（模式识别与智能系统专业论文）锥束投影数据重建方法研究.pdf

摘要 摘要 近几十年以来，x 射线安全检查设备被广泛的应用于重要进出口的安全检查 之中。这是一种利用x 射线穿透能力来实现对货物行李进行快速检查的系统， 它具有低成本、低剂量、非接触式等良好优点。但是，目前的检查系统也存在着 很多缺陷，它们大部分只是平面重建，而且分辨率很有限。对于金属这样x 射 线吸收率较高的物体识别较容易，但是对于毒品爆炸物的分辨却很困难。因此， 本文希望能通过对于x 射线解析重建算法的研究，来提出一些新思路和新方法， 来更好的解决目前存在的问题。 限于平面重建自身固有的一些缺点，并不能依靠算法来达到理想中的效果。 因此，功能强大的三维扫描重建系统将是更好的选择。但是由于安检应用的特殊 性，对于重建的速度要求极高。而由于三维重建的数据量庞大，算法较为复杂， 因此在速度上无法达到使用的要求，本文的主要研究方向是为了解决这个问题而 努力。 本文对于已有的一些经典的算法做了研究与探讨，尤其对于一些新的方法和 思路做了重点的分析。考虑到滤波反投影法的主要时间消耗在于反投影的过程， 同时结合安检这个领域应用的特殊性，提出了一种针对特定密度检测的快速滤波 反投影算法。在预重建的基础上，利用模式识别与图像分割的方法，寻找出感兴 趣区域精确重建。既不影响对于关键物体的关注，又可以大大提高重建速度。随 后，本文又讨论了一些通用的锥束f d k 算法的速度优化方法，并将它们与特定 密度检测算法结合起来应用到锥束f d k 算法上，同时在计算机上进行了仿真分 析。实验证明该方法在保持对于关键区域重建质量的基础上，大大提高了算法的 速度，有着一定的应用价值。 关键词：x 射线解析算法滤波反投影特定密度感兴趣区域锥束快速 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h el a s ts e v e r a ld e c a d e s ，x - r a ys e c u r i t yc h e c k i n ge q u i p m e n t sh a v eb e e n w i d e l ya p p l i e di ns e c u r i t yc h e c k i n ga tm a j o re n h a n c e sa n de x i t s t h i si se q u i p m e n t w h i c hc a l lr a p i d 1 yc h e c kl u g g a g eb e c a u s eo ft h ep e n e t r a t i o nc a p a b i ! i t yo fx - r a y l o w - c o s t ，l o w - d o s ea n dn o n - c o n t a c ti st h ea d v a n t a g eo ft h e m b u tt h es e c u r i t y c h e c k i n ge q u i p m e n t s a l s oh a v es o m ed e f e c t s t h em o s to ft h e m o n l y c a l l r e c o n s t r u c t i o ni nt w od i m e n s i o n a l i t ya n dh a sl o wr e s o l v i n gp o w e r t h e yc a nd e t e c t t h es u b s t a n c ew h i c ha b s o r bt h ex r a ys e v e r e l ys u c ha sm e t a le a s i l y b u tt h e s u b s t a n c ew h i c ha b s o r b st h ex r a ys l i g h t l yi sh a r d l yd e t e c t e d s o ，t h i sp a p e rw a n t a d v a n c es o m en e wi d e at or e s o l v et h ep r o b l e m sb yt h er e s e a r c ho nr e c o n s t r u c t i o n a r i t h m e t i co fx r a y b e c a u s eo ft h ei m m a n e n td e f e c t so ft h et w od i m e n s i o n a lr e c o n s t r u c t i o n ，w ec a n n o tr e s o l v et h e mb yu s i n gaa r i t h m e t i c t h et h r e e - d i m e n s i o n a ls c a n n i n gc ti sa b e t t e rc h o o s eb e c a u s eo fi t s s t r o n ga d v a n t a g e s b e c a u s eo ft h ep a r t i c u l a r i t yo f s e c u r i t yc h e c k i n g ，t h es p e e do fr e c o n s t r u c t i o nm u s tq u i c k l y 。