（电路与系统专业论文）改进的curvelet变换及其在图像处理中的应用研究.pdf

独创 性声明 本人所呈 交 的学位 论文 是 在 导师 指 导下进 行 的研 究工 作及 取得 的成 果 。尽 我所 知 ，除特 别加 以标 注 的地 方外 ，论文 中不包含 其他人 的研 究成 果 。与我 一 同工作 的 同 志对本文 的研究工作和成 果 的任何贡献均 已在论文 中作 了明确 的说 明并 已致谢 。 本论文及其相关 资料若有不实之处 ， 由本人承担一切相关责任 论文作者签名 : 2吻 年 多月:乙日 学位 论文使 用授 权 声 明 本 人 一 二 烫立- 在 导 师 的 指 导 下 创 作 完 成 学 位 论 文 的 知 识 产 权 归 西 安 理 工 大 学 所有 ，本人今 后在 使 用 或 发表 该 论文涉 及 的研 究 内容 时 ，会注 明西 安理工 大学 。本人 作为 学位 论文 著 作权拥 有 者 ，同意授权 西安 理工 大 学拥 有 学位 论文 的部分使用权 (在 以下 “口 ”中标 明 ，同意 的划 “了” ，不 同意 的划 “x ，) ，即 : 本 人 提 交 的 印刷 版和 电 子版 学位 论 文 ， 口 学校 可 以采用 影 印、缩 印或其他 复 制手段 保存 ; 口 学校 可 以将 学位 论文 的全 部 内容编 入 公开 的数据库进 行检索 ; 口 学校 可 以将 学位 论 文 的摘 要 编 入 公 开 的数 据 库 进 行 检 索 ; 口 学 校 可 以将 公 开 的 学 位 论 文 或 解 密 后 的学 位 论 文 作 为 资料 在 图书 馆 、资料 室 等 场 所 及 校 园 网上 供 校 内师 生 阅读 、浏 览 。 本人 学位 论 文 全 部或 部分 内容 的公布 (包括 刊登 ) 授权 西 安理 工大 学研 究生学 院 办理 。 (保密 的学位论文在 解 密后 ，适用本授权说 明) 论文作者 签名 : 导师签名 : 盆 刀 才 啤乙月 2 日 摘 要 论文 题 目: 学科专业 : 研究 生 : 指导教师 : 改进 的 c ur v e l e t 变换及其在 图像处理 中的应用研 究 电路 与系统 王艳 红 张志 禹 教授 签名 : 签名 : 地 。 担 渔 摘要 小波变换 是一种 具有较 强 时、频 局部分析功 能的非平稳信 号分析方法 。 但在 二维或更 高维情况 下 ，小波 分析 并 不 能充 分 的利用 数据 本 身特 有 的几 何特 征 (线 奇 异性 、面 奇 异 性) 获取“ 稀 疏 ”的 函数 表 示方 法 。c u r ve l e t变 换 能够 获取 对 二维 或 高维 空 间 中含 奇 异 曲线 或 曲面 的函数近乎最 “ 稀疏 ”的表 示， 但 是其本身仍存在着些许 的不足 ，因此研 究 改进 的 c u r ve l e t 变换及其在 图像处理 中的应用具有很重要 的意 义 。 本文首先在深入研 究c u r ve l e t 变换理论 的基础上 ，提 出了一种 改进 的c u r ve l e t 变换算 法 ，并采用 实例分别从结构 、统计和特征三个 方面分别对改进 的c u r ve l e t 系数进行 了分析 。 然后 ，在此基础上 ，探讨 了改进 的c u r ve l e t 变换在 图像处理 中的两处实际应用 。第一将 改 进 的c u r ve l e t 变 换 与 小波 的嵌 入 式零 数编 码 算法 相 结合 ，提 出了一种基 于 改进 的c u r ve l e t 变换 的数 字 图像 压缩 算 法 ， 特 别针 对具有 直 线特 征 的二 维 灰度 图像进 行 嵌 入 式编 码 ，可 实 现 图像任 意 比例 的高 效压 缩 。 第 二提 出 了一种 基 于 改进 的c u r ve l e t 域 的非 盲 数字 水 印算 法 ， 将 水 印信 息 分 别嵌 入 低频 层 系数 与 中频层 系数 中 。 结果表 明 ， 在 保持 水 印 的透 明性 的 同时 ， 水 印仍 具有较 强 的鲁棒性 ，是一种有效 的水 印算法 。最后分别对上述 改进 的c u r ve l e t 域在 图像 处 理 中 的两 种 应用 进 行 了仿 真 了实验验 证 。实验 结果表 明 了这 种 改进 的c u r ve l e t 信 号 表示 理 论有 效 的弥补 了经 典c 二 e l e t 算 法 的不足 ，在 图像 处理 方 面具 有 良好 的性 能和 广 阔 的应 用 前 景 。 