（系统理论专业论文）二阶非线性脉冲微分方程的振动性和渐近性.pdf

独创性声明及论文使用授权说明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得广东技术师范学院 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人完全了解广东技术师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意广东技术师范学院将 本人的学位论文提交清华大学中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社全文出版 和编入c n k i 中国知识资源总库，传播学位论文的全部或部分内容。 口公开 口保密( 年月) ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学位论文作者签名：塑盟 签字日期：至幽监且 导师签名 签字日期：星! z 翌：2 矿 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t - i i 第一章引言 1 1 1 二阶脉冲微分方程的研究背景及现状 1 1 1 1 一阶脉冲微分方程振动性研究现状 2 1 1 2 二阶脉冲微分方程渐近性研究现状5 1 2 本文所做的工作 5 第二章二阶非线性脉冲微分方程的振动性 7 2 1 二阶半线性强迫脉冲微分方程的振动性 8 2 2 二阶超半线性强迫脉冲微分方程的振动性 2 1 2 3 二阶次半线性强迫脉冲微分方程的振动性2 4 2 4 例子 2 6 第三章二阶非线性脉冲微分方程的有界性和渐近性 2 9 3 1 预备知识3 0 3 2 主要结果 3 3 3 3 例子 3 6 参考文献 3 8 发表文章目录。4 3 致谢 4 4 摘要 摘要 本文讨论了非线性脉冲微分方程解的振动性和渐近性全文共分为三章在第一章， 我们简要介绍了脉冲微分方程产生的背景，二阶常微分方程和脉冲微分方程解的振动性 和渐近性研究的进展在第二章，我们讨论了一类二阶非线性脉冲微分方程 ， i ( r ( t ) t 忍( z 7 ) ) 7 + p ) 妒卢( z ) = 口 ) ，t t o ，t t k ，七= l ，2 ， i z ( 亡j ) = a k x ( t k ) ，z 心吉) = b k x 他七) ，k = 1 ，2 ， 解的振动性，并得到一系列的区问振动判定定理在第三章，我们研究了一类带特殊脉 冲系数的二阶非线性脉冲微分方程 ， l ( 7 ( t ) z 7 ) 7 + a ( t ) x + b ( t ) f ( t ，z ，一) = p ( ) ，t t o ，t t k ，k = 1 ，2 ， iz ( t j ) = c z ( ) ，z 心去) = c k g c 他七) ，k = 1 ，2 ， 解的有界性和渐近性 关键词：二阶；非线性；脉冲微分方程；区间振动性；渐近性 广东技术师范学院硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w ed i s c u s st h eo s c i l l a t i o no ft h es o l u t i o n sf o rac l a s so fs e c o n d o r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d i n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r f o rt h es o l u t i o n so fac e r t a i ns e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e rlw ei n t r o d u c et h eg e n e r a t e db a c k - g r o u n do ft h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n db r i e f l yr e v i e wt h e h i s t o r yo ft h er e s e a r c h ， i n c l u d i n gt h eo