（电力系统及其自动化专业论文）基于对称带状矩阵方程的配电网潮流算法.pdf

东北电力大学硕士学位论文 a b s t r a c t b e c a u s eo ft h e d e f e c t si np o w e rf l o wc a l c u l a t i o no ft h er a d i a ld i s t r i b u t i o n n e t w o r k ，t h i sd i s s e r t a t i o ni sb a s e do nt r e es t r u c t u r e ，c a l c u l a t i o n a lm e t h o dt h e o r ya n d t h eb a s i ct h e o r yo fc i r c u i t ，p r o v i d e sa ni n d e p t hr e s e a r c ho nt h ea p p r o a c ho f c a l c u l a t i n gp o w e rf l o wi n t h ed i s t r i b u t i o nn e t w o r ks y s t e m a t i c a l l y i nr e c e n ty e a r s ，t h ea u t o m a t i o no fd i s t r i b u t i o nn e t w o r ki sp a i dm u c ha t t e n t i o n i w i t ht h ed e v e l o p m e n to fd i s t r i b u t i o nm a n a g e m e n ts y s t e m ，i th a sb e c o m eh o ts p o t a s i m p o r t a n tp a r to ft h ed m s ，d i s t r i b u t i o np o w e rf l o wc a l c u l a t i o ni st h eb a s i so ft h e s t u d ya n da n a l y s i so ft h ea u t o m a t i o no fd i s t r i b u t i o nn e t w o r k c o m p a r e dw i t h t r a n s m i s s i o nn e t w o r k ，t h ef e a t u r e so fd i s t r i b u t i o nn e t w o r ka r e ：i t ss t r u c t u r ei sc l o s e d l o o pa n dt h ee q u a t i o no fo p e nl o o p ，w h e nt h es y s t e mr u n ss a f e l y , i ti st h er a d i a l s t r u c t u r e o n l yw h e ni t r u nw i t hd e f e c ta n dt a k et u r nt h el o a d s ，i ti sp o s s i b l et o a p p e a rt r a n s i e n tc i r c u i ts t r u c t u r e ；s t r u c t u r eo fn e t w o r k ，r xr a t i oo fl i n ep a r a m e t e ri s l a r g e ；p qn o d e sa r em o r e ，a n dp vn o d e sa r ef e w p r e s e n t l y , i ti sp r e v a l e n tt h a tt h e f l o wi nd i s t r i b u t i o nn e t w o r ki sc a l c u l a t e db yt h es a m em e t h o da su s e di n t r a n s m i s s i o nn e t w o r kp o w e rf l o wc a l c u l a t i o n ，s u c ha sn e w t o n - r a p h s o nm e t h o d ，f a s t d e c o u p l e dm e t h o d ，t h i su n a v o i d a b l yb r i n g ss o m ep r o b l e m sa n dt h e ya r en o te f f e c t i v e s om a n yr e s e a r c h e r sb r i n gf o r w a r ds o m em e t h o d st h a ta r es u i tf o rd i s t r i b u t i o n n e t w o r k s t h o u g ht h e ys o l v e dt h ep r o b l e m so fp o w e rf