关 键 词 : 改进 的c u r ve l e t 变 换 ; 图像 处理 ; 图像 压缩 ; 数 字水 印 a b straet t itlg : r e s e a r c h o n im p r o v e d c u r v e l e t t r a n s f o r m a n d!t s a p p l ic a t io n s o n!m a g e p r o c e s s in g m a j o r:c ireu i t and s ystem n a m e : y an h o n g wa n g s u p e r vis o r: p ro f. z h iy u z h a n g (5 ig natu re : (5 i g natu re : a b s t门 c t 认恤v elet tran sf o r m h as b een estab lish ed as a n ex eellen t m eth o d o f tim e一 f r eq u en ey a naly sis f o r n o n 一 sta t ion a r y sign als. it 5 a p it y th a t w av elet a naly sis ea n， t ta ke f u ll a dv a n tage o f geom et r i ea l eha r aeter i stic (line sing u la r i ties， plane singula r ities) of t h e da t a to get t h e spa r se rep resen t a t ion o f t h e f u n ction ，c u r velet t r a nsf o r m ea n p rov id e n ea r 一 op t im al r e p resen t a t io n o f ob j eets w ith line singula r i ties a n d pla n e singula r i ties， bu t a l so ha s m a n y shor t a g es， 50， resea r eh o n im p ro v ed eu r velet t r a nsf o r m a nd its a pp liea t io n o f im ag e p r o eessin g 15 o f f a r reaeh in g im p o r t a nee . t h is p a per f i rstly in t ro d u ees th e b asie k no w led g e o f c u r velet t r a nsf o r m，a nd g iv es a n im p ro v ed et i r velet a l g o r i tll l n s， t h en ， a naly sis th e eu r velet eo emeien ts f r o m t wo asp eets: st r uct u re， sta t istie a nd ch a r aeter i stie . t h en t h e a pp liea t io n s o f im p r o v ed tr a nsf o r m a r e d iseu ssed f r o m th ree asp eets o f im ag e p ro eessin g . a i f i rst，w e eo m b in e th e im p ro v ed eu r velet tra nsf o r m a nd em b ed d ed w av elet ze r o s t r ee eo d in g ，p u t f o 户 刀ard a n em b ed d ed w av elet z ero t r ee eo d in g b ased o n im p ro v ed eu r velet. it ea n co m p ress im ag es a t a ny ra t io s. t h i s a l g o r i t知叭 h as b et t er p er f or ma nce esp eeially f o r th e im ag es w ith lin ea r ed g e s. s eco n d ly ， a d ig ital im a ge w a t er mark em b ed d in g a nd