（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）水火加工船体外板的表达与展开及软件实现.pdf

水火加工船体外板的表达与展开及软件实现 摘要 本文根据水火加工船体外板自动化的实际需要，将水火加工船体外板三维表达， 在此基础上对船体外板展开，并求得船体外板的展开裂缝，即水火加工船体外板时所需 要的收缩量。最后将水火加工船体外板的表达与展开程序化，开发了一套水火加工船体 外板表达与展开软件。 本文主要应用非均匀b 样条知识将水火加工船体外板三维表达，对其中涉及到的 主要算法，如正算、反算、德布尔算法、边界条件等进行了研究。在船体外板三维表达 的基础上，寻求出一种适合展开水火加工船体外板( 帆形板和鞍形板) 的四边形网格展 开方法，该方法的总体思路是曲面划分成一系列空间四边形网格代替，在空间四边形网 格极小的情况下，将空间四边形网格近似为平面四边形网格，从而整个曲面近似为可展 棱面，然后将可展棱面按其在曲面上的拓扑结构以不同的展开中心展开到平面上得到船 体外板曲面的展开图及相应的所有裂缝。同时计算展开的面积误差，综合面积误差和实 际水火加工时焰道的布置来确定最后的展开结果。对于帆形板来说，裂缝值就是水火加 工时所要求的收缩量，对于鞍形板来说，叠缝值需要转化为裂缝值，即水火加工时所需 要的收缩量，这需要进一步的研究。 水火加工船体外板表达与展开软件系统，以w i n d o w s 作为软件的开发平台，由于 其特有的面向对象的程序设计方法及消息驱动等许多优点，使程序结构清晰、易于维护 和扩充；采用v b 6 0 作为用户界面的程序设计语言和系统的开发语言，以a u t o c a d 为 图形支撑软件。应用非均匀b 样条知识和四边形网格法展开船体外板曲面完成整个系 统，本系统主要包括窗体模块、全局变量定义模块、插值算法模块、帆形板展开模块、 鞍形板展开模块、误差计算模块以及绘图模块。其中绘图模块是在v b 中调用a u t o c a d 绘制水火加工船体外板的表达与展开图。该系统用户界面友好，人机交互，易于操作。 最后利用水火加工船体外板表达与展开软件系统表达和展开了两张帆形板和两张 鞍形板实例，通过曲面划分加密展开得到的裂缝值是收敛的，证明本文方法是可行的和 正确的，最后次展开的裂缝结果和大连新船重工的展开结果之差在误差之内，表明本系 统是可行的和可用的，从而也证明了四边形网格法展开基于非均匀占样条表达的水火加 工船体外板的可行性，对船体外板的水火加工自动化有一定的积极意义。 关键词：水火加工船体外板；非均匀b 样条；四边形网格；展开；裂缝；软件系统；帆 形板；鞍形板 查坐垫三墅堡! ! 堡塑墨姿皇壁茎墨竺生壅堡 一 a b s t r a c t a c c o r d i n g t ot h ep r a c t i c a ln e e do fa u t o m a t i o no fh u l lp l a t eb e n d i n gb yl i n eh e a t i n g ， h u l lp l a t ei sr e p r e s e n t e db yn o n - u n i f o r mb - s p l i n e i no r d e rt og e tt h ec r o c kw i d t ho f h u l l p l a t eb e n d i n gb yl i n eh e a t i n g ，h u l lp l a t ei sd e v e l o p e d a n dt h ec r a c kw i d t hi s t h ew i d t ho f s h r i n k f i n a l l y t h ep r o c e s so f e x p r e s s i o na n d d e v e l o p m e n t o f h u l lp l a t ei sp r o g r a m m e d t h ea r t i c l ee x p r e s s i o n sh u l lp l a t eb e n d i n gb yl i n eh e a t i n gb yn o n - u n i f o r mb s p l i n e ， s t u d y i n g t h e a l g o r i t h m s ，i n c l u d i n g i n t e r p o l a t i o n ，b o u n d a r yc o n d i t i o n ，e t c b a s e d 0 1 1 t h r e e d i m e n s i o n a le x p r e s s i o no fs h i ph u l lp l a t e ，ak i n do fd e v e l o p m e n tm e t h o df i tf o rh u l l p l a t eb e n d i n gb yl i n eh e a t i n gi sa c h i e v e d ，t h a ti sq u a d r a n g l ea l g o r i t h m s t h em e t h o d i st h a t s p e c i a