（车辆工程专业论文）跨座式单轨车辆车体结构分析.pdf

摘要 跨座式单轨车辆的车体主要承担装载乘客和各种电气设备安装基础两大功 能。它应具有足够的强度、刚度和动态特性，以满足运输使用要求和保证乘员的 安全和舒适性；为了尽量减少车辆运行时的能耗，还应尽可能减轻自重；另外， 为了保证车体在一定时期内的运行安全，还要求其必须达到规定的疲劳寿命。因 此，有必要对跨座式单轨车辆的车体结构进行分析和优化。 本论文在国内首次以跨座式单轨车辆车体结构为研究对象，利用现代c a e 技 术，对其进行了如下研究： 1 ) 分析了该车体的结构特征，在跨座式单轨车辆车体的三维几何模型的基础 上，采用二维板单元建立了车体结构分析的有限元分析模型。 2 ) 针对跨座式单轨车辆的运行特点，确定和选择了典型载荷工况，对车体进 行了静强度分析，得到了车体的应力及变形分布，并根据相关标准对车体结构的 强度和刚度进行了评定。 3 ) 对车体结构进行了模态分析，得到了各阶固有频率和振型。 4 ) 根据有限元分析得到的应力结果、材料的疲劳特性和载荷谱，对车体进行 了疲劳寿命分析，计算表明车体的疲劳寿命为2 0 4 年。 5 ) 通过车体结构强度、刚度、模态和疲劳寿命分析，提出了结构改进建议， 并验证了改进方案的可行性。 6 ) 以车体构件厚度为设计变量，车体质量最小化为目标函数，车体构件应力 为约束条件，对其进行了优化设计尝试。 关键词：车体：强度；刚度；模态分析；疲劳寿命；优化设计 a b s t r a c t s t r a d d l e t y p em o n o r a i lv e h i c l eb o d yi sm a i n l yr e s p o n s i b l ef o rt w of u n c t i o n so f c a r r y i n gp a s s e n g e r sa n di n s t a l l i n gv a r i o u se l e c t r i c a le q u i p m e n t i ts h o u l dh a v es u f f i c i e n t s t r e n g t h ，s t i f f n e s sa n dd y n a m i cp r o p e r t i e s ，t om e e tt h et r a n s p o r t a t i o nr e q u i r e m e n t sa n d e n s u r et h ep a s s e n g e r s s a f e t ya n dc o m f o r t t om i n i m i z ep o w e rc o n s u m p t i o nw h e nt h e v e h i c l ei sr u n n i n g ，i ts h o u l da l s om i n i m i z et h ew e i g h t i na d d i t i o n , t oe n s u r et h es a f e o p e r a t i o no ft h eb o d yi nag i v e np e r i o d ，i ta l s o c a l l e df o rt h en e e dt oa c h i e v et h e r e q u i r e df a t i g u el i f e t h e r e f o r e ，i t i s n e c e s s a r yt oa n a l y z e a n do p t i m i z et h e s t r a d d l e - t y p em o n o r a i lv e h i c l eb o d ys t r u c t u r e i nt h i sp a p e r , i ti st h ef i r s tt i m et om a k e t h es t r a d d l e t y p em o n o r a i lv e h i c l eb o d ys t r u c t u r ea st h er e s e a r c ho b j e c ta th o m e ，u s i n g m o d e mc a e t e c h n o l o g y , r e s e a r c hw a sc a r r i e do u ta sf o l l o w s ： 1 ) t h ef e a t u r e so ft h eb o d ys t r u c t u r ew e r ea n a l y s e d b a s e do nt h et h r e e d i m e n s i o n a l g e o m e t r i cm o d e lo ft h es t r a d d l e t y p em o n o r a i lv e h i c l eb o d y , t h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s m o d e lw a se s t a b l i s h e db yu s i