（基础数学专业论文）结合色代数的同调与上同调.pdfVIP

摘要 李色代数理论是李代数、李超代数的自然推广，最近一些年来在数学和物理方面 的研究和应用变得十分活跃。众所周知，代数的同调与上同调理论可以认为是普遍的 表示理论的一个推广，目前李代数、结合代数、李超代数和模李超代数的同调与上 同调理论有了一些研究，并且人们利用扩张函子的理论完全解决了李色代数三的上同 调群与其泛包络代数( u ( 工) ，s ) 的上同调群同构的关系。我们知道上是u ( l ) 的一个子 代数，并r u ( d 是一个结合色代数，本论文仿照结合代数同调与上同调理论的研究 方法，对结合色代数的同调与上同调进行研究，主要结论是： 首先出结合色代数的一些基本性质，将结合代数上标准复型推广到结合色代数 上，得到两个重要等式j 。儿+ 圪。占= 和j 。儿+ 儿。占= p ，并且给出c + ( 一，m ) 与 c 、( 4 ，肘) 的a 一一模结构，由此诱导出同调与上同调的一个平凡表示。其次得到了结 合色代数增广理想的中心与零化定理之间关系： 结果1 设肘是r 一阶化双边彳一模，若”k e r ( r ) n e 。( 妒。( 矿) ) ，则以下结论成 立： ( 1 y 。霹= o , v n 0 ( 2 ) 在m 上的作用是可逆的，那么砑= o ，v n o 结果2 设肘是r 一阶化双边彳一模，若“e j 盯( f ) n 巴，( 矿( ) ) ，则以下结论成 立： ( 1 ) 彤o r 。= o ，v n 0 ( 2 ) 在肘上的作用是可逆的，勇l v z , j 了= o ，v n 0 结果3 设m 是r 一阶化双边彳一模，则以下结论成立： ( 1 ) 令p = k e r ( r ) oc ( a 。) ，若3 u 腓用在m 上是可逆的，那么 目“( 4 ，m ) = 0 ，日j ( 彳，m ) = o ，| 0 ( 2 ) 若m 是不可约的，r p m 0 ，那么”( 爿，m ) = o ，以( 彳，肘) = 0 ，n - o 最后得到的是结合色代数的局部幂零与零化定理之间的关系： 结果4 设m 是r 一阶化双边a 一模，若了“堙( 彳) ，满足： ( 1 ) a d u ：a 一寸a - 是局部幂零的，a d u ( a ) = p ，a 】= g l a 一掌( “，a ) a u ，a h g ( a 一) ( 2 ) 映射 m 专m m “m 一善( “，m ) m 是可逆的，其中m h g ( 肘) 贝0 h ”( 彳，m ) = o ，v n 0 本论文着重给出了结合色代数同调与上同调群为零的充分条件。这对于李色代数 的泛包络代数( u ( ) ，占) 上同调群的研究作了充分的准备工作，对李色代数表示理论 的研究起到一定的辅助工作。 关键词：结合色代数；同调与上同调群；零化定理；增广理想；局部幂零 a b s t r a c t l i ec o l o ra l g e b r a si san a t u r a le x t e n s i o no fl i ea l g e b r a sa n dl i es u p e ra l g e b r a s a n di t i sat o p i co fr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o ni nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s a si sw e l lk n o w n ， a l g e b r a i ch o m o l o g ya n dc oh o m o l o g yt h e o r ym a yb ec o n s i d e r e da sa ne x t e n s i o no f o r d i n a r yr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y a tp r e s e n t ，s o m ep a r t so ft h eh o m o l o g ya n dc oh o m o l o g y t h e o r yo fl i ea l g e b r a s ，l i es u p e ra l g e b r a s ，a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，a n dm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sh a v eb e e ns t u d i e d i np a r t i c u l a r , t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec oh o m o l o g yg r o u p so f l