（基础数学专业论文）一类算子的不动点定理和一类映像的弱收敛定理.pdf

中文摘要 迭代逼近的方法是处理非线性问题的基本工具之一，特别对于满足适当序 条件的非线性算子本文的第一个主要工作就是以这一理论为依据，利用迭代 逼近的方法证明了序b a n a c h 空间中一类变序算子和一类只满足某种序条件的 混合单调算子的不动点定理本章所得结果是对相应序压缩映像不动点定理的 改进，减弱了相应定理的条件，并进一步研究了不动点的存在性和唯一性 本文第二个主要工作以迭代的发展改进理论为依据，第三章从迭代形式发 展的方向上，讨论了在2 一致b a n a c h 空间中，通过修正的m a n n 迭代： v x l c ，x n + 1 = ( 1 一q n ) z n + q n 7 叩l z 7 i ，佗1 其中c 是2 一致b a n a c h 空间中的闭凸子集，t ：c c 是k 一严格伪压缩映 像，当 q n ) 满足适当的条件，由上述迭代产生的序列 z n ) 弱收敛到丁的某个 不动点第四章从迭代算子的发展方向上，讨论h i l b e r t 空间中渐近肛严格伪 压缩映像的弱收敛性研究两种迭代： v x l c ，x n + l = q t i z n + ( 1 一q n ) 丁n z n ，v n 1 v x l c ，x n + 1 = 风z 7 l + ( 1 一风) p c s x n ，v n 1 其中c 是h i l b e r t 空间日中的闭凸子集，t ：c 一是渐近肛严格伪压缩映 像，总为日映上c 的度量映像，s ：c _ ，s x = k z + ( 1 一仡) t n z 当 q n ) ， 风 满足适当的条件时，由上述两种迭代产生的序列 z n ) 弱收敛到t 的某个 不动点 缩 关键词 序b a n a c h 空间，混合单调算子，不动点，肛严格伪压缩，渐近肛严格伪压 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h em e t h o do fi t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o ni so n eo ft h eb a s i ct o o l st od e a l w i t hn o n l i n e a rp r o b l e m s ，p a r t i c u l a rt ot h en o n l i n e a ro p e r a t o r sw h i c hs a t i s f y a p p r o p r i a t eo r d e r e dc o n d i t i o n s i nt h i sp a p e r ，t h ef i r s tm a j o rw o r ki sb a s e do n t h i st h e o r y w ep r o v es o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m so fv a r i a b l eo r d e ro p e r a t o r s a n dm i x e dm o n o t o n em a p p i n g sw h i l eh a v i n go r d e r e dc o n d i t i o n s t h er e s u l t s o b t a i n e di nt h i sp a p e ri m p r o v ea n de x t c n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ff i x e d p o i n to fo r d e r e dc o n t r a c t i v em a p s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n t a r ea l s od i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h es e c o n dm a jo rw o r ki sb a s e do nt h ed e v e l o p m e n ta n di m p r o v e m e n to fi t e r a t i v et h e o r y i nt h et h i r ds e c t i o n ，t h em o d i f i e dm a n na