（基础数学专业论文）m0n上的sn作用.pdf

9 3 i o 他上的& 作用 基础数学专业 研究生：陈浩指导老师：李安民教授 摘要：本文讨论了n m a r k e d 黎曼球面模空间。上自然的对称群作用，这 里n 阶对称群岛通过置换m a r k e d 点而作用在其上 这一作用是非自由的该作用f 的不动点集和相应的局部群反映对应的对称 黎曼球面和其对称性通过固定三个m a r k e d 点来选取代表元，我们得到吼。的 坐标化的表达，在此基础上分析晶元的c y c l e 结构，得出具有不动点的元所具有 的c y c l e 类型，这就是我们的定理2 2 在定理2 2 的基础上我们发现。上的晶作用的不动点集，实际上是特 定分式线性变换的周期点，经过适当转化我们提出了一个求解关于互异i 点的n 周期分式线性变换的问题建立相应的递归关系后，借助组合数学的生成函数法， 我们解出所有的关于互异三点的n 周期分式线性变换及其个数，在此基础上得到 觋。上的岛作用的不动点集及局部群的描述，这就是我们的定理3 2 及其推 论 n p u n c t u r e d 黎曼球面模空间蛳。作为该作用下的商空间，其奇点集自然相 应于吼o 。上岛作用的不动点集，于是由我们所得到的贼o 。上的作用的不 动点集及局部群的描述我们得到m o 。的奇性刻画这就是定理4i 我们看到吼o 。实际上是一相对c o n f i g u r a t i o n 空间，可用已知c o n f i g u r a t i o n 空间理论来描述嘶o 。的拓扑，在表达研( 妍o 。) 的生成元的方法上，我们没有采 取固定的方式、而是在一个同伦类中自由变化，借助d er a h m 理论我们得以建立 了关键性的引理61 ，这可以在计算相应k r o n e c k e r 积时带来巨大简化我们认 为该方法在计算其他类型的群在玎+ ( 弧。) 卜作用时同样有效在此基础上利用 t l ( 研o ，。) 和日1 ( 吼o ，。) 的对偶性，我们计算出& 在玩( 吼o ，。) 和日1 ( 吼o ，。) 上的 变换律，同时由于己知h + ( 姒o ，。) 积结构中关键的y a n g b a x t e r 关系，实际上我们 得到的是在h ( 贼o 。) 上一般性的变换律，这就是定理66 a 和66 b 应用我们计算出的在h + ( n o ，。) 上作用的变换律，加上已知的h 4 ( 瓢o 。) 的积结构，理论上我们可以计算出品在h + ( 姒o ，。) 上作用的不变类，通过考查& 的生成元在日1 ( 蛾o 、。) 的基底上的作用，我们发现h 1 ( 瓤o ，。) 中无非0 的& 不变 类，这就是我们的定理71 ，另外应用我们计算出的s 。在h + ( 吼( ) 。) 上作用的变 抉律，在计算机上我们算出直到n = 8 时h + ( m o 。) 均无非。的岛不变类，我们猜 测这个结论对任意的n 都成立 关键词：群作用，对称性，模空间，上同调 & a c t i o no n 嘶n m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s d o c t o r a lc a n d i d a t e ：h a oc h e n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ra n m i n gl i a b s t r a c t ：w ed i s c u s s e dt h en a t u r a la c t i o no ft h es y m m e t r yg r o u po nt h em o d u l i s p a c e no fn - m a r k e dr i e m a n n i a ns p h e r e ，w h e r et h eno r d e r e ds y m m e t r yg r o u pa c t p e r m u t a t i o nt h em a r k e dp o i n t s t h i si sn o ta f r e e l ya c t i o n ，t h ef i x e dp o i n t sa n dt h el o c a lg r o u po ft h i sa c t i o nr e f l e x t h ec o r r e s p o n d i n gs y m m e t r i cr i e m a n n i a ns p h e r ea n di t ss y m m t r y w ec a np r e s e n t0 z t 0 n c o o r d i n a t e l yb yf i x e dt h r e em a r k e dp o i n t s ，b a so nt h i sw ea n a l y z et h ec y c l es t r u c t u r