o l 是幂等元分离的满同态；e ( s ) 竺 e ( s ) ；卢是满射；且有1 卢- 1 竺e ( s ) 之后，有许多半群专家研究半群的覆盖 问题，包括：s z e n d r e i ，t a k i z a w a ，t r o t t e r ，f o u n t a i n ，a l m e i d a ，p i n 与w e i l 1 9 8 3 年，d b m c a l i s t e r 在文献【酗】中给出了局部逆半群s 的r e e s 矩阵覆 盖的构造，证明了对任意局部逆半群s ，存在一在b 酉逆半群u 上的r e e s 矩阵半群r 及r 的一子半群t 满足：s 是t 的同态像事实上，半群t 可以看成是r 的一个序理想，同态0 ：t _ s 是严格相容的1 9 8 4 年， d b m c a l i s t e r 在文献【以】中给出了正则半群s 的r e e s 矩阵覆盖及其构造， 1 9 8 5 年，d b m c a l i s t e r 在文献【】中给出了局部逆半群s 的一些覆盖定理 及其构造这些文章所提及的覆盖是指：对任意给定的半群s ，找到一个结构 更清楚的半群t 及一个满同态p ：t _ s 上世纪9 0 年代，对于半群的覆盖问题的研究更为广泛1 9 9 0 年，j f o u n t a i n 在文献f 硎中研究了b 稠密幺半群的b 酉稠密覆盖1 9 9 3 年，s z e n d r e i ，m b 在文献【叫】中研究了纯正半群的d 酉覆盖1 9 9 4 年，p g t r o t t e r 与江中豪 【的】给出了正则半群的另一覆盖同年，江中豪在文献瞄石】中给出了幂等元 形成子半群的b 逆半群的b 酉覆盖1 9 9 4 年，j f o u n t a i n 与g m s g o m e s 在【上u 】中关注了真左类型一a 覆盖1 9 9 7 年，郭小江在文献【驯】中给出了纯 正半群的b 酉覆盖的结构及其构造这些文章中所提及的覆盖是指：对任 意给定的半群s ，找到一个结构清楚的半群s 及一个幂等元分离的满同态 ：s 一s 4 前言 2 0 0 2 年，j o h nf o u n t a i n 1 2 在一个研讨会之后总结了构造覆盖的一些基 本方法、技巧，并提出了覆盖的概念其定义如下：令t 是半群s 的子半群，g 为群，若有半群雪及其子半群于构成如下图 二卜 其中：映射o l ，卢为满同态；水平方向的箭头为嵌入映射；映射q 限制到子半群 t 上是同构映射；且有l 卢_ 1 竺t 则称半群s 是s 在群g 的一个p 覆盖， 称同态映射q 为覆盖同态2 0 0 3 年，g r a c i n d am sg o m e s 与v i c t o r i ag o u l d 在文献【l 】中研究了幂等元可交换的有限半群的有限真覆盖( 关注的是有限 弱左a m p l e 半群的有限真覆盖问题) 2 0 0 5 年，a b d u l s a l a a me iq a l l a i 与 j o h nf o u n t a i n 在中研究了左a m p l e 半群的真覆盖问题左a m p l e 半群 可以看成( 2 ，1 ) 一代数关于左一a m p l e 半群子的半群，同态都是指( 7 1 ) 一子半 群，( 2 ，1 ) 一同态若左一a m p l e 幺半群f 满足：f = e ( f ) 冗；( f ) ，则称f 是 可分解的左a m p l e 幺半群其中：冗；( f ) 是恒等元所在的冗+ 一类文中证 明了任何一左一a m p l e 半群的真覆盖( 在右可消幺半群上) 都源于一个严格的 ( 2 ，1 ) - 嵌入a b d u l s a l a a me iq a l l a i 与j o h nf o u n t a i n 的结果告诉我们，左 一a m p l e 半群s 的真覆盖在同构意义下是s 亿：( f ) 次直积的形式： ( s ，g ) s 冗i ( f ) ：s o 夕) ， 其中：p 是s 到可分解左一a m p l e 幺半群f 的严格嵌入映射其中一种特殊 情况：若s 是b 稠密左一a m p l e 半群，则s 可嵌入可分解逆幺半群，s 在右 可消幺半群上的真覆盖源于s 到可分解逆幺半群的严格( 2 ，1 ) 一嵌入本文结 论可用如下图示加以说明， 其e e ：s 雪分别代表左a m p l e 半群，真左一a m p l e 半群；t 为右可消幺半群；映 射q ，卢为满同态；水平方向的箭头为嵌入映射；映射o 限制到子半群e ( 雪) 前言 5 上是同构映射；且有1 卢。