l g o r i t h mi n2 - u n i f o r m l y s m o o t hb a n a c hs p a c e sg e n e r a t e sas e q u e n c e z n ) b yt h ef o r m u l a ： v x l c ，x n + l = ( 1 一口n ) z n + q n t n z n ，n 1 w h e r eci sac l o s e dc o n v e xs u b s e to fa2 - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e ， t ：c ci sar - s t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o n i ti sp r o v e dt h a ti ft h ec o n t r o l s e q u e n c e o l n ) i sc h o s e nt os a t i s f ya p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ，t h e n z n ) c o n v e r g e s w e a k l yt oaf i x e dp o i n to ft i nt h ef o r t hs e c t i o n ，w e a kc o n v e r g e n c et h e o r e m s f o ra s y m p t o t i c a l l yk s t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o ni nh i l b e r ts p a c e8 r ep r o v e d t h e s e q u e n c e z n i sg e n e r a t e db yt h ef o l l o w i n ga l g o r i t h m s ： v x l c ，x n + l = c z n + ( 1 一q 礼) ? n z n ，v n 1 v x l c ，z n + l = 陬z n + ( 1 一风) 尸6 s z n ，v n 1 w h e r eci sac l o s e dc o n v e xs u b s e to fah i l b e r ts p a c eh ，t ：c _ hi sa a s y m p t o t i c a l l yk - s t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o n s ：c _ hi sd e f i n e db ys x = 仡z + ( 1 一k ) p z ，p ci sm e t r i cp r o j e c t i o nh o n t oc i ti sp r o v e dt h a ti f q 礼) a n d 风) a r ec h o s e nt os a t i s f ya p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ，t h e n z n ) c o n v e r g e sw e a k l y t oaf i x e dp o i n to f t k e y w o r d s o r d e r e db a n a c hs p a c e s ，m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r ，f i x e dp o i n t ，x - s t r i c t p s e u d o - c o n t r a c t i o n ，a s y m p t o t i c a l l y 仡- s t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o n i n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：垒幽指导教师签名： 少。7 年易月7 日训7 年参月7 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特, 勋j d n 以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：兹楫叹甄 2 厂年月f ，7 日 西北大学硕i ? 