（核技术及应用专业论文）高能强流带电粒子束在介质中的传输研究.pdf

国防科技大学研究生院学位论文 摘要 为了解决高能强流带电粒子柬在稀薄介质中传输的问题，可采用等离子体通道的办 法，即在稀薄介质中用激光打出等离子体通道，让带电粒子柬从等离子体通道中通过，通 过等离子体的电荷与电流中和效应来减小甚至抵消带电粒子束的自发电磁场。本文首先通 过分析带电粒子的受力情况以及椭圆相图函数两种方法求出带电粒子束传输过程中外轮 廓线的变化情况即包络方程，然后用数值计算的方法，对等离子体的电荷与电流中和效应 的各种情况进行直观地说明，从而得出发射度、电荷中和因子、电流中和因子、电流强度 等因素对束流传输的影响的重要结论。本文考虑的是均匀束、线性系统，采用傍轴近似， 使问题得到简化，同时在吸收他人成果的基础上，力争在推导和描述方法上有所革新，更 加简单明了，更加突出各物理量的意义，使它们在传输问题中的作用表现得更加清晰。进 行较多的数值计算，同时与文献进行比较。 为了说明背景粒子对束流的散射问题，本文采用f o k k e r - p l a n c k 方程、维里方程等处 理碰撞系统的有效手段进行处理。首先从单粒子的相对论动力学方程出发，采用傍轴近似， 得到粒子横向运动方程。截取粒子束的一个切片，对输运方程的碰撞项进行近似，就使得 输运方程变为f o k k e r p l a n e k 方程。之后以f o k k e r - p l a n c k 方程为基础，推导出f o k k e r - p l a n c k 方程的三个矩方程，分别为：质量流方程、动量密度方程、能量密度方程。由这三个方程 推导出维里方程、能量方程，再对柬流的空间分布进行假设，推导出粒子束的包络方程， 根据此方程定性、定量的说明各种因素对粒子束半径的影响。物理方程的推导过程中在吸 收他人成果的基础上体现自己的一些思想，力争使问题简洁易懂。最后用数值计算的方法， 合理的运用一些简化和技巧，对各种讨论的情况进行直观地说明，同时与文献进行比较。 本文对均匀束传输过程中的各种情况部进行了不同程度的探讨，力争对高能强流带电 粒子束在等离子体通道中传输的问题有一个全面地阐述。 关键诃：带电粒子束、等离子体、包络方程、f o k k e r - p l a n e k 方程、维里方程 第 1 页 星堕翌茎尘兰丝塞兰譬耋堡篓三 a b s t r a c t i no r d e rt op r o p a g a t et h ec h a r g e dp a r t i c l eb e a ms m o o t h l yt h r o u g hs u b t l em e d i u mw i t h o u t d i f f u s i n gt o om u c h , w e l e ti tp r o p a g a t et h r o u g ha np l a s m ac h a n n e lm a d eb yp o w e r f u ll a s e rb e a m i nt h em e d i u m 。w eh o p et h ee l e c t r i cm a g n e t i cf i e l do ft h ep l a s m ac h a n n e lc o u l dn e u t r a l i z et h e e l e c t r i cm a g n e t i cf i e l do ft h ec h a r g e dp a r t i c l eb e a ms oa st oh a r n e s st h ec h a r g e dp a r t i c l eb e a m d u r i n gt h ep r o p a g a t i o n w em a i n l ys t u d yt h ec h a r g e dp a r t i c l eb e a m sw i t hl i n e a rd i s t r i b u t i o n s b yr e s e a r c h i n gt h e f o r c e st h ed a r t i c l e su n d e r t a k e ，w es h a l lh a v et h ee q u a t i o no ft h ei n c l u d i n gl i n eo ft h ep a r t i c l e b e a m t h e nw ec a nc a l c u l a t ei to nt h ec o m p u t e ra n dt e l le x a c d yh o w t h ew h o l et h i n g sw o r k w e t h e nc a no p t i m i z et h ee f f e c to ft h ep l a s m ac h a n n e l af o k k e r - p l a n c ke q u a t i o ni