（通信与信息系统专业论文）基于小线变换的多尺度几何分析方法.pdf

摘要 摘要 随着现代科学技术的进步，在数字图像处理领域也出现了越来越多的新理 论。傅立叶变换是数字图像处理的开拓者，小波分析将数字图像处理领域带入了 一个崭新的领域，而近年来出现的多尺度几何分析方法给予数字图像处理一个新 的研究方向。 本文从理论和应用两个方面分别介绍了多尺度几何分析理论中的b e a m l e t t r a n s f o r m ( 小线变换) 、w e d g e l e tt r a n s f o r m ( 楔波变换) 、r i d g e l e tt r a n s f o r m ( 脊 波变换) 、c u r v e l e tt r a n s f o r m 、c o n t o u r l e tt r a r t s f o r m 和b a n d e l e tt r a n s f o r m 。与小波 多尺度相比较，新的多尺度几何分析理论没有时空限制，而且能利用图像自身的 几何性质来进行编码及变换。处理强噪背景图像时，小线变换是现有方法中效果 最好的，之后出现的楔波变换是由小线变换理论发展而来。脊波变换是这六种新 理论中性价比最高，同时也是应用研究最广泛的一种变换。针对脊波在多尺度分 析时冗余度较大这一缺点，出现了c u r v e l e t 和c o n t o u r l e t 。以上五种多尺度方法 都属于非白适应方法。b a n d e l e t 是自适应方法。 本文重点研究小线变换。小线变换理论分为五部分，分别是小线库、小线变 换、小线金字塔、小线图和小线算法。其中小线库中存储各种方向各种长度的线 段，是小线变换的基础，直接影响重构图像的精度。小线算法包含了小波变换中 常用的算法如二叉树结构，还增加了局部或整体的优化线段链接算法，增大了压 缩比，减少了冗余度，使算法得到优化。处理图像时，首先对图像做小线变换， 再通过小线金字塔和小线图对图像进行区域分割提取线段，将提取到的线段与小 线库中的线段相匹配来确定编码，最后利用小线算法重构图像。 在m a t l a b 环境下对小线代码进行测试仿真。由仿真结果得出小线变换在 重构图像方面效果很好，可以在强噪背景下较好的提取目标图像，采用小线分级 越细，重构后的图像精确度就越高。因此小线变换可应用在模式识别，噪声抑制 和图像重构中。 关键词：多尺度：几何分析；小线变换 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r ns c i e n c et e c h n o l o g y , m o r ea n dm o r en e w t h e o r i e sa p p e a r e di nt h ef i e l do f d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g f o u r i e rt r a n s f o r mi sc a l l e d a st h ee x p l o i t e ro fd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g a n dt h ea n a l y s i so fw a v e l e tt a k e st h e d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gt oaf i r e n e wd o m a i n , w h i l em u l t i - s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s w h i c hg e n e r a t e do n l yf e wy e a r sa g oa l s ob r i n g st h en e w d e v e l o p m e n tt od i 百t a ll m a g e p r o c e s s i n g ， s i xn e wt h e o r i e si nm u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i sa r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e r f r o mt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，w h i c ha r eb e a m l e tt r a n s f o r m ，w e d g e l e tt r a n s f o r m ， r i d g e l e tt r a n s f o r m ，c u r v e l e tt r a n s f o r m ，c o n t o u r l e tt r a n s f o r ma n db a n d e l e tt r a n s f o r m c o m p a r e dw i t ht h em u l t i s c a l ew a v e l e tt r a n s f o r m ，t h en e wt h e o