从“百鸡百钱”问题谈引导探究的策略.doc

从“百鸡百钱”问题谈引导探究的策略甘肃省肃南裕固族自治县皇城羊场职工子弟学校734031王梅在数学探究活动中，遇到许多非常有趣的探究性问题，“百鸡百钱”问题就是集趣味性、技巧性于一体的典型古代趣题。此题目是：每只公鸡五文钱，每只母鸡三文钱，三只鸡雏一文钱，现用百钱买百鸡，公鸡，母鸡，鸡雏各几何？对这个问题，学生经过自主探究，不难发现两个相等关系：（1）公鸡数母鸡数小鸡数100只；（2）公鸡钱数母鸡钱数小鸡钱数100文。据此设元，不难得到一个只有两个方程式的三元一次方程组或一个二元一次方程，应用消元法，完全可以将三元一次方程组化为一个二元一次方程。具体设元与列式如下：解：设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，则x+y+z=100 5x+3y+z/3=100 或设买公鸡x只，买母鸡y只，则买小鸡(100xy)只，列式为5x+3y+(100xy)/3=100。化简得7x+4y =100学生很清楚，二元一次方程有无数组解，而符合此题目要求的正整数解应当是有限的。问题的症结在于解此二元一次方程，除非多次尝试得到若干组解，好似就别无他法。至此，学生的探究活动势必陷入僵局，或一筹莫展，或反复试验，苦苦尝试。无论是哪种情境，都不符合新课改的要求与精神，新课程选择该探究性趣题为素材的初衷，集中体现其所倡导的自主探究能力的培养与提升。因此，教师适时得当的引导就很必要，也很关键了。怎样引导学生的探究活动呢？一“激”。就是要激发学生的探究欲望与兴趣，激励其树立敢于探究、勇于创新的精神。按照弗洛伊德的需要层次理论，探究欲是一种实现自我的需要。心理学家皮亚杰也曾说过：“所有智力方面的工作都依赖于兴趣”。这说明教学中一个十分重要的任务就是培养和激发学生的探究兴趣，使其思维经常处于一种探究活动中。在“百鸡百钱”问题一开始，就有一种激发学生兴趣的生活情境，饶有兴味的趣题本身充满了睿智，潜藏着玄机，诱惑着学生去积极探究。但是，这种欲望在“二元一次方程有无数组解”这个不争的事实面前导致了思维凝滞，学生的探究愿望势必受挫。此时，教师切忌大包大揽一讲了之，更忌放任自流，任由学生陷于前面提到的两种处境而不能自拔。二“扶”。就是在学生思维受阻、探究行为卡壳时，给予指点和帮助，拉学生一把，使其在茫然无措中找到探究的途径，重新树立信心。因此我如下引导：同学们试试，（）当x=时，y是不是正整数？（y不是正整数）（2）当x=4时，y是不是正整数？（是）是多少？（y=18）此时公鸡，母鸡，小鸡各有多少？（各4只，18只，78只。所用钱数为54318783=100文）提出这两个具体的问题后，学生情绪又一次被调动起来，探究欲重新点燃，从而把学生推到探究新知的“第一线”，让学生自己动手、动口、动脑主动思考问题。学生在老师“扶”了一把后，很快找到了符合题意的一组解，随之而产生探究更多解的愿望，老师不妨再“扶”一下：当x=8，12时y的情形如何？追问：“老师让你们探究的这些x的值有何特征？”学生很快发现，都是4的整倍数。至此，学生似乎让老师牵着鼻子找到了解决问题的方法-只要给x取一个4的整倍数就可以，至于为什么，全然不解，因而并不因为找到了三组解就满足。有同学就提出“16也是4的倍数，为什么不行”、“还有没有其他解”之类的问题，这表明学生在探究新知的过程中，暴露出他们感知理解新知的矛盾和差异，使他们认识到盲目探究赋值是不科学、不理智的，由此产生更加强烈的兴趣，进而形成强烈的探究欲望，使“激”起的探究欲产生持久的功效。三“放”。就是在学生思维处于活跃状态时，大胆放手，让他们按照自己的理解与感悟进行更进一步的探究，哪怕错了也不要紧，仍然要鼓励其继续探究。因为课堂是学生的课堂，教师要把课堂还给学生，在课堂上要给学生反思的时间和空间，让学生在反思中学习，在反思中成长。当代科学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”。放开之后，有同学观察方程7x+4y =100的结构特征后，结合“百鸡百钱”问题的实际意义猜想：y可以取哪些值呢？会不会是7的整倍数？经过尝试，学生自己找到了答案：y不是7的整倍数。这与“x恰为4的部分整倍数”没有吻合之处，自然对“扶”的过程中已然形成的初步认识产生怀疑，进而反思、否定自我，甚至怀疑老师的帮助是一种误导。此时“放”的目的就表现出来：是要给学生一个研究争论的空间，从而让学生在争中分析、争中反驳、争中明理、争中内化知识和获得正确的方法。四“敛”。就是在大放之后，适时收敛，让学生中出现的各种思维倾向聚焦于最关键的问题，再引导其深层次探究，进而接近问题的实质。“敛”的宗旨是让学生对“放”的过程及其中的种种发现进行有效的反思，实现由感性认识到理性认识的转化。在学生经历了“盲目找解验证出几个特殊解探究解的规律性”的全过程之后，鼓励学生说出心中的疑惑与想法，即发现问题并提出问题：x与y之间相互依存、相互制约，二者应该同时具备什么样的特点才能满足“百鸡百钱”问题的要求呢？如果说把问题聚焦于此处如同找到了打开迷宫的大门，那么揭示x与y的内在联系无疑于一把金钥匙。所以，“敛”为“激”、“扶”、“放”找到了归宿，也为下一步的“剖”准备了条件。五“剖”。就是引导学生合理剖析、优化整合，将前期探究的所有体验与感受进行一次彻底的解剖，以达到去伪存真、揭示真知的目的。既然x与y之间是相互依存、相互制约的关系，不妨从7x+4y =100出发，尝试用一个量表达出另一个量，得到下面两个重要的表达式：x=(1004y)/ 7， y=(1007x)/ 4由式可知，(1004y)必须是7的整倍数，才能得到正整数x；而前面的有效尝试中初步验证了“x恰为4的部分整倍数”，即(1004y)除以7所得的商必须是4的整倍数。把这两个特征有机结合，得到：(1004y)必须是4和7的公倍数。得到的这个结论可靠与否，关键就是“x恰为4的部分整倍数”这个感受和初步体验未必可靠。因此，必须对式、式同时进行剖析，式表明 (1007x) 必须是4的整倍数，才能求出y这个正整数，结合式中有4y，4y无论如何也是4的整倍数，亦即在“4y=1007x是4的整倍数”的条件下才能保证“1004y是7的整倍数”。至此，学生就有了强烈的认同感：要使、两式同时表达为整数，(1004y)必须是4和7的公倍数。而4和7的公倍数在100以内的只有28、56、84，所以，(1004y)=28，56，84。这样，就极大地缩小了学生探究的范围，探究活动就有了明确的目标，能做到有的放矢，而且，学生因通过“剖”印证了先前的感悟，觉得自己找到了解决问题的方法，在这种成就感的推动下，得出三组符合题意的解就很轻松了。（1）y=18，x=4，z=78；（2）y=11，x=8，z=81；（3）y=4，x=12，z=84。六“议”。就是在学生完成探究而处于亢奋的状态下，趁热打铁，引导其反思与讨论，形成探究问题的方法。通过反思讨论，引导学生整理思维过程，确定解题关键，回顾解题思路，概括