n gt w o d i m e n s i o n a lp l a t ee l e m e n t s 2 ) a g a i n s tt h eo p e r a t i o n a lc h a r a c t e r i s t i c so fs t r a d d l e t y p em o n o r a i lv e h i c l e s ， t y p i c a ll o a d i n gc o n d i t i o n sw e r ed e t e r m i n e da n ds e l e c t e d t h eb o d ys t a t i cs t r e n g t hw a s a n a l y s e d ，a n dt h es t r e s sa n dd e f o r m a t i o nd i s t r i b u t i o no ft h eb o d yw a sr e c e i v e d t h e n , i n a c c o r d a n c e 、j l ，i mt h er e l e v a n ts t a n d a r d s ，b o d ys t r u c t u r es t r e n g t ha n ds t i f f n e s sw e r e e v a l u a t e d 3 ) t h eb o d ys t r u c t u r em o d a la n a l y s i sw a sc o n d u c t e do n ，a n dt h en a t u r a lf r e q u e n c y a n dv i b r a t i o nm o d eo fi tw a so b t a i n e d 4 ) a c c o r d i n gt ot h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss t r e s sr e s u l t s ，t h ef a t i g u ep r o p e r t i e so f t h em a t e r i a la n dt h el o a ds p e c t r u m ，t h ef a t i g u el i f ea n a l y s i so fb o d yw a sc o n d u c t e d t h e c a l c u l a t i o n sr e s u l ts h o wt h a tt h ef a t i g u el i f eo ft h eb o d yi s2 0 4y e a r s 5 ) t h r o u g ht h eb o d ys t r u c t u r es t r e n g t h ，s t i f f n e s s ，m o d a la n df a t i g u ea n a l y s i s ， s t r u c t u r a li m p r o v e m e n tp r o p o s a l sw e r ep r o p o s e d ，a n dt h ef e a s i b i l i t yo ft h ei m p r o v e m e n t p r o g r a mw a sv e r i f i e d 6 ) a no p t i m u md e s i g nw a sa t t e m p t e db yu s i n gt h et h i c k n e s so fb o d y c o m p o n e n t s a sd e s i g nv a r i a b l e s ，u s i n gt h em i n i m i z a t i o no fb o d ym a s sa so b j e c t i v ef u n c t i o n ，u s i n gt h e s t r e s so fb o d yc o m p o l n e n t sa sc o n s t r a i n t s k e yw o r d s ：v e h i c l eb o d y ；s t r e n g t h ；s t i f f n e s s ；m o d a la n a l y s i s ；f a t i g u el i f e ； o p t i m u md e s i g n 重庆交通大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：& 经 日期： y ，口年月，7 日 重庆交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权重庆交通大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本人学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并进行信 息服务( 包括但不限于汇编、复制、发行、信息网络传播等) ，同时本人保留在其 他媒体发表论文的权利。 