（基础数学专业论文）两类分形集的hausdorff测度.pdf

两类分形集的h a u s d o r f f 钡f j 度 基础数学专业 研究生陈晓丹指导教师周吉 摘要：分形几何是上世纪7 0 年代中期发展起来的一门新兴的学科，它为研 究自然界中一些不规则集提供了新的思想、方法和技巧，已引起科学界的极大 关注。正如f a l c o n e r 在 9 q b 所述：“过去，数学己广泛涉及到那些可以用经典 的微积分进行研究的集类和函数类，而那些不够光滑和不够规则的集和函数却 被认为是病态的，不值得研究而不被理睬。近几年来，这种态度发生了变 化，人们已经意识到，对不光滑集可以而且必须进行详细的数学描述，不 规则集比经典的几何图形能更好的反映许多自然现象，分形几何恰好为研究这 样的不规则集提供了一个总的框架。”特别在近年来，分形几何这一新兴学科 在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科的研究和应 用中获得巨大成功，同时，不同学科中提出的大量问题又刺激了分形几何的深 入发展。因此，分形几何的诞生和发展对整个科学的发展有极为重要的意义， 正如m f s h l e s i n g e r 在 1 4 1 中指出： “2 0 世纪的后半期似乎是科学与数学变得 更加专门化的时期。令人瞩目的是，在前一个十年，下述两个课题使上述趋势 得以逆转：非线性动力学与分形。前者涉及到运动的非线性确定方程的一般普 适行为，而后者则是研究自相似或自防射对象的几何以及该几何上的动力学。 两者均已应用到一系列深刻的交叉学科的问题中。” 分形几何主要研究问题之一是分形集的许多形式的维数，如h a u s d o r f f 维 数，填充维数，m i n k o w s k i 维数等。这些维数用以度量分形集的不规则性和裂 碎程度：从几何角度看，它们反映了集合的填充空问的能力，是描述集合分形 特n 皓q 重要参数。分形几何研究的另一个重要问题是计算分形集的h a u s d o r f f 测度。h a u s d o r f f 测度推广了长度，面积，体积等类似度量的概念：通常人们希 望在给定了适当的“尺度”( 即维数) 下，所测量的结果是正有限的。 但是，在分形几何的研究中，计算维数是一件十分困难的事，而要计算其 h a u s d o r f f 测度就更加困难了。到目前为止，仅有几种比较特殊的并且维数不超 过1 的分形集的h a u s d o r f f 测度被确定，如齐次c a n t o r 集，一些s i e r p i n s k i 地毯 等，还有许多分形集的测度有待人们计算或估计。本文通过发展文 1 3 1 中的技 巧，计算了齐次c a n t o r 集和一类m o r a n 集的h a u s d o r f f 测度。本文共分为三章。 第一章回顾了有关测度论的基础知识，h a u s d o r f f 测度和维数的定义和性 质，还介绍了在计算h a u s d o r f f 测度和维数中经常用到的技巧：几个覆盖定理 和质量分布原理。 第二章首先介绍了自相似集和开集条件的定义及一些与计算自相似集的 h a u s d o r f f 测度相关的结论；然后运用了几个初等的不等式得到了任一闭区间与 齐次c a n t o r 集相邻两级基本区间的交的直径的一个关系式，然后根据该关系式 得到了一个闭区间的直径与k 阶基本区间的长度之问的一个关系式，进一步计 算出了齐次c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度的下界；再将齐次c a n t o r 集的k 阶基本 区间作为覆盖区间得到了它的h a u s d o r f f 测度的上界，从而得到了齐次c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度的准确值。 第三章首先介绍了m o r a n 集的基本概念和满足一定条件的m o r a n 集的 h a u s d o f f f 维数，然后用与第二章计算齐次c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度一样的计 算方法得到了一类m o r a n 集的h a u s d o r f f 测度的准确值。 关键词：h a u s d o r f f 测度，h a u s d o r f f 维数，自相似集，齐次c a n t o r 集，m o r a n 集，质量分布原理。 2 h a u s d o r f fm e a s u r e so ft 钾0c l a s s e s o ff r a c t a ls e t s s p e c i a l i t y ：b a s i cm a t h e m a t i c s g r a t u a t es t u d e n t ：c h e nx i a o d a ni n s t r u c t o r ：z h o nj i a b s t r a c t ：f r a c t a lg e o m e t r y , an e wb r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，h a sb e e nd e v e l o p e di n t h el a s tt w od e c a d e s