e o ft h em e m b e ro f 鼠a n df i n dt h ec y c l et y p eo ft h em e m b e rw i t hf i x e dp o i n t s t h i si s o u rt h e o r e m2 ，2 b a s e do nt h e o r e m2 2w ef o u n dt h a tt h ef i x e dp o i n ts e to ft h et h i sa c t i o ni st h e p e r i o d i cp o i n t so fs o m es p e c i a lf r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n w et r a n s l a t et h i ss i t u a t i o nt o ap r o b l e ma b o u tt h en p e r i o d i cf r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o no ft h r e ed i s t i n c tp o i n t s ，a f t e r b u i l tt h ec o r r e s p o n d e n c er e c u r s i o nr e l a t i o n ，b a so nt h ed e g e n e r a t i o nf u n c t i o nm e t h o d o fc o m b i n a t i o n w ec a l c u l a t e do u ta j lt h en p e r i o d i cf r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n b a s e do n a l lt h ea b o v ew o r kw eg i v et h ed e s c r i p t i o no ft h ef i x e dp o i n t so ft h i sa c t i o n ，t h i si so u r t h e o r e m3 2 a n di t sc o r o l l a r y t h em o d u is p a c ea 靠o fn p u n c t u r e dr i e m a n n i a ns p h e r ei st h eq u o t i e n ts p a c e o ft h i sa c t i o n ，i t ss i n g u l a rp o i n t sn a t u r a l l yc o r r e s p o n d e n c et ot h ef i x e dp o i n t so ft h i s a c t i o n s ow ec a no b t a i nt h ed e s c r i p t i o nt h es i g u l a r i t yo fm n ，t h i si so u rt h e o r e m4 1 w ec a ns e et h a t ni sa r e l a t i v e l yc o n f i g u r a t i o ns p a c e s ow ec a nd e s c r i b et h e t o p o l o g yo f 甄nb a so nt h ew e l lk n o wt h e o r yo fc o n f i g u r a t i o ns p a c e w h e ne x p r e s s t h eg e n e r a t o ro fh 1 ( ，n ) ，w ed i dn o ta p p l yt h el i ( e dm e t h o d ，b u tf r e e l ym a k er e l a t e c h a n g e si nt h es a m eh o m o t o p yc l a s s w i t ht h eh e l po fd ea a h mt h e o r y , w ea r ea b l e t oe s t a b l i s ht h ec r i t i c a ll e m m a 6 1 ，w h i c hg r e a t l ys i m p l i f i e dt h ec a l c u l a t i o no fr e l a t e d k r o n e c k e rp r o d u c t w eb e l i e v et h i sm e t h o di se q u a l l ye f f e c t i v ew h e nc a l c u l a t et h ea f f e c - t i o no fo t h e rt y p e so fg r o u p si n 日+ ( n ) ，b a s eo na b o v e ，u t i l i z i n gt h ed u a l i t yb e t w e e n 科( 甄，n ) a n dh l ( f f ) t 0 n ) ，w ec a nc a l c u l a t 。