（计算机应用技术专业论文）几类典型自治混沌系统的控制与同步.pdf

t 芝理二t 荸砸二学竹j 0 支 一、一o o 一、 摘要 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，其中混沌理论是非线性科学的 一个重要分支。本文利用理论推导和数值模拟相结合的方法研究了几类典型自治混沌系 统的控制和同步方法： 利用线性反馈法、非线性反馈法、激活控制法研究确定统一混沌系统的同步问题。 基于l y a p u n o v 稳定性理论和激活控制技术，得出统一混沌系统达到同步的充分条件。 对参数未知的统一混沌系统的自适应控制和同步方法进行研究。基于l y a p u n o v 稳 定性理论，设计自适应控制器，实现对参数已知和参数未知的统一混沌系统的控制。同 时该控制器也可以确保两个参数已知或未知的统一混沌系统达到同步。 研究统一混沌系统的自适应全局混合映射同步问题。基于l y a p u n o v 稳定性理论， 设计自适应控制器，参数己知及参数未知的统一混沌系统都可以成功的到达全局混合映 射同步。 研究超混沌r o s s l e r 系统的自同步问题。基于时间域方法，提出超混沌r o s s l e r 系统 的一个简单的观测器设计方案，它可以保证误差系统全局指数稳定。研究混沌系统广义 投影同步问题，基于状态观测器方法，以超混沌r o s s l e r 系统为例设计一类混沌系统广 义投影同步方案。 基于分数阶系统平衡点的稳定性理论，研究分数阶l o r e n z 超混沌系统的同步问题。 以0 9 8 阶l o r e n z 超混沌系统为例，讨论利于反馈激活控制法使分数阶混沌系统达到同 步。 关键词：混沌控制；混沌同步；l y a p u n o v 稳定性理论 t 芝理二文学硕尘。9 j 芑文 c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fs e v e r a lt y p i c a la u t o n o m o u sc h a o t i c s y s t e m s a b s t ra c t n o n l i n e a rs c i e n c ei saf o u n d a t i o n a ld i s c i p l i n ew h i c hc o n c e r n st h ec o m m o np r o p e r t i e so f n o n l i n e a rp h e n o m e n a a n dc h a o st h e o r yi so n eo fi m p o r t a n ts u b d i s e i p l i n e so fn o n l i n e a r s c i e n c e t h er e s e a r c hs t u d i e st h er e l a t i v e p r o b l e m s o fc h a o sc o n t r o la n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o n ： t h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo ft h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e mi ss t u d i e d t h r e ed i f f e r e n t m e t h o d s ，l i n e a rf e e d b a c km e t h o d ，n o n - l i n e a rf e e d b a c km e t h o da n di m p u l s i v ec o n t r o lm e t h o d a r ea d o p t e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n di m p u l s i v ec o n t r o lm e t h o d t h e c o n d i t i o n so fs y n c h r o n i z a t i o na r eo b t a i n e d a d a p t i v ec o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no ft h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e m 、j r i t l lk n o w no r b n k n o w np a r a m e t e r si sr e s e a r c h e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，a na d a p t i v e c o n t r o l l e ri sd e s i g n e d i tc a nc o n t r o lt h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e