（系统工程专业论文）关于期权定价的模糊二叉树模型及其应用.pdf

中文摘要 在金融市场中，期权作为衍生产品中应用最广泛的品种之一，发挥了越来越 重要的作用二叉树期权定价模型，由于其简单直观的构造，应用相当广泛，已 成为金融界期权定价的基本方法之一 在现实生活中，由于信息不对称等原因，人们对未来状况的估计总是带有不 确定因素的，从而基于个人主观判断或个人风险偏好的决策制定、项目评估的结 果就会存在差异因此，本文将可信性理论应用于传统的二叉树模型，以股票为 标的资产，将股票价格设为模糊变量建立了模糊二叉树模型，并将该模型分别应 用于欧式期权和美式期权中进行定价计算为消除结果中的模糊性，本文采取计 算期权价值的期望值的方法，求出清晰解以便投资者进行决策在单期情况下， 可求出期权价值的期望值的数值解，并且近似画出期权价值的隶属函数的图形 多期情况下，可通过模糊模拟的方法计算期望值。 、 最后，本文还将模糊二叉树模型应用于实物期权的投资，并用算例验证了本 文方法的有效性 关键词：模糊二叉树模型，期权定价，模糊变量，期望值 a b s t r a c t a sak i n do fw i d e l ya p p l i e d 缸n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，o p t i o n s 剐陀p l a ym o r e 粕d m o r ei m p o r t a n tm l ei nt h e 丘n a n c i a lm a r k e t b i n o m i a lo p t i o n sp r i c i n gm o d e l w h i c hh a es i m p l es t r u c t u r ei sw i d e l yu s e di nt h e6 n a n c i a lm a r k e ta n db e c o m e o n eo ft h eb a s i co p t i o n sp r i c i n gm e t h o d s i nr e a lw o r l dt h ef u t u r es t a t eo fas y s t e mm i g h tn o tb ek n o w nc o m p l e t e l y d u et ol a c ko fi n f 6 m a t i o n t h e r e f o r e ，d e c i s i o nm a k i n gw h i c hb a u s e do ni n d i v i d u - a l s s u b j e c t i v ep e r c e p t i o n so rp e r 8 0 n a l i t yt e n d e n c i e sf o rj u d g m e n t ，e v a l u a t i o na n d d e c i 8 i o n sa r ed i 船r e n ti nm a n ya r e a s i nt h i sp a p e r ，c r e d i b i l i t yt h e o 巧i sa p p l i e d t ot r a d i t i o n a lb i n o m i a lm o d e l ，s t o c kp r i c ei sz u s s u m e d 嬲f u z z yv a 晡a b l e ，t h e nt h e f u z z yb i n o m i a lt r e em o d e lc a nb eb u i l tt op r i c ee u r o p e a no p t i o n sa n da m e r i c a n o p t i o n s w i t ht h ea p p r o a c ho fe l i m i n a t i n gt h ef u z z i n e s si nt h er e 8 u l t ，t h em e t h o d o fg e t t i n ge x p e c t e dv a l u ei sa d o p t e dt oh e l pi n v e s t o rm a k ed e s c i o n i no n ep e r i o dm o d e l ，n u m b e r i c a lr e s u l to fe x p e c t e dv a l u ec a nb e9 0 ta n dt h em e m b