学位论文作者签名：惑仅 指导狮签名：卉玩匆 日期：智胗年争月f 7 日 日期：沁【口年甲月佴日 本人同意将本学位论文提交至中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社c n 系 列数据库中全文发布，并按中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程规 定享受相关权益。 学位论文作者签名：磁役 日期：仞旧年p 月7 7 日 指导教师签名 日期：1 j l o 年 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究的背景、目的和意义 跨座式单轨交通作为城市轨道交通系统的一种典型制式，具有以下优点： 占用土地少。因为单轨结构窄，而且又可架设在道路上方，不需要很大空 间。 承担的运量比较大。跨座式单轨列车一般由4 辆或6 辆组成，其运量介于 公共汽车与轻轨交通之间。 适应复杂的地形。能在大坡道和小半径的区段正常运行，所以允许单轨线 路选在很复杂的地形上。 建设工期短、施工简便、造价低。单轨轨道结构简单，标准轨道可在工厂 预制，现场拼装，建造容易，所以工期较短，而且造价远低于地铁。 运输安全。单轨采用高架轨道，与其它交通各行其道，互不干扰，而且其 特殊的型式也能保证安全运行。 噪声低、无废气污染等公害。跨座式单轨车辆采用橡胶轮胎，与一般铁路 相比，运行时噪声较低而且它采用电力驱动，无环境污染。 对日照和城市景观影响小。由于单轨比一般高架铁路或其它新交通系统占 用空间少，沿线不会投下很大的遮光阴影，对城市景观还能起到点缀、美化的作 用。 乘坐舒适。由于橡胶轮胎和空气弹簧转向架的采用，列车运行平稳，再加 上空调等现代化设备的装设，旅客乘坐环境舒适，视野广阔，在城市中运行还能 起到游览观光的作用【3 剖。 鉴于跨座式单轨交通的以上优点，重庆市根据山城的地理特点、道路条件、 客流预测以及经济发展水平等综合因素，通过多方案、多层次比选论证，在我国 首次采用了跨座式单轨交通作为重庆市城市轨道线的基本制式之一。 为了使跨座式单轨技术在我国得到进一步的推广和应用，就必须在现有的引 进技术基础之上，对其进行开发、研究和国产化，逐步完善相应的专业规程、规 范。车辆是城市轨道交通最重要的也是最关键的设备，所以跨座式单轨车辆的国 产化是将跨座式单轨技术在我国推广的重要一环。这就需要利用现代化的设计方 法，对跨座式单轨车辆进行计算、分析和设计。 车体是跨座式单轨车辆的重要组成部分，主要承担着装载乘客和安装各种电 气设备的任务。因此，它必须具有足够的强度和刚度以满足运输使用的要求，同 2 第一章绪论 时要具有良好的动态特性来保证乘员的安全和舒适性。为了尽量减少车辆运行时 的能耗，车体结构在满足强度、刚度的前提下，还必须尽可能减轻自重。另外， 车体的各个部件在长期的运行过程中还会产生疲劳现象。为了保证车体在一定时 期内的运行安全，还要求其必须达到规定的疲劳寿命 7 ，8 】。本文的研究目的正是要 解决以上问题。 传统的设计计算依赖工程问题的解析求解方法，使实际问题不得不尽量简化， 其简化程度不取决于工程需要而取决于已有的数学工具能否求解。这一方面使大 量相对复杂的工程问题无法进行计算求解，另一方面使很多工程问题的求解离实 际情况有较大差距。因此，要在车体设计时就让它达到以上的要求是很困难的， 必须通过试验验证，并反复的修改设计才能达到要求，这就大大增加了设计的成 本。c a e 技术的发展和日趋成熟为解决上述问题提供了有效途径。以有限单元法为 代表的c a e 技术理论上能求解任何复杂的工程计算问题，其求解精度理论上只受 计算机能力与物理模型的精度限制。利用现代c a e 技术来预测、估计和设计该车 体的强度、刚度、寿命及性能能够显著提高设计的科学性，减少盲目性，提高设 计效率，减少设计时的试验次数，节省设计成本。其最大的优点是可以在车体设 计初期，通过建立跨座式单轨头车车体的计算机分析模型，对其进行强度、刚度、 寿命及特性预测，从而指导设计，使设计指标得到保证，有效地提高该车体的可 靠性，缩短设计周期。 1 2 国内外相关技术的研究现状 1 2 1 国外研究现状 对于轨道车辆车体的设计而言，有限元方法能够满足车体设计的要求。国外 从7 0 年代开始，就己开展利用有限单元法对车体结构进行研究，并卓有成效。经 过多年发展，在应用计算对车体进行分析的技术上逐步成熟完善，在车体建模技 术和应用中对有限单元的选用逐步向前发展。 在欧洲，通过大量的线路运行试验，国际铁路联盟( u i c ) 和欧洲标准( e n ) 试验中心专家委员会发布了大量承载结构设计载荷、载荷工况组合和强度实验的 研究报告( 其研究报告的代号缩写为o r e 和e r r i ) ，制定出了相关的设计和试验 标准，如：u i c 5 1 0 3 、u i c 5 1 0 5 、u i c 5 1 5 3 、u i c 5 1 5 - 4 、u i c 6 1 5 1 、u i c 6 1 5 4 、 u i c 5 6 6 、e n l 3 1 0 3 、e n l 3 1 0 4 、e n l 2 6 3 3 和e n l 3 7 4 9 等【9 1 。在车辆承载结构设计阶段， 在上述相关标准的基础上，各国结合自身实际情况对承载结构进行强度考核。 