lq u a d r a n g l e sa r ea p p r o x i m a t e l yp l a n a rq u a d r a n g l e sw h e ns p e c i a lq u a d r a n g l e sa r ev e r y s m a l l ，t h e np l a n a rq u a d r a n g l e sa r ed e v e l o p e dt op l a n e ，a tl a s tt h ec r a c kw i d t hi sg a i n e d t h e c r a c kv a l u eo fs a i l e dp l a t ei ss h r i n kv a l u et h a th e a t i n g q n o rp l a t en e e d t h ew r a pv a l u eo f s a d d l e - b a c k e d p l a t ei s n tt h es h r i n kv a l u et h a th e a t i n g a r l t l o rp l a t en e e d s ，a n dm o r er e s e a r c hi s n e c e s s a r y i no r d e rt og e tt h es h r i n kv a l u eo fs a d d l e - b a c k e d p l a t e t h es o f t w a r e s y s t e mo fe x p r e s s i o na n dd e v e l o p m e n to fh u l lp l a t eb e n d i n gb yl i n e h e a t i n gi sb a s e d o nw i n d o w s p l a t f o r m b e c a u s eo f w i n d o w sp l a t f o r m sm a n ya d v a n t a g e ss u c h a so b j e c t i v eo r i e n t e dp r o g r a mm e t h o da n dm e s s a g ed r i v i n g ，t h ep r o g r a mh a sc l e a rs t r u c t u r e a n di ti se a s yt ob em a i n t a i na n d s t r e n g t h t h es y s t e mi sf i n i s h e db yu s i n gv b a st h ep r o g r a m l a n g u a g et o m a k et h eu s e ri n t e r f a c e ，a n dt h e p r o g r a mt o o l ，u s i n ga u t o c a d 2 0 0 4a st h e g r a p h i c ss u p p o r t i n g s o f t w a r ea n d a p p l y i n g t h e l a n g u a g e o fn o n - u n i f o r m b - s p l i n e a n d q u a d r a n g l e sa l g o r i t h m s f i n a l l ya p p l y i n gt h es y s t e m t oe x p r e s sa n dd e v e l o pt w o p i e c e so fs a i l e dp l a t ea n dt w o p i e c e so fs a d d l e b a c k e dp l a t e ，t h ee x p r e s s e da n dd e v e l o p e do u t c o m et e s t i f yt h es y s t e mt ob e f e a s i b l ea n da p p l i e d ，a n di tp r o v e sq u a d r a n g l e sa l g o r i t h m st ob ef e a s i b l e k e yw o r d s ：s h i ph u | ip i a t eb e n d i n gb y a d r a n g l e ；d e v e i o p m e n t ：c r a c k ：s o f t w a r e p ia t e i i ir eh e a t in g ：n o n u n i f o r mb - s p fi r e ： s y s t e m ：s a ji e dp i a t e ：s a d d i e b a c k e d 水火加工船体外板的表达与展开及软件实现 1 引言 1 1 课题的意义“1 - ”4 1 双曲度船体外板的水火弯板( l i n eh e a t i n g ) 成形工艺于二十世纪五六十年代起源于日 本，由于其加工快、操作灵活、不需要其它设备及适于复杂形状的成形加工等优点，而 被迅速及广泛地应用于世界各地的船厂中，并成了双曲度外板的主要加工方式，目前几 乎所有的双曲度船体外板都是采用水火弯板工艺成形的。 