方程的根与函数的零点教学设计.doc

“方程的根与函数的零点”教学设计山西省教育科学研究院 薛红霞一、教学内容解析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法函数f(x)的零点，是指使得函数y=f(x)的函数值为0的自变量x的值教材中给出的定义是：对于函数y=f（x），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f（x）的零点这个定义是用学生熟悉的方程的根给出的定义通常给出的是一个充要条件，由此可见它们之间的关系，因此教材中进一步解释定义：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点将二者结合起来进行分析，可以得到如下结论：1三维角度认识问题方程f(x)=0的根x0，就是使得函数y= f(x)的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y= f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0三者有着内在的统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同的环境中扮演着不同的身份一样正如教师用书中提出的：“给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈”2为什么要学习函数的零点？教学用书中指出：“之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质”可以从以下几个方面解释：（1）作为函数的应用，运用函数解决更广泛的方程问题体现在：求方程f(x)=0根的问题可以转化为函数y= f(x)的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题，因此其中渗透了化归思想、函数思想（2）用上位知识统领下位知识体现在：函数y= f(x)是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：f(x)=0，或者f(x)=3，等等但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系，体现了数形结合思想对于函数的零点的存在性的判定方法：如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根 对于这个判定方法，要从以下几个方面理解：（1）函数图象是连续的；（2）区间端点异号是充分不必要条件；（3）“存在”的含义是至少有一个教学时要用适当的方式让学生理解，不要求给出“充分条件”的名称因此本节课的教学重点是：类比研究形成函数的零点的定义，探究发现函数零点存在性的判定方法二、教学目标解析1了解函数的零点与方程根的联系，理解函数的零点的定义（能区分零点与点，能了解其中的三维特征，及蕴含的数学思想）2初步掌握函数零点的判定方法（能结合函数图象判断函数零点的存在，即判断方程根的存在性）2结合函数图象与数值表等不同表示形式，通过观察分析具体问题，理解连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，并能由此方法判定函数在某个区间上存在零点了解定理应用的前提条件，应用的局限性，及定理的准确结论3通过具体实例的解决，掌握利用函数的图象和性质进一步判断函数零点个数的方法3通过本节课的活动，使学生理解基本知识中蕴含的数学思想，了解类比研究问题的方法，在函数零点的存在性判定方法的学习过程中，感受探究发现的过程和方法三、教学问题诊断分析1由于受已有知识的负迁移影响，学生可能会将“函数的零点”误以为是点，教学时可以在正面强化的基础上，给出合理的解释，不要只强调记忆；2由于学生比较熟悉解方程，所以在讨论方程的根的存在性时，对于简单的、特殊的方程，尤其是一元二次方程，学生可能会先入为主地选择求出方程的根再回答问题，偏离教学的重心，因此在教学过程中要强调根据函数图象分析问题，或者设计一些不能直接求解的方程3由于函数的零点与方程的根，以及函数图象与x轴的交点有着内在的统一性，在学生还没有真正接受函数的零点的概念之前，很容易将它们搞混淆，所以在得到函数的零点的定义后要立体化的分析它们之间的关系，在全面认识的基础上突出研究重点4对于函数的零点存在的判定方法，学生可能会很快理解其表面含义，但是这种理解是否经得起考验，要在实践中检验，所以教学时可以设计一些易混问题，通过解决这些问题促进理解因此本节课的教学难点是：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性四、教学支持条件分析：本节课需要课件的支持，尤其是几何画板的应用学生需要计算器，最好是图形计算器五、教学过程设计（一）复习深化，揭示课题问题一 请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系先用自己的语言叙述相关的结论，之后再分析这些结论中蕴含的数学思想有哪些，从中你得到什么启示？（设计意图：通过对学生已有知识经验的分析，将初中阶段的感性经验进一步理性化，为本节课的研究找到固着点）师生活动1：（一起回忆所学知识由于这些知识学生是在8年级上学习的，时间比较久远，学生可能能回忆起来，但是一定不可能准确的表述，所以可以将这个问题提前布置为家庭作业，让学生复习上课时，由于要对这些结论进行深入的分析，所以，教师可以利用课件将这些内容准备好，在师生一起回忆的基础上，展示给学生）课件展示：“解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值”“每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线从数的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标”等等（见义务教育课程标准试验教科书人教版数学八年级上，其它版本的教材也有相应的知识）师生活动2：分析上述知识中蕴含的数学思想方法预期的活动结果：1化归的数学思想方法体现在：解一元一次方程（组）的问题可以转化为函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题（或自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少的问题）事实上“函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题”就是一个方程求解的问题，因此又可以利用方程解决函数问题因此这种化归是双向的2数形结合的数学思想方法体现在：解一元一次方程的问题可以转化为确定函数的图像与x轴的交点的横坐标的值的问题（或确定两条直线交点的坐标的问题）3函数思想上述结论反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系一次函数y=ax+b是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：ax+b=0（a0），或者ax+b=3（a0），等等但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题4三维角度认识问题上述3点体现了要从3个角度立体的认识一个现象：方程ax+b=0（a0）的根x0，就是使得函数y=ax+b的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y=ax+b（a0）的图像与x轴交点的横坐标x0三者有着内在的统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同等环境中扮演者不同的身份一样学生谈自己得到的启示：（通过转换方式，进一步领会上述思想方法）教师揭示课题：x0扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色命名“使得函数y=ax+b（a0）的值为0时的自变量x的值x0”中的x0为“一次函数y=ax+b（a0）的零点”本节课就是在此基础上进一步研究“方程的根与函数的零点”的关系问题特别强调：“方程的根”与“函数的零点”不能混为一谈，而且“函数的零点”是实数，而不是点，之所以称之为点，是因为实数与数轴上的点一一对应的缘故（二）类比研究，形成定义问题2 类比一元一次方程与一次函数的关系，完成下表，并回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？