sd e r i v e dt os t u d yt h ee v o l u t i o no fas t a b l ee l e c t r o nb e a m p r o p a g a t i n gi n ag a s p l a s m am e d i u m s m a l l a n g l es c a t t e r i n go ft h eb e a mp a r t i c l e sb yt h e m e d i u mc a u s e sd i f f u s i o ni nt h ep h a s es p a c ep r o j e c t e dt r a n s v e p s et ot h ed i r e c t i o no fp r o p a g a t i o n t h e p r o j e c t e dc o m p o n e n t so fd y n a m i c a lf r i c t i o nv a n i s h a s ar e s u l t ，t h e r ei sac o n t i n u e di n p u to f e n e r g yi n t ot h e t r a n s v e r s ep a r t i c l em o t i o n s , w h i c hi st a k e nu pi ne x p a n s i o na g a i n s tt h ep i n c h f i e l d w eu s et h ev i r i a le q u a t i o na n dt h ef o k k e r - p l a n c ke q u a t i o nt os t u d yt h i sp h e n o m e n o n ，a n d w i t ht h ec o m p u t e rs i m u l a t et h ep r o c e d u r e k e yw o r d s ：e l e c t r o nb e a m 、p l a s m ac h a n n e l 、，e q u a t i o no f t h ei n c l u d i n gl i n e 、f o k k e r - p l a n c k e q u a t i o n 、v i r i a le q u a t i o n 图目录 图3 - 1 束流示意图1 2 图3 2 ( x ，并 二维相平面的束流相椭圆1 5 图3 - 3 柬流在漂移空间的发散2 0 图3 - 4 发射度对电子束扩散的影响2 1 图3 - 5 在不考虑中和效应时发射度对束流发散的影响2 3 图3 6 ；0 0 0 0 1 时中和因子对束流发散的影响2 4 图3 7 = o 0 0 0 5 时中和因子对束流发散的影响2 4 圈3 - 8 = o 0 0 1 0 时中和因子对柬流发散的影响2 5 图3 - 9s 。o 0 0 1 0 时中和因子对束流发散的影响加长计算2 6 图3 1 0 粒子束的箍缩2 8 图3 1 1 电流中和的影响2 9 图4 - 1 氮气中，z = 7 ，压强5 k p a ，考虑散射的电子束半径随传输距离变化的曲线3 9 图4 2 氩气中，z = 1 8 ，压强5 k p a ，考虑散射的电子柬半径随传输距离变化的曲线4 0 图4 3 氩气中，z = 1 8 ，压强5 k p a ，考虑散射的电子束半径随传输距离变化的曲线4 0 图4 - 4 在氮气中传输2 0 0 c m ，电子束半径与压强的关系曲线4 l 图4 - 5 在氩气中传输2 0 0 c m ，电子束半径与压强的关系曲线4 2 第1 l i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特剐加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：矗盟堡速堂塾趋i 塞在企魔生煎谴箍班容 学位论文作者签名：蚺l 一 日期：，弘年j 乙月j 。日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇鳊学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：直堂堂遗堂皇趋塞壅企厦生数後箍叠宝 学位论文作者签名：翻垃 作者指导教师签名：盔垒剑 日期：h 0 9 年，z 月，口日 日期：椰年，2 月，d 日 国防科技大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 研究对象及意义 带电粒子束在现代科学技术中的应用比较广泛，涉及到科学仪器、工业设备、家电设 备、农业、医学等很多方面。