（基础数学专业论文）关于吸引场dΛ及混合泊松随机测度的探讨.pdf

关于吸引场d ( 以) 及混合泊松随 机测度的探讨 学科专业：基础数学研究方向：概率论 指导教授：谢盛荣教授研究生：陈守全 擒 要 本文对极值理论的两个问题进行探讨： 一、关于吸引场d ( 以) 的进一步探讨 无受扎 d ef i a a n 于1 9 7 0 年给出了最大值吸引场d ( a ) 中分布函数所满足充要条件 的两个经典结果，受d eh a a n 工作的启发本文拓广了这两个经典结果： ( 1 ) f d ( a ) 当且仅当 ”m 胪q 脾“l _ f ( 刚础川出t 一 ( r i ( 卜f ( s ) ) 小) m 且上述表达式e e 积分都有限。其中，i 为不，j 、于2 的固定整数。在此种情形下 r 鼻_ r ，辅助函数，( ) 可选为 删= 鹏n - ，抛, - l d t l 孵c ：”删出。 或 一l 莺 一l 煎 r 0 厂l ( ) = i ( 1 一f ( s ) ) 出( 1 一f ( ) ) 娥范常数可适当选为6 n = r 等) 一( ”) 口一= 八“) ( 2 ) f d ( a ) 当且仅当对菜口 口 0 ，cz，：_1二f(x三羔1f 一导c z + z 。，。 s ( z ) = ! 王i _ 一一芋( z 十z o ) 。 ( 一) ) ”p i ( 一( ) ) 锄 “ 关建词：吸引场d ( a ) ；v o nm i s e s 函数；- , 变化函数；变化函数。 二、混合泊松随机测度的定义与构造 拓广讨论了泊松随机测度给出了混合泊松随机测度的定义及构造理论： ( 1 ) 设a 是正值随机变量。且具有分布函数g 卢是非负转移r a d o n 测度， 即卢：r + 占一 0 。o o ) ，对任意f 占。产。( f ) 是r + 一可测函数，对任意a 0 。o o ) ，f ( ) 是芎上的r a d o n 测度。n 是e 上的点过程如果在给定a = a 条 f t - 下，n 是具有均值测度卢j 的泊桧随饥测度则称n 为混合泊松随机测度。 ( 2 ) ( i ) 混合泊松随机测度的拉普拉斯泛函由下式给出，对非负可测函数 ： r r ，p n ( 力= le x p 一l ( 1 一p 一”。) 产，( d r ) d g ( y ) ju j 反过来具有上式的拉普拉断泛函的点过程必是混合泊松随机测度； ( i i ) 混合泊论随机测度存在且其概率分布由定义唯一确定： 关键词：混合泊松随机测度；拉普拉斯泛函。 一2 一 o nr e s e a r c h i n gf u r t h e ri n t ot h ed o m a i no fa t t r a t i o no fd ( a ) a n d m i x e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e c h e n , 对l o u q u a n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r n ) l dp r o b l e m so fe x t r e f l l ev a l u et h e o r ya r ef u r t h e rd i s c u s s e da sf o l l o w s ： 1 o nd i s c u s s i n gf u r t h e rt h ee k x n a i no fa t t r a c t i o no fd ( a ) i n1 9 7 0 d eh a a ng a v et w oc l a s s i c a lr e s u l t sw h i c hh er a i s e dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf d ( a ) w eh a v ee x t e n d e dt h e s et w oc l a s s i c a l r e s u l t st h r o u g hd eh a a nw o r k se n l i g h t e n m e n t ： ( 1 ) f d ( a ) i f f ”m 矿1 孵”c ”m ) ) 础川砘l l i m _ _ o 。! 二。= 1 。 ( n 卜f ( s ) ) 以) m j 1 a n da l lt h ei n t e g r a l si nt h ep r e c e d i n ge x p r e s s i o na t ef i n i t e ，”li saf i x e di n t e g e rw h i c hi sn o l e s st h a n2 i nt h i sc a s e 1 ( 1 一f ) ra n df o rt h ea u x i l i a r yf u n c t i o nf w em a yc h o o s e e i t h e r ”删州孵c ”删蛾z 以 ”i l 厦 f l ( 归小l - f ( 刚训l 州f ) ) a n d “= ( 击) 一) n 。= f ( b 。) a r e a c c e p f a b l ec h o i c e s 。fn o r r r m l i z i n gc o n s f a 心 ( 2 ) f d ( a ) i f f f o rs o m e 口 口 0 s ( z ) ：= 小t 州川诎 ( 1 一m 胪呵= 口( 1 一m ) ) 一3 一 一直 ( 1 。) 口 掣 l i )f，l ，厶 ro a sztz o f u r t h e r ，( 1 。) i st h eu u ef o ra l l 口 卢 0 k e yw o r d s ：e 梳a i n o fa t t r a c t i o no fa ( z ) ；v o nm i s e s f u n c t i o n ；r v a r y i n g f u n c t i o n ：v a r y i n gf u n c t i o n 2 l h ed e f i n i t i o na n dc o n s t r u c t i o no fm i x e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e w eh a v ee x t e n d e dp o i s s i o nr a n d o mm e a s u r ea n dg i v e nt h ed e f i n i t i o na n dc o n s t r u c t i o n o fm i x e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e ： ( 1 ) l e tab eap o s i t i v er a n d a l av a r i a b l e t w i t hd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n g l e t 户 ： r + 8 一 0 o 。) b ean o n n e g a f i v et r a n s i t i o nr a d o nm e 弱u r e f b mr + _ e ；i e ， 产 ( f ) i s r + - m e a s u r a b l e f o re v e r y f d - a n d p ( ) i sa r a d o n m e a s u r e o n 芎f o re a c ha 0 ) ni s ap o i n tp r o c e s so n ( e s ) 珏ni sap o i s s o nr a n d e mf l _ l e a s u r e 诵小 m e a nm e a s u r e 卢 c o n d i t i o n e db ya = a t h e nni sc a l l e dal w t x e dp o i s s o nr a n d e m m e a s u r e ( 2 ) ( i ) t h el a p l a c ef u n c t i o n a lo fm i x e dp o s s i o nr a n d a am e a s u r ei sg i v e n ( t o r y 0 ，m e a s u r a b l e ) b y “( 门= 卜小小。m 呐( d r ) l d g ( y ) ( 2 ) a n dc o n v e r s e l yap o i n t p r o c e s s w i t h l a p l a c ef u n c f i o n a lo f t h ef o r m ( 2 ) m u s tb e m p r m ( u ) ( i i ) m p r m ( 户，) e x i s t sa n di t s i a wi su n i q u e l yd e t e r m i n e db yt h ep r e v i o u sd e f i n i t i o n k e yw o r d s ：m i x e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e ；l a p l a c ef u n c t i o n a l 1 上- 。