mw i t hk n o w no ru n k n o w n p a r a m e t e r st ot h es t a b i l i t ya n dm a k et h ed y n a m i c a ls y s t e ma n dt h er e s p o n s es y s t e mw i t h k n o w no ru n k n o w np a r a m e t e r sa s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z e d u n i f i e dc h a o t i cs y s t e mi su s e da sa ne x a m p l et or e s e a r c ha d a p t i v ef u l ls t a t eh y b r i d p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d a na d a p t i v ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e dw h i c hc a nm a k et h e s t a t e so ft h ed y n a m i c a ls y s t e ma n dt h er e s p o n s es y s t e mw i t l lk n o w no ru n k n o w np a r a m e t e r s a s y m p t o t i c a l l yf u l ls t a t eh y b r i dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z e d t h es t a t eo b s e r v a t i o np r o b l e mo fh y p e r c h a o t i cr 6 s s l e rs y s t e mi si n v e s t i g a t e d b a s e do n t h et i m e - d o m a i na p p r o a c h ，as i m p l eo b s e r v e rf o rt h eh y p e r c h a o t i cr 6 s s l e rs y s t e mi sp r o p o s e d t og u a r a n t e et h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h er e s u l t i n ge r r o rs y s t e m t h eg e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fac l a s so fc h a o t i cs y s t e mi s s t u d i e d b a s i n go ns t a t eo b s e r v e rm e t h o d , as c h e m ei sp r o p o s e dt od r i v eh y p e r c h a o t i cr o s s l e r s y s t e m sg e tg e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n b a s e do nt h es t a b i l i t yt h e o r yo ff r a c t i o n a lo r d e rs y s t e m s ，t h ep a p e ra n a l y s e st h e s y n c h r o n i z a t i o nc o n d i t i o n so ft h ef r a c t i o n a lo r d e rc h a o t i cs y s t e m s 、析t ha c t i v a t i o nf e e d b a c k m e t h o d a n dt h es y n c h r o n i z a t i o no fc o m m e n s u r a t eo r d e rh y p e r c h a o t i cl o r e n zs y s t e mo ft h e b a s eo r d e r0 9 8i si m p l e m e n t e db a s e do nt h i sm e t h o d k e yw o r d s ：c h a o sc o n t r o l ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：迢盎璺型鱼丝超生歪丝煎望型鱼塑些 作者签名： 笨篮塞 日期：星塑年丝月j 生日 人近理i ：人学硕十研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 咝自彬耥栅1 拯刽与形 类 日期：垒塑年竺月上日 日期：至翌星年堡月呈丝日 大连理工大学硕士学位论文 引言 混沌是当今前沿的研究课题，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反 映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辨证统一关系。