竺e ( s ) 2 0 0 7 年，g r a c i n d am s g o m e s 与m 磊r i a b s z e n d r e i 在文献【1 8 】中作了进一步推广去掉了s 是b 稠密左一a m p l e 半 群的条件，研究了可以嵌入可分解逆幺半群f 的左a m p l e 半群的真覆盖i ；q 本文第二章研究了冗。一a m p l e 半群s 在右o 一幺半群r 上的真覆盖问题， 指出：在同构意义下，t 已。- a m p l e 半群s 在右o 一幺半群t 上的真覆盖源于s 到s 的相容子集构成的半群的嵌入问题由格林o 一关系真包含格林木一关 系，所以本章亦推广了上述结论此覆盖见下图说明： 1 卜 政s 卜一 其中：s 在t c - a m p l e 半群；p 是真的冗。一a m p l e 半群；口i e ( p ) ：e ( p ) - - - + e ( s ) 是e ( p ) 到e ( s ) 的同构映射；卢卢- 1 = 盯；盯是p 的最小右。一幺半群同余 6 前言 第一章弱歹木一覆盖的超富足半群 在正则半群中，由于完全正则半群可以表示成群的并，也就是说，每个咒 一类都是群，所以完全正则半群类是正则半群类的核心p e t r i c h 在1 9 7 4 年 【北】，1 9 8 7 年【4 4 】给出了完全正则半群的结构若每一个咒+ 一类都是可消幺 半群，那么这样的半群称为超富足半群( 即一般的超富足半群) ，显然，超富 足半群在富足半群中的地位类似于完全正则半群在正则半群中的地位，而且 完全正则半群是超富足半群的子类，f o u n t a i n 于1 9 8 2 年在文献【】中证明了 半群s 是超富足半群当且仅当s 是完全歹+ 一单半群& 的半格y ( q y ) ，其中对每一个q y 和a & ，有优( s ) = e ( & ) ，垅( s ) = 域( & ) ， r e n 和s h u m 4 】在2 0 0 4 年用p e t r i c h 在构造完全正则半群的思想来构造 超富足半群，他们给出了如何把超富足半群表示成可消幺半群已上的正规 r e e s 矩阵半群瓯= p ( 死；厶，a 口；r ) 的半格y ( q y ) 这个结果不仅加强 了f o u n t a i n 的结果，而且包含了p e t r i c h 的结果 1 9 8 0 年，n a m b o o r i p a d ，k ，在文献【删】中给出了正则半群的自然序之 后，在1 9 8 5 年，m a r kv l a w s o n 在文献【趵】利用幂等元给出了富足半群上的 自然序半群的自然序在一定程度上反映了半群自身的乘法性质半群上的 序也自然成了关注的对象2 0 0 3 年，h e ，y ，在【以】中利用正则半群自然序定 义了正则半群的一些特殊子类( 即( 弱) 覆盖的完全正则半群) ，并且给出 了乒覆盖的、弱覆盖的完全正则半群的结构，证明了一个完全正则半群是 弱覆盖的当且仅当其是覆盖的在本章中，我们利用富足半群上的自然序来 定义超富足半群的一些特殊子类，第二节研究了弱歹+ 一覆盖的超富足半群的 性质，第三节给出了+ 一覆盖的超富足半群的结构，第四节中给出了弱覆盖的 超富足半群的结构，证明了一个超富足半群是弱覆盖的当且仅当其是覆盖的 1 1 引言及预备知识 令s 是一富足半群l a w s o n 2 5 1 在富足半群s 上定义的自然序如 z ，y 当且仅当7 毪冗；，且存在厂e ( 冗：) 使得z = 厂秒； z 2y 当且仅当q ，且存在e e ( c ：) 使得x = 秒e ； 7 8第一章弱歹+ ，覆盖的超富足半群 x y 当且仅当z zy 和x ry 上述偏序限制到幂等元集e ( s ) 上便是我们所熟悉的幂等元上的自 然序，其序关系如下： = ( e ，) e ( s ) e ( s ) i e f = e = 厂e ) 以下四个结论分别引自 2 5 1 中引理2 2 ，命题2 4 ，命题2 5 和命题2 7 引理1 1 1 令s 是一半群o ，b 是s 中的任意正则元，则冗：冗；当 且仅当冗口亿 引理1 1 2 【锏令s 是富足半群，对s 中的任意的元素z 与y ，z y 当且 仅当存在幂等元e 与，使得z = e y = y 1 引理1 1 3 【2 劫令z ，y 为富足半群s 中的任意两个元素，则? z ，y 当且仅 当对每个幂等元y + 7 ，存在一幂等元x + 7 毪使得x + w y + 且x = x + y 对偶地，z 也有类似结论 引理1 1 4 2 翻给定s 为富足半群，则有如下三款成立： ( i ) 若z ，e ( x ze ) 其中e e ( s ) ，则x e ( s ) j ( i i ) 若b ，a ( b za ) 其中a 是正则元，则b 是正则元j ( i i i ) 若z ，y s ，x t g + 可( z c + y ) 且z ，y ( x z 可) ，则x = y 由于自然序在一定程度上反映了半群自身的乘法性质，半群上的自然序 成为引人关注的对象以下结论来自n a m b o o r i p a d 引理1 1 5 【给定s 为一正则半群，p 是s 上的同余对任意的z ，y s 如果在s 上有z y ，则在s p 上有z 砂y ；反之，如果有z 砂可砂，则 对任给的y 7 y p ，存在z 7 x p 使得z 7 y 7 。 ( v x ，y s ) z 可p “今( v x 7 z p ) ( j y 7 y p ) x 7 可7 ；( 1 1 ) 】1 引言及预备知识 ( v x ，y s ) z p 4 秒j d o 号( v x 7 x p ) ( v y 7 y p ) x 7 y 7 9 ( 1 2 ) 易知上述两个命题对p 不一定成立事实上，( 1 1 ) 与( 1 2 ) 分别等价于 如下命题( 1 3 ) 与( 1 4 ) ( v x ，y s ) x p o y p 6 = 争( v x 7 z p ) ( | 秒7 y p ) x 7 7 ； ( v x ，y s ) z p 4 卢，九，卢是满射 证明：( i ) 号( i i ) 令口，卢是y 中任意的两个元素且满足a 卢对任意的 a 昂，如果s 是弱了+ 一覆盖的，则a b 对某些b & 由性质1 2 5 ( i ) ， 可知a o p 因为q ，p 是满射，对任意的v 昂，存 在& 中的元素u 使得“九，芦= v 因此 ? 2 v o = ( 乱) 九，5 v o = v v o = 钉= v o v = v 0 ( 乱) q ，卢= y o u ， 即，v 2 ) ；死( q 1 ，2 ) ) ；丸，卢) 是可消幺半群强半 格半群，其中咖1 ，2 定义如下t 1 咖1 ，2 = 1 t 2 ) 令i t 2 i 2 ，则s 是j 4 一完备的 但不是弱了覆盖的 1 3 了丰一覆盖的超富足半群的结构 在这一节里，我们将给出了+ 一覆盖的超富足半群的结构定理 工3 歹一覆盖的超富足半群的结构 1 5 引理1 3 1 令s 是一超富足半群，a s 及e e ( s ) 如果a e ，则 a e ( s ) 证明：因为a e ，于是存在，g e ( s ) 满足：a ：e ，= g e 所以g a = g g e = g e = a 且a f = e ，= e s = a 则 口 a a = g e e f = g e l = g a = a s = a e ( s ) 引理1 3 2 令s = ( y ；& ，圣q ，卢) 是一超富足半群，其中y = 口，卢( 卢 q ) ) 是仅有两个元素的半格则s 是了覆盖超富足半群当且仅当半群s 满足 如下( i ) ，( i i ) 两款： ( i ) 昂是矩形带j ( i i ) 对任意的a 瓯，映射，卢( q ) 妇) = 如( 咖q ，p k 似= ) 证明：如果s 是了+ 一覆盖的超富足半群，由引理1 3 1 ，j e 7 ( 昂) = 昂因为昂 是完全单半群，所以$ 是矩形带半群我们可以记昂= 如于是，对 任意的( i ，肛) 昂，a & ，( i ，p ) a ，存在元素( j ，p ) c + ( i ，p ) ，( i ，) 冗+ ( i ，p ) 满足 a ( j ，p ) = ( i ，p ) = ( i ，) o 则 ( i ，p ) = a ( j ，p ) = ( ( o ，( ( 歹，p ) ，l o ! 