r i e so fm s g aa r e n t r e s t r i c t e db yt i m ea n ds p a c e a n di m a g e sc a l lb ec o d e da n dt r a n s f o r m e dw i t h g e o m e t r i c a lp r o p e r t i e so fi m a g ei t s e l fb ym s g a t h eb e a m l e tt r a n s f o r mi ss of a rt h e b e s tm e t h o di np r o c e s s i n gt h ei m a g ew i t hs t r o n gn o i s e ，a n dw e d g e l e tt r a n s f o r mi s g e n e r a t e df r o mb e a m l e tt r a n s f o r m r i d g e l e tt r a n s f o r mh a v et h eh i g h e s tr a t e o f c a p a b i l i t y - v a l u ea n di ti sa l s oo n eo ft h em o s tp o p u l a rt r a n s f o r mi nr e s e a r c ha n dt h e a p p l i c a t i o n b e c a u s eo ft h eh i g hr e d u n d a n c yr a t eo fr i d g e l e tt r a n s f o r m ，c u r v e l e t t r a n s f o r ma n dc o n t o u r l e tt r a n s f o r ma r ep u tf o r w a r d t h e s ea b o v ef i v et r a n s f o r m s b e l o n gt on o - s e l f - a d a p t i v em e t h o d sw h i l eb a n d e l e tt r a n s f o r mi s o n ek i n do ft h e s e l f - a d a p t i v em e t h o d s t h i sp a p e rf o c u s e so nb e a r n l e tt r a n s f o r m t h et h e o r yo fb e a m l e tc a nb ed i v i d e d i n t of o l l o w i n gf i v ep a r t s ，t h eb e a m l e td i c t i o n a r y , t h eb e a m l e tt r a n s f o r m ，t h eb e a m l e t p y r a m i d ，t h eb e a m l e tg r a p ha n db e a m l e ta l g o r i t h m s 。l i n e so fv a r i o u sl e n g t ha n d d i r e c t i o na r es t o r e di nt h eb e a m l e td i c t i o n a r y , w h i c hi st h eb a s eo fb e a m l e tt r a n s f o r m a n dd i r e c t l yi n f l u e n c et h ea c c u r a c yo fc o n f i g u r e di m a g e b e a r n l e ta l g o r i t h m sn o to n l y i n c l u d es o m ec o r n n l o n a l g o r i t h m si nw a v e l e tt r a n s f o r ms u c h a st h ed y a d i ct r e e s t r u c t u r e ，a l s oi n c l u d el o c a lo rg l o b a lo p t i m a lc h a i n i n go fl i n es e g m e n t s t h u st h e c o m p r e s s i o nr a t i oi si n c r e a s e d ，t h er e d u n d a n c yr a t ei sr e d u c e da n dt h ea l g o r i t h m sa r e o p t i m i z e d ，w h e na ni m a g eb e i n gp r o c e s s e d ，i nt h ef i r s ts t e pi ts h o u l db et r a n s f o r m e d b yb e a r n l e tt r a n s f o r m ，t h e ns e c o n d l yt