b u tt h ed a t ao ft h r e e d i m e n s i o n a lr e c o n s t r u c t i o n si sh u g e n e s sa n dt h ea r i t h m e t i ci sc o m p l e x i t y s o ，i th a sa l o ws p e e d t h i sp a p e rt r i e st od e v o l v et h i sp r o b l e m t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m ec l a s s i c a la r i t h m e t i ca n da n a l y z e ss o m en e w t h o u g h t t h em o s tt i m es p e n do nf i l t e rb a c kp r o j e c t i o na r i t h m e t i ci s s p e n d i n go nt h eb a c k p r o j e c t i o np r o c e s s m a k i n gu s eo ft h ep a r t i c u l a r i t yo fs e c u r i t yc h e c k i n g ，t h i sp a p e r a d v a n c eah i g h s p e e db a c kp r o je c t i o na r i t h m e t i ca i ma ts p e c i a ld e n s i t yd e t e c t e d i t u s e st h ei m a g ed i v i s i o na n dp a t t e mr e c o g n i t i o nm e t h o dt of i n dt h ea r e aw h i c hw e i n t e r e s t e do nt h ei m a g ew h i c hi sr e c o n s t r u c t e db yi m p e r f e c td a t a i tc a ni m p r o v et h e s p e e do fr e c o n s t r u c t e da n dt h er e c o n s t r u c t i o no ft h ea r e aw h i c hw ei n t e r e s t e di sa l s o i ng o o dc o n d i t i o n ，t h e n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m em e t h o dw h i c hc a ni m p r o v et h e s p e e do ff d k a r i t h m e t i ca n du s et h e mw i t ht h em e t h o da d v a n c eb e f o r et om a k ea n e wa r i t h m e t i ca n dp r o d u c ea c o m p u t e rm o d e lo fi t t h er e s u l t so fe x p e r i m e n tp r o v e t h a tt h es p e e di sm o r eq u i c k l ya n dt h er e c o n s t r u c t i o no ft h ea r e aw h i c hw ei n t e r e s t e d i sg o o de n o u g h 。 k e yw o r d s ：x - r a y ，a n a l y t i cm e t h o d ，f b p , s p e c i a ld e n s i t y ，i n t e n s i t ya r e a ，c o n e r a y , h e i g h ts p e e d i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：荭e 邀 签字日期： 翌! 