ex tra ctin g a l g o rithln 15 p resen t ed b ased o n t h e im p ro v ed eu r velet tran sf o r m w h ieh ea n ef f icien tly rep resen t im ag e w ith lin ea r sin g u la r ities，w h ieh m a ke th e w a t er ma r k in f o r ma t io n em b ed d ed in sp eeial eo ef f ieien t s. d if f eren t n o ises w ith d if f eren t s n r a r e ad d ed to t h e w a t er mark ed im a ge in t h e ex p erim en ts a nd th e resu lts p r o v e ro b u s饥 ess a nd tr a nsp a r en ey . t h e ex p er i m en t s a r e ea币 ed o u t in th is p a per resp eetiv ely to w a r d s th e t wo asp eets o f a pp lica t io n s o f im p ro v ed eu r velet tra nsf o r m in th e而 ag e p ro cessin g m en t io n ed a bo v e . t h e ex p erim en ta l resu lts d em o n st r a t e t h e ef f eetiv en ess o f th e im p ro v ed eu r v elet th eo r y in th e 即 p lie a t io n s o f im ag e p ro e essin g . 西安理工大学硕士学位论 文 k e 哪 o rd s: imp ro v e d c u r vlelet t ra nsf o r m: im ag e p ro eessin g : im ag e eo d in g : d ig ita l m 值terl n ark lv 1 绪 论 .1 1.1 研 究背 景及意 义 . l 1.2 研 究进 展及现状 . ， . 2 1.3 本论 文 的主要工 作和 内容安排 . 2 2 c u r ve l e t 变 换 .5 2.1 第 一 代 c u r ve l e t 变 换 .5 2.1.1 基 本 理 论 . .5 2.1.2 实现 过程 . 6 2.2 第二代 c u r ve l e t 变换 . 7 2.2.1 连 续 c u r ve l e t 变换 . . 7 2.2.2 离散 c u r ve l e t 变换 . 8 2.2.3 实现 方法 . 8 2.3 c u r ve l e t 变 换存在 的不足 . 9 3 改进 的 c u r ve l e t 变 换 .n 3.1 小波 分析 .n 3.1.1 连 续 小波 变换 . n 3.1.2 离 散 小波 变换 . . 1 2 3.1.3 多分辨率分析及 m a l l a t 算法 . 1 2 3.2 离 散 r a d on 变 换 .1 5 3.3 改进 的 c u r ve l e t 变 换 的实现 方法 . 1 6 3.4 改进 的 c u r ve l e t 变 换 系 数 分析 .1 6 3.5 小 结 .2 1 4 基 于 改进 c u r ve l c t 变换 的图像嵌 入式压缩算 法 . 2 3 4.1 引言 . .2 3 4.2 图像压缩技术 . 2 3 4.2.1 图像 压缩 信源 编码过程 . 2 4 4.2.2 图像编 码算法 分类 . . 