e r s h i p f u n c t i o no fo p t i o n 、r a l u ei s 印p r o x i m a t e l y 舀v e n f i l l z z ys i m u l a t i o ni 8a a i l a b l ef o r i n u l t i p e r i o dc a s e f i n a l l y ，f u z z yb i n o m i a lt r e em o d e l i sa p p l yt op r i c er e a lo p t i o n s ，a ne x a m p l e i sa l s og ：i v e nt op r o v et h ev a l i d i t yo fr e s u l t k e y w o r d s ：f 1 1 z z yb i n o m i a lm o d e l ，o p t i o n sp r i c i n g ，f u z z yv a r i a b l e s ，e x p e c t e d v a 1 1 】e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：能，临签字日期：撕年月彤日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：。陌，临 签字日期：聊年歹月i y 日 导师签名： 签字日期杉研年厂月f 妇 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 衍生产品( d e r i v 玑i v e s ) 是中文意译，其原意是派生物、衍生物的意思金融 衍生产品通常是指从原生资产( u n d e r l 妒n ga u s s e r t 8 ) 派生出来的金融工具，这一工 具的未来回报依赖于一个潜在的( u n d e r l y i n g ) 证券，商品，利率或指数的价值金 融衍生品也叫衍生工具或衍生证券衍生工具是和现货工具相对应的一个概念 在外汇市场、债券市场、股票市场中，交易的结果会出现本金的流动，这类交易工 具叫现货工具。在许多情况下，本金的流动不仅不必要，而且不受欢迎这时就 发明了衍生工具，衍生工具的交易不发生本金的流动关于金融衍生品至今还没 有一个统一的定义1 9 9 4 年8 月，国际互换和衍生协会( i n t e m a t i o n a ls w a p sa n d d e r i v a t i v e sa u s s o c i a t i o n ，i s d a ) 在一份报告中对金融衍生品做了如下描述衙生 品是有关互换现金流量和旨在为交易者转移风险的双边合约合约到期时，交易 者所欠对方的金额由基础商品、证券或指数的价格决定” 1 1 1 期权发展过程 金融期权( o p t i o n s ) 作为衍生产品中最基础也是运用范围最广的品种之一， 是指赋予其购买方在规定期限内按买卖双方约定的价格( 简称协议价格( s t r i k i n g p r i c e ) 或执行价格( e x e r c i 8 ep r i c e ) ) 购买或出售一定数量某种金融资产的权利的 合约期权给予了持有者一种权利而非义务。期权购买方为了获得这个权利，必 须要支付期权出售方一定的费用，称为期权费( p r e m i u m ) 或期权价格( o p t i o n s p r i c e ) 早在古希腊和古罗马时期，就出现了期权交易的雏形 4 0 但期权合约( 或 最初所称的特权) 首次出现却是1 8 世纪9 0 年代的美国，在1 8 ，1 9 世纪，美 国和欧洲的农产品期权交易已经相当流行1 9 世纪，以单一股票为标的的资产 的股票期权在美国诞生，期权交易开始被引入金融市场。之后，伴随着金融市场 的发展，期权市场迅速成长起来。