翌! 1 3 一 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中国学 位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 日公开口保密( 年) 作者签名：煎蜀f 选 签字日期：j 型卫巴_ 牡 导师签名： 签字日期： 第一章绪论 1 1 课题研究意义 第一章绪论 本课题的依托项目是国家自然科学基金重点项目高速x 光锥束三维成像与 新型散射方法探测毒品、爆炸物的原理及应用研究，研究x 射线 c t ( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，计算机断层摄影术) 的核心重建算法是其主要的 内容。本世纪7 0 年代以来，世界范围内的各种恐怖袭击事情以及毒品走私不断 发生，毒品爆炸物检测正在成为受到广泛关注的领域。在对于通过重要出入口如 机场、港口、海关、车站等的人员所携带行李物品实施的安全检查中，低剂量、 低成本、非接触式可成像的x 射线安全检查设备在各种检查手段中的应用中最 为普遍( s h i2 0 0 0 ) 。 x 射线重建技术是一种通过从不同角度对物体进行的能量波透射投影测量来 获得物体断层面信息，然后依据断层面信息对原物体的形状、密度进行重建的技 术。它是数学、物理学、计算机图形学等多个学科领域技术交叉融合的结果。传 统意义上的x 射线安全检查方法包括了x 射线散射法、单能x 射线透射法、双 能x 射线检测法等。然而随着时代的发展，犯罪分子的手段越来越多样化，违 禁物品种类越来越多越来越复杂，对于检查速度、精度上的要求不断提高，传统 的方法已不再能满足需要，而计算机断层成像技术，即c t 密度检测法，是当下 被广泛关注的一种检测技术。 计算机断层成像技术应用于安全检查时，可以测量和计算出被测物体断层面 的密度分布，并将断层面材料的密度变化通过图像的形式以灰度值的变化表现出 来，这样可以直接、清楚、准确的显现出被测物体的材料、尺寸的组合变化，以 及内部结构关系。得到的图像不存在一般透视成像方法的重叠与模糊现象，图像 对比度要比一般透视成像要高出两个数量级以上( g th e r m a n1 9 8 0 ) 。 由于安全检查的特殊性，目前现有的x 射线重建技术在安检中的应用还存在 着一些问题：x 射线锥束三维重建算法的运算量非常大，在现有的计算机硬件基 础上运算所需的时间很长，很难满足在安检应用中实时性的需要。而且，由于安 检应用的特殊性，它所感兴趣的只是如毒品爆炸物等密度范围很窄的一系列物 体，若是在每次检测过程中都对所有物品进行完全的重建，则有着很大数据冗余 量，导致在观看重建结果时无法对真正感兴趣的物体实施有效地关注。 因此，为解决上述问题，本文提出了针对特定物体密度检测解析重建算法， 主要目的是对图像重建算法进行改进，在提高图像重建的速度的同时仍然保证图 第一章绪论 像重建的质量。同时，去除重建结果中的冗余数据，这样可以确保对于感兴趣区 域的有效关注。 1 2 计算机重建技术的发展与现状 1 8 9 5 年，w i l h e l m c o n r a d r o n t g e n 发现了一种能够穿透物体的不明射线，并 以x 射线来命名它。1 8 9 6 年，r o n t g e n 有关x 射线的学术论文在n a t u r e 杂志上 发表，并且因此发现在1 9 0 1 年获得诺贝尔奖。由2 0 世纪的初期开始，x 射线开 始在临床医学诊断上应用。 j r a d o n 于1 9 1 7 年提出了数学上的支持图像重建的基本理论，其主要内容为： 任何一个物体都可以用它无限多不同角度的投影来表示。反之，想要重建出一个 物体，只要知道它无限多的投影数据就可以。作为一种重要的数学工具，r a d o n 变换被广泛应用于x 射线晶体学，核磁共振，医疗辐射，射电天文学，微波散 射，电子显微等领域。尤其是在医疗和工业的应用中，r a d o n 变换构成了现代计 算机图像重建技术的理论基础( 王培等2 0 0 5 ) 。 1 9 4 0 年，g a b r i e lf r a n k 在他的专利中描述了现代计算机断层成像技术的基本 思想。专利中包括了光学反投影重建图像技术和生成正弦图( 表示不同投影下的 线性采样得到的测量数据) 的设备图。他指出，图像重建过程的输入数据，即射 线经过物体后由采集系统所得到的投影数据，实质上就是被重建物体的各部分线 形衰减系数沿着透射路径线积分的结果。经由投影得到的数据与r a d o n 变换有着 紧密的联系，从投影数据重建物体的过程就是一个求r a d o n 逆变换的过程。 1 9 6 3 年，k u h l 和e d w a r d 应用放射性同位素提出横向断层成像方法。同时， 美国物理学家a l l a n m c o r m a c k ( 1 9 6 4 ) 发现人体不同的组织对x 射线的透过率有 所不同，在研究中还提出用断层的多方向投影重建图像的代数方法，为后来c t 的应用奠定了理论基础。 