t h e r eh a sb e e naf a s tg r o w t hi ng e n e r a li n t e r e s ti ni r r e g u l a rs e t s w h i c ha r en e i t h e rs m o o t hn o rs u r f a c e l i k ea m o n gr e s e a r c h e r si nm a n ys c i e n t i f i cf i e l d s af f a c t a ls e ti sr e g a r d e da sav a l i dp h y s i c a lo b j e c tw h i c hi su s e f u li nt h eu n d e r s t a n d i n g o f m a n y s c i e n t i f i cp h e n o m e n a , s u c ha st h eb r o w n i a nm o t i o no f p a r t i c l e s ，t u r b u l e n c ei n f l u i d s ，t h eg r o w t ho fp l a n t s ，g e o g r a p h i c a lc o a s t l i n e sa n ds u r f a c e s i nr e c e n ty e a r s ， f f a c t a lg e o m e t r yo b t a i n e da ni m m e n s es u c c e s si nr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o ni ns u c h d i s c i p l i n e s a s m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c a ls c i e n c e ，g e o l o g y , m a t e r i a l ，e n g i n e e r i n g a n ds oo n a tt h es a m et i m e ，al a t en u m b e ro fq u e s t i o n st h a ta r e p u tf o r w a r di n d i f f e r e n t d i s c i p l i n e s s t i m u l a t et h et h o r o u g hd e v e l o p m e n to ff r a c t a l g e o m e t r y s o t h eb i r t ha n dd e v e l o p m e n to ff r a c t a lg e o m e t r yh a v ea ne x t r e m e l y i m p o r t a n tf u n c t i o n t ot h ed e v e l o p m e n to ft h ew h o l es c i e n c e a sa n i m p o r t a n tp a r a m e t e r t od e s c r i b et h ef r a c t a l s e t s ，m e a s u r ep l a y s a n i m p o r t a n t r o l ei nf r a c t a l g e o m e t r y n o w a d a y s ，m e a s u r e o fd i f f e r e n tf o r m sh a s 3 a p p e a r e d , s u c ha st h eh a u s d o r f fm e a s u r e ，t h ep a c k i n gm e a s u r ea n dt h em i n k o w s k i m e a s u r e ，a m o n g w i n c ht h eh a u s d o r f fm e a s u r ei st h em o s ti m p o r t a n to n e h o w e v e r , t h ee s t i m a t i o na n dc a l c u l a t i o no ft h eh a u s d o r f fm e a s u r eo ff r a c t a ls e t s i sv e r yd i f f i c u l t s of a r , t h ea c c u r a t ev a l u eo ft h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fs o m es p e c i a l f r a c t a ls e t sw i t hh a u s d o r f fd i m e n s i o nn om o r et h a n1h a sb e e no b t m n e d ，s u c ha st h e h o m o g e n e o u s c a n t o rs e t ，s o m es i e r p i n s k ic a r p e t s i nt h i sp