1 9 7 3 年以前，期权交易都是在非正式的场外 市场进行的，由于场外期权存在卖方不履行的信用风险，流动性也较差，加上场 外交易的分散性等特点，期权交易种类一直比较单一，规模有限进入2 0 世纪 之后，美国出现了一种较为有序的期权交易市场，称为“看跌期权和看涨期权经 纪商与自营商协会 ( p u ta n dc a l lb r o k e ra n da s s o c i a t i o n ) ，该协会的成员公司 负责对期权的买方和卖方进行撮合成交，这是对原来的分散化期权市场的一大改 进，但由于仍未具有集中性的交易场所和完善的标准化期权合约，其o t c 市场 1 第一章绪论 的基本性质并未从根本上得到改变，期权交易的效率仍然较低，期权市场的发展 比较缓慢，直到1 9 6 8 年，在美国成交的股票合约所代表的标的股票数量还只有 纽约证券交易所( n y s e ) 成交的股票数量的1 1 9 7 3 年4 月2 6 日，顺应市场的需求，美国最大的期货交易所之一芝 加哥期货交易所( c b o t ) 创办了世界上第一个集中性的期权市场，即芝加哥期 权交易所( c h i c a g ob o a r do p t i o n se x c h a n g e ，c b o e ) ，开始进行场内股票看涨期 权的交易，大获成功期权合约中的有关条款，包括合约量、到期日、敲定价等 都逐渐标准化起初，只开出1 6 只股票的看涨期权，很快，这个数字就成倍地 增加，股票的看跌期权不久也挂牌交易，之后，美国商品期货交易委员会放松了 对期权交易的限制，有意识地推出商品期权交易和金融期权交易交易制度方面 的创新和理论，技术方面的发展共同促进了c b o e 的迅速发展，并由此引发越 来越多的交易所竞相开办期权交易，新的期权品种也不断推出，从标准化的看涨 期权到看跌期权，从股票期权到以其他金融资产为标的的期权，期权市场获得了 前所未有的发展 从期权发展历史中不难看出，交易所期权取得的成功对期权交易起了重要的 推动作用。这主要有以下三个方面的原因【4 0 ； 第一，交易所交易的集中性、合约的标准化和二级市场的建立极大地便利了 期权的交易管理和价格信息、产品信息的发布，为投资者提供了期权工具的流动 性，使得交易者能更灵活地管理他们的资产头寸，极大地促进了期权市场的发 展； 第二，清算所的建立解决了场外市场长期为之困扰的信用风险问题； 第三，无纸化交易的发展带来了更为通畅的交易系统和更低的交易成本 2 0 世纪7 0 年代以后，交易所期权带来的巨大冲击在一定程度上促进了场外 市场的创新和发展，面对激烈的竞争，o t c 市场的金融机构充分利用自身的灵 活性优势，不断创新，吸引客户，抢夺市场，这反过来又引发了交易所期权的变 革和创新这些竞争在2 0 世纪9 0 年代之后日益明显，全球期权市场也因此出 现了一些新的发展动态和趋势【4 0 】： 第一，日益增多的奇异期权。2 0 世纪9 0 年代之后，o t c 市场的金融机 构越来越意识到期权市场的激烈竞争和普通期权利润空间的缩小，这迫使他们不 得不进一步利用其非标准的特点，开发出更复杂的期权产品期权结构越复杂， 复制所需要的时间越长，客户发现其定价过高的可能性越小，才能保证其开发者 的利润空间，这类竞争的结果就是导致期权创新的迅速发展和奇异期权的日益增 多 第二，交易所交易产品的灵活化随着金融创新的发展，期权的o t c 市场 2 第一章绪论 越来越具有竞争力，场外交易日渐普遍这使得期权交易所开始寻找新的竞争手 段，保持和开拓市场空间相对于场外期权，交易所期权合约的最大劣势在于其 标准化条款不具备灵活性。因此，一些交易所开始提供非标准化的期权交易，如 灵活期权( 丑e x0 p t i o 璐) ，即在交易所内交易但具有非标准的执行价格和到期日 条款的期权显然，这样的期权具有o t c 市场的灵活性，但仍然由清算所而非 交易方来承担交易的信用风险，因而可以看做是交易所企图从场外市场争夺客户 的一种尝试 第三，交易所之间的合作日益加强在金融市场全球化的趋势下，期权交易 所希望他们的合约能够在全球范围内进行交易并为此作出努力，从而带来了交易 所之间的合作和联系。 总之，从期权交易发展的历史中可以看出，期权交易虽然早已有之，但真正 意义上的期权市场的形成和发展实际只有3 0 年左右的时间，实际上大多数市场 和产品是在近二十年的时间中出现的，并呈现出迅猛发展的势头，具有巨大的发 展潜力 1 1 2期权的分类 下面就几种常见的分类方式进行简单介绍 4 0 】： 一、不同标的资产的期权合约 ( 1 ) 股票期权( s t o c ko p t i o n s ) 是指以单一股票作为标的资产的期权合约，一 般是美式期权 ( 2 ) 指数期权( i n d e xo p t i o n s ) 根据其标的指数的不同而不同，大部分的指 数期权是股票指数期权，其中最著名的是在c b o e 交易的s p 1 0 0 和s p 5 0 0 指数期权，前者为美式期权而后者为欧式期权，除此之外还有大量的针对不同行 业和市场的指数期权 ( 3 ) 期货期权( f u t u r e so p t i o n s ) 又可进一步分为基于利率期货、外汇期货和 股价指数期货，农产品期货、能源期货和金属期货等标的资产的期权，其标的资 产为各种相应的期货合约 ( 