1 9 6 7 年，英国e m i 公司中央研究所的工程师g o d f r e y n h o u n s f i e l d 在并不知 道a l l a n m c o r m a c k 研究成果的情况下，也开始了此项工作。他首先研究了模式 的识别，然后制作了一台能加强x 射线放射源的简单的扫描装置，即后来的c t 用于对人的头部进行实验性扫描测量。1 9 7 1 年9 月，h o u n s f i e l d 又与一位神经放 射学家合作，在英国a t d i n s o nm o r l o y 医院安装了第一台原型机。1 9 7 2 年4 月， h o u n s f i e l d 在英国放射学年会上首次公布了这一结果，正式宣告了c t 的诞生。 因此，在1 9 7 9 年，g o d f r e y n h o u n s f i e l d 和a l l a n m c o r m a c k 共同获得了诺贝尔生 理医学奖。 八十年代初，物体三维重建方法的研究在计算机技术不断发展和x 射线技术 2 第一章绪论 日趋成熟的前提下取得了突破性的成果。由f e l d k a m p 、d a v i s 和k r e r s 于1 9 8 4 年所提出的针对平面探测器结构的f d k 锥形束近似重建方法，现已作为一个标 准的过程普遍应用于各种领域，如安全检测和医学影像学等。 随着图像重建研究的不断深入，一些基于f d k 重建算法的改进算法，如 g f d k 、p f d k 、t - f d k 、c c f d k 、h t - f d k 和h s f d k 等也相继被提出，极 大地改善了经典的f d k 算法在速度上、重建质量上、扫描轨迹上的种种缺陷， 使之得到了更广泛的应用。 1 3 本文主要工作 本文通过对当下安全检查领域的x 射线重建技术的发展现状和存在的问题 的分析，以理论推导、实际实验和计算机仿真相结合的方式进行研究。主要的研 究内容如下： 1 ) 研究锥束数据重建算法的计算流程，进行算法优化改良，提高重建速度。 2 ) 分析应用领域的特点与实际需要，针对性的进行算法优化研究。 3 ) 通过计算机仿真对各种重建算法做了模拟实验，并且将重建完成的物体 切片用面绘制和体绘制的方法进行三维可视化，并提供三维交互式操作。 本课题的创新之处有： l 基于图像重建在一些特殊领域应用的特点，提出了一种针对特定密度检测 的优化算法，大幅度提高了经典二维f b p 重建算法的速度。 2 将特定密度检测优化算法延伸到三维f d k 算法上，并结合一些其他的速 度优化算法，使重建速度显著提高。 本论文的章节安排如下： 第一章绪论 首先对本文的主要内容做了一个概述，简单介绍了x 射线c t 发展的历史以 及在安全检查领域中的应用。然后对于论文的研究背景、研究意义以及研究现状 做了简要论述，最后阐述了本文的主要工作内容，并对各章节的安排作了说明。 第二章x 射线重建技术的理论基础 本章介绍了x 射线图像重建技术的一些基础性的理论。首先对于x 射线c t 图像重建的物理基础l 锄b e n b e e r 定理进行了大概介绍，然后概述了图像重 建数学基础r a d o n 变换，最后介绍了x 射线束的几种类型和探测器的两种设 计形式。 第三章x 射线c t 重建的二维解析算法研究 本章主要介绍了x 射线c t 图像重建的二维解析算法。首先对图像重建的算法 第一章绪论 进行了分类，介绍了解析算法的理论基础_ 呻o u r i e r 中心切片定理；接下来详细 介绍了经典的滤波反投影重建算法，并且给出了该算法在计算机上实现的详细过 程；然后在滤波反投影算法的基础上进行了改进，提出了种针对检测的快速解 析重建算法，并进行了实验和结果分析。 第四章x 射线c t 重建的三维解析算法研究 本章主要介绍了x 射线c t 图像重建的三维解析算法。首先概述了准确的三 维解析重建算法，同时讨论了准确性条件；接下来介绍了经典的近似重建算 法f d k ，以及f d k 算法的几种延伸算法：然后提出了一些常用的重建速度 优化改进方法，并综合这些方法在原始f d k 算法的基础上进行了改进，对二维 上的快速解析重建算法进行了扩展，提出了一种针对特定密度检测的三维快速解 析重建算法，并给出了实验结果和分析。最后介绍了重建结果三维可视化的一些 常用方法，并给出对重建切片三维建模后的结果。 第五章总结与展望 对本文的研究工作进行了总结，并提出今后更进一步的研究方向。 4 第二章射线重建技术的理论基础 第二章x 射线重建技术的理论基础 x 射线的重建技术主要由了层析成像和图像重建这两个过程所组成。首先使 用x 射线、正电子束、超声波等能量波，从各个不同角度照射被检测物体，而 投影数据就是所测得该种波透射过物体衰减后的能量。然后利用计算机对投影数 据处理后，使用特定的算法来重建出物体的断层面图像。能够测量出某一物体在 不同层面上的一系列断层图像切片，利用这些二维断层面重建图像就可以分析出 该物体内部结构和材质以及恢复其三维原貌。x 射线检测与传统的检测方法相 比，具有许多的优越之处，如能透视物体的内部结构，可以在不接触，不分解的 情况下检测分析物体的材质与形状测量，检测速度快，分辨率较高。 