a p e r , w eo b t m nt h ee x a c t h a u s d o r f fm e a s u r eo ft h eh o m o g e n e o u sc a n t o rs e ta n dac l a s so fm o r a ns e t s t h e r e a r et h r e e c h a p t e r si nt h i sp a p e n i no u rf i r s t c h a p t e lw ep r e s e n t s o m eb a s i c k n o w l e d g ea b o u tm e a s u r e s ，t h e d e f i n i t i o n sa n dp r o p e r i i e sa b o u tt h eh a u s d o r f fm e a s u r ea n dh a u s d o r f fd i m e n s i o n a l s ow ei n t r o d u c es o m es k i l l st h a ta r eo f t e nu s e di nc a l c u l a t i n gt h eh a u s d o r f fm e a s u r e a n dh a u s d o r f fd i m e n s i o n c h a p t e r 2s t u d i e st h eh a u s d o r f fm e a s u r eo ft h eh o m o g e n e o u sc a n t o r s e t f i r s t l y , t h er e l e v a n tr e s u l t sa b o u tt h ec a l c u l a t i o no ft h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fs e l f - s i m i l a rs e t s a r ei n t r o d u c e d t h e nt h el o w e rb o u n df o rh a u s d o r f fm e a s u r e so ft h eh o m o g e n e o u s c a n t o rs e t si sg i v e nb ya ne l e m e n t a r ym e t h o d a tt h es a m et i m e ，t h eu p p e rb o u n df o r t h e i rh a u s d o r f fm e a s u r e si so b t a i n e db yt h ec o v e r i n go f k t hb a s i ci n t e r v a l s ，a n df i n a l l y t h ee x a c th a u s d o r f fm e a s u r e so ft h e s es e t si so b t a i n e d i nc h a p e r3 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fm o r a ns e ta n dt h eh a u s d o r f f d i m e n s i o no fs o m em o r a ns e t s t h e nw eo b t a i nt h ee x a c tv a l u eo ft h eh a u s d o r f f m e a s u r eo fac l a s so fm o r a ns e tb yt h es a m em e a n sa sc a l c u l a t i n gt h eh o m o g e n e o u s c a n t o rs e ti nc h a p t e r2 k e y w o r d s ：h a u s d o r f f m e a s u r e ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；s e l f - s i m i l a r s e t h o m o g e n e o u s c a n t o rs e t ；m o r a ns e t ；m a s sd i s t r i b u t i o n 4 前言 众所周知，欧几里得几何学研究的都是规则的形状，例如圆，正方形，球 等等，构成这些图形的边缘都是连续和光滑的。但是在自然界中，许多物体的 形状和现象十分复杂，蜿蜒曲折的海岸线，奇形怪状的云彩，山脉的轮廓，分 子无规则运动的轨迹，等等。经典几何与分析的思路和工具很难处理自然界的 复杂现象，甚至连作出合乎逻辑的解释都相当困难。另一方面，人们已注意到 不规则集合往往能提供许多自然现象的更好描述。8 0 年代初，由b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何为科学的探讨这些复杂的问题提供了全新的概念和方法，揭 示了自然界混乱无规结构的规律性及其本质。 