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硕士论文随机波动模型下的非交易日效应研究 摘要 中国的股票市场是一个新兴市场，由于起步较晚，政府干预过多，使得市场投机 现象严重，这些现象都说明了中国的股票市场还不够成熟，还不够有效，因此研究中 国股票市场具有重要意义。 以往大量文献的实证研究发现在许多证券市场上都存在市场异例，非交易日效应 就是市场异例的一种。金融市场休市时发布的消息在市场开市时会对金融资产的价格 产生一定的影响，这就是所谓的非交易日效应。金融市场的休市一般发生在节假日， 所以非交易日效应又被称为假日效应。本文希望研究中国股票市场的非交易日效应的 表现。 本文在充分考虑金融时间序列的性质的基础上选用随机波动模型为框架研究非 交易日效应，考虑非交易日对时间间隔的影响不同于交易日，将连续随机波动模型离 散化得到一类扩展的可以反映非交易日效应的随机波动模型：( 1 ) 非交易效应在收益 方程和波动方程中表现一样的杠杆随机波动模型；( 2 ) 只考虑收益方程的非交易日效 应的杠杆随机波动模型；( 3 ) 非交易效应在收益方程和波动方程中表现不同的杠杆随 机波动模型。在这三个模型下，本文选取了上证综合指数和深证成分指数为研究对象， 样本选取范围为1 9 9 6 年1 2 月1 6 日到2 0 0 8 年3 月3 1 日，共2 7 2 4 个日收盘指数和 1 3 9 9 个非交易日，用蒙特卡罗极大似然法估计参数。实证结果表明，上证综指和深 证成指存在显著的非交易日效应，一个非交易日对上证综指的影响比一个交易日对指 数的影响大约高于2 0 ，一个非交易日对深证成指的影响比一个交易日对指数的影响 大约高1 8 。 关键词：非交易日效应，随机波动，杠杆效应，蒙特卡罗极大似然法，重要性抽样， k a l m a n 滤波 a b s t r a c t c h i n e s es t o c km a r k e ti sa l le m e r g i n gm a r k e t b e c a u s eo fal a t e s t a r t ，t h e r eh a s e x c e s s i v e g o v e r n m e n ti n t e r v e n t i o na n ds e r i o u ss p e c u l a t i o ni nt h em a r k e t t h e s e p h e n o m e n ah a v es h o w nt h a tc h i n e s es t o c km a r k e t sa r es t i l li m m a t u r e a n dn o ts u f j f i c i e n t l y e f f e c t i v e ，s ot h es t u d yo fc h i n e s es t o c km a r k e t si so fg r e a ts i g n i f i c a n c e al o to fe m p i r i c a lr e s e a r c hl i t e r a t u r e sh a v ef o u n dt h a tt h e r e a r em a n ym a r k e t a n o m a l i e si nm a n ys t o c km a r k e t s n o n - t r a d i n ge f f e c t si sak i n do fm a r k e ta n o m a l i e s i n f o r m a t i o na c c u m u l a t e sw h i l ef i n a n c i a lm a r k e t sa r ec l o s e d ，a n di ss u b s e q u e n t l vr e f l e c t e d i n p r i c e sa f t e rm a r k e t sr e o p e n t h i si st h es o c a l l e dn o n t r a d i n gd a ye f f e c t s f i n a n c i a l m a r k e t sa r ec l o s e dg e n e r a l l yo nh o l i d a y s ，as on o n - t r a d i n gd a ye f f e c ti sa l s ok n o w na s h o l i d a ye f f e c t i nt h i sp a p e r , w et r yt os t u d yo ft h en o n t r a d i n ge f f e c t