然而，长期以来，这项工艺一直靠工人凭经验手工操作。一般认为，这种经验型的 加工模式不可避免得存在着如下不足：水火弯板加工经验的获得需要长期的积累，青 年工人难以在短时期内全面掌握这项加工技术，有经验的技工培训不易。而其较艰苦的 工作环境和较差的劳动条件，更增加了水火弯板的培训难度。因而随着老工人的逐步退 休，这种工艺存在着断层的危险。手工经验型水火弯板加工方法加工时间长，质量波 动大，难以实施精度控制，这以成为缩短造船周期，提高船舶质量，以及全面实现无余 量装配及公差造船等先进造船方法重大障碍之。当今世界船舶市场上的竞争日趋激 烈，船厂必须采用缩短周期、提高造船质量、降低造船成本等各种技术的和管理的手段。 而手工经验型的水火弯板工艺模式无论在速度上和质量上都已远远满足不了现代造船 生产的需要。因此，随着现代造船技术的发展及造船模式的转变，水火弯板工艺的革新 已是船舶制造业追在眉睫的大事，必须尽快加以解决。国内外许多相关的大学、研究所 及船舶制造企业对水火弯板加工自动化作了大量的研究，并取得了一定的进展，但由于 水火弯板机理的复杂性，水火弯板自动化还有许多待于完善的地方。同时水火弯板自动 化也是船体建造自动化的一个组成部分，是实现造船精度管理的一个发展方向。 目前国内的水火加工成型也主要靠工人的加工经验来完成，该课题的研究成功有助 于水火弯扳的自动化，对于提高我国船舶工业自动化水平具有重要意义，可以进一步提 高造船企业的生产效率，产生巨大的经济效益，无疑该课题具有广阔的应用前景。对该 课题的研究大量结合计算机辅助几何设计和自由曲线曲面造型技术知识，属于多学科的 交叉，符合当代学科的发展方向。由于自由曲面( 不可展曲面) 的展开的复杂性，国内 外对自由曲面的展开的研究还不是很成熟，所以该课题的研究也会极大地丰富计算机辅 助几何设计和自由曲线曲面造型技术的应用，为今后该方向的研究探索一种可行的方 法。 1 2 曲面表达的发展与研究现状 1 2 i 曲面造型的发展与研究现状 6 - 9 , 5 5 - 5 8 】 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ，c a g d ) 和计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的一项重要内容，主要研究在计算机 图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶 轮等的外形放样工艺，由c o o n s 、b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。 如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理b 样条曲面( r a t i o n a lb s p l i n e s u r f a c e ) 参数化特征设计和隐式代数曲面( i m p l i c i tm g e b r a i es u r f a c e ) 表示这两类方法为 查奎塑三塑堡! ! 堡竺耋垄皇鐾茎墨竺堡壅翌 主体，以插值( i m e r p o l a t i o n ) 、拟台( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几 何理论体系。 1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线蛆面表示为参数的矢函数方 法，并引入参数三次曲线。从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 1 9 6 4 年美国麻省理工学院的c o o n s 发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封 闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。1 9 7 1 年 法国雷诺汽车公司的b e z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简 单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步， 为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但b e n e r 方法仍存在连接问题和局部修改 问题。到1 9 7 2 年，d e b o o r 总结、给出了关于b 样条的一套标准算法，1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用于形状描述，最终提出了b 样条方法。