卢) ) ，a a b p t 。声，n 】( o ，p ) ，1 。口) ( 歹，p ) q 卢， 1 q 卢，n ，( j ，肛) ) = ( ( n ，( 0 ，p ) ，1 卢) ) ，a z p 1 卢，卅( o ，p ) ，1 口) 0 ，p ) 卢， 1 b ，n 】，( j ，p ) 】) = ( ( n ，( ( 歹，p ) ，1 卢) ) ，e z ， 1 卢，o ，( j ，p ) ) ( 其中：即是的恒等元) = ( ( n ，j ，p ) 1 6 且有 第一章弱7 + 覆盖的超富足半群 ( i ，肛) = ( i ，) o = ( ( ( z ，) ，( a ，1 触) ) ，( i ，) 触p 1 胁( t ，p ) 1 口。) o 触， 1 芦q ，( i ，) ，o ) = ( ( ( ，) ，( a ，1 芦) ) ，( i ，z ，) 卢p 【l 卢，o ，p ) 】( 口，1 卢) o p ， 1 卢，( i ，) 】，o 】) = ( ( ( t ，) ，( a ，1 卢) ) ，e z ， 1 卢，( i ，) 】，o 】) = ( i ， ，o 】) 所以( a ，j ) = i 及 ，a = p 我i f 经证明( i i ) 成立 反之，如果s 满足( i ) 和( i i ) ，则对任意的x & 和( g ，入) 昂，则存在 m 如和v a z 满足： ( x ，m ) = q ，【v ，卅= 入 则 x ( m ，入) = ( ( z ，( ( m ，a ) ，1 卢) ) ，x z p 1 口，z 】( ( m ，a ) ，1 。) ( m ，a ) 卢， 1 卢，z 】，( m ，入) ) = ( ( z ，( ( m ，a ) ，1 芦) ) ，e 口， 1 卢，z 】，( m ，a ) 】) = ( ( z ，m ) ，入) = ( q ，a ) 且有 ( q ，u ) z = ( ( ( 口，口) ，( x ，1 卢) ) ，( q ，u ) 卯【1 口，国，u ) 】徊，1 声) z 卢， 1 卢，( q ，u ) 】，z ) = ( ( ( g ， ) ，( x ，1 卢) ) ，e z ，【1 芦，( q ，u ) 】，z ) = ( q “u ，z 】) = ( q ，入) 由于( m ，入) c + ( 口，入) ，( g ，u ) 冗4 ( g ，入) ，故( g ，入) z ，所以s 是歹+ 一覆盖超富足 半群口 引理1 3 3 令s = i a y ) 是一7 + 一覆盖的超富足半群且q ，p y 如 果a q 卢卢，贝1 ji 瓯口l = 1 j 3 歹+ 一覆盖的超富足半群的结构 1 7 证明：由引理1 3 1 及引理1 3 2 得：& 口是矩形带半群又因为对任意的 e e ( & ) ，e ( 昂) ，g e ( & 卢) ，g 卢，( i ，a ) ，a ，b 昂，有( a b ，i ) = ( a ，( b ，i ) ) 及 入，a b = 入，口 ，6 ( i i i ) 对所有的q ，卢y ，其中a 卢，卢( o ) 如) = ，( a 卢 o ) ) q ，卢= a 芦； ( i v ) 如果i 厶，入a n 和a 瓯，则 a = ( ( o ，z ) ，a o ， 入，e 1 ) 在s = u & f q y ) 上定义一乘法运算木如下：对任意的a & 与 1 8 第一章弱了+ 覆盖的超富足半群 。半6=娶。茹至蓑三三至嘉，：2 则( s ，术) 是一了+ - 覆盖超富足半群 反之，任意一个7 4 - 覆盖超富足半群都可以同构到一个这种方式构造的 半群 证明：首先，我们证明正面成立把乃中的恒等元记为e 口( 其中：卢y ) 对 任意的o l ，卢y 且o t p ，当卢不是y 中极大元素时，则i 乃i = 1 注意到， 对任意的a & 及b 函， l a b 若q = 卢， 。