x 射线c t ，就是将x 射线穿过物体发生衰减后采集到数据作为投影数据来 重建检测物体的断层图像。这个获得投影的过程，从数学的角度上看就是物体内 部衰减系数的一个线积分过程。要想真正的理解图像重建的过程，必须先了解x 射线重建的理论基础。本章前两节分别介绍) ( 射线投影的两个基本理 论：l a m b e r t b e e r 定理、r a d o n 变换。最后对x 射线束及探测器种类做出了简单 的介绍。 2 1x 射线重建技术的物理基础 当一定能量大小的x 射线穿越过物质时，将会产生相干散射、光电效应及康 普顿效应这三种主要的物理过程，其最终效应是部分光子被吸收或散射，从而使 得射线强度发生了一定的衰减。各种物质的衰减系数是各不相同的。因此，射线 的衰减强度与其照射物质的衰减系数及厚度相关联。 图2 1x 射线照射衰减系数为p 的长度为的物质 l a m b e r t - b e e r 定律是说明物质对单色光吸收的强弱与吸光物质的浓度和液层 厚度间的关系的定律，是光吸收的基本定律。如图2 1 所示，设束入射强度为 影 第二章x 射线重建技术的理论基础 的单能的x 射线穿过线性衰减系数为，厚度为肭均匀物质时， 乃，则可由l 锄b e r t - b e e r s 定律得到( h s i e h2 0 0 4 ) ，即 i = l d 单 一px l i _ 其强度衰减成为 图2 2 射线衰减原理示意图 ( 2 1 ) 假设有一个非均匀的，即由多个拥有不同衰减系数的物质组成的物体，如图 2 2 所示，它可以在数学上表示如下： = l d u l x 6 - r 万z 咄芗p ，万肛一= 厶芗荟肛一山 ( 2 2 ) 如果将式( 2 2 ) 的两边除以而，并取负的自然对数值，可以得到： 尸- _ l n ( 争= 宝缸 q 3 0 ，r 2 当么无限趋近于0 时，式( 2 3 ) 可写为该物体长度上的积分： 户_ - l n ( 争= 帆缸 q 4 尸代表了c t 中的投影测量值。式( 2 4 ) 说明，入射x 射线与出射x 射线的 强度之比经过了对数运算以后，就等于沿着x 射线路径上衰减系数的线积分。 根据各个方向上的投影值尸来计算出x 射线路径上衰减系数，从而重建得出断 层平面上衰减系数分布的图像，这就是x 射线重建成像理论的基本思想( n o v i k o v 1 9 9 9 ) 。 2 2x 射线重建技术的数学基础 在1 9 1 7 年时，奥地利数学家j r a d o n 就为建立x 射线重建技术的数学理论 基础作出了杰出的贡献。下面给出r a d o n 变换及其逆变换的公式，同时阐述r a d o n 变换在x 射线重建技术中的重要作用。为了表述上的方便起见，以黝同时来 表示某物体的密度函数与衰减系数函数。当线性的用灰度来表示历圳时，它则 是一个图像函数，可以用来显示物体断层面的二维密度或衰减系数分布。 射线源组件、被检测物体的断层面以及探测器在整个数据采集的过程中应处 于同一平面内，并且只有当重建区域中心与射线源或待检测物体的旋转中心重合 时才能理想的投影。如图2 3 所示，直角坐标系的原点0 既是重建区域中心又是 物体旋转中心。为了更直观的表述，下面将采用极坐标进行数学上的描述。可将 6 第二章x 射线重建技术的理论基础 极坐标下的图像函数表示为八，9 ) ，则极坐标空间中的一点( ，妒) 对应与直角坐标 空间中一点( x ，y ) 的关系可描述如下： 厂=2 2 。胪谚( 乡( 2 - 5 ) z = r c o s ( q , ) y = r s i n ( q o ) s 放射源 图2 3 投影示意图 接下来给出二维空间上r a d o n 变换的公式。r a d o n 变换是一个将某个拥有两 个极变量的函数与另外一个同样有着两个极变量的函数联系起来的算子。它可以 将其中的一个函数变换为另外一个函数。若使用启来表示r a d o n 变换，用月表 示来表示函黼r a d o n 变换，而用r i ( 8 , 1 ) 来表示尼佐它的域内点彬力上的值。 在实数对( p ，) 上，可定义朋r a d o n 变换如下： 瞅口，力= 。改p ，) = i r d r a c ( r , # ) 8 r c o s o - # ) 一刀 ( 2 6 ) 这里的硝d i r a c 函数。由( 2 6 ) 式可知，实质上图像函数( 厂 妒) 沿着直线l 的 线积分函数，即该直线路径上的被检测物体的各部分体素衰减系数之和，就是 ( ， 妒) 的r a d o n 变换2 ( o , t ) 。有了如上的结论，图像重建的问题就可以归结为： 根据投影数据朋嘛求出原始的图像函数以，妒) 。 早于1 9 1 7 年时，r a d o n 就已经从数学上解决了八厂，9 ) 的求解问题，这就是著 名的r a d o n 逆变换公式，其形式如下： ( ，舻寺p 赤静 ( 2 1 7 ) r a d o n 逆变换主要说明了如下的个概念，一个无限薄的切片的相对线性衰 减系数分布是由它的所有的线积分集合唯决定的，当知道了一个未知的二维分 布函数的所有线积分之后，就能依据r a d o n 逆变换来求得该二维分布函数。