这种方法继承 了b e z i e r 方法的一切优点，克服了b e z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制 问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状 的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，b 样条方法显示出明显不足秦不能精确 表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统 一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。为了满足工业界进一步的要求，1 9 7 5 年 美国s y r a c u s e 大学的v e r s p f i l l e 首次提出有理b 样条方法。后来由于p i e g l 和t i l l e r 等人 的功绩，终于使非均匀有理b 样条( n u e a 3 s ) 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的 技术。n u r b s 方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果。 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计 对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，随着图形工业和 制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据 采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型近几年得到了长足的发展，这主要表现在研 究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的 研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转 换和曲面等距性。从表示方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散造型与传统 的连续造型相比，大有后来居上的创新之势。 1 2 2 船体曲面造型的发展与研究现状 6 - 9 , 3 9 - 4 8 , 5 5 - 5 8 船体曲面的计算机表示是对船体曲面进行设计、相关性能分析与计算以及后续 c a m 实现的必要基础。船体曲面是具有双曲度的相当复杂的空间曲面，不能用规则的 解析曲面进行描述。它由许多子曲面衔接而成，尤其是首尾部，均为复杂的自由曲面。 曲面曲率变化剧烈，球鼻首曲面更是如此。如何更加合理地运用数学方法来表达船体曲 面形状，一直是造船界追求的关键目标之一。这个目标的实现依赖于两方面技术的发展： 一方面是曲面造型数学工具的发展，另方面是计算机技术的发展。二者相辅相成，缺 一不可。船体曲面造型是随着计算机技术和曲面造型技术的发展而逐步发展的。计算机 硬件的快速发展( 高速、大容量) 和各种软件平台的相继推出，是船体曲面造型得以实 现的物质基础；而计算几何、计算机辅助几何设计及自由曲面造型技术的不断完善与实 用化则为船体曲面造型提供了坚实的理论基础。 查查塑三堕笪! ! 堡堕塞垄兰垦茎墨竺! ! 型 船体曲面几何表示方法通常分为两类： ( 1 ) 曲线方法：它是由一组按某种规律变化的平行的平面曲线，构成船体曲面，由 曲线方程表示。平面曲线( 如横剖线，水线) 所采用的函数常有多项式、多项式链、三 角函数和其它超越函数。 ( 2 ) 曲面方法：直接用曲面方程来描述船体曲面。需要根据所采用的数学曲面造型 工具，确定船体曲面的分片。如利用b e z i e r 曲面，则需要将船体曲面分成几块曲面片， 然后按照位置连续、切平面连续条件拼接而得到船体曲面。如果采用b 样条方法，则船 体曲面不需要分片。 1 9 7 1 年英国的郭成吉教授在船体曲面设计的计算机方法一书中，较早论述了 用数学方法确定船体曲面的重要意义，对传统的线型设计方法作了深入考察并指出其固 有的缺点，在此基础上提出了船体曲面的设计准则和计算机方法的基本要求。1 9 7 7 年 美国n a v a l a c a d e m y 的d e r o g e r s 开始用曰样条曲线曲面进行船体设计，也有人运用双 三次c o o n s 曲面进行计算机辅助船舶设计，直到九十年代初船体曲面仍然主要用b 样条 曲面设计。国内从8 0 年代初开始，出现运用计算机设计船体曲面，表示方法是曲线法。 1 9 8 1 年上海交通大学的周超俊和复旦大学的刘鼎元开始用b e z i e r 衄面构造船体曲面， 1 9 8 5 年他们又首次运用曰样条曲面法于船体曲面中，并指出船体曲面不需要分片。这 是由三次b 样条基函数的c 2 连续得到保证的。所以说，双三次b 样条曲面相当简单地 解决了曲面片之间的拼合问题。后来这方面比较主要的是大连理工大学的林焰和纪卓尚 等对船体曲面造型的研究，给出了船体曲面几何造型的曰样条曲面控制网格生成思想与 方法，以及从几何角度给出曲面边界条件处理方法。 进入9 0 年代中期，随着n u r b s 技术的发展及它的优良特性，n u r b s 方法开始 被应用于船体曲面造型。其中国内外文献介绍了各种曲面如直纹面、旋转面、扫掠面等 的n u r b s 生成方法，然后给出了一船体曲面的n u r b s 造型。