j ( ( o ，歹) ，p ) 若q 卢，b = ( j ，p ) l ( i ， 入，6 】)若o t 卢= ，y ，贝4 ( a 木b ) 术c = ( a ，j ) ，p ) 木c = ( a ，歹) ，) = ( i ，x ，入) ( j ，1 2 ) = ( i ，z ，入) ( ( 歹，p ) ( 南，) ) = a 木( b 木c ) ( 3 ) 若q 7 ，由( i i ) 得：( a 木b ) 木c = ( a b ) 木c = ( ( a b ，庇) ，) = ( a ，( b ，七) ) ，) = a 木( ( 6 ，后) ，) = a 木( b 木c ) ( 5 ) 若o l = 卢 p ，贝4 ( a 木b ) 木c = ( a ，歹) ，“) 木c = ( ( n ，歹) ， 肛，c ) = a ，一c ( j ，阻，c ) = a 水( b 术c ) ， 】3 歹+ 一覆盖的超富足半群的结构 1 9 ( 7 ) 若q = ，y j 臼 7 ，贝0 ( o 爿cb ) ，l cc = ( ( q ，歹) ，p ) 木c = c = n 丰c = o 木( b 爿cc ) ( 9 ) 若o l 7 p ，贝0 ( 口木6 ) 木c = b ，i cc = o ，i c ( b ，l cc ) ( 1 0 ) 若卢 q 7 ，贝0 ( o 木b ) 木c = ( ( 口木6 ，七) ，) = ( 忌，) = o 木( 七，) = o 木( ( 6 ，尼) ) ，) = 口木( b 术c ) ( 1 1 ) 若卢 ，y o l ，贝0 ( 口木b ) 木c = n 木c = o 木( 6 ，i = c ) ( 1 2 ) 若，y 卢 o l ，贝0 ( o 木b ) 木c = n 木c = o = 口木( b 木c ) ( 1 3 ) 若7 q 卢，贝0 ( n 木b ) 木c = b 木c = ( j ，肛) = o 木( j ，p ) = n 木( b 木c ) 令q q p 卢 ( 1 4 ) 若q 卢= ，y ，贝0 ( 1 5 ) 若口p + ，y ，贝0 ( 1 6 ) 若q p 卢对所有的z & 及( q ，入) 昂，存在m 如及 u a 口满足： ( z ，m ) = q ， u ，z = a 2 0 第一章弱歹+ 一覆盖的超富足半群 则 z ( m ，a ) = ( ( z ，仇) ，入) = ( q ，入) 及 ( q ，u ) z = ( q ， v ，z 】) = ( q ，入) 因为( m ，a ) l ( q ，入) 及( q ，u ) 冗( q ，入) ，故( q ，入) 卢对任意的a & ，j 易，p a 口考虑以下三点： 1 若q 不是y 中极大元素，则a e ( & ) = & ，因此 a ( j ，印，1 卢) = ( ( o ，歹) ，一，一) = ( j ，印，1 b ) ， ( 1 卢，e 卢，弘) o = ( 一，一，阻，n ) = ( 1 卢，e p ，p ) 这意味着：对任意的j ，弘，妒a ，卢( n ，j ) = j = ( o ，j ) 与( p ，n ) q ，口= p = ，o 工3 歹一覆盖的超富足半群的结构 2 1 2 因为s 是一超富足半群，显然地( a b ，i ) = ( a ，( b ，i ) ) 及盼，0 6 = 入，口】，6 】，其中：( i ，入) & a ，b 昂 3 若q 是极大元素，但不是元素p 在y 中的覆盖，则存在元素7ey 满足：o l 7 p 注意到：& e ( s ) ，对任意的c s ， a ( j ，e b ，1 卢) = a ( c ( j ，e 卢，1 卢) ) = ( a c ) ( j ，e b ，1 卢) = ( j ，e 卢，1 卢) ， a ( j ，e 卢，1 口) = ( a ，歹) ，一，一) ， ( 1 卢，e 卢，p ) o = ( ( 1 卢，e 卢，p ) c ) 口= ( 1 卢，e 卢，p ) ( c 口) = ( 1 卢，e 口，p ) ， ( 1 卢，e 卢，肛) o = ( 一，一，【p ，o 】) 因此，对任意的je 乃，pe ，有，卢( 口，j ) = j = ( n ，j ) 及( p ，口) 九，卢= p = ，叫 显然地，o ( 1 卢，e 卢，1 卢) = ( 一，o 卢，一) = ( 一，e 卢，一) ，故钆，卢( o ) = e 卢 对a & ，i 厶，入a a ，由定理1 1 7 ，a = ( a ，z ) ，a q ， 入，o 】) 至此，我 们证明( i i i ) 成立 注意到：对任意的a = ( i ，z ，入) 及b = ( j ，y ，p ) 昂， 一牌劣i f a = 川b , 一l ：q ， 入，6 ) ；竺i 二：卢 一，急，歹，p ，姜三雪鲁：可：。