（运筹学与控制论专业论文）北极海冰温度场热力学参数辨识与数值模拟.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文以北极海冰的热传导问题为背景，建立了北极海冰温度场的带有初边值条件的 一维及三维的热传导方程。依据实测的温度数据，分别构建了关于一维海冰热力学参数 和三维海冰及海水热力学参数的辨识模型，应用分布参数系统的参数辨识与最优控制理 论，研究其参数辨识问题，提出优化算法，利用辨识出的最优参数对给定的温度场进行 了数值模拟。本文研究的内容与取得的主要结果概括如下： 1 根据北极雪，冰及海水各层温度变化特征，忽略水平方向上的热量传导，只考 虑垂直水平面上的温度变化，建立了一维北极海冰温度场的多区域耦合系统。结合实测 温度数据，采用最小二乘估计的方法，确立了以冰区域主要热力学系数( 比热、密度和 热传导系数) 为参数的最小二乘辨识模型。论述了该耦合系统弱解的存在性，关于参数 的依赖性及辨识模型的可辨识性。根据最优控制的理论，提出了最优条件，构造优化算 法，从而确定北极冰温度场中冰的热力学系数，并得到北极雪、冰、海水各层温度分布 的数值结果。 2 综合考虑温度在经度方向、纬度方向和深度方向上的变化，建立了三维北极海冰 温度场的多区域祸合系统，系统考虑了大洋潮流的影响。同样，结合实测温度数据，采 用最小二乘估计的方法，确立了以海冰及海水热力学系数( 比热和密度) 为参数的辨识模 型。给出了该耦合系统弱解的存在性，关于参数的依赖性及辨识模型的可辨识性。并且 提出了优化算法，模拟了部分北极海域的温度分布状况。文中给出了确定大洋潮流速度 的开边界条件及其函数的有效方法，并介绍了求解系统模型的半隐式差分格式方法。 关键词：多区域耦合系统；参数辨识；优化算法；数值模拟；北极海冰 北极海冰温度场熟力学参数辨识与数值模拟 t h e r m o d y n a m i c sp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i na r c t i cs e ai c et e m p e r a t u r ef i e l d a b s t r a c t w i t ht h eb a c k g r o u n do ft h eq u e s t i o no fa r c t i cs e ai c eh e a tc o n d u c t i o n , t h i sd i s s e r t a f i o n e s t a b l i s h e so n e - d i m e n s i o na n dt h r e e d i m e n s i o nh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n sw i t hi n i t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l y o nb a s i so ft h eo b s e r v e dc l a m , t h i sp a p e rc o n s t r u c t s t h e r m o d y n a m i c sp a r a m e t e rm o d e l sa b o u t 也e r m o d y r m m i c sp a r a m e t e r so f s e ai c ei n o n e - d i m e n s i o na r c t i cs 船i c et e m p e r a t u r ef i e l da n dt h e r m o d y n a m i c sp a r a m e t e r so fs e ai c ea n d s e aw a t e ri nt h r e e - d i m e n s i o na r c t i cs 龃i c et e m p e r a t u r ef i e l d , r e s p e c t i v e l y b yu s i n gt h e t h e o r yo fi d e n t i f i c a t i o na n do p t i m a lc o n t r o lo fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ，i ts t u d i e s i d e n t i f i c a t i o np r o b l e m s ，p r e s e n t so p t i m a lm g o f i t h ma n di m p l e m e n t sn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt o t h eg i v e nt e m p e r a t u r ef i e l d sb