（生物医学工程专业论文）非线性动力学理论在生物医学中的应用.pdf

人迎理l 大学硕十学付论文 a p p l i c a t i o no f n o n l i n e a rd y n a m i c st h e o r yt ob i o m e d i c i n e a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t han u m b e ro fi s s u c so fn o n l i n e a rd y n a m i c st h e o r yi nt h e a p p l i c a t i o no fb i o m e d i c a le n g i n e e r i n g i tc o n t a i n sn o n l i n e a rd y n a m i c sq u a n t i t a t i v ec r i t e r i a s a p p l i c a b i l i t ya n dl i m i t a t i o n so fb i o l o g i c a ls i g n a l s ，b i o p h y s i c a lm o d e l ，n o n l i n e a rd y n a m i c s a n a l y s i so f h a m a n b r a i nd e p t hi n t e l l i g e n ta c t i v i t i e sa n dc h i l d r e nw i t l le p i l e p s y f i r s t l y ，t h ec o m p a r a t i v es t u d i e so fp h a s eg r a p h ，b i f u r c a t i o ng r a p h ，p o w e rs p e c t r a ， c o r r e l a t i o nd i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n to fe e gs h o wt h a tc h a o t i cp a t t e mo ft h e d y n a m i c s m o d e lt a k e so na l t e r n a t i o nb e t w e e n p e r i o d a n dc h a o s a n dr e l e v a n tt o d o u b l e - p e r i o d i cb i f u r c a t i o n , h o p fb i f u r c a t i o n ，a n dr e v e r s eb i f u r c a t i o n ；t of u r t h e rs u p p o r tt h e v i e wt h a tc h a o se x i s ti ne e g s i g n a l s a n dt h er e s u l to f p r e d i c t i o no f r b fn e u r a ln e t w o r ka n d n l c pi n d i c a t et h ee f f e c to fr b fn e u r a ln e t w o r kp r e d i c t i o ni sb e t t rt h a nt h a to fn o n l i n e a r p r e d i c t i o n ；t h em e t h o do f n l c pi sa d a p t i v et ot i m es e r i e s 、i t l ls t r o n gp e r i o d i cc o m p o n e n t s t h e n , a c c o r d i n gt op h a s es p a c er e c o n s t r u c tt e c h n i q u ef r o mo n e - d i m e n s i o n a la n d m u l t i d i m e n s i o n a lt i m es e r i e s ，t h eq u a n t i t a t i v ec r i t e r i o na n dr u l eo fs y s t e mc h a o sw h i c h c o m b i n en e r l r a ln e t w o r k , a n a l y s e s ，c o m p u t a t i o n sa n ds o r ta r ec o n d u c t e do ne e gs i g n a l so f f i v ek i n d so fh u m a nc o n s c i o u s n e s sa c t i v i t i e s t h ea u t h o rf i n d st