2 5 4.2.3图像 编 码 质 量 的评 价 .2 5 4.3 基 于 改进 c u r ve l e t 变 换 的嵌 入 式 零数 压 缩 算 法 .2 6 4.3.1 嵌 入 式 编 码 的 原 理 .2 7 4.3.2 零 数 结 构 的特 点 . .2 8 4.3.3 嵌 入 式 零 数 编 码 的优 点 .2 s 4.3.4 嫡 编 码 .2 9 4.4 基 于 改进 c ur v e l e t 变 换 的嵌 入 式 零 数 图像 压缩 算 法 .3 1 4.4.1 基 于 改进 c u r ve l e t 变 换 的嵌 入 式零 数 压缩 算 法 的实现 .3 1 4.4.2 基 于 改 进 c u r ve l e t 变 换 的嵌 入 式 零 数 图像 压 缩 算 法 框 图与 步 骤 .3 4 4.4 实验 结 果 与 分析 .3 4 4.5小 结 .38 5 基 于 改进 c u r ve l e t 变 换 的数 字 水 印算 法 .3 9 5.2 数 字 水 印系 统 概 述 .3 9 5.2.1 数 字 水 印基 本特 征 .3 9 5.2.2 数 字 水 印系统 的基 本框 架 . .4 0 5.2.3 数 字 水 印 的分 类 .4 1 西安理工大学硕士学位论文 5.2.4 数字 水 印评价标准 . 4 2 5.2.5 常 见 的对 数 字 水 印 的攻 击 .4 4 5.3 基 于 改进 cu r v e l e t 变换 的数 字水 印算 法 设计 .4 5 5.3.1 数 字水 印序 列 生成 . .4 5 5.3.2 数 字 水 印位 置 的选择 .4 5 5.3.3 数 字 水 印的嵌 入 与提 取算 法 .4 6 5.4 实验 结 果 与分析 .4 7 5.5 小 结 . .49 6 总 结 与 展 望 . . 5 1 6.1 总 结 .5 1 6.2 未 来工 作 展 望 . .5 1 致 谢 .5 3 参考文献 . 5 5 绪论 1 绪 论 1.1 研 究背景及意义 随着 计 算 机 科 学技 术 和 数 学 等学 科 的迅 速 发展 ， 图像 处 理 已发展 为一 门 内容 丰 富 并且 发 展迅 速 的学科 。图像 处理 包括 图像采 集 和 获取 、图像变 换 、图像 重 建和 恢 复 、图像 增 强 、 图像压缩 编码等等 “ ，它广泛应用于 国民经济 的各个重要领域 ，如航 空航 天 、生物 医学 、 遥 感 监测 、视 频 处理 、模 式 识别 等领域 中 。图像 处理 的主 要 目的是提 高 图像 的视 觉质 量 ， 凸显 某些特 征 信 息 ， 恢 复 图像 的原始 面貌 ，从而 使 处 理后 的 图像 更 加满 足 特 殊 分析 的需 要 图像 处理起 源 于 2 0世 纪 2 0年 代 ，首 先是在 空域 中对 图像进 行 处理 ，然 后 发展 为在 变 换 域 对 图像进 行 处理 。 目前 的 图像 处理 方 法 基 本 上 都 是将 图像变 换 到 变 换 域 对 图像进 行 处理 ，这 其 中包 括 最初 的傅 里 叶变换 ，后 来 出现 的小波 变 换 、脊 波 变 换 等 等 。 e . j. c a n d e s 和 d . ld onoho 提 出 了 几dg e le t 理论 的基 本框 架 3 。 形dg e l e t理论 结 合现 代 调 和 分 析 、群 理 论 和 小波 分 析 理 论 ，并在 此 基 础 上 发 展而 来 。随后 ，在 形dg e l e t理 论 基 础 上 ，提 出 一种 表 示 图像 各 向异性 的多尺度 变换 方法 几dge l e t 变 换 川 5， ，它 不 仅 继 承 了小 波 变换 良好 的局部 视频 分 析 能力 ， 而 且 有 很 强 的方 向选 择 性和 辨识 能 力 ，可 以非 常有 效地 表 示 图像 中具有 方 向性 的奇 异 性 特 征 。虽然 形dg e le t 变 换 对 直 线 的逼 近 较 优 ，但 在 描 述 曲 线 特 征 时 ， 瓦dg e l e t变 换 却 不 能达 到 较 好 的效 果 。 为 了寻 求 更 好 的 图像 表 示 方 法 ， e ， j . c a n de s 和 d . l . d 0noh。在 形dg e le t 变 换 理 论 的基 础 上 提 出 了 c u r ve l e t 变 换 6， 7， ，它 是 用 剖 分 的方 法 和 瓦d g le t 的理 论 建 立起 来 的 ，主要 是针对 具有 曲线奇 异性 的信 号 ，具 有 很 强 的方 向性 ， 其 具有 的各 向异性 特 征 非 常有 利 于 图像边 缘 的 高 效表 示 。随后 ， e . j. c a n de s和 d . l . d 0noho 提 出 了新 的 c u r ve l e t紧致 框 架 【 8， ，它 是 新 的频 域 的 c ur v e l e t实现 方 法 ，被 称 为 第 二 代 c u r ve l e t 变 换 。 新 的 c u r ve l e t 框 架 从 多尺度 分析 理论 出发 ， 直 接 在频 域 实现 c ur v e l e t 变换 ， 使 c ur v e l e t 变 换 成 为真 正 意 义 上 的多尺度 分析 方 法 。 