h et r a n s f o r m e di m a g ei sd i v i d e db yt h eb e a m l e t p y r a m i da n dt h eb e a m l e tg r a p h i no r d e rt op i c k u pt h es e g m e n t s ，a n dw es h o u l dm a t c h 基于小线变换的多尺度几何分析方浊 t h e s es e g m e n t st ot h el i n ei nt h eb e a r n l e td i c t i o n a r yt oc o n f i r mt h ec o d e a tt h el a s t t h e s es e g m e n t sa r eu s e dt oc o n f i g u r ei m a g eb yb e a m l c ta l g o r i t h m t h eb e a m l e tc o d ei ss i m u l a t e di nn i a t l a b w ec a r lc o n d u d ef r o mt h e s i m u l a t e dr e s u l tt h a tb e a m l c tt r a n s f o r mh a sab e t t e r p e r f o r m a n c e o ni m a g e r e e o n f i g u r a t i o na n dp i e k i n gu pt h el a b e l e di m a g eu n d e rt h es t r o n gn o i s e s b a c k g r o u n d t h ea c c u r a c yo ft h er e c o n f i g u r e di m a g e sa d v a n c e dw i t ht h es c a l eo fb e a m s ot h e b e a m l e tt r a n s f o r mw i l lb eu s e di np a t t e r nr e c o g n i t i o n ， n o i s er e d u c t i o na n di m a g er e - c o n s t r u c t i o n k e yw o r d s ：m u l t i s c a l e ，g e o m e t r i ca n a l y s i s ，b e a m l e tt r a n s f o r m 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：纠抠砖 a 海x 其i 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的纸质版和 电子版，有权将学位论文用于非营利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适应本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 ， 2 、不保密( ) 作者签名： 导师签名： 刻良签 徽 日期：葺w 绰 日期：阳停 y 日| ? b 岁月30 日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 数字图像处理技术是近年来蓬勃发展的一个新的研究方向。在短短的历史 中，它广泛应用于几乎所有与成像有关的领域。其中，在数字摄影测量、遥感图 像处理、地理信息系统中应用广泛。 1 8 2 2 年傅立叶提出的傅立叶变换( f t ) 是数字图像处理技术的基础，其通过 在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计 算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言。 八十年代提出的小波变换是近年来兴起的新的数学分支，拥有“数学显微镜” 的美称。它是继傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立叶变换不 能解决的困难问题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时 得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信 号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。 小波分析理论提出后，就以惊人的速度完成了理论构建过程。其应用领域也迅速 从数学、信号处理拓展到物理、天文、地理、生物、化学等其他各个学科。多年 来一直在各学科领域中发挥非常重要的作用，成为继傅立叶分析之后的有力分析 工具。 一 ， 在高维情况下，小波分析不能充分利用数据本身特有的几何特征，不是最优 的或者说“最稀疏”的函数表示方法。在过去几年中，在数学分析、计算机视觉、 模式识别、统计分析等不同学科中，分别独立地发展着一种彼此极其相似的理论， 称为多尺度几何分析( m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ：m s g a ) 。