e t h et r a n s f o r m a t i o nl a wf o rh 1 ( w b ，n ) a n d h 1 ( ，n ) a tt h es a m et i m e ，d u et ot h ew e l lk n o w na n dc r i t i c a ly a n g - b a x t e rr e l a t i o ni n t h er i n gs t r u c t u r eo fh ( n o n ) ，i nf a c tw eh a v ef i g u r e do u tt h eu n i v e r s a lt r a n s f o r m a t i o n l a wo nh ( 砜n 1 ，w h i c hi st h et h e o r e mo f6 6 aa n d6 6 b a p p l y i n gt h et r a n s f o r m a t i o nl a wo f 岛o nh + ( 甄。n ) t h a tw e v ec a l c u l a t e do u t ， a d d i n gw e l lk n o w np r o d u c t i o ns t r u c t u r eo fh + ( 们，w ec a l lc a l c u l a t eo u ta 1 1t h e 晶i n v a r i a n to fh + ( 甄n ) i nt h e o r y t h r o u g hc o n s i d e r i n gt h ef u n c t i o no fg e n e r a t o r o f & o nt h eb a s eo fh 1 ( 砜n ) ，w ef o u n do u tt h a tt h e r ei sn os 二i n v a r i a n tc l a s si n 日1 ( ，n ) w h i c hi so u rt h e o r e m7 1 i na d d i t i o n ，a p p i y i n gt h et r a n s f o r m a t i o nl a wo f & o n 矿( w h ，n ) t h a tw ec m c u l a t e do u t ，i nt h ec o m p u t e rw ec a l c u l a t e do u tt h a tt h e r e i sn o & i n v a r i a n tc l a s si nh + ( ，n ) u n t i ln = 8 s ow ec o n j e c t u r et h i sr e s u l ti st r u et o a n yn k e yw o r d s ：f i n i t et r a n s f o r m a t i o ng r o u p ，s y m m e t r y ，m o d u l is p a c e ，c o h o m o l o g y 日川大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归四j i l 大学所有，特此声明。 作者签名： 日期： 导师 日 四川太学博士学位论文 1引言 黎曼面模空间是固定亏格曲面上复结构全体所构成的空间，黎曼面模空间的 研究是数学中一个有着较长历史又充满活力的领域，处于纯数学众多分枝的交汇 处，众多学者用不同的方法从不同的侧面来研究黎曼模空间，如著名的d e l i g n e m u n f o r d 紧化理论，h a y e r 稳定性等等，这些结果被广泛应用于不同的研究领域， 用于发现和构造新的数学结构，并为理论物理学如规范场论，弦论提供数学模型 和语言，一个著名的例子是阮一田借助于黎曼模空间的d e l i g n e - m u n f o r d 紧化理 论，完成了g r o m o v - w i t t e n 不变量的构造和量子上同调理论的建立参见【r t 】 所以黎曼面模空间是在数学中引起广泛兴趣的研究对象，这一领域是如此的神秘 和美丽，对其每一个侧面的刻画，其上每一个新结构的发现都有重要的意义 本文中我们讨论了n 阶对称群在黎曼球面( 亏格为0 ) 模空间9 y t o 。上的自 然作用，这里n 阶对称群通过置换m a r k e d 点而作用在全体n - m a r k e d 黎曼球面 所构成的模空问奴o 。