l o wc a l c u l a t i o ni nd i f f e r e n t w a y s ，s u c h a sc u r r e n t i n f l u x m e t h o d ，c i r c u i ti m p e n d e n c e ， i m p r o v e d n e w t o n r a p h s o nm e t h o d ，a n dt r e es t r u c t u r ec a l c u l a t i o nm e t h o d ，t h e s em e t h o d d i s p o s ed i s t r i b u t i o np o w e rf l o wc a l c u l a t i o ni nd i f f e r e n tw a y s , t h e s em e t h o ds t i l l e x i s t ss o m ep r o b l e m s o fc o n f i g u r a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o ni sb a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i co fd i s t r i b u t i o ns t r u c t u r e c o n s i d e r i n gt h ev o l t a g el e v e l ，a n dp r o p o s i n gan e wc a l c u l a t i o n a lm e t h o df o rt r e e s t r u c t u r ea n ds i m p l i f yt h en o d en u m b e r i n gs c h e m e ，t h i sm e t h o ds h a p es y m m e t r i c a l b a n d e dn o d e i n d u c t a n c em a t r i x ，a n da p p l yb a c k f o r w a r d s w e e pa l g o r i t h m t o d i s t r i b u t i o nn e t w o r kp o w e rf l o wc a l c u l a t i o n ，t h ea l g o r i t h mt u r nt h ep o w e rf l o w e q u a t i o n sf r o mn o n l i n e a re q u a t i o n st ot w og r o u p so fl i n e a re q u a t i o n s ，a n da v o i dt h e u n s t a b l ee q u a t i o n s ，a n dm a k et h ep o w e rf l o we q u a t i o n si m m u n et ot h er a t i oo fr x ， 论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系在导师指导下本人独立完成的研究成果。 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担以下责任和后果： 1 交回学校授予的学位证书； 2 学校可在相关媒体上对作者本人的行为进行通报； 3 本人按照学校规定的方式，对因不当取得学位给学校造成的名誉损 害，进行公开道歉。 4 本人负责因论文成果不实产生的法律纠纷。 论文作者签名：盛 日期：兰竺受年生一月上日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人 离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单 位仍然为东北电力大学。 论文作者签名：虚数f = | 期：j 生年兰月!日 导师签名 铡奸卜 日期：喜移年卫月# 日 第1 章前言 第1 章前言 1 1 问题的提出 自从以电力广泛应用为代表的第二次工业革命以来，电能迅速发展成为人 类社会生存和发展的基本能源。随着信息技术的蓬勃兴起电力事业得到了长足 的进步。 二十一世纪的头十年，是我国实现第二战略目标向第三目标迈进的关键十 年，在这时期，我国将建立比较完善的社会主义市场经济体制。为保证我国国 民经济保持持续健康的向前发展，作为重要能源基础的电力，受到了国家的高 度重视，从而促进了电力基本理论的研究。潮流计算是电力系统中应用最为广 泛。最基本和最重要的一种电气计算。电力系统潮流计算的任务是根据给定的 网络结构及其运行条件，求出整个网络的运行状态，其中包括各母线的电压、 网络中的功率分布以及功率损耗等等。 潮流计算的结果，无论是对于现有系统运行方式的分析研究，还是对规划 中供电方案的分析比较，都是必不可少的。它为判别这些运行方式及规划设计 方案的合理性、安全可靠性及经济性提供了定量分析的依据。 