发展多尺度几何 分析的目的是寻找一种新的高维函数的最优表示方法。目前提出的比较有代表性 的变换有b e a m l e t 、r i d g e l e t 、c u r v e l e t 、c o n t o u r i e t 、b a n d e l e t 和w e d g e l e t 等。 多尺度几何分析提出比较晚，实际应用还不多见。相信在相关理论算法架构 成熟以后，m s g a 能在模式识别，图像去噪，边缘保护等方面有广阔的应用前 景。因此开展关于多尺度几何分析的研究是非常有意义的。 基于小线变换的多尺度几何分析方法 1 2 论文的主要研究工作 本论文主要是在傅立叶变换和小波分析的不足之处的基础上，对近年来新提 出的多尺度几何分析中的几种方法进行了研究。主要研究工作集中在两个方面， 分别是理论部分的整理学习和对提供的代码进行测试仿真。 具体研究工作为： 1 整理学习有关傅立叶变换和小波分析的理论及应用研究，了解其处理数 字图像时的不足之处，如不能很好的处理高维数据、压缩数据冗余度较 高、去噪能力不强等。 2 搜集整理了有关多尺度分析的资料，包括b e a m l e t 、r i d g e l e t 、c u r v e l e t 、 c o n t o u r l e t 、b a n d e l e t 和w e d g e l e t 的理论介绍和发展应用。针对傅立叶变 换和小波分析变换域受时空限制，不能根据图像自身特点处理图像等不 足，确定多尺度几何分析的研究重点为根据图像本身的几何性质处理图 像，以及如何处理强噪背景图像。 3 熏点分析研究小线变换，在掌握小线理论的基础上，开展了对小线的初 步研究。对小线变换的代码进行了初步的测试仿真，仿真结果表明小线 在处理图像时可以精确提取目标轮廓并具有良好的去噪能力。 2 第二章从傅立叶变换到小波分析 第二章从傅立叶变换到小波分析 本章介绍了数字图像处理的概况及用于处理图像的两种变换的一些基本理 论和应用。其中傅立叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善，应用程序多， 在数字处理领域中起着非常重要的作用。而小波分析足近2 0 年发展起来的，发 展相当迅速，理论也逐步趋于完善。小波分析保持了经典傅立叶分析的优点，弥 补其不能时频兼顾的不足。尤其是对时变的非平衡信号的独特处理技术，使小波 分析在许多技术领域受到重视，并得到广泛应用。 2 。1 数字图像处理概述 2 1 i 数字图像处理技术的发展 图像是一种信息，是我们自出生以来的体验中最重要、最丰富的部分。它并 不仅仅只是我们常见的图片或者仅仅是可见的图像，它是以各种各样的形式出现 的，如彩色的和黑白的，可视的和非可视的，抽象的和实际的。图像处理就是对 图像信息进行加工以满足人的视觉心理和应用需求的行为。图像处理技术基本可 以分成两大类：模拟图像处理( a n a o gi m a g ep r o c e s s i n g ) 和数字图像处理 ( d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ) 由于计算机只能处理数字，所以在自然的形式 下，图像不能由计算机直接分析。此时就需要将图像转化为数字形式i i , 2 , 3 1 0 ， 数字图像处理技术是2 0 世纪6 0 年代随着计算机技术和( v l s iv e r yl a r g e s c n ei n t e r g a t i o n ) 的发展而产生、发展和不断成熟起来的一个新兴技术领域，指 的是将图像模拟信号转换成数字信号并币用计算机进行处理的过程。它在理论上 和实际应用中都取得了巨大的成就。 从2 0 世纪7 0 年代中期开始，随着计算机技术、人工智能和思维科学研究的 迅速发展，数字图像处理技术向更高、更深层次发展。人们已开始研究如何用计 算机系统解释图像，类似人类视觉系统理解外部世界，这被称为图像理解或计算 机视觉。很多国家，特别是发达国家投入更多的人力、物力到这项研究，取得了 不少重要的研究成果。其中代表性的成果是7 0 年代末m i t 的m a r t 提出的视觉 计算理论，这个理论成为计算机视觉领域其后十多年的主导思想。 基于小线变换的多尺度几何分析方法 2 0 世纪8 0 年代末期，人们开始将其应用于地理信息系统，研究海图的自动 读入、自动生成方法。数字图像处理技术的应用领域不断拓展。数字图像处理技 术的大发展是从2 0 世纪9 0 年代初开始的。自1 9 8 6 年以来，小波理论与变换方 法迅速发展，它克服了傅里叶分析不能用于局部分析等方面的不足之处，被认为 是调和分析半个世纪以来工作之结晶。m a l l a t 在1 9 8 8 年有效地将小波分析应用 于图像分解和重构。小波分析被认为是信号与图像分析在数学方法上的重大突 破。随后数字图像处理技术迅猛发展，到目前为止，图像处理在图像通讯、办公 自动化系统、地理信息系统、医疗设备、卫星照片传输及分析和工业自动化领域 的应用越来越多。 进入2 l 世纪，随着计算机技术的迅猛发展和相关理论的不断完善，数字图 像处理技术在许多应用领域受到广泛重视并取得了重大的开拓性成就。