其中蕴含了什么数学思想？用自己的语言描述什么是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点？如果你觉得解决前面的问题困难，可以给式中的a、b、c赋值，之后在解决相同的问题方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1， x2x0没有实数根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点个数及坐标函数y=ax2+bx+c(a0)的零点（设计意图：类比研究，丰富学生的感性经验，增进对一次函数与一元一次方程关系中得到的结论的理解，提供抽象概括的素材）学生活动1：（完成上述表格完成这个任务需要一定的时间，由于有了问题1做基础，此处应该给学生更多的时间，由学生独立完成这个任务，教师不要过多过早的干涉学生的活动如果学生的基础比较差，可以将上述任务改变为解决与教材中类似的具体函数问题）学生活动结果：1填写表格：（略）2一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的关系：（预设答案有如下几种）（1）解一元二次方程可以转化为：当某个二次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)，确定它与x轴的交点的横坐标的值（获得这种结果是受到一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系的表述方法的影响）（2）当方程有根时：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x0，就是函数y= ax2+bx+c(a0)的图像与x轴交点的横坐标x0，就是使得函数y= ax2+bx+c(a0)的值为0时的自变量x的值x0（即函数y= ax2+bx+c(a0) 的零点为x0）当方程没有根时，相应的函数的图像与x轴没有交点，不存在使得函数y= ax2+bx+c(a0)的值为0的自变量x的值（获得这种结论是受问题1中得到的预期活动结果的第4条的影响）（3）当0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1， x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），函数有两个零点x1， x2；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1= x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点（x1，0），函数有一个零点x1；当0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，函数没有零点（提前预习的同学可能会得到这种结论）教师评价：每种表述方法都是正确的，从不同角度解决了问题，概括层次也不同，为了进一步推广我们采用第（）种说法3其中蕴含的数学思想：（类比问题1即可，此处不再赘述）4二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点：“使得二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值为0时的自变量x的值x0”中的x0就是“二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点”（此处有可能出现将零点与点混淆的现象，教师要再次予以澄清辨明）问题3 对于一般函数y=f(x)，如何定义它的零点？关于一次、二次函数及其相应的方程的关系对于一般函数y=f(x) 及其相应的方程f(x)=0是否成立？并类比上述结论，从三维角度进行描述（设计意图：通过抽象概括，形成定义）师生活动：（此处由学生先形成定义，可能是不规范不严谨的，教师可予以帮助，使之数学化即可）活动结果1：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点活动结果2：方程f(x)=0的根x0，就是使得函数y= f(x)的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y= f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0追问：上述结论逆推成立吗？活动结果：一般函数y=f(x)与其相应的方程f(x)=0的关系：x0是方程f(x)=0的实数根（x0，0）是函数y=f(x)的图象与x轴的交点x0是函数y=f(x)的零点追问：上述结论中蕴含的数学思想是什么？活动结果：（可类比解决，不再赘述）教师讲解：上述研究了函数与其相应的方程的关系，由于在解决问题中遇到的更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合地解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间内是否存在零点的问题（三）探究发现，获得判定方法 问题4 对于给定的每个函数，根据函数图象写出多个区间，使得函数在每个区间内存在一个零点，之后，观察你写的区间，这些区间端点的函数值具有什么特征时，能保证函数在该区间内存在零点？再根据函数的定义，随意画几个函数的图象，验证你得到的结论是否成立?（1）y=3x-2（2）y=2x2+x-1(3)y=x2+2x+1 （4）23101yxO（5） y= 1- （设计意图：给学生提供发现的素材，获得判定方法）学生活动：（学生根据要求写出区间，学生所写的符合条件的区间可以分为两类，一类是区间端点的函数值异号，另一类则是同号，这些素材正好提供了探究的材料，可以通过正反两方面材料的对比发现具有什么特征的区间才能保证在该区间内函数有零点）学生活动结果预设：1针对各函数写出的区间：（1）（-1，1），（-1，2），（-3，2）（2）（-2，0），（-2，2），（3）（-2，0），（-3，0），（4）（1，2），（2，3），（1，3），（1，10），（5）（1，2），（0，2），2学生可能发现的符合条件的区间具有的特征：结论1：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；（学生可能得到上述两种结论，此时教师不要急于给出定论，给学生时间，让他们举例子验证上述结论，看哪个结论经得住检验）3学生检验，讨论：针对结论1，在题（5）中，选择区间（-3，）即可说明结论不成立，应该补充“连续”这个条件针对结论2，