上。我们的研究动机在于： 其一：此自然作用的性质体现的是9 j t o 。的内在特征实际上具有对称性的 n - m a r k e d 黎曼球面相应于甄。在此作用下的不动点集。而这些不动点的局部 群体现了相应的n m a r k e d 黎曼球面的对称性。 其二：这一作用下的商空间实际上是n - p u n c t u r e d 黎曼球面模空间m o 。，由 于其奇性，人们对其性质还知之甚少我们注意到该作用的不动点为具有对称性 的黎曼球面，这样黎曼球面实际上相应于n - p u n c t u r e d 黎曼球面模空间的奇点， 于是我们可得出n p u n c t u r e d 黎曼球面模空间的奇性刻画。 其三：此自然作用在瓢o 。的上同调环日( 甄。) 上的诱导作用体现其上同 调环的对称性，这个对称性表现在h + ( 砜，。) 的& 不变类上更加深入的是：根 据p a s m i t h 关于有限群作用下商空间的同调理论，h + ( 砜。) 中具备对称性的 类将会体现n p u n c t u r e d 黎曼球面模空间的上同调，这方面的研究将会在我们今 后工作中涉及 我们的讨论分为两大部份 第一部份由2 , 3 ，4 小节构成这部份主要致力于不动点集，复球面上s l ( 2 ，c ) 离散动力系统及m o 。奇性的讨论我们的步骤如下：首先注意到n 阶对称群可 按其c y c l e 类型进行共轭分类，在此基础上我们发现砜。上的& 作用的不动 点集，实际上是特定分式线性变换的周期点，于是问题转化为一相应的s l ( 2 ，c ) 的离散动力系统的问题。即给定周期数n 和一定的初始值，怎样的分式线性变换 具有周期n ? ，借助于组合数学中恰当的技术，我们可以回答这个基本而有趣的问 题，作为其应用我们可以计算& 在甄。上作用的全部不动点及相应的局部群， 四川大学博士学位论文 即我们确定了全部具有对称性的n m a r k e d 黎曼球面及相应的对称性，我i l i o n 道 9 。在此作用下的轨道空间即是n - p u n c t u r e d 黎曼球面的模空间于是我 们的结果实际上刻画了非紧o r b i f o l d m o 。的奇性。人们对f f f t o 。已有相当好的理 解，可参见【a 1 ，f c ， f h 】等。然而，由于，。的奇性，我们对其性质还知之甚 少。我们希望这些结果有助于进一步计算m o 。的o r b i f o l de u l e r 数及c h e n r u a n 上同调，参见f c r l 。我们首先在2 小节讨论了n - m a r k e d 黎曼球面的对称类型， 然后讨论分式线性变换的迭代周期性并进行对称黎曼球面的具体计算。4 小节是 n - p u n c t u r e d 黎曼球面模空间的奇性刻画。我们这部份的讨论部分取自 陈】 第二部份由5 ，6 ，7 小节构成这部分主要致力于在h + ( 砜。) 上诱导作用 的变换律，及交换律的一个重要应用：计算h + ( ，。) 的& 不变类，我们注意 到。实际上是一个相对c o n f i g u r a t i o n 空间，v i a r n o l d 及f r c o h e n ，等关于 c o n f i g u r a t i o n 空间的一系列结果描述了日+ ( 甄，。) 的环结构，可参见【a 】， c 】，而 在【f h 】中给出了h + ( 砜，。) 和风( 甄，。) 生成元的清晰描述( 其中h ( 甄，。) 的 积为c u p 积，风( 飘。) 的积为带挠的c r o s s 积) ，在此基础上我们给出了肌( ，n ) 生成元的更加弹性的描述，得以成功地过渡到某种极限形式，借助于d er a h m 理 论，最终计算出& 在h + ( 甄，。) 上作用的变换律作为一个重要应用，原则上我 们可以通过变换律来确定h ( 9 j t o 。) 的& 不变类，我们得到的一个一般性结果 是h 1 ( 9 叽0 。) 无非。的最不变类，我们这部份的讨论部分取自 c l z ， 2 四川大学博士学住论文 2n - m a r k e d 黎曼球面的对称类型 设a 。= ( z l ，z 2 ，) i 五0 ，磊巧) ，这里d = g u ) ，s l ( 2 ，c ) 在a ，上有一作用 按如下方式定义，对于任意的f 6 s l ( 2 ，c ) ： ，( 句，勿，磊) = ( ，( z 1 ) ，f ( z 2 ) ，f ( z n ) ) 则n m a r k e d 黎曼球面的模空间可表示为： 甄。= a 。s l ( 2 ，c ) 3 于是每一个黎曼球面可表示为一个等价类 z l ，z 2 ，磊】，其中z 为m a r k e d 点，五为， 当 j ，磊口且瞄，乏，磊】等价于【z l ，z , 2 ，】当且仅当存在f 6 s l ( 2 ，c ) ，f ( 旄) = 2 即9 9 b 。