当二 维分布函数己知的时候，将其转换为相应的图像只是一个简单的显示上的问题。 由上可知，r a d o n 逆变换给出了由投影来重建图像的数学依据。但是在实际 7 第二章x 射线重建技术的理论基础 的应用中并不能直接的来使用。实际应用中数据采集投影射线的离散性制约了 r a d o n 逆变换的应用。从( 2 7 ) 可以看出r a d o n 逆变换中的朋是一个连续变换 的谱，而在实际的采集过程中都是在一定的间隔上获得的离散投影值，每一投影 射线经了过路径中各种不同物质的连续衰减系数和构成了投影数据，因此在实际 中是无法直接实现( 2 7 ) 的求解的。如上所述，r a d o n 变换及r a d o n 逆变换给出了 图像重建的数学理论的基础，在这个基础上，可以进一步寻找容易离散化的，可 以在计算机上实现的图像重建算法。 2 3x 射线束及探测器种类 x 射线c t 自从发明至今，已经经历了五代的发展，虽然重建的基本原理不 变，但是用来扫描射线的形体却在不断改进，大致可以分成三种：平行束扫描、 扇束扫描和锥束扫描( d e n n i s1 9 8 9 ) 。如图2 4 所示，最早期的第一代c t 使用的 是平行束方法扫描，只有一个单束射线源，通过不停地平移和转角度来获得投影 数据，速度极慢。第二代c t 只是增加了探测器和射线源的数量，没有实质上的 改变。平行束扫描的重建算法相对比较简单，但是缺点也很显而易见。算法中的 理想状态是每个角度上的平移采样彼此之间完全平行，而且单束光源所发出的是 笔形束射线。但是在实际应用中这种要求是无法满足的，只能采用近似满足的方 法，可是这又会给重建结果带来误差。 正是由于平行束扫描存在着种种缺点，在第三代和第四代c t 中由扇形束扫 描的取代了平行束扫描，如图2 4 所示，扇形束扫描只需要一个点光源，它所发 出的射线经过前后准直器后被限制在一个平面之上。扇形束扫描重建的算法也比 较简单，可以采用利用数据重排的方法将其转化为平行束扫描数据之后进行重 建，也可以使用滤波反投影算法直接进行重建。 随着在实际的应用中对于c t 功能的要求逐渐提高，需要对物体做出快速清 晰的三维重建，而扇形束物体扫描在进行三维重建时却有着一些固有缺陷。因为 扇形扫描时光源被限制在一个平面上。因此，要做垂直方向上的扫描，必须每扫 描完一圈后在垂直方向上移动一定距离，然后再进行平面上的扫描。这样耗时很 长，不能满足实际中应用的需求，而且在垂直方向上的密度分辨率与空间分辨率 和水平面上的相差很大，在重建质量上达不到要求。因此，现今开始发展的第五 代c t 中，主要开始采用了锥形束x 射线扫描方式，如图2 4 所示，它仅需一个 点光源和一个探测器，可以在垂直的更大范围上更有效地利用x 光管，同时也 可以提供更加均匀的空间分辨率。光源运动方式可以采用简单的圆周运动方式， 结合f d k 算法来使用，也可以采用更加复杂的运动方式来更准确的重建出物体 第二章x 射线重建拄术的理论基础 的内部三维密度 陟 平行柬扫描扇形柬扫描锥形束扫描 图24 射线柬扫描方式示意图 在扇形束和锥形束的扫描方式中，探测器的设计也有所不同一种是等角式 搽测器。一种是等距式探测器。 等角式探测器通常由大量的探铡器模块组成，如图25 所示，它们被放置在 以x 射线源为圆心的一段圆弧上。因为每个模块的宽度与模块到源点的距离相 比非常小，所以每个探测模块与射线源之问的角度可以看做是个常数。这个设计 的优点在于良好的通用性所有的模块都可互换。不需要特殊j j u r 而且某个模 块损坏了，可以通过只要单独更换该模块就可以解决。 等距式一般是单片式的探测器在这种情况下，如图25 所示探测器不是 一个曲面，而是一个平面，采样的间隔是均匀的。对于这种设计相邻的采样单 元与射线源之间的角度间隔从中心到边缘将逐渐韵改变。 子冼采样之闸 蕊 角度1 , 1 隔辊曾 孓为 l j 泓 ) 、镕自5 目 探稠器通道尺q 相捌且问距均 等角式探测器 晷攻果样之同 自度f , 1 隔不等 雨奏 莎 7 凉 艄8 探翻器采样问辅坶 图25 探利器种类示意图 等距式撵测器 第二章x 射线重建技术的理论基础 2 4 本章小结 本章主要介绍了x 射线图像重建技术的理论基础。首先介绍了对x 射线图 像重建的物理基础一一l 咖b e r t b e e r 定理，然后介绍了图像重建数学上的基 础r a d o n 变换；最后介绍了x 射线束的几种扫描类型和探测器设计的两种形 式。 i o 第三章二维投影数据解析重建算法研究 第三章二维投影数据解析重建算法研究 3 1 射线重建算法的分类 根据投影重建计算方法的不同可将x 射线重建算法分为两种，一种为对横截 剖面进行数学上的直接反向计算，称为解析法，如滤波反投影法( f i l t e rb a c k p r o j e c t i o n ，f b p ) 署d 卷积反投影法( c o n v o l u t i o nb a c kp r o j e c t i o n ，c b p ) 等；另一种是 一系列的区域迭代，称为代数法，如代数迭代法( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ， a r t ) 、最大似然最小期望值法等。