新 框 架 的提 出使 得 c u r ve l e t 分析 理 论 前 进 了一 大步 。然 而 ，c u r ve l e t 变换 的实现 存在 两个 不足 : (1 )由于采 用 多尺度 多方 向分 块 处理 ，使 得 c u r ve l e t 变 换 的计 算 量 大 大 增 加 ; (2 )图像 经 c u r ve l e t 变 换 后 系 数 的数据 量 也大大增加 ，因此 ，在 图像描述和编码等实 时性要求较 高 的场 合 ，c u r ve l e t 变换性 能优 良 与计 算 量 大 的矛盾 变 得 尤 为突 出 【 9 。 综上 所述 ，开展对 c ur v e l e t变换改进算法 以及在 图像 处理 中的应 用研 究是十 分必要 的 ，这 对 于扩 展 其在 图像 处理 的各 个 方 面 的应用 具 有十 分重 要 的意 义 。 西安理工大学硕士学位论文 1. 2 研 究进 展及现状 1995 年 ， e a n des 提 出 几dgelet理论 的基 本框 架 ， 进 而 又提 出了 几dgelet 变换 。 形dgelet 变 换对 含 直 线 奇 异性 的信 号可 以达 到较优 的逼近 。因此 ，在对 图像直 线进 行 描述 时 ，比小 波 变换 更有 效 。 几dg e l e t变换对直线 的逼近较 优 ， 但在描述 具有 曲线特 征 的 图像 时 ， 几dg e le t 变 换 却 不 能取得较好 的效 果 。因而 ， d o n o h 。等 人在 几dg e l e t变换 的基 础 上提 出 了 c u r ve l e t 变 换 ， c ur v e l e t 变 换 通 过 对 二进 尺度 内的所 有 位 置 和 多个 方 向进 行 形dge l e t 分 析 来 实现 。 。 后 来 ，c a n d e s 提 出 c u r ve l e t的紧框 架 理论 ，并给 出了在 紧框 架理论 下 的离 散 c u r ve l e t变 换算法 。 接着 d o n o h o 等人提 出了 c u r ve l e t 变换频域实现 的经典算法 ” 。 在 图像处理 的应 用 中，目前 c u r ve l e t 变换 的研究范 围主要集 中在 图像去噪 、图像融合 、图像 的特 征提取等 领 域 中 。 1. 3 本论 文 的主要工作和 内容 安排 对 于 二 维 图像信 号而 言 ，c u r ve l e t 变 换 能够 提 供更 为稀 疏 的表 示 ，因而在 图像 处 理 方 面取 得 了很大 的成功 。 但 是其本身也存在着一些不足 ，本文在研究 c u r ve l e t 变换 原理 的基 础上 ，主要完成 了以下工作 : (1) 提 出 了一种 改进 的 c u r ve l e t 变换 ，并在此 基 础上采 用实例 对 改进 的 c u r ve l e t 变 换 后 的系数特 性 进行 研 究和 分析 ; (2) 研 究 了图像压缩编码技术 ，提 出 了一种 基于 改进 c u r ve l e t 变 换 的 图像 嵌入 式 零数 编码算法 ，对该算法较之其它变换域算法 的优越性进行 了验证 。 (3 )研 究 了数字 水 印技 术 ，提 出 了一种基 于 改进 c u r ve l e t 变换 的非盲 数字 水 印算 法 ， 并测 试 了该算 法 的有 效性 ; 文 章 包括 六 个部 分 ，其 具体 内容 安排 如下 : 第 一 章 绪 论 简 要 介 绍 了论 文 的课 题背 景 ，发展现 状 ，研 究 的主要 工作 以及各 章 节 的 内容 安排 ; 第 二章 c u r ve l e t 变换 简 要 介 绍 了 c u r ve l e t 变换 的基 本理 论 ， 并对现有 c u r ve l e t 变换存在 的不足进 行 了分析 ; 第 三 章改进 的 c u r ve l e t 变 换 详 细 介 绍 了小波变换 ，有 限 r a d o n变 换 ，从而在 此基 础上提 出 了改进 的 c u r ve l e t变 换 ，并 采 用 实例 从 结 构 、统 计 和 特 征 三 个 方 面 对 改进 的 c u r ve l e t 变 换 的系 数 进 行 了分 析 ; 第 四章基 于 改进 c u r ve l e t 变 换 的 图像 嵌 入式 压缩 算 法 首先 ，介 绍 了 图像压缩 编码 的相 关基 础理 论 ; 其 次 ，在 