si nc h i n e s es t o c k m a r k e t s i nt h i s p a p e r ，w ea n a l y z et h r e em o d e l so fn o n t r a d i n gd a ye f f e c t si ns t o c h a s t i c v o l a t i l i t ym o d e l sw i t hl e v e r a g ee f f e c t s ，n a m e l y ：( 1 ) t h ep e r f o r m a n c eo f n o n t r a d i n ge f f e c t s i nt h ey i e l de q u a t i o ni ss a m ea st h ep e r f o r m a n c ei nt h ev o l a t i l i t y e q u a t i o n ；( 2 ) o n l y c o n s i d e rt h ep e r f o r m a n c eo f n o n t r a d i n ge f f e c t si nt h ey i e l de q u a t i o n ；( 3 ) t h ep e r f o r m a n c e o fn o n - t r a d i n ge f f e c t si nt h ey i e l de q u a t i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h e p e r f o r m a n c ei n t h e v o l a t i l i t ye q u a t i o n t h eo b j e c t so ft h es t u d yi nt h i sp a p e ra r es h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e x a n ds h e n z h e nc o m p o n e n ti n d e x ，t h es a m p l ep e r i o di s1 6 1 2 1 9 9 6t o 3 1 3 2 0 0 8 ，g i v i n g 2 7 2 4d a i l yo b s e r v a t i o na n d13 9 9n o n t r a d i n g d a y s ，w eu s em o n t ec a r l om a x i m u m l i k e l i h o o dt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r s t h ee s t i m a t e si m p l yt h a ta1 1 0 1 3 t r a d i n g d a yh a s a p p r o x i m a t e l y2 0 o ft h ee f f e c tt ot h es h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e xo fat r a d i n gd a y ，a n d a p p r o x i m a t e l y18 o ft h ee f f e c tt ot h es h e n z h e nc o m p o n e n ti n d e xo fat r a d i n gd a y k e yw o r d s ：n o n _ t r a d i n gd a ye f f e c t s ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，l e v e r a g ee f f e c t s ，m o n t e c a r l om a x i m u ml i k e l i h o o d ，i m o o r t a n c es a m p l i n g ，k a l m a nf i l t e r 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 尹丑壁 劢年二月弘日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：兰粤z 埠 0 ，0 ，卢，0 ，虚拟变量的含义同最小二乘估计法中是一样的。在这个模 型的基础上还可以进行扩展，如考虑非对称的g a r c h 模型，考虑收益率本身的自相 关性的g a r c h 模型等。 由于在用g a r c h 模型研究非交易日效应的方法中对数据做了服从某种分布的 假设，有的学者认为假设的存在不利于结论的真实性。