= 【z 1 ，勿，2 k 】 盔0 ，盔弓) n 阶对称群在a 上有一自然的作用定义如下：设下& ，( z 1 ，z 2 ，) a ， t ( z l ，勿，z n ) = ( 铂，锄，z r n ) 关于此作用有如下性质： 性质2 1 设t e & ，f e s l ( 2 ，g ) ，( z l ，z 2 ，锄) a 。，则 f0 t ( z l ，免，z n ) = 1 o f ( z l ，z 2 ，z n ) 证明：直接验证即可。 于是r 诱导一个在9 n o 。上的作用： r z l ，z 2 ，】= 【磊。，】 p g z o r g r a f 在文【z 】中指出n = 4 时& 包含一子群z 2 z o 纠2 z 在，4 上作 用平凡，咒5 时在砜。上作用有效。 关于对称群的基本性质参见【d b 】，我们有下列关于此作用的定理： 口川大学博士学位论文 定理2 2 r e 鼠作用于。上有不动点当且仅当具有如下c y c l e 类型之一： 1 。：( 1 , 2 ，n ) 2 。：( 1 ，2 ，n 一1 ) ( n ) 3 。：( 1 ，2 ，n - 2 ) ( n - 1 ) ( n ) 4 。：( 1 ，2 ) ，( 3 ，4 ) ，( n 一1 ，n ) 5 。：( 1 ，2 ) ，( 3 ，4 ) ，( n 1 ) ，( n ) 6 。：( 1 ，2 ) ，( 3 ，4 ) ，( n 一2 ，n - 1 ) ( n ) 证明：设7 - & 具有c y c l e 类型为：1 1 1 2 k ，其中1 1 + 1 2 + k = n ，( f 1 1 2 l k ) 不失一般性我们只需考查； r = ( 1 ，2 ，f 1 ) ( z 1 + 1 ，l l + f 2 ) ( f 1 + 1 2 + 1 ，l l + 1 2 + f 3 ) ( 1 l + 1 2 + + l k 一1 + 1 ，f 1 + 1 2 + + l k ) 的情况。 设z = 2 1 ，z 2 ，钿】败o 可适当选择代表元使得z 1 = 0 ，_ 2 2 = 0 0 ，z 3 = 1 ，若 r - z = z ： 则 z ，z z ，z n 】= 【z r l ，z , r ：，】，于是有f s l ( 2 ，c ) 使得： 于是有： ，眩) = z t i f ( z 1 ) = z 2 ，忆) = z 3 ，( 钮) = z l ，( 动l + 1 ) = 句l 十2 ，( 盈1 + 2 ) = 句l + 3 ，( 卸1 十1 2 ) = z 1 1 + 1 f ( z l l + f 2 + + k l + 1 ) = 魂l + z 2 + + k l + 2 ，( 勾1 + f 2 + k ) ：= 嗣l + f 2 + 一+ “+ 1 由( 1 ) 及2 1 = 0 ，动= d 。，为= 1 可得： 据此可作如下讨论 ，= 学j 6 g ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 。若2 l 3 ： 由( 1 ) 有，h _ 2 ( o ) = 0 于是可得出一关于b 的多次方程，有有限个复根b l ，5 2 ，b m 我们可由这些复根来求出相应的，勿，1 首先在( 3 ) 中代入b i 由( 1 ) 可得 出7 1 ，z 2 ，魂，相应的值，然后据此6 可求出其余的乃的值：f h ( 2 ) 对应此玩 4 四川大学博士学位论文 相应的f = ! 挚应满足： ，2 2 ( 磊) = 磊，( f 1 + 1 i f 1 + f 2 )( 4 ) f 。是一确定的分式线性变换故( 4 ) 至多有两个不同的根，而各磊( o i n ) 互 不相同，故必有f 212 ，进一步我们断言1 2s1 若f 2 = 2 ，则对应此k 应有： f ( z 1 1 + 1 ) = z t l + 2 ，f ( z l l + 2 ) = z t l + 1 即，2 ( 麓，+ 1 ) = z t 。+ 1 ，经直接计算可知，2 ( z ) = z 铮f ( z ) = 2 ，故盈。+ l = 纫+ 2 这 与磊巧，( t j ) 矛盾，故2 2 1 由于z 2 f 3 k 故其余c y c l e 至多为1 - c y c l e 这些1 - c y c l e 相应的坐标五 应满足方程，眩) = z i 又由于麓勺当i j 。故1 - c y c l e 至多有两个。据此我 们可确定z 1 3 时，r 有不动点，当且仅当_ 有c y c l e 类型： ( 1 ，2 ，n ) 或( 1 ，2 ，n - 1 ) ( n ) 或( 1 ，2 ，n - 2 ) ( n - 1 ) ( n ) 2 0 若l l = 2 ： 若有2 弧o 。满足r z = z ，则存在，s l ( 2 ，c ) ，满足f ( o ) = o 。，( 。o ) = 0 ，故 有，= ! ，a c 一( o ) 。 