b a r t o s c h 和e x n e r 首先根据u i c 5 6 6 、g m r t2 1 0 0 和或e n l 2 8 6 6 等标准制定 了v o i t ht u r b o 公司液力传动机车动力包焊接承载框架结构设计的基本载荷工况； 第一章绪论 3 其次根据用户的特殊要求，即在静力学方面、特别是在动力学方面( 由于列车运 行线路、线路断面和各地区技术规范的不同) ，有各种特殊的载荷类型组合，补充 标准载荷工况文件。在上述标准和要求确定的载荷循环下，利用载荷组合，给出 相应的载荷工况数目。在静态载荷工况下，结构的安全系数应达到材料屈服极限 的1 1 倍或1 1 5 倍；在动态载荷工况下，焊接区域的安全系数应达到疲劳强度的 1 6 5 倍，非焊接区域应达到1 5 倍，或分别代之以抗拉强度的2 2 倍。在结构分 析阶段，采用3 d 实体单元对该焊接结构进行网格划分。对由有限元方法获得的应 立计算结果采用h o b b a c h e r 教授提出的i iw 方法，按坡口应力设计原理评定其疲 劳强度【1 0 1 。 s c h a b e r t 和m o s e r 采用3 d 实体单元对焊接构架进行有限元网格划分，获得 构架母材和焊缝区域的结构应力( 包含结构应力集中系数的应力) ，借助于s i e m e n s s g pg r a z 公司开发的应力转化程序，将焊缝区域的结构应力转化为名义应力，按 照德国工业标准d i n l 5 0 1 8 给出的焊接接头设计和强度级别准则评定构架的疲劳 强度【l l 】。 日本从2 0 世纪8 0 年就代开始对单轨列车轻量化承载结构的疲劳强度可靠性 问题进行了广泛的理论、实验室试验和线路试验研究，提出承载结构疲劳设计的 工程方法和延长其使用寿命的理论方法。在工程上，对于设计阶段的单轨车辆承 载结构，主要依据j i s 标准规定的载荷工况及载荷组合，利用g o o d m a n 曲线对整 体结构进行静强度和疲劳强度分析；对焊接结构细节根据日本钢结构协会疲劳设 计指南给出的疲劳设计曲线( 即s - n 曲线) 进一步分析。同时进行概率设计或按 疲劳损伤理论计算当量应力实施评估【l2 1 。 阿久津胜则等在混合结构车体强度评价试验中，主要对车体在垂直静载下的 疲劳强度试验做了研究。除了在车体上施加标准设计条件下的垂直静载荷外，同 时考虑了运行时车体上下振动等因素引起的相当于0 9 8 m s2 加速度的动态垂直交 变载荷。以疲劳试验前后所进行的静载荷试验测定的应力、车体挠度和用重锤落 下法确定的车体垂直弯曲固有振动频率的变化情况来判定疲劳强度【1 3 1 。 当前，国外的车体设计已经很好地把有限元设计与分析法引入到产品的开发、 设计评价及生产中。利用有限元软件进行车体结构的静态分析、模态分析的技术 已经非常成熟，其工作重心已转向瞬态响应分析、噪声分析、碰撞分析等特别是 随机激励响应分析备受青睐，主要是因为它可用来进行车辆的强度、刚度、振动 舒适性和噪声等方面的分析。计算机分析( 如强度刚度，噪声场，温度场) 对于 整车、部件和零件的设计生产有着举足轻重的分量，它在资金投入的减少，设计 生产周期的缩短，产品质量的提高上发挥了巨大的作用。同时，国外在车体制作 方面已经把有限元法应用于产品的加工工艺分析上，把材料分析与零件机加工分 4 第一章绪论 析相结合，用有限元分析等方法来改进加工方法及手段，使车体的制造达到了较 高的水平【9 - 1 4 】。 1 2 2 国内研究现状 我国车辆制造行业有限元计算工作起步于1 9 7 5 年，相关科研单位和高等院校 推出了一批有价值的实用有限元软件，并应用于车架和车身的设计，取得了良好 的技术经济效益。从1 9 8 0 年开始，随着我国对外开放政策的实施，我国计算机的 使用条件得到了很大改善，计算机装备数量大幅度增加，国外流行的大型商业性 软件随之引入我国车辆制造行业，大力推动了我国轨道车辆车体有限元分析技术 的发展。 中南大学的杨明，杨燕荣利用有限元分析软件a n s y s 建立了t r 0 8 磁悬浮列车 车体的有限元分析模型，并对其进行了静强度分析。分析之前，首先确定了该车 体的基本载荷，然后根据该车的实际运行情况确定了车体载荷的组合工况。通过 静力分析，得到了车体在各工况下的应力分布，并在此基础上提出了优化方案。 西南交通大学的雷成，肖守讷在分析某地铁铝合金车体结构特点和铝合金材 料的力学性能的基础上，建立了车体结构的有限元模型，确定了载荷工况，分析 了车体结构在各个工况下产生的应力、变形和模态。对该车体的强度、刚度和动 态特性进行了评价。 崔培兴，杨怀文在原有的d k l 6 基础上i 对其进行改进，采用鼓形侧墙，对钢 制车体结构进行了静力学计算、结构修改分析、结构动态特性计算和重量、重心 及转动惯量计算，同时又对车体钢结构做了静强度试验，并对地铁车体结构强度 和刚度评价标准进行了探讨，为车体结构设计提供经验及参考依据。 缪炳荣，张卫华，肖守讷等提出了一种多体动力学仿真和有限元法相结合进 行疲劳寿命预测的方法，并以机车车体结构为研究对象进行了疲劳寿命计算。