h a ts t a t i s t i cr e s u l t so ft h e d e t e r m i n i s mc o m p u t a t i o ni nt i m es e r i e si n d i c a t et h a tc h a o sc h a r a c t e r i s t i cm a yl i ei nh u m a n c o n s c i o u s n e s sa c t i v i t i e s ，a n dc e n t r a lt e n d e n c ym e a s u r ei sc o n s i s t e n tw i t hp h a s eg r a p h 。s oi t m a yb e c o m eo n ed i v i s i o nw a y o fa t t r a c t o r ；a p p r o x i m a t ee n t r o p yo fd i f f e r e n ts u b j e c t se x i s t s d i s c r e p a n c y ；c o r r e l a t i o nd i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n to fd i f f e r e n tc o n s c i o u s n e s s a c t i v i t i e si n d i c a t et h a ta t t r a c t o r so fh u m a na c t i v i t i e sa r ea l lf r a c t i o n a l ；n o n l i n e a rq u a n t i t a t i v e c r i t e r i o na n dr u l e ，w h i c hu n i t e sn e u r a ln e t w o r k ，c a nd i s t i n g u i s hd i f f e r e n t s t y l e so f c o n s c i o u s n e s sa c t i v i t yi np r i n c i p l e ，a n dt h er e s u l to fs o r t a t i o nt a k e so nt h a tc o n s c i o u s n e s s a c t i v i t yt y p eo f a r i t h m e t i ci sd i s t i n g u i s h e dm o r ee a s i l yt h a nt h a t o f a b s t r a c t f i n a l l y ，b a s e do nc cc o m p u t a t i o no fe e g ，t h ec o m p a r a t i v es t u d i e so fp h a s eg r a p h ， a p p r o x i m a t ee n t r o p y ，p o w e rs p e c t r a , c o r r e l a t i o nd i m e n s i o ni n d i c a t et h a te m b e d e dd i m e n s i o n a n ds i g n a ld e l a yo fe e gi sc l o s e l yl i n k e dw i t ht h es t a t eo ft h eb r a i n a n dp h a s eg r a p h ， a p p r o x i m a t ee n t r o p y ，l y a p u n o ve x p o n e n t ，p o w e rs p e c t r a , c o r r e l a t i o nd i m e n s i o nr e f l e c t st h e w h o l ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb r a i n n l ep o t e n t i a ld y n a m i c sc h a n g eb e f o r ee p i l e p s y p r o v i d e sas t r o n gt h e o r e t i c a ls u p p o r to f d e v e l o p i n ge p i l e p s yw a r n i n ge q m p m e l l t k e yw o r d s ：c h a m ；b i f u r c a t i o n ；n o n l i n e a rq u a n t i t a t i v em e t h o d ；e e g ；n e u r a ln e t w o r k 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 人连理1 人学硕卜学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名： 盗羹狐 2 姿主。 