l 日l j茜 y 3 5 6 - 工0 3 随机极值理论在2 0 世纪才逐步完善。具有很强的实际背景和理论价值。在 2 0 年代和3 0 年代f i 出e r t i p p e t t ，f r e c h e t 和v o nm i s e s 等人开始研究极值理论， c , n e d e n k o 于1 9 4 3 年( 见 2 ) 全面而完整地总结了规范化最大值的分布弱收敛问 题。并研究了收敛性同原始分布的密切联系。这一著名结论至今仍是一般极值 分布弱收敛问题的理论基础。然而对于吸引场d ( ) 中的分布未给出圆满解答。 1 9 7 0 年d eh a a n ( 见 3 ) 进一步研究了g n e d e n k o 遗留下的问题，对于吸引场 d ( a ) 中的分布给出了应满足的充要条件。使极值理论得以完善。 随机极值理论是工程设计、气象预测、水位及污染等统计决策的理论依据， 是概率统计的一个重要分支。曾有许多著名统计学家和极值理论专家加以研究， 并应用于工农业及其他领域。受d eh a a n 的有关研究工作的启发。本文就d e h a a n 关于吸引场d ( a ) 中的两个重要结果进行探讨。 点过程是研究极值理论的重要工具( 见专著 1 ) 。泊松随机测度是点过程的 重要理论基础，本文在泊松随机测度的基础上，拓广研究了混合泊松随机测度 的构造理论。 归结起来，作者进行了如下两个方面的工作： 一、关于吸引场d ( a ) 的进一步探讨 d eh a r m 于1 9 7 0 年研究了吸引场d ( ) ( 见 3 ) 给出了最大值吸引场 d ( a ) 中分布函数f ( z ) 所满足的两个充要条件；b a l k e r m 和d eh a a n 于t 9 7 2 年 给出了另外两个充要条件：这些重要结果在专著 1 分别表述为命题1 9 命题 1 1 0 命题1 4 及推论1 7 。这里拓广了 1 】中的命题1 9 及命题1 1 0 。 二、混合泊松随机测度的定义与构造 关于泊松随机测度的构造理论见r e s n i c k 1 中第3 章本文拓广研究了 泊讼随机测度，提出了混合泊松随机测度的定义与掏造。 在研究生学习期间，作者承蒙导师谢盛荣教授与程昌伦副教授的悉心指导 为此向他们表示衷心的谢意! 同时，对学校、数学系领导及老师们的支持和鼓 励也一并致以深深的感湔! 关于吸引场d ( a ) 的进一步探讨 摘要 本文拓广了最大值吸引场d ( a ) 中分布函数所满足充分必要条件的两个经典 结果，得到 ( 1 ) f d ( a ) 当且仅当 ”m 胪1 所一l _ f ( 刚抛川出- j + ( 九1 一f ( s ) ) 出) m 且上述表达式中积分都有限其中”为不小于2 的固定整数。在此种情形下 r 与r ，辅助函数，( f ) 可选为 眦，= 孵a - 慨r 一州肘i f 。 ”删蛾州t 或 州f ) = i ( 1 一f ( s ) ) d s ( 1 一f ( t ) ) 赋范常数可适当选为b 。= f 等) 一( 行) ，口。= ，( 6 。) ( 2 ) f d ( a ) 当且仅当对某a p 0 r ” i ( i f ( f ) ) a d s s ( r ) = 二l i 一一芋( z tt o ) 。 ( 1 一f ( r ) ) a j i ( i f ( f ) ) 锄 “ j 。o 进一步上式对所有a p 0 都成立。 关建词：吸引场d ( a ) ；v o n m i s e s 函数；f - 变化函数；一变化函数。 l引言 随机极值的研究具有特殊的理论价值和重大的现实意义，曾激起不少著名学 者的探索和研究。g n e d e n k o 在1 9 4 3 年对最大值吸引场进行了全面的研究与总结 一l 一 这一经典结果至今仍是极值理论的理论基石。至于g n e d e n k o 遗留下的关于吸引 场d ( a ) 的问题。历史上虽展开过一些重要讨论。但直到1 9 7 0 年，d eh a a n 才给 出了d ( ) 所满足的充要条件。彻底地解决了这个问题使极值理论的内容更为 丰富、完善。本文则对d eh a a n 的重要结果继续进行探讨。 设i 托。恕1 是具有公共分布函数f ( z ) 的独立同分布随机变量序列， ( z ) = e x p 一p 一。 ，工r 如果存在数列a 。 0 ，b 。r 。玎1 使得 p ( 口j ，r + b 。) ； ( 工) 则弥f ( 工) 是在由 生成的吸引场d ( ) 中简记为f d ( a ) 。 