此外，在进行电力系统的静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果 作为其计算的基础，一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配 合。潮流计算往往成为上述计算程序的一个组成部分。以上这些，主要是在系 统规划设计及运行方式分析安排中的应用，属于离线计算的范畴。 随着现代化的调度控制中心的建立，为了对电力系统进行实时安全监控， 需要根据实时数据库所提供的信息，随时判别系统当前的运行状态并对预想事 故进行安全分析，这就需要进行大量在线潮流计算，并且对计算速度等还提出 了更高的要求，从而产生了潮流的在线计算，输电系统潮流计算方法目前己较 成熟而且获得了广泛的实际应用。但对于配电系统，由于其电压等级低、r x 比值较大、环网设计开环运行等使配电系统潮流计算有其特殊性。另外，多年 来往往重视对输电系统的研究而忽视了配电系统，致使配电系统潮流计算方法 进展缓慢。 配电网潮流计算是配电网分析的基础，配电网的网络重构，故障处理、无 功优化和状态估计等都需要配电网潮流数据。潮流计算问题在数学上属于多元 非线性代数方程的求解问题。必须采用迭代计算方法”。配电网与输电网相比， 在网络结构上有着明显的差异。其特点是配电网的网络结构呈辐射状。配电网 的另一个特点是配电线路的总长度较输电线路要长且分支较多，配电线的线径 比输电网细导致配电网的r x l i ：值较大，且线路的充电电容可以忽略。正是由于 配电线路的r x 较大，无法满足p ，q 解耦条件x r ，所以在输电网中常用的快速 解耦法( f d i 。f ) 在配电网中则常常难以收敛。对于一个潮流算法，其基本要求可 归纳成以下四个方面： ( 1 ) 计算速度； ( 2 ) 计算机内存占用量； ( 3 ) 算法的收敛可靠性： ( 4 ) 程序设计方便以及算法扩充移植的通用灵活性。 以t 四点要求是评价各种潮流算法性能时所依据的主要标准。针对配电网 的特点，其评价标准还需考虑以下几个方面：“” ( 1 ) 分支线的处理能力； ( 2 ) 双电源和多回路的处理能力； ( 3 ) 收敛速度； ( 4 ) 算法的稳定性。 电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式求解问题，求解 非线性方程组只能用迭代法。“。因此，对潮流计算方法，要求它能可靠的收敛， 并且给出正确答案，由于电力系统结构及参数的一些特点，并且随着电力系统 不断扩大，潮流问题的方程阶数越来越高，一般在几十阶甚至几百阶，对这样 的方程式并不是任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种情况成为电力系 统计算主计算方法中不断寻求新的更可靠方法的重要因素。 在用数字计算机求解电力系统潮流问题的开始阶段，普遍采耿以节点导纳 矩阵为基础的逐次代入法，成为导纳法。这个方法原理比较简单，要求的数字 计算机内存量也较小，适应于5 0 年代电子计算机制造水平和当时的电力系统理 论水平。当电力系统规模变大时，迭代次数急剧上升，在计算中往往出现不收 敛的情况。 6 0 年代初，数字计算机已经发展到第二代，计算机的内存和速度发生了很 大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗矩阵是满矩阵。阻抗法要求 数字计算机存储表征系统接线和参数的阻抗矩阵，这就需要较大的内存量。而 阻抗法每次迭代都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行运算。因此，每次 迭代的运算量很大。这两种情况是过去电子管数字计算机无法适应的。 阻抗法改善了系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法求解的一些 潮流计算，在6 0 年代获得了广泛的应用，阻抗法的主要缺点是占用计算机内存 大，每次迭代计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服 阻抗法在内存和速度方面的缺点，6 0 年代中期发展了以阻抗矩阵为基础的分块 阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内存只需 要存储各个地区系统的阻抗及他们之间联络线的阻抗，这样彳i 仪大幅度地节省 了内存容量，同时也提高了计算速度。克服阻抗法的另一条途径是采用牛顿一 拉夫逊法。牛顿一拉夫逊法是数学中解决非线性方程组的典型方法，有较好的 收敛性。在解决电力系统潮流计算问题时，是以导纳矩阵为基础的，因此，只 要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵稀疏性就可以大大提高牛顿一拉夫 逊法潮流计算的效率。自从6 0 年代中期，牛顿一拉夫逊法利用了最佳顺序消去 法以后牛顿一拉夫逊法在收敛性、内存要求、速度方面都超过了阻护法，成 为广泛采用的优秀算法。 与此同时，为了保证可靠的收敛，还进行了非线性规划法计算潮流的研究， 这种方法在原理上保证了潮流问题的收敛性。7 0 年代以来，潮流计算方法通过 不同的途径发展，其中比较成功的一个方法就是p q 分解法。