趋年j 三月j ! 日 大连理1 人学硕十学位论文 引言 生命体是一个高度复杂的非线性动力学系统，要解开我们既熟悉又陌生的生命体内 在的活动机理，就需要借助被誉为2 0 世纪自然科学的“第三次大革命l 】的非线性科学 的帮助。非线性科学是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合 性学科。它的研究涉及到自然科学和社会科学的各个领域，具有重大的科学意义和广泛 的应用| ；i 景。随着它的深入研究，人们正在改变对确定性与随机性，有序与无序，偶然 性与必然性的认识，人们对现实世界的传统看法也正在改变。非线性科学与其它的科学 相结合形成的交叉学科，对技术的实际应用与推广更是具有重大的意义。本文的主要研 究对象是非线性科学与生物、物理、医学相结合形成的交叉学科的研究与应用，具有重 要的实际意义。 非线性科学的主体包括：混沌、分形和孤子。其中的混沌理论是物理科学和数学科 学两栖的边缘学科。现如今，混沌理论已在许多领域得到了广泛的应用，如天气预报中 的“蝴蝶效应”、商业周期中蕴涵着的有序性、股市细微分散的交易和大规模变动情况 之间的重要关系、湍流的产生机理等。本文的研究重点是混沌理论在生物医学工程中的 应用。 本文共分为四章：第一章主要介绍了非线性科学中的混沌理论和生物医学工程学科 的产生、发展与应用，并且对非线性理论的常用方法和在生物医学中的特定方法进行了 介绍。第二章介绍了非线性动力学理论在生物物理模型中的应用。由于实际生物信号具 有个体差异且含有各种噪声，对理论研究颇为不利，所以对这种由生物物理模型产生的 可控纯净的信号研究，对新方法的验证具有实际意义。第三章介绍了人脑深层次智能活 动的非线性研究，通过对5 种意识信号的对比研究，表明人脑在进行不同意识活动时， 具有潜在的非线性动力学差异，为以非线性理论为基础的智能识别提供了有力的支持。 第四章介绍了儿童癫痫病患者的非线性动力学研究，此研究对非线性科学在生物医学工 程中的应用具有重要意义。人脑精神疾病具有隐蔽性和潜伏性，传统方法基本无法进行 前期诊断，而本研究为此难题的解决提供一种新的探索思路，可为医疗工作者提供一种 有效的辅助手段。 1 r 线性动力学理论在生物医学中的虑_ l i j 1 非线性动力学理论与生物医学工程概述 1 1 混沌理论概述 “混沌”的理论基础可追溯到1 9 世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在2 0 世纪7 0 年代。混沌一词最先由“和y o r k e 提出哆1 9 7 5 年他们在美国 0 ，使协x ，及x 的邻域( x ) ，总 砂( 力及一0 使p o ”( x ) ，f “( y ) 1 盯；而，在x 上拓扑传递是指：v u ，v 丌集， u ，v c x ，3 k o 使f ( u ) f w d 。 上述混沌定义中的3 个条件具有深刻的含义。因为对初值敏感依赖性，所以混沌的 系统是不可预测的。因为拓扑传递性，它不能被细分或不能被分解为两个在厂下不相互 影响的子系统( 两个不变的丌子集合) 。然而，在这混乱性态当中，毕竟有规律性的成分， 即稠密的周期点。不过要特别注意的是，已经证明在定义中，后面两条，即拓扑传递性 和周期点的稠密性便蕴涵了对初值的敏感依赖性。 人迮理i ：火学硕十学位论文 1 2 非线性理论在生物医学工程中的应用概述 混沌是研究复杂的不规则动力系统的理论，而生物系统这一高度非线性系统，显然 是再合适不过的研究对象了，因此混沌与生物医学工程的联系是必然的。正如o l a i c k 所 指出的，人体很可能是复杂动力系统的典范【l 】，混沌理论将创建一种新型的生理学，它 使用新的数学工具，帮助研究人员了解与局部细节无关的整体复杂系统。生物系统中， 会显示出混沌的动态特征，在于这种动态特征具有许多功能上的优点。混沌系统可在范 围十分广泛的各种条件下工作，因而它们具有高度的适应性和灵活性。这种灵活性使得 这些系统可以应付不可预见的多变环境中所出现的种种突然变化。 在2 0 世纪8 0 年代，以混沌理论为工具，美国和加拿大的几个研究小组发现了动力 学心脏。其中以蒙特利尔m c g i l l 大学的生理学家g l a s s 和哈佛医学院的g o l d b e r g e r 为首 的两个研究小组的研究工作，受到国际上的巨大关注，并引起国内学术界的注意1 5 - 3 。 他们对心电图的定量测定发现，正常的和病态的心脏都有其突出而显著的动力学特征。 因此，他们尝试用非线性动力学的混沌分形方法对此进行研究。他们得出结论：传统心 病学对于不规则的心博做出了错误概括，无意中用表面上的分类模糊了深刻的原因。他 们的研究成果对传统的医学原理提出了挑战，这涉及到在生理学、生物学和医学领域中 人们的思想观点是否需要发生重大变革的重要问题。 