i ec o l o ra l g e b r a sla n dt h ec oh o m o l o g yo fu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a so fl i ec o l o r a l g e b r a s ( u ( ) ，f ) h a v e b e e ns o l v e d b y t h e t h e o r y o f e x t e n s i o n f u n c t o r a s i s k n o w n t h a t l i sas u ba l g e b r ao fu ( l ) w h i c hi saa s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a ，s ot h eh o m o l o g ya n dc o h o m o l o g yg r o u p so fa s s o c i a t i v ea l g e b r a si n s p i r e u st o s t u d yt h eh o m o l o g ya n de o h o m o l o g yg r o u p so f t h ea s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a s f i r s to fa l l ，t h es t a n d a r dc o m p l e xo fa s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a si sr e d u c e db ys o m eb a s i c p r o p e r t i e s ，a n dt w oi m p o r t a n ti d e n t i t i e s 1 ) 艿。几+ 儿。占= 以2 ) 8 o + 0 8 = 以h o l d s t h es t r u c t u r eo fa 一一m o d u l ec + ( 彳，m ) a n d c 一( 彳，m ) ，t h et r i v i a lr e p r e s e n t a t i o nb e t w e e n h o m o l o g ya n dc oh o m o l o g ya r eg i v e n ，t o o s e c o n d l y , t h er e l a t i o n sb e t w e e nv a n i s h i n gt h e o r e m so f t h ea s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a sa n d c e n t r a le l e m e n t so f t h ea u g m e n t a t i o n i d e a lo f t h ea s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a si sa sf o l l o w i n g , t h e o r e m 3 7 l e t m b ea f - g r a d e da - m o d u l ea n d s u p p o s e t h a t “( k e r r ) n c ，( 伊8 ( 口。) ) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) 乇。劈= o ，v n 2 0 ( 2 ) l f u a c t s i n v e r t i b l y o n m ，t h e n 露= o ，v n 0 t h e o r e m3 1 0l e tmb ea f - g r a d e da m o d u l ea n ds u p p o s et h a tui s a ne l e m e n t o f ( k e r r ) 1 7 c a 。( 矿( ) ) ， t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) 彤。