d eh a a n 于1 9 7 0 年对吸引场d ( ) 给出了如下定理( 参看专著 1 】) ： 定理lf d ( 以) 当且仅当 l i m ( 1 一f ( x ) ) f 。f 。( 1 一f ( s ) ) d s d y ( f 7 。( 1 一f ( s ) ) d s ) 2 ：l 一 ) ) ll( 1 一f ( s ) )( 1( 1 一f ( s ) ) 2 = l i 、l q j r j ， j l j 且上述表达式中积分均有限。在这种情形下，f 与厂，辅助函数 八t ) 可选为 r r o nr x o f ( t ) = li ( 1 一f ( s ) ) d s d y l ( 1 一f ( s ) ) d s 或 f ( t ) = l ( 1 一f ( s ) ) d s ( 1 一f ( t ) ) jf 赋范常数可适当选择为b 。= ( r ) 一( ，z ) ，以。= 厂( 6 。) 定理2f d ( a ) 当且仅当对某个a 1 r ( r ) = f ( l 一肌) ) 锄；( 1 m ) ) g l 一鼬) ) 口叫训一 口一1 ( a 1 ) ( r 十丁i j ) 。 在这种情形下，上式对所有口 1 均成立。 本文进一步对上述两个定理作了探讨，拓广了这两个定理。下面先介绍几个 溉念( 参看专著 1 ) ： 设f 为分布函数，令t o = s u p y ：f ( y ) o ，称为 f 的左端点。 设分布函数f # 具有右端点工o 如果存在翔，钿 0 有 1 一f # ( z ) 2f e x p l j 。南也i ( 1 ) 其中八卢) 0 ，：o 产 x o 。，( p ) 是( 知，z o ) 上具有密度厂( 卢) 的绝对连续函数 且l i m 厂( p ) = 0 ，则称f # 为v o n m i s e s 函数，称为f # 的辅助函数。 设u 是一非降函数，如果u 定义在区间( 田，z o ) 上，l i m u c x ) = 0 0 ，且存在 一正函数八a t ) ，4 0 牌业耘掣= l 啦 则称v ( x ) 是玎i 变化函数，记为v 1 1 ，a ( t ) 称为v ( x ) 的辅助函数。 本节所述概念及记号贯穿全文，一般不再赘述。 2第一个结论及证明 记g 知) ：r r 。r ( 1 肌) ) d t d t 川d t l ，约定“上) ：1 一m ) 则 j j1 j l ：一 n 重 g 。( 工) = 一g 。一l ( z ) ( 行1 ) 下面拓广定理1 如下 定理3f d ( a ) 当且仅当 l i m 簖。1 ( z ) g m ( z ) 酣( x ) = 1( 2 ) 且表达式( 2 ) 中积分都有限。其中”z 为大于等于2 的固定整数。在此种情况下， f e 厂，辅助函数，( f ) 可选为 厶( ) = g m ( t ) g 卅一l ( t ) 或 ( t ) = g l ( t ) g o ( ) 赋范常数可适当选择为 b 一= ( 南) 一( n ) a 。= f ( b 。) 为此先给出专著 1 中引理1 8 的一种拓广： 引理1 若z o 为分布函数f 的右端点( 有限或无限) 。且f d ( a ) 。则 一3 一 g 。( z ) o ，( z ) 为f n ( z ) 的辅助函数。对任意艿 = o 使得当“o 一占 厂( h ) “o 一占( u t t 0 ) 八m ) 一“u o ) 0 ，g 。= 一g ，i 0 和v o nm i s e s 因为f # 满足( 2 ) 式由( 7 ) 易知f 满足( 2 ) 式。 至于赋范常数，先设f 是 c o n m i s e s 函数，由( 1 ) 知对z r u 1 f = e 外：+ 珊志a ，a | 一 ( z ) 。”。j “) l 一7 一 ( 7 ) 和充分大的 二j 一 曲西g k篇 m 、 = e x p l 一：万氆b 出 ( 令s = 掰) 由 1 】中引理1 3 被积函数在( 0 ，z ) 上一致收敛到1 因此 溉叫料一。 根据f - 变化函数定义易知r 与r 。所以由 1 】中命题o 1 0 知f d ( a ) ，从 而p ( n # + b 。) 一e x p ( 一e 一。) ( n 一) 因此 打l o g f ( n j t r + b 。) 一一e 1 利用一l o g y 1 一y ( y 十1 ) 。得 一( 1 一f ( d ，r 十b 。) ) 一e 一。 令- r = 0 有 ，l ( i f ( b 。) ) 一1 由此可选1 一f ( b 。) = n - i t 因为f 为v o nm i s e s 函数，所以易知f 连续，从而b 。 = r 当i ) 一( n ) 。又因l f ( b 。) 詈r 当i f 所以 n ( 1 一f ( b 。