，p ， 一p 嚣震 因此，( s ，。) = ( s ，术) ，故结论成立口 第一章弱7 + 一覆盖的超富足半群 1 4 弱歹木一覆盖的超富足半群 在这一节里，我们将证明一个富足半群是弱覆盖的超富足半群当且仅当 此半群是覆盖的超富足半群更进一步地，在此给出弱覆盖的超富足半群的 结构定理 令s 和t 是半群若：s t 是满同态且满足p = k e r ，p 是丁上 的同余则 p ( e ) = ( n ，b ) s s l ( a p 目，b p o ) 口) 是s 上的同余s ，更进一步地，s p ( e ) 竺t 8 引理1 4 1 引理彳1 1 2 翻 若t 是一弱覆盖的半群s 的同态像，则t 是弱覆 盖的半群 引理1 4 2 引理彳2 钧】令y 是一半格则以下说法等价： ( i ) y 是覆盖的i ( i i ) y 是弱覆盖的i ( i i i ) y 是链 定理1 4 3 令s = & 10 f y ) 是一超富足半群则以下说法等价? ( i ) s 是弱覆盖的i ( i i ) y 是链且s 是了+ 一覆盖的超富足半群j ( i i i ) s 是覆盖的超富足半群 证明：( i ) 号( i i ) 假设s 是弱覆盖的超富足半群因为y 垒酬歹+ ，由引理 1 4 1 ，y 是弱覆盖的，进而y 是链如果i y i = 1 ，显然s 是歹+ 一覆盖的超 富足半群若i y i 2 ，令x & ，y 函，其中0 f ，卢y 且o t p 由引理 1 1 5 ，存在y 7 函满足y 7 口 】4 弱歹+ 一覆盖的超富足半群 是s 的同余，故可7 日= 可7 7 - 4 z ? ，则由s 是了+ 一覆盖的超富足半群，z y ( 2 ) 若乃 乃，则z y ，且z 砂y p b 这与假设条件相矛盾 ( 3 ) 若以= 写，则i = 自根据引理1 2 3 ，x p i = y p b 这与假设条 件相矛盾 故s 是覆盖的 ( i i i ) 兮( i ) 显然成立口 2 4 第一章弱了+ 一覆盖的超富足半群 第二章t 己。- a m p l e 半群的真覆盖 2 1 引言与预备知识 半群的覆盖问题最早源于逆半群，1 9 7 4 年，m c a l i s t e r 在文献【2 9 】中证明， 对任意的逆半群s ，g 是群，存在b 酉逆半群尸及一个幂等元分离的满同态 p ：p s 使得：p o = g ，其中：盯是最小群同余1 9 7 7 年，d b m c a l i s t e r 与n r r e i l l y 在文献【3 2 1 中证明了，逆半群s 在群g 上的b - 酉覆盖p 产 生于s 到可分解逆幺半群f 的一个严格嵌入问题逆幺半群f 称为可分解 的当且仅当f = e ( f ) u ( f ) ，其中：e ( f ) 是f 的幂等元半格，u ( f ) 是f 的 单位群嵌入映射p ：sqf 称为严格的当且仅当对任意的g u ( f ) ，存 在s s 使得：s o g ，其中：是f 上的自然偏序关系d b m c a l i s t e r 与 n r r e i l l y 的结果告诉我们，逆半群s 的d 酉覆盖在同构意义下是s u ( f ) ( s ，g ) sxu ( f ) ：s p 夕) ， 其中：伊是s 到可分解逆幺半群f 的严格嵌入映射逆半群的口酉覆盖构 q i 彳_ 卜 击s 1- 反s 卜一 其中：s ，s 分别指逆半群，e 一酉逆半群；o l 是幂等元分离的满同态；e ( s ) 笺 e ( s ) ；p 是满同态；且有1 卢1 竺e ( s ) m c a f i s t e r 的工作后来由许多半群 专家从不同角度关注过，其中包括：s z e n d r e i ，t a k i 一一z a w a ，t r o t