粒子柬为我们认识世界做出了很大贡献，不仅可以用粒子束 来研究核的结构，还可以研究材料的化学变化和结构变化；用电子束产生x 射线可以进 行照相、治癌和杀菌；在洁净的环境中，用电子束可以进行金属焊接和真空熔炼；电子束 在显像管和示波管方面也有重要的应用，而显像管和示波管又广泛应用于日常仪器和研究 工作；用粒子束来打靶可以产生中子、电子等其它粒子，再利用产生的粒子进行各方面的 研究。由于粒子束射在物体上时，具有贯穿目标能力强、杀伤破坏机制多等特点，所 以它在军事领域也有着广泛的应用前景。 带电粒子束在大气中传输时，由于大气粒子对粒子束粒子的散射和束自生排斥力等作 用，粒子束的能量会衰减，柬半径会扩展，所以它的远距离传输是一大问题。带电粒子束 的传输是一个极为复杂的过程，涉及到的因素很多，包括：粒子束的类型、粒子束能量、 束流大小、出口半径、初始散角、初始束流分布、背景粒子的散射，传输距离，地磁场等 等。 本论文主要研究的是带电粒子束在稀薄气体中的传输。 1 1 1 国外研究现状 1 2 研究背景 5 0 年代初，随着高能加速器理论和技术的发展需要，j r p i e r c e 和d l j u d d 等 人首先提出，如果将经典力学的研究成果和方法引入加速器设计中，解决大量带电粒子运 动所遇到的问题将是非常有利的。1 9 5 8 年，e d c o u r a n t 和h s s n y d e r 在设计交变 梯度同步加速器以及1 9 6 0 年，j f s t r e i b 在设计磁谱仪中，已经开始探索新的物理概 第 1 页 国舫科技大学研究生院学位论文 念和数学处理方法，建立了一阶传输矩阵变换，并讨论了粒子运动稳定性问题，这在创建 束流传输这门学科方面是一个飞跃m 9 1 。1 9 6 1 年，j j l i v i n g o o d 很好的描述了发射度与 接受度之间的匹配问题。接着，有关束流传输理论方面的论著相继发表，所以6 0 年代已 经奠定了这门新学科的基础，而且成功的应用到各类电子束粒子束装置的设计中去了。同 时，束流传输的计算机辅助设计工作亦开始发展了，美国斯坦福直线加速器中心， k l b r o w n 等人建立了一阶和二阶传输矩阵理论。j d 劳逊【”】、b e 戈兰特m 1 等人有过 详细地阐述，e d w a r dp l e e f ”、r k c o o p e d ”1 等都发表过重要的文献。 将粒子束作为实际的防御武器研究是基于苏联6 0 年代的研究成果。目前，国外在粒 子束武器方丽的研究，还处于实验室阶段。1 9 8 9 年7 月美国曾利用“自羊座”( a r i e s ) 火 箭进行了第一次中性粒子束装置试验，并首次建立了这类中性粒子束的空间物理数据库。 8 0 年代末至9 0 年代初，美国国防部支持发展三种粒子束技术：用于宇宙空间的中性粒子 柬，用于外大气层的激光引导带电粒子束，用于地面和近地大气层的带电粒子束。1 9 9 2 财年停止了地面和近地大气层的带电粒子束，1 9 9 4 财年又停止了中性粒子束计划，并且 把大气层中的带电粒子束研究转到探索破坏机理方面。虽然美国在发展粒子束武器技术方 面，作为工程项目的研究步伐有所放慢，但相关的研究和一些关键技术( 如加速器技术、 粒子束传输、粒子束破坏机理等) 的发展却一直没有停止，已试验演示了沿着由激光开辟 的通道传输带电粒子束的可行性。 1 1 2 国内研究现状 近年来，我国从事束流传输研究的专家们在这一领域中也作出了卓越的贡献，出版了 束流传输方面的著作，发表了大量论文、译文，编写与移植了束流传输计算机程序 2 0 - 2 1 5 , 2 8 - 3 3 】。 中国加速器学会粒子动力学组开展了多次学术讨论会，汇编了论文集。我国建成的正、负 电子对撞机、分离扇回旋加速器、同步辐射装置等重大工程，标志着我国在束流传输线的 设计、制造、调试方面都达到了很高的水平。目前，一些中小规模的束流装置，如离子注 入机、双束外延机、谱仪等也都应用传输理论进行设计了。郁庆长、施将君、唐天同、刘 纯亮等人都有过详细地阐述，施将君、刘纯亮圆】等都发表过重要的文献。 我国粒子束武器方面的研究起步较晚，但随着高科技局部战争理论的研究，我国越来 越重视各种高科技武器的研制和装备。对于粒子束武器，国家已投入预研资金，全国有多 家单位正展开独立的研究，研究方向各有侧重。 国舫科技大学研究生院学位论文 1 3 本文研究的主要内容 本文主要进行稀薄大气中带电粒子束传输方面的研究。由于带电粒子束的自身电场的 排斥作用，带电粒子束在空间传输过程中会迅速发散，导致高能粒子损失，使带电粒子束 失去使用价值。为了抑制粒子束的膨胀，往往采用轴向磁场，或者采用离子通道的径向电 场来引导电予柬并使其受箍缩。我们考虑离子通道的方法，离子通道用激光产生。这种方 法是，先于带电粒子束之前，用激光使稀薄大气分子电离，形成等离子体，然后当带电粒 子柬射入时，其束头的强大电势使等离子体中的同种电荷瞬间飞散，只留下异种电荷的离 子。当这种离子是重离子时，可以把它近似为不动的本底，其产生了径向电场，这一电场 也使正在横向运动的带电粒子受到一个径向恢复力，这就使减少甚至完全消除粒子束的发 散有了可能。本文用数值计算对带电粒子束发散、等离子体中和进行研究和说明。 