于是相应于1 - c y c l e 的那些坐标磊满足方程，) = 麓而又有各五互不相同， 故至多有两个1 - c y c l e ，其余均为2 - c y c l e 据此，我们有z 2 = 2 时，7 有不动点当且仅当r 有c y c l e 类型： n 偶：( 1 ，2 ) ( 3 ，4 ) ( n - 1 ，n ) 或( 1 ，2 ) ( 3 ，4 ) ( n 1 ) ( n ) n 奇：( 1 ，2 ) ( 3 ，4 ) n 2 ，n 1 ) ( n ) 综上，定理证毕。 5 四川大学博士学位论文 3s l ( 2 ，c ) 的周期性与对称n - m a r k e d 黎曼球面 求解全部具有对称性的n - m a r k e d 黎曼球面的问题，实际上和黎曼球面上s l ( 2 ，c ) 的离散动力系统特性有密切关系，经适当转化，我们可提出一个关于s l ( 2 ，c ) 的 迭代周期性问题如下：给定一定的初始条件及凡n ，什么样的分式线性变换具 有周期n ? 这实际上是计算对称n m a r k e d 黎曼球面的第一步，具体而言我们的 问题是： 设n n ，n 4 , a 1 ，a 2 ，a s 口，啦哟当 j 求所有的f s l ( 2 ，g ) ，满 足，( d 1 ) = a 2 ，f ( a 2 ) = a 3 ，f ( a 。) = a 。我们称这样的f 为具有关于互异三点 a 1 ，a 2 ，a 3 的n 周期分式线性变换。 为求解此问题，我们先看一简单情形：a 1 = 0 ，a 2 = o o ，a 3 = 1 ，此时f 必可写成 f = 2 竽的形式，迭代周期性条件可具体写出如下： ，( 0 ) = o o ，f ( o o ) = 1 ，巾) = t b + l ，f ( b + 1 ) = 丽2 b + 了1 f ( 呈生1 ： 。、bj - 1 7 2 6 + 1 + b ( b + 1 1 共n 项。从第2 项起这些式子右端可写成一分式的形式，分子分母为关于b 的 多项式，假设其中第k 项( 七22 ) 形如。、a k 为b 的多项式) 则易得出有递归 关系： a k + l = a k + b a k 一1 ，a l = 1 ，a 2 = 1( 5 ) p ( o ) = 0 相应于a n = o ，( 5 ) 的特征方程为： 茁2 一z b = 0 ( 6 ) 设相应的特征根为a ，7 7 ( 一般地a 叩) ，于是通项公式可写成： a 妒+ 伤矿= a ( 7 ) ( 7 ) 中代入初始条件可得： a = 南，q = 击 由= 0 有： 南料熹矿= o 6 四川大学博士学位论文 则a “一矿= o 辛( ；) “= 1 即；为n 次单位根代入： a - i - 叼= 1 ，a 7 7 = - b 可得： 扛再静 屿一c o s ( 等) 椭i n ( 2 。r j ) ，l j n 于是在z l = 0 ，勿= o o ，勿= 1 的情形，求出了全部的b 及所有的，= 5 笋 一般情形，由a 。( 当i j ) 存在唯一的g s l ( 2 ，g ) 使得 g ( a 1 ) = 0 ，g ( a 2 ) = o 。，g ( a a ) = 1 此时取h = g - 1 f g ，则h 可满足： h ( a 1 ) = a 2 ，h ( a 2 ) = a 3 ，h ( a 。) = a 1 故在可求出满足关于任给的3 点n l ，a 2 ，a 3 的全部n 周期分式线性变抉。 ( 8 ) 现在我们来计算不同的具有关于互异3 点a l ，a 2 ，a 3 的n 周期分式线性变换的个 数，由( 8 ) ：n 1 = 0 ，a 2 = o 。，a 3 = 1 ，i j 时： 一万车_ j i 。万旱务静一姚( + 屿) 2 = 一“。( ，+ 咄) 2 甘地2 这里，“。为n 次单位根，故b 有【孚】个不同的取值，即相应的分式线性变换 有【孚1 个 一般情形，作一适当的共轭变换易看出有同样的结论，于是有 命题3 1 设n n 芦4 ，8 l ，a 2 ，a 3 e ，8 i 哟当i j ，则存在 孚】个 f s l ( 2 ，e ) 具有关于a l ，a 2 ，a 3 的n 周期。 注记：实际上在上述的讨论中允许a i = 0 ，( i j ) 的情形出现，易见此时必有 ii 竹 我们可用上述的讨论结合定理2 2 计算出全部具有对称性的n - m a r k e d 黎曼球 7 四川大学博士学位论文 面，我们的计算结果是： 定理3 2 晶在甄。上作用的不动点集可描述如下： 1 。具有c y c l e 类型( 1 , 2 ，n ) 的元素的不动点由点集 【o ，刚，詈，茏】 ( 其中：a k + 2 = a k + l + b a h ，0 1 = 0 2 = 1 ，b 一一丽= | | 苦p ，= c o s ( 等) + i s i n ( 等) ，1 j 十) 在& 作用下的轨道生成。 2 。具有c y c l e 类型( 1 , 2 ，n 1 ) ( n ) 的元素的不动点由点集： 【o ，o 。