非参数方法不需要对数据的分 布做出假设，有利于结论的真实性，并且可以有效的处理某些污染的数据，在操作性 方面有一定的优势。刘彤【5 l 】利用非参数方法研究了上海股市的非交易日效应，其步骤 是：首先分析收益率的分布状况，利用单样本的k o l m o g o r o v s m i m o v 检验收益率序 列是否服从正态分布；其次采用k r u s k a l w a l l i s 检验和m a n n w h i t n e y 检验对非交易 日效应的存在性及模式进行分析；最后利用l e v e n e 检验对收益率的方差进行分析。 1 绪论硕士论文 另一类可以反映金融资产价格变化的变异性和聚集性的模型是s v 模型，而且跟 g a r c h 类模型相比，s v 模型更能够反映金融数据的性质，但由于s v 模型的参数估 计较为复杂，用这类模型研究非交易日效应的文献较少，特别是国内还没有学者用 s v 模型研究非交易日效应，基于此本文试图建立s v 模型来研究中国a 股市场的非 交易日效应。w 抛a b e 【删在分析东京股市收益时提出了包含非交易日效应的s v 模 开u ：士二 其中，忽= l o g ( o ) ，u ，和研是服从标准正态分布的独立同分布序列，口表示非交易 日效应的虚拟变量，在假日后的第一个交易日取1 ，其余时间都取0 。该模型的参数 估计计算量很大，因此本文没有采用此模型，本文后面会建立一种估计方法较为简单 而且效果较好的s v 模型来研究非交易日效应。 1 4 论文结构与创新点 在早期研究中国股票市场非交易日效应的文章里，他们的研究只限于对收益均值 的计算，缺乏模型和理论的支持，同时也缺乏统计意义的检验。另外他们在研究中采 用的数据时段也太短，而且他们所采用的样本数据主要是中国股市早期、非规范时期 的数据，而如今中国股市经历了风风雨雨十七年，伴随着许多管制措施的出台，股票 市场越来越规范化，所以他们的研究结果对于如今逐渐规范、逐渐趋向公司真实价值 的股市的指导意义越来越少。虽然最近几年的研究对以上缺点有所改善，但还是不够 完善，如：选用的模型大多都是a r c h 类模型，没有选用更适于表现金融时间序列性 质的s v 模型；而且几乎没有涉及到收益率的非交易日效应的研究。 因此，对中国股票市场非交易日效应的研究还有许多地方需要改善，本文将在以 下几个方面不同于目前国内对非交易日效应研究的其它文献： ( 1 ) 过去的研究利用的都是中国股市早期的数据，由于那时候的股票市场刚刚起 步，很不规范，因此得出的结论对现在较为成熟的股票市场的指导意义有限，所以有 必要利用最新的数据重新研究中国股市的非交易日效应； ( 2 ) 本文在充分考虑金融时间序列的性质的基础上，选用s v 模型来研究，考虑非 交易日对时间间隔的影响不同于交易日，将连续s v 模型离散化得到一类扩展的可以 反映非交易日效应的s v 模型； ( 3 ) 本文将采用的参数估计方法是蒙特卡罗极大似然估计法( m c m l ) ，m c m l 是一 种借助于模拟技术的估计方法，可以同时对不可观测的变量和未知参数进行估计，在 计算上比m c m c 方法简单。 6 冲 篇懈喜：嚣 丸 硕士论文随机波动模型下的非交易日效应研究 本文的结构安排如下： 绪论中我们主要介绍了非交易日效应的研究现状，研究所使用的方法及存在的问 题；第二部分主要介绍了随机波动模型及其参数估计的方法，着重推导了蒙特卡罗极 大似然方法；第三部分介绍本文所用的模型及参数估计的方法：第四部分实证研究用 a s v 模型及其扩展模型进行拟合，估计参数，分析非交易日效应的表现并分析了长 假实施前后非交易日效应的不同表现，对非交易日效应进行成因分析及提出政策建 议；最后得出结论。 7 2 随机波动模型及其参数估计 硕士论文 2 随机波动模型及其参数估计 2 1 随机波动模型 在早期的统计学和经济计量模型中，人们一般假设金融产品的波动是固定不变 的，可以参见m e o n ，b l a c k 和s c h o l e s 的文章。做这种假设不仅是为了计算上的便利， 更重要的是为了能应用传统的稳定随机过程的理论和模型。但实践发现，这种假设与 大多数实际金融数据并不相符合，特别是不厶匕y 。徊l p ( 好表现金融序列及其波动的典型特 征。如今己经普遍承认波动不仅是时变的，而且是可预测的。描述时变波动的模型中， 最著名的两大类就是自回归条件异方差( a r c h ) 类模型和随机波动( s v ) 模型。 s v 模型的最早提出是与在金融理论中资产定价的扩散过程( d i f f u s i o np r o c e s s ) 直 接相关的。早期研究这一领域的有c l a r k ( 1 9 7 3 ) ，t a u c h e n n p i t s ( 1 9 8 3 ) ，t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 4 3 1 。 