s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n sf o rt h es e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ho rw i t h o u ti m p u l s e s i nc h a p t e r2w es t u d yt h es o l u t i o n s f o rac l a s so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do b t a i nas e r i e s o fi n t e r v a lo s c i l l a t i o nc r i t e r i a i nt h el a s tc h a p t e rw ed e a lw i t ht h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o ft h es o l u t i o n sf o rac e r t a i ns e c o n do r d e rn o n l i n e a r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d g a i n ，r e s p e c t i v e l y , ab o u n d e da n da na s y m p t o t i cc r i t e r i o n k e yw o r d s ：s e c o n do r d e r ；n o n l i n e a r ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；i n t e r v a lo s - c i l l a t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r i i 第一章引言 第一章引言弟一早ji 甬 1 1二阶脉冲微分方程的研究背景及现状 众所周知，表面上完全无关的物理现象，如质点的微小振动，r - 【广c 电路的变化规律 等等，都可以用相同的数学模型：二阶微分方程 + a ( t ) x 7 + 6 ( t ) z = 0 给予描述事实上，这些年来，针对二：阶微分方程的各种不同类型的研究，仍是国际学术 界的活跃课题其中，有两类特殊的二阶非线性常微分方程 + p ( t ) l z l a - - 1 x = q ( t ) ( 1 1 1 ) 和 ( r ( ) 妒。( z 7 ) ) 7 + p ) 妒，( z ) = q ( ) ，妒，( s ) = l s l ”- i s ， 1( 1 1 2 ) 解的性态研究颇受关注 1 2 9 】 方程( 1 1 1 ) 被称为广义的e m d e n f o w l e r 方程 1 】它起源于十八世纪末的天体物 理及气象动力学的研究，在原了物理，流体力学及化学反应过程等都有应用因此，不少 学者致力于广义e m d e n - f o w l e r 方程解的性态研究，也取得不少成果，如文 2 7 】而方程 ( 1 1 2 ) 称为半线性微分方程，钆( s ) 被称为l a p l a c e 算子l a p l a c e 算子产生于大量物理 现象并可应用到非牛顿流体，反应扩散，非线性弹性，石油提取等f u j 题中去【8 - 1 2 因此， 有许多数学家研究含有l a p l a c e 算子的方程，如文【1 3 2 9 】 随着研究的深入，人们发现，很多事物在发展变化过程中会伴随出现状态瞬时突变的 现象，就是所谓的脉冲现象为了更精确地描述这类事物的变化发展规律，人们通常借助 于建立以脉冲微分方程为表现形式的数学模型因此，脉冲微分方程被越来越多地应用 到诸如物理学，生物学，化学，工程技术和社会科学等科研领域中去 由于脉冲微分方程广泛的应用背景，继上世纪6 0 年代m i l m a n 和m y s h k i s 首次提出 脉冲微分方程理论之后，国内外众多学者对脉冲微分方程理论进行了深入的研究，并形成 了相关的专著，如f 3 0 - 3 3 从文献中我们注意到，脉冲微分方程振动性和渐近性理论是脉 冲微分方程理论的重要分支通过对各种形式的脉冲微分方程，特别足_ 二阶脉冲微分方 程解的振动性和渐近性的研究，人们已经取得许多很好的结果，如文 5 ，1 9 ，2 8 ，2 9 ，3 4 4 9 下面分别就近年来二阶脉冲微分方程解的振动性和渐近性的研究现状作简要介绍 1 广东技术师范学院硕士学位论文 1 1 1二阶脉冲微分方程振动性研究现状 1 9 9 7 年，陈永劭和冯伟贞【3 4 】研究了二阶非线性脉冲微分方程 + f ( t ，z ) = 0 ，t t o ，t t k ，k = 1 ，2 ， z ( 去) = 鲰( z ( t 七) ) ，一( t 吉) z ( 古) = x o ，z 7 ( t 3 ) = 。