属于这些 领域的有航空航天、生物医学工程、工业检测、机器人视觉、公安司法、军事制 导、文化艺术等。该技术成为一门引人注目、前景远大的新型学科。 2 1 2 数字图像处理的分类 数字图像处理可按处理的对象分为以下三类，图像到图像的处理，图像到数 据的处理和数据到图像的处理 1 , 2 1 0 ( 1 ) 图像到图像 图像到图像的处理，其输入和输出均为图像。这方面的技术主要有图像增强、 图像复原和图像压缩编码。 图像增强各类图像系统中图像的传送和转换中，会造成图像质量有一定程 度的下降。图像到图像的处理，不考虑图像降低质量的原因，只是突出了图像中 重要的特征部分，衰减了次要的信息，并增强了图像中的某些特征，从而提高图 像的可读性，使处理后的图像更适合人眼观察和机器分析。通过图像增强，可以 使处理后的图像比处理前更适合某种应用，例如显示、分析、创意等。图像增强 的方法有很多种，例如可以通过修正图像的灰度值来增强图像的对比度，划+ 图像 进行平滑可以抑制图像传送中掺杂的噪声，利用锐化技术可以增强图像的边缘轮 廓等等。 图像复原针对图像质量下降的原因来补救，使改善后的图像尽可能的接近 d 第一二章 从傅立叶变换到小波分析 原来的图像。其目的是去除干扰和模糊，从而恢复图像的本来面目。图像复原是 试图利用退化的先验知识，建立相应的数学模型，沿着图像降质的逆过程，把已 经退化的图像加以重建和复原。图像复原的基本方法有逆滤波器法，维纳滤波及 一些非线性的复原方法。 图像编码在保持一定图像质量的条件下，用尽可能少的比特来表示图像信 息。这样可以节约图像存储空间、减少传输信道的容量、缩短图像加工处理时间。 常用的压缩编码方法主要有l z w 编码、霍夫曼编码、变换编码( 如k l 变换编 码) 、矢量量化编码法。近年来，图像压缩编码领域也越来越多的使用到分形编码 和小波变换的技术。在实际的应用中，通常是几种图像压缩方法结合起来使用。如 j p e g 的压缩过程可分为颜色模式转换及采样、d c t 变换、量化、编码几部分”1 。 ( 2 ) 图像到数据 图像到数据的处理是指输入端是图像，输出端是所输入的图像内容的数据表 示。这一类图像处理技术包括图像分割、图像识别、特征提取等。 图像分割是将数字图像分割成互不相交的区域。可以采用三种不同的原理实 现。一是区域法，即将图像划分为内部点集和外部点集，从而实现分割，使各象 素划归到各个物体或区域中，特别适用于物体与背景有较强对比景物的分割。如 阀值处理。二是边界法，该种方法利用边界具有高梯度值的性质直接确定存在于 区域间的边界。实现方法有边界跟踪、梯度图像阀值化和拉普拉斯边缘检测。三 是边缘法。先检测每个像素和其直接邻域的状态，并决定该像素是否处于某个物 体的边界上。常用的边缘检测的算子有s o b e l 、p r e w i t t 、k i r s c h 等。 图像识别也称模式识别，在图像识别中很重要的一点是特征提取。图像的特 征，可以理解为图像中标志性的属性。把图像的特征数字化的过程就是特征提取。 特征提取的过程比较复杂，和所识别对象的很多外观性能都有关，需要整体充分 的把握。因此对于不同的识别对象需要考虑不同的特征提取方法。 ( 3 ) 数据到图像 在数据到图像的处理中，输入端为数据，输出端为图像，可以看作是图像重 建。通常我们是把图像用数组表示出来，然后发送，那么采集到这些数据之后就 要利用这些数据来建立图像。图像重建主要算法有代数法、迭代法、傅立叶反投 影法和卷积反投影法等。 基于小线变换的多尺度儿何分析方法 2 2 傅立叶变换 傅立叶变换( f t ) 是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回 切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图 像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换、图像编码与压缩、图像分割、图像 重建中。因此，对涉及数字图像处理的领域，深入研究和掌握傅立叶变换及其扩展 形式的特性，是很有价值的。 2 2 1 一维离散傅立叶变换f t ) 设f ( x ) 为输入离散序列，f ( ) 为f ( x ) 的离散傅立叶变换“1 ，则 正变换为： 凡肋2 赤萎厂( 咖嘴叫_ o 1 ，2 ，- 1 d 反变换为： ，( x ) = 每2 f ( i - t ) 陈”，x = o ，1 ，2 ，n - 1 ( 2 2 ) 吖i vj ：0 2 x 其中，为输入序列的点数，= p 。”为傅立叶变换权函数。通过上面的公式 可看出，获得每一个的计算量都大得惊人，其时间复杂性为o ( n 2 ) ，因而在实时 性要求较强的系统中，几乎没有实用价值。 观察权函数砰，可发现它具有如下两个性质： 1 周期性仰公 “= 讳铲 2 对称性 蝶州。= ( 阡铲) + 眵亨“) _ 一w n e o ( 阡铲) + 为阡铲的共轭复数。这样，我们就能以权函数阡这两个固有性质为 基础，对，( 功序列作一些适当变换，将一个较大的n 分解成若干个较小的n ，使整 个傅立叶变换的计算过程变成一系列的迭代过程，就能大大减少运算次数，提高 运算效率，这就是快速傅立叶变换( f f t ) 的基本思想”1 。 6 第二章从傅立叶变换到小波分析 2 2 2 一维快速傅立叶变换( f v r ) 实际工作中，均采用快速傅立叶变换“1 。