现在，混沌和分形等非线性动力学理论在神经系统中，对于研究神经细胞膜的离子 通道特性、神经兴奋模式、神经系统信息编码方式、神经细胞相互连接和相互作用等基 本生理特征，和诊断某些神经系统功能失调、缺损等疾病，都有非常重要的应用。最近 研究表明，人脑的神经网络是一个混沌系统，它对信息的处理过程是一种混沌现象，人 的脑神经之所以能够进行复杂的信息处理，其原因正在与此。s o o n g 等人研究了人脑的 0 【节律，初步结果表明a 节律的噪声性比人们通常想象的要小得多，a 节律是由确定性动 力系统决定的混沌运动 1 4 1 。g a l l e z 等人的研究也得出类似的结论。他们对几种生理和病 理情况进行了研究，计算了各种情况下的有关数据。最后他们指出，大脑似乎是信息处 理能力较差的绝对确定性系统和对于智力活动没有用处的完全随机系统之问的一个折 衷，清醒时大脑的混沌程度较高，处理信息更快，并能做出更多的响应。b a b l o y a n t z 分 析了癫痫病人的脑电图，发现癫痫病人在癫痫病发作期问脑电图有周期性特征，如果用 接近于无规则的脑电波的声波刺激病人的大脑，病人的脑电图会恢复健康的混沌状态。 混沌和分形理论也可以用于模拟或仿真许多生物医学工程领域中的自相似结构，如 循环系统的血管一毛细血管网以及呼吸系统的气管一支气管网的形成。由此可以解释许 多用以前的简单模型无法解释的现象。另外混沌理论还被应用于呼吸机能障碍( 如陈、 施二氏呼吸和婴儿呼吸暂停) 的研究，及红细胞和白细胞浓度控制的反馈机制的研究。 一3 一 1 r 线性动力学理论在生物医学中的席川 利用混沌理论还可对生物医学工程中一些复杂的现象进行短期预测。美国纽约市麻疹病 的发病率一直被教科书引为随机变化的例子。1 9 8 5 年美国亚利桑那大学的s c h a f f e r 和 k o t 对纽约市的麻疹发病率数据进行了研究，并指出发病率的变化不是随机涨落，而是 按一定规律变化的混沌现象。他们还给出了描述这一混沌现象的数学方程。在对参数和 初值作适当选择后，方程给出的流行病规律与历史纪录惊人地一致。s c h a f f e r 等研究人 员认为，由此可以对流行病的发作规律进行短期预测，进而他们又研究了何时接种疫苗 有助于抑制传染病流行，这对政府制定公用健康政策有极为重要的意义。此外，科学家 的研究还表明，生物反馈系统、细胞代谢、人的眼球、雪小板生成系统及免疫系统中都 存在混沌现象。当人衰老时，这些系统、器官的混沌程度降低，呈简单的规则变化。 开展生理系统的非线性动力学研究，意义是深远的，它不仅可为物理学和数学的非 线性理论提供实验依据，丰富理论内容，还可借助非线性理论的指导，进一步认识各种 复杂生理过程的本质和内在联系，更好地洞察人体的节律，无论是健康的或是病态的， 都将有助于更好地诊断和预测疾病，并且可以根据所掌握的影响人体动力学行为的知识 去改进医疗措施。将非线性理论引入生物学去探索生物进化的规律，又有助于清除人们 思想中长期占统治地位的旧思维模式的影响，使人们清晰地认识到世界的非线性本质， 为生物学家探索生物进化的规律提供了一种先进而又具有现实意义的方法。 目前混沌和分形等非线性动力学理论在生物医学中的应用被认为是生物医学工程 中最具有生命力并具有广阔应用前景的领域之一。因此，人们正在逐步完善混沌和分形 等非线性动力学理论，并加强与其它学科如生物、物理、数学、计算机科学的交叉研究， 其应用也将日益广泛。 1 3 非线性理论的主要研究方法 为了研究混沌运动，我们可以采用直接观察状态变量随时间的变化这种直观的方法 和在相空间( 或相平面) 观察其轨迹。但是很明显，当混沌运动是很复杂的，有时直接观 察状态随时问变化即使时间极长，也不一定能看出一点头绪。即如果不对它作进一步加 工分析，是不易了解混沌运动的性质和有关频谱成分等方面的信息，从而难于区分混沌 和其它形式的运动。直接观察相空间或相平面中的轨线固然不失为一有效方法，但是运 动复杂时，轨线可能是混乱一片，甚至很可能充满某一区域而看不出什么规律。由于以 上两方面的局限性，为了研究混沌运动，还必须有其他有效方法。 1 3 1 庞卡莱截面法 有时候，一个复杂的多变量( 而，矗) 连续动力学系统的轨道很难直接进行分析与 研究，法国数学家庞卡莱为我们提供了一种有效的研究方法，即庞卡莱截面方法。它可 人连理1 ：大学硕十学伊论文 以将一个复杂问题进行简化处理。在多维相空间( 五，毫，矗，矗) 中适当( 要有利于观察系 统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线面。) 选取一个截面， 这个截面可以是平面，也可以是曲面。然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一系 列交点的变化规律。这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞卡莱截面上的截 点，由它们可得到关于运动特征的信息。不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有 不同的分布特征。周期运动在此截面上留下有限个离散的点。准周期运动在截面上留下 一条闭合曲线。