对 小波 变换 的嵌 入 式 零 数编 码 研 究 的基 础上 ，提 出了一种基 于改进 的 c ur v e l e t 变换 的 图像嵌入式零数编码算法 : 最 后 ， 将 实验 结 果与 小波域 、脊波域算 法进 行 了对 比 ， 采 用峰值信 噪 比 以及 压缩 比对 实验 结果进 绪 论 行 了定 量分 析 ; 第 五章 基于改进 c u r ve l e t 变换 的数字水 印 首先 ，介 绍 了数 字 图像 水 印技 术 的相 关 基 础 理 论 ; 其 次 ，提 出 了一 种 基 于 改进 的 c u r ve l e t 变换 的数字水 印算法 ，并对算法 的主要 设计 内容做 了详细介 绍 ; 最后 ，对算法 的 不可 见 性 及 鲁 棒性 进 行 测 试 ，并采 用 峰值 信 噪 比及 归一 化 互 相 关系 数 对 结 果 进 行 定量 分 析 。 第 六 章总 结 与 展 望 对 本 文所 做 的工 作进 行 了总 结 ，对进 一 步研 究 方 向进 行 了展 望 ，并对 理论 的应 用 前 景 进 行 了展 望 。 西安理工 大学硕士 学位论 文 c ur v elet 变换 2 c ur v elet 变换 人们一般认 为 ，与非 自适应 的方法相 比，能 “ 跟踪 ”奇异 曲线形状 的 自适应方法理所 当然应 具有更好 的逼近性 能 ，然而 c a n d 、 e s 和 d o n o h o 的先驱性工 作 向人们基于直觉 的理 念提 出了挑 战 ，c u r ve l e t 变换作为一种非 自适应 的 图像表示方法 ，通过简单 的 闭值处理 ， 所 获 得 的非线 性 逼近 性 能 并 不 比复杂 的 自适 应方 法 差 。c u r ve l e t 理 论 一经 提 出 ，由于其 理 论上所具有 的优势及 在 图像 处理 中应用 的 良好 的结果 ， 引起 了人们 的广泛 关注 。 本章节 中， 主 要 针 对 c u r ve l e t 理论 进 行 了简 单 的介绍 。 2.1 第一代 c ur v elet 变换 2.1.1 基 本 理论 “ ， ， 第一代 c u r ve l e t变换 实质上是 由脊波理论衍 生而来 的，是 由一种特 殊 的滤波过程和 多尺度脊波变换 (m u l t i s c a l e 形dg e l e t t r a n sf o r m) 组合而成 的一种变换 。如 同微积 分 的定义 一样 ，在 足够 小的尺度 下 ，曲线可 以被看 作为直 线 ，曲线奇异性就可 以由直线奇异性来表 示 ，因此可 以将 c u r ve l e t变换称 为 “ 形dg e l e t变换 的积分 ” 。但是单尺度脊波变换 的基 本 尺 度 ，是 固 定 的 ，然 而c u r ve l e t变 换 则 不 然 ，其 在 所 有 可 能 的尺度 ， 之o 上 进 行 分 解 。 c u r ve l e t变 换 是 通 过 一 种 特 殊 的 滤 波 过 程 和 多 尺 度 脊 波 变 换(m u l t i s c a l e 几dg e l e t t r a n sf o r m) 来实现 的 。多尺度 脊波字典 (m ultiseale 形dgelet d ietion脚 ) 是所有可能 的尺 度 s 全o 的单尺度 脊波字 典 的集合 : 伸 ; : = 甲。 . 。 ， s 之0， q 任。、 ， a 任r (2 .1) 完 成c ur v e l e t变 换 需 要 使 用 一 系 列 滤 波 器 : 。 、甲2、 ( s = 0 ，1 ， 2 ，) ，这 些 滤 波 器 满 足 ， ( 1) 。 。 是一个低通滤波器，并且其通带为: i ; i : 2; ( 2) 叭、 是带 通滤波器， 通带范围 为: 目。 卜 s一 ， ，2 s +， ; ( 3)所 有 滤 波 器 满 足 : 小 。 ( ;) ， +艺 中 2 、 ( ;) 一 滤波器组将函数f 映射为: 其中桌 轰示卷积运算， f 曰 (几f 二。 * f ， 。 f = 甲。 * f ， 、 f 二甲2、* f ， (2 .2) 满 足 : 一 1 l n 戒 +习阵 、 *戏 。 于 是， 就 可以 定 义cu r v e le t 变 换 系 数为，s 0 a。 一 户e m 叉 了 ， 。 、 ) 。 。 (2 .4) 一一 ，工，4 厂产 (2 .5) 定理 2 . 