：， h k ( x 他七) ) ， 得到一切解振动的判定依据是年，黄春潮 3 5 】研究了一类特殊的二阶非线性脉冲微分 方程 z，=一(砉。ks(t-tk)、)z，tt01 一。) 州 七= 解的振动性与非振动性其中a k 0 ，6 ( t ) 是乒函数，即 仁m m s ) d s = 郧m 州s 刊0 ) 2 0 0 0 年，美国m 纳西州立大学的g r a e f 教授和匈牙利s z e g e d 大学的k a r s a i 教授在文【2 7 】 中研究了带时问脉冲的振子方程 解的振动性 2 0 0 3 年，文 2 8 ，2 9 】用不同的方法分别研究了形如 的非线性脉冲微分方程解的振动性，得到方程一切解振动的充分性条件 由此可见，探究脉冲微分方程的解何时具备振动性质，仍足当今研究脉冲微分方程性 态较为活跃的课题由于当脉冲作用消失时，脉冲微分方程退化成常微分方程因此，常 微分方程解的性态研究中所采用的方法可为脉冲微分方程解的性态研究提供借鉴 事实上，对二阶常微分方程解的振动性研究一直以来很受学者们的关注例如：1 9 4 9 年w i n t n e r 【5 0 】给出了二阶齐次线性微分方程 z + p ( t ) z = 0( 1 1 3 ) 2 l l 后 如* 幻，八l t m 鲰 l i = 动如 以 幻 ，烈d叶以 m = z )蛾 ，ij(1【 = 七 氏 *， 0 d， 幻 八i m仉卜 = 哮 功烈八”+ 州嘶 “= 妒，绣 p ，j(1【 第一章引南 酮所有觯振动的冗分条件 t l 。i m o o 兰t 石咖) d r d s = ( 1 1 4 ) 1 9 5 2 年，h a r t m a n 5 1 】将( 1 1 3 ) 的所有解振动的允分条件( 1 1 4 ) 减弱为 一t m i n r 石巾渺d s s t o 并且存在连续函数h ：d _ r ，使得 箬s ) _ 坤一侗丽心s ) 以 如果 u m s u p 高石( 即，s ) p ( s ) 一五1 魄s ) ) d s = ， 则方程( 1 1 3 ) 是振动的 近年来，文 5 4 】等所采用的技巧越来越多地被应用来研究不同类型的二阶常微分方 程解的振动性，得到不同的k a m e n e v 型振动性判定准则，如文 2 5 ，2 6 ，5 5 5 9 广东技术师范学院硕士学位论文 然而，在以上提及的多数文献中，方程解的振动性结论的取得都要么要求方程中的 p ( t ) 定号，要么要求知道p ( t ) 和q ( t ) 在整个半直线 t o ，o 。) 上的信息例如，当ep ( s ) d s = 一0 0 时，文 5 0 _ 5 2 】等的结论就无法应用来判断方程( 1 1 3 ) 解的振动性 为了突破这个局限，有些学者把目光转向经典的s t u r m 定理 6 0 1 从s t u r m 定理可 以看到振动性只是一个区间性质，即如果存在 t o ，o 。) 上的一列子区间 a i ，b i 】( 当t 0 0 时，a _ o o ) ，使得对每个i ，方程的某个解在区间【a t ，b i 】内至少有一个零点，那么方程的 这个解是振动的 受s t u r m 工作的启发，1 9 9 3 年e i s a y e df 6 1 】得到了一类带强迫项的二阶常微分方程 ( r ( t ) x ，) ，+ p ( t ) x = q ( t ) ( 1 1 5 ) 的区间振动准则它的结论依赖于某个常系数微分方程n s a r 【6 2 】则于1 9 9 8 年研究了二 阶超线性微分方程 ( r ( t ) x ，) ，+ p ( t ) ( z ) = q ( t ) 解的区间振动性，得到相应的判定定理至l j 1 9 9 9 年，w o n g 6 3 】继续研究方程( 1 1 5 ) 解 的振动性，得到如下的区间振动的判定准则： 定理b假设对任意t 