对于混沌运动，其庞卡莱截面上是沿一条线段或一曲线弧分布的点集， 而且具有自相似的分形结构。 1 3 2 相空间重构 实际问题中，我们往往可以得到一个等时间问隔的单变量的时间序列。传统的做法 是直接从这个序列去形式地分析它的时间演变，这有很大的局限性。因为时间序列是许 多物理因子相互作用的综合反映，它蕴藏着参与运动的全部变量的痕迹。而且，形式上 看，序列似乎是随机的，但实际可能包含混沌运动的信息。而混沌运动至少在三维自治 动力系统中才能出现。因此，我们要把时间序列扩展到三维或更高维的相空间中去，才 能把时间序列的混沌信息充分地显露出来，这就是时间序列的重建相空间。 为了构造相空间，需要同步测出一切自变量的时间序列，但也可采用p a c k a r d 等于 1 9 8 0 年提出的由一维可观察量重构一个“等价的”相空间，来重现系统的动态特性l l5 1 。 t a k e n s 则从数学上为其奠定了可靠的基础【1 6 】。他的基本观点是：相空间重构法虽然是用 一个变量在不同时刻的值构成相空间，但动力系统的一个变量的变化自然跟此变量与系 统的其他变量的相互作用有关，即此变量随时间的变化隐含着整个系统的动力学规律。 因此，重构的相空间的轨线也反映系统状态的演化规律。其原理如下： 由系统某一可观测量的时问序列 i i = 1 ，2 ，n 重构坍维相空间，得到一组相空间 矢量 墨= ，+ ，+ ( 。一岍 i = l ，2 ，m z r ” ( 1 1 ) f 是时问延迟；m 2 d + l ，d 为系统自变量个数；肘小于，并与有相同的数 量级。 相空间重构是相图分析、分维和李雅普诺夫指数计算的关键。 1 3 3c c 方法 为了从给定的时问序列中把蕴藏的信息充分地显露出来，以便恢复吸引子的特性， 前线性动力学理论在生物医学中的麻用 通常是采用时间延迟技术重构相空间。但要构造一个非线性时间序列的嵌入，我们必须 选择时间延迟乃。 1 9 8 6 年，b r o o m h e a d 和k i n g 在实际计算中首先提出了先选定伽一1 ) r 值，在增加m 的同时减小f 的值( 保持( 脚一1 ) r 为常数) ，来选取最佳的m 和f 值的方法。1 9 9 6 年， k u g i u m t z i s 提出时间延迟乃的选取不应该独立于嵌入维数m ，而应该依赖于延迟时间窗 口o = 沏一1 ) r ，并且根据实验得到o - - t p ，这里l 是平均轨道周期，可通过时间序列 的波动估计出来。1 9 9 9 年，k i m ，e y k h o l t 和s a l a s 提出c c 方法【1 7 】，该方法应用关联 积分能够同时估计出乃和o 。时间延迟乃确保t 各成分相互依赖，但不依赖于m ；而 时间窗口。依赖于坍，且f 随坍而变化。o 是数据依赖的最大时间，因此自相关函数 和互信息方法不能估计o 。评价重构吸引子的质量是其几何上的重复性和不相关性，重 构吸引予应该具有较低的重复性和较强的相关性。o 相比乃而言，理应是一种估计维数 的更好的量。 规定：f ，指时间序列的采样间隔；白= t t ，指时间序列的延迟；f ，= ( m - 1 ) t d 指 延迟时间窗口，f ，是平均轨道周期( o f ，) ，f ( f = f ) 为时间延迟，m 是嵌入维数，是 数组的大小，m = n 一( m 1 ) r ，z ( f = l ，2 ，m ) 是如下重构相空间中的点 z = 瓴+ + r ，t m - 1 ) ，) ，墨r ”， 则嵌入时间序列的关联积分定义为以下的函数 c ( m ，r ，r ) 。丽与互吲p 0 ( 1 。2 ) 其中九= 0 z 一一l ，口( x ) = 1 0 1 ，, x x 5 0 0 ，渐近分布可以通 过有限序列很好的近似，并且s ( m ，n ，1 ) 能代表序列的相关性，这里的盯指时间序列的 均方差或标准差，并且当m = 2 时效果最好，般如果仅仅判别序列是否为混沌时间序 列，取n = 5 0 0 ，甚至1 0 0 就够了；但在重构时间序列是一般取n = 3 0 0 0 为比较好，因 为用s ( m ，n ，1 ) 研究时间序列的非线性独立性，增大是没有必要的。 据上面的统计结论，取m = 2 ，3 ，4 ，5 ，= 要，f = l ，2 ，3 ，4 。计算 酗= 去s ( ，r ) ， ( 1 8 ) u m = 2j = l a g ( t ) = 壶岱( 州) ， ( 1 9 ) r m - 2 ， j 殳帮( f ) = 可o ) + i s ( f ) j ， ( 1 1 0 ) 在上面三个式子中，我们寻找g ( t ) 的第一个零点，a g ( t ) 的第一个极小值去发现 时间序列独立的第一个局部最大值。时间延迟乃= 吃，对应着第一个局部最大时间f 。 同时，我们寻找( f ) 的最小值去发现时间序列独立的第一个整体最大值时间窗口 o = t r c c 方法的特点是：容易操作；计算量小；对小数据组可靠；效果和互信息法一致； 具有较强的抗噪声能力( 3 0 以下) 。尽管c c 方法是利用统计结果得到的，没有雄厚的 理论基础，但它仍在实际计算中工作得很好，表现出它独特的优点。 