利 用多体仿真技术获得车体结构的动载荷历程，然后利用准静态应力应变分析法计 算了结构的危险节点应力影响因子，根据模态分析技术确定车体结构固有频率和 模态振型以及危险点位置，最后基于动应力历程以及p a l m i g r e n m i n e r 损伤理论， 利用f e - f a t i g u e 软件的基于应力的结构安全因子分析法对车体结构进行了疲劳寿 命预测。 目前，我国的有限元计算工作已经初步形成一定的规模，在微机上进行有限 元分析已经不再是困难的事，同时有限元分析的应用得以向广度和深度发展。当 前我国车体有限元方法的应用已从一般的静态分析发展为动态特性相应分析，从 一般的应力分析发展为疲劳寿命分析，有限元方法的应用在我国随着计算机技术 的不断提高而日趋成熟【1 5 - 1 9 1 。 第章绪论 5 1 3 本文研究内容 本文是在上述背景下，基于国家科技支撑计划课题，对跨座式单轨车辆的车 体进行结构分析与优化。具体研究内容如下： 在跨座式单轨车辆车体三维几何模型的基础上，采用二维板单元对车体结 构进行了离散，并得到了车体结构的有限元分析模型。 针对跨座式单轨车辆在实际运行时的各种典型工况，对车体进行了静强度 分析，得到了车体的应力及变形分布，并根据相关标准对车体结构的强度和刚度 进行了评定。 对该车体结构进行模态分析，得到了各阶固有频率和振型。 根据有限元分析得到的应力结果、材料的疲劳特性和载荷谱，对车体进行 疲劳寿命分析，得到了车体的疲劳寿命。 基于以上分析，找出车体结构的不合理之处，提出改进方案，并对改进后 的车体结构进行计算分析，从而验证了改进方案的可行性。 以车体构件厚度为设计变量，车体质量最小化为目标函数，构件应力不超 过材料的许用应力为约束条件，对车体结构进行了尺寸优化，达到了车体轻量化 的目的。 6第二章有限元的基本理论与方法 第二章有限元的基本理论与方法 2 1 有限元方法概述陀o 2 3 】 有限元方法基本思想的提出，通常认为始于2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 1 年赫兰尼 可夫首先提出用格栅的集合体表示二维与三维的结构体，这是离散化的最早思想。 到了2 0 世纪5 0 年代，由于工程上的需要，特别是高速电子计算机的出现与应用， 有限元法在结构分析矩阵方法的基础上迅速发展起来，并得到愈来愈广泛的应用。 随着计算机技术和计算方法的发展，有限元方法已成为计算力学和计算工程科学 领域里最为有效的计算方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。经过 6 0 年的发展不仅使有限元方法的理论日趋完善，而且已经开发出了一批通用和专 用有限元软件，这就为有限元法的普及提供了基础，使它成为结构分析中最为成 功和最为广泛的分析方法。随着有限元方法的不断发展和完善，目前已经成为一 门成熟的学科，并已扩展到其他研究领域，成为了科技工作者解决实际问题的有 力工具。 有限元方法是结合电子计算机技术发展起来的一种数值计算方法，其基本思 想是将连续的求解域用一定数量的单元进行离散，各单元间只在数目有限的、称 之为“结点 的指定点处相连，从而将无限的求解域转换为求解有限个单元集成 的组合体。单元可以有不同形状，便于几何形状复杂的求解域模型化。对每一种 形状的单元用一近似函数来描述，这一近似函数通常由未知场函数( 标量场或矢 量场) 或者其导数在单元结点的值和其插值函数来表达，单元结点上的这些值是 有限单元分析中需要求解的未知量，解得这些未知量后，即可通过插值函数计算 出各个场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。随着单元数目的增加 和插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元满足收敛要求，近 似解最后将收敛于精确解。 有限元方法之所以能迅速的发展起来，成为人们进行科学研究、工程计算、 工程设计的重要手段，是因为它具有如下特性： 对于复杂几何形态构件的适应性。由于有限元方法的单元划分在空间上可 以是一维、二维、三维，并可以有不同的形状，如二维单元可以为三角形、四边 形，三维单元可以是四面体、五面体、六面体等，同时各种单元又可以有不同的 连接形式。因此，实际应用中遇到的任何复杂结构或构造都可以离散为有限个单 元组成的集合体。 对各种构型问题都有可适应性。有限元方法已由最初的杆件结构问题发展 第二章有限元的基本理论与方法 7 到目前的弹塑性问题、粘弹塑性问题、动力问题，可以用于流体力学、热力学、 电磁学、空气动力学问题，并且可以解决复杂的非线性问题。 理论基础的可靠性。有限元方法的理论基础是变分原理和能量守恒原理， 它们在数学上和物理上都得到了可靠的证明。只要所研究问题的数学模型建立得 当，实现有限元方程的算法稳定收敛，则求得的解就是真是可靠的。 计算精度的可信性。只要所研究问题本身是有解的，在相同条件下随着单 元数目的增加，有限元方法的计算精度将不断提高，近似解不断趋近于精确解。 计算的高效性。由于有限元分析的各个步骤可用矩阵形式表示，所以最终 的求解就归结为标准的矩阵代数问题，将许多复杂的微分、偏微分方程的求解问 题转化为求解代数方程组问题，特别适合于用计算机进行编程计算。 对一个实际的工程结构进行有限元分析的基本过程为： 结构的离散化 根据求解问题的不同精度要求、效能要求等因素，将整个结构划分为有限个 单元，单元与单元之间、单元与边界之间通过节点连接。