0 ，存在t 8 1 t 1 s 2 t 2 使得 记d ( s i ，t i ) = 乱c 1 ( s l ，t i ) ： d ( s i ，t i ) 使得 u ( t ) 0 ，u ( s i ) = u ( t i ) = 0 ，i = 1 ，2 如果存在u f t i q ( u ) = p ( s ) 札2 ( s ) 一r ( s ) 铲( s ) ) d s 0 ，i - l ，2 ， d 以 则方程( 1 1 5 ) 是振动的 此后，文【5 2 】和【6 2 ，6 3 】等的研究方法被许多学者接受，并得到不同类型的常微分方 程解的区间振动判定准则，如文 1 5 1 8 ，2 0 - 2 2 ，2 4 ，6 4 6 8 】等此时，我们自然会问：这些 方法是否可以推广到脉冲微分方程解的振动性研究上去呢? 答案是肯定的 2 0 0 7 年，刘秀湘，徐志庭 3 6 】将文 6 4 ，6 5 】的结论推广到一类非线性脉冲微分方程 ，u，列 t t 1 2 s s 1【，-_【 t t o 0 一 ，、l 、l ， l ，jl g 互 l ， = 七 一 ，乏 ， 亡 1 = t 七 幻l八l 0 l k 4 m | i = d ) “p 妒l 、， q p z 一 知 1 - 0 丁l i z ) 、j- 绣p 文 ，_，、_l 第一章引言 并建立了区问振动准则翌年，z a f e r 3 7 研究一类非线性脉冲微分方程 i ( r ( t ) 妒a ( z 7 ) ) 7 + p ) 妒。( z ) + 口( t ) 妒p ( z ) = e ( ) ，t t o ，t 七，庇= 1 ，2 ， l ( r ( t ) ( z ，) ) + 饥即( z ) = e k ，k = 1 ，2 ， 并得到一切解区问振动的定理 1 1 2二阶脉冲微分方程渐近性研究现状 研究微分方程模型解的渐近性质，对预测事物未来发展趋势有着重要的意义因此， 二阶微分方程和脉冲微分方程解的渐近性研究并未受冷落，近年来也取得不少成果，如 文【3 8 4 1 ，6 9 _ 7 1 】等其中，2 0 0 0 年，陈永劭，冯伟贞 3 8 】考虑二阶脉冲微分方程 ， l + p ( t ) x = 0 ，t t o ，t t k ，k = 1 ，2 ， lz ( t 吉) = 9 k ( z ( 七) ) ，z 他j ) = h k ( x 他詹) ) 该文作者主要研究脉冲扰动对系统解的性态的影响，并利用积分的方法得到解的有界性 和渐近性的若干判断依据2 0 0 4 年，田艳玲 3 9 】研究了一类特殊的二阶脉冲线性非振动 微分方程 ( r ( t ) z ，) ，= p ( t ) x + a k 5 ( t t k ) x ，t t o 七= 1 解的渐近性态2 0 0 8 年，文【4 0 】研究了方程 ， i ( r 0 ) z 7 ) 7 + a ( t ) x 7 + q ( t ，z ) = 0 ，t t o ，t t k ，七= 1 ，2 ， lz ( t 吉) = 慨( z ( 如) ) ，z 他吉) = 眠( z 他七) ) ，k = 1 ，2 ， 解的有界性和渐近性，这里要求函数7 ( t ) 有界 我们注意到：在国际权威刊物上，关于二阶脉冲微分方程的渐近性研究并不是很多 1 2 本文所做的工作 就我们所知：通过区i 司振动的研冗方法来建立二阶脉冲微分方程的振动准则的现有 成果并不是很多受文【3 6 ，3 7 】的启发，本文在第二章研究一类带l a p l a c e 算子的二阶脉 冲微分方程 fp ) 妒。( z ，) ) ，+ p ( t ) 妒口( z ) ：g ( ) ，t 幻，t 七，k ：1 ，2 ， 、z ( t j ) = 纵z ( 如) ，一( 吉) = b k x ( t k ) ，忌= 1 州2 5 广东技术师范学院硕士学位论文 解的区间振动问题 我们注意到：温立志教授在文 6 9 】讨论二阶常微分方程解的有界性在第三章我们 将移植文 6 9 】的方法来研究一类二阶非线性脉冲微分方程 ， j ( r ( t ) z 7 ) + o ( ) z + b ( t ) f ( t ，z ，z 7 ) = p ( ) ，t t o ，t t k ：k = 1 ，2 ， iz ( t ； ) = c k = ( t k ) ，z 他j ) = c k x 他七) ，k = 1 ，2 ， 解的有界性和渐近性与文 4 0 