yt h eo p t i m a lp a r a m e t e r s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r e 船f o l l o w s ： 1 f r o mt h et e m p e r a t u r eo fa r c t i cs n o w s e ai c ea n ds e aw a t e r , t h i sd i s s e r t a t i o ni g n o r e s h e a lc o n d u c t i o ni nh o r i z o n t a ld i r e c t i o n , c o n s i d e r st e m p e r a t u r ev a r i a t i o n si nv e r t i c a ld i r e c t i o n s o n l y , a n de s t a b l i s h e st h em u l t i d o m a i nc o u p l e ds y s t e mo fo n e - d i m e n s i o na r c t i cs e ai c e t e m p e r a t u r e 丘e l d i te s t a b l i s h e st h es o - c a l l e do u t p u tl e a s ts q u a r ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n m o d e la b o u tt h et h e r m o d y n a m i c sp a r a m e t e r so fs e ai c e ( h e a ts t o r a g ec a p a c i t y ，d e n s i t ya n d c o n d u c t i v i t y ) b yu s i n gt h es o - c a l l e do u t p u tl e a s t - s q u a r ee s t i m a t e , o nb a s i so ft h eo b s e r v e d d a t 巩b yt h et h e o r yo fo p t i m a lc o n l r o l ，t h eu n i q u e n e s sa n dc o m i n u l t yo fw e a ks o l u t i o no ft h i s e o u p l e ds y s t e mi sd e s c r i b e d , a n dt h ei d e n t i f i a b i l i t yo ft h i sp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm o d e li s d i s c u s s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i tp r o p o s e sn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o n , e n n s t r u e t st h e o p t i m a la l g o r i t h mo fi d e n t i f i c a t i o nm o d e la n do b t a i n st h eo p t i m a lt h e r m o d y n a m i cp a r a m e t e r s o f s e ai c ef r o mt h ei c ef l o e t h e n , t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sr 谢i 她a n dt h en u m e r i c a l r e s u l t so f t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no f a r c t i cs e ai c ea r es h o w e di nt h i sd i s s e r t a t i o n 2 b yc o n s i d e r i n gt e m p e r a t u r ev a r i a t i o n si nt h r e ed i r e c t i o n si n c l u d i n gl o n g i t u d ed i r e c t i o n , l a t i t u d ed i r e c t i o na n dd e p t hd i t e e t i o n s y n t h e t i c a l l y 。