4 ) 利率期货( i n t e r e s tr a t eo p t i o n s ) 指以各种利率相关资产( 如各种债券) 作为标的资产的期权事实上，在交易所内交易的最普遍的利率期权是长期国债 期货期权、中期国债期货期权和欧洲美元期货期权，而大部分的利率期货期权合 约的运作与一般的期货期权合约相似 二，常规期权和奇异期权 从期权产品结构设计上来看，欧式和美式期权都是比较标准和常规化的( 、r a n i l l a o p t i o n s ) 欧式期权是指期权持有者只能在约定期限的最后一天或几天内执行期 3 第一章绪论 权，而美式期权持有者则可以在约定期限内任意工作日内执行期权 在产品结构上更为复杂的期权通常叫做奇异期权( e x o t i co p t i o n s ) 目前市 场上常见的奇异期权主要有： ( 1 ) 障碍期权( b a r r i e ro p t i o 璐) ，该期权的所以结果依赖于标的资产的价 格在一段特定时间内是否达到某个特定的水平，这个临界值叫做“障碍”水平 具体来说它又包括两种类型：敲出障碍期权( k n o c k o u to p t i o n s ) 。当标的资产价 格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废( 即被“敲出”) ；如果在规定时间内 资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个常规期权敲入障碍期权( k n o c k - i n o p t i o n s ) ：正好与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该 期权才得以存在( 即“敲入 ) ，其损益结果与相应的常规期权相同：反之，该 期权作废 ( 2 ) 亚式期权( a s i a no p t i o n s ) ，其到期损益结果依赖于标的资产在二段 特定时间( 整个期权有效期或其中部分时段) 内的平均价格( 可能是执行价格， 也可能是最后的标的资产市场价格取平均值) 亚式期权是当今金融衍生品市场 上交易最为活跃的奇异期权之一 ( 3 ) 回溯期权( 1 0 0 k b a c ko p t i o n s ) ，收益依赖于标的资产在某个确定的时 段( 称为回溯时段) 中达到的最大或最小价格的期权，例如欧式回溯股票期权的 收益等于最后股票价格超过期权有效期内股票价格达到的最低价格的那个量 ( 4 ) 两值期权( b i n a 巧o p t i o n s ) ，包括现金或无价值看涨期权( c a s h - o r - n o t h i n gc a l l ) 和资产无价值期权看涨期权( a 鹃e t o r - n o t h i n gc a l l ) 前者指在到期 日，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则 该期权支付一个固定的数额；后者指如果标的资产价格在到期日低于执行价格， 则该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的 款额 此外，常见的奇异期权还包括：打包期权( p a c k a g e s ) ，即由常规的欧式期权、远 期合约、现金和标的资产等合成的证券组合；百慕大期权( b e r 舢d a no p t i o n s ) ， 即只能在事先确定的时间内提前执行的美式期权；远期开始期权( f o 聊a r ds t a r t 0 p t i o n s ) ，即现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权，等等 三、有担保的期权和无担保的期权 有担保的期权( c o v e r e do p t i o n s ) 和无担保的期权( n a k e do p t i o n s ) 主要是根 据期权出售方的头寸状况而言的 对于期权出售方来说，将来只有执行价格买卖标的资产的义务，如果在卖出 看涨( 看跌) 期权的同时，出售方实际拥有该期权合约所规定的标的资产的相反 头寸，就称为“有担保的期权 ；反之就是无担保的期权一般情况下，人们提 4 第一章绪论 到有担保的期权时往往指的是有担保的看涨期权 。