（基础数学专业论文）三类有限不可约coxeter群中极长元素的长度.pdf

摘要 本文计算了厶，岛g ，d 。四类有限不可约的c o x e t e r 群中极长 元素的长度，并得到厶，b 。g ，d 。型c o x e t e r 群的一个性质 关键词：c o x e t e r 群，c o x e t e r 复形，极长元素 i i a b s t r a c t l e tub et h el o n g e s te l e m e n to ft h ef i n i t ei r r e d u c i b l ec o x e t e rg r o u p w i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w eg e tt h el e n g t ho fuw h e nw i sa n ，b n ( 、no r d 。 k e y w o r d s ：c o x e t e rg r o u p ，c o x e t e rc o m p l e x ，t h el o n g e s te l e m e n t i i i 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范 大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 签名组日期 协啦i 。；o 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复印手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日 期： 呸蛆指导教师签名：翘 函也幺! i ! 日 期： 塑兰s ：9 1 引言 设w 为一个群，s 为其一组生成元，在本文中，s 均为有限 集合若w 可表示为 ，m ( i ，j ) n ，则称 ( w ，s ) 为一个c o x e t e r 系统，w 称为是c o x e t e r 群当w 的阶 数有限时，称其为有限c o x e t e r 群。 上述的生成关系可以用一个图来表示。图中的顶点与s 中元素一 一对应，顶点i 和j 若相连当且仅当m ”3 ，当m ”4 时，边上有标 号，当m i _ j = 3 时，边上无标号，这样的图称为是群w 的c o x e t e r 图。 若w 不能分解为= 毗w 2 ，其中和p 均为非平凡的 c o x e t e r 群，则称为不可约的本文主要研究c o x e t e r 图如下的不 可约有限c o x e t e r 群 a n 。o - 。o _ 一o b | c 。 d 。 任意的u w ，u 都可由s 中元素表出，且每一个元素的表达式中 都有一个最短的，称为u 的极小表达式，其长度称为是“的长度。在 有限不可约的c o x e t e r 群中，存在唯一的一个元素，其长度是所有元素 中最长的称为是w 中的极长元素在【1 l 和 3 1 中讨论了极长元素 的一些性质本文给出了上述四种有限不可约的c o x e t e r 群中极长元素 的长度。 定义= 如( s ，) ) ue w ，s c s ，u ( s ) 称为是特殊陪集在e 中定 义由反包含关系定义的序，既b a 当且仅当ac b ，则是一个偏 序集。 引理1 ( 1 l 是一个抽象单纯复形。 称为由( i n s ) 决定的c o x e t e r 复形。 o o d 0 在中，定义单形u ( s ) 的维数为l s 一i 。中极大单形都形如 f u ，u6 w 。其维数都相同，称为是c h a m b e r 对于任意的ue w ， 岛e s ，u 一- w s i u ，均称为是w 中的反射，q 是一个集合，n 中的元索 与中的反射一一对应，q 中的元素称为是w a l l 单纯复形可用s 来标号，w s 7 ) 的标号为s s 。中不是 c h a m b e r 的单形中维数极大的单形称为是余维为一的面若c h a m b e r w 和 叫。 满足u = u s ，s e s ，则称如 和 u s - 相邻。 r ； c i ，i e n 是w 中的一个c h a m b e r 集，其中e i 和g 川相 邻，c 产u 1 c则称r 为一个g a l l e r y 设s 。对应的w a l l 为h ：， u = s 1 8 i _ 1 1 称u 。一1 日。为r 经过的w a l l 若r 是连接c o 和e 。的 g a l l e r y 中最短的，则称其为极小g a l l e r y 。用l ( r ) 来表示r 的长度。 令g = f 1 ，称为是中的基本c h a m b e r 。 设为c o x e t e r 复形的幂等单纯自同态，即d 2 = 西，若对任意 c e 咖( ) ，有且仅有一个g 不在曲( ) 内，且p ( c ) = 毋( e ) 。则称咖 为一个f o l d i n g 引理2 【1 极小g a l l e r y 经过的w a l l 必定各不相同 引理3 1 jw 中元素“的长度等于连接c h a m b e rc 和“c 的 极小g a l l e r y 的长度。 