国内大连理工大学对这 方面的研究比较多，杜广东比较详细研究了一些基本算法，袁知贵主要进行了基于 a u t o c a d 中a r x 技术的船型n u r b s 表达与设计研究，仵大伟主要对基于a r x 的 n u r b s 船体曲面的光顺处理及参数化特征造型进行了研究。 1 3 曲面展开的发展与现状o ”“4 “5 1 在飞机、汽车、造船和服装等设计和制造领域中，复杂曲面的展开是普遍关注的问 题。很长一段时期以来，曲面的展开问题，尤其是复杂曲面的展开问题，一直是计算机 辅助几何设计领域研究的热点和难点。 曲面在以可展性来划分，可分为可展曲面和不可展曲面。可展曲面是高斯曲率处处 为零的曲面，包括柱面、锥面和切线平面，其它的曲面为不可展曲面。从严格意义上来 说，曲面的展开是指在不改变内在性质的前提下映射成平面。可展曲面的内在几何性质 不因展开而变化，归纳起来有以下几点：等长，曲面上的已知曲线在展开后弧长保持不 变；保角，曲面上两条已知曲线的夹角在展开后保持不变；等积，曲面上的已知域的面 积在展开后保持不变；等测地曲率，曲面上的已知曲线的测地曲率在展开后保持不变。 可展面的展开以微分几何中可展面展开的基本原则等相关的理论为基础，锥面的展开可 利用单位球方法，确定直母线与平面上过定点射线之间的映射关系，进而展开曲面；切 线曲面的展开可利用准线曲率在展开中的不变性，确定准线在平面上的展开曲线，再作 3 查坐塑王堂笪! ! 堡塑至姿妻垦茎垦鏊! 生壅翌一 与之相切的直母线，从而实现曲面的展开。而不可展曲面的展开相对可展曲面的展开来 说复杂得多。不可展曲面的展开主要用近似的方法来展开，但总的原则是展开的误差在 工程允许的范围之内并在保证精度的前提下尽可能地简单易行，因此对不可展曲面展开 的研究不光要研究展开的算法，还要研究保证展开精度的方法。 根据近年来的研究成果，针对复杂的不可展曲面，已有三种展开方法：几何展开法、 力学展开法和几何展开力学修正法。 ( 1 ) 几何展开法 p a r i d a 5 2 】等提出了一种三角平面网格法，将曲面离散三角片逐一变换到指定的平面 上；但是该算法在曲面展开的过程中容易产生较大的累计误差和较多的裂纹。s l l i m a d a 口叫 等提出了使用有限元法计算曲面展开，该算法基于曲面离散的表达式，运用分区域曲面 的展开思想进行曲面展开，但其所使用的曲面分区算法过于简单，无法处理复杂的曲面 展开问题。c h a k i b 【4 9 l 等利用蓝面自身的几何特征测地曲率展开曲面，其基本算法式 将曲面划分为等参数网格，沿着一个方向，根据曲面的测地血率，将这些曲面展开在一 张平面上，同时也会产生较大的累计误差和较多的裂纹。 结合以前的科研成果和现代先进的计算机应用技术，席平f i j j 等提出了新方法。把三 维曲面分为平面、直纹面和复杂曲面，前两者的可展性较容易解决，后者则式研究的焦 点。其提出的方法的步骤是：将复杂曲面先分割为如干个条状区域，每一区域用一 个直纹面逼近。然后将直纹厩用三角形网格划分。把每个直纹面展开到同一个平 两上，从而能得到该曲面的展开图。为了保证展开面的精度，可以给初面积和周长精度， 其中面积精度来确定三角形平面网格的个数，周长精度来确定复杂曲面边界轮廓的逼 近。与p a r a d a 的方法相比，这个方法便于确定曲面展开的方向及展开的顺序。作为一 种纯几何方法，与s h i m a d a 的方法相比，计算简单，并且初始展开面更接近实际毛料的 形状。与c h a k i b 的方法需要计算出每一个网格节点的测地曲率。在展开计算中，将薄 壁件的几何外形作为展开计算的唯一依据，这种方法没有考虑材料的特性和成形方式的 影响，因此只有直纹零件的计算结果是唯一的，而对于复杂的零件，它的展开图形是不 一样的( 如沿参数u 向，v 向等) ，同一零件的展开面不是唯一的，可能有多种不同的 解。 在飞机制造领域中，飞机翼面多数为不可展的直纹曲面，而且曲率不是很大，机身 上也有小曲率的双曲面。这些曲率不是很大，机身上也有小曲率的双曲面。这些零件由 平板状变形为所需的外形，其厚度变化不大，因此，零件变形前后的质量不变可以认为 面积不变。在这基础上康小明【1 0 j 等提出了适合此例的四边形网格等面积法的近似展开的 数值方法。这种方法是将曲面离散化，把离散后的曲面片展开到一个平面上，从而徭到 曲面片的展开后的形状与尺寸，再进一步确定出定义于曲面上的结构信息在展开平面的 形状与位置。该方法的主要步骤是：曲面离散与网格化。展开中心的确定。网 格的展开和零件结构信息的展开。该方法在小曲率壁扳类零件制造( 如飞机，汽车 和船舶等) 具有广泛的应用前景，以提高制造精度、缩短生产周期的目的，可是对大曲 率的曲面零件就不适应了。 ( 2 ) 力学展开法 有一种力学展开方法是基于能量模型的曲面展开方法，在这个方法中，首先由平面 三角化网格建立一个弹簧质点系统q ，系统中的物理量与几何量相对应。所建立的网格 4 查盔塑三堂堡盐堡塑查竺兰垦茎墨蔓j 窒翌 位置和展开后二维片形状之间的差别，可以认为一种存储在弹簧质点系统中的弹性变性 能。也就是说，两质点间的联接为弹簧，在变形过程中，如果平面上的两质点之间的距 离大于对应的原始曲面上的间距，那么质点之间有拉力，反之为压力，因此，有变形并 产生了变形能。这个方法的步骤是：建立能量模型，确定弹力、变形能、位置及相 关的精度控制的数学表达式。曲面的初始展开，如果不释放能量，无约束地将三角 片展贴到平面上去。