t h i sd i s s e r t a t i o ne s t a b l i s h e st h e m u l t i - d o m a i nc o u p l e ds y s t e mo ft h r e e d i m e n s i o na r c t i cs e ai c et e m p c m t u r ef i e l da n da l s o c o n s i d e r st h ei n f l u e n c eo f o t t 七a l lt i d a lc u r r e n t o nb a s i so f t h eo b s e r v e dd a t a , i te s t a b l i s h e st h e p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm o d e la b o u tt h e 血e r m o d y n a m i c sp a r a m e t e r so f s e a i c ea n ds e aw a t e r ( h e a ts t o r a g ec a p a c i t ya n dd e n s i t y ) b yu s i n gt h es o - c a l l e do u t p u tl e a s t - s q u a r ee s t i m a t ea l s o t h i sd i s s e r t a t i o nd e s c r i b e st h eu n i q u e n e s sa n dc o n t i n u i t yo fw e a ks o l u t i o no ft h i sc o u p l e d s y s t e m , a n dd i s c u s s e st h ei d e n t i f i a b i l i 哆o ft h i sp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm o d e l i tp r o p o s e s i i 犬连理工大学硕士学位论文 o p t m 僦a l g o r i t h m , a n dr e a l i z e st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i n go f p a r to fa r c t i cs e 扎i nt h i sd i s s e r t a t i o n , a ne f f e c t i v em e t h o di sp r o p o s e dt od e t e r m i n et h eo p e n b o u n d a r yc o n d i t i o n so fo c e a nt i d a lc u r r e n t , a n dt h es e m m m p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m et o s o l v eh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n si si n t r o d u c e ds e r i o u s l y 。 k e yw o r d s # t h em u l t i - d o m a i nc o u p l e ds y s t e m ；p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ；o p t i m a l a l g o r i t h m ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ：a 瞳cs e ai c e i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 垩垫 日期：趋i2 ： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：叠垒 跏签名：缝甄导师签名：z 。兰2 = ：三 = 型 盟年j 月日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 本章首先介绍了分布参数系统参数辨识问题的研究背景及其意义，然后简要回顾了 分布参数系统参数辨识与最优控制以及海冰数值模式等问题的发展概况和研究现状，最 后列出了本文取得的主要结果。 1 1分布参数系统参数辨识的研究背景和意义 分布参数系统是指具有无穷个自由度的物理系统。用数学语言讲，它是用偏微分方 程，或偏微分积分方程，或偏微分方程与常微分方程的耦合方程来描述运动规律的系统。 在实际问题中，多是偏微分方程描述的系统。例如，用热传导方程描述的温度场的控制 系统等。