但直到现在人们仍没有给分形下一个严格的定义，只知道分形e 具有以下 所有的或者是部分的性质： fi ) e 具有精密的结构，即有任意小比例的不规则的细节； r i i le 是如此的不规则，以至于无论它的局部还是整体都不能用微积分的 或传统的几何语言来描述； ( i i i ) 通常e 有某种白相似或自防射性质，可能是统计或是近似意义上的； ( i v ) e 的“分形维数”( 以某种方式定义) 通常严格大于它的拓扑维数： f v1 在许多令人感兴趣的情形，e 有很简单的，可能是由迭代给出的定义。 对于一个几何体，我们感兴趣的是如何来度量它。度量分形常用的参数是 测度和维数等。目前已经出现各种形式的测度和维数，用于刻画分形几何的不 规则性。波恩数学家f e l i xh a u s d o r f f 在1 9 1 9 年从测量的角度引进了h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数；1 9 8 2 年，t r i c o t 引进了填充测度和填充维数；m i n k o w s k i 引进了m i n k o w s k i 测度和m i n k o w s k i 维数。其中又以h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数在理论上更为常用。 在分形几何的研究中，计算h a u s d o r f f 维数是一件十分困难的事，而计算 h a u s d o r f f 测度就更加困难了。迄今为止，分形几何研究成果最丰富的当推自相 似集。自相似集可以看作是一类迭代函数系的不变集，在从它的n 级近似到n + 1 级的生成过程中，均是使用同一压缩尺度。它的h a u s d o r f f 维数和填充维数 已有确定的计算公式。但是对于这样研究得很深入的分形集来讲，也仅有几种 特殊的并且维数小于1 的h a u s d o r f f 测度被确定。比如在 1 】中确定了三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度为1 ；周作领，吴敏在文【2 中确定了由4 个压缩比为1 4 的 压缩函数生成的s i e r p i n s k i 地毯的h a n s d o r f f 测度为2 ；瞿成勤，饶辉，苏维 宜在文 3 中利用m a u l d i n 和w i l l i a m s 在文 4 中的技巧计算了一类齐次c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度；e l i z a b e t h a y e r 和r o b e r t s s t r i c h a r t z 在文【5 中对线性c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度给出了一个有效计算方法。对于维数大于1 的分形，至今 还没有算出一个分形集的h a u s d o r f f 测度的准确值，只是估计出了少数分形集 的h a u s d o r f f 测度的上、下界，比如周作领在文【6 】中估计出了k o c h 曲线的 h a u s d o r f f 测度的上界为2 5 4 ( s 是k o c h 曲线的h a u s d o r f f 维数) ；王彩芬在文 7 】中利用质量分布原理得到了k o c h 曲线的h a u s d o r f f 测度的下界为1 1 9 。 分形几何的理论研究和应用迅速发展，在不同的学科中起着重要的作用， 使分形研究成了交叉学科的前沿领域，成为“非线性科学”的核心课题之一。 然而，与其它科学相比，分形几何却非常年轻，理论基础还很不成熟，大量有 意义的理论问题还有待解决，在其它学科中的应用还需要进一步的挖掘。分形 的研究正在向更高更深层次发展，分形的理论及应用作为非线性科学的核心领 域，必将在2 1 世纪中大有作为，焕发出更强的生命力。 第一章预备知识 h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数是研究分形集的两个非常重要的：【具。本 章主要介绍了h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数的概念和性质。 1 1 测度论基础知识 1h a u s d o r f f 测度 测度是分形几何的重要组成部分，是研究问题的有力工具。此外，测度可 以用来刻画分形的特征。因此在介绍h a u s d o r f f 测度之前，先介绍测度的些 基本概念和结果【8 】a 定义1 1 设x 为一集合，f 是x 的一个子集族，称f 是x 的一个o ，代数， 如果满足： i x e f ： i i 如果e f ，则x k e f ： i i i 如果a i e f ，i 1 ，贝, j u a 。e f 。 i a l 定义1 2 设f 是x 的。一代数，p ：f 一【0 ，m 】称为一个测度，如果满足： i 一( 庐) = 0 ； i i 如果a f ，i 1 ，且a i 彼此不相交，则： p 叫爿。) 2 善口“) 定理1 1 【8 1 设u 是x 的。一代数f 上的测度， i u 是从下连续的。即若对任意n 1 ，a 1c a 2c c a 。c 是f 中的 递增集列，则 # ( 1 i m a 。) = l i m p ( 爿。) ； i i u 是从上连续的。即若对任意n 1 ，a ，d a ：d d a 。d 是f 中的 递减集列，且“( a 1 ) 1 ，则矿叫e 。) 