= o ，v n 2 0 ( 2 ) l f ua c t s i n v e r t i b l y o n m ，t h e n 砰= o ，v n 0 i i c o r o l l a r y3 1 1l e tm b eaf g r a d e da m o d u l e t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) p u tp - k e r ( r ) n c ( a 。) ，i ft h e r ei s “pw h i c ha c t si n v e r t i b l yo rm t h e n 月”( 一，m ) = o ，v n o ( 以( 4 ， ，) = 0 s v n 0 ) ( 2 ) i f mi si r r e d u c i b l ea n d p m 0 ，t h e n 抒”( 彳，m ) = o ，v n o ( 玩( 彳，- w ) = o ，v n o ) f i n a l l y , t h er e l a t i o n sb e t w e e nv a n i s h i n gt h e o r e m so ft h ea s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a sa n d l o c a ln i l p o t e n c eo f t h ea s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a si sa sf o l l o w i n g ： t h e o r e m 4 9 l e t mb e af g r a d e da - m o d u l e i f t h e r e i s “a s u c h t h a t ： ( 1 ) a d u ：a 一一a i sl o c a ln i l p o t e n t a d u ( a ) = m ，a 】= u a f ( “，a ) a u ，a h g ( 爿一) ( 2 ) t h e m a p p i n gm _ m ，m ，行一手( 甜，m ) m 甜i s i n v e r t i b l e t h e n 饥( 彳，m ) = 0 s v n 0 k e yw o r d s ：a s s o c i a t i v e t h e o r e m s ； c o l o ra l g e b r a s ；h o m o l o g ya r i dc oh o m o l o g y ；v a n i s h i n gn a u g m e n t a t i o ni d e a l ；l o c a ln i l p o t e n c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：旋壁盛日期：迦z ! ! ! f ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：爰趔 1 5 1 期：幽呼s & ，z j 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：丝丞塞! 日 期：础函q f 电话： 邮编： 引言 代数同调和上同调理论是数学中解决表示问题的重要工具。群、结合代数和李代 数的同调和上同调理论是由c a r t a n 和e i l e n b e r g 统一给出( 见 1 ) 。由于李超代数 是李代数的一个推广，而李代数的同调与上同调理论在李代数的研究中所起的重要作 用促使人们讨论李超代数的同调与上同调理论，以便更好的研究李超代数。李超代数 的上同调的定义最初是由p a l e i t e s 在1 9 7 5 年给出，接着l e i t e s 和f u k s 计算出了 有平凡系数的典型李超代数的上同调群，l e i t e s 和s e r g a n o v a 使用上同调方法决定 了这些代数的生成元及其关系( 见 2 ，3 ，4 ，5 ，6 3 ) 。而后，t r i p a t h y 又将 h o c h s c h i e i l d s e r r e 的上同调理论推广到李超代数( 见 7 ) ，虽然如此，人们对于 李超代数的上同调理论及相关的性质知道的还是很少，李超代数的上同调理论的研究 依旧是一个热门问题。近些年来同样是起源于物理学的李色( c o l o r ) 代数由于其自身 的数学魅力以及它在物理学方面所起到的作用，被人们广泛关注。李色代数的表示理 论作为一个重要问题需要我们去解决。在文献 8 中由s c h e u n e r t 和z h a n g 就把李代 数的c a r t a n - e il e n b e r gc o h o m o l o g y 理论推广到李色( c o l o r ) 代数，并获得了一些 重要的结果，同时提出一个公开问题：李色( c o l o r ) 代数l 的阶化上同调与它泛包 络代数u ( l ) 的阶化h o c h s c h i l d 上同调是否同构? 文献f g 中利用扩张函子理论完 满地解决了这个问题。 结合色代数和李色代数是结合代数、李代数的自然推广，文献 1 0 引入了结合色 代数概念及其一些基本性质，同时文献中还把模李代数的一些性质推广到李色代数 上，得到了一些很好的结果。