混沌的发现被认为 是2 0 世纪物理学的三大成就之一i l ，可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻 想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦想；而混沌则消除了拉普拉斯关 于决定论式可预测的幻想 。它的创立，在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了 桥梁。今天，混沌理论与计算机科学理论相结合，使人们对一些久悬未解的基本难题的 研究取得了突破性进展，在研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用，成为世人瞩目 的学术研究热点卜列。 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一。1 9 8 9 年h u b l e r 发表了 控制混沌的第一篇文章【引，之后，o t t 等人提出了控制混沌的o g y 方法1 9 j ，1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌自同步方案1 1 0 1 。近十年来，随着混沌控制与混沌同步研究的蓬勃 发展，这一方向迅速成了混沌研究领域的热点1 1 1 1 4 j 。 1 9 6 3 年美国科学家l o r e n z 提出了经典l o r e n z 混沌系统1 1 辩，成为“混沌学之父”。 1 9 9 9 年陈关荣提出了经典c h e n 系纠1 6 1 ，c h e l a 系统与l o r e n z 系统具有类似但更复杂的 拓扑结构和动力学行为1 1 6 ，1 7 1 ，这使得它在信息加密和保密通信等领域有着更广阔的应用 前景。2 0 0 2 年吕金虎等学者发现了统一混沌系统，建立了l o r e n z 系统和c h e n 系统之间 的桥梁【1 8 l 。当参数取不同的值时，统一混沌系统可以分别代表不同的系统，所以对统一 混沌系统控制与同步方法的研究具有普适性。 1 9 7 6 年，r 6 s s l e r 在研究具有中间产物的化学反应问题时，通过适当的标度变换， 给出了一个由非线性常微分方程组所表示的r 6 s s l e r 系统1 1 9 1 。1 9 7 9 年，r 6 s s l e r 进一步提 出了四变量振荡器，即超混沌r 6 s s l e r 系统 2 0 1 。超混沌系统具有比混沌系统更复杂的动 力学特性，因此，对超混沌系统的控制与同步的研究具有很大的理论意义和应用价值。 分数微分学起源于1 7 世纪，但是直到最近1 0 年，分数微分学才开始应用于物理学 和工程学【2 1 ，2 2 1 。粘滞系统、电极一电解液和电磁波等都呈现分数阶的动力学行为1 2 3 - 2 6 1 。 研究者认为分数阶在电路系统中开辟了新的领域，它被认为是整数阶的一般化，也就是 说电路系统应该在分数阶结构的框架下被认识和研究，而整数阶的电路是分数阶的特 例，因此分数阶的研究是很重要的【2 7 j 。目前，分数阶混沌系统的研究已引起了越来越多 研究者的兴趣，人们考虑的两个主要问题是：( 1 ) 当一个o d e ( o p e nd y n a m i c se n g i n e ) 系统处于混沌状态时，其对应的分数阶系统在任何条件下也是混沌的；( 2 ) 如何设计控 制器，使分数阶混沌系统达到同步。 几类典型自治混沌系统的控制与同步 因此，本文首先研究了确定统一混沌系统的混沌同步问题，分别利用线性反馈法、 非线性反馈法、激活控制法研究系统达到自同步的条件。随后研究了不确定统一系统的 自适应控制和同步方法，设计了自适应控制器，实现了参数未知的统一混沌系统的控制 与同步，此方法对参数已知的统一混沌系统也是有效的。紧接着讨论了统一混沌系统的 自适应全局混合映射同步问题。基于l y a p u n o v 稳定性理论，设计了自适应控制器，参 数已知及参数未知的统一混沌系统都可以成功的到达全局混合映射同步。本文对超混沌 系统的控制与同步作了研究，以超混沌r 6 s s l e r 系统为例，基于时间域方法，提出了一 个简单的观测器设计方案。基于状态观测器方法，实现了具有随机扰动的超混沌r 6 s s l e r 系统的广义投影同步问题。最后，基于分数阶系统平衡点的稳定性理论，研究了反馈激 活控制方法使分数阶l o r e n z 超混沌系统达到同步的条件。以0 9 8 阶l o r e n z 超混沌系统 为例，仿真模拟验证了该方法的有效性。 本文共分为七章：第一章简要介绍了混沌理论，并阐述了混沌控制、混沌同步研究 进展和现状。第二章介绍了本文所用到的控制理论的基本原理和同步方法。第三章研究 了统一混沌系统的混沌控制与同步问题。第四章研究了超混沌r 6 s s l e r 系统的控制与同 步。