1设g 任 叮 ( r )， 令f (x ) = g(x ) l xz ， ( x， ) :其中曲线: 二阶可导，则函数f 的 cu r ve l e t 变换的m 项非线性逼近疏 (f )能达到误差界 ) ， 一 疏( f) 】:c m 一 2( ，ogm) “ 2( 2 6， 可知 ，c u r ve l e t变换对 于二阶可导 函数 己经达 到 了一种 “ 几乎最优 ”逼近 阶 (最优 逼 近 阶应 该是口(m 一 2) ，式 中( l o gm )， 2项 的 出现 是称 为 “ 几 乎最优 ”的缘 由)。值 得注 意 的是 ，此 时 ，非线性 小波 变换逼近误差 的衰减速度依然 是 m 一 ， 阶 的 。 c u r ve l e t变 换 的一个最核心 的关系是 c u r ve l e t基 的支撑 区间有 : 、 ， i决力二zen g t儿 ，(2.7) 这 个 关 系 为各 向异性 尺度 关 系(劫 isotropy sealing r ela t ion)，这 一 关 系表 明 c u r velet 是一种 具有方 向性 的基 原子 。事实上 ，c u r ve l e t变换是一种 多分辨 、带通 、方 向的函数 分 析方法 ，符合 生理学研究所指 出的 “ 最优 ”的图像表示方法应该具有 的三种特征 。这 也是 c u r ve l e t变 换 之 所 以具有 好 的非线性逼近 能力 的一个 根本 原 因 。 2.1. 2 实现 过程 c u r ve l et 9 9变换 的核心 部分是子带分解和 形dg e l e t变换 。其 实现 过程如下 图所 示 。 首先 ，用 子带 分解算法对 原始 图像进行频带 的分解 ，完成对 图像 的子 带滤波 ; 然 后对 不 同 的子带 图像进行 分块 ，再对每 一 小块 图像进行 形dg e l e t变换就到达 了 c u r ve l e t域 。分解 重 构 如 图 3一 i 【 3， 所 示 。 子带分 解 一平滑分 块 一重正 规化 洲 r 1 d g e l以 分解 (a )分 解 过 程 r i 恻 e t一重 正 规 化 一 j 石 八又 平 滑 集 成一 子 带 分 解 ( b ) 重 构 过 程 图 2一 1 第 一代 c ur v e l e t 变 换 的分 解 和 重 构过 程 f ig u re z 一 1 d e eo m p o sitio n a nd r e eo n stru etio n o f th e f i rst g en er a tio n eu r v e let tra nsf o r m c ur v elet 变换 2. 2 第 二代 c ur v elet 变换 2. 2.1 连续 c ur v elet 变换 与小波变换 、脊波 变换理论 一样 都属 于稀疏理论 的范畴之 内，采用基 函数 与信 号(或 函数 )的 内积 形 式 实现 信 号(或 函数 )的稀疏表 示 ，从而 c u r ve l e t 变换 可表 示 为 【 “ c( j， z ， k): ( f， 甲 . ，l *)( 2 .8) 其 中，甲从、 表示 c t i r ve l e t 函数 ， j， z， k 是分别表示尺度 ，方 向，位置参量 。 c u r ve l e t 变 换在 频域 内实现 ，采 用 频域 中的窗 函数 u 来 实现 甲在 频域 中的表示 。 定义一对 窗 函数 : 径 向窗函数 邢(约 ，: : ( 1 / 2 ， 2 ) 和 角度 窗函数 v ( 小t以 一 1 ，1 . 它们 都满 足 可允 许 条 件 ， 艺、2( z j 刁 一 1 ， :。 ( 3 / 4 ，3 /2) (2 .9) 见vz( 卜l )一 ， ， 。 ( 一 /2， /2) (2 .10) 对 于 每 一 个 j 全j。 ，在 频 域 中定 义 频 窗 u ， 如 下 ， u ( r， 。 )一 2一砷一 : 杯丝 二 坦 ) 又 2兀 少 (2 .11) 其中l j /2 是j/2 的整数部分。 u ， 的支撑区间是受砰和v 支撑区间限制获得的楔形区域， 如 图 3一 2 示 知 道 了 所示。楔形区域符合各向异性尺度的特性。令币 、 (。 )一u 、 (。 )。j 尺度上的职 、 表 其 它 2一 尺 度 上 的 c u r ve l e t 均 可 由叭 通 过 旋 转 和 平 移 获 得 。定义 ， ( l )均 匀 的旋 转 角度 序 列 :e， 一2二 2一 t / 线 l ， z一0 ，l，. . .， 0 三e ， 毓 (2 )平 移 参 数 : 综 合 以上 概 念 ， k = (k， ， kz) 。