学位论文 第一章绪论与预备知识 1 1 非线性算子产生的历史背景与现状 非线性泛函分析的内容大都可追溯到二三十年代，自上世纪八十年代以来， 郭大钧教授和他的学生孙经先教授，杜一宏教授等利用半序方法来研究缺乏紧 性或缺乏连续性条件的非线性问题：并获得一系列新的结果 1 - 5 l ，主要有：( 一) 在完全不考虑紧性的条件下，仅使用有关序的某种不等式，获得了增算子，减 算子，混合单调算子不动点的存在唯一性以及迭代序列的收敛性，并应用于无 界区域上的非线性积分方程( 二) 在完全不考虑连续性的条件下，仅使用弱紧 性条件，获得了增算子的若干新的不动点定理，并应用于右端有间断项的非线 性微分方程( 三) 将半序方法系统地应用于b a n a c h 空间非线性积分- 微分方 程( 包括脉冲型方程) 近十几年来张志涛教授，许绍元教授，李福义教授等人都 在研究带有凹凸性的单调算子不动点的存在唯一性和迭代序列收敛问题，并且 获得了不少好的结果 6 - 1 4 】 1 9 8 7 年，郭大钧教授和l a k s h m i k a n t h a m v 提出了混合单调算子的概念 近几年国内外好多学者都对此理论进行了深入研究并取得了好多价值性结 论【1 5 19 l ，由于它对非线性泛函分析理论研究有重要意义，而且对核物理研究及 传染病模型研究等具体问题有广泛应用，因此研究势头至今仍在发展，目前研 究比较多的是带有凹凸性的混合单调算子，其次还有人研究序对称或非对称压 缩的混合单调算子 利用迭代逼近的方法是处理非线性问题的基本工具之一，特别是对于在 适当的序条件下的非线性算子问题，应用迭代的方法可以得出许多好的结 果f 2 0 一2 引 1 第一章绪论j 预备知识 1 2 迭代的重要性及其演变发展 1 2 1 迭代的重要性 在科学研究的开始阶段，人们仅局限于解决线性问题经过近三百年的发 展，对这类问题已经有了一系列非常成熟的方法即使如此，也只是对于一些理 想化的问题才能获得少量的精确解，在这些精确解中，还有相当。部分是用级 数积分，特殊函数表达的为了得到些更多有用的科学结论，就必须依靠近似 方法计算出具体的数值来，迭代方法正是提供了一种计算近似解的方法 映射的迭代不仅在现实生活中比比皆是，而且问题的提法初等，易于接受 然而迭代运算具有非线性与全局性的特点，许多情况下迭代增添了非线性映射 的复杂性，这就使得这一古老的算法受到时间复杂性和空间复杂性的影响，束 缚了它的发展电子计算机的革命使数值模拟成为科学研究的重要途径，理论 分析常常要与数值模拟方法结合起来解决某一具体问题，但是数值模拟不能完 全代替理论分析，相反地，只有在理论分析指导下的数值模拟才能克服计算中 遇到的有关收敛性，稳定性，奇异性的困难，得到一些真正有价值的结果 有人认为近似解不如精确解好，如果能求出精确解当然好，但现实中归纳 数学问题时就或多或少作出的近似的方程只是真实物理世界的近似模拟，所以 求近似方程的精确解并不比求近似方程的近似解更有意义，只要能做到误差在 允许范围内就可以了 近年来迭代方法被广泛的用来解非线性算子方程和h i l b e r t 空间或b a n a c h 空问中变分不等式问题 1 2 2 迭代的演变和发展 1 迭代形式的演变 总结起来，迭代主要有以下四种形式 设x 为一线性空间，ccx t ：c _ c 为一映像， 口n ) ， 风 和 h ) 为 包含于【o ，1 】的序列 2白 西北大学硕：i ：学能论文 ( 1 ) p i c a r d 迭代 x o c ，x n + l27 叽z n ，y n 0 在一定条件下，该序列 x n ) 收敛于丁的一个不动点这一迭代法是建立压缩 映像原理的基础，它是1 9 1 1 年由p i c a r d 提出的 ( 2 ) 一重迭代 一重迭代当中最著名的就是由m a n n 在1 9 5 5 年提出的m a n n 迭代法： x o c ，x n + l = ( 1 一q n ) 名n + q n t x n ，v n 0 其它典型的一重迭代还有h a l p e r n 在1 9 6 7 年提出的如下迭代过程 x o c ，u c ，z n + 1 = q n + l u + ( 1 一q n + i ) t x n ，y n 0 这个迭代过程还被w i t t m a n n 和r e i c h 研究过 ( 3 ) 二重迭代 二重迭代当中最著名的是由i s h i k a w a 在m a n n 迭代的基础上于1 9 7 4 年 提出的i s h i k a w a 迭代方程： x o c ，x n + 1 = ( 1 一o l n ) z n + o l n 乃n ， y n = ( 1 一风) z n + 风乳n ，y n 0 ( 4 ) 多重迭代 m a n o o r 在2 0 0 0 年提出三重迭代过程： x 0 c ，x n + 1 = ( 1 一q n ) 。