矿口。) 。 定义1 4 设d ( ，) 为r 6 上的欧氏度量，v 是r d 上的外测度。称v 是度 量外测度，如果对任意，f c 尺。，若d ( e ，f ) o ，则矿陋u f ) ；v ( e ) + v ( f ) 。 1 2h a u s d o r f f 测度 首先给出一些定义【8 】： 设( x ，d ) 为度量空间，u 为x 中的任意非空子集，定义u 的直径为 i u i = s u p d ( x ，y ) ：z ，y u ，即u 内任何两点距离的最大值。 定义1 5 令e 是x 的子集。设6 0 ，称x 的可列( 或有限) 子集族( u i 是e 的一个6 一覆盖，如果它满足下述两条性质： i 任一u i 的直径不超过6 ，即i u 。ls 6 ； i i u i ) 覆盖e ，即u v 。d e 。 f 1 设s o ，6 o ，令 日；( e ) = i n f u ，1 5 ： u 。h “为e 的6 一覆盖 当6 减小时，上式 u i 中覆盖e 的集类是减少的，所以下确界日；随着增 加，从而当6 0 时，它趋于一极限，记 h 5 ( ) 5 熄日；( e ) 称h 陋) 为e 的s 一维h a u s d o r f f 测度，它的值可能为0 ，f 有限或f 无穷，如 果0 0 ，使得 c 。h j ( e ) s h 毛( e ) sc 2 日i ( e ) 。 ( 1 ) 记为e = f 2 ，或h i = h 盖。 如果在( 1 ) 式中，仅有右端不等式，则称网e 弱于网f 1 ，记为最 0 ， 使得对任意 o ，s 0 ，及e c x ，有 c 1 日等( e ) s h 毛( e ) c 2 日荨5 ( e ) 。 显然，等价网是弱等价的。 定理1 3 【8 】令f c ，f o ，f c c ，分别表示r 6 中的闭集类，开集类， 闭凸集类，闭球类以及开球类。则有： i 2 ”5 疋ci 圪if o ； i i 2 = = 。 推论1 1 1 8 】2 。；f o ；。 根据定理1 3 和推论1 1 ，我们在估计一些分形的h a u s d o r f f 测度时，就可 以只考虑它的某一类集合作为覆盖，也就是说在各种情况下，对6 o ，虽然可 能得出h ：的不同值，但极限h5 是一样的。 下面给出h a u s d o r f f 测度的一些性质： 根据h a u s d o r f f 测度的定义和下确界的性质，很容易得出下面两个定理： 定理1 4 1 8 1 作为e 的函数，日j 与h 。为外测度。 定理1 5 【8 1 日。为度量外测度。 由h 8 ( e ) 的定义知，对任意集合ecr “，当s 从0 到o 。增大时，h s ( e ) 不增。 此外当s t 时，则有h ；( e ) 6 “h ：( e ) ，所以得到下面一个定理： 定理1 6 【8 】设0 s t 0 ，a o ，使 得 d ：( ， ) ，( y ) ) c 似。 ，y ) ) 。， 墨y e 。 如果在定义1 9 中口= 1 ，则f 称为李普希茨映射。如果存在常数c ，0 ， 使得 c d ，( x ，y ) s d2 ( ，0 ) ，( y ) ) sc d ( z ，y ) ，x ，y ， 则称f 为双李普希茨映射。 定理1 7 8 】设e c x 。，：e x 2 满足a 阶赫尔德条件，则对任意s 0 ， 有： h “。( ，) ) s c “。h5 ( e ) 。 定理1 7 把两个度量空间的集合的h a u s d o r f f 测度联系起来了。 推论1 2 【8 1 若f 为李普希茨映射，贝, j t 5 ( ，但) ) sc s h 。饵) ；如果f 为双李 普希茨映射，则c ”h 5 陋) s h5 ( ，怛) ) sc s h5 但) ；若f 为等距映射，则 h 5 陋) 一h 5 ( ，陋) ) 。 推论1 3 【8 】 i r 4 中子集的h a u s d o r f f 测度在平移和正交变换下不变； i i 齐次性：h5 ( a e ) = r 日5 ) ，其中a 0 ； i 讧令v 为r d 的线性子空间，仇：月。一v 为r d 到v 的正交投影。设 e c 尺4 ，则h 5 ( p ，( e ) ) s h5 ( e ) 。 定理1 8 1 8 1 设 e 。 为r “中的递减紧集列，则对任意6 0 ，s 0 ， 2 。日；( 1 i m e 。) l i m 日玉( e 。) 。 定理1 9 【8 】设闭集e c r 。，s 0 ，且h 但) = 。 i 设 为正实数，则存在e 的紧子集f c e ，使得h5 ( f ) = a ； i i 存在e 的紧子集f c e ，使得h 。( f ) 0 ，并且 h 5 ( b ，g ) n f ) s c f 。， x r 4 ，r 1 ， 其中c 为正常数。 2h a u s d o r f f 维数 由定理1 6 可知，对任意的e c x ，存在s 的一个临界值，使得3 陋) 从 无穷跳跃到o 。这个临界值称为集e 的h a u s d o f f f 维数，记为d i m 。e 。其精确 定义如下： d i m h e = s u p s ：h5 ( e ) o ) = s u p s ：h 5 饵) = m = i n f s ：h5 ( e ) = i n f s ：h 5 陋) = 0 。 由此可知，若s d i m h e ，有h ( e ) ；0 。 