对于不可展曲面来说。三角片的边不会重合，会形成缝隙。为了保 证三角片的拓扑关系完整，必须有约束的三角片翻转，可是，在这种约束的三角片翻转 过程中会产生变形能量和层叠误差。将变形能量释放。建立一个含有所有已经展平 的三角片的弹簧质点系统q 。在展平一个三角片t 后，进行调整，将三角片t i 加入q 中，然后弹簧质点系统q 将被激活，以释放三角片中的弹性能量。通过计算就可以得到 展开面。 对曲面不同的部位定义不同的弹簧弹性系数，来控制曲面展开的精度。通过使弹簧 质点系统变形，就可由初始平面映射到曲面展开的最终形状。 它的优点是：能展开一般的复杂曲面，容易控制精度，计算简单，应用也较广。 ( 3 ) 几何展开力学修正法 这种方法是先将成形零件几何展开，把曲面划分为一系列条状区域，再用若干直纹 面分别逼近每个条状区域，展开每个直纹面，然后每一个直纹面的展开面转到同一平面 上。 第二步是力学修下，由于没有考虑工程因素，零件的几何初始展开面图形不是唯一 的，不封闭，有缝隙和重叠。因此需要修正，其过程是，在初始展开面上的缝隙中增加 若干条状面，将零件的材料特性赋予初始展开面，设定连接缝隙的条状材料 e = 五= = 0 。给定边界条件。对初始展开面进行有限元网格划分，施加载荷，使缝隙 封闭。载荷的大小使根据变形情况和零件缝隙的消失量而逐步调整的。用样条去样条曲 线逼近展开后的轮廓外形，从而得到零件的最终展开形状。 对不可展曲面的展开方法有三角平面网格法、有限元法计算曲面的展开、利用曲线 的测地曲率展开曲面法、将复杂曲面分割成若干条状区域，用直纹面逼近该区域，再将 直纹面进行三角网格分割，从而展开曲面法、基于能量模型的曲面展开法、基于物理模 型的曲面展开法、运用曲面受到均匀面力后产生形变的理论来展开扭变曲面法等等。例 如席平在三维曲面的几何展开一文中将复杂曲面分为若干个条状区域，每一区域用一直 纹面逼近，再将直纹面进行三角网格分割，并定义了两个精度面积精度和长度精度 来计算三角网格分割所需的晟少三角平面数目和用来保证三维曲面边界弧长的逼近精 度。对不可展曲面展开的精度的研究国内外学者也做了很多的研究，并取得了一定的成 果，例如毛昕对三角线法的近似展开误差和不可展回转曲面的精度进行了研究。 1 ，4 本文的研究内容与范围 本文主要进行了三个方面的工作，一是将水火加工船体外板用非均匀b 样条曲面 表达出来，其中已知水火加工船体外板的型值点，取某种边界条件，反算出船体外板用 非均匀b 样条表达所需的控制顶点，然后迸行插值计算，最终将水火加工船体外板表 达出来；二是将基于非均匀b 样条表达的水火加工船体外板展开，本文所采用的方法 水火加工船体外板的表达与展开及软件实现 是将船体外板曲面划分成一系列四边形网格的集合，在四边形网格足够小的情况下，将 空间四边形网格近似为平面四边形网格，从而整张曲面近似为可展棱面，然后将可展棱 面按曲面上的拓扑结构展开到平面上。所以本文曲面展开的是基于如下假设：曲面近似 展开后，曲面面积、对应曲线的长度、对应线在对应点的夹角均变化很小。三是将水火 加工船体外板用非均匀b 样条曲面表达和曲面的展开程序化，以v b 6 0 和v b a 作为程 序开发工具，a u t o c a d 作为图形支撑软件。 水火加工船体外板的表达与展开及软件实现 2 基于b 样条的水火加工船体外板表达 2 1b 样条的基本理论随9 1 2 1 1b 样条概述 关于b 样条的理论早在1 9 4 6 年由舍恩伯格( s e h o e n b e r g ) 提出，但论文直到1 9 6 7 年才发表。1 9 7 2 年，德布尔( d e b o o r ) 与考克斯( c o x ) 分别独立地给出关于b 样条 计算的标准算法。b 样条方法采用具有最小支撑性质的b 样条函数作为基函数，保持了 用控制顶点定义曲线曲面，从而继承了贝齐尔方法所具有的优良的控制性质。同时，它 又克服了贝齐尔方法不具有局部性质的缺点，并在参数连续性基础上轻而易举地解决了 贝齐尔方法在描述复杂形状时遇到的连接问题。b 样条方法兼具了贝齐尔方法的一切优 点，具有表示与设计自由型曲线血面的强大功能，是最广泛流行的形状数学描述的主流 方法之一，并且b 样条方法是目前已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理b 样 条方法的基础。 2 1 2b 样条的定义和性质 ( 1 ) b 样条的三种定义 c l a r k 提出的定义，其特点是从几何概念出发，形象直观，易为初学者接受。 设三维空问有一点列( v - ，v 2 ，v a ) 被一曲线段序列p ( f ) ，= 1 , 2 ，z ，f 【o ，1 逼近，我 们要求每段曲线的形状仅由点列( v t ，v 2 ，v q ) 中若干个顺序排列的点所控制，且具有如 ( 2 1 ) 形式： p j = k ( ，) p ( f ) a ( f ) 】= 艺觑f ) v f + ，( 2 - 1 ) j = o 式中f q ) 为对应于顶点v f + ，的基函数 又设每个函数似f ) 是参数t 的r 次多项式，且具有形式( 2 2 ) ： 万= a s t t f 【o ，1 】( 2 2 ) 式中鲫为多项式的系数 用截尾幂函数的差商定义b 样条 k 次b 样条为： m ，t ( 工) = k ，z - + 】) ，站+ t + 】( ，一： k 次规范曰样条为： a i = + “l x o m , ，f ( x ) b 样条的递推定义 7 ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 查坐! ! 