+ 矾b 。) ) e - x ( 聍一0 0 ) 因此n 。可适当选为八b 。) 若f 为一般分布函数由 1 】命题1 4 知存在常数f 0 和v o nm i s e s 函数 f 。( 工) ，使得 1 一f ( x ) f ( 1 一f # ( 工) ) ( z 一工o ) 由上式可知结论仍成立。 注l ：当，h = 2 时则为定理l 。 3第二个结论及证明 现在拓广定理2 如下： 定理4f d ( a ) 当且仅当对某a 口 0 l ( 1 一f ( 5 ) ) 。d s s 2 i：-=jf二(lx；_；：ji=i赢一孑上z。( 1 一) ) ”o i ( 1 一f ( s ) ) 讼5 进一步( 8 ) 对所有a p 0 都成立。 证明：充分性设( 8 ) 成立，令 r 4 0r 1 0 1 一f l ( 工) = i ( i f ( s ) ) d s l ( 1 一f ( s ) ) 铅s 贝4 有l f 。( 工) o ，由( 8 ) ，l i m _ r ! = 器= 一8 一 ( 8 ) ( 9 ) 因此当z x 0 时，1 一f l ( x ) 一0 一( 1 一f ( x ) ) 一r 。( 1 一f ( s ) ) 屹如+ ( 1 一f ( x ) ) ，r “( 1 一f ( s ) ) 气如一( 一) ) 4 i ( 一f ( s ) ) 屹如+ ( 一) ) 9 l ( 一( s ) ) n - f “。y = 土_ 万_ 1f 磊i 上( i ( 一( s ) ) ) 。 ：l 卫姓( 5 ( z ) 一i j ，。( 卜m ) ) p a l s 因为，( 工) 一旦 l ( z 十z o ) 所以( i f l ( z ) ) 对充分大的翔当z 。o 时为负。 令p 。c z ，= f 1 ：t ：三喜：，则一f ，e z ，= 1 一 “ ；：耄：。因此一 f l ( z ) 是分布函数p l ( z ) 的尾部。 现注意 山l i r a 。揣= 。l i 。r a 。烈南丝南山。百1 i 河2 。r 。丁j 匹丽一t 币 爰( 一l o g ( 1 “( 圳) = 尚 ：l 剑丑l ( 1 - 。( z ) ) j ，。( 卜f “凇 = ( 1 一s ( r ) ) 上；制 _ ：。( 1 一f ( f ) ) 。d t l f - ( t ，、必 。r ( r ) 厂( t ) = = 一( 1 一f ( j ) ) f 一0( z 十z o ) 令 。：刍 ：二对充分大的：。当工= 。时 r 蠹刚“c 圳，= 糍m 即 9 - 弛 协 全 “ “ 出，一 一 量口叮叮 t - f l = ( 1 - f s ) ) 唧i 一= 糍出i t 州加i c 譬觥) 1 ( 1 - f i c 础呻l - = 揣出t 由 1 】系1 7 知f d ( a ) 。 ( 差( 一l o g ( 1 一f l ( 圳) = ! ! = ! ! 兰2 2 l ! 二! 兰22 ：! ! = ! l 兰2 基生 p - f ( 川训l - f i ( 川南 必 。g ( x ) 当t z 。时。 ( z ) 一( 1 一争) ( 詈) 南金c 2 r 屯 l ( 1 一f ( t ) ) 钝 厂o ) = ( i _ ) ( 1 一f l o ) 席 一 一( 1 一f ( 工) ) ( 1 一f l ( z ) f 与一_ 兰_ ( 1 一f i ( j ) f 与( 1 一f i ( z ) ) f l ( 1 一f ( f ) ) 锰1口一 j 。 ( 1 一f i ( 工) 席 _ - 觜南+ 南”删 觜搿叫上) ：_ ( 爹炜+ 南( 1 一拿) ( 号) 背宇+ o ( 1 ) 一( 爹炜+ ( 荸局+ 0 ( 1 = 0 ( 1 ) 令 ：= 乏，厶= 乏对充分大的知当工：。 ( 差则“”：( 器出 即 1 - f t ( x ) ：( 1 吖小0 ) ) e ) ( p | 一( 糍加+ - 州加i 黼州幔川小( 丢出 竺姚 型即 型删嚣 由 1 】系i 7 知，f d ( a ) o ) 必要性设f # d ( a ) 。f # 是v o n m i s e s 函数。对z 0 卢 0 f u r t h e r ( 1 。) i st r u ef o ra l l 口 p 0 k e yw o r d s ：d a m i no fa t t r a c t i o n o f a ( z ) ； c o nm i s e sf u n c t i o n ；r v a r y i n g f u n c t i o n ：玎一v a r y i n gf u n c t i o n 一1 2 一 混合泊松随机测度的定义与构造 摘要 推广讨论了泊松随机测度给出了混合泊松随机测度的定义及构造： ( 1 ) 设 是正值随机变量且具有分布函数g 。