第五章探讨了分数阶l o r e n z 超混沌系统的同步问题。最后给出了全文的结论。 t 芝理二t 掌砸二学! 芑支、v 。 ，o 1混沌理论概述 1 1混沌动力学的发展历史 从牛顿( n e w t o n ) 力学创立时起，人们就坚信：对一个确定性动力系统施加确定性的 输入，则该系统的输出一定是确定的。这就是l a p l a c e 的确定论思想。对于线性系统， 这一结论是正确的，但对于非线性系统，则可能出现一种无法精确重复、貌似随机的运 动，人们称之为混沌。混沌理论架起了确定论和概率论两个理论体系之间的桥梁，与相 对论和量子力学一起被称为2 0 世纪物理学的三大革命。 混沌表示某种紊乱的、不清楚的或不规则的现象，表现了系统内部的复杂性、随机 性和无序性。而混沌运动是指在确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定性的运 动，是在确定性系统中出现的无规则性和随机性。混沌理论的基本思想起源于2 0 世纪 初，发生于2 0 世纪6 0 年代后，发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。现如今，混沌理论的研究 已成为各学科竞相注意的一个学术热点【卜2 1 。 1 8 9 2 年，法国学者p o i n e a r 6 在研究三体问题时发现，系统在某类鞍型不动点附近具 有不寻常的运动，无法求出精确解。他在1 9 0 3 出版的科学与方法一书中提出了 p o i n c a r 6 ，猜想。他指出三体问题中，在一定范围内其解是随机的。该猜想将动力学系统 与拓扑学两大领域结合，指出混沌存在的可能性。实际上这是一种保守系统中的混沌， 从而p o i n c a r 6 也被认为是混沌动力学这一领域的开拓者。 2 0 世纪的2 0 、3 0 年代，b i r k h o f f 紧跟p o i n c a r 6 的学术思想，建立了动力系统理论的 两个主要研究方向：拓扑理论和遍历理论。到1 9 6 0 年前后，非线性科学研究得到了突 飞猛进的发展，k o l m o g o r o v ，a r n o l d 及m o s e r 深入研究了h a m i l t o n 系统( 或保守系统) 中的运动稳定性，得出了著名的k a m 定理，k a m 定理为揭示h a m i l t o n 系统中k a m 环面的破坏以及混沌运动奠定了基础。 1 9 6 3 年美国科学家l o r e n z 在美国大气科学杂志上发表了文章“确定性的非周 期流州 】。他从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组用来描述天气的演变情况，发 现了天气演变对初值的敏感依赖性。l o r e n z 给出一个形象的比喻：“一个蝴蝶在巴西轻 拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风 。这就是著名的“蝴蝶效应一。 l o r e n z 也因此成为“混沌学之父”。 1 9 6 4 年，h 6 n o n 等人发现了h 6 n o n 吸引子。r u e l l e 和t a k e n s 提出“奇怪吸引子 ( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 的名词，同时将奇怪吸引子概念引入耗散系统，并于1 9 7 1 年提出了一 种新的湍流发生机制。这一工作由g o l l u b 等人的实验结果所支持，并对后来关于s m a l e 一3 一 t 类典型昌；毒混沌系统的控制与同步 马蹄吸引子的研究起到一定的推动作用。s m a l e 马蹄吸引子是指在l o r e n z 以后，美国数 学家s m a l e 发明的被称做“马蹄”的一种结构。接着s m a l e 提出的马蹄变换，为2 0 世 纪7 0 年代混沌理论的研究做了重要的数学理论准备。 2 0 世纪7 0 年代，混沌学作为一门新的学科正式诞生。1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e m 首次利用混沌吸引子的结论解释了湍流产生的机制。1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 提出“周 期3 蕴含混沌 的思想，被认为是混沌的第一次正式表述，“c h a o s 一词也自此正式 使用脚j 。1 9 7 6 年，美国生态学家m a y 在 0 ，工，y e s ，x 乒y ， l i m s u p l f “o ，a ) 一f 4 ( p ，a ) f 0 ，x e s ，p 为周期点。 此定义中前两个极限 兑明子集的点x e s 相当集中而又相当分散；第三个极限说明 子集不会趋近于任意点。与此同时，l i y o r k e 给出了l o g i s t i c 映射 x 。+ l 一舡。( 1 一z 。) ，【0 ，1 】，a 【0 ，4 】 在a 一3 5 7 时出现混沌的例子。 