一维f f t 算法主要有按时间抽取的 和按频率抽取的基2 f f t 算法，它们都要求输入序列长度n 为2 的整数次方，实现 过程均存在对称性( 其算法思路描述略) 。两种快速算法均以2 为基，对n = 2 ”的 运算，需m = l o g ：n 次迭代( n 为输入序列的点数) ，计算仅需( n 2 ) l o g ：n 次复数 相乘和n l o g ，n 次复数相加，计算量比直接计算d f t ( n 2 次) 大大减少了。 它们的区别是：按时间抽取的基2 f f t 算法是对输入序列进行奇偶分组，其输 入为原始序列的乱序，而按频率抽取的基2 f f t 算法是对输出序列进行奇偶分组， 其输出为所需序列的乱序。但乱序和自然顺序之间存在着极其简单的规律，即乱 序序号是自然顺序序号的二进制码的码位倒置。 两种快速算法的分析方法也同样适用于快速傅立叶反变换( i f f t ) ，在傅立叶 反变换中由于其输入序列是频率域的值，而输出序列是时间域的值，因而按时间 抽取的基2 f f t 算法对应于按频率抽取的基2 1 f f t 算法，按频率抽取的基2 f f t 算 法对应于按时间抽取的基2 i f f t 算法。这样，在进行i f f t 时，可完全采用与f f t 相同的顺序，仅对其权函数作一些改动。 2 2 3 二维快速傅立叶变换( f f t ) 二维d f t 定义为”“1 ，设f ( x ，y ) 是二维离散输入数据，f ( u ，v ) 为f ( x ，y ) 的二 维离散傅立叶变换，则正变换为： f ( 川) 2 丽1m 磊- l 邑m 川矿二矿岩7 a = 0 ，1 ，2 ，一，1 ，u = 0 , 1 ，2 ，一1 ( 2 3 ) 反变换为： f ( x , y 净击萎荟f ( i z , v ) _ ” 工= 0 ，1 ，2 ，m 一1 ，y = 0 ，1 ，2 ，n l 2 x2 ” 其中：m ，n 为输入阵列点数，= e - 3 面、= e 1 百，分别为x 权函数。 ( 2 4 ) y 方向变换的 基于小线变换的多尺度几何分析方法 二维d f t 的直接运算比一维d f t 要复杂得多，然而我们可依据二维f t 的可分 离性，将其转化为一维f t ，再运用前述的f f t 算法对其求解。 地印= 赤篓瓠办嘴嘴= 面1m 刍。憎面1 黔n - i 咖聪 ( z _ 5 ) 根据公式2 5 ，令： ，( 曩2 者荟八五力蚓。 娌。6 f ( x ，u ) 为f ( x ，y ) 在y 方向n 点的d f t ，则有： ，( 4 v ) 2 寿萎f ( 薯峭。 吃7 公式2 7 表示f ( x ，u ) 在x 方向上m 点的d f t 。于是，一个m n 阵列的二维d f t 可转化为一次y 方向n 点的一维d f t 和一次x 方向上m 点的一维d f t ，而这两次 一维f t 均可使用f f t 算法。二维离散傅立叶反变换( i d f t ) 存在相同的可分离性， 即可将m n 点频域阵列的i d f t 转化为一次u 方向n 点的一维i d f t 和一次方 向m 点的一维i d f t ，且先变换l ) 方向或先变换方向不影响结果改变，也可使用 前述一维f f t 算法进行计算。 因为数字图像信号是二维m n 阵列，所以数字图像的f t 是二维的f f t 。 2 3 小波分析 小波分析的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称 它是继1 8 2 2 年傅立叶提出傅立叶变换之后又里程碑式的领域，解决了很多傅 立叶变换不能解决的困难问题小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短 时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非 平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极 好应用价值 图像经过小波变换后被分割成四个频带：水平、垂直、对角线和低频，其中 低频部分还可以继续分解。图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原 图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压 缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集 第二章从傅市叶变换到小波分析 中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少。水平、垂直和对角线 部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。 低频部分可以称作亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对所 得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处 理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真 或者无失真，例如采用无失真d p c m 编码；对细节图像可以采用压缩比较高的编 码方案，例如矢量量化编码、d c t 等， 2 3 1 第一代小波基本理论 ( 1 ) 连续小波变换 小波”1 是指函数空间r ) 中满足下述条件的一个函数或者信号妒( f ) ，其傅 立叶变换为佃) ： q = r 警i 机a o 旺s ， wi 这里，r + = r 一 0 ) 表示非零实数全体。