在文献 8 卜 1 4 中对李色代数进行了系统的研究。我们 知道结合代数和李代数有着紧密的联系，而结合代数的同调和上同调理论是非常丰富 的，见文献 1 ， 1 5 一 1 8 。本文是在结合代数的基础上对结合色代数进行研究， 得到一些同调与上同调的零化定理，进而希望对结合色代数的泛包络代数( u ( ) ，f ) 的上同调群进行研究。这不仅能充实和发展李色代数的理论，而且对数学和物理学的 许多分枝的发展都有积极的促进作用。 本篇论文结构如下：1 、给出结合色代数的背景材料；2 、给出了结合色代数 的标准复型的一些基本关系，这些关系在后面的讨论中有重要作用；3 、给出结合色 代数的同调和上同调的零化定理成立的些充分条件；4 、讨论了零化定理和局部幂 零元之间的关系。 第一章预备知识 整篇论文f 表示任意特征的域，f + 表示f 的所有非零元构成的群。 定义1 1 设1 1 是一个加法交换群，定义映射善：f x f 寸f ，满足 ( 1 ) 孝( 口+ ，) = 孝( 口，) f ( ，) ( 2 ) f ( 口，+ ，) = 手( 口，) f ( 甜，) ( 3 ) 孝( a ，) = 孝( 多，口) 。其中盯，y f 称f 为r 上的对称双特征标。 定义1 2 设a 是一个f 一阶化结合代数，满足：4 = 。 a r ，以厶a t , ， 一，托r ，则称a 是结合色代数。 为了方便我们采用记号f ( 口，6 ) = 善心，f 1 ) ，a 以，b a p 。 定义l 3 设a 是域f 上的结合色代数( 不必含有单位元) ，即彳5 r 鲁r a r ，m 是域 f 上的r 一阶化向量空间，即膨2 r 。 r m y 。规定线性映射： ? “誓一m使得( 口6 ) 肌：口( 6 肌) ，则称m 是r 一阶化左一一模。 m ，x a 、- - m 使得所( 6 口) ：西) 口，则称m 是f 一阶化右彳一模。 i m a m a 若m 既是r 一阶化左a 一模又是r 一阶化右a 一模，并且似m ) b = 口( m b ) ，则称 m 是r 一阶化双边4 一模。 注记1 本文中向量空间均是域f 上的向量空间，m 是r 一阶化双边a 一模：用 幻( 彳) 表示a 中所有齐次元素，a 蛔( 爿) 我们用h a 表示口的r 一阶化次数：由于结合 色代数具有r 一阶化性质，所以对于线性映射我们只需考查齐次元素即可。 定义1 , 4 设a 是结合色代数，m 是r 一阶化向量空间，令 f ：a 一= a a x a 寸m 的n 维线性映射称为r 一阶化n 维线性映射。如果f 是r 一 阶化n - 维线性映刺且f ( a i ，oj 帆。t 叶1j a , i ，i = ( 1 ，2 ，) ，口f ，满足 2 l f i _ h i 十f q 1 十口，则称厂足a ：m 中的n 一维l 链。显然所有这样的n 一维一卜链构成f y 雕i f 一 阶化向量空间，记作c ”( 爿，影) ，对胛 - 0 瓯o r 。( 肌o ( qo o + 2 ) ) = 善( q + 十+ f ，呢+ 2 + 掰) 壤( + 2 m q o 吃o o “) = f ( 口i + + + i ，a n + 2 + 埘) ( + 2 埘( q 呸) o 码圆o + ( 一1 ) + 2 m qo a io o a t a l + lo o + i t = 2 + ( 一1 ) ”f ( m + a l + a 2 + + + “+ 2 ，“) ( 一l a n + 2 ) m - q 圆q 固o ) = f ( q + + 十i ，+ 2 + m ) + 2 - m ( q 2 ) p a 3 0 o 略 h t * l + ( 一1 ) 孝( q + + + l ，吼+ 2 + 州) + 2 m q 固q 固o a i a i + i 圆o “ t - 2 + ( 一1 ) ”f ( q + a 2 + + 以，+ i + 埘+ q + 2 ) ( 一1 + 2 ) 肌a i a i 固o 口 丽 f 剃。( 缸0 固，或) ( m o ( qo 圆a n + 2 ) ) n + i = r 。一l ( m o ( 一1 ) “( ，f o q 圆o q q + io o a n + 2 ) ) t - i = f ( q + + + l ，q + 2 + 聊) + 2 m - ( 口i 啦) o a 3 圆o 吒+ i + ( 一1 ) “1 善( q + + + l ，吒+ 2 + 肌) + 2r m a i a 2o o a i a t + lo o q 1 = 2 + ( 一1 ) “善( n l + + ，+ 2 + + l + m ) ( + 1 + 2 ) - 所。口jo 2 2o 固 同理可证如下等式成立： 卜f 。= f 。( i d m o ，露) ( 办砖”。f 。= r 。( 固晓町) 由命题2 6 知： 吨。厄帕+ 谚。以= 晓呻 于是有 ( 吮o 以+ 。) 。( 力) + ( o 厄”1 ) 。