n + o l n t 姚， y n = ( 1 一风) z n + 风丁， z n = ( 1 7 n ) x n + n n ，v n 0 这些年多重迭代的一个热点是多个算子收敛于它们的公共不动点的迭代，多个 算子收敛于公共不动点的迭代主要有显式迭代和隐式迭代两种 2 6 - 2 9 1 3u 第一章绪论与预备知识 除了列举的以上几种类型的迭代外，在迭代演变的过程中许多学 者对以上各种迭代进行了各种优化改进和拓广例如在讨论各类具 有渐近性质的算子时，许多学者把迭代过程当中的丁( 正，i = 1 ，2 ，) 用p ( 口，i = 1 ，2 ，) 来代替，则得到了与各类型相对应的改进的迭代方 法还有些学者为了具体的计算的精确，考虑了计算当中的计算误差和随机误 差，在迭代过程中加入了误差项 2 迭代发展改进的方向 ( 1 ) 迭代形式的发展从特殊到一般，从重到多重，从多重单算子到多重 多算子，从一般形式到具有误差形式 ( 2 ) 迭代算子的发展算子集合范围越来越广泛最早的连续算子到一 l i p s c h i t z i a n 算子到非扩展算子，从非扩张算子到伪压缩算子，到渐近非扩张 算子，到渐近伪压缩算子，到严格渐近伪压缩算子，再到渐近d e m i 一压缩算子 到h e m i 一压缩算子 ( 3 ) 迭代算子定义空间的发展从e u c l i d c a n 空间到h i l b e r t 空间，到一致 凸的b a n a c h 空间( 一致凸的b a n a c h 空间是目前知道的具有“最强凸性” 的b a n a c h 空间，并且是知道在几何性质方面“弱”于h i l b e r t 空间的“最强空 间) ，满足o p i a l 条件的b a n a c h 空间，到一致光滑的b a n a c h 空间，再到一般 的b a n a c h 空间 ( 4 ) 迭代参数的限制越来越松 1 3 预备知识 为了以后各章推导的需要，我们首先介绍一些最基础的概念 定义1 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 表示e 中的零元，非空闭凸集p 为e 中 的锥是指满足： ( 1 ) v x 只a 0ja z 只 ( 2 ) x 只一z 尸令z = p 4 西北人学硕il ：学位论文 定义1 2 设p 是e 中一个锥，如果存在常数 0 ，满足 口z y 号i | xl i ni iyi i 则称尸是正规的满足式中正数的最小值叫做尸的正规常数 定义1 3 给定e 中的锥j p 后，可在e 中的元素间引入半序：z y ，其 中x ，y e ，如果y x p 定义1 4 设e 是实b a n a c h 空间，e + 是其对偶空间，j ：e 一2 p 称为正规 对偶映像： j ( z ) = ，e + ：( x ，) = l l21 1 2 = l i ，0 2 ) 定义1 5 设e 是实b a n a c h 空间，c 是e 中的非空闭凸子集，t ：c _ c 是 一映像f ( t ) = z c ，t x = 。) 为丁的不动点集若 z n ) 为c 中的序列， 一和j 分别表示强弱收敛，乩( z n ) = x ：3 x jx ) 表示 x n ) 的弱u - 极限 定义1 6 设e 实b a n a c h 空间，c 为e 中的一非空子集，t ：c _ c 是一个 映像 ( 1 ) t 称为非扩张映像，若： t x t yi i - i lx yi i ，v x ，y c ( 2 ) t 称为渐近非扩张映像，若：存在序列 ) ，且一0 ，使得 7 叽z 一丁n 可1 1 2 ( 1 + ，y n ) 0z y1 1 2v x ，y c ( 3 ) t 称为严格伪压缩映像，若：存在常数0 仡 1 ，j ( z y ) j ( x 一可) ，使得 ( t x t y ，j ( z y ) ) i ix y1 1 2 一ki l ( ，一t ) x 一( ，一t ) y1 1 2 , v x ，y c ( 4 ) 丁称为渐近严格伪压缩映像，若：存在常数0 仡 1 和序列 ， 且一0 ，使得 t n x p 可1 1 2 ( 1 + ) i i 。