带电粒子束自生磁场对粒子束有箍缩作用，但是自生磁场力的箍缩作用小于自生电场 力的排斥作用。若本底电荷运动，产生等离子体电流，这对束流也有影响。本文也用数值 计算进行讨论。 对于粒子束和气体分子的碰撞，本文从单粒子的相对论动力学方程出发，采用傍轴近 似，得到粒子横向运动方程。截取粒子束的一个切片，对输运方程的碰撞项进行近似，就 使得输运方程变为f o k k e r - p l a n c k 方程。之后推导出f o k k e r - p l a n c k 方程的三个矩方程，分 别为：质量流方程、动量密度方程、能量密度方程。由这三个方程推导出维里方程、能量 方程，再对束流的空间分布进行假设，推导出粒子柬的包络方程，根据此方程定性、定量 的说明各种因素对粒子束半径的影响。以氮气和氩气为例，解维里方程和能量方程联立 的方程组，画出束流半径随传输距离变化的曲线图以及传输相同距离束流半径与压强关系 的曲线图，另外也得到了由于背景介质不同造成的对带电粒子束传输的影响。 菇 3 页 国防科技大学研究生院学位论文 第二章与研究问题相关的基本概念和基本原理 2 1 1 束流的概念 2 1 束流的概念与研究方法 束流一般是指大量带电粒子在电磁场作用下，大体上沿某一特定方向运动时，所形成 的带电粒子流1 3 2 i ，组成束流的带电粒子可以是电子，也可以是离子( 正离子或负离子) ， 而且，束流中各个粒子之间或多或少的存在相互作用。当把大量的粒子作为一个整体来看 时束流的运动行为将表现为组成束流的所有粒子的集体运动行为。如果忽略各个粒予之间 的相互作用，那么，束流的整体运动行为将由组成束流的所有粒子的初始状态和外加电磁 场唯一的确定。 2 1 2 束流的研究方法 目前，研究束流整体运动的方法主要有两种。一种是数值模拟法( 亦称描迹法) 。在 这种方法中，并不去计算数目惊人的实际粒予轨迹，而是计算具有代表性的有限条粒子轨 迹，以此来近似模拟束流的整体运动状况。计算的轨迹数目愈多，精度愈高。该方法直观 性较强，但计算工作量很大，计算结果仅适用于具体所研究的传输系统，当传输系统改变 时需要重新进行模拟计算，难于反映束流特性与传输系统个参量之间的依赖关系，不便于 全面描述束流的各种传输特性。另一种是相空间描述方法。在这种方法中，主要根据粒子 在电磁场中的运动规律，通过分析束流在相空间中相图的运动和变化情况，来研究束流的 各种传输特性。该方法把束流作为一个整体来进行研究，能够给出束流特性与传输系统个 参量之间的明显依赖关系。 2 1 3 关于带电粒子与离子通道中的离子和空气分子碰撞的说明 离子通道是用激光束在稀薄空气中产生，是低密度离子气体，强流电子束入射后，不 考虑电子与空气分子的碰撞，只考虑电子和离子之间可能的碰撞，因为电子和离子之间是 长程的电磁力。当如远小于6 时( 如为d e b y e 半径，6 为粒子间的平均距离) ，碰撞主要 第4页 国防科技大学研究生院学位论文 是二体的，但是当远大于d 时，只考虑二体碰撞显然是不够的，一个带电粒子与距 离内的许多粒子同时发生作用，因此粒子间的相互作用实质上是包括许多粒子的集体效 应。相应的，粒子的运动应当看成是在其他粒子所形成的一个有效力场中进行。如远大 于6 的条件又可改写成石耋焉”l ，这就意味着高温低密度的条件，在稀薄空气中( 高 空) 产生的离子通道满足这一条件。因此，可以不考虑带电粒子与离子通道中的离子的碰 撞。 对于离子通道中未电离的空气分子，需要对带电粒子的平均自由程进行评估。空气分 子的线度为1 0 一米，假设带电粒子柬的电流为，：1 k a ，y 一4 ，卢= 堕4 一o 9 7 ，即动能 为1 5 3 m e v ，r 0 ) = o 0 1 m ，假如空气分子的密度与带电粒子束的密度相当，经过简 单的计算，可以得出带电粒子的平均自由程达到了1 0 0 0 。因此，在较短的传输 距离以内，可以不考虑带电粒子与离子通道中的空气分子的碰撞。 2 2 相空间、刘维定理与发射度 2 2 1 相空间与哈密顿系统 粒子在电磁场中的动力学行为，可用广义位置坐标和广义动量所组成的正则变量来描 述，而且它们的变化规律由哈密顿正则方程所支配f 3 2 一鲫。当构成束流的所有粒子之间无 相互作用时，仅需三个广义位置坐标和三个广义动量就可以描述粒子的动力学行为，这种 粒子体系为哈密顿体系。假设以三个广义位置坐标和三个广义动量作为坐标轴，且这六个 坐标轴互相垂童，这样构成的抽象空间称为六维束流相空间，用l 表示。粒子在某一时 刻( 或传输线某一横截面上) 的运动状况可由相空间中的一点来表示，这样的代表点称之 为相点，随着时间的推移( 或传输线上纵向位置坐标。的变化) ，相点在相空间中描出的 曲线称为相轨迹。哈密顿正则方程如下： 第 5 页 国防科技大学研究生院学位论文 其中_ l 为拉格朗e l 函数 2 2 2 束流相图 d h a h a h 扣酉4 面_ 4 酉啦“a p哩 丘一一i o h ，丘= 一百o h ，尊= 一警 a ha l 甜甜 h 为哈密顿函数。 ( 2 一1 ) 含有个粒子的束流的运动状况，可由相空间中与之对应的个代表点来表示。