后来h a r v e y ，r u i z 和s h e p h a r d ( 1 9 9 4 ) ，j a c q u i e r ，p o i s o n 和r o s s i 等人( 1 9 9 4 ) t 3 1j 引入了计量 经济学领域。这就意味着s v 模型具有数理金融学和金融计量经济学的双重根源。 由于s v 模型的波动是由一个不可观测的随机过程决定的，它被认为更加适合于 金融领域的实际研究，但是由于这一类模型的参数估计比较困难，因此在一定程度上 影响了它的实际应用。 2 1 1s v 模型的起源 s v 模型是t a y l o r 【4 3 】在解释金融收益序列波动的自回归行为时提出的，它是连续 s v 模型的e u l e r 离散时间近似。设p ( t ) ，t = 1 ，2 ，t 为资产价格序列，在一系列市场条 件下，连续s v 模型假定p ( t ) 满足下列随机微分方程： 。 d l o g 尸( f ) = c r ( t ) d b , ( f ) ( 2 1 1 ) d l o g a 2 ( f ) = ( 口+ l o g c r 2 ) ) 西+ o 口d b 2 ( t ) ( 2 1 2 ) 其中，局( f ) 和垦( r ) 为标准布朗运动，1 7 2 ( f ) 是资产价格( 收益) 的波动，它服从对数正 态o m s t e i n u h l e n b e c k 过程。为了便于参数估计，对式( 2 1 1 ) 和式( 2 1 2 ) 进行离散化， 并取时间间隔a 。= 1 ，整理后得到如下形式的s v 模型 y t 2 0 c t g t l o g 砰= l o g t l + 仇 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中，只= l o gp ( t ) - l o gp ( t - 1 ) 为资产复合收益率，仃= e x p ( a 2 ) 是一个反映波动平 均水平的常数，矽= l + f l 为持续性参数，度量了波动扰动的标准误差。误差过程 q = b l ( t + 1 ) - b l ( t ) ，研= b 2 ( t + 1 ) 一垦( f ) ，因此q 与研是服从标准正态分布的独立同 分布序列，基本s v 模型假定毛- 与r t 互不相关，- i 面8 t 与o - , 相互独立。令啊= l o g 砰，则 有： 硕士论文随机波动模型下的非交易日效应研究 生 y t = 傀t e 2 红= 矽忽一l + 仇 2 1 2 基本s v 模型的统计性质 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 1 2 1 一般性质 第一， t ) 是鞅差序列，那么 y ，) 是鞅差过程；第二，如果 嚏) 为一平稳随机过 程，则 y t ) 也是平稳的；第三，与正态分布相比， y t ) 是过度峰态的。随机变量的峰 态是一个很重要的指标，它度量了分布的峰值高度和尾部厚度。过大的峰态值表明此 随机变量取极端值的可能性较大。s v 模型的这一特点，使它能有效地捕捉金融时间 序列的特点，从而对它们做出更加精确和可靠的估计和分析。第四，如果例 1 ，曩的 无条件均值和方差分别为。和( 1 一矽2 ) 。 2 1 2 2 模型的线性表示 随机波动模型的一个重要性质是它可以转化为一个线性表示式。令z t = l n y ，对 式( 2 1 5 ) 两边平方取对数，可得： 乙= h 1 拜= 1 1 1 仃2 + 曩+ h l 牟 ( 2 1 7 ) 或写为 z f = h l 拜= q + 红+ 喜 ( 2 1 8 ) 其中，q = i n t y 2 , e e l # ，毒= l i l 一e h l 彳 ，磊一“d ( o ，蠢) 。 如果 q ) 服从标准正态分布， h l 彳 服从对数z 2 分布， 据a b r a m o v i t z s t e g u n ( 1 9 7 1 ) 有e ( 1 i l 砰) = - 1 2 7 ，砌，( 1 i l g ) = 等。 h l 砰) 的密度函数为 峭，= 去唧 孚 。 2 2 扩展s v 模型 基于对不同金融波动问题的研究，s v 模型得到多方面的扩展，下面介绍两种比 较常用的扩展形式，厚尾s v 模型和杠杆s v 模型。 - 2 2 1 厚尾s v 模型 许多金融时间序列的无条件分布与异方差模型在假设变量服从标准正态分布的 情况相比，会呈现出高峰厚尾。为此，k i m ，s h e p h a r d 和c m b 假设s v 模型的扰动部 分服从自由度为y 的f 分布，并记为s v t 模型。 