三堕竺堑堡堕室垄兰星墅墨鉴生塞型一 斯= 心菇“ p s ， b ：旦屡( x ) + 卫竺些b ，( x ) ，k 0 ( 2 6 ) + i t it i + t 十1 一n + l 并约定= o 。式中女表示b 样条的幂次，r 为节点，下标f 为b 样条的序号。 基函数由递推公式定义： b 。2 o ，其它 b ，k = ! 二生b ，k i ( “) + 兰2 兰二三竺b + l ，k l ( “) ，k 1 ( 2 7 ) 一0 ；o 式( 2 7 ) 中b “( ，) 表示b 样条。b ，t ( f ) 的双下标中，第一下标i 表示b 样条的序号， 第二个下标k 表示口样条的次数。递推公式表明： 任意k 阶占样条可由两个相邻的k 一1 阶b 样条线组合而成； 欲确定第i 个b 样条b ( f ) ，需用到t i , t i + 1 ，“k + 共女+ 2 个节点。 区间【t i , “t + 1 】称为b ，t ( f ) 的支撑区间。口样条基是多项式样条空间具有最小支撑 的一组基。 式中k 为幂次；撕( i = 0 , 1 ，m ) 为节点，由其形成节点矢量u ： u = i “o ，“1 ， m l 当节点数为( m + 1 ) ，幂次为k ，控制顶点数为( + 1 ) 时，掰，k 和刀三者之间的关系 为m = 聍+ i + 1 。对于非周期的b 样条，节点矢量为 u = t o 。0 0z 拈+ l ，“m 一女一l ，1 ，1 ，1 i 亦即节点矢量两端各有k + 1 个相同的节点，以便使曲线通过控制多边形首、末端点并 与首、末两边相切。 ( 2 ) b 样条的性质 b 样条本身是一种样条。在计算机辅助几何设计领域内，b 样条又是构造b 样条曲 线的基函数。b 样条的特性直接影响b 样条曲线的特性。占样条具有如下性质： 递推性由上式定义表明； 规范性n i ，七( ，) = 1 ； 局部支撑性质 删= p 髦嚣。它包矧龇； 可微性在节点区间内部它是无限次可微的，在节点处是七一r 次可微的， 8 水火加工船体外板的表达与展开及软件实现 即是c “7 的，这里的r 是节点的重复度。 递推公式衰职，b 样条矗。t ( ，) 虽定义在整个参数“轴上，但由其局部支撑性质可知， 仅在支撑区间，”。+ 。 上有大于零的值，在支撑区间以外均为零。b 样条b ，t ( f ) 由其支 撑区间内所有节点决定。 2 2 b 样条曲线及其主要算法_ 钟 占样条曲线由分段逼近曲线组成，它具有b e z i e r 曲线的优点，又克服了其不具备局 部性质的缺点。 2 2 1b 样条曲线 ( i ) 口样条曲线的定义域 给定”+ 1 个控制顶点d ：，i = 0 7 1 ，n ，相应要求月+ 1 个b 样条基函数+ 似) ， i = o ，l ，n 以定义一条k 次8 样条曲线。这h + 1 个8 祥条由节点矢量u ：b ，1 1 1 ，1 所 决定。其中两端各k 个节点区问不能作为b 样条越线的定义区间。因而，k 次b 样条曲 线的定义域为：“ “。，u n + 【】，共含有 一k + 1 个节点区间( 包括零长度的节点区问) 。 若其中不含重节点，则对应b 样条曲线包含7 l k + 1 段。 ( 2 ) 丑样条曲线方程 给定控制顶点列d i , f = o ，1 ，月，欲定义一条k 次占样条曲线。由节点矢量的确定方 法，可以得到该曲线的节点矢量为u = u o ，m ，卅。 。由德布尔一考克斯递推公式，从而 得到所有的占样条基函数n m ( “) ，i = 0 ，1 ，h 。则口样条曲线方程可写为： p ( “) = d ：n 。 ( “) i = 0 b 样条曲线具有局部性质，因而， 形式： “ks “村。+ 1( 2 8 ) 可将上面的次b 样条曲线方程改写为分段表示 i p ( “) = d ，f ( ”)“u i , m i + l 】c u k ，g n * 1 ( 2 - 9 ) ，= 卜e ( 3 ) b 样条曲线的性质 局部性质局部性质是对曰样条曲线行为占支配地位的重要性质之一。其完整 表述为：i 次日样条曲线上的参数为“，“。】的一点p ( “) 至多与+ 1 个控制 顶点d ，= i k ，i k + 1 ，i 有关，与其他控制顶点无关：移动该曲线的第i 个 控制顶点d ，至多将影响到定义在区间( “。，q 。) 上的那部分曲线的形状，对其余 部分不发生影响。 可微性或参数连续性 k 次口样条曲线在其定义域内的非零节点区间内部或在 每一曲线段内部是无限次可微的即是c 。，或者说具有无穷阶参数连续性；在定 义域内重复度为r 的节点处则是七一，次可微的即是c 一的，或者说具有k 一，阶 参数连续性。 凸包性质 b 样条曲线的凸包是定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集。b 样 查丝塑三塑堡! ! 堡塑至堕兰垦茎垄竺堡壅翌一 条曲线恒位于它的凸包内。