这 个相点在相空间中分布于某一区域中，该区域的图形称为柬流相图，区域的边界称为束流 相图边界，该边界所包围的体积称为束流相体积。束流可能受外加的电磁场的作用，同时 自身也产生空间电荷力。只考虑自身场时，忽略粒子之间的碰撞，由于电磁相互作用是长 程的，对束内任意一个指定的电子，同它相互作用的粒子数目是大量的，这些粒子集体激 发的空间电荷场可以等效为一个带电连续介质的电荷所激发的场，这种场与个别粒子的位 置无关，是一种保守场，因此，粒子处于哈密顿系统中，满足正则方程。根据哈密顿方程 解的唯一性，可知相空间中粒子的相轨迹彼此不想交。因此，在相空间中的每一个点只有 一条相轨迹通过。假设初始时刻，代表束流运动的状态的所有相点位于相空间中某区域 中，在以后某一时刻，由于束流运动状态的变化，所有相点沿各自的相轨迹移到了相空间 的另一区域，由于相轨迹不能相交，原来处于区域内的相点不会移到区域的边界，原来处 于区域边界上的点也不会在运动过程中移到区域内部。这样，束流相图边界的运动、变化 就代表了边界内所有的相点的集体运动行为，也代表了整个束流的运动行为。因此，采用 相空间的描述方法，对于研究由大量粒子组成的系统的运动行为，是较为有利的。 2 2 3 刘维定理概述 采用六维束流相空间描述方法，当束流在实空间传输时，代表束流运动状态的相体积 就在相空间中运动、变化，因而，可将实空间中的问题转化为相空间中的问题来研究。束 流在相空间中的运动规律，将遵守一条统计力学中的重要定理一刘维定理。该定理有下述 两种叙述方式： 1 如果组成束流的粒子体系为哈密顿体系，则相点密度，6 在运动中保持常数。 国防科技大学研究生院学位论文 2 如果组成束流的粒子体系为哈密顿体系，则它在相空间中所占的相体积q 6 在运动 中保持常数。 束流在传输过程中，虽然其相图的形状会发生各种各样的变化，但根据刘维定理，柬 流相体积将保持守恒。 2 2 4 位置一斜率束流相空间 在束流传输理论中，通常把组成束流的大量粒子的“质心”定义为参考粒子，而且， 参考粒子的运动轨迹与束轴始终重合。这样，任意粒子的运动将转化为参考粒子的运动与 任意粒子相对于参考粒子的运动的叠加。束流传输线的布局确定了参考粒子的运动轨迹， 束流内许许多多任意粒子相对于参考粒子的运动确定束流本身的形状变化。由于参考粒子 沿束轴运动，因而，前述讨论中的石、y 、只和只就描述了任意粒子相对于参考粒子的横 向运动行为。如果从粒子在实空间运动的几何轨迹来看，x 和y 代表了粒子相对于束轴的 横向偏离位置，x 譬t g a 和y t ；罕：喀卢代表了粒子的运动方向，为粒子运动轨迹的石 a za z 方向和y 方向的斜率，其中，a 和声分别表示粒子轨迹上某点的切线方向与束流之i 目的x 方向夹角和y 方向夹角，以及粒子的发散角。在线性近似下，x 一口，y 一口。采用 ( x ，xr , y ，) ，代替( x ，只，y ，只) 来描述粒子的横向运动行为，既便于研究束流的横向聚焦性 能，也便于实际测量，而且具有几何直观性，因此，在柬流传输理论中用得较为普遍。 2 2 5 束流的椭圆相图 通常，粒子在相空间中的分布是不均匀的，中间密，边缘疏，没有一个明确的边界， 但可以定出等密度线，一般公认为包含9 0 粒子数的等密度线为粒子的分布区域边界。 由于等密度线不太规则，为了便于研究，将9 0 的等密度线近似为平行四边形或椭圆形 或多边形处理，认为此图形的面积就是相面积。对于线性束流传输系统，由于粒子相空间 坐标的最终值与初始值之间满足线性变换关系，在此线性变换条件下，直线变换成直线， 椭圆仍变换成椭圆。 第 7 页 国防科技大学研究生院学位论文 2 2 6 发射度的定义 对于实际的束流相图，不管束流的实际形状如何，相面积总可以通过如下公式计算： 对于轴对称系统 束流的横向四维超相体积为 s ：2s l d 础 s ，。l l 却由 s ，= s ，= s ， ( 2 - 2 ) 为了定量描述束流的横向扩散特性，可定义一称之为“发射度”的束流品质参量如下： s ， s j = 石 s y 。2 。 j r ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 对于轴对称系统，一，= p ，。和f y 的单位为m r a d 。实际常用的单位为c m m r a d 和m m m r a d 。 式( 3 4 ) ( 3 5 ) 分母中的出现，是考虑到以后假定相图为椭圆形状时，可使发射度 与椭圆参数有一个简单的关系。 类似的，可以定义四维超发射度如下： s 。的单位是m 2 t a d 2 ，实际常用单位为咖2 m r a d z 和m m 2 m r a d 2 。 类似的，可以定义在( x ，p x ，y , p y ) 空间中的发射度8 ，t ，。它们跟位置一斜率相空 间中的发射度有如下关系： q t 。髓髓蜮p 裔艘，( 2 - 7 ) e 只。n g 。 ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) 第 8 页 里堕坠堡查兰至圣兰璧兰堡兰三 8 只一p 。