在s v - f 模型中，式( 2 1 5 ) 中的扰动部分 毛) 服从自由度为y 的t 分布，即 o 2 随机波动模型及其参数估计 硕士论文 胞) = z ( v - 2 ) 乒篱 + 封丁 ( 2 2 1 ) 当4 v o o 时，t 分布的峰态系数大于3 ，y - - + o o 时就变为正态分布，y 4 时其峰态系 数不存在。 n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 3 8 】提出了另一种峰态系数大于3 的广义误差分布( g e d ) ，它也可以用 来替代正态分布。在s v g e d 模型下，扰动部分f q 服从均值为o ，方差为1 的g e d 分 布，即 c e x p _ 丢( 圳允) 。 厂( t ) = 索蒜万j ，o c 2 ( 2 2 2 ) 其中，c 为自由度，当c = 2 时，g e d 为正态分布，c 0 ) 将使 啊( 从而使盯；) 趋于增大，因此通过这样一种关系，波动不对称性在a s v 模型中得到 反映。 l o 硕士论文随机波动模型下的非交易日效应研究 2 3s v 模型的参数估计方法 在s v 模型中，波动率是作为一个不可观测的潜在变量，这符合实际的金融序列 的性质，但是这也给模型的参数估计带来许多困难，因此，s v 模型自提出以来并没 有得到广泛的应用。a r c h 类模型可以很精确的得到其似然函数，和a r c h 类模型不 同，s v 模型的似然函数的构造比较困难。 对于基本s v 模型，其似然函数的一般形式是： 三( ) = p ( y ) = l p ( y ，x ) a x ( 2 3 1 ) 其中= p ，矽，) 为参数向量，y = 咒囊。，= z ：| l ，p ( l ) 表示条件密度函数，t 表示观测值的个数。由于上式的积分不是解析的，因而很难采用极大似然估计法估计 参数。目前s v 模型的常用的参数估计方法可以被分为两类，一类方法是依靠某些准 则得到似然函数，如h a r v e y ，r u i z ( 1 9 9 4 ) t 4 l 】提出的伪极大似然法( q u a s i m a x i m u m l i k e l i h o o d ，q m l ) 。另一类是试图得到完全似然函数，女 i j a c q u i e ，p o i s o n 和r o s s i ( 1 9 9 4 ) 儿j 提出的马尔科夫链蒙特卡罗法( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ，m c m c ) 、d a n i e l s s o n 和 r i c h a r d ( 1 9 9 3 ) t 1 6 】提出的模拟极大似然方法( s i m u l a t i o nm a x i m u ml i k e l i h o o d ，s m l ) 以及 d u r b i na n dk o o p m a n ( 1 9 9 7 ) 0 s 】提出的蒙特卡罗极大似然法( m o n t ec a r l om a x i m u m l i k e l i h o o d ，m c m l ) 。 伪极大似然法( q m l ) 是把基本s v 模型转变成线性空间形式，应用标准的k a l m a n 滤波，将测度方程的误差项看作服从正态分布，得到对数似然函数并将其极大化就可 以得到参数向量沙的估计。由于误差并不服从正态分布，该方法并不是建立在真正似 然函数的基础上的，因此被称为伪极大似然法。q m l 估计的最大优点是容易实施。 但q m l 估计的有限样本的特性极差，因为它们不是建立在严格的似然之上。q m l 估 计的另一缺陷是使用时模型必须转换为线性状态空间形式，这就使之有很大的局限 性，因为很多模型很难甚至不能实现这种转换。 马尔科夫链蒙特卡罗法( m c m c ) 是将马尔科夫过程引入g l j m o n t ec a r l o 模拟中以 实现动态模拟。其基本思路是通过构造一个平稳分布为7 ( x ) 的马尔科夫链得到万( x ) 的抽样，基于这些抽样做出各种统计推断。大量模拟表明，m c m c 在估计参数上优于 q m l ，但其不足之处在于需要非常大的计算量，而且对扩展模型该方法需要改变的 地方也较多。 一一 模拟极大似然法( s m l ) 是对积分用重要性抽样函数( i m p o r t a n c es a m p l i n g f u n c t i o n ，i f ) 来实现，将联合密度函数p ( y ly ) 分解为一个重要性抽样函数( i f ) 与一个 余函数的乘积( r f ) ，对其关于参数沙求取极大化，得到参数的估计值。s m l 方法是基 于严格的似然函数表达式，因此估计精度一般超过q m l 方法，但其计算量往往过大。 2 随机波动模型及其参数估计 硕士论文 蒙特卡罗极大似然法( m c m l ) 也是建立在重要性抽样技术基础上的。