引理4 【1 jd 。型c o x e t e r 群为氏型c o x e t e r 群的指数为2 的子 群。 引理5 【1 】若西为w a l lh 对应的f o l d i n g 且c ，c 7 在h 的同 侧，则d ( c ，c ) d ( c ，咖( g ) ) 2 二如，玩g ，玟型c o x e t e r 群中极长元素的长度 s 。= ( ：f ，) s 。= ( 1 ：j ，) s 。= ( ，：j ) 3 即a 。型c o x e t e r 群中的极长元素长为c 21 2 b n g 型c o x e t e r 群中极长元素的长度 引理l 1 】b 。g 型c o x e t e r 群为非0 坐标为士1 的n 阶可逆幺 矩阵群。 ，) s n t = ( 77 ：j ) s 。= ( 1 。一。) 令s = s i ，1 i n ，则( 彤s ) 是b 。g 型c o x e t e r 系统。 证明：首先证明s 是极小生成集，既任意的s l 都不能由s 中其余 元素生成因为s i ( 1 i _ n 一1 ) 都是置换阵，故其生成的元素除单位阵外 对角线上总有0 ，故不可能生成s 。故8 。不可去掉。如果去掉q ( 1 i n 一 1 ) ，设t 1 _ s ，l j i 1 ) ，t 2 = s j ，i 十l j n ) ，则t l 和t 2 中的元素相交 换。且t 1 中的元素生成的元素必定形如 ( a ，) 其中a 为i 阶方阵且t 1 中的元素生成的元素必定形如 ( b ) 其中b 为n i 阶方阵由于t 1 和t 2 中的元素是交换的，故有t l 和 t 。中的元素生成的都形如乜口，其中“由t ，中元素生成， 有t 2 申 元素生成故 札w = ( a ，) ( 7 日) = ( ab ) 其( i ，i + 1 ) 的位置不可能为1 ，既不可能为黾。 2 1 0 理 0 弓，一 = s 这样s 中的任何一个元素都不能由其余元素生成，既s 为极小 生成集合 对于任意l 一 i 一 n 一2 ， 0 o1 l0o 0l0 ( 8 i 8 h 1 ) 3 = i ( “) s 。一- s 。= ( ，“一2 ； ( 8 n - 1 8 。) 4 = i ( “) 对于l i j n 一1 ，若 i j l 2 ，则 ( s i s j ) 2 = i n 对于l i 一2 ，则 r ”。1 8 i s n = f 10 l i j 卜瑚) i 一 只需证明s 可生成由非0 坐标为l 的扎阶可逆幺矩阵构成的 既g 型c o x e t e r 群，既可说明( 彬s ) 为岛g 型c o x e t e r 系统因 为事实上，此时s 中的元素必然只满足上述关系，否则，其生成的群的 阶数必然小于b 。g 型c o x e t e r 群的阶数 5 一 r ，jtili 2 j n ， 1 0 0 1 ) 一一 0 f l 0 o 1 ) l l ( ， 往证s 可生成由非0 坐标为土1 的礼阶可逆幺矩阵构成的b 。g 型c o x e t e r 群 设t 为p 矿中对角阵的集合，显然丁为矿的子群。为- 矿中非0 坐标均为1 的集合，则为n 个字母上的置换群，由s = s ，l i n 一1 ) 生成，且为w 的子群设 则存在u n 也= 1 1 1 ( n t 一1 )l 1 使得t | = w s 。u ，而丁可由s ”= 他，1 i n ) 生成。又对于任意的 uc w ，均有t c t ，7 _ c n ，使得u = 打 即s 可生成由非0 坐标为士1 的n 阶可逆幺矩阵构成的b 。g 型c o x e t e r 群 故( 彤s ) 为一个鼠g 型c o x e t e r 系统。 引理3 在b 。c k 型c o x e t e r 群中，形如t d s i u 1 的元素共有2 c i 个，1 曼i n 一1 证明：设f 2 = g = u s 刈_ 。，ue w ，l i n 1 ) 往证其在w 的共 扼作用下是可迁的 只需证 魂，1 i n - 1 在的作用下是可迁的 6 一 r ，i、 = u 一卜) 1 ， 一( 1 1 1 ，) ( 。1 0 z a ) ( ：。1a ( - 1 0 三a ) ( 三- 14 ) 1 l u s 。u 一1 = ll ，。( 啪 i 7 证毕。 弓1 翌5 设r l l = “j s ：u 一1 ，l 墨i 墨扎一1 ，ue w ，r 2 = u s 。u 一1 ，“e w ， 则r 。和r 是交空的。 证明：r t 中的元素对角线上必有0 。而r 2 中的元素均为对角 阵， 证毕。 定理2 在b 。g 型c o x e t e r 群中，极长元素的长度为n 2 证明： b 。c k 型c o x e t e r 群中，形如u s ：u 一1 的元素为r 1 和【_ 2 中元素的和，为2 c 2 。+ n = n 2 个，由引理1 1 ，其中极长元素的长度 为n 2 证毕 3 d 。型c o x e t e r 群中极长元素的长度 引理1 设( w ，) 为b n 型c o x e t e r 系统，设s = s 产s i 8 n - 1 = s ：一l ，s 。