分布参数系统在每一瞬间的状态是一个函数，是一个无穷维空间中的一个元。 对分布参数系统的研究己成为现代控制理论的重要组成部分。分布参数系统广泛应用于 热工、化工、导弹、航天、航空、核裂、聚变、海洋等工程系统，以及生态系统、环境 系统、社会系统等，因此学习并研究分布参数系统具有广泛的应用价值。 分布参数系统参数辨识是指根据某些实验或实测资料确定由偏微分( 积分) 方程( 组) 描述的系统模型中的未知参数，从而使得模型的输出某种给定意义下充分接近实际过程 的观测值。分布参数系统参数辨识问题实质上就是分布参数系统的最优控制问题。 分布参数系统最优控制问题的研究，主要从最优解的存在性及最优性条件、系统的 可辨识性、稳定性和最优控制问题的求解等方面展开。 根据实测温度资料，辨识传热介质的热力学参数，然后用辨识后的参数对温度场进 行数值模拟，可以得到更客观的模拟结果。这是分布参数参数辨识和最优控制问题的典 型应用。而北极海冰温度场中的参数辨识与数值模拟便是上述类型的问题。对它的研究， 不仅可以推动分布参数系统参数辨识和最优控制的研究，还可推动海冰数值模式等的研 究。因此，本研究具有重要的理论意义和应用价值。 1 2 分布参数系统参数辨识和最优控制概述 控制论科学是n w i e n e r 等人在2 0 世纪4 0 年代创立的。控制论研究的对象是包括 人在内的生物系统和各种非生物系统( 如工程系统、化工系统、通讯系统、经济系统等) 。 控制论科学包括经典控制理论和现代控制理论两个阶段。经典控制理论以拉氏变换为数 学工具，以单输入单输出的线性定常系统为主要的研究对象。而现代控制理论以线 性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析与设计控制系统。 北极海冰温度场热力学参数辨识与数值模拟 2 0 世纪6 0 年代初期，由于科学技术的发展和实际工程控制系统设计的需要，以及 集中参数系统最优控制发展的影响，现代控制理论的一个新的分支分布参数系统的 控制理论开始萌芽、发展。在分布参数系统理论的发展过程中，频率域方法与时间域方 法是并行发展的。从2 0 世纪6 0 年代开始它们有了很大发展。现代偏微分方程和泛函分 析理论成果的应用，为分布参数系统建立了严格的理论基础，提供了有力的研究工具。 在分布参数系统的镇定、最优控制、能控性和能观测性以及分布参数的辨识和滤波问题 上，都己取得类似于集中参数系统的成果，也可认为是集中参数系统相应结果的推广。 1 9 5 4 年钱学森在工程控制论一书中讨论了热传导过程的分布参数系统问题，最 早使用了无穷阶传递函数的概念。1 9 6 1 年a r 布特科夫斯基以热轨钢问题为背景， 讨论了分布参数系统的最优控制问题。1 9 6 4 年王耿介研究了分布参数系统的稳定性、能 控性、能观测性、最优控制等问题。j l l i o n s 和m a g e n s ( 1 9 6 8 ) 及l i o n s ( 1 9 7 1 ) 在现 代泛函分析和偏微分方程理论的基础上，对分布参数系统理论进行过广泛深入的研究， 为分布参数控制系统最优控制的研究奠定了理论基础。随后宋健、关肇直等人对分布参 数受控对象和集中参数控制器互相耦合的分布参数控制系统从理论上进行了系统的研 究。a h m e d ( 1 9 8 9 ) 利用算子半群、伴随系统以及变分不等式，在b a n a c h 空间中给出了该 领域的一些抽象理论体系。1 9 9 7 年以来，a h m e d 还对非光滑分布参数系统的最优控制， 引入了广义解的概念，并得到了一系列的抽象理论成果，这也是分布参数系统最优控制 理论研究中新开创的领域。李训经等利用算子半群、凸分析和s o b o l e v 空间理论，在分 布参数控制系统的时闻最优控制、最大值原理等诸多方面取得了许多有代表性的成果。 微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉最早提出了弦振动的二阶方程。偏微分 方程得到迅速发展是在十九世纪。那时候，法国数学家傅立叶在从事热流动的研究中， 写出了热的解析理论，提出了三维空间的热方程。他的研究对偏微分方程的发展的 影响是很大的。近些年，关于抛物型偏微分方程的最优控制问题的工作也有好多。 w e n h u a ny u ( 1 9 8 6 ，1 9 9 1 ，1 9 9 5 ) 研究了由线性抛物方程所支配的辨识问题。e g s a v a t e e v 和r r i g a n t i 在1 9 9 5 年研究了带非线性项的一维热传导方程的一类反问题，证明了结 果的存在性和唯一性，而且还提出了一种求解反问题解的数值算法。王康宁( 1 9 9 5 ) 给出 了用算子方程形式的半线性抛物型系统最优控制存在的极大值原理。高夯( 1 9 9 9 ) 采用 c l a r k 的非光滑分析理论，讨论了半线性抛物方程支配系统的最优性条件。c h i n g y u y a n g ( 1 9 9 8 ) 提出了关于一维热传导方程的一个非常直接的结论。