一y1 1 2 + 仡i i ( ，一p ) z 一( ，一p ) 可0 2 5 第一章绪论与预备知识 v x ，y c ，v n 0 注1 在( 3 ) 中当托= 0 时，t 为非扩张映像，当尼= 1 时，丁为伪压缩映像，所 以严格伪压缩映像处在非扩张映像和为压缩映像之间在( 4 ) 中当仡= 0 时，t 为渐近非扩张映像 注2 在h i l b e r t 空间中( 3 ) 中的不等式等价于 ( 死一功，z 一秒) - 1 1z | j 2 - 睾i ix - - t x ) - ( y - t y ) 1 1 2 , 协，y6c 6 西北大学硕。卜学位论文 第二章序b a n a c h 空间中一类算子的不动点定理 2 1 引言及引理 本文在较弱的条件下，研究了序区间上一类算子的不动点，改进了文献【2 0 ， 2 1 1 的结论并利用迭代逼近的方法证明了一类混合单调算子的不动点定理，完 善了文献【2 2 】的结论，使其适用范围更广 设e 是实b a n a c h 空间，p 为e 的正规锥，为p 的正规常数，锥p 诱 导的半序关系为：让口，如果u u p 对于仳，e ，若有牡u 和秒让 之一成立，则称u 和u 是可以比较的当乱和u 可比较时，记l 一ui = 口一仳， 若u u p ；i 一ui = 仳一口，若u v 0 定义2 1 设u 0 e ，u 0 e ，有u o y 0 ，称集合【u 0 ，u 0 】= 【u l u o u v o 为e 中的序区间 定义2 2 设非空集dce ，算子a ：d d _ e 满足 ( i ) 对每个固定的d ，a ( x ，y ) 在d 上关于x 是单调递增的即：对任意 的x 1 ，x 2 ，y d ，若x 1 3 7 2 ，则a ( z l ，y ) a ( x 2 ，) ， ( i i ) 对每个固定的x d ，a ( x ，y ) 在d 上关于可是单调递减的即：对任意 的x ，y 1 ，y 2 ，若y 1 y 2 ，则a ( z ，y x ) a ( x ，抛) 称a 是混合单调算子 定义2 3 设a ：d d _ e 是d 上的算子，如果x + d 使得a ( x + ，x 4 ) = x + ， 称z 是a 在d 上的一个不动点 引理2 1 2 1 若u 和v 是可比较，则乱一u 和u 一乱也可以比较，且p i u u i 引理2 2 若u 和u ，u 和w ，w 和u 可比较，则i u u i i w u i + i u 一训 引理2 3 【2 1 】若对所有的n ，u 和v n 可比较，且_ v o ( n _ o 。) ，则u 和u 0 可 比较 引理2 4 2 l | 若对所有的n ，u n 和可比较，且u n u o ，一v o ( n _ o o ) ， 则秕。和可比较 引理2 5 【2 0 1 锥正规的充分必要条件是：存在与原来的范数l l 0 等价的范 7l 第一：章序b a n a z h 守问中一类算f 的小动点定理 数0 i l l 使0 1 1 1 关于p 是单调的 2 0 0 5 年，张宪在序b a n a c h 空间中引入了几种序压缩型映射，证明了相应 的不动点定理： 定理l f 2 1 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，正规常数为设映 像a ：e _ e 满足： ( i ) 4 是伊序压缩的； ( i i ) 存在x o e ，使得对所有的佗，z o 和a n 。o 是可比较的则以存在不动点， 且迭代序列 a n z o 收敛于a 的个不动点x 4 定理2 1 2 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，正规常数为设映 像a ：e e 满足： ( i ) 存在常数0 0 ，使得u | l 1 1 1 - - 1 1 1 i 入l i 1 1 1 下面考虑迭代序列 x 12a x o ，z 2 = a 2 z o ，x n + 12a x n = a n + l x o ， 由于x o 和a x o 可比较，条件( i ) 表明对所有1 , ，z n 和x n + l 可比较，且由条 件( i i ) 及引理2 1 知，对n 1 p i x n + l x n l = i a x n a x n 一1 i a ( i iz n x n - - 1l i ) l z n x n - 1 1 所以由a 的增性及( 2 1 ) 式知 z n + 1 一。