s ， ( 2 z 1 ) 其中q 。是位置一一动量相空间中的四维超相体积a 由刘维尔定理，q 。是常量，所以8 ，8 只，8 耳也都是常量。当p 。为常量时，。，s ：，s ，也 为常量。当p 。有变化时，s 。，也会有变化，但p ；。，p c q ，p c g y 却是常量。 2 2 7 发射度的归一化 当系统中存在加速或减速作用时，可以证明： ( 2 - 1 2 ) ：陉。 、j k ( 2 。1 3 ) _ v 其中，k 、k 分别为传输线上z 1 、z ：处的轴上规范化电位。 这说明，对于加速系统，v ，1 ，q ( z 。) q ( z ：l s 。z 。) e yz ：) ，发射度减小；对于减速 系统，发射度增大。此时虽然，和s ，不守恒，但其改变量与规范化电位之间存在简单的 关系，即发射度之比等于规范化电位倒数比的平方。 对于横向四维超发射度，同理可得： 制e 4 i _ z 2 专| v 2 ( 2 - 1 4 ) j 以上说明，在位置一一斜率相空间中，要比较发射度的大小，必须采用归一化发射度， 否则比较是没有意义的。发射度的归一化有以下两种方法： ( 1 ) 非相对论性归一化方法 当粒子能量较低时，p 。* 、f 歹- 瓦，彬为参考粒子的能量。这时归一化发射度为： i s 。t 睚 8 ，。一p ，瓦 ( 2 1 5 ) l f “一4 睨 第9页 2 2屯勺 _ 幂 q q p p b憎 得可 此 由 玉勘羽 j j0 一b r一o 国防科技大学研究生院学位论文 ，。和s ，。的单位为小r a d g y ) 1 “。实际常用的单位为c l n m r a d ( m e v ) “2 和 m m m r a d ( m e v ) 垃。s 4 。的单位为脚2 r a d2 e v 。实际常用的单位为c m 2 m r a d 2 m e v 和 t n t n 2 m r a d2 m e v 。 ( 2 ) 相对论性归一化方法 当粒子能量较高时，要考虑相对论效应。此时p 。；m 7 。v 。一m c f l 。y 。，其中卢。一v c c ， y 。1 f 。考虑到m c 为常量，而声。y 。与和g ，的乘积为常量，故可以定义归一化 发射度如下： f = q ( 芦。r 。) e ，= g y ( 卢。y 。) ( 2 1 6 ) l s 。- 钆( 卢。y 。) 由于卢。y 。无量纲，因此s 。，e y n 和。的单位与s ，f ，和g 。的单位相同e 卢。和y 。的 值可以通过下式计算： 设粒子的静止能量为e 。一m c 2 ，粒子的动能为睨，则有： 形一e 。( y 。一1 ) ( 2 1 7 ) 由此可得 7 。1 + 睨岛 ( 2 1 8 ) 阶“2 一巫( w o 圃+ e o ) ( 2 - 9 ) 另外需要指出的是，在以上两种发射度归一化过程中，都是针对质量相同的粒子而言 的。当比较质量不同的粒子束的发射度时，还必须计入质量的影响。 2 2 8 非线性效应对发射度的影响 对于线性束流传输系统，粒子相空闻坐标的最终值与初始值之间满足线性变换关系。 在此变换下，相图的形状不变。因此，采用直线或椭圆边界的区域作为束流相图的区域， 给束流相图变换的数学处理带来了很大的方便。 当系统中存在非线性作用力时，即使刘维尔定理仍然成立，但非线性力将使相图的轮 廓线发生不规则变化。虽然束流所占的实际相面积不变，而“有效”面积却交大了，因而 “有效”发射度也增大了。大多数束流传输系统中的非线性效应都很小，若要求不高时， 第10 页 国防科技大学研究生院学位论文 可将发射度的有效增量略去不计，仅采用线性处理就够了。对于个别特殊的传输系统，尤 其是微米束系统，当对束流的品质要求很高时，就需要考虑非线性效应的影响了。在以下 讨论束流均匀分布的情况下，都假定发射度为常数。 第11 页 里堕墼垫查兰翌窑皇墼兰堡篁兰 第三章束流均匀分布无散射情况下的柬流包络线计算 3 1 均匀分布情况下的柬流包络线公式 首先，我们有几点假设： 1 束流、等离子体通道和电磁场都是柱对称的，截面为圆形： 2 采用傍轴近似，离子的横向速度远小于纵向速度，因而矿= 矿： 3 带电粒子柬界面包含在离子通道界面之内。 我们采用柱坐标，z 轴正方向取做带电粒子束行进的方向，无外加电磁场。设带电粒 子在截面中的位置矢径为j i 。根据假设，对带电粒子起作用的只有豆，和反。取沿截面半 径向外为茸的正方向，玩的实际方向为磊的正方向，如图所示 图3 - 1 束流示意图 z 则 鲁( y 小一e + 哦) ( 3 - 1 ) 注意f 是对时间的微分，我们需要把它转化为对z 的微分。 容易看出，丢- 芝崇一v 旦d z ，带入( 2 一1 ) 式， 可得 r ”+ e ( e 。r + v b o ) 。0 v y ， 在束流、等离子体通道均匀分布的情况下， ( 3 2 ) 第l2 页 国防科技大学研究生院学位论文 可得 弘去j ：懈2 帮呻t 一沙 b 8 = 等羹r j 扣= 等支r 蜘少 e ；堡丢 匕( 其中正。