九d e b i n s k a - n a g o r s k a 和a j u s t ，z s t e m p i e n ( 1 9 9 8 ) 根据g a l e r k i n 近似法解决了一个由非线性偏微分方程支 配的优化问题，且证明了原优化问题解的收敛性。a h k h a t e re t a l ( 1 9 9 8 ) 采用分段二 次插值法给出了关于一类拟线性抛物方程最优控制问题的解析解和数值解。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 n u a h m e d ( 2 0 0 0 ) 给出了半线性和拟线性发展方程的钡r 度解，且研究了它们的最优控制 问题。g u ob e n - y u j u nz o u ( 2 0 0 1 ) 结合最d - 乘法提出了线性抛物方程参数辨识的增 广l a g r a n g i a n 法。m a s a h i r oy a m a m o t oa n dj u nz o u ( 2 0 0 1 ) 根据t i k h o n o v 正则法研究了 在一个热传导系统中初始温度和热反射系数的同步重建。a z e g h a l ( 2 0 0 2 ) 通过b a n a c h 空 间的不动点理论处理了非线性抛物方程的反问题。c h u n f al i ，e n m i np e n g 和j i n w a n g l i u ( 2 0 0 3 ) 考虑了关于油田开发的弱对偶抛物方程的最优控制问题。m e h d id e h g h a n ( 2 0 0 3 ) 提出了建立在有限差分格式基础上的数值解法来求解带有一个控制参数的一维抛物反 问题。q u a n f a n gw a n g ，d e x i n gf e n g 和d a i z h a nc h e n g ( 2 0 0 4 ) 对含有一个参数的一类 非线性抛物抽象方程的参数辨识进行了定性分析，给出了该分布参数系统参数辨识问题 最优解的存在性和最优性条件。c h a o h u aj i a 和g e n g s h e n gw a n g ( 2 0 0 4 ) 提出了在线性 抛物边值问题系数辨识的近似过程。t a d e u s zt e l e j k o 和z b i g n i e wm a l i n o w s k i ( 2 0 0 4 ) 据有限元方法来解决热传导系数的决策问题。z h y i 和d a m u r i o ( 2 0 0 4 ) 在维热传导 的反问题中给出了稳定的数值解，解决了温度，温度梯度和热源项的同时辨识的问题。 s a n g u kr y u ( 2 0 0 4 ) 研究了k e l l e r s e g e l 方程的最优控制问题，推导出了由一类半线性 抽象方程支配的最优控制问题的最优条件，在一定条件下证明了最优控制的唯一性。 a z i zb e l m i l o u d i ( 2 0 0 5 ) 考虑了一个生物经济模型的最优控制问题，这个模型是一个退 化的抛物方程。a s h i d f a r ，g r k a r a m a l i 和j d m i r c h i ( 2 0 0 6 ) 讨论了线性边界条件下 热传导方程的非线性问题。l e g e n d r ep o l y n o m i a l s ( 2 0 0 6 ) 解决了通过线性变换把一个病 态的熟传导问题转化成了一个c a u c h y 问题。q u nt h e n 和j i j u nl i u ( 2 0 0 6 ) 应用优化方 法结合有限元得到了一定假设条件下抛物方程反问题的数值解。m e h d id e h g h a n 和 m e h d it a t a r i ( 2 0 0 6 ) 利用基函数来求解反问题的解，给出了数值试验的结果，而且将计 算结果和经典的有限差分格式进行了比较。a f e tg o l a y o g l uf a t u l l a y e v ，e m i n ec a n 和 n i z a m ig a s i l o v ( 2 0 0 6 ) 提出了两种不同的算法来求解系数依靠解的一维抛物方程辨识问 题的反问题，并且给出了对比分析。 在应用方面，分布参数系统广泛应用于热工、化工、导弹、航天、航空、核裂、聚 变、海洋等工程系统，因此学习并研究分布参数系统具有广泛的应用价值。 1 3 海冰数值模拟概述 研究海冰数值模式的目的，是为了对海冰的生消、漂移、厚度分布和密集度变化做 出稳定可靠的数值模拟和预报，同时关注海冰与气候变化之间的相互作用关系。 海冰占海洋面积的7 ，是地球冰雪圈的重要组成部分。它明显地影响大气和海洋 的动力和热动力，对全球气候有着重要的影响。