在卖出看涨期权的同时， 如果出售方实际拥有该期权合约所规定的标的资产，并将它作为履约保证而存放 在经纪人处，则他所出售的看涨期权就称为“有担保的看涨期权 四、交易所交易( 上市) 期权和场外期权 根据交易所的不同，可分为交易所( 上市溯权( e x c h a n g e d - t r a d e d ( 1 i s t ) o p t i o n s ， t r a d e do p t i o n s ，也叫做场内交易期权) 和场外期权( o v e r t h e - c o u n t e ro p t i o n s ， 0 t co p t i o n s ) 二者主要差异在于： ( 1 ) 交易所期权在集中性的金融期货交易所或期权交易所交易，而场外期 权则在非集中性的交易所进行 ( 2 ) 交易所期权有标准化的期权合约和交易机制，交易数量、执行价格、 到期日、履约时间等均由交易所统一规定；而场外期权则是非标准化的，各种交 易要素均由交易双方自由议定 ( 3 ) 交易所期权最大优点在于流动性好、交易便利、成本较低，交易者可 以随时反向操作来对冲原有的头寸，但同时也限制了套值保期者根据自己的需要 进行选择的余地，而场外期权在个性化方面则更为灵活： 为了能够对期权分类有一个清晰的认识，可将上述分类归纳如下： 分类标准期权种类 期权买方的权利看跌期权和看涨期权 期权购买方执行期权的时限欧式期权和美式期权 内在价值实值、虚值和平价期权 期权合约的标的资产股票期权、货币期权( 或称外汇期权) 指数期权及期货期权等 期权产品结构 常规期权和奇异期权 期权卖方履约保证有担保的期权和无担保的期权 交易场所 交易所期权和场外期权 1 1 3 期权的作用 作为当今金融市场上应用最广泛的衍生产品之一，期权具有以下几方面的重 要作用 4 0 】t 。 ( 1 ) 期权向需要规避风险的投资者提供了一个类似于保险的单向套值保期 工具，尤其是对于那些持有复杂的投资组合的投资者而言，他们可以通过交易与 5 第一章绪论 他们的投资组合有关的期权来调整其投资组合的风险和收益特征，实现最优的风 险管理在国外的金融市场中，机构投资者如共同基金和养老基金，一直都是期 权市场的主要参与者 ( 2 ) 期权对于那些希望对标的资产价格的涨跌进行投机的投资者来说，是 个较好的替代品一般来说期权价格都低于标的资产价格，这就使得期权投机 所需的资金较少，有助于降低交易成本；同时期权的波动性又大于标的资产价格 的波动性，因此投资者在期权上的每份投资可以得到更大的价格运动变化，具有 杠杆作用；另外，期权还可以帮助投资者规避现货市场上的一些交易限制( 如严 格的卖空条件) ，实现相应的交易 1 2 研究现状及发展 、 1 9 7 9 年，c o x ，壬洒s s 和r 曲i n s t e i n 【3 】三人发表( ( 期权定价；一种被简化的 方法一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型。这种模型被称为“二 叉树模型”( b i n o m i a lm o d e l ) ，是期权数值定价方法的一种。二叉树优点在于 其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。同时，它不仅可以为 欧式期权定价，还可以为美式期权定价；不仅可以为无收益资产定价，还可以为 有收益资产定价，应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之 正是因为二叉树模型简单易懂，易于操作的优点，从其诞生之日起人们就 开始不断地对其进行研究创新在传统模型上，人们不断进行改进，如考虑标的 资产有收益，考虑标的资产价格发生崩盘的情况等，目的是使模型更加的符合实 际，能够对现实更好的模拟随着实证研究的不断深入，人们开始越来越关注由 于现实中的风险而带来的不确定性如何在模型中更好的体现出来，对不确定性 的研究逐渐受到重视现实中，由于信息不对称等原因，人们对未来状况的估计 总是带有不确定因素的，从而基于个人主观判断或个人风险偏好的决策制定、项 目的评估等就会存在差异对于这种在投资活动中存在的，因各种因素导致的不 确定，称之为模糊性 带有隶属函数的模糊集的概念是在1 9 6 5 年由z a d e h 【2 3 第一次提出的，这 个理论至今已被广泛地应用及发展，模糊技术几乎渗透到了所有领域。特别地， k a u h a n n 1 0 首先提出了模糊变量的概念，之后出现在文献z a d e h 【2 4 2 5 和 n a h m i a u s 19 中为了计量一个模糊事件，z a d e h 【2 5 在1 9 7 8 年提出可能性测 度，并形成了可能性理论，许多学者如d u b o i s 和p r a d e 【4 【5 对其发展起了重 要作用在此基础上，人们开始尝试将模糊理论用于金融领域，试图用其来描述 6 第一章绪论 金融领域中出现的不确定因素将模糊性带入二叉树模型的研究自然也在其中 l e e 。