这种方法，根据 电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿一拉夫逊法进行改进从而在 内存容量及计算速度方面都向前迈进了一步。 8 0 年代中期n 9 0 年代中期，随着国际国内电力企业对配电网管理的重视程 度不断加深，对配电潮流的研究也广泛丌展起来，并且随着配电系统的不断发 展和扩大以及配电系统自动化水平的不断提高，配电管理系统( d m s ) 的开发研究 东北电力大学硕士学位论文 受到了重视。配电系统计算机潮流计算作为嘣s 的一个重要部分而曰益被电力界 所重视。这期问出现了诸多结合配电网特殊结构而开发的简单迭代算法，例如 导纳法、阻抗法、以注入电流为模型的改进牛顿一拉夫逊法及基于欧姆定律的 各种递推方法，这些算法在解决计算精度、内存需求量、计算速度以及病态条 件之间的矛盾方面，做出了许多有益的尝试。但这些方法不是考虑问题有其局 限性，就是处理方法繁琐。因此难以有其广泛的适应性和统一性。因此研究并 牙发在内存需用量和计算速度方面能接近快速解耦法，而对某些病态系统，如 有火r x 比值或串联电容支路等的计算又胜于快速解耦法的算法一直是许多研 究工作者所追求的目标。 1 2 潮流计算问题的发展及配电网潮流计算的现状 电力系统潮流计算问题在数学上是求解一组多元非线性方程，迭代的收敛 性是实明者关心的技术焦点。由于潮流计算是电力系统计算中最基本的运算， 它的发展直接影响到电力系统计算的进步。所以潮流计算问题一直是广大电力 系统学者关心和不断探索的问题。从早期的交、直流计算台，到如今几乎成为 标准的牛顿一拉夫逊法和在其基础上的快速解耦法( f d l f ) ，随着计算机硬件和 软件的飞速发展，促进了大容量、快速潮流计算的发展，并在上述算法的基础 上衍生出了基于特殊条件的新算法，进而推动了整个电力系统的研究向前发展。 5 0 年代中期，随着电子计算机的应用，人们开始在计算机h 用数学模拟的 方法进行潮流计算。早期使用的潮流计算方法是以导纳矩阵为基础的简单迭代 法，称高斯迭代法。后来又发展了以阻抗矩阵为基础的阻抗回路法。 牛顿一拉夫逊( n e w t o n i a p h s o n ) 方法作为求解非线性方程组的一种基本方 法，在潮流计算中得到了十分广泛的应用。6 0 年代中期，牛顿一拉夫逊潮流算 法采甩了t i n n e y 提出的稀疏矩阵技术和节点优化编号技术，使得牛顿一拉夫逊 潮流算法到目前也还是电力系统中广泛采用的优秀算法。 7 0 年代中期，s t o t t 在广泛的数值试验基础上挑选出快速解耦法( f a s t d e c o u p l e dl o a df 】o w ，简写为f d l f ) ，使潮流计算的速度大大提高，并可以应 用于在线。人们经过多年的理论探索，在9 0 年代初期对快速解耦法的收敛机理 给出了比较满意的解释。 第l 章前言 针对潮流的病念问题，各国学者相继提出了各种解法，主要有非线性规划 法和最优乘子法。6 0 年代末，w a l l a hy _ 乖t l s a s s o nam 相继提出了潮流计算问题 在数学上可以表示为求某一个由潮流方程构成的函数( 目标函数) 的最小值的问 题，并以此来代替代数方程的直接求解，形成了一种采用数学规划或最小化技 术的方法，称为非线性规划潮流算法，从而在原理上保证了计算过程不会发散。 8 0 年代初，岩本伸一“和田村康男提出了基于直角坐标的最优乘子法，对病态潮 流的问题有一定的作用。 现今，输电网潮流计算的具体方法一般是根据应用范围而定，对于正常情 况下的离线潮流计算，一般是追求解算精度而以牛顿一拉夫逊法或以其为基础 的潮流算法为主。而对于在线计算，一般是追求速度而使用p q 分解法或其它的 采取一定简化的算法等。 配电网潮流计算是配电网系统研究的基础。8 0 年代中期随着配电系统自动 化在国内外的广泛兴起，人们对低压配电网的研究开始增多，作为配电管理系 统( d m g ) 的重要组成部分和一项重要内容的配电网潮流计算问题也越来越引起 人们的重视。如前所述，正是由于配电网有一些不同于高压输电网的特征，如 配网建成网状结构，以树枝状运行：线路参数r x 值较大：三相负荷不对称问题 比较突出等。使得原来在输电网中行之有效的算法如牛顿一拉夫逊法、快速解 耦法等在配电网中不再有效。为此，诸多学者结合配电网特殊的网络结构而开 发出许多的简单迭代算法。这些方法根据配电网网络辐射的特点，以支路电流 或母线电压为研究对象，建立运算模型，具有算法简单，能够可靠收敛的特点。 潮流的另一个被广泛采用的算法为以线路有功和无功功率为注入量的牛顿 类算法。此类算法以牛顿一拉夫逊法和快速解耦法为代表，以及由牛顿一拉夫 逊法改进型的算法。此外还有一些综合性的方法，如把牛顿一拉夫逊法和高斯 消去法结合起来，利用k m b r o w n 的方法来解决潮流计算的问题。在实践中己经 验证，快速解耦法由于其假设条件的失效而不适于在配电网中应用。 1 3 本论文所作的工作 ( 1 ) 本文在研究了配电网潮流算法的基础上，针对配电网的一些特点，结合 了数值计算中的矩阵分解，应用了不同与高斯塞德尔的前代回代算法，进 东北电力人学硕士学位论文 行求解潮流。 ( 2 ) 根据配电网树形分支结构，选取各电压等级的根节点，形成带状节点导 纳矩阵，运用带状矩阵的性质，采用前代、回代算法进行非线性方程组求解， 并且与改进牛顿一拉夫逊法和传统前代回代算法的高斯一塞德尔进行比较。 ( 3 ) 改变参数r 和x 的比值，分析该算法对不同r x l i e 值的收敛性。 第2 章常用配电网潮流计算方法及评述 第2 章常用配电网潮流计算方法及评述 2 1 配电网潮流计算的数学模型及病态方程的产生 潮流计算是研究电力系统稳态运行的情况的一种计算，它根据给定的运行 条件及系统连接情况，确定电力系统各部分的运行状态：各母线的电压，各元 件中流过的功率，系统的功率损耗等。潮流计算可以概略地归结为由系统各节 点给定地复功率求解各节点电压向量地问题，因此如果能把复功率表示为各节 点电压向量地方程式，那么就可以利用求解非线性方程组地方法，来解出系统 发各节点的电压向量。 配电网潮流计算是配电管理系统( d m s ) 的重要组成部分。配电网与输电网 相比有其自身的特点：即网络结构为辐射状，线路r x 比值较大。配电网自身 特点导致了节点系数导纳矩阵中零元素占绝大多数，在形成雅克比矩阵时条件 数增大，呈现不同程度的病态特征，当电网末端电压低于一定数值时，牛顿拉 夫逊法丌始发散，这个数值一般在0 5 o 6 p u 垆j 。配电网一般是闭环线路，开 环运行，这就决定了在网络中各个节点之间的联系比较少，在形成节电导纳矩 阵时，比输电网的节电导纳矩阵更加稀疏，这就使得在用牛顿拉夫逊法求解过 程中雅可比矩阵失去对角优势。“，条件数c o n d ( a ) 增大，求解时容易出现病态 方程。有时求解过程不收敛，或者求解的结果收敛到实际电网无法运行的数值。 所以传统牛顿一拉夫逊算法收敛效果不好，配电网自身的特点不满足解耦的条 件，快速解耦法不适用于配电网潮流计算。 近年柬，很多学者提出针对配电网本身呈辐射状，及r x 比值较大的特点， 提出了以面向支路的前代回代算法，这些算法直接取用支路参数，无需形成雅 克比矩阵，采用支路法，将p ，q ，v 作为潮流计算的状态量，使潮流计算只具 有代数运算，从而避免了潮流计算中的三角函数运算，使潮流方程具有一种简 化形式。母线法将节点注入电流作为状态量，利用基尔霍夫电压定律求得母线 上的电压分御。这些方法的主要缺点是都具有一套复杂的节点编号方式，以使 得节点系数导纳矩阵具有简化形式5 1 。 根据节点电压和电流之倒的关系可以用节点方程来描述 i = y u 或者： v = z i 以两式写成展开的形式： 。= 巧y ， 或者： 矿，= z ， ( 2 一1 ) ( 2 2 ) 其中n 为节点数。 为了求解潮流问题，还必须利用节点功率与电流之间的关系 ，只一j q , 1 f2 f 一 矿 其中p 。，q 。分别为节点j 向线性网络注入的有功功率和无功功率，当点为负荷 节点时，p ，q 。本身应带负号。为节点j 的电压向量的共轭值。将( 2 6 ) 代入式( 2 3 ) 和( 2 - - 4 ) ，可得： 掣：窆巧y ， k j 4 及： k ：主z 。丝 ，。 矿 式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 各有n 个非线性复数方程式，式潮流计算的基本方程式， 对这两个方程式的不同应用和处理，就形成了不同的潮流计算方法。 电力系统潮流计算中，表征机电运行状态的参数式该节点的电压向量及复 功率，也就是说每个节点都有四个表征节点运行状态的量：v 、目、p 、q ， 因此在n 个节点的电力系统中共有4 n 个运行参数。 由电力潮流基本方程式( 2 7 ) 或者( 2 8 ) 共有n 个复数方程式，相当 于2 n 个实数方程式，因此只能解出2 n 个运行参数，其余2 n 个应作为原是数据 事先给定。 2 2 传统的配电网潮流的算法 2 2 1 高斯一塞德尔迭代法 当电力网用阻抗矩阵描述时，系统潮流问题的基本方程式是 v 七p i j q j z 比= ，上一 ”1 非线性方程组，采用逐次化的方法解上面的方程组，将该式拆成两个方程 组，首先令： 得到 p 。一j q = ， ! l 二：坦! ：，： 矿2 11 二：塑! ：，。 y 。 vl = z 1 】1 l + z 1 2 ，2 + + z l 。in v 2 = z2 i i 】+ z 2 2 ，2 + 一十z2 。i v 。= z 。l ，l + z 。212 + + z 。，n ( 2 一1 0 ) ( 2 1 1 ) 利用这两组方程式交替进行迭代。 ( 们( 0 1【0 ) 首先，给定各节点电压初值矿t ，矿：，矿。，代入方程式( 2 9 ) 得到 各点电流初值j r ：0 ，f ? ，然后，将各节点电流初值代入方程( 2 1 1 ) 中，就得到各节点电压的第一次迭代值矿_ 矿： ( 1 】 vi = z j 】 ( 1 】 v2=z 2 1 ( i ) 一y 月： ( 0 + z t ，in ( o + z 2n jn ( 1 1( 0 )( 0 )( 0 矿” = z 。l ，1+ z ”2 ，2+ + z 舢i 一 ( 2 1 2 ) 高斯一塞德尔迭代法，其过程如下： ( o )( 0 )( o ) 电压给定初值以后由( 3 - - 1 0 ) 可求出节点电流初值，一，2 ，。