海冰较之海水、陆地而言，有其自身的 北极海冰温度场热力学参数辨识与数值模拟 特性：海冰有比地表高出至少6 0 的反照率，大大减少了地表或海洋对太阳辐射的吸收， 在有海冰的地方，那部分应该直接进入海洋的能量储藏在冰中，因而海冰与冰下海洋表 面热量和淡水平衡之间存在很强的依赖关系；海冰的融化会吸收大量的热能，稀释海水 的盐度；海冰覆盖削弱了海洋与大气的热交换，阻止了海水的蒸发，抑制了海水对大气 的感热输送，在同样的大气环境条件下，海冰区的热通量比邻近的海水低1 个量级。由 于不同海域气象与水文条件的差异，使海冰、海水、雪各层熟力学参数变化很大。另外 海冰区域的生产作业( 如油田开发，航运，渔业生产) 及海中结构物设计都要求对海冰， 海水，雪的热力参数有深入精确的定量研究，特别是需要特定海域中的雪，冰，海水各 层热力学参数的定量分析与确定。更为重要的是由于北极独特的自然条件和地理位置， 因而在全球变化中扮演着非常重要的角色。所以研究海冰的热力学过程和数值模拟是很 有价值的。 海冰数值模式大体上可分为动力模式、热力模式、动力热力耦合模式和海冰一海 洋耦合模式等。 海冰的热力学研究始于1 8 9 1 年s t e f a n 提出的经典的s t e f a n 分析法则。2 0 世纪6 0 年代，国外开始了海冰数值模式研究。从上世纪8 0 年代中期，开始探求发展冰一海耦 合模式，以求真实地体现冰海耦合过程。u n t e r s t e i n e r 在1 9 6 4 年，m a y k u t 和u n t e r s t e i n e r 在1 9 7 1 年提出的研究和模型至今还很流行。我们可以看到，早期模型主要处理的是冰 内的热力学问题，即在边界条件不明确的情况下来考虑热传导和反射渗透。后来主要是 通过离散域数据或描述热通量进行研究( u n t e r s t e i n e r ，1 9 6 4 ：m a y k u t 和u n t o s t e i n e r ， 1 9 7 1 ；s e m t n e r ，1 9 7 6 ) 。p a r k i n s o n ，w a s h i n g - t o n ( 1 9 7 9 ) 和o m s t e d t ( 1 9 9 0 ) 考虑了水平方 向上的影响和冰海之间的相互作用。l e n k e ( 1 9 8 7 ) 提出了冰洋混合层模式。l e p p a r a n t a ( 1 9 8 3 ) 考虑了雪。冰模型；c o x 和w e e k s ( 1 9 8 8 ) 研究了冰的熟力学问题中的盐度问题。 g a b i s o n ( 1 9 8 7 ) ，e b e r r 和c u r r y ( 1 9 9 3 ) 研究了所有的热力学过程和大气冰模型。另外， g a b i s o n 考虑了冰洋混合层的影响。实际上，g a b i s o n ( 1 9 8 7 ) 的模型在结构上最接近我们 的研究。e b e r t 和c u r r y ( 1 9 9 3 ) 特别关注了水道和反射率的影响。s a l o r a n t a ( 1 9 9 8 ) 最近的 一个研究在m a y k u t 和u n t e r s t e i n e r ( 1 9 7 1 ) 模型的基础上对雪、冰一雪引入了它们重力的 影响和热力学效应。接下来的研究主要是几种热交换的建模，包括大气边界层和雪层， 大气边界层和冰层，冰的内部和雪，冰和海洋边界处等。另外，模型也可以产生大气表 面层的资料包括风速、温度和湿度等。计算数据和观测数据进行比较是辨识和优化模型 的第一步。冰的各种热力学过程被越来越细致的考虑进模型中来。b i t z , l i p s c o m b ( 1 9 9 9 ) 和w i n t o n ( 2 0 0 0 ) 的最近的模型强调了盐水池附近内部融化的重要性。 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 国内关于海冰数值模式研究起步较晚，从2 0 世纪8 0 年代开始。主要以渤海海冰和 极地海冰为背景，研究海冰动力、热力、热力动力耦合模式，用于刻画海冰的热力学、 动力学特征，取得了一系列的研究成果。苏洁，吴辉碇，白珊( 2 0 0 5 ) 等人应用能量守恒 及气象资料分析了冰内及冰边缘的厚度，界面上的热量收支，海表水温等。林振山，乐 群，王勤学( 1 9 9 9 ) ，程斌( 1 9 9 6 ) 等人以常微分方程和偏微分方程研究了冰温，冰界范围 及各种方程的定解条件。李志军，董西路，张占海，卢鹏( 2 0 0 4 ) 对中国第二次北极科学 考察海冰物理数据进行了解释。 1 4 本文的主要工作 本文以北极海冰的热传导问题为背景，建立了北极海冰温度场的带有初边值条件的 一维及三维的热传导方程。依据实测的温度数据，分别构建了关于一维海冰热力学参数 和三维海冰及海水热力学参数的辨识模型，应用分布参数系统的参数辨识与最优控制理 论，研究其参数辨识问题，提出优化算法，利用辨识出的最优参数对给定的温度场进行 了数值模拟。