产是非负转移r a d o n 测度， 即弘：r + 占一 0 o o ) 对任意f 君产( f ) 是r + 可测函数；对任意a ( 0 。o 。) ，芦( ) 是君上的r a d o n 测度。n 是e 上的点过程，如果在给定a = a 条 件下，n 是具有均值测度p ，的泊桧随机测度，则称n 为混合泊松随机测度。 ( 2 ) ( i ) 混合泊松随机测度拉普拉斯泛函由下式给出对非负可测函数，： 瓢( 门= 尽x p l _ f e ( 1 儿，( d r ) l r i g ( y ) 反过来具有上面形式的拉普拉斯泛函的点过程必是混合泊松随机测度； ( i i ) 混合泊松随机测度存在且其慨率分布由定义唯一确定。 关键词：混合泊松随机测度；拉普拉断泛函。 1定义 专著 1 】讨论了泊讼随饥测度本文将推广讨论混合泊松随机测度。给出 混合泊松随饥测度的定义、拉普拉斯泛函及掏造，下面先给出定义。 设为具有可数基的局部紧空间，是中开集生成的最小盯一代数， 厶( e ) 是定义在e 上的所有点测度陶成的空间，卢，( e ) 是m ；( e ) 中包含所有形 如 ”le ( ) ：m ( f ) bf f 0 ，b 舅( 0 。o ) ) 的最小盯一代数。( n ， 。ip ) 为基本溉率空间。上述记号贯穿全文。今后不再叙述。 定义l 设 是一正值随机变量且具有分布函数g 芦是一非负转移 r a d o r l 测度，即弘：r + 8 一 0 ，m ) ，对任意f 占，卢。( f ) 是r + 一可测函数， 对任意a 0 。o ) p ( ) 是6 上的r a d o n 测度。n 是e 上的点过程。如果在给 定a = 条件下r 是具有均值测度| ；的泊捡随机测度。则弥n 为混合泊讼随 饥测度( i x e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e ) 筒记为m p r m ( ) 。 n 为混合泊桧随机测度m p r m ( 卢 ) 的定义等价于n 满足( 参考文献( 1 】p l 3 0 ) ： 一1 3 一 ( a ) 对任意f g 和任一非负整数k ： p ( n ( f ) = k ia = a ) = 若朋( f ) 0 f r 7 八工) = c l f ( z ) 则n ( ，) = i 八工) n ( m d r ) = lc l f ( z ) n ( m ，d x ) = ，正j 厶 f ik ( 丁) n ( u d r ) = f n ( f ) 由( a ) 有 氓( 力= e e x p - n ( 门 = e e x p ：一f ( f ) ； = e ( e ( e x p ；一f t ( f ) la ) ) = e ( e x p l c k p n ( f ) = k l a ) 圳砉e “学_ ， = e ( e x p l 一( 1 一p 。) 卢，( f ) ) 2j 。e x p _ j ( 卜e 叫“) p ，( 出) 如( y ) ( 2 ) 这正是( 1 ) 给出的形式。 下面设c 0 f i ，f 是占上互不相交的集合。则由混合泊忪随机测度 一1 4 一 满足( b ) 知在给定a = | ：i 条件下n ( f 1 ) ，n ( f d 相互独立。若八工) = c j r ( x ) 。有 e e n ( 力= e e x p l n ( 力i = e e x p 卜f ( e ) = e ( e ( e x p l 一c 2 ；( f i ) l la ) ) = e ( 口( e ( e x p 卜f ( f 1 ) ia ) ) ) ( 由( b ) ) ：r 盘e x p 卜f ( 1 一f 一 z ) 产y ( 出) d i g ( j ，) ( 见( 2 ) ) = l 盯【p l i ( 一f 1 ，”) 产y ( 出) d g ( j ，) ( 见( 2 ) ) j 0l ij e = 卜p - ( 1 飘“h ( 如) 掘( ，) = _ e x p 一( 1 一e 卅“) p y ( 矗) f d i g ( y ) ( 3 ) 这又给出了( 1 ) 。 i - 对非负可测函数f 则存在形如五= c ：“k 1 i 的简单函数厶其中c ：“ 0 f ：”，l i 女。l 互不相交，且0 厶十五由单调收敛定理对所有m n n ( 五) tn ( ，) 因为对非负可测函数工，n n i 所以由控制收敛定理当珂一o 。