解析法的基础是f o u r i e r 卷积技术和滤波反投 影，利用多种滤波函数对投影数据在频率域作卷积运算，从而将断层面图像重建 出来。它的特点是运算速度快，占用资源少，在投影数据完整的情况下可以得到 理想的重建结果。它的缺点是在投影数据不完整的情况下无法实现较好的重建效 果。早期的x 射线c t 局限于当时计算机技术和数字处理技术水平，绝大多数在重 建图像时采用的是滤波反投影法。 本章首先对解析重建算法的基础f o u r i e r 中心切片定理做出介绍：然后详细分 析了滤波反投影法的理论推导和计算机实现流程：最后在滤波反投影法的基础上 提出了一种针对特定密度检测的快速解析算法。 3 2 滤波反投影法 滤波反投影法( f b p ) ( t u r b e l l2 0 0 0 ) 是目前应用较为广泛的一种图像重建方 法，当下的x 射线重建系统在重建图像时大部分使用的都是这种方法。它的特 点是精度较高，速度快，可以满足实时的需要。由于频域上的滤波就相当于空间 域上的卷积运算，因此滤波反投影法又被称为卷积反投影法。本节首先讨论滤波 反投影法的理论基础f o u r i e r 中心切片定理，然后阐述滤波反投影法的基本原理 以及其在计算机上实现的具体流程和设计重建滤波器的方法。 3 2 1f o u rie r 中心切片定理 f o u r i e r 中心切片定理是滤波反投影重建算法的理论基础。如图3 1 所示它的 内容在非衍射源的情况下可表述如下：二维密度函数胞配在某角度虾所得到的 平行投影的一维f o u r i e r 变换，等同于在相同角度下进行的函数删二维f o u r i e r 变换的一条过中心的直线。 第二章一维投影数据解析重建算法研究 j i4 t _ 日 x l 、 i 圈3 1f o u r i e r 中心切片定理 为直观起见以二维平行束投影为倒，在角度8 = 0 时的特殊情况下来证明 f o u r i e r 中心切片定理。此时投影p ( x , o j ( l e w i t t1 9 8 3 ，s u l l i v a n1 9 8 5 m a t e j1 9 9 0 ) 与 原始函数传的芙系为： 爿0 ) = l ( 五一砂 ( 3 ” 对式( 31 ) 两边关于x 做f o u r i e r 变换可得 爿轧o ) = 爿丘0 ) p _ ”船出= ( 门r 7 2 w d r & ( 32 ) p ( u ，o ) a p 为角度为。时所获得投影的一维f o u r i e r 变换。而代表截面的函数 ( 门的二维f o u r i e r 变换为 只m o = rr a x , v ) e - m ”d x d v ( 33 ) 当v = o 时，有 ，( “o ) = rr f ( x , y ) i 劬 ( 34 ) 因此由式( 32 ) 和式( 34 ) 可以得到垂直方向投影和投影函数的二维变 换的关系式 ，( 越o ) = 爿m o )( 35 ) 这是f o u r i e r 切片定理最简单的形式。即函数托沿者y 轴投影的一维f o u r i e r 变换与它的二维f o u r i e r 变换撬b ，在，轴上的一个切片是等同的。 显而易见的是，物体与坐标系统之间的位置方向是独立的。如图3 】中“s 1 坐杯系统为j 坐标系统旋转0 之后的系统，若使用旋转坐标变换则可得到 f o u r i e r 切h 定理的股形式 一c o s o s i n 0 ) = 只，p ) ( 3 6 ) 第三章二维投影数据解析重建算法研究 两个变量( - - - c o c o s o 和v = r o s i n 0 ) 正好定义了在f o u r i e r 空间上，通过原 点，与轴成日角的直线。这样就完成了f o u r i e r 切片定理的证明。 3 2 2 滤波反投影法基本原理 设图像函数，伍力的二维f o u r i e r 变换为瞰，由于f o u r i e r 变换和f o u r i e r 反变换是共轭算子，则，仁力可以通过f o u r i e r 反变换从瞰中恢复，有 ( 五力= 只纺力席料嗍d u d v ( 3 7 ) 为以更自然的数据形式表达，将( 3 1 ) 式改为极坐标表示，令 和 将式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 带a 至0 ( 3 7 ) ，得到： 影= c o s o 1 ，= c o s i n 0 d u d v = t o d m a o ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 力：f ”c d 0 ，t 2 m a ( 胛刚+ y s m o )(310)f(co c o s 0c os i n o ) e ：c o d c o d o l o ) ( 力5j ：j ：， 胛础+ ( 3 利用式( 3 6 ) 中描述的f o u r i e r 切片定理，使用 ( c o ，0 ) 代替f ( c oc o s o ，s i n o ) 。 