本文研究的内容与取得的主要结果概括如下： 1 根据北极雪，冰及海水各层温度变化特征，忽略水平方向上的热量传导，只考 虑垂直水平面上的温度变化，建立了一维北极海冰温度场的多区域耦合系统。结合实测 温度数据，采用最d x - 乘估计的方法，确立了以冰区域主要热力学系数( 比热、密度和 热传导系数) 为参数的最小二乘辨识模型。根据最优控制的理论，论述了该耦合系统弱 解的存在性，关于参数的依赖性及辨识模型的可辨识性。提出了最优条件，构造优化算 法，从而确定北极冰温度场中冰的热力学系数，并得到北极雪、冰、海水各层温度分布 的数值结果。本文实现了用最优控制理论，结合2 0 0 3 年8 月到2 0 0 4 年4 月在北极布放 的卫星跟踪定位极区水文气象自动监测浮标( 四套) 测得的大气气温，雪，冰，海水在 不同位置的温度等数据，对北极海冰温度场冰区域主要热力学系数进行了辨识。 2 综合考虑温度在经度方向、纬度方向和深度方向上的变化，建立了三维北极海冰 温度场的多区域耦合系统，系统考虑了大洋潮流的影响。同样，结合实测温度数据，采 用最4 , - - 乘估计的方法，确立了以海冰及海水热力学系数( 比热和密度) 为参数的辨识模 型。给出了该耦合系统弱解的存在性，关于参数的依赖性及辨识模型的可辨识性。并且 提出了优化算法，模拟了部分北极海域的温度分布状况。文中给出了确定大洋潮流速度 的开边界条件及其函数的有效方法，并介绍了求解系统模型的半隐式差分格式方法。文 中对北极海域的三维数值模拟区别于其它文献资料。 北极海冰温度场热力学参数辨识与数值模拟 2 预备知识 分布参数系统的辨识问题是函数空间中的最优化问题。本章中首先介绍函数空间的 一些基本概念和基本性质；然后给出了b a n a c h 空间中g 6 t t e a u x 导数和f r a c h e t 导数的概 念；接着列出了抛物型偏微分方程弱解的概念和弱解的存在唯一性；最后简要介绍了模 式搜索法的基本思想和算法步骤。这些都是本文研究问题的基础和必要的工具。 2 1函数空间及其基本性质 2 1 1 口) 空间的定义和基本性质 设x 为r “中任一点，q 是中的有界开集，用以q ) 来表示由可测函数“：q r 构 成的等价类。对于l p o o ，定义如下的函数空间和范数： ( 固= “e ( q ) 摊| pd x o o ， ( 2 1 ) m p - - ( w 出) ， ( 2 2 ) 用p ( q ) 表示q 上的本性有界函数空间，其范数定义为：。= e s s s u p 柏 u ( x ) i 。 当l p ，q o o 时，且满足三+ 三= 1 ，我们称p 和g 互为共轭指数，而此时的f ( q ) 空 pg 间和口( q ) 空间互为共轭空间。特别地，当p = 2 时，q = p = 2 ，此时的空间r ( q ) 是 h i l b e r t 空间，其内积定义如下： = l 圳妣v u ，v l 2 ( n ) ( 2 3 ) ( q ) 空间是b a n a c h 空间，当l p o o 时，( q ) 是可分的；当1 p 0 ，三+ 三= 1 ，有 pq n ( 砷v ( x ) l d x - l l 刚 ( 2 4 ) 这个结果可以推广为： l 石( ) i 出i 阮k 0 工峙， ( 2 5 ) 其中z ( 戈) p ( 回，且= 1 。 犬连理工大学硕士学位论文 定理2 1 2 ( r i e s z 表现定理) 设q c 是开集( 戚可测集) ，1 p o o ，q 悬p 的共轭指数， 则对( q ) 中任一线性连续泛函9 ( 即申( 口( q ) ) ) ，一定存猩唯一的函数g 口( q ) ，使 褥黼= l 掌慧，显对掰骞，f ( 嗡，骞 妒u ) 妒，沁( 厂) 。l 磨威。 ( 2 6 ) 弓l 入记号= 砰鹭砑，皿= 导来袋示一个阶数为陋| 的徽分算子，其巾 g = ( 嚷，岱2 ，) 为一个拜元组，a ；o ，i = 1 , 2 ，挥，且满足扛| = q 定义2 1 。1 设轧v 在q 局部可积( 即对于任意的q + c g 珥v 程箕上可积) ，翔果妒c 字( 渤 三秽出= ( _ 产量妒4 妒玉， ( 2 7 ) ， 设m 为菲受整数， 1 夕 ，辩子任纛豹g ，缸l 掰，定义 矿“( 固= 洲“仨f ( q ) ，川m ，“憾扩) ) ， ，。 在w ”一( 渤孛定义范数 。= ( 驴= 陟硎0 邝肿亿8 ， 删，= m a x d 。屯辩， p = 当m ；o 时，形0 ，( n ) 。( q ) 。当p ：2 时，形* 2 写成日m ( 踊，相应的范数为| 1 | i 。( q ) 。 霸群，( 囝，l 墨p 表示g 国) 在w 4 9 国) 范数下豹溺毽c 菩( 国袭示q 上暴露 支集的澈穷次可微函数空间) 。 。 财9 ( 固= 扣e “( q ) ，矿叫赫= o ) ( 2 g ) 北极海冰温度场热力学参数辨识与数值模拟 定义2 1 2 赋予范数1 1 | | 矿。f o ) 的空间矿 ( q ) n q 做s o b 口把v 空间。 定理2 1 3 空间w “( q ) ( 1 p e o ) 为b a n a c h 空间。