薏，是电荷中和因子) b 一半 ( 3 - 6 ) 式代入( 3 - 2 ) 式，可得到带电粒子的运动方程为： r 十e z n , ( l - 1 一+ p o e o # z c z ) ，；0 我们前面已经讨论过，仅考虑线性作用力，粒子轨迹方程为z ”+ 世仁p 一0 ，因此，令 方程的形式解为 荆- 掣z 群, e i m。芦c r ( z ) m r 0 ) c o s 0 ) + 纯】 妒( z ) 和r ( z ) 必须满足【2 6 1 妒如) = 雨a 由方程的形式解可得ri z ) 所满足的方程 r i z ) 一r k ) c o s 【妒( z ) + 如】一只0 i ( z ) s i i l 咿g ) + 九】 ( 3 8 ) 显然a 与丸是求解方程r “+ k 0 ) ，一0 时所得的两个积分常量。利用以上几个方程，可 由粒予轨道方程r ”+ 置0 ) ，一0 求得粒子束的包络方程为 r ) 咽z 坶( z ) - 蔷- 。 其中a 是a 在相平面( r ，r 中所取的最大值，名就等于诸粒子在相平面( r ，r ) 中所组 成的相椭圆面积s 的三的大小。这是粒子束的发射度。三s 。群，它的意义已在上一章 冗五 进行了阐述，由于是线性系统，可认为发射度为常数。 第13 页 曲 岛 侣 0 国防科技大学研究生院学位论文 r ( z ) 帐( 矿南- o 又有r 2 0 ) 厶一正瑶 其中厶为z 一0 处的中和因子，r 为z ；o 处的包络半径 j = 石只2 ( z ) 释。e 声c 把( 3 - 9 ) 和( 3 - 1 0 ) 代入( 3 - 8 ) ，可得 叫嚣r 2 ( z ) - i 矿c 2 】 k ( 。) = 葛弼面矿 令 墨一瓦矛e i l ；丽o k；堕!竺g黛!：二!12 2 e o 卢3 c 3 r 珊。石 可得 k ( z ) t k + 嵩 其中墨、毛是与z 无关的常数。 月f + 犁惫一丽6 2 一。 k 一面蕊 置：一瓦e l ( 1 “万o t o l e 瓦2 c 2 - 7 1 ) ( 3 - 9 ) ( 3 一1 0 ) ( 3 一1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 - i l ) ( 3 1 2 ) 第14 页 国防科技大学研究生院学位论文 3 2 通过椭圆相图函数求包络方程的一般形式 通过带电粒子柬研究中常用的椭圆相图函数也可以比较简便直观的求出包络方程的 一般形式。 3 2 1 束流相椭圆的几何学分析 以( x ，x 二维相平面为例，假定在 ，上相平面上的束流相图是一个以坐标原点为中 b 的对称椭圆，称为束流相椭圆，定义束流的发射度s ， ；羔( 3 一1 3 ) 一 o l d ， 石 s为束流相椭圆的相面积。 -盖+ 肖 叫z 式z 鬲r t一、 1 厂7 髓、 壶、一+ ( 崩 1 ， ，+ ( 肛2j 卜 i z z 图3 - 2 ( x ，x ，二维相平面的束流相椭圆 如图所示，由解析几何学可知，相椭圆边界方程为 o r 2 2 x 2 2 0 1 2 x x + o h x 4 一c 2 ( 3 1 4 ) 其中吼1 ，q 2 ，o 叠是椭圆方程的系数，应满黾0 1 1 0 ，口2 2 o ，q l 口2 2 一q 2 2 0 ，上式中c 为常数。 若q 。d 岛一q 2 2 一c 2 ，则称其为标准化椭圆方程，如果q 。d k q 2 2 c 2 ，只要在式 第15 页 国防科技大学研究生院学位论文 ( 3 - 1 4 ) 两边乘以因子k ；篁。那么方程就化为标准化方程了，以下的讨论均认为 q 1 口2 2 一a 1 2 式( 3 - 1 4 ) 是标准化椭圆方程，并令 盯i 卜0 2 1 吼0 1 ：2 】 睁 且q 。；吒，盯是对称矩阵a 仃称为束流相椭圆系数矩阵，其行列式为d e tc r i o i = q 。o 五一吒- c 2 ，所以标准化椭 圆边界方程可以写成 a 2 2 x 2 2 c r l 2 x x + q 1 x ”一l 盯l ( 3 1 6 ) 或者写成矩阵形式 0 _ i x l | 1 忉 县甲盯1 是o r 矩阵喇惩矩降。 下面，我们用( 卜3 ) 式来讨论椭圆方程中各系数的物理意义， 界与x 轴的交点 乩矿岂 令x = 0 ，得到椭圆边界与x 轴的交点 矶- o - 腮 令等_ 0 ，可得 4 + 瓜此眦l _ 意 一瓜此肘l 。_ 千意 令警| 0 ，可得“- + 反此帆。t + 惫 凹一 f m 一豳一厄此帆一击 令z 一0 ，得到椭圆边 ( 3 - 1 8 ) ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) ( 3 - 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) 第16 页 国防科技大学研究生院学位论文 由此可见，x 一就是柬流在z 方向的最大半宽度，全宽度为2 x 一，即为束径的大小， x 。就是束流在x 方向上的最大半散角，束流的全散角为2 x 。 