s v 模型转变 为线性空间形式后，测度方程的误差项是非高斯的，通过重要性抽样选取一个合适的 高斯状态空间模型来近似。那么s v 模型的似然函数( y ) 就等于高斯近似模型的似然 函数t ( ) 乘以一个校正项。t ( ) n q m l 方法一样可以通过k a l m a n 滤波得到，而 三。( ) 相对于l ( c v ) 的校正可通过模拟技术解决( 细节见2 3 3 节) 。m c m l 方法不仅在 计算较m c m c 方法简单，而且还有其它的一些优点：( 1 ) 能够对s v 模型的似然函数产 生任意精确度的近似，因此可以构造标准似然比检验。( 2 ) 不仅可以用来估计基本s v 模型，在估计s v 模型的扩展形式时，方法的改变较小。为了后面的应用，这里引进 s v 模型的m c m l 方法。 2 3 1 模拟和重要性抽样 对于基本s v 模型，在线性状态空间下，令5 f ，= ( o - ，) 。，z = 刁) t ，h = h t ：。似 然函数可以表示为： ( ) = p ( z ) = i p ( z ，h ) a h = i p ( zlh ) p ( h ) d h ( 2 3 2 ) 可以得到( ) 的估计 讯，= 专缸i ( 2 3 3 ) 其中 | i z 2 i 。是取自密度函数p ( ) 的n 个随机样本，但是这种方法的效率很低。为了提 高精度，m c m l 方法利用重要性抽样和对偶变量对式( 2 3 3 ) 进行改进，其基本思想是 通过重要性抽样选取个合适的高斯状态空间模型： 铲：_ 魄兰， (234)1 1 , = 触一i + 研 r v 其中，毒f i d ( 0 ，耳) ，q 和耳是待定参数。扰动项缶和仇是不相关的，令g ( ) ，g ( 十) 和g ( ，) 分别表示这个高斯近似模型的边缘密度，条件密度和联合密度函数。式( 2 3 2 ) 可改写为 三( y ) = p ( zi 办p ( j f l ) 铂2 曙g ( 办lz ) 如= t 措 ( 2 3 5 ) 其中& 表示关于重要密度函数g ( 办iz ) 的数学期望。由于高斯渐进模型的似然函数为 心= 器= 掣= 蹀半 仁3 固 1 2 硕士论文随机波动模型下的非交易日效应研究 可得器=羔，q弋x(29(hg ( zh 3 5 成有 一 z )1) 7 一 嘶m 制半卜 揣p 川彬h y ，e g ( p ( z h ) - ) 仁3 刀 从上式可以看出s v 模型的似然函数( y ) 等于高斯近似模型的似然函数t ( y ) 乘以一 个校正项，其中工。( y ) 可利用k a l m a n 滤波算子求出，校正项则可通过模拟技术来解决。 2 3 2 高斯近似模型的选择 为了达到模拟的效果，所选择的线性高斯近似模型应尽量接近s v 模型。令 啊= t ( 巧) 表示曩的平滑估计，髓可以通过k a l m a n 滤波和平滑算子得到。令 l ( h ) = l n p ( zi 乃) 一i ng ( zh )( 2 3 8 ) 我们要选取参数q 和e 使得p ( zl 矗) 和g ( zl 乃) 在磊的领域内尽量接近，则有当h = 左 时， o l ( h ) o h = 0 和3 ：l ( h ) o h o h = 0 。由式( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 和( 2 3 4 ) 可知 7 i np ( z l 向) - - z h a p ( z , i 红) ， r = l 了- l n g ( z i 办) = l n g ( z , l 忽) ， t = l l i l 北= 一吉1 1 1 2 万+ j 1 ( z f 一啊乩盯2 一了e z t - h i ) l n g ( z fi 红) = 一丢1 n 2 万q 一掣 可以得到关于参数q 和q 的方程： 一三+ 垡一墨= 鱼二垒：o一一+ 一l j o = u 2 j 2 0 。h t 一竺+ 一1 ：0 2 0 r 1 4 , 可得 耳= 2 以h ，c f ：毛一h t + 等一1 因为啊的值是依赖于参数c t 和e ， 给定参数向量缈，迭代算法如下： ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 11 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) 所以我们只能通过迭代求解上述方程。对于 i 对于任意的f ，取初始值c f - 0 ，q = 万2 2 ； 2 随机波动模型及其参数估计 硕士论文 i i 对线性高斯近似模型运用k a l m a n 滤波和平滑计算忽，i i i i 将忍代入式( 2 3 1 3 ) ，得到新的q 和日，的值； i v 重复2 、3 步，直至收敛。 