h ”( 锄为h i l b e r t 空间，其内积为 棚= ， ( 2 i o ) 其中 - - - - - d 4 u d 8 v 也是寥( 回上的内积。 性质2 1 1 当p l 时，w “9 ( q ) 是可分的；当o p o o 时，矿“9 ( q ) 是自反的。 当研究抛物型分布参数控制系统时，必须考虑空间和时间区域上的函数。为此，引 入区域q ( 0 ，r ) 上的s o b o l e v 空间。当1 q o 和a 0 使r c 口( r ，v ，v ) + a 阿a 洲2 ，v 1 ，v ，甜t e o ，o 】。一 则与a ( t ，“，功相应一个算子a ( t ) z ( v ，矿满足 a ( t ，以a ( t ) u ，v 并且对任意f e r ( o ，r ，；矿) ，u o h ，存在唯一的弱解u 形( o ，t ；v ) 满足 f ( d + 彳o ) 甜( f ) = ，( f ) ，a e ，t e o ，0 】 l “( o ) = u o v 甜v v 。 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 从z 2 ( o , ，；v g x h 一形( o ，r ；功的映射u ，1 1 0 ) 专“连续。 2 4 模式搜索法简介 模式搜索法是h o o k e 和j e e v e s 于1 9 6 1 年提出，又称为h o o k e 一；r e e v e s 方法。它对于 目标函数不要求导数的存在性，是一种直接的搜索法。 基本思想：从几何方法意义上讲，是寻找具有较小函数值的“山谷”，力图使迭代 产生的序列沿“山谷”走向逼近极小点。算法从初始基点开始，包括两种类型的移动， 这就是探测移动和模式移动。探测移动依次沿r 1 个坐标轴进行，用于确定新的基点和有 利于函数值下降的方向。模式移动沿相邻两个基点连线方向进行，试图顺着“山谷”使 函数值更快减小。 我们考虑这样的极小化问题： 啦厂 ) 。 ， x e * “ 模式搜索法计算步骤： 1 给定初始点x 1 r “，n 个坐标方向e i , p 2 ，e n ，初始步长占，加速因子口2 1 ，缩减 率卢( o ，1 ) ，允许误差g 0 。置y 1 = x ”，k = l ，= 1 。 2 如果f ( y 7 + ，) o n ) ，则令 y 川) = + & ， 进行步4 ；否则进行步3 。 3 如果，o ，一，) u o ) ，则令 y 7 “) = y u ) 一话， 进行步4 ；否则，令 v ( “) 2 y u ) ， 进行步4 。 4 如果， ，则置，= j + l ，转2 ；否则，转步5 。 5 如果厂c y 肿1 ) ，( x ) ，则进行步6 ；否则，进行步7 。 6 置x ( 枷) = 少“) ，令 y 1 = x f k + d + 口o “n 一工) ， 置k = j i + 1 ，_ ，= l ，转步2 。 7 若6 s g ，则停止迭代，得点x 耻) ；否则，置 6 = 口艿，y o = x ，x 七“- - - - - x n ， 北极海冰温度场热力学参数辨识与数值模拟 置i = k + l ，j = 1 ，转步2 。 方法特点：在模式搜索法中，模式移动的方向可以看作最速下降方向的近似，因此 模式搜索法也可以看作最速下降法的一种近似。由此可以想见，这种方法的收敛速度是 比较慢的。但是，编制程序比较简单，对变量不多的问题可以使用，而且确是一种可靠 的方法。 大连理工大学硕士学位论文 3 一维北极温度场中海冰热力学参数辨识和数值模拟 本章根据北极雪，冰及海水各层温度变化特征，建立了一维北极冰温度场的多区域 耦合系统，结合实测温度数据，采用最小二乘估计的方法，确立了以冰区域主要热力学 系数( 比热、温度和热传导系数) 为参数的最t 、- - 乘辨识模型。根据最优控制的理论， 论述了该耦合系统弱解的存在性，关于参数的依赖性及辨识模型的可辨识性。提出了最 优条件，构造优化算法，从而确定北极冰温度场中冰的热力学系数，并得到北极雪、冰、 海水各层温度分布的数值结果。 3 1一维北极温度场模型描述 根据北极雪、冰、海水的温度，我们发现温度在垂直水平面方向的梯度远远大于水 平方向上的变化，即热传导主要在垂直水平面方向上进行。因此我们忽略水平方向上的 热量传导，采用一维温度场描述温度分布，把雪层与冰层的界面上任一点取作坐标原点， 垂直水平面向下的垂直线作为z 轴，在该直角坐标系下，北极雪、冰、海水各层的分布 如图1 所示。其中，如，分别表示雪、冰、海水的厚度( m ) 。令d 1 = 【，o 】，d ：- o ，：1 ， d 3 = f 2 ，1 24 - 毛 分别表示雪、冰、海水所在的区域。耦合温度场总时间域分别为： 1 = 0 , t ，】c r 。我们令 d = d iud 2u b c r ，q = d x lc 五2 ，q ，= d ，x ic r 2 ，= l ，2 ，3 。 - 1 1 雪 0 海冰 1 2