为了计算椭圆的面积，可以采用转轴变换 f ? 亭8 妒一乏i 协伊其中增2 妒；且( 3 - 2 4 ) i x 一手s i n 妒一亭c o s q 。 o r 2 2 0 1 l 则( 卜2 ) 式斜椭圆转换成( 量亭坐标系中的正椭圆 嬖+ 娶1 ( 3 - 2 5 ) + 吾。1 其中 所以椭圆面积 由此可得 这样，可得 6 = 羽 产2 2 。5 5 5 。辛i = = 毒i ! ! ! ( 盯2 2 + q ，) 一( 2 2 + q ，) 2 + 4 口三 s - z a - b = 石恫 阿一姜= s ，s 是x 方向的发射度。 ( 3 - 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 - 2 8 ) ( 3 2 9 ) 吒，2 2 呒2 崩 + 吼一”一2 ( 3 3 0 ) 至此，标准椭圆边界方程中各个系数的物理意义可以综合如下【2 3 “】： 1 t h 表示束流发射度s ； 2 l q 。i 表示束流半宽度， x 。( z ) - q ，( z ) 表示束流包络线； 3 d 五表示束流的最大半张角； 4 q ：- 0 表示正椭圆，代表束腰( 或束峰) ； q ： 0 2 e o 卢c y m 。石 ( 3 3 8 ) 柬流的电场和发射度项郡便束流发散，现计算柬流在漂移至涮友散的情况。 由式( 5 - 1 3 ) ，可得 ( d r _ 【d 面d r ) 一万e 2 【_ d x ) + i k 【d x ( 3 _ 3 9 ) 或写成 d 2m _ s 2 d 审+ 2 k d o n 固( 3 - 4 0 ) 积分一次 警- j ：i 丢：j i ：夏丽c 式中r 为初始束径，c s a ， ( 华t z ) 。- r ；- 。为初始斜率，假定束流在出发处呈束腰状态。令亭一( 惫) 2 之后，则有 凡 令f 。绎 警= 2 辱i 事 ( 3 - 4 2 ) 第19 页 国防科技大学研究生院学位论文 则 警= 2 毒辱瓣 ( 3 - 4 3 ) 再积分，可得 一2 e z - 一生。： ( 3 4 4 ) 可f ；而+ f x l n x u 皑 这就是由束腰发出的束流在灞眵空间中的发散计算公式，此时一般需要数值解，当 f ；0 时，即退化为不考虑自身电磁场效应的非屡流束。我们用n e w t o n 法来计算此积分公 式，得到了一组瞬时包络与漂移距离的关系曲线，如下图 6 4 2 o o2 2 e z r 0 2 图3 - 3 束流在漂移空间的发散 4 从图中我们可以看出束流的发散趋势，f 越大，束流发散得越显著。f 代表空间电荷 效应的大小，因此随着空间电荷效应的逐渐增大，束流的扩散情况也逐渐加剧。这是很好 理解的：随着空间电荷效应的增大，束流粒子问的斥力增大，在自由空间的传输过程中， 扩散也就增大了。 第2o 页 。(0正己一出 国防科技大学研究生院学位论文 定义广义导流系数n 一撕r l ，取值为。1 5 ，计算发射度对电子束扩散的影响，得 到结果如下： 图3 - 4 发射度对电子束扩散的影响 从图中我们可以看到，随着发射度的逐渐增大，束流的扩散情况也也随之加剧。 为解包络方程，将问题转化成一阶常微分方程组，用r u n g e - k u t t a 方法进行数值求解。 设一阶微分方程组为 y i 一正( f ，y 1 ，y 2 ，y m ) ，咒( f 0 ) 一y o ( 3 - 4 5 ) ft 1 2 ，m 由，积分一步到，。- j + 的四阶龙格一库塔方法的计算公式为： 第2 1 页 量塑坠垫奎兰至窑圭墼兰堡篁兰 k f ；正( r j ，y l ，) ，2 ，) ，i ；1 ，2 ，m k 2 i - 讹+ 知，+ 鲁帕+ h 2 k j ，2 ，m k 3 i 鹏+ 兰，) ，u + h k 2 - 幽+ 鲁剐如协，优( 3 - 4 6 ) j i ，4 f ；z ( 0 + ，咒，+ h k 3 1 ，只+ 岛。) j - 1 ，2 ，。一，m 蜘啮+ 告暇；+ 遏；+ 2 k 3 。+ ，f - 垃，m 在r ( 叫+ k ( z ) 尺。) 一南一。式中，令 f y lt r ( z ) l y 2 = r 0 ) 则可得到一阶微分方程组： 僻m 一髯 接下来，就用r u n g e k u t t a 方法进行数值求解。 ( 3 4 7 ) ( 3 - 4 8 ) 国防科技大学研究生院学位论文 3 4 电子束的发散计算结果及数据分析 我们的计算针对的电子束的电流为，删， r 。4 ，p 。巫4 。9 7 ，即动能为 形1 5 3 m e v 。r g ) t o o l m 。设z = 0 时束流处于束腰状态，即r ( z ) ；0 。可以求得 墨一3 2 0 l 。，髟一一0 0 0 1 9 。因为电流小，属自身的磁场箍束力远小于束的空间电荷力。 1 在不考虑离子的中和效应，即尤。一o 时，束流自身的空间电荷效应与束流的发射 度对束流发散的影响 霄 芷 ( m ) z 图3 - 5 在不考虑中和效应时发射