那么妒( f ) 即为一个基本小波或母小波。母 小波的中，c , , v 【= f z - t = 0 ，妒( f ) 围绕舛由震荡，均值为零，即f ( f ) 盔= 0 。图2 1 为几 ； 种母小波( 时域中) 。将母小波经过伸缩、平移后就可以得到一个小波序列 3 南泓t - 口b ) 鸲。 掣 其中1 7 l 为伸缩因子，b 为平移因子。 小波函数在几何形状上一般都具有两个基本特征，即必须是振荡函数和迅速 收敛的函数在选取或自己构造小波函数时，必须遵循以上两个准则尺度因子和 平移因子的不同会给小波函数的几何形状带来很大的变化。因此基本小波函数的 选取很重要，常常取决于实际应用。 对于任意的函数或者信号f ( t ) ，其小波变换定义为 哆心6 ) - 胁) 磊融2 而1 rp 妒( 等矽 ( 2 1 0 ) 、i “ir ” 基于小线变换的多尺度几何分析方法 图2 1 母小波 因此，对任意的函数f ( t ) ，它的小波变换是一个二元函数此变换就是把 厂( f ) 投影到公式2 1 l 描述的小波基上。在每个基函数上，小波系数( 口，6 ) 度量 了邝) 射波基哦n 。的一个基函数。2 丽1 ( 半) 的匹配程 度。图2 2 ( a ) 表示了连续小波变换过程。 2 南c 马a h 硅m 例 ( a ) 鑫i ，b i ) 聃氍“i ：) 酬# 。嗡 第二章 从傅立”变换到小波分析 ( b ) 图2 2 连续小波 ( a ) 连续小波变换过程( b ) 连续小波逆变换过程 由小波系数重构信号，( f ) ( 即小波逆变换) 给小波基的每个函数虬。一个权 值，该权值就是小波变换得n 雕j d , 波系数野( ，6 ) ，小波系数与它对应的小波基 函数的乘积哆( n ，6 ) 虬。表示，( f ) 投影在该基函数上的成份，把所有可能的乘积相 加并调整幅度就得到原来的信号f ( t 1 。 饨卜! 们j f 。w r 南y c 争等 仁功 图2 2 ( b ) 表示小波逆变换过程。 ， ( 2 ) 离散小波变换 为了便于用计算机对信号进行处理，实际应用中常常用到的是离散小波变换 ”1 。离散是针对连续的尺度参数口和平移参数b 的，为方便起见，在离散化中限 制口只取正值，通常取离散化公式a = ，b = 施撬，这里j z 。扩展步长a 。1 是固定值，为方便总假定a 。 1 ( 由于，可取正也可取负，所以这个假定无关紧 要) 。实际中，最常用的是二进小波，即取a 。= 2 ，6 0 = 1 ，这样由母小波经过伸 缩、平移后得到的小波为： 伤，女t ) = 2 - j 2 矽( 2 t - k ) ，歹，老z ( 2 1 3 ) 小波系数为： 基于小线变换的多尺度几何分析方法 逆变换为： w ( j ，_ j ) = f ，( f ) 吩，。( f ) 出 r f 2 1 4 ) 厂( r ) = 哆( ，七) ，。( f ) ( 2 1 5 ) j z e z 此时的离散小波变换处理的信号在时问上是连续的，只是用了间隔为2 ，的 离散采样网格，厂( f ) 在间隔为2 的采样网格( 分辨率为2 。) 上的采样值是f ( t ) 在大小与2 成比例的邻域上的局部平均值。图2 3 表示了采样网格随尺度2 ，变化 的情况，也即伸缩一平移后的小波的时频窗。 豫躞0 图2 3 离散小波时频窗口 “十颁谢 ：| 舢诧 嫩寸扛) 要用计算机来处理信号和图像，还需把小波在时闻轴上离散化为妒( n ) ，当然 信号也是离散的。公式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 变为： w s ( j ，_ j ) = 2 叫2 f ( n ) g t ( 2 7 n - k ) ( 2 1 6 ) ，( 栉) = w f ( j ，七) 2 - j 1 2 ( 2 n - k ) ( 2 1 7 ) j = ok = o 信号在小波基下分解等价于信号通过某个分解滤波器，而由小波系数重构信号 等价于小波系数序列通过某个重构滤波器，用这些滤波器可实现快速小波变换“1 。 第二章从傅立叶变换到小波分析 2 3 2 提升框架与整数小波变换 ( 1 ) 第二代小波 第一代小波具有如下性质”1 ： 1 ) 小波基是r 轵) 空间的r i e s z 基，还是l e b e s g u e 、l i p s c h i t z 、s o b o l e v 和 b e s o v 空间的无条件基。 2 ) 小波及其对偶在空间和频域是局域化的，有些小波还是紧支的。 3 ) 小波分析可纳入多分辨分析的框架，这导致了快速小波变换算法。 但是，小波在不一定是彼此的伸缩与平移，在研究中常有如下需要： 1 ) 第一代小波提供了定义在r 4 上函数的基，但在处理数据分割、在一般定 义域上的微分和积分方程的求解时，需要定义在任意的、可能不光滑的 域上的小波。 2 ) 第一代小波典型地只提供具有不变测度的空间的基，而微分方程的对角 化、在曲线或表面上的分析等需要可适应加权测度的基。 