设f 为并的一个网，则e 关于f 的s 一维h a u s d o r f f 维数d i m 。，e 定义为： d i m h f e = s u n s ：h ；( e ) = ) = i n f s ：h ；僻) 一0 。 下面给出h a u s d o r f f 维数的性质： 定理1 1 0 1 9 】若e c r “为开集，则d i m 。e = n ；若e 为r n 中的光滑( 即连 续可微) m 维流形( 即m 维曲面) ，则d i m 。e = m 。 定理1 1 l 【8 j 设e c x 。若h 5 ) 0 ，则 d i m h e s 。特另u 地，若0 h ( e ) 0 ，我们可以要求上述集列满足 h ( e ) s i u r i + s 。 定理1 1 8 ( 伯西柯维奇覆盖引理) 【8 】设e cr 4 为有界集令 b = 垆0 ，r ( z ) ) ：x g e ，r ) 0 ，则我们可以从球族中挑出可列或有限子球族 b = 但( 一，r ( x ；) ，使得 j e c u 曰k ，“) ) ； i l i i 存在仅依赖于d 的正整数九，使得口+ = u 口j ，其中b j 中的球彼此不 j - l 相交； i i i 对任意工r 4 ，z 。o ) 九，即口+ 中与任一球相交的球的个数不超 过a d 。 之前我们提到了要计算甚至估计一个分形集的h a u s d o r f f 测度是十分困难 的，因此我们希望能有一般估计该测度的方法，上面介绍的几个覆盖引理就是 经常用到的有力工具。 4 定理1 1 9 1 8 1 设c r 。设 u i 。 d 积1 ) 为e 的一列6 。覆盖，龟一0 。 如果存在正常数列q ，使得对任意k ，芝l ，。i s c t 且l i m i n f qc o 。，则 h 5 ( e ) ( 0 0 ，从而d i m h e s 。 由定理1 t 9 知，耍估计一个集合的维数的上界，我们只要对一些特殊的覆 盖 u 估计其和式p ；f ，而下界的估计就要对该集的所有6 一覆盖对和式 阿i 。作下界估计。下面要介绍的质量分布原理就是估计其下界的一种技巧。 定义1 1 1 支撑在ec r 4 上的正有限波莱尔测度u ，称为e 上的一个质量 分布。 定义1 1 2 称r d 上的正有界波莱尔测度u 满足口阶赫尔德条件，如果存 在正常数c o ，使得对任意u c r 。，有肛) sc p 。 定理1 2 0 ( 质量分布原理) f 8 l 设s o ，ec r 4 上的质量分布n 满足s 一阶赫 尔德条件，即存在常数c 0 ，以及s o ，使锝j “p ) sc i u t 对所有满足川6 的集u 成立，则h5 陋) ) c 。 定理1 2 11 8 1 设址是r d 上的质量分布，e c r 。为波菜尔集，0 c 。，c 为常数。 i 如果对任意。e ，面丛墨拳塑。，则日s ) ：盟； i i 如果对任意x e ，画兰号# 塑，c ，则h5 ( ) s 掣，其中桫。表示 测度p 的总质量。 使用定理1 2 0 和定理1 2 1 估计分形集的h a u s d o r f f 测度，对于一般的分彤 集来说仍然很困难，但对于自相似集所具有的特殊结构，估计它的h a u s d o r f f 测度可以用质量分布原理这种特殊的方法处理。 由上面两个定理我们可以得到下面计算集合h a u s d o r f f 维数的。个推论： 推论1 6 【8 i 设“是r d 上的质量分布，e r 4 为波莱尔集。如果对任意 r f e 则有d i m h e = s 。 l i m ! 堡竺堡垒! ! ，- + o l o g r = 5 ， 第二章自相似集 自相似集是一类最重要和最典型的分形集，尤其是满足开集条件的自相似 集，它是s 一集，并且它的h a u s d o r f f 维数等于自相似维数。这类分形集是到目 前为止研究得最成功的一类。但是，就是这样一类比较规则的分形，要计算它 的h a u s d o r f f 测度仍然是很困难的。目前，只有少数特殊的自相似集的h a u s d o r f f 测度被确定或是估计。比如文 2 】利用定理1 2 0 和定理2 2 的i i i ，算出压缩比为 1 4 的s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度为2 ：文【6 得到了k o c h 曲线的h a u s d o r f f 测度的最好上界为2 s 4 ，文【7 】用质量分布原理得到k o c h 曲线的h a u s d o r f f 测度 的下界为1 1 9 。 本章讨论了满足开集条件的自相似集的h a u s d o r f f 测度，计算了一类齐次 c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度的准确值。 1 满足开集条件的自相似集的h a u s d o r f f 测度 首先给出一些基本的定义i 8 1 。 设( x ，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子集，映射s ：d - - , x 称为d 上的压缩映 射，如果存在正常数o c 1 ，使得对任意x , y d 有 d ( s o ) ，s ( y ) ) sc d 0 ，_ ) ，) 若度量空间是( 尺4 ，s ：r d r d ，且对任意的x , y r “有 扭o ) 一s o ) l = c l x y i ，其中0 c l ，则称s 为r 4 上压缩比为c 的相似映射。 