在进行离散时，要注意 以下三点：1 ) 单元类型的选择，包括单元形状、节点数、节点自由度数等几个方 面：2 ) 单元划分要有一定的规律性，以便于计算机自动生成网格，并且有利于以 后对网格进行加密处理；3 ) 同一单元应由同一材料组成。 单元分析 单元分析就是将离散化后的每个单元看做一个研究对象，研究节点力与节点 位移之间的关系，包括以下两方面的内容： 1 ) 确定单元的位移模式 对于位移有限元方法，单元的位移模式就是将单元中任意一点的位移用单元 节点的位移来计算，而单元位移可以表示成节点位移的函数。位移函数的假设是 否合理，直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠度。 2 ) 分析单元特性 在建立了单元的位移函数之后，可以根据应力、应变、位移之间的关系，利 用虚位移原理或最小势能原理，建立单元杆端力和杆端位移之间的关系，从而得 到单元刚度矩阵。这一步还必须将单元上的载荷等效为节点载荷，进行单元分析 实际上是建立单元刚度矩阵和等效节点载荷矩阵的过程。 整体分析 确定了每个单元的单元刚度方程之后，可以将各单元集合成整体结构进行分 析，建立起表示整个结构节点平衡的方程组，即整体刚度方程。然后引入结构的 边界条件，对方程组进行求解，得出节点位移，进而求出各单元的内力和变形。 8第二章有限元的基本理论与方法 2 2 杆系结构的有限元法1 2 0 , 2 4 】 杆系结构是由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构，按照各杆轴 线及外力作用线在空间的位置，可分为平面杆系和空间杆系结构。工程中常见的 有拉压直杆、桁架、梁、刚架等不同类型。在杆系结构中，杆、梁、柱等杆件均 被看成是单元，故称之为杆系单元。如果所考虑的杆系单元是桁架中的杆件，就 称为桁架单元( 或杆单元) ；如果是刚架中的杆件，则称为刚架单元( 或梁单元) 。 桁架中的节点都是铰节点，铰节点只传递力。刚架中的节点全部或部分是刚节点， 刚节点不但能传递力，还能传递力偶矩。杆系结构的每个杆件都是一个明显的单 元，各杆件之间连接的点可看成是节点，由于所有杆件结构内力都通过节点进行 传递，要建立节点力的平衡条件，就得假定外载荷也是通过节点传到结构上的。 凡是杆系结构的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应取 为节点，而节点之间的杆件均可作为单元。如果结构和受力情况比较复杂，或对 计算精度的要求比较高，或者要绘出完整的内力图，则可以把一根杆件进一步分 成几个、十几个甚至更多的单元。 2 2 1 拉压直杆的有限元分析 设有一拉压直杆单元如图2 1 所示，其横截面积为彳，长度为，轴向分布载荷 为g b ) 。 一一旦0 一， 图2 1 拉压直杆单元 f i g u r e2 1t e n s i o nr o de l e m e n t 单元有两个节点f ，单元节点位移向量为： p ) 。= i ，”，r 节点力向量为： 扩y ：k 乃】r ( 2 1 ) ( 2 2 ) 第二章有限元的基本理论与方法 9 单元位移模式必须能反映单元在载荷作用下的实际变形情况，即与计算其位 移的解析式相对应，同时便于进行矩阵运算，因此，一般都在有关力学理论的基 础之上，采用多项式来构造。多项式按照单元局部坐标系建立，其项数和次数决 定了单元的性质，不同用途的单元具有不同的项数和次数，用于受力和变形情况 简单的单元，多项式的项数就少，次数就低。 建立单元位移模式，必须有能反映单元刚体位移的常数项、反映常应变的一 次项。对于两节点的拉压直杆单元，由于沿着单元轴线位移的方向与单元局部坐 标系x 轴一致，按单元局部坐标，每个节点仅有一个自由度。由此，可假设单元位 移模式为： “= 口l - i - o c 2 x ( 2 3 ) 其中口。，口2 为待定常数，可由节点位移条件确定，即当x = 毛时，“= “，；石= x ， 时，“= “，。得到相应的位移模式为： “5 卜罕为 + 罕工 眨4 ， 由于计算结果是单元各节点的相关参数( 位移、应变、应力) ，而单元内各点 的相关参数是位置的函数，因此，单元内部任一点的状态只能根据单元各节点的 结果通过插值得到，这就需要将初始设定的描述该种单元在载荷作用下位移状态 的一般位移模式，转换成为与单元各节点位移相联系，称之为形函数的插值函数。 不同单元有不同的形函数，同一单元不同节点的形函数也不相同，对于拉压直杆 单元，将式( 2 4 ) 写成矩阵的形式为： “= 【) 。 ( 2 5 ) 则形函数为： 】一【f q 】_ 寻一x ) 一“一工) 】 ( 2 6 ) 由于拉压直杆单元仅有轴向应变占= d u l d x ，将位移模式( 2 5 ) 代入，得： s = - 11 广 ( 2 7 ) ，lj 、， 上式用应变矩阵陋】可写为： 占= 陋骼广 ( 2 8 ) 由应力应变关系万= e 6 ，得： 仃- e 8 1 8 ) = 防广 ( 2 9 ) 1 0 第二章有限元的基本理论与方法 式中防】为应力矩阵。而单元刚度矩阵可由一般形式推出： 陆么埘e 陋k = 等l 二。