根掘l i y o r k e 定义，一个混沌系统应具有三种性质：( 1 ) 存在所有阶的周期轨道； ( 2 ) 存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋 向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在 渐近周期轨道；( 3 ) 混沌轨道具有高度的不稳定性。 1 3 2 d e v a n e y 的混沌定义 d e v a n e y 的混沌定义是另一种影响较广的混沌的数学定义，它是从拓扑的角度出发 进行定义的。 定义1 2 度量空问y 的映射厂：y 呻y 是混沌的，若其满足： ( 1 ) 对初值的敏感依赖性。存在6 0 和任意的工矿，在x 的，领域内存在y 和自然 数n ，使得a ( f ”o ) ，“( y ) ) 6 。 ( 2 ) 拓扑传递性。对v 上的任意对丌集x 和l ，存在k 0 ，- ( x ) ny ，西( 如映 射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) 。 ( 3 ) ，的周期点集在y 中稠密。 d e v a n e y 的混沌定义从另外个角度刻画了混沌运动的几个重要特征。对初值的敏 感依赖性意味着无论x 和y 距离有多近，在厂的多次作用下两者之间的距离d 都会扩大 到一定地步( 6 ) ，而这样的y 在x 任意一个小的邻域内都存在着。对这样的，如果用 计算机计算其轨道，则任意微小的初始误差就将导致多次迭代后的计算结果与实际结果 产生足够大的差异，从而导致计算失败。因此对初值的敏感依赖性也称为不可预测性。 拓扑传递性意味着：任一点的邻域在厂的多次作用下将遍及度量空间y ，这说明，不可 一6 一 人连理i ：人学硕十学侮论文 能分解为两个在厂下互不影d 向的子系统。周期点集在y 中稠密意味着混沌系统存在着规 律性的成分，绝非混乱一片，形似混乱而实则有序。 1 4 混沌运动的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动，或除了 平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂 运动形态，出现在某些耗散系统、不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。 它有时被描述为具有无穷大的周期运动或貌似随机的运动等。与其它复杂现象相区别， 混沌运动有着自己独有的特征，主要有： ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域，该区域称 为混沌吸引域。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各念历经的，即在有限时间内混沌运动 轨道经过混沌区内每个状念点。 ( 3 ) 内随机性。本质上指的是混沌运动的不可预测性，对初值的敏感性造就了这一 性质，说明混沌是局部不稳定的。 ( 4 ) 分维性。指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运动状态 具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性。指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要实验精度足 够高，总可以在小尺度的混沌区内看到有序的运动形态。 ( 6 ) 普适性。指不同系统在趋向混沌念时所表现出来的某些共同特征，不随具体的 系统方程或参数而变。普适性是混沌内在规律性的一种体现。 ( 7 ) 统计特征。j 下的l y a p u n o v 指数以及功率谱等。l y a p u n o v 指数是一种定量描述 动力系统轨道局部稳定性的方法。 1 5 混沌系统的控制与同步 1 5 1 混沌控制 在自然界中，混沌几乎是无处不在的，但在许多场合，混沌可能是一种不期望的现 象，它可能导致振荡或不规则运行，使系统彻底崩溃。如在许多复杂工业过程中，其动 态特性经常显示出一些不可预测的扰动，以前认为这些扰动是由随机噪声引起的，通常 由统计的方法将其滤掉，但随着混沌理论的产生和发展，人们认识到这是一种只能控制 而不能忽略的扰动现象【3 5 j ，因而有必要研究如何控制混沌。 控制混沌的含义非常广泛。一般而言，是指通过控制改变系统的混沌状态使之呈现 儿类典刑臼治混沌系统的控制与同步 周期性运动。具体而言，控制混沌有如i - ) l 个方面的含义：一是抑制混沌，即消除系统 的混沌运动而无需考虑所得到运动的具体形j = ；二是引导i u j 题，在相空1 1 | jl l ，将混池轨道 引入事先指定的不动点或周期性轨道的确定的小领域内：三是跟踪问题，通过施加控制 使受控系统到达事先给定的周期性动力学行为；其特殊而重要的情形是镇定问题，使稠 密嵌入在相空问中混沌吸引子内的无穷多不稳定周期轨道之一稳定化。抑制问题含义最 为广泛，只需消除系统的混沌状态；引导问题往往只是实施控制的准备；跟踪问题最为 严格，受控系统以事先确定的周期和振幅运动，跟踪目标受原系统方程的约束。 混沌控制的目标主要有两种。 第一类是基于在混沌奇怪吸引子闭包内存在无穷多不稳定的周期轨道，控制的目标 是根据人们的意愿在这些轨道中选择一条满足要求的周期轨道并进行有效的稳定控制， 该控制的特点是并不产生新的周期轨道而只是将轨道固定。