同时，基于f o u r i e r 变换的特性有 ( c o ，0 + 7 r ) = 只一，0 ) ，则可得： 以力= r 只，p ) l 垆枷一口+ 肿们如棚 ( 3 1 1 ) 式( 3 1 1 ) 即为滤波反投影的理论公式，其中，只，0 ) 恰好是物体在角度0 所获 得投影得f o u r i e r 变换，若设投影数据为反g ，0 ) ，则有： 只n ) ，日) = 反芎，9 ) 矿删右 ( 3 1 2 ) 而内部积分是只，o ) l c o i 的f o u r i e r 反变换。在空间域上，它代表了一个经由频域 响应为川的函数滤波后的投影。 第三章二维投影数据解析重建算法研究 加权函数 图3 2 滤波反投影示意图 图3 2 对滤波反投影法给出了一个直观的解释，物体的二维f o u r i e r 变换是通 过将许多一维f o u r i e r 变换拼接起来而得到的。由于通过投影采样得到的一维 f o u r i e r 变换形状在频域空间是长条状，如果简单的将所有投影的f o u r i e r 变换相 加，必然会导致中心区域被加强，而外部区域被削弱，因此在拼接的过程必须加 权，这个加权的过程就是加权滤波，而整个重建过程就是滤波反投影。 3 2 3 滤波反投影法的计算机实现 3 2 3 1计算机实现的理论推导 在计算机上，式( 3 1 1 ) 不能以它现有的形式直接实现。当用f f t ( f a s tf o u r i e r t r a n s f o r m ) 计算投影数据的f o u r i e r 变换只缈，0 ) 时，投影数据以g ，9 ) 在频域上总 被有限截断的。当投影数据取样间隔为 时，在频率c o 的变化范围将是 一1 2 1 2 。于是有 若记 l 反) = 匡p j 2 忧砌 2 因为= x c o s o + y s i n o ，上式又可写成 若用下列符号表示 ( 3 1 3 ) l 履z c 。s 0 + 少s i n 8 ) = 匿l l 枷”卵啪们d t o ( 3 1 5 ) 萄 ( 彤8 ) = j 1 只，8 ) 州。瑚+ 嘶8 ( 3 1 6 ) 1 4 施如 的 芦泓m似 矿 国 只 。匿x m 占 = 力 五八 第三章二维投影数据解析重建算法研究 则由( 3 1 2 ) 可得 而重建图像为 月p ) = 矗f ，o ) h ( x c o s 0 + s i n p g ) 砌 ( 3 1 7 ) ( 五力= 少“只臼瑚 0 ( 3 1 8 ) 所以，只要使投影数据p ：c s ) 先和脉冲响应为式( 3 1 4 ) 表示的滤波器进行卷积， 然后再由式( 3 1 7 ) 对不同旋转角0 求和便可重建图像。实际上，式( 3 1 4 ) 表示的恰 好为频率响应为圳的滤波器，一般称为重建滤波器。 3 2 3 2 滤波器的设计 由上述的理论推导中可知，滤波器的设计，对于滤波反投影法的重建效果有 着很大的影响。在投影带宽满足n y q u i s t 采样准则的情况下，初始的斜变函数川 实际上是与窗函数砜) 相乘： 俄) = i i 从) ( 3 1 9 ) 其中 矾c o ) = 1 , 1 i 王 _ 2 o , i 国l 王 o 2 ( 3 2 0 ) 滤波器的冲激响应可以表示如下 盼妒删扯专 警 篱 n 2 1 ) 在离散情况下实现滤波投影时，该脉冲响应将被有限截断。设在p 的变化范 围内，对其取点，取样间隔为 ，即 = 蟛，其中i m l _ ( m - 1 ) 2 那么根据式( 3 2 0 ) 可求得 钡历 ) = l 矿二纛 (322)0， 历为偶数 v 。纠 一再1 虿，脾为奇数 第三章二维投影数据解析重建算法研究 在和( 朋+ 1 ) 之间的滤波系数可用如下线性插值求得 履) = 履i ，) + 一刀) 】住( 丘，+ l k 】一履刀) ( 3 2 3 ) ( 3 2 3 ) 式中功s ( 。功+ 1 ) 由式( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 给出的加权函数称为r a m a c h a n d r a n l a k s h m i n a c r a y a n a n 滤 波器，简称r l 滤波器。其图形如图3 3 实线所示： ；( a ) r - l 滤波器 。多一哩一2门雳、2 二、5-二滤波器 一 f 旷丫市 图3 3 重建滤波器冲激响应图 r - l 重建滤波器，采用了一个简单的矩形窗来限制滤波核，其频率特性在截 止频率丽1 处突然截断，空间域所引起脉冲响应会有较大的振荡，虽然滤波得到 i - ，i 的图像轮廓比较清楚，但抗噪声情况不理想。s h e p p - l o g a n 对