1 3 4 功率谱分析法 研究复杂非线性系统的运动常用到功率谱，它是由相空日j 中坐标的f o u r i e r 变换求 得的。 ( 1 ) w e l c h 法 这是由w e l c h 所提出的平均周期图方法来计算标量信号的自功率谱估值【1 8 1 。该方法 要点如下： 设序列x ( 力( n = 0 , 1 ，n - 1 ) 的功率谱为殳( 纠，把工( 功序列分成长度为三的x 今 重迭段，就可求得修正的周期图谱估计。在实现过程中，诸序列段重叠三2 个样点，诸 序列段的总数目为k = 【( ，一l 2 ) ( l 2 ) 】。第，段的数值定义为 人连理i ：人学硕十学位论文 ( 研) = x ( i l 2 + m ) w d ( m ) ( m = 0 , 1 ，l - l ；i = 0 , 1 ，k - 1 ) ，( 1 1 1 ) 其中w a ( m ) 为工个点的数据窗函数( 如：矩形窗函数，汉明窗函数等) 。经窗处理后 序列段葺( 肌) 的m 点( 肘工) 离散付罩叶变换： 置( t ) ：篁( 肌e - 鲁“( t ：o ，1 ，m 一1 ；汪0 1 ，x 一1 ) 。 ( 1 1 2 ) 式( 1 1 2 ) 是用f f t 算法计算的( 如果三 0 时，一般认为该观测系统具有混沌特性。自1 9 8 5 年w o l f 提出根据观 测序列计算l y a p u n o v 指数的方法以来，至今在这方面比较成熟的算法还有j a e o b i a n 方 法、p 范数方法和r o s e n s t e i n 等提出的小数据量法1 2 3 1 。小数据量法相对于其他方法更具 有对相空问的嵌入维数、重建延时、观测噪声等鲁棒性。 将构造的相空间记为x = 【五，砭，“】t ，相点= 【_ _ i 卅。x j - ( m - 2 ) j ，】 ( j = l ，2 ，) ，这里为相点总数，m 为相空间的嵌入维数，为重建延时。一般情 况， ，= k a t ，k 为正整数， f 为采样间隔。对于v x 。x ，记 嘭( o ) = 聪0 一一五0 = 9 一一0 ，且i _ ，一爿 p ，p 为时间轨道平均周期。若勤o ，x 和 + ，x ，记t ( f ) = 0 一+ ，一t + ，则前进距离嘭( 力有如下近似关系式 d ，( 力* d j ( o ) e 却。， ( 1 2 8 ) 这里，为观测序列的采样间隔或步长：i 为相点沿时间轨道的滑动步长序数。对式 ( l 2 8 ) 两边取自然对数，可得 i n d ，( 0 l n d j ( o ) + i a t 。 ( 1 2 9 ) 当嘭( f ) = 0 一+ ，一一+ ，h 表示向量2 范数) 时，即得到r o s e n s t e i n 等计算 的经验公 式。考虑到局部计算的影响，其最后的经验公式为 1 r 线性动力学理论在生物医学中的应刚 古 古 + f ， ( 1 3 0 ) 这里 是求平均。 1 4 生物医学信息的复杂非线性研究方法 1 4 1 代理数据 在现实生活中，广泛地存在着各种各样的时序问题，这些时序的形态往往呈现出复 杂性和多样性。目前，人们对时序问题一般采用两种不同的方法处理：一种是以概率统 计学为基础，用随机过程理论建立其线性模型。这种方法已比较成熟和完善，另一种是 采用非线性动力学的方法对时序进行研究，它又可分为对低自由度的混沌动力系统和高 自由度的斑图混沌动力系统的研究1 2 4 】。对于反映低自由度混沌的时序问题已开展了十几 年研究，取得了不少结果【2 副。观察时序如果是随机序列，就应采用统计学的方法加以研 究。如果序列是低自由度的确定性混沌，则系统必是存在非线性机制的耗散系统，在这 种情况下不论多么高阶次的线性模型都不可能对该非线性系统的行为作出恰当的解释； 相反，一个成功的低阶非线性模型或许能很好地刻画该动力学系统在检验时间序列是否 具有混沌动力学特性时，通常有两类方法：一类是直接识别时间序列数据中的混沌动力 学特性，一类是通过检验数据中的非线性成分，间接的判断其混沌动力学特性。在直接 方法中，已有很多原理上有效的方法。如计算关联维数，l y a p u n o v 指数和复杂度等， 并已得到很多成功的应用，但这方法的可靠性依赖于尽可能长的数据量，且易受测量噪 声的干扰f 2 6 1 。因此，对于有噪声的短数据，这方法常会出现虚假的判断结果。尤其是对 于低维混沌信号数据的校验。为了避免这局限性，1 9 9 2 年，t h e i l e r 等人提出了以替代 数据( s u r r o g a t ed a t a ) 作为检验时间序列中非线性成分的方法，即间接方法1 2 。”。该方法的 基本思想是首先指定某种随机过程为零假设，并依据该假设产生相应的一组替代数据， 然后分别计算比较原始数据和替代数据集的检验统计量，如果原始数据所算得值与替代 数掘集的值有显著差异，则拒绝该零假设，即该假设不成立，说明原始数据中存在确定 性的非线性成分。显然，间接方法比直接方法要容易得多。