d u r b i n n k o o p m a n t l 8 1 的研究表明算法收敛速度很快，一般只需要迭代5 至1 5 次就 可以得到收敛结果。 2 3 3 似然函数的估计 利用d u r b i n 提出的模拟平滑算法，我们可以从重要密度函数g ( hz ) 独立地抽取n 个样本o 令w ( 胪黜，w 叫胪) ) ，f = 1 ，2 ，访- 1 萎n ，这样 我们就得到了上( ) 的一个无偏估计：三2 ( 少) = t ( i f ，) 诼为了简化计算，两边取对数， 可得 h l 厶( y ) = h l t ( 杪) + h l 诼 ( 2 3 1 4 ) 但是e ( 1 n 访) i n a 。，其中h l 。= 乓( w ) ，所以式( 2 3 1 4 ) 是( ) 的有偏估计。为了校 正估计的误差，我们注意到 h 舻- n ( + 警 - 警一甄2 警 2 + o ，c 俨，l儿以、。 对上式两边关于g ( 向iz ) 求期望有 驰班l n 旷最+ o ( - 3 ，2 ) ( 2 3 1 5 ) 其中吒2 = v a r ( w , ) 。 令s i ：= 百( w i 一诼) 2 作为盯：的估计，诼作为的估计，这样我们就可以得到 v 一1j = l 三( y ) 的一个近似无偏估计 h 厶( y ) = h 三g ( y ) 地诼+ 赤 ( 2 3 1 6 ) 为了进一步提高估计的精确度，d u r b i n 和k o o p m a n ( 1 9 9 7 ) f 8 1 运用对偶变量对w 进行修 i e 。i 酗g h ) ：二。捌d u r b i n 模拟平滑算法从重要密度g ( lz ) 抽取的一个随机样本。 令万( j ) ：2 i 一矿) ，一般称万为胪的位置平衡向量，令w ：塑至攀，用w 代 硕士论文随机波动模型下的非交易日效应研究 替w 可得 n 1 n - - 1 e 瑚矿，2 = 二n - 1 善( 一娟) 2 h 1 厶( 少) ：h l t ( ) 地方+ 斋s 2 ( 2 3 1 7 ) ( 2 3 1 8 ) 2 3 4k a l m a n 预报、滤波和平滑 为了得到线性高斯近似模型的k a l m a n 滤波器、预报器和平滑器，需引用下列递 推射影公式。 引理2 3 4 1 h 8 1 ( 递推射影公式) 设随机变量石r “，随机序列m ，y ：，y k ，r ”，且 它们存在二阶矩，令p r o j ( x l m ，乃，n ) 为x 在线性流形三执，儿，儿) 上的射影，序 列 咒) 的新息序列为 p t = 坛一p r o j ( x lm ，耽，儿一。) = 儿一儿肛。，它是零均值的白 噪声，则有 p r o j ( 工i 咒，儿，儿) = p r o j ( x i y , ，y 2 ，n 一。) + e ( 碱) e ( k ) 吨 唯 ( 2 3 1 9 ) 在线性高斯近似模型下，= p r o j ( h ，iz l ，”，z t ) ，对于扛f ，f f ，f f ，分别称为 k a l m a n 滤波器、预报器和平滑器。下面推导s v 模型的k a l m a n 滤波、预报和平滑递推 式。 由递推射影公式有递推关系 啊+ i = 曩+ m l + e ( 啊+ i k ) e - 1 ( 谚) v | ( 2 3 2 0 ) 其中v f = z f c f 一一l ，对式( 2 3 4 ) 两边取射影有 啊钟一l = 矽卜l 记滤波和预报估计的误差及方差为瓦= 红一忽乓= e ( 碌) ，厩刈，= 扛+ 。一扛砷， 砷= e ( 向：l p ) ， 则 u = 一l + 缶， 可得 e ( 曩+ - v f ) = e i ( 矽曩+ g r , + 。) ( 啊l ，二t + 毒) l = 矽蜀“ 令 e ( 谚) = e ( 磊l f - ，+ 毒) 2 = o h + e 全只，k = 矽卜，e 一1 将上式代入式( 2 3 2 0 ) 可得 忽+ 坩= 啊l 1 + 墨v ， ( 2 3 2 1 ) 1 5 2 随机波动模型及其参数估计硕士论文 由 啊刈，= 啊+ l 一红+ m = 曩+ 仃。r l , 一忍卜1 一k ( 啊卜l + 毒) = ( 一i v , ) 啊卜l k 皇+ 盯口仇 可得 c 刈，= ( 矽一k ) 2 c 卜l + 砰耳+ 露 = ( 一k ) p h 矽一矽丘一，k + 砰昂一：+ 群耳+ 露 = c p , | f - 。( 一k ) 一矽局卜k + 砰e + = 只卜1 ( 一k ) + 2 ( 2 3 2 2 ) 同理可得：魄i r = 魄卜l + 卜。e 1 u ，”= 蜀h 只卜l e - 1 卑卜1 ，因此可以得到如下定理。 定理2 3 4 1 对线性状态空间模型( 2 3 4 ) ，其k a l m a n 滤波和预报递推式为： ，1 1 , + l l r = c h , + k i 鼻小= 蝎h ( 一k ) + 露 ( 2 3 2 3 ) 弋v f = z f c f 一曩。