，1 ，丝，一a 4 ，a n - 丝2 ，丸】 u 2t l 3 l n 一3 ( 其中：a k + 2 = a k + 1 + b a h ，a l = a 2 = 1 ，b = 一西南，屿= c o s ( 互n - - 1 ) + is i n ( 翌n - - 1 ) ，1 j s 咒一1 ，十扎一1 ，凡o = 1 ，2 ) 为户一三+ b = 0 的根) 在& 作用下的轨道生成。 3 。具有c y c l e 类型( 1 ，2 ，n - 2 ) ( n - 1 ) ( n ) 的元素的不动点由点集： 0 ，o 。，1 ，一a 3 ，一a 4 ，a n - 3 ，a 1 ，a 2 】 u 2 屺u n 一4 ( 其中：a k + 2 = a h + 1 + b a h ，a l = a 2 = 1 ，b = 一西静，屿= c o s ( 呈n 巫- 2 ) + i s i n ( 三n 巫- 2 ) ，1 j n 一2 ，j tn 一2 ，a 1 ，a 2 为z 2 一z + b = 0 的根) 在r 作用下的轨道生成。 4 0 具有c y c l e 类型( 1 ，2 ) ( 3 ，4 ) ，( n - 2 ，n - 1 ) ( n ) 的元素的不动点由点集： 【0 ，o o ，1 ，n ，铂，兰z 5 ，幻，昙，一：，i a = ，饲 ( 其中：a ，五c ，各坐标互不相同) ，在& 作用下的轨道生成。 5 。具有c y c l e 类型( 1 , 2 ) 0 ，4 ) ，( n 一3 ，n 一2 ) ( n l ，n ) 的元素的不动点由点集 【o ，o o ，1 ，口，勰，石a ，幻，昙，山石a 】 ( 其中：a ，五c ，各坐标互不相同) ，在& 作用下的轨道生成。 8 四川大学博士学位论文 6 。具有c y c l e 类型( 1 ，2 ) ( 3 ，4 ) ，( n - 3 ，n 一2 ) ( n 一1 ) ( n ) 的元素的不动点由点集 o ，。，1 ，。，砧，兰z 5 ，勿，旦z 7 ，磊一3 ，三z n - - 3 ，c l ，c 2 ( 其中：o ，苁c ，鼋= a ，c ! = a ，c l c 2 ，各坐标互不相同) ，在晶作用下的轨道生 成。 由上述的计算结果可直接得到 推论3 3 & 在砜。上作用的每一个不动点属于定理2 2 中唯一的情形。 推论3 4 定理2 2 中6 种类形的不动点的不动子群依次为： z n l z n 一1 ，z n 一2 lz 2 ，z 2 ，z 2 9 四川大学博士学位论文 4 模空间。的奇性 通常称亏格为0 具有n 个p u n c t u r e d 点的黎曼面为类型( 0 , n ) 的黎曼面，可表 示为g z 1 ，z 2 ，这里c = c1 3 o o ) ，五当i j 。对称群和g 之 直积& s l ( 2 ，c ) 在a 。= ( z l ，砘，磊) i 五g ，街) 上的作用如同前述( 即& 置换坐标，s l ( 2 ，c ) 按坐标作分式线性变换) 相应的o r b i t 空间m o ，。= a 。& s l ( 2 ，c ) ( 即( o ，1 1 ) 型的黎曼面的全纯等价类) 通常称为( 0 , n ) 型黎曼面的模空 间，m o ，。作为一开o r b i f o l d 具有复维数n - 3 ，p gz o r g r a f 在文 z 1 中讨论了其上 的l i o u v i l l e 作用，而迸一步深入地研究m o 。有赖于了解其奇点的性态。由2 和 3 中的讨论我们知道n 为奇数对。的奇点集由一些孤立奇点和一个维数为 引一1 的s t r a t a 构成。n 为偶数时，m o 。的奇点集由些孤立奇点和一个维数 为；一1 及一个维数为；一2 的s t r a t a 构成，关于o r b i f o l d 的相关性质可参见 c r l 或【s 】，由2 和3 的讨论，我们可得到下列关于m 0 。的奇点的定理： 定理4 1 n 为一复n 一3 维的开o r b i f o l d ： n 为奇数时其奇点集由些孤立奇点和一个维数为【导】一1 的s t r a t a 构成，孤立 奇点的局部群分别为磊，磊一l ，磊也【罢】一1 维的s t r a t a 其上任一点的局部群为 易 n 为偶数时，其奇点集由一些孤立奇点和一个维数为等一1 及一个维数为2 2 的s t r a t a 构成，孤立奇点的局部群分别为磊，磊“磊一2 ，维数为；一1 的s t r a t a 及维数为；一2 的s t r a t a 其上任一点的局部群局部群均为历( 其中五为i 阶 循环群) 例4 2 ，n = 7 ，由命题3 1 及定理4 1 ，7 有【孚】_ 3 个局部群为z 7 的孤立奇点， 有f 孚】x2 = 4 个局部群为z 6 的孤立奇点，有【等】x2 - - - 4 个局部群为z 5 z 2 的孤立奇点，还有一维数为3 的s t r a t a 其上任一点的局部群为易，奇点的具体 描述可由定理3 2 给出。 