替代数据方法是目前检验时 间序列非线性因素的重要经验方法，尽管只采用该方法还不能确定引起时间序列非线性 的内在机制，但是当它与某些专门的算法比如混沌时间序列分析方法相结合使用时，就 可以使两者的潜在能力得以充分发挥，为检验时间序列非线性的产生机理提供客观依 据，因而替代数掘方法自提出以后就在有关混沌时间序列的研究中得到迅速而广泛的应 用和发展【2 3 1 。 犬迁理f ：大学硕十学付论文 1 4 2 非线性正交预测 相随机化方法可将时间序列信号转化为代理数据集去分析，它是目前信号分析所采 用的普遍手段之一1 2 7 1 。但对于含有强周期分量及大功率的数据，该方法可能产生空现象 问题p 4 1 ；且对于一些经典混沌系统，其分析效果也不好1 3 5 , 3 6 ) 。为此，人们提出了一些新 的方法【3 7 1 ，其中s t a m m l 等提出了n l c p ( n o n l i n e a rc r o s s p r e d i c t i o n ) 方法。根据e e g 的 时间序列a ：k i 珂= 1 ，2 ，n ) ，按照乃= 2 ( 2 ( 一) 和只= h - f + 1 构造时间序列b 和c ， 这里( 置 为序列a 的数学期望。采用p a c k a r d 等人提出i 翊，并由t a k e r s 为之奠定了可靠 的数学基础的相空间重构技术i ”】，由时间序列a 、b 和c 分别构造各自的相空间。以序 列a 为例得到一组相空间矢量 z = 薯，一+ ，+ f + l l f ，f = 1 , 2 ，m ，z 矗”。( 1 3 1 ) f 是时间延迟；小2 占+ 1 ，d 为系统自变量个数；m 小于，并与有相同的数 量级。由下式 k = 一m + l 鼻。) = 五。) ， ( 1 3 2 ) k f f i l 对给定一点z ，预测z + l z + ：和五+ ，这里层。，即为给定点置的万步预测值。式 ( 1 3 2 ) 中为第k 个邻近点的权值，它由 呒= 措， ( 1 3 3 ) 来计算。式( 1 3 3 ) 中n n , ，为向量置在相空间中m + 1 个邻近点中的第k 个向量，为此向 量在原序列中的序号。再求出序列a 、b 和c 所产生的预测序列和其真实序列之问的相 关系数。定义p r e d 为原始数据产生的预测序列和其本身的相关系数，a r e a 和册分别为 序列b 、c 的相关系数与a 的差异。这里z 中的样本点数越多，更确切的说x ，中的样 本点在总样本集中占的比例越大，预测越准确。但不管序列a 为何形态，若序列a 围 绕其数学期望 0 ，时间不可逆将导致t i r 0 。 幅度的不对称分布和时问不可逆都反映出序列可能出现非线性特征。 计线性动力学理论在生物医学中的席h j 1 4 3c t m 算法及信号的确定性计算 c t m 算法是一种定量表示轨线切向量二阶差分( s e c o n d o r d e rd i f f e r e n c ep l o t ，s o d p ) 性质的方法，它可有效地用于非线性时间序列的确定性计算，该算法具有实时性、稳定 性和抗噪性【3 9 1 。重构相空间轨线的切向量为 】，( r ) = x ( t + 1 ) 一“f ) 。 切向量之间的夹角可用其余弦值 一( r ) = y ( t + 1 ) j ，( f ) 丽可丽研。 ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 式( 1 3 5 ) 和夹角本身相比余弦值具有更好的抑制噪声特性。信号的s o d p 描述了切 向量夹角一0 + 2 ) 一一( 打+ 1 ) 对爿伽+ 1 ) 一a ( n ) 的变化率，其c t m 值为 1 n - 2r 一 c t m = j i 三【4 + ：一4 ，+ 。】2 + 【4 。一4 】2 。 ( 1 3 6 ) _ a = l c 1 m 的大小表征了吸引子轨线的光滑程度：c 1 m 越小，切向量角度变化越小，轨 线越平坦；反之，则轨线波动越大。信号的确定性s 可由e e g 序列数据与替代数据f 4 0 1 的c t m 比值来度量。s 越大，e e g 信号的随机性越强。研究表明：确定性信号的s 0 7 ；对于部分确定性信号o 3 s 0 7 。 1 4 4 近似熵 1 9 9 1 年，p i n c u s 提出了一种度量时日j 序列的复杂性和统计量化的规则近似熵 1 4 h 。近似熵能够衡量时间序列中产生新模式的概率大小；产生新模式的概率越大，序列 就越复杂。由于只要较少的数据就可以计算出近似熵的稳定估值，因此近似熵非常适用 于表征非平稳的思维e e g 信号的分类。如大部分脑电图机的采样率在1 0 0 1 0 0 0 h z 之间， 而计算近似熵需要1 0 0 1 0 0 0 数据点，故用于分类的e e g 数据长度可取o 5 1 s 。虽然采 集e e g 信号时存在着伪迹干扰和工频干扰，但由于所用e e g 数据很短，因此近似熵有 较强的抗噪及抗干扰能力。目前，e e g 是源于混沌系统抑或无序的线性随机系统仍有争 议1 4 2 。而近似熵对确定性和随机信号均适用，这进一步说明近似熵有较好的实用性。 近似熵的具体算法描述如下：设原始数掘为x 0 ) ，x ( 2 ) ，工( ) 。 