n1 1 1 o ( ai iz n x n 一11 1 1 ) i | z n x n 一1 ( 2 1 ) 由条件( i ) 知a ( t ) ( 0 ，1 ) ，从而i lx n + i - - x ni f l l ix n z n 一1 忆即圳x n + i - - x n1 1 1 ) ( n = 0 ，1 ，) 是非负单调递减序列，又由函数a 的增性知 a ( a9x n + l x n1 1 1 ) a ( al lx l x o1 1 1 ) l ( n = 1 ，2 ，) 记n ( a0x l x 01 1 1 ) = p ( 0 ，1 ) 则由( 2 1 ) 式得 p ix n + l z nl plz n x n - - 1i 故ix n + l z ni piz n x n - 1i sp nix l x oi 即i iz n + 1 一z n1 1 1 p n1 t 1 一z 。1 1 1 由于0 p 1 ，知0 j j 。t n - 1 一z n1 1 1 p ni ix l x 。i 1 - - - - 0 ，不难证 明( z n ) 是c a u c h y 列由于e 是完备的，设z n _ z + e 下面我们证明z + 是a 的不动点对任意m ，佗，设n m 由条件( i i ) 知， z o 和z m n = a m n t o 可比较，由于a 满足条件( i ) 可知a x o 和a x 仇一n 是比 9 第_ 章序b a n a c h 空间中一类算。r 的不动点定理 较的霞复以上过程有a n x o 和a n 一n = a m z o 是可比较的，故和是 可比较的，令m o o ，由引理2 3 知，对所有n ，z n 和x + 是可比较的，从而a x n 和a x + 是可比较的，且 p ia x n a x + l a ( | | z n x + i i ) lx n z + i 由p 在e 中的正规性知 iz n + 1 一a x i i l = 0a x n a x + 1 1 1 0 ，使得ui i 1 1 1 _ 1 i i | a | | 1 1 1 下面考虑迭代序列 x 12a x o ，z 2 = a 2 z o ，z n + 12a x n = a n + l x o ， 由于x o 和a x o 可比较，条件( i ) 表明对所有礼，x n 和x n + l 可比较，且由条 件( i i ) 及引理2 1 知，对佗1 口i x n + l x n i = i a x n a x n l i o ( 1 lz n x n - ll i ) i z n x n - 1 l + b ( i lz n x n - 1f i ) | x n x n - 1i 1 0 西北大学硕十学位论文 即 k 一划粤糯专尚i x n - - x n - 1 i 故由函数a ，b 的增性知 z n + 一z ni i ，i 兰芝乏头_ 孑三瑞| | z n z n ti i ， 记ai iz n x n - 11 1 1 - - - - t n ，贝0 i iz n + l - - x ni i - 端n 喃_ l jj 1 由条件( i ) 知，对任意的k 【。，o o ) ，有。 丁当篆b 1 ，故 z t i + 1 一z n1 1 1 1 lz n x n - l1 1 1 即非负序列圳x n + l z ni l i ) ( n = 1 ，2 ) 单调递减，所以由函数a ，b 的增性知 。 0 ，使得乱l i 1 1 1 _ 1 f | i ai i | | 1 定义迭代序列 乱l2a u o ，u 22a u l = a 2 札o ，乱n + l2a u n = a n + l u o ， 1 1 第j ：章序b a n a c h 窄闯中一类算予的不动点定理 0 1 = a v o ，吨= a v l = a 2 o ，+ 1 = a v n = a n + l v o ， 则 u n ) ， u n ) c 【u o ，0 0 由于u 0 v o 及a 满足的条件，则对所有n ，u n 和? 3 n 是可比较的且 口lu n 一 ni = ia u n 一1 一a v n 一1l o ( 1 i i n - 1 一v n - 10 ) iu n - l 一 v n - - 1i 由a 的增性知 0u n 一, o n1 1 1 n ( ai | u n - 1 一 n 一11 1 1 ) i l 1 1 , n 一1 一一11 1 1 又因为n ( t ) ( 0 ，1 ) ，从而 i iu n v n1 1 1 l lu n 一1 一v n - l1 1 1 即删仳n u n1 1 1 ) 是非负单调递减序列，又由函数a 的增性知 n ( ai iu n v n1 1 1 ) 。