时 e ( e ( e x p 一n ( 五) la ) ) 一ec e ( e x p 一n ( ，) l i a ) )( 4 ) 另一方面为筒单函数因此由( 3 ) 有 州= j o ”e x p 一小i “1 “出) 始( y ) 因为五t ，所以1 一e - l i p 。再应用单调收敛定理有 f f e x p 一f 。( 1 一e 一) p ，( d r ) i d g ( y ) - f e x p i 一e ( 1 一e 一“t ) p ，( d z ) i d g ( y ) ( 5 ) 由( 4 ) 和( 5 ) 知c 1 ) 成立。因此混合泊松随饥测度的拉普拉斯泛函由( 1 ) 式给出。 反过来，设点过程n 的拉普拉斯泛函由( 1 ) 式给出。令f ：f b ，f g 则 氓( 力：一 一h e 柏) ， 氓( 力= , , e x p l j ox p l j ( 卜e ”) 脚( d x ) t d g ( y ) = i e x p 一( i p 一) 卢y ( f ) l ( f g ( ) i ) j0 一l s = e e x p 一( 1 一p 一) 卢 ( f ) f 另一方面 甄( 力= e e x p - n ( 力i = e e x p 一o n ( f ) i 这正是具有参数p ( f ) 的混合泊松随机变量n ( f ) 的拉普拉斯变换。于是( a ) 成 立。类似地，对8 上f i ，f 互不相交的集合，令，= c 扛，“o 。为证明 ( b ) 只须证明对任意y 0 有 ( e 一蒿y f la = y ) = 矗e ( e c 一( f - ) la 互y ) 事实上 ( e - 善n f i a = ，) ：e 冲 一f 。( 1 一e 一善f i r ( z ) ) p ，( d x ) l = e x p i 一( 1 - f ) 产，( e ) = e x p i 一( 1 一e - c ) | l y ( f i ) =鱼一f(一。1圳)p，(dx)lexp 1 e = j i 一l ( 一e 叫) i j 7 = h e ( p 一一( ) la ：y ) 所以n ( f 1 ) 。n ( ) 在给定a = y 条件下独立。即( b ) 成立。 ( i i ) 下面构造混合泊松随机测度。首先设在给定a = a 条件下| “ 是有限的 ( 卢 ( ) o l o ；当r ：o 先证明n 在给定a = a 条件下是点过程，由文献 1 】命题3 1 只需检验 n ( f ) 在给定a = a 条件下是非负随机变量即可。对任意f 芎，志1 r 。( f ) = k i a = a = ( j f ( x ) = k n ( r = z ) ia = ) ) = ( 坫( x ) = k ia = a 】n ( r = zi a ：a ) ) 因此n 。( f ) 在给定a = 条件下是可测的。事实上n ( f ) 还是泊抡随机变量 ( 在a = a 条件下) 。对k 1 p n ( f ) = ki a = a ：p b ( x i ) = k i a = a p ( r = f i a ：a 】 = 砉l 船( t 飞( f ) ) h 舟v c ，i 定+： ：。- 一v ( f ) l 垒丛逆 k ! ：直盟。一 ( f ) k ! 对女：0 有 p ! ( f ) = 0i = a = p ! ( n ( f ) = o ) n ( r = ) i ：a 】 = p ( ( n ( f ) = 0 i a = a ) n ( r ：fi ：a ) 】 ，= 0 * f = p ( r = 0 a = a ) + p b ( x ) = 0 a = a ) n f = li t l 2 e 一 + = p i + = a ) p ( r = f ia = a ) = ，一 f ) 因此n 在给定a = ：i 条件下是点过程。对f 芎有泊松分布。 现在证明n 的条件独立性( b ) 。为此先设f o o t o jf | 是e 的一个可测划分 n 。，i ：0 ，l ，走，是非负整数且甩。= n 对打l ( 对疗= 0 过程类似) p ( n 。( f 。) = 竹。i = 0 i 是la = ) = p ( n ( f i ) = 刀i ，i = 0 1 点f = 挖la = a ) ：p ( 6 x ( f i ) = n i i = 0 ，i ，志la = a ) p ( r = n 1 = ) = 靠如c 驯争l ：h e - c a u 。( f ) 虹磐娆( 壹“f j ) ：1 奎n 。：n ) - 一0 n i ：丽而 = ip ( n ( f 。) = n 。la = )( 6 ) 设f l ，r 是e 上任意互不相交集，令f o = e 一f 。贝| jf o f i 是 e 的一个划分对任意非负整数玎。甩。有