3 ) 第一代小波隐含对数据进行规则采样，而实际问题经常要处理不规则采 样的数据。 满足以上1 3 性质的第一代小波的推广就称为第二代小波。可以利用提升 框架构造它。 ( 2 ) 提升框架”1 考虑信号x = 札i k 尺 。，把x 分成二个不相交的集合：偶下标采样 x 。= x ：。) 。和奇下标采样x 。= b ：。 。，通常情况下这两个集合是紧密相关 的，因而从一个集合能很好地建立另一个集合的预测p d = 一p ( x 。) ( 2 1 8 ) 知道了d 和奇采样值，可立即恢复信号 t = d + 尸k ) ( 2 】9 ) 若p 性能好，则d 将是一个稀疏集，换言之，我们期望d 的一阶熵小于x 。的。 令五o m = x 2 女， o 2 m = x 2 k + l ，七z ，取九= 0 , 2 k 尼z ，利用相邻两偶采样 对奇采样进行预测，记下差值： 基于小线变换的多尺度几何分析方法 如蕊档 。1 2 雄洲 ，。，。= 吣。一委k + 五吐。+ ，) 。 迭 | 乃洲 黼 i 夕i i 夕 l ，4l ，4 一 图2 4 提升框架示意图 ( a ) 小波系数的几何含义( b ) 分解过程 7 | ( 2 2 0 ) ( a ) 如果信号是相关的，那么大多数小波系数y 。；将很小。在理论上，我们可以 继续通过对阻。，。 。施加以上操作，然而，上述简单的操作性能并不好，为此引 入另一个条件，即希望五卅系数的平均值在每一次分解时保持一致，或者说使 。五吐+ = 去。氐，。，此前所进行的下采样很显然不具有这种特点，我们可通过 借助于y 。对厶；进行提升来实现这点： 1 4 一 一 抄 、 第二章从傅立叶变换到小渡分析 卫，。 = 爿山+ p 小，+ ，m ) ( 2 2 1 ) 现在，每一级小波变换由两步构成：首先计算小波系数，其次提升下采样系 数。逆变换可立即得到：只需把公式( 2 2 1 ) 中的加号换成减号，再把公式( 2 2 0 ) 的等式中的项作一下移动即可。整个计算过程如图2 4 所示。 ( 3 ) 提升方案的一般方法 给定双正交滤波器算子的初始集合扫产，豆芦，g 产，o 芦 ，那么可通过如下 方法获得一个新的双正交滤波器算子集扫，詹，g j ，o ，j 【h i = h ：d j 骨，2 疗少+ 墨掣( 2 2 2 ) lg j = g 夕一s ，* h ，o l d 【每= 掣 公式中s j 是一个从，2 c ，) ) 到，2 暖0 ) ) 的算子。 用提升框架构造小波变换有如下优点： 1 ) 同址计算：即不需要辅助存储器，原信号( 图像) 可被小波变换的结果 覆盖。 2 ) 更快的小波变换：传统上，快速小波变换首先把信号分解成高通和低通 成份，并进行下抽样，然后对低通成份重复进行该过程直到所需要的变 换级数。提升方案可把变换速度提高l 倍。， 3 ) 不需借助傅氏分析便可获得逆变换。实际上，只要简单地调整一下正变 换中的正负号即可。此优点使得不需要很强的傅氏分析的背景便可理解 小波的特性和小波变换。 提升框架为扩展小波变换的应用领域提供了更多的灵活性。常规的小波变换 都是采用浮点运算的，但利用提升框架所带来的便利，可十分方便地构造整数到 整数的小波变换。将整数小波变换用于图像压缩就可以用小波变换进行无失真的 图像压缩。利用提升框架进行的小波变换如图2 5 所示，图中k 为变换尺度因子。 图2 5 利用提升框架进行分解与重构 ( a ) 分解示意图( b ) 重构示意图 ( 4 ) 整数小波变换 在实数域小波分析中进行数值计算的时候，需要二进制与十进制数据之间的 转换，用有限数代替实数就不可避免的会引入误差。将整数小波变换用于图像压 缩就可以用小波变换进行无失真的图像压缩”“”。 最早的整数到整数小波变换是s 变换，是哈尔( h a a r ) 变换的整数形式： 1 , l 飞2som,21+l-s，0,21l ss 2 j 。 ( 2 z s ) v = 叫+ m u 。 s a i d 和p e a r l m a n 提出了s + p ( t r a n s f o r m + p r e d i c t i o n ) ，就是在s 变换之后，利用 低通滤波器的系数来产生一个新的高通滤波器系数，它的一般形式是： fd 拶= s 0 2 ，“一s o 埘 s l , i = 吣f + 忉2 j ( 2 2 4 ) l d 1 ，= 卅? + k 。g v 一：一s 。卜，) + 口。g 。，一s u ) + 口，b ，一s “。) 一届d 盟，j 公式中口一l = o ，d o = 2 8 ，口1 = 3 8 ，届= 一2 8 。 s 和s + p 变换的逆变换由公式2 2 3 和公式2 2 4 将执行顺序变动一下，再改 变一下相关项的符号就可以获得。 通常小波滤波器的系数都是浮点数，只能把整数映射成浮点数，要进行无失 真变换，必须构造把整数映射成整数的小波变换，提升框架( l i f t i n gs c h e m e ) 为 此提供了一种有效的方法，所有正交或双正交小波滤波器，用提升框架进行分解 第二章从傅立叶变换到小波分析 后，都可用与s + p 类似的方式来构造变换的整数版本。 2 3 3 多尺度小波变换 ( 1 ) 方向小渡变换 图像的方向性( 如边缘的方向性、纹理方向性等) 是图像的一种特征，在图像 分析和图像处理中有