2 2 定 义 在 尺 度 2一 了 ，方 向e ， 蜘 ，、 ( x )一 价 ， (凡， ( x 一 式 ，平 移 参 数 (k， ， kz)处 的 c ur v elet ， ， )(2 .12) 其中对/ 了 ， 一成 ( k ， 2一 ， kz 2一 j 2) ， 凡， 由e， 旋转获得。cu r ve le t 变换便可表示为 c ( ， ， k ) : 二 怀甲 / ，、 )一 工 2 f ( x 师 万获 法 (2 .13) 通 过 p l a n c h e r e l 理 论 ， 由上式 可推得 e( ， ， ， ， 、 ): 一 去 分 ( 。 成 万 而而一 兴 f 分 佃 妇 ， ( *。 。 ) 。 了( 工，田 ) 、( 2 .1 4) 乙兀一乙兀 - 西安理工大学硕士学位论文 2. 2. 2 离散 c ur v elet 变换 以笛 卡尔 坐 标系下 的 几t， ， tz】 ， c刀 (j， l， k) : = 0 t， ， t: o 有 ， 砚(s。 ， 。 )= v (zl j jo z/。 1一 z) (2 .17) 其 中 ， : 。，是 一 个 剪 切 矩 阵 ( s h 一 )“ 口， : 一 : 率 是等 间距 的 。定义 ， u /伽): =平. ， ( 。 ， )代伽) 针对于每一个e， : 卜7 t / 4 ， 二/4)有， u 少 ， 伽): = 平， (0 1)科(s。 ， 。 )= 1 一ta n 8 2 山、 二_ 、 _ _ ，_ _ . 1)。“ 了 开 非 等 司 巨 的 ， 但 是 斜 (2 .18) u ， (s e， ) (2 .19) 溉溉溉 滋 落 落夔 夔夔夔参参 才才才今今 图2一 2 离 散c ur v e l e t 变 换 的尺度 角度 分割 图 f ig u re z 一 2 s eale a nd a ng u la r d ep a r t o f th e d iserete eu r v elet tra nsf o r m 2 . 2. 3实现 方 法 本 节 主 要 介 绍基 于u sfft 的快 速 离 散c u r ve l e t 变 换 方 法 ，该 方 法 的实现 过 程 如 下 : ( l )对 于 给 定 的一个 笛卡 尔坐标 下 的二维 函数 f l t， ， tz ， 0 三t， ， tz 。进 行zd fft ，得 到二 维 频 域 表 示 ， 尹 n， ， nzi一 n/2 、 nl， nz、 。 /2(2.20) c ur v elet 变换 ( 2 )在频域，对于每一对( j . l ) (尺度，角度) ，重采样入。 :， nz，得到采样值， 少 n， ， nz一 nlt a n a， ，( n， ， nz)。 p. ，(2 .2:) 其中只 = (nl， nz):nl ，。 三。 nl ，。 + li ，. /， nz。 nz 。 2。 + lz， ，且 ll ，是关于2了 ，lz，了 是关 于 zj 2的参量 ，分别表示 窗函数 厅， n ， ， 。 2 的支撑 区间的长 宽分量 ; ( 3 )将内 插后的少 与窗函 数口 ， 相乘便可得到， 元 ， n1 ， nz一 少 n， ， nz一 n t a n 。 ， 厅 . ， nl ， nz、( 2 .22) ( 4 )对元 ， 进行zd fft逆变换，由 此得到离散的曲 波系数集合。 。 ( j ， z ， 劝。 2. 3 c ur v elet 变换存在 的不足 通 过 以上 节 的分析我们可 以得 出，c u r ve l e t 变 换 从提 出到现在 虽然经历 了几代 过程 ， 并且也提 出了许 多 的快速算法 ，但 是 ，由于其本 身理论模型 的原 因，c ur v e l e t 变换还是存 在着种种 的不足 ，因而 限制 了其在 图像处理 的各个方面 的应用 ， 这种不足主要表现在 以下 两个 方 面 : (1 )计 算 量 大 ， 因而 限制 了其 在 工 程 中 的应 用 。众 所 周 知 ，理 论 的提 出就 是 为 了将 其 应 用在 工 程 当 中，推动 工业 生产 的进 步 。而完成 c u l ve l e t 变 换所 需要 的计算 量相对 来 说较 大 (虽然近 些年 不 断地有快速 算法 的 出现 )，这 就使得其 需要 消耗 更长 的时 间，从而影 响 了 c u r ve l e t 变 换在 工程 实 际 中的应用 。 (2 ) 变换后 c u r ve l c t 系数数据量较大 。根据 c u r ve l e t 变换所选择 的方 向数 目，一幅 图像 经过变 换 后 的数