( 圆吒) = i a o ，晓町 两边作用r 得瓯+ 。卜f 。+ z ”1 。最。f 。= 心。r 。 由于r 。是单射，所以我们有磊。以“+ 穆。瓦= 心，命题得证。 命题2 1 l 设m 是r 一阶化双边4 一模，规定线性映射 a x mjm t l * m = a m 一孝( 口，”) 厅l 口 其中坛( 爿一) ，m h g ( m ) ，则m 是r 一阶似一一模。 命题2 1 2 t ：a 一寸( c + ( “，m ) ) ，使得t ( d ) = ，o 其1 1 1 。抛( 爿) 。 n t 是r 一阶化李色f 数同态。 证明略。 1 2 - 命题2 1 3 t ：a 一。g t ( c 一( 爿，膨) ) ，使得t 0 ) ：，乇，其 1 矗h g ( a ) 。 则t 是r 一阶化李色代数同态。 证明略。 推论2 1 4 下列结论成立 ( 1 ) 微分j ：c + 即，m ) _ c + ( 一，m ) 是r 一阶化4 一一模同盔二o ( 2 ) 表示t 在”( 4 ，m ) 上诱导的表示是平凡表示，n 0 证明： ( 1 ) v a 垤( 彳一) ，由命题2 ，8 可知 8 0 t ( a ) = 万。以= a ( a 。兀+ 九。占) = 万。儿+ j 。万 = 占。圪。j = ( a o r o ) o a = ( 以一儿o j ) 。占= 儿o j = t ( a ) o 艿 v f 蛔( c + ( 4 ，m ) ) ， 占( 口力= 占( t ( 口) ( 力) = ( 占ot ( 口) ) ( ) = ( t ( 口) 。占) ( d = a 占( 力 根据注记2 我们有占是r 一阶化一一一模同态 ( 2 ) t 一：a 一- - 4g l ( h “( 4 ，肘) ) ，r l 0 t 。( 口) ( ，+ b ”( 4 ，m ) ) = t ( 口) ( ，) + b ”1 ( 4 ，吖) ，其e e a 垤( 爿一) 厂h g ( ( 一，肘) ) 由于( t ，( c + 似，m ) ) 是彳一的表示，则显然( l ，日”( 彳，吖”是爿一的表示。 v f z ”( 一，m ) ，t ( 口) ( ，) ) = u o ( f ) = 8 0 r o ( f ) + 儿0 6 ( f ) = 3 0 y o ( f ) 于是我们得到t ( 口) ( 力i m 8 ”1 。o p ( t 。，h ”( 一，m ) ) 是4 一模平凡表示。 推论2 1 5 下列结论成立 ( 1 ) 微分占：c 一( 一，m ) _ c 一( 4 ，肘) 是r 一阶化爿一一模同态o ( 2 ) 表示t 在玩( 彳，膨) 上诱导的表示是平凡表示。n 0 第三章零化定理与增广理想的中心 定义3 1 设缈：口斗a 是r 一阶化结合色代数同态，且l 纠= o ，定义：bo 用= 伊( 6 ) m ， 则任意具有彳一模结构的1 1 一阶化向量空间m 都具有b 一模结构。 注记4 此时舻诱导了线性映射： 砰：以( 口，m ) 一只( 一，m ) f 了( 聊o6 i 圆0 6 。) = ，”固伊( 6 ) l o o 妒( 6 ) ，岛矗g ( 口) ，i = l ，l ，州h g ( m ) 此外 c ：”( 爿，m ) 斗日”( 口，m ) ， 咒u 、= l0 9 其中、歹姆( z ”( 4 ， f ) ) ，记作歹。矿= 妒”( 厂) 命题3 2 伊：b - a 是f - 阶化结合色代数同态，且m = 0 ，规定线性映射 矿：彤寸爿。使德，矿( 6 j 0 6 2 ) = 妒( 岛) o 伊( ) ，包姆( 露) ，i = l ，2 ，那么妒。是一个结合 色代数同态 证明：由于妒：b 专a 是f 一阶化结合色代数同态。那么显然妒。也是r 一阶化的 且例= 0 。 v b , 蛔( b ) ，i = l ，2 ，3 ，4 矿“魂圆) ，( 岛。良) ) = 孝( 毛，5 3 ) 矿( 岛岛。如玩) = f ( 岛，岛) 伊( 6 l 岛) 固妒( 6 2 6 4 ) 妒。( 岛o6 2 ) 妒。( 岛o6 4 ) = 伊( 6 1 ) o 伊( 6 2 ) 妒( 岛) 固妒( 6 4 ) = 善( 妒( 6 2 ) ，妒( 6 3 ) ) 妒( 岛) 伊( 6 3 ) 圆妒( 6 2 ) 妒( 6 4 ) = 善( 6 2 ，6 3 ) 妒( 6 j 岛) o 伊( 6 2 钆) 于是p 8 是一个结合色代数同态。 注记5 显然有矿( b e ) = 妒( 曰) o 妒( 口) 另外以下出现的线性映射妒：b _ a 为f 一 阶化结合色代数同态，且= 0 。 推论3 3 0 ( 妒8 ( ) ) = f 。( p ( 矗) ) 圆，e ( 妒( 8 ) ) 证明： v a io o ah g ( c e ( p 。( b 。) ) ) ，由于尹。( 口。) = 妒( 曰) 圆伊( 曰) 则v 妒( 岛) o p ( 6 2 ) 坛( 妒。