】相比，虽然这里只考虑特殊的脉冲情况，但我们不需要求 函数7 _ ( t ) 有界 后继的讨论巾我们总是认定： 0 t o t l l ，p 1 ， 口知) 和 6 岛 都是实数列，且b k a k 0 ，后= 1 ，2 ，； ( h 2 ) 7 c ( t o ，o o ) ，( 0 ，) ) ，p ，q c ( t o ，) ，r ) ； ( h 3 ) 存在c l d x c 2 d 2 且勺，略譬 如) ，歹= 1 ，2 当t c l ，d 1 】u ( c 2 ，d 2 】时p ( t ) o ； 而 m，o,teo，,d10 t c 2d 2 ；i ， ， 】 就我们所知：通过区问振动的研究方法来建立二阶脉冲微分方程的振动准则的现有 成果并不足很多下面我们将利用这一方法研究带l a p l a c e 算子的_ ：阶脉冲微分方程( 2 0 1 ) 的 振动性，发展了刘秀湘、徐忐庭 3 6 1 和z a f e r 【3 7 】的工作 为了方便后文的表述，我们还要引入- 些记号和定义记 七( s ) = m a x ：t o 8 ， 且在d 上有偏导数面o h ，石o h l t o c ( d ，r ) ，则称函数h = h ( t ，s ) 属于函数类j c ，记为 h | i c 这里l f ( d ，r ) 表示全体函数h ：d _ 乏，且这些函数在d 中的任意紧集上可 积 我们将对方程f 2 0 i ) 的以下情形进行研究： ( 1 ) 情况o i = p 1 此时称方程( 2 0 1 ) 为半线性强迫脉冲微分方程我们将在本 章的第一节阐细地讨论这种情况 ( 2 ) 情况p o f 1 此时称方程( 2 0 1 ) 为超半线性强迫脉冲微分方程我们将在 本章的第二节考虑相应的区间振动准则 ( 3 ) 情况q 卢 1 此时称方程( 2 0 1 ) 为次半线性强迫脉冲微分方程我们将在本 章的第i 节对这种情形给出一些相关结论 2 1二阶半线性强迫脉冲微分方程的振动性 本节我们研究二阶半线性强迫脉冲微分方程 p ( ) 妒a ( z 7 ) ) 十p ) 妒口( z ) 2 q ( t ) ，。，。t k , k = 1 ，2 ， ( 2 1 1 ) lz ( j ) = o 岛z ( 如) ，x ( j ) = b k x 印七) ，k = 1 ，2 ， 解的振动性，其中o i 1 我们先给出本节的几个引理 引理2 1 1设函数w ( t ) = l v ( t ) l a - 1 y ( t ) ，其中o 1 ，v ( t ) 是定义在( a ，6 】上的 函数若w ( t ) 是( a ，6 】上的单调不增函数，则v ( t ) 也是( a ，6 】上的单调不增函数 证明 因w ( t ) 在( a ，6 l 上单调不增，从而对任意f 1 ，已( a ，6 j 且1 q ( 9 ，c j ，奶) ， ( 2 1 2 ) 则z ( t ) 在区间【c l ，d 2 】上既不定正也不定负其中当后( 勺) 七( 奶) 时， 惭轳r a + l t ， 、嚣岛+ 。：篆。扩t ，器) ( 2 坞， 而七( 勺) = 七( 而) 时，q ( 9 ，勺，哆) = 0 ，j = 1 ，2 证明 假设本引理不成立不妨先设在区间c 1 ，d 2 】上z ( ) 0 当k ( c 1 ) 0 时，容易得到 和 此时f ( v 1 在 f 7 ( u ) ：垦喾一( q + 1 ) 9 a 1 9 7 州：丛学 。 口= ( 等) q r 处取得最小值，故有 f ( v ) 一r i g 个+ 1 ( 2 1 1 1 ) 当u = 0 时f ( v ) = 0 ，( 2 1 1 1 ) 显然成立由( 2 1 1 0 ) 一( 2 1 1 1 ) 得 k篆(d1)?州)(1刊州。r1扩1(5h(s)lg，(s胪+1)ds(2112)i 扩+ 1 ( 屯) ( 1 一以) u ( 气) ( p ( s ) 旷“( s ) 一r，( s ) | a + 1 ) d s ( 2 1 1 2 ) = k ( c 1 ) + 1 。1 7 另一方面，当t ( c l ，t k ( 。) + 1 】时，由( h 3 ) 有 ( r ( t ) v 。( z ，) ) = q ( t ) 一p ( t ) q o 口( x ) 0 广东技术师范学院硕士学位论文 因此，函数r ( t ) ( z 7 ) 即r ( t ) l z 讹) l 。