按序号顺序组成一组m 维矢量： y ( f ) = 【工( j ) ，x ( f + 1 ) ，工( f + i l r l - 1 ) 】( i = 1 ，2 ，n l n + 1 ) ，( 1 3 7 ) 人迓理f ：人学硕士学伸论文 定义j ( d 与x ( j ) 的距离为 d x ( 0 ，x ( 朋2 m m a 。xl x ( i + k ) 一x ( _ ，+ 枷。 ( 1 3 8 ) 并对每一个f 值计算x ( i ) 与其余矢量x ( j ) u = 1 ，2 ，n m + l ；j o 问的距离 川x ( f ) ，x ( 力】。 给定阈值r ，对每一个f 值统计d x ( 0 ，x ( 纠小于，的数目及此数目与距离总数 n m 的比值 c ，”( ，) = 【d 【x ( 力，x ( ，) 】 ，韵数目) ( f = l ，2 ，n - m + 1 ) 。 ( 1 3 9 ) 一m 先将e ”( r ) 取对数，再求其对所有f 的平均值 m ) 2 瓦1 磊善1 1 1 掣( ，) ，( 1 4 0 ) 再把维数加1 ，变成m + l ，重复步骤( 1 卜( 4 ) ，计算g ”( ，) 和妒”( ，) 。 近似熵的理论值为 a p e n ( m ，r ) = l i m r ”( r ) - g k ”( r ) 】 ( 1 4 1 ) 一般而言，上述极限值以概率l 存在。实际计算时不可能为。当为有限值 时，按上述步骤得出的是序列长度为时a p e n 的估计值，记作 a p e r t ( m ，) = 矿”( ，) 一妒”( ，) 。a p e n 的值显然与m 和，的取值有关。p i n e u s 根据实践， 建议取埘= 2 ，r = o 1 0 2 5 s d , ( s d , 是原始数据工( f ) o = 1 ，2 ，n ) 的标准差( s t a n d a r d d e v i a t i o n ，s d ) ) 。 1 4 5 信息传输矩阵i t m x u 等人根据互信息论( t h em u t u a li n f o r m a t i o nt h e o r y ) 提出每一个电极的e e g 序列都 可以重建一个m 维的相空间。在第i - i 电极处，取一段从，开始、时间窗长( t i m e w i n d o w ) 为1 0 2 4 m s 的脑电数据【( ，) ，薯( f + 1 ) ，耳( f + 2 ) ，x , ( t + 1 0 2 3 ) 】。 掘此可以计算向量k ( f ) ，( f + 1 ) ，t ( f + 2 ) 】及其落在相空日j 三维子空间中的概率，并 且可以计算其熵( e n t r o p y ) 川一( ，) 】、研x + t f ) 】( 电极_ ，的，+ k r 的熵) 以及联合熵 打【z ( f ) ，x j ( ，+ 女r ) 】，其中f 为l m s 。因此从第i 个电极到第_ ，个电极之日j 的延迟为k r 的 信息传输可以由式( 1 4 2 ) 决定： 1 r 线性动力学理论在生物医学中的应_ j 刀j ( ，+ 七r ) = h i 一( f + t r ) 】一h i z ( ，+ 七f ) 】。 ( 1 4 2 ) 确定t ，且k 的取值范围是0 到5 1 1 ，得到信息传输的时间序列。用复杂度计算这个 时问序列，得到从第f 个电极到第，个电极在区甘j 【，t + 5 1 1 】之间的信息传输活动程度 的特征指标。 由此可以构建一个由 ”= 啦2 】个值的矩阵，其第f 行、第，列的值为c j j ( f ) 。x u 称 该矩阵为信息传输矩阵。信息传输矩阵是一种直观表示不同脑皮层之间信息传递量的指 标：第i 行表示从第f 个电极向其他电极位置的信息传递量( 包括第i 个电极本身) ，第_ ，列 表示在第，个电极处接收到的信息量。以为步长，逐渐增加t 的值，重复上面的步骤， 就可以得到一系列信息传输矩阵，以此表征大脑信息传输复杂度的动力学过程。 1 4 ，6 混沌神经网络 混沌神经网络是近年来发展起来的一门新的科学，人工神经网络是为了研究人类的 认知过程而发展起来的，它的中心问题是认知与模拟。由于人类对真实神经系统只了解 非常有限一部分，人工神经网络的完善与发展有待于神经生理学、神经解剖学的研究给 出更加详细的信息和证据。近来人们发现了脑中存在着混沌现象，混沌理论可用来理解 脑中某些不规则的活动，从而，混沌动力学为人们研究神经网络提供了新的契机，对于 混沌神经网络的研究成为摆在人们面前的又一新课题。由于具有混沌特性的人工神经网 络具有十分复杂的动力学特性，获得了广泛的研究，不同于仅具有梯度下降特性的常规 神经网络，具有混沌特性的神经网络具有更加丰富的和远平衡点的动力学特性同时存在 各种吸引子。混沌神经网络的这种复杂的动力学特性是一种能在信息处理和优化计算等 方面有广泛应用i j i 景的技术。 1 4 7 生物信息分类 现在已经证明生物的生理信号中存在混沌现象，如心电信号、脑电信号，而求得的 非线性量化参数与其的演化程度有很大的关系。作者以混沌和分形等非线性动力学理论 为基础，对生物生