( 曰) ) ，则有 qo a ：，妒( 岛) o 妒( 6 2 ) = 占( 吒，b t ) a , q 。( b 1 ) 圆a , r p ( b 2 ) 一 s ( q + a 2 ，b l + 6 2 ) 占( 6 2 ，q ) 妒( 6 i ) 口lo 妒( 6 2 ) 啦= 0 于是有q 妒( 包) = 占( q ，6 ) 伊( 6 1 ) q ，i = l ，2 则可知 q ，妒( 包) = o ， 即qge ( 口”于是qo 呜e ( 召) ) o ，g ( 伊( 口) ) ，反之命题也成立于是得证。 引理3 4 v u e h g ( 4 8 ) ，令厶：肼寸射，使得厶( 胴) = 材埘，其中掰h g ( m ) 规定：? 。：s ( 一一c ：( 4 m ) 岛6 g ( 爿) 0 0 6 ) 厂= ko 厂 。 则c + ( 爿，肘) 是r 一阶化左一模。 证明o v a o b e 群，c 固d 鬈，f e c “( 彳，肘) f ，行o ，f ，r l ，f r 厶6 ) d ) 。，( q ，) = ( ( 口固6 ) p o d ) ) ( q ，) = p 6 ) ( p p d ) - ，( q ，) ) = 厶( 厶。) ( q ，巳) 于是厶。( 。d ) 。f = i 锄( t a d 。) 即“口0 6 ) ( c o d ) ) ，= ( 4 0 6 ) ( ( c 圆d ) ，) 。 于是命题得证。 注记6 用同样的方法可以定义出c + ( b ，m ) 的一个r 一阶化左一模结构。 引理3 5b 是结合色代数，微分j ：c + ( 曰，m ) 一c + ( b ，肘) 定义如定义1 3 ， 则万是r 一阶化c - 劬。( ) ) 一模同态。 证明： 取u = q o 吃蛔( c ，( 伊( b 。) ) ) ，g h g ( c ”( 曰， ，) ) 往证厶。占“( g ) = 万”( lo g ) 根据推论3 3 知 。 qe g ( q ( 妒( b ) ) ) ，i - - 1 ，2 ，即f q ，妒( 6 ) 】= o ，v b e h g ( b ) 贝j j q 矿( 6 ) = f ( q ，6 ) 伊( 6 ) q ，i = 1 ，2 ，由厶的定义可知i l i = m ，取6 j h g ( b ) ，i = l ，月 ( 厶o ”( g ) ) ( 6 l ，吒+ 1 ) = 厶( 孝( g ，t o t , , g ( b z ，吒。) + ( - 0 。g ( 6 l ，匆6 i + ，吒。) + ( 一1 ) ”“g ( 6 l ，- 既) 屯+ ) = q a 2 ( 孝( g ，b o b , g ( 如，吒+ ) + ( 一1 ) g ( b l ，6 包。，以。) + ( 一1 ) ”1 9 0 , ，屯) “+ ) = 善( g ，岛) f ( 吩，g + 岛+ + 吃+ 1 ) ( q 6 l g ( 6 2 ，阮+ 。) 口2 ) + ( 一1 ) ( 口2 ，g + 6 l + + + ) q g ( 岛，岛包+ ，“+ i ) 呸 t = l + ( 一1 ) ”+ 1 手( 哆，g + 6 l + + 吒+ i ) d l ( g ( 6 1 ，“) 吒+ i ) a 2 另一方面： j ”( 厶。g ) ( 6 l ，k + ) = f ( 厶+ g ，b o b , r l 。g ( 6 2 ，吃+ 。) + ( 一1 ) 厶。g ( 既，6 f 匆。，阮+ 。) 扣l + ( 一1 ) ”。厶。g o t ，吒) 吃“) = f ( 厶+ g ，b o b , ( q 固q g ( b 2 ，以。) ) + ( 一1 ) q 圆：( g ( 6 l ，6 i n 。，也。) ) j = i + ( 一1 ) ”1 a i 固a 2 ( g ( 色，阢) + 。” = 善( 口l + q + g ，岛) 善( 吃，g + 6 2 + + “) 岛( q + g ( 如，+ t ) 吒) + ( 一i ) 。告( d 2 ，g + b l + - - ，+ 瓦“) 拉。( g ( 岛，一，6 ，红+ l ，瓯+ 。) ) 嘭 ， l + ( 一1 ) ”“4 ( a 2 ，g + 岛+ 十“) 口l ( g ( 6 i ，- 吒) 岛) 吒+ l 取，leh g ( m ) ，口h g ( 彳) ，b h g r ( 口) 因为( d m ) b = ( 口州) 妒( 6 ) = a ( m 妒( 6 ) ) = a ( 坍b ) 岛- ( q 肌) = 伊( 包) ( a i m ) = ( 妒( 6 1 ) q ) m = 善( 6 l ，a 1 ) ( a , f a ( b i ) ) m = 善( 6 l ，q ) q ( b l m ) ( m - a 2 ) 6 打+ l = ( m a 2 ) 伊( 良+ 1 ) = m ( 吒妒( 以+ 1 ) ) = m ( 善( 口2 ，屯。) 