t z e n g 和w 妇g 【1 2 】用模糊波动率和模糊无风险利率来代替传统模型中相 应的参数，从而建立模糊二叉树期权定价模型在模型中，投资者可以根据三角 模糊数的左右边界来调整自己投资组合的策略，而且他们还可以根据自己的风险 偏好来解释所选择的最优策略m u z z i o l i 和t o r r i c e l l i 1 8 】认为由于标的资产价 格运动过程中产生的不确定性及市场的不完全性，可设风险中性概率和标的资产 - 股票价格为带有权重的区间，从而求得带有权重区间的期权价值 ， 模糊理论发展过程中，人们也在不断地对其进行完善为了发展一套类似于 概率论的公理系统，在2 0 0 2 年，l i u 和l i u 【1 6 】提出了可信性测度的概念，为 模糊理论提供了更为基础和广泛的数学支持2 0 0 4 年，l i u 【l7 给出了完善的 研究模糊性的公理体系，称之为可信性理论可信性理论是研究关于模糊事件的 一个数学分支另外，一个关于可信性测度的充分必要条件也由l i 和l i u 【1 3 】 在2 0 0 6 年提出在利用模糊理论求解期权价值时，大多数学者得出的结果仍然 是模糊数或在一个区间内，这给决策者做决策带来了一定困难，因为结果的模糊 性仍然可能导致因个人主观差异等因素造成决策的不一致可信性理论为解决这 一问题提供了思路。基于可信性测度使用c h o q u e t 积分提出的模糊变量期望值 的概念，可求出模糊变量的期望值，从而得出清晰结果。同时，针对较为复杂的 问题，基于可信性理论设计了模糊模拟技术来估计模糊变量的期望值，如集成模 糊模拟、神经网络和遗传算法的混合智能算法可信性理论的提出对在模糊环境 中期权的定价问题又指明了一个方向如何应用可信性理论这个强大的数学工具 对期权定价问题进行性质分析、模型建立，也是需要人们在今后的研究中进一步 探索的 1 3 本文结构及创新 现实金融市场中，客观的和主观的不确定性是大量存在的，其中模糊性是典 型的不确定性。在期权定价过程中，需要对标的资产未来运动进行预期，而标的 资产未来的走势却是无法准确的预测的，尤其是股票价格，这意味着其中存在着 大量的模糊性本文将市场中的交易股票做为标的资产，考虑到股价的不可预测 性，将股票价格设为模糊变量，并带入传统二叉树模型中从而建立模糊二叉树模 型。当模糊性退化成清晰时，模糊二叉树模型也可退化为传统模型在单期情况 下，根据期权定价函数的单调性，利用模糊变量期望值计算方法，可求出清晰数 值解同时，为更清楚了解期权价值的特性，模糊环境中期权价值的隶属函数也 通过模糊模拟近似给出多期情况下，期权价值可通过模糊模拟求出。本文分别求 7 第一章绪论 出了模糊欧式期权和模糊美式期权，并对二者进行分析在应用方面，根据模糊 二叉树特点，可将其应用于实物期权，对投资活动中出现的模糊性进行描述，为 企业进行并购等大型投资活动提供决策支持 本文的结构分为四部分第一部分介绍国内外关于模糊二叉树模型的研究 进展及本文的主要工作第二部分介绍相关领域的基础知识第三部分对建立的 模糊二叉树模型进行详细描述及分析，并用该模型对欧式期权和美式期权进行求 解第四部分将模糊二叉树应用于实物期权，并用具体数值例子进行说明 本文的主要创新如下： ( 1 ) 根据单期二叉树模型定价函数的单调性，利用可信性理论关于模糊变 量函数的期望值的计算公式求出单期情况下期权价值的清晰数值解，并通过模糊 模拟的方法将期权定价函数的隶属函数近似给出 ( 2 ) 利用模糊模拟的方法对多期情况下的模糊欧式期权和模糊美式期权分 别进行求解，并对结果的经济意义进行说明 ( 3 ) 将模糊二叉树模型应用于实物期权，并通过一个企业并购的例子验证 方法的有效性 8 第二章可信性理论基础知识 本文主要应用可信性理论于期权定价模型，因此，有必要将可信性理论中相 关基础知识在此进行介绍，有关可信性理论可参见【17 2 1 模糊变量及其函数期望值 设e 为一个非空集合，p ( e ) 是e 的幂集。