，根 据这个初值首先求出第一个节点的电压值： ( n m( o ) ( 0 v j = z i i1 1 + z 1 2 ，2 + + z ，” ( 2 一1 3 ) ( 1 ) i( 1 ) 然后，根据求出的v t ，利用，z= 尝式求出第一个节点的电流并， y 1 ( 1 】( o 这样在求以后的电压式时立即用一代替，t ( 1 1( 0 l( 0 ) v 2 = z 】，l + z 1 212 + + z l 。，一 ( 2 - - 1 4 ) ( 1 1 ( ( o ) 同样又可求得，z ，在以后求各节点电压时可以用，：代替，。，在每次迭 代得过程中总是使用最新求得得数值，这样的收敛速度比雅可比迭代法收敛的 更快一些。 + + ： 伸： ， ， 2 2 z z + 十 0 0 r ， 第2 章常用配屯删潮流计算方法及p f 述 2 2 2 牛顿一拉夫逊法 牛顿一拉夫逊法是解非线性方程组的有效方法。通过这个方法把非线性方 程组的求解过程变成反复对相应的线性方程组求解的过程，通常成为逐次线性 化过程，这是牛顿一拉夫逊法的核心。 在牛顿一拉夫逊法中，节点电压可以表示为极坐标的形式，也可以表示成 直角坐标的形式，与此相应，在潮流计算中节点功率方程式也有两种形式。 电压写成极坐标得形式为： ，只为节点i 的电压向量和角度。 由匕= g ，+ 归。和s ，= 0 + j q ，功率方程可写成 p i + j q ，= 矿，p 魍( g 口一j b 口) 矿，p 卅( i 2 1 ，2 ，3 ，n ) ( 2 1 6 ) j f p 。= c o s 0 + j s i n 0 将( 3 - - 3 0 ) 按照实部和虚部展开： # = k _ ( g 。c 。s 吼+ b ”s i n 巴) q = 量_ ( g “s i n 0 , j b 。c 。s 巳) q = ( g 。一。c o s 巳) f 其中0 。= 0 0 。，为i ，j 两节点得电压相角差。 这就是功率方程的极坐标方程式，在牛顿一拉夫逊法中是非常重要的。 把各个节点的电压向量用直角坐标的形式表示： v 1 = p + i f , ( 2 1 9 ) 则功率方程可写成： 只= p 。( g ，p ，一日口) + ：( g ，乃+ 曰。p ，) 1 q ，：芝( q 。，一岛六) 一q 兰( g g + 岛。，) “_ 1 2 ，3 ，n ) ( 2 2 式 凹= 只一q ( 嘭e ，- o l ) - f , ( 岛乃+ 易勺) q j ：绒一虚( g u 。，一岛乃) + 。艺( g c ，乃+ 嘞勺) f 2 p b ： 囊1 蛔 鲍 ： z x q 1 将极坐标下的功率方程按泰勒缴数展开，略去高次相后，得修正方程 “+ ， 2 。 a 0 l 。 厶俨， 厶。 a 0 , 蝇 l 矿v , a v ：i v ： a v _ k q ( 2 2 2 ) 将直角坐标系下的功率方程按泰勒级数展开，略去高次相后得到修f 方程 式，写成矩阵形式如下： 日 q l 最 a q 2 ： 艘 a v 2 a 业 a 巴 0 a q , & ， 铋屹 & a 业 萌 o a q , 萌 0 a p 2 萌 a a q ： 戮 a p ( t e ， a 盆 6 弩， a 只 6 p ， 0 a a 0 p ， 堂堂丝 & l戮国2 a p 蔹 硇 识 0 a p , 奶 抛q 2 欲 a 艘 识 业 丛q 础 a 只 o e a q 2 陇 a 妒 o 0 a v , ： 6 蛤 艘 够 恐q 彰 矬 够 a q 够 a 艘 彰 0 a v ? o 谚 a e l 颤 血2 钙 ： 血 蜕 ( 2 2 3 ) 上面是两种坐标系统得修正方程式，是牛顿一拉夫逊法求解潮流需要反复 心；|k厶j! 肌胁 岫“切 舢j| 如 迭代得基本方程式。 牛顿一拉夫逊法计算电力系统潮流时，每次迭代都要形成雅白j 比矩阵并且 对它进行消去运算，雅克比矩阵中的每个元素都是电压向量的函数，每次迭代 都要形成新的雅克比矩阵，因此每次迭代运算量相当大，这就降低了潮流的计 算速度，增加了计算时间。由前面的雅可比矩阵各元素的表达式知，在迭代过 程中，特别是趋进收敛时，由电压引起的雅可比矩阵各元素的变化不是很大， 这样就可以在形成雅可比矩阵后，用同一个雅可比矩阵连续迭代几次，这样可 以提高潮流计算速度。 牛顿一拉夫逊法具有2 阶收敛速度，粗略的说用牛顿一拉夫逊法迭代一次， 有效位大约增加一倍，这就意味着牛顿一拉夫逊法收敛速度很快，这是他的主 要优点，还应指出牛顿一拉夫逊是自校j e 的，也就是况，x “”次的误差仅依赖 于函数关系，而不依赖于x “次的误差，前面迭代的误差不会一步一步地传递下 去。 2 3 现代配电网潮流算法 传统的潮流算法是针对于输电网潮流的，随着配电网的发展，传统的潮流 算法在计算配电网的潮流时往往会产生病态方程，这是配电剐自身的特点决定 的，其高r x 的比值和网络呈放射状的特点决定了传统的潮流算法不在适用于 配电网为了解决这个问题，很多学者进行了大量的研究，提出了很多适合于配 电网结构特点的算法，基本上可分为3 类1 9j ：直接法、基于牛顿一拉夫逊算法、 和前代后代法。直接法的计算量很大，需要进行复杂的编码，计算速度明显下 降。基于牛顿一拉夫逊算法有较高的收敛型，但每次迭代需要进行矩阵计算， 且在r x 较高时收敛性会下降。前代后代潮流是从高斯一塞德尔法发展而来的， 被认为是配电网潮流问题的最佳算法之- 。