一1l 泣 单元节点力为： ，) e = f 】1g g 皿 ( 2 1 1 当分布力集度为常数时，有： 坩= e 粮瑚加稍 眨 对于平面桁架的每个杆件都可以看作是局部坐标系下的拉压直杆，可按照前 述公式进行单元分析。但是桁架结构的各个杆件倾角不同，要在整体坐标系下建 立整体平衡方程，就需要建立两种坐标系下的坐标变换关系。根据坐标旋转公式， 节点i 在局部坐标系下的位移分量u ，1 ，与整体坐标系下的位移分量瓦，巧有下述 关系( 见图2 2 ) 一j 一0 i 图2 2 两种坐标的关系 f i g u r e2 2t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w oc o o r d i n a t e “，2u lc o s a q $ 1 n a u 2 u is i l l 口+ y fc o s a 将其写成矩阵形式有： 佤) = 眵) 其中眵】为方向余弦矩阵： 毗 c m o s 口a - s i na 因此单元节点位移p ) 。= k ，哆甜，y ，】r 与锣广= e 锣广= p 广 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 关 ： 的为问系 之 r 一巧一叶 一屹 第二章有限元的基本理论与方法 其中p 】为变换矩阵： p 】= = c o s 口一s i n 口 s i n 口o o s o ! 式( 2 1 0 ) 对应的位移分量是k ， 的单元刚度矩阵为： r ，1 a e 眵j 2 _ l c o s 口一s i n 口 s m 口 c 0 s 口 “，】r ，此时扩充为b ， 10 o o 一1o o o 一10 o o l0 0o ( 2 1 7 ) “，v ，】r ，相应 ( 2 1 8 ) 在整体坐标系下则有防 = p b p 】r ，将式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 代入得： r - 1 e a 蚱j _ 丁 c o s a 1 c o s a s i n 口 一c o s 2 口 一c o s t z s i n 口 c o s a s i n 口 s m 口 ， 一c o s 口s i n 口 一s i n 2 a c o s 2 口 一c o s o f s i n 口 c o s 2 口 c o s a s i n 口 一c , o s a s i n a s i n 2 口 c o s as i n 口 s i n 口 一 ( 2 1 9 ) 作用于单元上的载荷有体积力( 重力、惯性力) 、表面力( 集中载荷、分布载 荷) ，显然，力的作用点不可能与单元节点完全重合，而基于位移法的力学问题有 限单元法是以节点位移作为未知量进行求解的，故对作用于单元上的载荷需要转 化为单元等效节点载荷。转化的最直接方法是按照静力学平行力分解原理进行， 但这种方法只能处理与平移自由度相对应的载荷，不能处理引起转动的力矩，除 非该力矩作用在节点处。为此，一般情况下需采用由虚功原理导出的计算公式。 设弹性体在体积力e 、表面分布力c 、集中载荷尸等外力作用下处于平衡状 态，且弹性体内有虚位移。根据虚功原理e 、只和尸在虚位移上做的虚功等于应 力在虚应变上做的虚功( 即各种外力向量之和等于内力向量的集成) ，得到： l r e d 矿+ j ：t r f 口d a + n r p = i r b r o d v ( 2 2 0 ) 上式等号左端为各项外载荷之和，右端为与外载荷平衡的内力，为单元相 应节点的形函数，如对于节点f ，则取为m ，从而得到： 单元体积力转化的单元节点等效载荷为： g = i 。n 1 瓦d v ( 2 2 1 ) 单元表面分布力转化的单元节点等效载荷为： q 口= i 7 疋d a ( 2 2 2 ) 1 2 第二章有限元的基本理论与方法 单元表面集中力转化的单元节点等效载荷为： q p = n r p ( 2 2 3 ) 综上所述，从建立单元相关参数的计算公式到单元节点的等效载荷处理，都 要用到形函数，当解得单元节点处的位移、应变、应力后，又需要用形函数插值 得到单元其他各点的相应参数。因此，单元分析中最重要的一步就是根据单元受 力和变形情况，正确建立符合有关力学理论的位移模式，这样，由位移模式转换 成的形函数才能保证结构计算的精度。 2 2 2 梁的有限元分析 拉压直杆单元仅适用于桁架结构，分析刚架结构则需要用到梁单元，这两种 单元均为一维形状的杆系单元，但梁单元两端节点为刚接，不同于两端节点为铰 接的拉压直杆单元，除了能承受轴向力以外，还能承受剪切力和力矩。 按照材料力学梁的弯曲公式，梁的转角p ，弯矩m ，剪力q ，及挠度v 之间的 关系为： p ：尘m ：e 1 磐q ：e 1 磐 ( 2 2 4 ) 出出 出 弯曲应力及应变公式为： 占：一y 垂仃：眈：一e y 垂 ( 一2 5 ) 22占= 一y i 仃= 已占= 一_l 出出 图2 3 所示为一等截面二节点梁单元，节点位移为挠度和转角，节点力为弯矩 和剪力。单元的位移向量和节点力向量本别为： ) 兰工 t m 卜上一身所 图2 3 梁单元 f i g u r e2 3b e a me l e m e n t p ) e = i v 。