凸包性质导致：顺利七+ 1 个顶点重合时，由该t + 1 个 顶点定义的t 次b 样条曲线段退化到这一重合点；顺序后+ 1 个顶点共线时，由该 t + 1 个顶点定义的k 次占样条曲线段为一直线段。 b 样条的其它性质还有变差减少性质( d v 性质) 、磨光性质、几何不变性与仿射 不变性等。 ( 4 ) 曰样条曲线的类型划分 口样条曲线按节点矢量中节点的分布情况不同，可划分为如下4 种类型： 均匀b 样条曲线( u n i f o r mb s p l i n ec u r v e ) 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或 等距分布，所有节点区间长度a = “。一“，= 常数 0 ( f _ o ，1 ，n + k ) 。这样的节点矢 量定义了均匀b 样条基。 准均匀占样条曲线( q u a s i u n i f o r mb s p l i n ec u r v e ) 其节点矢量中两端节点具有 重复度k 十l ，即“o = “，一一，“。= “+ 2 “m 十1 所有内节点均匀分布，具有重 复度1 。定义域“ 峨，“。 内节点区间长度= 常数 0 ( i = _ j ，k + l ，胛) 与均匀b 样 条曲线定义域内节点分布相同，差别仅在于两端节点。这样的节点矢量定义了准均匀b 样条基。 分段贝齐尔曲线( p i e c e w i s eb i z i e rc u r v e ) 其节点矢量中两端节点重复度与 类型2 相同，为k + 1 。所不同的是，所有内节点重复度为k 。选用该类型有个限制条件， 控制顶点数减i 必须等于次数的正整数倍，即= 正整数。这样的节点矢量定义了分 ， 段伯恩斯坦基。 一般非均匀口样条曲线( g e n e r a ln o n u n i f o r mb - s p l i n ec u r v e ) 在这种类型 里，任意分布的节点矢量u = g o “l ，- - ，。 ，只要在数学上成立( 其中节点序列非递 减，两端节点重复度+ ，内节, 点重复u n k 1 度k ) 都可选取。这样的节点矢量定义一般 非均匀口样条基。可见，前3 种类型都可以作为特例被包括在这种类型里。对于开曲线， 通常为使其具有同次贝齐尔曲线的端点的几何性质，两端节点取成重复度+ 1 。 为便于统一处理，常将各类b 样条曲线的定义域取成规范参数域 “【啡，“】_ o ，1 。 2 2 2 非均匀b 样条曲线 ( 1 ) 节点矢量的确定 给定控制顶点d ，( f = o ，l ，”) ，欲定义一条j 次非均匀曰样条曲线，还必须确定它 的节点矢量u = u 0 确，。】中具体的节点值。, u n 对于开曲线包括首末端点仅位置连续的闭曲线，两端节点取重复度k4 - 1 ，以使具 有同次贝齐尔曲线的端点的几何性质，便于对曲线在端点的行为有较好的控制，且将曲 线的定义域取成规范参数域，即使 ，】- 【o ，1 】，贝l j = 一= 0 ， “= “m 一一“m “= 1 ，剩下需要确定的就只有坼。+ 2 ，“。那些内节点，共行一k 个。 对于插值曲线，相对于均匀参数化来说，弦长参数化是比较合理的，它使顺序两个 水，大型三塑笪竺堡塑墨竺兰垦茎丝垫堡壅翌 _ - _ 一一一 数据点的参数之差与其距离成比例。以下介绍的两种基于这个考虑出发的确定节点矢量 的方法。 里森费尔德( r i e s e n f e l d ，1 9 7 5 ) 方法 弦长参数化可看做以样条曲线的分段连接点为顶点的内接多边形，取其展直后沿参 数轴的分布所形成的节点序列。里森费尔德的方法，把控制多边形近似看做样条曲线的 外切多边形，并使曲线的分段连接点与控制多变形的顶点对应起来，然后将其展直，并 规范化，得到节点矢量的参数序列。 令控制多边形的各边长依次为f ，= ld ，一d 。i ( j = 1 , 2 ， ) 。总的边长为= f 。 节点矢量分别确定如下： 8 0 i 偶次b 样条曲线的节点矢量里森费尔德假定偶次b 样条曲线的所有疗一k 个 分段连接点对应于控制多边形上除两端各以条边外其余盯一k 条边的中点。将其展直 后，规范化，分别可得： r 心、。, 3 。曩 黔i j 。, 1 2 、- 2 - ：爰。 ，- 忿 = 。涎一二丝： 、d ： 四次 图21 偶次b 样条曲线分段连接点与控制多边形的对应关系 f i g 2 1c o r r o s p o n d i n go fs u b s e c t i o n p o i n t sa n dc o n t r o l l e dp o l y g o no fe v e nb - s p l i n e 二次b 样条曲线的节点矢量为 u 邓，o ，。车，掣，掣凡u ， p 聊 四次b 样条曲线的节点矢量为 z j + ? 2 + 鲁f l + 1 2 + ? 3 + 9 - + 己一3 + 宰 u = o ，0 ，0 ，0 ，0 ，_ 0 ，彳一，- 生1 11 ，1 ，l 】( 2 - 1 i ) 山ll 类似地可知高偶次( k 次) b 样条曲线的节点矢量 u = 0 , 0 ，0 k + l 十 c 勘+ 箪 j = i z 上 ( 罄抄毕( ”- k 2 - 啪1 + 了l n - * 2 午， t 二紫1 p 1 2 ) 水火加1 = 船体外板的表达与展开及软件实现 可见，每提高两次，第一与最后两个分段连接点都向内移一条边。 i