该方法的主要优点是：收敛性接 近于线性，迭代次数于网络规模无关，不需要进行矩阵预算，计算速度快，存 储量小，不需要计算和存储网络的导纳矩阵适合大规模辐射状配电网的潮流计 算。下面对现代的配电网潮流算法分别加以评述。 2 31 改进牛顿一拉夫逊法的配电网潮流计算 在改进牛顿一拉夫逊算法中将电流注入量为模型的电力系统潮流计算，下 面将两种电流注入模型的算法分别介绍。 在牛顿一拉夫逊算法中，潮流计算是求解非线性方程组a s = 0 的问题，在 电流注入模型的潮流计算中把求解非线性方程组s = 0 的问题转化为求解非线 性方程组( 軎 = 。的问题，实际上电流注入型潮流的计算方法就是把节点注入 量由牛顿一拉夫逊法中的复功率变成了节点电流【3 1 】。 。由节点方程 和节点复功率与电压之间的关系 s ，= 矿，( 2 - - 2 5 ) _si：r,v(2-26) r 其中卓：l 。s l ，拿牟l ，对该等式线性化，两边取微商，得： v l k 巧k j 其中 s 矿 s ( 谚) 2 矿= y , z x v 尉觥斛濮橼价蒜请。 在直角坐标系下，设s = p + j q ，v = e 十j f ，y = g + j b 。 将上式写成实数形式为： f 2 2 7 ) 。旦一，、 第2 章常用配电网潮流计算方法及评述 式中 f 矿= a a s ，一b ， 仁航 1 bb j 2 南l o l ； f 2 2 8 ) g 。= 只( p ? 一，2 ) + 2 q , e 。，：b ，= 2 p , e ，一q ，( p ；- f , 2 ) 。 对式( 2 2 7 ) 移项得： i 矿+ e k = a ，心，= ，( 2 - - 2 9 ) 式( 2 2 9 ) 可以写成： r y = ，( 2 - - 3 0 ) 将式f 2 3 0 ) 写成y v = i 导纳矩阵方城的形式得： y a v = ( 2 3 1 ) 其中y 与导纳矩阵y v = i 中的y 的唯一区别在于y 中的自导纳y i ：= y i i + b i 。 上式可以写成： ，= ( y + d ) a v( 2 3 2 ) 式中： ，。：掣；d 是对角块阵，第i 个元素取值为：d 。： v 这里口= 号铲 扣e 筹f 产( 2 +2 ) 2 ：爿 电流注入型的具有以下特点： ( 1 ) 稀疏矩阵( y + d ) 直接由导纳矩阵加上一个对角阵求得，称为新型雅克比 矩阵，它由定常导纳矩阵y 和与节点复功率及电压有关的对角块阵d 组成。 因此，每次迭代时只有对角块上的元素改变，其它的元素都保持不变。 1j 曲 j ，叩 东北电力人学硕上学位论文 ( 2 ) 式( 2 2 7 ) 体现了潮流问题的网络特点，显然y a v = a i + 一d a v = a ，表明 节点注入电流受控于本节点电压的特点，d 是受控量，具有导纳量纲。因 此修正方城系数矩阵实际上是由节点导纳矩阵及受控系数矩阵组成。 上面的算法修正的是偏差量是注入电流，在对牛顿一拉夫逊法进行改进时， 对节点方程进行变换得到基于节点电流注入模型的配电网潮流算法。 由节点注入电流得： 一 弘= 半= 半 c z - 。， 而节点注入电流的网络方程为： ，= u ， ( 2 3 4 ) 其中n 为网络节点数。 在直角坐标系下电压、节点导纳表示为：u i = p 。+ ， ： y 日= g u + j b u 将上面( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 联立并分开实部和虚部，得到基于电流节点注入模型的非 线性潮流方程： w ，( e ，) = 半一，。( g o - 色- ，j ) = 。( 2 - - 3 5 ) 蚺俨毪半一黔n 乃+ b o e j ) _ o ( 2 - - 3 6 ) 若存在p v 节点，则有： a m 。( p ，) = 只一q z ( g f 勺一b 口乃) 一：( g 口乃十b , j p ，) = 0 j = l j = l a n ，( g ，) = 蝶一( p z 2 ) = 0 ( 2 3 7 ) r 2 3 8 ) 上面的潮流方程与通常的牛顿一拉夫逊法潮流方程在形式上相似，均为非线性 方程，求解潮流的修正方程为： 1 6 第2 章常用配电网潮流汁算方法及订述 a w a z a m 疗 o a w ( e ，) ，卯 o a z ( e ，f ) d e a a m ( e ，厂) d e a a n ( e ，厂) d e a a w ( e ，厂) i 可i o a z ( e ，f ) i 乏陶 c z 啪， 影i a c a n ( e ，) l 可 ( 2 4 0 ) 其中a e ，6 f 为平衡节点以外的节点电压修证量，e 。，e ，矗。，f o j d 为前后两次迭代 的节点电压向量。 雅克比矩阵中各元素为： 艺竽哦净引+ 姨+ 2 f e , f 瓯( 2 - - 4 1 ) 半= 绒等 m 等低( 2 - - 4 2 ) 掣吨睁苦) 蝴2 矿e , f , 岛( 2 - - 4 3 ) 半哦睁等卜+ 可2 e j f , 屯( 2 - - 4 4 ) 鼍竽一黔n 旷- g “e , - b o ，( 2 - - 4 5 ) o a m 面, ( _ e , f ) ：一窆( g ，乃一b , j e j ) 一b i 一一g 。