控制方法源于一个混沌吸引 子可以嵌入到它的不稳定周期轨道的一个稠密子集里，旦系统运动到所需状念附近就 对某个易于测得和可调整的参数进行微扰反馈，通过若干次反复调整就可实现对特定所 需轨道的稳定控制。具体做法是：先由低周期轨道丌始，选定混沌吸引子上所期望的 条不稳定的周期轨道，之后对系统施加微扰，使原不稳定轨道作有规律的周期运动。事 实证明它基本不受噪声的影响。扰动的参数可以分别为系统参数、系统变量、外部参数 ( 强度、相位) 等等，而且所有的周期轨道都是这个参数的函数，与其他参数无关。这类 控制的优点是可以把系统从混沌状态控制在任意制定的周期轨道上，而且不改变系统的 结构，具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。缺点是要有一个目标函数或给定轨道，实现 起来比较困难。 第二类控$ i j s t j 没有具体的控制目标，也不关心被控系统的终态是否为周期运动，只 是通过合适的策略、方法及途径，有效抑制混沌行为，使l y a p u n o v 指数下降进而消除 混沌。它是通过系统的控制获得人们所需的新的动力学行为，包括各种周期念及其他图 样等。实现这类控制目标的手段有无反馈控制法，如d u f f i n g 方程、钟摆动力学方程和 l o r e n z 方程等，其控制思想是给系统直接加上一个微弱的外部扰动来消除混沌，系统受 控后的动力学行为可能与原系统的大不相同，即产生了新的动力学行为。扰动信号可分 别为驱动信号、噪声信号、偏置常量和系统参数的弱调制等等。这类控制的优点是设计 简单，不需特定轨道，易于实现。缺点是无法确保控制过程的稳定性。 从实现控制的原理上混沌控制可分为反馈控制和无反馈控制。 反馈控制分为：参数微扰o g y 法和o g y 的各种改进法；偶然f 比技术法；跟踪 法；连续变量反馈法；正比变量脉冲反馈法：线性和非线性反馈法；直接反馈法：变量 反馈法等等。 人迩理i ：人学硕十学位论文 无反馈控制分为：自适应控制法、参数共振法、神经网络法、人工职能法、外加强 迫法和混沌信号同步法等。 1 。5 。2 混沌同步 混沌同步，从总体上来讲，属于一种广义混沌控制。所谓同步，指的是将系统驱动 到人们要求的混沌轨道上去。 p e c o r a 和c a r r o l 在混沌同步方面的丌创性工作极大的推动了混沌同步的理论研究， 拉丌了研究混沌同步的序幕。在随后的十余年时i 白j 旱，混沌同步的方法不断涌现，混沌 同步及其在保密通信等领域的应用研究己成为混沌和控制领域的研究热剧卜1 2 l 。下面对 一些典型的混沌同步方法和新进展做简要介绍。 ( 1 ) 驱动一响应同步法。驱动响应混沌同步方法是p e c o r a 和c a r r o l l 在1 9 9 0 年首先 提出的一种混沌同步方法i l ，简称p c 同步法。p c 同步方法的基本思想是用一个混沌 系统的输出作为信号去驱动另一个混沌系统来实现这两个混沌系统的同步。用其中个 混沌系统去驱动另一个混沌系统的含义是指两个系统是单向耦合的，即第一个系统决定 第二个系统的行为，丽第一个系统的行为不受第二个系统的影响。但是，由于物理机制 上的原因使得p c 同步法在应用范围上受到一定限制，对于更多的非线性系统，这种方 法是行不通的。 ( 2 ) 主动被动同步法1 3 5 】。由于p c 同步法在实际应用中受到特定分解的限制， k o c a r e v 及p a r l i t z 提出了改进方法，即主动被动同步分解法1 3 6 l 。该方法采取十分灵活的 一般分解法，更适合于混沌同步、超混沌同步和时空混沌同步，更适用于保密通信等应 用。该方法的主要思想是，通过把耦合变量或驱动变量引入复制系统，导出系统变量差 的微分方程，得到总体系统的误差动力学，再利用线性化稳定性分析方法或l y a p u n o v 函数方法证明复制混沌系统与原系统达到稳定同步。这种同步类型与p c 方法的主要区 别是，信息j 下好被加到混沌信号这一载体上，而不是注入到发射机的动力学系统中。这 时，由混沌信号与信息信号之和柬驱动接收机，而发射机恰好由纯混沌信号所驱动。由 于作为发射机的动力学系统并非自治而一般有相当复杂的信息信号所驱动，因此需要采 取恰当的技术减少信息信号的误差、减少噪声的影响及从信息信号中提取所需信息。这 些问题有待深入研究和解决。 ( 3 ) 互耦合混沌同步法。互耦合同步问题起源于非线性振荡器理论，这个问题研究 的较早，但直至l j p c 同步法出现以后才引起重视。因为p c 同步法中的驱动系统和1 1 向应系 统在实质上也是一种耦合，只不过是单向耦合。由于相互耦合是非线性系统的广泛作用 形式，这种类型的混沌同步涉及的领域十分广泛。h a k e n 的协同学和s h a n o n 的信息论中 儿类典型臼治混沌系统的控制与同步 的共同信息的概念可对这种i 司步i - j l - $ 1 给予物理机制上的解释。在：吐耦合的情形下，总体 系统1 一，( 菇) 。控制器髂p ) 可以消除( 2 5 ) 式中不含e 的非线性项，即 h ( f ) ；y o ) - f ( x ，歹) ( 2 6 ) 其中，v ( otk e 是含有e 的线性项。将式( 2 6 ) 代入式( 2 5 ) 得 毒- a e + y ( f ) 。 ( 2 7 ) 因为v ( o 是含有e 的线性项，r v ( t ) 一k e ，k e r 脚是常数对角矩阵。所以式( 2 7 ) 变换为 叠一( 4 + 量弦。( 2 8 ) 定理2 1 如果对角矩阵满足条件： 墨0 ，其中丑是矩阵似+ 五) 的特征值，则式 ( 2 8 ) 的状态向量渐近收敛到零，即驱动系统( 2 3 ) 与响应系统( 2 4 ) 渐近同步。 证明：解微分方程毒一似+ x 弘得：l i , ( o l l - i i e ( a + g ) t e ( o ) l i o 根据矩阵似+ x ) 的特征值 均为不大于零的实数，故当f _ 时，9 d - o ，r p i m l l p l l = o 。此时驱动系统( 2 3 ) 与响应 系统( 2 4 ) 渐近同步。证毕。 2 2 3 基于观测器的同步法 考虑如下一类非线性混沌系统 p 血+ 阿o ( 2 9 ) 1 多c t x 铲。， 作为驱动系统。式( 2 9 ) 中x e r 为状态向量，a e r 挪且曰科分别为适当维数的矩阵 和向量，：掣一r 为非线性映射，y e r 表示系统的输出，c f 是c 的转置。响应系统 采用如下状态观测器 p 竺- b f ( y ) + “卜勋 c 1 0 ) i 多：c t 童 、 来重构混沌载波信号。式( 2 1 0 ) 中j 是观测器的状态，歹是观测器的输出，l e r “是观测 器增益。选择适当的可以使系统( 2 1 0 ) 和系统( 2 9 ) 同步。定义同步误差e 一工一叠，则由 式( 2 9 ) 和式c i o ) 可得 舌一似- l c l 。沁。( 2 1 1 ) 显然，如果似，c t ) 可观，通过选取适当的工，使得( a l c t ) 的特征值的半径小于1 。 因此式子( 2 1 1 ) 所示的误差系统是渐近稳定的，即 鳃叫l ；o ，也就是驱动系缴2 9 ) 与响 应系统( 2 1 0 ) 达到了同步。 人连理t 大学硕十学位论文 2 2 4 自适应同步法 自适应控制混沌运动是通过调整参数来控制系统达到所需要的运动状念，有目标输 出和实际输出之间的差来调整参数，使系统从混沌运动状态转变至规则运动状态的。 考虑如下的n 维自治系统： i i f 媾，曲 q 1 2 ) 其中工- “，x 2 ，x n ) 是n 维的状态变量，卢一( 盹，：，心) 是f 维的系统参数，是关于 x 、弘的n 维函数向量，f ( x ，弘) ；( l ( x ，弘) l ( x ，p ”。假设参数集飓是可以得到的， 选择存在于系统中的一条不稳定周期轨道o ( y ) 作为期望的目标轨道，y 表示目标轨道的 变量。把目标轨道的系统称为目标系统，而受控系统称为响应系统。自适应控制的基本 思想是对系统( 2 1 2 ) 引入一种控制机制，使得响应系统的变量x 和目标系统的变量y 同 步。则受控系统表示为 f j f ( x ，) k 砒 “m s g n 【粤肛吲1 i - - c i * ) ( 2 j 3 ) 【 口以 这里以。是参数心对应目标轨道y 的值，且肫是式( 2 1 3 ) g 嘴j 个子系统中的参数。研究 表明，函数h 和g 取下面的简单形式时，就可以使系统( 2 1 2 ) 达到目标混沌轨道 训 s g n 【和唧【匀“训， ( 2 1 4 ) g ( 以一鸬) t 一一心。 ( 2 1 5 ) g i 以一鸬) 。一一心a u j 2 3 本章小结 本章主要介绍了本文中用到的控制理论的基本原理和同步方法。首先介绍了反馈控 制和自适应控制的原理，接着介绍了本文用到的混沌同步基本方法，包括反馈同步法， 激活控制同步法，基于观测器的同步方法，自适应同步方法。 儿类典型自治混沌系统的控制与同步 3 统一混沌系统的控制和同步 1 9 9 0 年，o t t 、g r e b o g i 和y o r k e 基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在奇怪吸引子 中这一事实，提出了一种利用混沌内在特性的控制策略( 即o g y 法) t g j ；p e c o r e 和c a r r o l l 又提出了混沌同步方案f l o l 。由于混沌控制及同步在信息科学、医学、生物、工程等领域 具有很大的应用潜力及发展前景，引起了人们的广泛关注与兴趣，科学工作者在理论和 实验上都已做了大量的工作降1 2 l 。迄今为止，已经成型的混沌同步方法有：p c 法、反馈 同步法、自适应同步法、观测器同步法、神经网络同步法、模糊同步法、全局同步法等。 混沌同步j 下在同渐形成系统化的理论体系。需要指出的是：就目前混沌同步方法论的发 展所取得的成就而言，上述方法并不是对所有混沌系统的同步都有效，不同的方法有各 自的优缺点，具体情况要具体分析。其它更有效、更方便的同步方法还有待发展。 在上述研究的基础上，作者利用线性反馈法、非线性反馈法和激活控制法对确定统 一混沌系统的同步问题进行了研究，基于l y a p u n o v 稳定性理论和激活控制技术，给出 了达到同步的充分条件。数值模拟展示了这三种同步方法的有效性。 作者设计了自适应控制器，实现了参数已知或参数未知的统一混沌系统的控制。