( ai i t o v 01 1 1 ) 1 记o ( 入i iu 0 一0 0 | 1 1 ) = p ( 0 ，1 ) ，贝0 口iu n u ni pju n - l 一? 3 n - 1i ， 故 l | u n v n1 1 1 p nj iu o v o1 1 1 一o 又由乱o u 1 ，可得对所有n ，让n 和u n + 1 是可比较的，且 目iu n + l u nl = i 以u n a 饥n 一1i 冬n ( i i “n u n - 1i i ) iu n u n - 1i 所以由。的增性知 i | 饥n 十1 一u n1 1 1 口( ai i t l u t i 一11 1 1 ) i i 牡n 一钍n l 1 1 由于n ( t ) ( 0 ，1 ) ，故l lu n + l u nl i x l iu n 一? d n - - 1 忆即 | | z n + l u n1 1 1 ) 是非 负单调递减序列，由函数a 的增性知 口( ai lu n + 1 一u n1 1 1 ) o ( 入i iu l u o1 1 1 ) 1 】2 西北大学硕十学位论文 记口( 入| iu l 一? 2 00 1 ) = q ( 0 ，1 ) ，得0u n + 1 一u ni ix - - - q ni lu l u 01 1 1 可证 札n 】- 是c a u c h y 列，设u n 一让+ 【 , t o ，v 0 类似可证 秒n 也是c a u c h y 列，设_ + 【u o ，v 0 ，则有i iu 一u + 1 1 1 2 典恐i i 仳n 一 o n1 1 1 2 熙p ni i z 0 一v 01 1 1 = 0 ，从而u 。= u + 关于不动点的唯一性证明是简单的 下面证明u + 是月的一个不动点对n 0 ，使得u0 l l a 1 1 i i - - - a | l i | 1 o n + 1 一u n + 1 = 4 ( u n ，u n ) 一月( u n ，。f i n ) + q ( 一) o ( i lv n u n | i ) ( 一u n ) + c l ( v n u n ) = 【n ( i iv n 一让nl i ) + 乜】( 一u n ) 1 4 西北大学硕t ：学位论文 由函数a 的增性知 | i 。o n + l u n + l1 1 1 n ( ai i 一乱n1 1 1 ) + a 】i | 一i | 1 由于q ( ) ( o ，三) ，从而 注意到函数a 的增性得 即 l i + l 心n 十1l l l i i 一u n1 1 1 o ( i l 一u n1 1 1 ) + o t a ( i i u 0 一 t o1 1 1 ) + 口 n ( 入i l 一钆n1 1 1 ) + a 0 ，( al iv 0 一u 01 1 1 ) + q 记口( 入i i 3 0 一u 0 | 1 1 ) + q = p ( 0 ，1 ) 则 v n 十l u n + 1 p ( u n u n ) p n + l ( v o u o ) 由于l i 1 1 1 关于p 单调，故 i i o n + 1 u n + 11 1 1 p n + 1i | v 0 一u 01 1 1 ( 2 3 ) 对所有的n ，p ，u n 和v n 可比较，和u n + p 可比较，且由( 2 2 ) 式得 札n + p u n v n u n p n ( v o u o ) ( 2 4 ) 结合( 2 3 ) ，( 2 4 ) 式得 i i 让n + p 一乱n1 1 1 l i v n u n1 1 1 - - - p ni it j 0 一u 01 1 1 - - 0 由e 的完备性知 同理可证 u n _ u z ( n _ o 。) 啼 + e 1 5 第_ 章序b a n a c h 窄问中一类算予的不动点定理 从而 t 正o u 1 u n u + u + u l 咖 即u + ，v + 【u 0 ，, 0 1 从而 故 口u + 一u + 1 ) n 一钆n p n ( v o u o ) u + 一u + i ix p ni | 3 0 一u 01 1 1 0 即u + = u 令x + = u + = v + ，从而 因此 从而 乱n a ( u n 一1 ，v n 一1 ) a ( x + ，z + ) a ( u 仃一1 ，u n 一1 ) = v n 即a ( x ，z ) = x + p a ( x + ，x + ) 一u n v n u n p n ( 如一乱o ) a ( z + ，名) 一乱ni i l | ip n ( 啪一 u 0 ) 1 1 1 ，0 3 。