0 iv 口j 】r ( 2 2 6 ) f 广= q ，m ，q ，m r ( 2 2 7 ) 如前面所说，单元位移模式通常是基于有关力学理论的基础上，采用多项式 第二章有限元的基本理论与方法 1 3 来构建的，它必须能反映单元在载荷作用下的实际变形情况。梁的独立变形包括 轴向变形和表示弯曲变形的挠度，而转角则是与挠度相关的变形，并非独立变量。 按轴向位移建立的位移模式与拉压直杆的位移模式相同，并且将梁单元轴向位移 需要满足的两个端点条件代入，可以得到梁单元的轴向位移与拉压直杆单元的轴 向位移相同，因此不再赘述。按梁弯曲位移建立的单元位移模式在这里可以设为： v ( x ) - - 口l + 口2 x + a 3 x 2 + 口4 x 3 ( 2 2 8 ) 根据弯曲位移应该满足的两个端点条件：石= 0 ，v = 1 ，；，0 = 谚；z = ，= 1 ， 口= 0 ；可解出四个待定系数，将位移模式写成标准形函数形式，则有： 以) = ) 8 ( 2 2 9 ) 式中： 】= “2 3 4 】。 其中：l = ( f 3 3 x 2 + 2 x 3 ) 1 3 ，2 - ( 1 2 x 一2 x 2 + x 3 ) z 2 ，3 = ( 3 氏2 2 x 3 ) ，3 4 = 一慨2 一x 3 ) z 2 。 由式( 2 2 5 ) 和( 2 2 9 ) 可得单元弯曲应变和应力为： g = 陋) 。艿= e e = e 陋广= p y 其中陋】为应变矩阵： 陋】_ b 1 岛岛b 4 】 = 一告 1 2 x 一6 ll ( 6 x 卅) 一( 1 2 x 一6 1 ) 1 ( 6 z 一2 ，) 】 正 利用虚功原理导出的公式： ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 陆】= j 陋】r p p p y = e ( r 陋r 陋k p ( 2 3 2 ) 积分得到： 陆孚 i 1 2 6 ， 一1 2 6 z 式中，为梁截面对主轴的惯性矩。 6 ， 小2 6 ， 2 2 2 1 2 6 z 1 2 6 ， 6 ， 2 2 2 6 ， 钔2 ( 2 3 3 ) 非节点载荷的移置要按照静力等效原则进行，就是使移置前后的两组载荷在 任何虚位移上的虚功相等，以求得等效节点载荷。梁单元的非节点载荷移置仍然 按此原则进行。如果梁上作用集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点为 节点。但当作用分布载荷时，要按照等效节点力计算公式，即扩广= 】r q ( x ) d x 1 4第二章有限元的基本理论与方法 计算。 目前使用的梁单元除线性梁单元外，还有二次梁单元、曲梁单元和锥梁单元。 二次梁单元是由三个节点确定的抛物线，曲梁单元是由两个节点决定的、具有曲 率半径的圆弧，而锥梁单元则是两个节点处截面积不等的线性梁。 一般情况下，梁在弯矩和剪力作用下产生的挠度是由两部分组成的：一是弯 矩引起的挠度；一是由剪力引起的剪切挠度。在大多数的杆系结构中，剪切挠度 对杆件的总挠度影响很小，往往不必考虑，上面推得的单元刚度矩阵就是没有考 虑剪切挠度的影响。但是对某些结构的纵梁，其腹板高度与杆件跨度之比较大( 一 般梁的截面高度大于长度的1 5 时) ，就必须考虑剪切挠度的影响。因此，在选用 梁单元进行有限元分析时，要注意该单元的功能中是否包含这因素。 对于空间三维梁单元，其道理一样，仅未知量更多而已。两端节点i 和，的等 效节点载荷，一般情况下有沿x 方向的轴向力、沿y 和z 方向的剪切力、绕工轴的 扭矩、绕y 轴和z 轴的弯矩，故每一节点有6 个位移自由度，每一梁单元有1 2 个 未知位移分量，其单元刚度矩阵是在平面二维梁单元基础上的扩充，成为1 2 阶方 阵。 2 2 3 刚架的有限元分析 平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这种变形是相 互独立的，因此刚架单元可以看成是由杆单元和仅考虑弯曲变形的梁单元叠加而 成的。其刚度矩阵可以由杆单元和仅考虑弯曲变形的梁单元的刚度矩阵进行叠加。 但平面刚架中各单元的轴向大多不相同，为了进行单元分析，需要就每个单元建 立局部坐标系。坐标原点置于节点i ，单元的轴线为x 轴，f 端截面的形心主惯性 轴为y 轴和z 轴，它们构成右手坐标系，如图2 4 所示。 图2 4 平面刚架单元 f i g u r e2 4p l a n ef l a m ee l e m e n t 第二章有限元的基本理论与方法 1 5 局部坐标系x 方向约定为从整体编号小的节点到大号码节点的方向。任一节点 有三个自由度：轴向位移、横向位移和绕z 轴的转角，相应的节点力分量为：轴向 力、剪力和弯矩。轴向拉压直杆单元的刚度矩阵为式( 2 1 0 ) ，仅考虑弯曲变形的 梁单元的刚度矩阵为式( 2 3 3 ) 。将两式都扩展为6 x 6 阶的矩阵，叠加后形成平面 刚架在局部坐标系下的单元刚度矩阵： 陆r = 丝 o z 0 o 尉 ， o o 1 2 e ， z 3 6 e i ，2 o o一丝o z 等。一等 半。一等l1 2 o 丝 o ， 一等一等。等，3，2 v ，3 等孚。一等l ilt 2 单元在局部坐标系下的刚度方程为： 0 6 e i z 2 2 e i z 0 6 e i ，2 4 e i