伊( 玩“) 吒) = 孝( 岛，钆“) ( 柳。+ 1 ) d 2 于是我们有 万”( 乞。g ) ( 6 i ，坟+ ，) = f ( q + 啦+ g ，岛) 善( q ，g + b 2 + + 既+ i ) 善( 岛，a 1 ) a i ( 岛g ( 6 2 ，峨+ 1 ) 吧) + ( 一1 ) f ( 哆，g + 6 l + + 吒+ ) q ( g ( 岛，6 f 6 f + l ，“) ) 仃2 t - i + ( 一l y “孝( 呸，g + 6 l + + 阮) 孝( 啦，+ ) q ( g ( 岛，吒) t 啦) 以+ l ；f ( g ，岛) 孝( 啦，g + 6 2 + + 吒+ ) q t ( 6 l g ( 6 2 ，阮“) 口2 ) + ( 一1 ) 孝( 玎2 ，g + 6 l + + 玩。) 口i ( g ( 6 l ，一，包岛“，舷“) ) 盯2 i = 1 + ( 一1 ) ”( 呸，g + 反+ + 吒“) q ( g ( 6 1 ，艮) 吒“) 口2 于是扩( 毛o g ) = 毛o ( a ”( g ) ) ，即 g ) = 豁扩( g ) 由注记2 可知j 是f 一阶化c a 。( 矿( 矿) ) 一模同态。 注记7 定义乞兰”( 竺竺寸”( 口，m ) ， l 。t n = u - f 其中“坶( 巳( c o 。( ) ) ) ，h ”f ，i ，吖) ，则显然有屯，= 屯。l ， 立： 定义3 6 线性映射f ：斗a ，使得f 佃固6 ) = 曲，称f 是典范增广映射。 定理3 7 设肘是r 一阶化向量空间，若甜k e r ( r ) r l 巴。( 矿( ) ) ，则以下结论成 ( 1 ) f 。露= o ，v n o ( 2 ) “在m 上的作用是可逆的，那么露= 0 , v n 0 证明： ( o v a h g ( 巴( 伊( 丑) ) ) ，v f h g ( z ”( 一， 彳) ) ，包，曙( 曰) ，i = 1 ，n 一方面： j ”1 。力( ) ( 伊( 岛) ，烈巩) ) = p ，( ，) ( 妒( 6 1 ) ，妒( ) ) = 4 厂( 伊( 6 i ) ，妒( 既) ) 一善( 4 ，f + b j + + 以) 厂( 妒( 6 1 ) ，伊( ) ) a 另一方面： ( a o l - 1 0 口) + ，( 妒( 6 i ) ，妒( 既) ) = ( 口0 1 ) f ( o ( b o ，伊( 吒”一( 1 0 口) ，( 妒( 岛) ，妒( 吒) ) = 口，( 伊( 6 1 ) ，妒( 屯) ) 一善( 口，+ 6 i + + 吃) 厂( 伊( 6 1 ) ，妒( 瓦) ) a 于是占”1 。( 厂) ( 伊( 6 1 ) ，一，伊( 吒) ) = ( a o l l o 口) ，( 伊( 6 i ) ，。，矿( 吃) ) 即艿”1 。伊”1 ( ( 门) = 矿”( 万”( ( 厂) ) ) = ( 口o l l o 口) + 矿”( 厂) 则 0 1 1 0 口) 矿( ，) m 8 - i , 于是我们有乇。l - 1 。曰；0 因为“巴。( 矿( ) ) ，所以”= u tu i , ，m ，1 蛔( g 妒( 曰) ) 又因为“k e r ( r ) ，于是 i = 1 t - i 设u = 孝( q ，“，) ( 1 0 哆) ( 固l l o u ) ，显然有，。彤= o ，v n o i = 1 ( 2 ) ：由( 1 ) 韵证明知 k 厶。伊”( 厂) - = 芝：善( 坼，_ ) 厶。从。q ) 。伊”( 厂) i = 1 kt = f ( ，u i ) 厶。? ) 。厶。一。) 。妒”( ) = 善( m ，u ) 。小艿“。妒”1 ( 以? ( 力) ) l ；l i = 1 k = 占”1 ( 矿。( 孝( q ，“，) ( 。跏，) 。以? ( 力) ) i = 1 i 令g ：= 1 。( f ( 珥，u ) ( 厶。彬( 厂) ) 那么我们有厶。矿( 力= j ”( 矿”1 。l a g ) ) = l 。8 - i ( 妒”1 ( g ) ) 由条件( 2 ) 可知矿( 厂) = 8 - 1 ( 伊”1 ( g ) ) 。 则霹( 厂) = 矿( ，) = o , v f h g ( z ”( 曰，膨) ) ，于是命题成立。 引理3 8 规定运算 a 。c 一( 彳，m ) 寸c 一( 彳，肘) ”( m o a i o o ) = “* m a i o 0 则c 一( 爿，m ) 是r 一阶化左一模。 证明略。 注记8 上述模运算对应的r 一阶化同态记作r 引理3 9b 是结合色代数， 6 ：c 一和( 8 ) ，m ) 寸c 一( 烈艿) ，m ) 瓯( 肌圆缈( 岛) o p 妒( 良) ) h l i = 胁，伊( 6 1 ) o 妒( 6 2 ) or - p 妒( 阮) + ( 一1 ) 肼。