， ( 2 4 6 ) 叫，j ；1 缸v 一 一 山 | i = 州 州g 厂 ，l 东北电力大学硕j 二学位论文 当i 时 等= 掣一g ， o e jo l 竽= 竽一嘞磁j& j u a , s m 写j = _ ( e 一, f ) ：一( g ，e 。q i - b ：) 叫i itp，l 优 。 ( 2 - - 4 7 ) ( 2 - - 4 8 ) ( 2 - - 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) aanj(e,f)一eanj(e,f)0 ( 2 5 2 ) 魂j眠 给定电压初值e , f ，运用( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 反复迭代，直至满足 m a x l a e ，馘 占。 基于电流注入模型的配电网潮流与牛顿一拉夫逊法相似，可解决多回路， 电源的配电网潮流，具有二阶收敛速度，算法的稳定性优于牛顿一拉夫逊法。 通常牛顿一拉夫逊法的节点初值低于o 5 5 时，潮流开始发散，而节点注入模型 的潮流算法的初值在低于0 3 0 时才开始发散5 1 。 23 2 环状配电网的潮流计算 该算法一般从环网开始处理，将网络分解为纯辐射网和环网，应用叠加原 理处理配电网潮流问题。 由于配电网一般是闭环设计，开环运行，运行期间会在配电网中出现一个 或几个少量的环网。在少环配电网三相潮流计算新方法f 6 】中首先将合环点处等 一 ) 一 蝴一舐 一职掣等 效成两个大小相等方向、极性相反的三相电压源串联联接，三相电压源大小由 开环运行时开环点两端的三相电压差求得。让后将整个网络分解为两个网络： 开环运行的网络即纯辐射网络和仅保留环状支路和合环点处电压源的纯环状网 络，两种网络的计算结果叠加可计算出整个网络的潮流。 如果已知丌环运行点处的- - n 电压，则两端的三相电压差圪。，圪。也 是已知的。把合环运行看成是在丌环运行的两端点之间叠加一负的三相电压源， 可将合环运行方式分解成为开环运行方式和具有一个三相电胜源的附加分量。 纯辐射网络的前代回代配电网三相潮流计算在第k 次迭代中的步骤为： 用回路电流法求解纯环状网络的三相潮流。对一个具有m 个基本回路( 环) 的电 路，由m 个回路电流。对m 个基本回路用基尔霍夫电压定律( k v l ) 写方程，并 利用支路方程把所有k v l 方程通过电流来表达，在选择回路的时候，选择回路 电流只经过一个附加电压源的基本回路。 三相自阻抗，其数值为各回路中所有支路的三相阻抗之和，都为j f 值，当 k v 时，为回路问三相互阻抗，其值为两回路问公共阻抗支路的三相阻抗之和， 若两个回路的回路电流方向相反，则矩阵中的每个元素取负值，否则取正值， 若两个回路间无公共支路，则该矩阵的所有元素为零。 在应用叠加原理，在开环的基础上叠加合环的计t 算结果。 2 3 3 在配电网潮流计算中引入虚拟支路 考虑到开环运行的配电网的结构，其节点数等于其支路数加1 ，在支路中 取电源流向负荷的方向为正方向，则构成的节点一支路关联矩阵为一长方形， 用它来处理支路电流( 功率) 和节点电流( 功率) 的关系时很不方便，为此在根结点 处增加一零阻抗支路，且此支路不设始端节点，在按照一定的规律形成关联矩 阵，使得节点一支路关联矩阵为容易处理的正方形，如图所示，n l 为根结点， 在根结点处增加一虚拟的零阻抗支路l - 。支路编号是由已知出发的支路为n 2 ， 其末节点编号为n 2 ，再由n 2 出发的支路为l 3 ，其末节点为n 3 ，按照此规律继 续追加支路并编号，直到所有支路和节点编号完成。所形成的是对角元素均为 一1 的上三角阵，非对角元素为零和一1 ，各行非对角元素等于由该节点发出的 支路数，当某个节点为网络终端节点时，该没有支路由它发出，该节点对应的对 戍的行里没有非零元素。编号的规律时这样的：追加支路时，所增加的支路必 须是由已编号的节点出发的。不必考虑分层，也不必考虑它是干线还是分支线， 则支路编号和它的节点编号相同。在树状网新增加支路时，可直接将它编号为 最后一个支路，其末端节点编号为最后一个节点即可。要删除一个支路，只要 将它所在的行列消去即可。 图2 1 树状网不意图 在形成正方形的节点一支路关联矩阵后，处理节点和支路的关系上就比较 方便，设各节点注入电流列矢量为1 w ，可由节点注入功率和节点电压求得： ：彗( 2 - - - 5 3 )m = 学) 矿， 各支路通过的电流列向量为i l ，它与节点电流i n 之问可用关联矩阵建立关 系： 如= a i l( 2 5 4 ) 令a o = a + u ，式中u 为单位阵，a o 为对角元素为零非对角元素与a 相同 的矩阵。此时： i l = a 0 1 l i n( 2 - - 5 5 ) 上式左端列向量最后一个元素是最后一个支路的电流，它等于术端节点注 入电流的负值，因而可求得各支路电流。 各支路的电压降可由支路电流和支路阻抗的乘积求得。令z l 为各支路阻 抗组成的对角阵，则各支路的电压降为z l i l 。显然根结点前面的支路电压降为 零，各支路电压降也可由关联矩阵与节点电压列向量表示，即a v 。但出于第 支路只