下面证明z + 是唯一的若存在y 4 x + 也是a ( u ，u ) 在【u o ，v o 】上的不 动点，则 乱1 = a ( u o ，1 ) 0 ) 一a ( v o 一让o ) ( a ( u o ，y o ) 4 ( 可+ ，y + ) = y + a ( v o ，u o ) = 1 ) 1 由数学归纳法得：u n y + v n 令钆_ 。o ，即得z + y + x 幸，故有z = y + 2 3 本章小结 在这章中主要获得了四个定理，并且所有定理的证明都采用了迭代逼近的 方法，这就体现了此方法在处理非线性算子问题中的重要性 本章的四个主要结果是： 定理2 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，正规常数为，映 1 6 西北大学硕l j 学化论文 射a ：e e 满足： ( i ) 存在单调递增的函数a ：【0 ，o o ) _ 啼( 0 ，1 ) ，使得对任意u ，u e ：若“，u 可比 较的，则a u ，a v 可比较，且i a u a u i a ( i iu 一 2i i ) l v u 1 ( i i ) 存在x 0 e ，使得对所有的扎，x 0 和a n x 0 可比较。记z n + 1 = a x n ，则a 存在不动点，且迭代序列_ a n z o ) 收敛于4 的一个不动点z + 定理2 2 设e 是实b a n a c h 空间，尸是是e 中的正规锥，正规常数为，映 射a ：e _ e 满足： ( i ) 存在单调递增的函数a ，b ：【0 ，。) _ ( o ，1 ) 满足( ) + b ( t ) l ( v t 0 ) 且对 任意u ，u e ，a u 和a v ，u 和a u ，及v 和a v 均可比较，并有 ia v a ui a ( i i 口一乱0 ) la u 一乱l + 6 ( 1 u 一“1 1 ) fa v t ，i ( i i ) 存在z o e ，使得对所有n ，x o 和a n x o 可比较则a 在e 中存在不动点， 且迭代序列 4 n z o ) 收敛于月的不动点z + 定理2 3 设e 是实b a n a c h 空间，尸是e 中的正规锥，正规常数为， 设u 0 ，v 0 e ，u 0 v 0 ，【u 0 ，v 0 】是序区l ；- j ，映射a ：e _ e 满足：存在单调递增 函数a ：【0 ，+ o o ) _ ( 0 ，1 ) ，使得对任意让，u e ，若u ，u 可比较，则a u ，a u 可 比较，且ia u a ui a ( i lu u | | ) iv u1 则4 存在唯一的不动点，且对任 意, 1 7 【i z 0 ，v o ，迭代序列 以n z ) 收敛于l 的唯一不动点 定理2 4 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，正规常数为，算 子a ：【u 0 ，v o 】【u 0 ，v 0 】_ e 是混合单调算子，且存在常数o l ( 0 ， ) ，满足下列 两个条件： ( i ) a 0 + a ( v o u 0 ) a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) 1 ) o ( i i ) 若扎， 【乱o ，如】，乱和秒可比较，则存在单调递增函数口：【o ，+ ) 一( 0 ， ) ， 满足ia ( v ，u ) 一m ( u ，u ) i 口( i iu u | | ) l 一ui 则混合单调算子a ( u ，u ) 在【u o ，v o 】上有唯一的不动点2 7 + 构造迭代格式：“n 十l = a ( u n ，? 3 n ) 一口( u n u n ) ；v n + 1 = a ( ，? - i n ) ，则有z 牛= l i mu n = l i mu n n + 。n + o 。 17 笫三章二一致b a n a c h 窄间中肛严格伪压缩映像的弱收敛定理 第三章2 一一致b a n a c h 空间中k 严格伪压缩映像的弱收 敛定理 3 1 引言及预备知识 在非线性映像中，非扩张映像和伪压缩映像是两种重要的映像，对它们的 研究有了很长的历史，并取得了许多好的结论【2 6 3 7 i 在实b a n a c h 空间中，t 称为肛严格伪压缩映像，若存在常数k o ，1 ) ，j ( x y ) g ( x 一可) ，使得对任意x ，y c 有 ( 死一t y ，j ( x y ) ) i iz y1 1 2 一仡l i ( ，一t ) x 一( ，一t ) y