妒( 6 1 ) o o 妒( 包) 妒( 6 f + 1 ) p o 矿( 匆，) 1 = 1 + ( 一1 ) ”k 妒( 以) m o 妒( 岛) 固o 妒( 良一i ) k = 4 ( m + 6 l + + _ l ，吒) ，聊h g ( 肘) 也，曙( 口) ，i = l ，2 ，n 则占是r 一阶化c ，( 矿( ) ) 一模同态。 注记9 我们可以定义线性映射 吒：风( 口，m ) - 圮( 曰，m ) r ( m 固b l o 圆坟) = u 嬲。甄o o 坟 ，其中甜h g ( c a , ( 矿( ) ) ) 定理3 1 0 设村是r 一阶化向量空间，若甜g e r ( r ) n c - ( 矿( ) ) ，则以下结论成 立： ( 1 ) 研。，。= o ，v n 0 ( 2 ) u 在肘上的作用是可逆的，那么嚣= o ，v n 2 0 推论3 1 l 设m 是r 一阶化双边a 一模，则以下结论成立： ( 1 ) 令p = k e r ( r ) f c ( a 。) ，若3 u p 作用在m 上是可逆的，那么 月( 彳， ，) = 0 ，以( 爿， ，) = o ，以0 ( 2 ) 若m 是不训约n 0 ，j ，m 0 。那夕、1 1 ”( 爿，们) ：- o ，以( 爿，m ) = 0 ，i 0 证明：( 1 ) 令矿= i d a ，( 一= b ) 。则根据定理3 7 可知c = o ，n 0 ，于是 ”h ”，膨) e “，绋) = 以妒“) ，伊( 嚷) ) = o ，即h ”( 爿，艇) = 0 , n 0 由定理3 1 0 可知也( 一，m ) ) = o ，n 0 ，同理日”( 彳，m ) = 0 ，打0 ( 2 ) 因为p m o ，所以3 u e p ，使得“m 0 ，往证“作用在肘上是可逆的， 即l 是可逆的。 因为膨是r 一阶化双边爿一模，则m 是r 一阶化双边一模，于是l 作用在肘上是 非零的r 一阶化同态。显然，( 厶) 是吖的r 一阶化子空间。 又因为“p ，则v v ，【甜，v 】= o ，即w = f ( “v ) v u ，v m k e r ( l 。) ，则有 厶( v + 功= “ 0 m ) = 孝( “，v x v u ) * m = f ，v 妒 + m ) = 0 ，即v m e x e r ( l 。) ， 所以k e r ( l 。) 是m 的子模，另一方面i m l 也是m 的子模，于是由于l 作用在射是 非零的，且膨是不可约的，所以有k e r ( 厶) = o ，i m 丘= m ，那么厶作用肘在是可 逆的，应用( 1 ) 可知( 2 ) 成立。 第四章零化定理与局部零化 在本节中a 是结合色代数。 定义4 1 设v 是域f 上的r 一阶化向量空间，称r 一阶化线性映射x ：矿寸v 是局部幂零的。如果v v v ，3 n ( v ) n ，使得x ”( v ) = 0 。 定义4 2 一族v 寸w 的r 一阶化线性映射( ) 称为可和的，如果 v v v ，3 n ( v ) n ，使得z ( v ) = o ，v n n ( v ) 。 注记l ov 是有限维的r 一阶化向量空间，对任意r 一阶化线性映射x ：v 寸v ， 如果满足h 0 ，那么x 是局部幂零的r 命题4 3 ( 1 ) 若x 是局部幂零的，则( 工“) 。是可和的： ( 2 ) 若x 是局部幂零的，则i d v 一堤可逆的； ( 3 ) 若堤阶化线性映射且h 0 ，贝o i d v x 是可逆的。 引理4 4 设f g ：v 一矿是r 一阶化自同态，满足： ( 1 ) ，是可逆的； ( 2 ) f o g = go 厂； f 3 ) g 是局部幂零的。 则厂一g 是可逆的。 证明： 令x = f - 。g ，由( 1 ) 和( 3 ) 可知g 。f 一= ，一。g 那么v v v ，令工( v ) = 厂一。g ( v ) 再由( 2 ) 可知j 盯( v ) n ，使得g ”( v ) = o ，则x ”( v ) = 0 ，于是x 是局部幂零的。 根据命题4 3 ，玩，一x 使可逆的，b 咿一g = 厂。0 4 , 一r ) 是可逆的。 弓i 理4 5 设v ，w 是r 一阶化向星空问，f ，p 分别是v 寸v ，w - 的r 一阶化线 2 0 - 性姚跳荡z 需嚣呶 规定r ：h o m ，( 矿，) 斗h o m f ( v ，矽) ，使得对于b 歹h g ( h o r n f ( v ，) ) l 专p o f - f o t 那么r 是可逆的。 证明： 令以：t t o m f ( v ，) 一h o m f ( 矿，缈) ，使得对于v f h g ( h o m f ( v ，) ) 口。一( ，) = p 。f 。f ，则显然p 。厂。f 是r 一阶化线性映射，t - ；黾p 。厂叮h o m f ( v ，) ， 有巳一( 力= p 。f 。f