= s ：s ：一l s ：) ，则( 彬s ) 为一个d 。型c o x e t e r 系统。 证明：显然，w 为缈的子群， 铲7 ：jh 1 s 是极小生成集合的证明与取q 型时的情形类似。 对于l i ，j n 一1 ，若l i j l 2 ，则 5 z s f = 8 三苫) r ，。 = l n s ) l j n r 1 0 0 1 ) 2 一一 j ( r l o o 1 ) t l ( r ( 8 i 8 ) 2 = i ( 对于1 i n 一3 ，贝9 s i s n = 01 10 s 。一。s 。= ( 。“3 0 j 呈。i 1 ) s 。一s 。= ( “一2 一- 一。) 屯= ( j “一一l ，。一引一。) u = ( j “一1 ，j 。一。一。，1 ) 、 一一n ， 1 o o 1 ) l一 ； ( f ，。、 一卜棚) 10 则s z = u s l c j l 企 则t s n t l2s n - l 当i = 2 时，取 1 0 、l， l、； 一 ， l 1 l l 一 【 r， ，一 | | i | u 则8 2 2 u s l u 一1 既这个集合q 在w 的共扼作用下是可迁的 由群在集合上的作用，只需求出s t 在这个作用下的稳定子群 若u s l u 一1 = 5 l ，则s 1 j s i - 1 = u ，那么u 必定为下列形式的矩阵 ( 。10 ，a ) ( ：。1a ) ( 1 11 - a ) ( 三言a ) 其中a 为任意的伽2 阶坐标为1 的有偶数个- 1 的可逆幺矩阵。这 样的矩阵共有2 ”1 ( n 一2 ) ! 个， 由群在集合上的作用， 【q i = 熟= 2 锈， 证毕 三a n , b 。g ，d 。型c o x e t e r 群的一个性质 引理1 在a 。，d 。型c o x e t e r 群中，反射集合q 在群w 的共扼 作用下是可迁的 定理1 在厶型c o x e t e r 系统( 彤s ) 中，s s ，则在中，与 s 相交换的元素有2 ( 乱一1 ) ! 个 证明：由群在集合上的作用的类公式- k = 世i g t l l _ 掣= 2 ( n 一1 ) ! io n + l 其中。为s 在群w 共扼作用下的稳定化子，即与s 相交换的元素个 数 定理2 在d 。型c o x e t e r 系统( 彤s ) 中，s e s ，则在w 中，与 s 相交换的元素有2 n - 1 ( n 一2 ) ! 个 证明：由群在集合上的作用的类公式w 惜= 2 ；犁- - - - 2 n - 1 ( n 一2 ) ! 其中p 虬为s 在群彬共扼作用下的稳定化子，即与s 相交换的元素个 数 在b 。c k 型c o x e t e r 系统( 彤s ) 中，在的共扼作用下，反射 l l 集合q 有两个轨道，分别以8 1 和8 。为代表元，记为q 1 和n 2 ，由引理 2 3 和2 4 知，i q t l 和i q 2 1 分别为2 c ：和凡 定理3 在晶g 型c o x e t e r ( 眦s ) 系统中，s q i ，则在中， 与s 相交换的元素有2 ”( 礼一2 ) ! 个当s eq 2 时，则在w 中与8 相交 换的元素有2 ”( n 一1 ) ! 个 证明：由群在集合上的作用的类公式w 。_ 一l 川w i = 裂= 2 “( n 一2 ) ! 当 s eq 2 时，w 产髑= 2 n f n ! = 2 ”( 礼一1 ) ! 其中w ，为s 在群w 共扼作用 下的稳定化子，即与s 相交换的元素个数 1 2 参考文献 1 k b r o w n ，b u i l d i n g ，s p r i n g e r v e r l a gn e w y o r k ，1 9 8 9 。 2 华罗庚，万哲先，典型群，科学出版社，1 9 6 2 。 3 j a m e se h u m p h r e y s ， r e f l e c t i o ng r o u p sa n dc o x e t e rg r o u p s ， c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s1 9 9 0 4 h u g e r f o r d ，a l g e b r a ，s p r i n g e r - v e r l a g ，g t m 7 3 ，1 9 6 7 5c u r t i s , c w a n di r e i n e r ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y o f f i n i t eg r o u p s a n da s s o c i a t i v ea l g e b r a n e wy o r k ：i n t e r s c i e n c ep u b l i s h ，1 9 6 2 6 h a l lm ，t h et h e o r yo fg r o u p s n e wy o r k ：t h em a c m i l l a nc o m p a n y ，1 9 5 9 7 a t i y a h m fa n d