例4 3 ，n = 8 ，8 有f 8 手】= 3 个局部群为z s 的孤立奇点，有f 2 手】x2 = 6 个局部 群为历的孤立奇点，有【学】x2 = 4 个局部群为磊的孤立奇点，还有一维数为 3 的s t r a t a 及一维数为2 的s t r a t a 其上任一点的局部群为汤，奇点的具体描述 可由定理3 2 给出。 1 0 四川大学博士学位论文 5 模空间甄，。的拓扑 为方便计算与简化记号，与前面不同的是我们将选取固定后三个m a r k e d 点为 1 , 0 ，0 0 的方式来表述9 j t o m 于是! y y , o 可唯一的表示为： 9 7 t o ，。= ( z l ，忽，z 。一3 ，1 ，0 ，o o ) l 磊1 ，0 ，0 0 ，五z j ，麓c 在此表示下，。拓扑上是一相对c o n f i g u r a t i o n 空间r 一1 2 ( r 2 ) ( 详见( f h d ，& 在甄。上有如前所述的作用，记瓦为& 中对换i 和i + l 的元，于是最由这 些t ( 1 i 竹1 ) 生成，在甄，。如( 9 ) 所示的表示下，我们可写出t 的具体 表达式： h 一1 ( z l ，勿，一3 ，1 ，0 ，o 。) = ( 者，石1 ，磊1 = i ，1 ，0 ，o o ) 一2 ( z l ，z 2 ，_ 3 ，1 ，0 ，o o ) = ( 1 一z l ，1 一勿，1 一一3 ，1 ，0 ，o o ) 一s ( z l ，钇，_ 3 1 ，0 ，o o ) = ( z _ a l _ 3 ，卫z , t - 3 ，磊z n - 4 ，去，1 ，0 ，o o ) t i ( z i ，z 2 ，磊一3 ，1 ，0 ，o o ) = ( z l ，z 2 ，五+ 1 ，盈，一3 ，1 ，0 ，o 。) 下面我们来描述玑，。的同调环结构：参见【a 】【c f h 】，我们主要参考 f h 】 先引进一些记号： 选取基点：q 1 = 露一2 ，q 2 = 露一3 ，q n 一3 = 2 ，一2 = 1 ，一1 = 0 对每个0 0 1 可定义加。如下： 目：s 1 - - - - - - 4f f j t o h ( q l ，q 2 ，g r 一1j 吼+ 必，q r + 1 ，一1 ，o o ) ，( r 扎一3 ) 对任何的0 1 和如当0 0 1 ，0 2 1 时：如。，。与口。 同伦，故我们可定义 q ，。= ( 虹，。) ，( t ) ( d 0 1 ) 而不依赖于0 的选取这里“为研( s 1 ，z ) 的生成元 注记：这里我们采取了与【f h 】中稍许不同的定义a ，。的方式，形式上要复杂一 些，但是这样做的好处是我们可以在计算中可以采取极限的形式，从而简化计算 四川大学博士学位论文 下一步，定义映射 ：双。，n 一铲舡- ，) 一篙，删n ( r i s ) n - 3 这里z 。一2 ，z 。一l ，z 。分别取固定的值1 ，0 ，o o 并且r ，s n 一1 令 o t r ，= ( 协。) ( 6 ；) 这里。i h 1 ( s 1 ，z ) 是。1 的k r o n e c k e r 对偶 性质5 1 类a 纛是a ，。的k r o n e c k e r 对偶( 这里m i n ( r ，s ) sn 一3 ) ，即 i ( o 乏，o 。) = l ，y o r ( u ，u ) = ( r ，s ) 1( o 幺，n ) = 0 ，o t h e r w i s e 证明：由口：。和a ，。的定义可直接计算，详见【f h 性质5 2 a 毛= 口：r ，( r ，s 站一3 ) 证明：由。嚣的定义，可归结为等式两边相差一个圆周对径映射的度数，详见 【f n 定理5 3 h 1 ( 甄，。，7 z ) 由集 o ，。i ( 1 r s n 一1 ，r n 一3 ) ) 自由生成 证明：考查纤维丛的序列妍。一一砜，。一1 _ 一砜，4 其中9 y t o ，一，k 一1 为 遗忘第一个m a r k e d 点的映射，此映射为一纤维型为r 2 去掉k - 2 个点的纤维映 射，使得砜，成为缎o ，k 一1 上的纤维丛，逐次应用l e r e y - h i r s c h 定理，详见【f h 定理5 4 h 9 ( 甄。z ) 由集： 衅1 。n 乞q r + p 。，i a r 1 您 勺n 一3 ，r 1 8 1 ，r p 勺) 自由生成 证明：见( f h p 9 7 定理1 1 1 2 四川大学博士学位论文 特别地：日1 ( 砜。z ) 由集 口；。i ( 1 r s n 一1 ，r 竹一3 ) ) 自由生成，于是又 由性质5 1 ，定理5 3 可知在k r o n e c k e r 积下h 1 ( 卿o mz ) 与h l ( 觋o mz ) 互为对 偶空间， o 玉i ( 1 r s n - 1 ，r n - - 3 ) ) 与 o t r 。i ( 1 r s 凡一1 ，r n - - 3 ) ) 互为对偶基底，这是我们后面确定变换律的基础