设 s ； l i 。为r d 上的一族压缩映射，且s i 对应的压缩比为c 。，由【8 】知， 存在唯一的非空紧集e 满足 m = u s 。口) i = 1 则称e 为对于压缩映射族 s 矗的不变集或吸引子。当 s 。 t s i s 。为r d 上的一族相 似映射时，称e 为对于相似映射族f s 。，的自相似集。 s 1 ，s 2 ，s 。是r oi 的压缩映射。如果存在丌集v cr 。，使得 u s 。( 矿) c 彤：墨) n s ，) = 以i 一， 则称r d 上的压缩映射族 s i ) 1 i 。满足开集条件( 也称自相似集e 满足开集条 件、。 若s i ( e ) 互不相交，则称压缩映射族 s t 1 s i s 。满足强分离条件，也称自相似 集e 满足强分离条件。 显然，若e 满足强分离条件，自然也满足开集条件。 用h 8 ( e ) 表示集合e 的s - 维h a u s d o r f f 测度，用d i m 。e 表示集合e 的 h a u s d o r f f 维数。 定理2 1 【8 】设e 是压缩比为c 的相似压缩映射族s i ( 1 i m ) 的自相似集， 如果e 满足开集条件，则： i 0 h 5 陋) o ，有日；( e ) = h ) ； i i i 对任意开集u ，有h5 陋n u ) s 1 t s l 5。 定理2 3 【1 0 】如果e 是满足开集条件的自相似集，s = d i m 。e ，则有 i h 5 陋) = 日：( e ) ； i i s u p 旦掣：u 为非空开集 _ ：1 。 l u l 4 由定理2 2 的i 、i i 和定理2 3 的i 知，在一定条件下对集合的h a u s d o r f f 测度的计算可以忽略定义中的极限过程。根据定理2 2 的i i i ，在一定条件下我 们只需找到一个特殊的集合，该集合尽可能多地覆盖自相似集，通过计算被覆 盖部分在整个集合中所占的比例，则可得到该自相似集的h a u s d o r f f 测度的一 个上界。 定理2 ，4 1 0 l 如果e 是压缩比为c i 的相似压缩映射族s f ( 1 i m ) 的自相似 集，且满足开集条件。s = d i m 。e ，则有 h 5 ( e ) = i n f ：u 包i 含u e 。为开集，。为- ，。的非空子集，k n i 其中j t 表示所有k 序列a 1 ，j 2 ，) 的集合，1 s f l ，i 2 ，i ks m ，k 1 为整数， e ，“= s i , s i ：矗口) 。 定理2 4 给出满足开集条件的自相似集的h a u s d o r f f 、钡1 度的一个便于应用的 公式，以下给出关于自相似集的h a u s d o r f f 测度的一个判据： 定理2 5 i ”j 设e 是满足开集条件的自相似集，其相似比为a ( 1 i m ) ， 令矗= i n “恢卜 最圪，是e 的任一开覆盖 ，则以下论断等价： i h ) = h ； i i h 5 陋) e h ，并且对任意的k 1 及， ，。( ，中) 都有 i u , e - 。“1 5z c ：c i a 其中j k 和e v 。k 都同定理2 4 。 2 一类齐次c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度 首先给出齐次c a n t o r 集的定义【8 j 。设，= 【o ，1 】， n k ，为一列正整数序列， 满足n k 2 ； c k ，纠为一列正实数序列，满足o n k c k - 1 。对任意k 1 ，记 仇2 i 1 i 女：k i ，s i l j ，1 sjs 七 。约定d o = ，记d u q 。设 d ；o l 口t d i ， r = r l r 。见 ， 记口$ f = g r 】盯 q f 。 。设 f = p 。：o r d ) 为，的闭子区间族，满足： i 对任意仃d ，j 。与j 相似，约定，。= j ； i i 对任意k 0 ，d d t ，j 。( 1 i “k + 1 ) 是，。的闭子区间，记其从左到 右的排列为j 。，j 。，。的左端点与，。的左端点重合l 厂。，的右犏：t u m t 与j 。的右端点重合，且相邻的闭子区间的刮隔长度相等。 一 s 一 p 一吒 一 k一 i i i 对任意k ，仃绣- ，”有告 = q ，其中h 表示a 的 直径。 记峨；u ，。， 称e = q e 。为由 n k ) ， c k 确定的齐次c a n t o r 集。记e m u 的s 一维h a u s d o r f f 测度为h s ( e ) 。 文 1 2 确定了齐次c a n t o r 集的h a u s d o 斌维数为s = l i r a 。一i n f l o g n l ，z 2 n 以下发展文 1 3 】的技巧，得到了一类齐次c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度。 定理2 6 设e 是由 n k ， 。k 确定的齐次c a n t o r 集，记e 的s 维h a u s d o r f f 测度为h 5 ( e ) 。则对任意的k 1 ，n k c k 5 1 ，有 h 5 ( e ) 圳凹玎叩； 其中s 是e 的h a