一1 z 他) 在( c 1 ，t k ( 。) + ，】单调不增记 w ( t ) = r ( t ) l x 船) l ”1 z 他) ， v ( t ) = ( r ( t ) ) 1 a x 他) ， 则有 ( t ) = ( r ( t ) ) q 一1 肛i x 俅) f 口一1 ( r ( ) ) 1 q z 俅) = i v ( t ) l n 一1 y ( t ) 由引理2 1 1 知函数y ( 亡) 在( c l ，t k ( 。，) + l 】也是单调不增当t c l ，t 七( 。) + 1 】时，在区间 c l ，t 】上应用拉格朗日中值定理，可得 x ( t ) 一x ( c 1 ) = z 代) ( 一e 1 ) ，( c - ，t ) ( 2 1 1 3 ) 注意到函数( r ( t ) ) 三z 他) 在( c 1 ，t 】一卜单调不增，可得 ( 7 ( ) ) 1 7 。z 7 ( ) ( r ( t ) ) 1 n z ( t ) ，c 1 ，t ) ( 2 1 1 4 ) 由假设知x ( c 1 ) 0 ，x ( t ) 0 ，由( 2 1 1 3 ) 一( 2 1 1 4 ) 得 雄) 嘿笋( h 1 ) 即 学 喾 ( 2 5 ) z ( t ) 、一c l 卜一上u 7 e h ( 2 1 1 5 ) 得到 半器掣 一南 ( 2 1 1 9 ) 由( h i ) 易知o k 1 冉由( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ，我们有 t = 一 + i = k 型( c 1 ) + 2 扩艳t ，播) + 夕叶1 ( 如) 悬 、 。l 跏钿训川撩等+ 。：篆2 帅t ，赫) = q ( 9 ，e l ，d 1 ) ( 2 1 2 0 ) 结合( 2 1 1 2 ) 和( 2 1 2 0 ) ，我们得到 f 1 州( s ) m ，( s 卅+ 1 ) d s 0 ，存在勺，喀，j = 1 ，2 使得t c l d 1 c 2 如和 条件( h 3 ) 成立若存在g c 1 ( b ，呜】，【0 ，。o ) ) 满足( 2 1 2 ) 且夕( 勺) = 夕( d j ) = 0 ，则方程 ( 2 1 1 ) 是振动的 1 3 ， 堕一i一】 旦 州 二m 、l ， 一( 一 d 、i ， “ “ 弋 甜 一 9 q 9 ， 铲 帅文 广东技术师范学院硕士学位论文 证明取数列 正) c t o ，) 使得当i 一时正_ o o 由假设知，对每个i n ， 存在q 1 ，d i l ，c i 2 ，盔2 r 使得互c i l 反1 q 2 0 当后( 6 1 ) 0 时，容易得到 和 此时，f ( v ) 在 即) 却+ 1 ) h 1 h 2 - 坠掣 pv 、= ( q + i ) h 。+ 1 可( 1 一。) 。 ，危2 、n l 百j r o 处取得最大值，故有 f ( v ) 7 _ 尹1 ( 2 1 2 5 ) 当v = 0 时，f ( v ) = 0 ，( 2 1 2 5 ) 显然成立利用( 2 1 6 ) ，由( 2 1 2 4 ) 一( 2 1 2 5 ) 得 ，t( ) ，p ( s ) 日a + l ( t ，s ) d s 日0 + 1 ( t ，啪( 1 一吼) u ( 岛) 州1 信奄( 6 f ) + 1 一日a + l ( t ，1 5 1 ) ( - d ( 5 1 ) + r ( s ) ；“( t ，s ) d s ( 2 1 2 6 ) 在( 2 1 2 6 ) 中令t _ 酊，我们得到当j = l 时( 2 1 2 1 ) 成立 当七( 6 1 ) = k ( d 1 ) 时，区间 5 1 ，d 1 ) 上没有脉冲点，( 2 1 2 2 ) 仍成立对( 2 1 2 2 ) 左端分 部积分，并注意到日( t ，t ) = 0 ，警( t ，s ) = 2 ( t ，s ) ，得 h a + 1 ( ，s ) u 7 ( s ) d s = 一日o t + l ( t ，5 1 ) u ( 6 1 ) + ( q + 1 ) 日。( t ，s ) 入2 ( t ，s ) v - f f ( t , s ) w ( s ) d s ( 2 1 2 7 ) 1 5 广东技术师范学院硕士学位论文 由( 2 1 2 2 ) 和( 2 1 2 7 ) 得 p ( s ) 日口+ 1 ( t ，s ) d s 一h 口+ 1 ( t ，5 1 ) “，( 6 1 ) + ( ( 口+ 1 ) 州如) 她s ) m s ) l _ h a + l s ) 进而结合( 2 1 2 5 ) 可得 锱尝) 如( r ( s ) ) 1 a ”。 