对 控制器进行微小调整，则初始值不同的两个参数未知或已知的统一混沌系统能够达到了 自适应同步。数值仿真表明了该控制器的有效性。 基于l y a p u n o v 稳定性理论作者进一步改进了自适应控制器，实现了对参数已知及 参数未知的统一混沌系统的全局混合映射同步。自适应全局混合映射同步进一步拓展了 混沌同步的应用范围，数值模拟表明了该控制器的有效性。 3 1 确定统一混沌系统的三种同步方法 3 1 1问题描述 统一混沌系统描述为1 1 s i 量一( 2 5 a + 1 0 ) ( y - x ) 夕一( 2 8 3 5 a 净+ ( 2 9 a 一1 ) y 一滋。 ( 3 1 ) 8 + 口 z = x v 一一z 。 3 这里x 、y 和z 是状态变量，a 为参数。当a = 0 时，系统( 3 1 ) 是原始l o r e n z 系统1 1 5 l ；当 口= 1 时，系统( 3 1 ) 是原始c h e n 系统1 1 6 】；当a = 0 81 对，系统( 3 1 ) 处于l 0 r e n z 系统和c h e n 系统的临界状念。当a 【o ，1 】，系统( 3 1 ) 总是混沌的。图3 1 展示了口取不同值时的统一 人连理l ：人学硕十d 唧, o w x - 论文 混沌系统的吸引子。图3 1 ( a ) 为a = 0 时的混沌吸引子，即b r e n z 吸引子；图3 1 ( b ) 为a = 0 8 时的混沌吸引子；图3 1 ( c ) 为口= 1 时的混沌吸引子，即c h e n 吸引子。统一混沌系统，建 t l o r e n z 系统和c h e n 系统之i j 的桥梁1 1 8 j 。当参数取不同的值时，统一混沌系统可以分 别代表不同的系统，所以对统一混沌系统控制与同步方法的研究具有更广阔的应用性。 令 ( a ) a 一0 ( 2 5 a4 - l o ) ( y x ) 一0 ( 2 8 3 5 a ) x + ( 2 9 a 一1 ) y 一工z 一0 ，( 3 2 ) 删一坠旦z 。0 7 气 求解方程( 3 2 ) ，可得系统( 3 1 ) 的三个平衡点：s 。( o ，0 ，o ) 、s 。( 声，声，) ，) 和s ：( 一声，一，y ) ，这 里卢一x ( 2 7 6 a ) ( 8 + a ) 3 ，r 一3 2 ( 8 + a ) 。 当口【0 ，1 】时，系统( 3 1 ) 流的微分为 即：亟+ 堕4 - 堕；1 l a - 4 1 0 ， 缸 砂 犯3 式中 f 。( 互，e ，e ) ：“2 5 口+ l o ) ( y z ) ，( 2 8 3 5 口讧+ ( 2 9 口一1 ) y 一澎，x y 一8 _ + _ t xz ) 。 j 故系统( 3 1 ) 是受迫耗散系统。所以，对所有的t20 ，x ( t ) 、y ( f ) 和z ( f ) 全局有界并且连 续可微。因此，一定存在某个正的常数s ，对于任意的t 0 ，都有k ( f ) ls s o o ， i y ( f ) iss 2 9 a - 1 + ( 1 9 5 口一0 5 2 1 ) 2 ，k 3 0 2 5 y _ l z 一( 8 + a ) 3 ，( 3 6 ) 则系统( 3 3 ) 和系统( 3 4 ) 可以达到同步。 证明：定义l y a p u n o v 函数 v o s ( q + ：2 + p ；) ，( 3 7 ) 对式( 3 7 ) 求导，再根据式( 3 5 ) 可得 矿一e t i l + e 2 e 2 + e 3 毒3 _ 一( 2 5 c r + 1 0 + 七1 ) p ：+ ( 2 9 0 - 1 - k 2 ) p ；一( ( 8 + 口) 3 + 盂3 ) p ；+ ( 3 8 - 1 0 a z 1 ) p l e 2 + y l p l p 3 - 一f q 一( 1 9 5 a o 5 z j ) 巳】2 一( e l 一0 5 e 3 y 1 ) 2 一 ( 2 5 a + 8 + k 1 ) e ；一 2 9 a - 1 - k 2 + ( 1 9 5 a 一0 5 z i ) 2 l e ；+ ( ( 8 + a ) 3 + k 3 0 2 5 y 2 ) e 3 2 若反馈增益毛、k ，和k ，满足如下条件 f k l + 2 5 a + 8 0 2 9 a 一1 一k 2 + ( 1 9 5 a 一0 5 z i ) 2 0 人迮理l ：人学硕十学位论文 则矿 一2 5 a 一8 ，k ： 2 9 a 一1 + ( 19 5 a o 5 z 。) ：， k ， 0 2 5 y ? 一( 8 + c t ) 3 。又i 因为y t 0 ，j 卜。( f ) iss 0 0 、| x 2 ( f ) i s 2 9 a 一1 + ( 1 9 5 a o 5 s ) 2 ，k 3 一( 8 + a ) 3 + 0 2 5 s2 成立，则 条件( 3 8 ) 一定满足，即有矿 。 ( 3 1 4 ) 式中f l , ( t ) 、应o ) 和屈o ) 为控制函数。令误差变量e l 一恐一、e ：一y ：一咒和巳- z 2 一z - ， 占2 一( 2 8 3 5 a ) e l + ( 2 9 a 一1 ) p 2 一0 2 2 2 一工l z l ) + 2 0 ) 。 ( 3 1 5 ) 反( f )