2019高考数学二轮复习_专题六 函数与导数、不等式 第5讲 导数的综合应用与热点问题课件

第5讲导数的综合应用与热点问题,高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.,1.(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.,(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.(1)证明当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex2x.令g(x)f(x)，则g(x)ex2.令g(x)0，解得xln2.当x(0，ln2)时，g(x)0.当x0时，g(x)g(ln2)22ln20，f(x)在0，)上单调递增，f(x)f(0)1.,真题感悟,(2)解若f(x)在(0，)上只有一个零点，即方程exax20在(0，)上只有一个解，,当x(0，2)时，(x)0.,2.(2017全国卷)已知函数f(x)ax2axxlnx，且f(x)0.,(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(e1)e2.所以e2f(x0)0(xI).xI，使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI).对x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.对x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.温馨提醒解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.,热点一利用导数研究函数的零点(方程的根)【例1】(2018西安调研)函数f(x)axxlnx在x1处取得极值.,(1)求f(x)的单调区间；(2)若yf(x)m1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解(1)f(x)alnx1，x0，由f(1)a10，解得a1.则f(x)xxlnx，f(x)lnx，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得02，当00且x0时，f(x)0；当x时，显然f(x).,如图，由图象可知，m10，即m1，由可得20，得x4ex1.,法二f(x1)f(x2)5，x1ex1ex2x23，x12x2ex1ex23x23.设g(x)ex3x，则g(x)ex3.由g(x)0，得xln3.故g(x)ming(ln3)33ln3.10，,探究提高1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则xD，有f(x)M(或f(x)m).2.证明f(x)cx.,当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，求a的取值范围.,解(1)f(x)的定义域为(0，)，当a4时，f(x)(x1)lnx4(x1)，,故曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.,当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)单调递增，因此g(x)g(1)0.当a2时，令g(x)0，,由x21和x1x21得x11.故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)g(1)0，综上可知，实数a的取值范围是(，2.,(2)f(x1)g(x2)m，即f(x1)mg(x2)，,探究提高1.对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.,又f(1)1，即切点为(1，1)，,(2)“对任意的n0，2，存在m0，2，使得f(m)g(n)成立”，等价于“在0，2上，f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值”.,所以g(x)在0，2上单调递增，所以g(x)maxg(2)2.令f(x)0，得x2或xa.当a0时，f(x)0在0，2上恒成立，f(x)单调递增，f(x)maxf(2)(4a)e12，解得a42e；,当0a2时，f(x)0在0，a上恒成立，f(x)单调递减，f(x)0在a，2上恒成立，f(x)单调递增，f(x)的最大值为f(2)(4a)e1或f(0)ae，所以(4a)e12或ae2.,当a2时，f(x)0在0，2上恒成立，f(x)单调递减，,210(x3)(x6)2，3g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.,4.不等式恒成立、能成立问题常用解法,(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如af(x)m