在p ( e ) 中的每一个元素称为一 个事件为了得出可信性的公理性定义，给每个事件a 用一个数值c r a ) 来表 示事件a 发生的可信性为了保证c r 舢具有我们所希望的可信性测度所具有 的特定的数理特性，需要以下五个公理f 1 6 】； 公理1 c r e ) = 1 公理2 c r 是单增的，即acb 时，c r a ) c r b ) 公理3 c r 是自对偶的，即对任意a 尹( e ) ，都有c r 4 ) + c r a 。) = 1 公理4 对任意的 a ) ，当c r a ) o 5 时，有c r u i a ) 八o 5 = s u n c r a ) 公理5 设e 七是非空集合，定义在其中的c “满足以上四条公理，庇= 1 ，2 ，n ， 以及e = e 1 e 2 e n 则 c r ( p 1 ，如，钆) ) = c r l 口1 ，八c r 2 p 2 ) 八八c r n p n )( 2 1 ) 每个( p 1 ，如，如) e 定义2 1 ( “u 和l i u 【1 6 ) 如果满足前四项公理，则集函数c r 就被称为一个可 信性测度 例2 1 设e = p 1 ，如】定义c r 仍) = o ，c r 口1 ) = o 7 ，c r p 2 ) = o 3 和c r e ) = 1 ，则集函数c r 就可以说是一个可信性测度 例2 2 设e 为一个非空集合定义c r 国) = o ，c r e ) = 1 ，以及对于任意子集 4 ( 不包括d 和e ) 有c r a ) = 1 2 ，则集函数c r 是一个可信性测度 定理2 1 ( l i uf 1 7 】) 设e 是一个非空集合，尹( e ) 是e 的幂集， c r 是可信性 测度，则有c r 0 ) = o 和对于任意a 尹都有o c r a ) s1 定义2 2 ( l i u 【1 7 】) 设e 为一个非空集合，尹( e ) 是e 的幂集， c r 是可信性 测度，则称( e ，p ( e ) ，c r ) 为个可信性空间 例2 3 如果 e = 护1 ，如，) ，c r 仇) = i ( 2 i + 1 ) ，i = l ，2 ， ( 2 2 ) 9 第二章可信性理论基础知识 则( e ，p ( e ) ，c r ) 是一个可信性空间 例2 4 如果 e = 口1 ，如，) ，c r p 1 = 1 2 ，c r 仇) = i ( 2 i + 1 ) ，i = 1 ，2 ， ( 2 3 ) 则( e ，p ( e ) ，c r ) 是一个可信性空间一 定义2 3 ( l i u 【1 7 ) 一个从可信性空间( e ，p ( e ) ，c r ) 到实数集合的函数，定义 为模糊变量 例2 5 设e = p 1 ，如) ，c r p 1 ) = c r 如) = o 5 ，则( e ，p ( e ) ，c r ) 是一个可信性 空间，函数 l o ， ( p ) = i1 ， 如口= p l 如p = 如 是一个模糊变量 例2 6 设e = 【o ，1 ，对于每个p e 有c r p ) = p 2 ，则( e ，p ( e ) ，c r ) 是一 个可信性空间，函数( p ) = p 是一个模糊变量 定义2 4 ( l i u 【1 7 】) 一个模糊变量称为 ( a ) 非负的，如果c r = o 5 则( e ，尹( e ) ，c r ) 是一个可信 性空间，我们定义 6 c p ，= ： ：三三2 ， 已p ，= 三： ：三三窆， 显然二者都是模糊变量而且具有相同的隶属函数，当z = o 或1 时，p ( z ) 三1 定理2 2 ( l i u 【1 7 】) 设是一个模糊变量，其隶属函数为肛，则对于任意实值 c 水口) = 丢g 酽( z ) + l 一嚣础) ) ( 2 - 7 ) 例2 8 设为一个模糊变量，其隶属函数是肛，则司通过定理2 2 推出f 列公 式 c 啪= z ) = 丢( 出) + 1 一霉础) ) ，比冗； ( 2 8 ) c 球z ) = 三( 裟础) + 1 一舞础) ) ， 妇冗；( 2 叫 c 球z ) = 丢( 磐比) + 1 一骝础) ) ， 比冗 ( 2 - 1 0 ) 特别地，如果弘是一个连续函数，则 c r ：z ) ：掣， 比冗 ( 2 - 1 1 ) 对于模糊变量，有很多方法来定义其期望值算子，可参见d u b o i 8 和p r a d e 6 】，h e i l p e m 8 】，c a m p o s 和g o n z 丘l e z 【2 】，g o n z 6 l e z 7 】和1 y | a g e r 2 1 】 2 2 】 一种更为广泛的关于模糊变量期望值的定义由l i u 和l i u 1 6 】给出。这个定义不 仅可以用于计算连续的模糊变量，也可以用于计算离散的模糊变量 定义2 6 ( l i u 和l i u 1 6 ) 设f 是一个模糊变量，f 的期望值定义为 ，o o，0 e 【刳= c r r ) d r 一 c r f 7 ) d r( 2 - 1 2 ) ，o t ，一o 。 其中至少一个积分是有限的。 例2 9 三角模糊变量= ( n ，6 ，c )