石小) 胪艳，s ) d s- h a + l 叫州。) + 石巾) 矽，s ) d s 在( 2 1 2 8 ) 中令t _ d i - ，我们得到当j = 1 时( 2 1 2 1 ) 成立 ( 2 1 2 8 ) 当j = 2 时，在区问峨，d 2 ) 上z ( t ) 0 当k ( c 1 ) 0 时，容易得到 和 此时，f ( v ) 在 处取得最大值，故有 a h a + lv ( a + 1 ) a r l a ，v 0 f ，( 秒) ：( a + 1 ) 日a 1 一( a + 1 而) h a - + l v z a f ，( 可) = 一 ( a + 1 ) h 。+ 1 ( 1 一。) 屈 o e r z a ，h l 、o l 万夕7 f ( v ) r 样+ 1 0 当 = 0 时，f ( v ) = 0 ，( 2 1 3 3 ) 显然成立n , n ( 2 1 6 ) ，由( 2 1 3 2 ) 一( 2 1 3 3 ) 得 r 占 七( 6 1 ) 厂p ( s ) 日。+ 1 ( s ，t ) d s h 0 + 1 ( 屯，t ) ( 1 一吼) u ( 如) jt i - - 七( ) + l + h a + 1 ( 5 1 ，t ) u ( 6 1 ) + r ( s ) 九? + 1 ( s ，) d s ，1 0 1 j t 1 7 ( 2 1 3 1 ) ( 2 1 3 2 ) ( 2 1 3 3 ) ( 2 1 3 4 ) 广东技术师范学院硕士学位论文 只要在( 2 1 3 4 ) 令t _ c ：，即得( 2 1 2 9 ) 当j = 1 时成立 当后( c 1 ) = 南( 6 1 ) 时，区间( c l ，5 1 】上没有脉冲点类似引理2 1 4 的说明可得( 2 1 2 9 ) 当j = l 时成立 当j = 2 时，在区间( c 2 ，如】上z ( t ) 即删， 则z ( t ) 在区间e l ，d 2 】上既不定正也不定负其中危1 = 瓦o hs ，t ) ，h 2 = 等( s ，) ； 当k ( c j ) = 七( 奶) 时，p ( h ，c j ，d j ) = 0 ； 当k ( c j ) 七( 岛) 七( 奶) 时， p ( 日，c j ，略) 一 仍 日叶1 ( 奶，如)( 日。+ 1 ( 嘭，t t c 白，+ - 百踹 ( 胪1 ( t k ( c 1 ) + l , c j ，揣 当后( 勺) = 后( 妨) 七( 略) 时， p ( h 尚奶) 2 赢 ( 1 ( 州啪m ) o k ( s j ) + l 1 ( 膏( 白) + 1 一岛) 。 当后( 勺) 0 由引理2 1 4 - 2 1 5 易知，当歹= 1 时( 2 1 2 1 ) 和( 2 1 2 9 ) 成立以日。“( d l ，6 1 ) 除( 2 1 2 1 ) ，得 日。+ 1 ( d l ，5 1 )冉1 ( d ”) d s 日。+ 1 ( d 1 ，6 1 ) 一u ( 占1 ) + 以日n + 1 ( 6 1 ，e 1 ) 除( 2 1 2 9 ) ，得 日n + 1 ( 6 1 ，c 1 ) k ( d 1 ) 日州( d 州t ) ( 1 一巩) u ( 如) i = k ( 5 1 】+ l h o “( d l ，5 1 ) 一1 ( s 以 h o + 1 ( 6 1 ， + u ( 6 1 ) + 由( 2 1 3 9 ) 和( 2 1 4 0 ) 两端相加得 h a + l ( d l ，5 1 ) + r ( s ) 尹1 ( d l ，s ) d s ( 2 1 3 9 ) h n + 1 ( 屯，e 1 ) ( 1 一吼p ( 屯) 日叶1 ( 6 l ，c 1 )小s 凇+ 1 ( s 一) d s 1 0 1 ( d 1 s ) 叫啪口+ 1 ( 叱s ) ) d s 日q + 1 ( 占l ，c 1 ) 日0 + 1 ( d l ，5 1 ) 1 州s 忍h ( s ) 伊1 ( 8 阳) ) 幽 k ( d 1 ) h 州( d 州t ) ( 1 一嘲u ( 屯) 忙( 6 1 ) + 1 1 毛( 6 1 ) + 南僦e ( c l m h 。+ i 邸1 ) ( 1 咱腓) ( 2 1 4 0 ) ( 2 1 4 1 ) 在区间 5 1 ，d l 】上，若k ( 5 1 ) k ( d 1 ) ，类似( 2 1 1 8 ) 和( 2 1 1 9 ) ，只需用6 l 替换c 1 ，得 同理，在区间 e l ，6 1 】上若k ( c 1 ) 后( 6 1 ) ，可得 1 9 ，k ( d 1 ) ，k ( 5 1 ) ( 2 1 4 2 ) ( 2 1 4 3 ) h 江 一m 广东技术师范学院硕士学位论文 于是当k ( o ) 七( 6 1 ) k ( d 1 ) 时，由( 2 1 4 1 ) 一( 2 1 4 3 ) ，我们有 丽晶r 1 州d l ，s ) _ r ( s ) 矽1 ( d ”) ) d s 十丽晶 1 州s 以h ( s ) 帅忍，) d s h a + 彘id 一 ( 】，6 1 )( 州丸叫川撩斋+ ；：篆：h a + l ( d l , t i ) 而a i - 1 ) + 高b ( 州钿扎州老高+ 任篆2 h a + l ( t i , c 1 ) 而o - 1 ) 这就与( 2 1 3 5 ) 矛盾 若七( 6 1 ) = k ( d 1 ) 或k ( c 1 ) = k ( 6 0 ，同理可得出矛盾对于在区间e l , d 2 】上z ( t ) 0 ，存在勺，d j ，岛，j = 1 ，2 使得t c l 5 1 d l c 2 5 2 0 ，存在c j ，奶，国，j = 1 ，2 使得t c 1 5 1 d 1 c 2 1 引理2 2 1 ( 6 5 1 ) 如果x 0 ，y 0 ，则有 去x a + 专y 1 x 其中a 0 ，y 0 ，x 1 + ，1 = 1 引理2 2 2 设z ( t ) 是方程( 2 2 1 ) 的一个解如果存在g c 1 ( b ，奶】，【0 ，o 。) ) ， g ( c j ) = g ( d j ) = 0 ，使得 f ( 丁g a + l ( s ) 叫s ) 咖胪“) d 5 惭吼 ( 2 2 2 ) 则x ( t ) 在区间 c l c ，d 2 】，卜既不定正也不定负其中 t ( t ) = ( p ( ) ) 口i n l q ( t ) l ( 卢一。) 伊，( 2 2 3 ) 当七( 勺) = 七( 奶) 时q ( g ，勺，d j ) = o ；当后( 勺) k ( d j ) 时q ( g ，勺，呜) 的定义如( 2 1 3 ) ， 证明 假设结论彳i 成立) 1 0 当后( c 1 ) 0 ，存在勺，力，j = 1 ，2 使得t c 1 d l c 2 0 ，存在勺，嘭，妨，j = 1 ，2 使得t e l 6 l d 1 c 2 如 0 ，存在勺，d j ，如，歹= 1 ，2 使得t c 1 5 1 d 1 c 2 一 广东技术师范学院硕士学位论文 成立且不同时取等号，则方程( 2 2 1 ) 是振动的其中 1 ( 屯s ) = o 仉h i 、t ，s ) ，h 2 ( t ，s ) = 丽o h ( z ，s ) ，而函数t 的定义如( 2 2 3 ) 2 3 二阶次半线性强迫脉冲微分方程的振动性 本节讨论带强迫项的二阶次半线性脉冲微分方程 ( r ( 。) ( z ，) ) 7 + p ( 。) 即( z ) = 姒。t o , 。地七= , 2 , - - - ， ( 2 3 1 ) iz ( t 吉) = o 七z ( t 南) ，z 7 ( t j ) = 6 岛z ( t k ) ，k = 1 ，2 ， 解的振动性，其中o p 1 引理2 3 1 设z ( t ) 是方程( 2 3 1 ) 的一个解如果存在g c 1 ( c j ，d j 】， 0 ，) ) ， 9 ( 勺) = 夕( 呜) = 0 ，使得 r ( s ) l 夕7 ( s ) i 。+ 1 d s + q ( 9 ，勺，d j ) 0 ， ( 2 3 2 ) 则z ( ) 在区问 c 1 ，d 2 】上既不定正也不定负其中当k ( c j ) = k ( d j ) 时q ( g ，勺，嘭) = o ；当 后( 勺) 0 当k ( c 1 ) 0 ，1 竽在勺，嘞，j = l ，2 使得t c 1 0 ，t ( c l ，5 1 】 。 其中 ( ，s ) = 等( ，s ) ，而函数u 的定义如( 2 3 3 ) 引理2 3 5 设x ( t ) 是方程( 2 3 1 ) 的一个解如