一t lk = 矽l “一， e = 咒h + 耳 净+ 黧 (2324)p ie | r = # 卜l t l t - 1 f t p , j f l 、 只要初始值氏。和异。给定，就可以通过这个式子得到预报和滤波。如果 l ，曩的无 条件均值和方差分别是。和露( 1 一2 ) ，它们通常被用作风。和丑旧的值。 由于误差项毒与研服从正态分布，因此高斯近似模型的对数似然函数为 l i l t ( 沙) = 一吾i n 2 n - 互1 萎th l z i 1 备t 方2 ( 2 3 2 5 ) 在预报和滤波的基础上，我们还可以得到啊的平滑估计磊= & ( 啊lz ，) = 啊i r 。令 l r = ( 矽一k ) ，：+ ”r + 鼻1 哆， 则有： 啊= 啊旷= 吩f f - l + 晶卜i r = 红f r - l + 昂一- ( 一易，- t c - 1 ) ，；+ l f r + 昂，- l e 。1 v = 魄i f + 只卜l ( 1 一日卜1 ) e 。1 + 耵= 瑰p + 只”+ 耵 ( 2 3 2 6 ) 由 魄+ l = 魄+ l 矿= 气+ l p + + 班，：+ 耵 可知 + 耵= ( 红+ l 一曩+ l p ) + i i r 代入式( 2 3 2 6 ) 得 红= 啊i f + 只i f ( 啊+ l 一啊+ l p ) + l l f = ，+ 以( 啊+ l 一啊+ i | f ) ( 2 3 2 7 ) p个 其中，以= 羞坐_ ，r = t 一1 ，丁一2 ，1 。从式( 2 3 2 7 ) 可以看出平滑估计 矗迕。的计算 t + l l t 是一个反向递推的过程。群= i r 是 二。的最后一项，向前递推就可以得到 丘) ：。 硕士论文 随机波动模型下的非交易目效应研究 2 3 5 模拟平滑 在状态空间时间序列分析中，模拟平滑是指一种特殊的算法，用于在观测值给定 的条件下，从状态向量或扰动向量的条件密度抽取随机样本。本文采用的是d u r b i n 1 9 】 于2 0 0 2 年提出的一种新的模拟平滑算法。与d ej o n g 和i s h e p h a r d 1 7 】模拟平滑算法相比， d u r b i n 模拟平滑算法利用一种直接的方法，不需要递归地产生随机向量，因此更加简 单有效，易于实施。 在近似模型( 2 3 3 ) 中，令孝= ( 当，爵) 。，刁= ( 7 7 i ，珊) 。则g ( f ) = n ( o ，q ) ， g ( 7 7 ) = n ( o ，) ，其中q = 凼昭( 日l ，珥) 。下面我们给出d u r b i n 模拟平滑算法 的基本步骤： ( 1 ) 分别由n ( o ，q ) 和n ( 0 ，) 抽取随机向量f + 和矿，再由n ( 0 ，2 ( 1 - 2 ) ) 抽取 随机变量w ，用孝+ 、矿和耳分别取代式( 2 3 4 ) 中的善、，7 和囊，递归地解出广和h + ， 其中z + = ( 才，z ；) ，h + = ( 坷，睇) ； ( 2 ) 利用2 3 4 节中给出的k a l m a n 滤波和平滑算子计算| i 5 + = e ( h + iz + ) ； ( 3 ) 令h 。= j 5 + 矿一磊+ ，则h 就是来自重要密度g ( hlz ) 的一个随机样本。 下面我们给出证明： 由高斯渐进模型( 2 3 4 ) 口- - j 知g ( hz ) = n ( i ，y ) ，其中 v = v a r ( hiz ) = v a r ( h ) - v a r ( h ) v a r ( z ) 。1v a r ( h ) = v a r ( h ) 一v a r ( h ) v a r ( h ) + 西昭( ，h r ) 】。1v a r ( h ) ( 2 3 2 8 ) 因此矩阵v 与观测向量z 无关。又根据上述抽样法可知 乓 办“iz 】= 乓( + + 一h + iz ) = 乃+ e 8 ( 办+ 一h + iz ) = h ( 2 3 2 9 ) v a r h “= e 。【( 矿- h + ) ( 办+ 一矿) iz 】_ v a r ( h + lz + ) = v ( 2 3 3 0 ) 这就证明了h 。是来自重要密度g ( h iz ) 的一个随机样本。 2 3 6 小结 本章首先介绍了随机波动模型的起源及其扩展模型，然后介绍了s v 模型的参数 估计方法，着重推导了m c m l 方法。下面给出m c m l 方法的基本步骤如下： ( 1 ) 给定模型参数的初始值； ( 2 ) 选择线性高斯近似模型，使其尽量接近真实模型，其中c t 和q 是方程( 2 3 1 3 ) 的迭代解： ( 3 ) 用式( 2 3 2 3 ) 和式( 2 3 2 5 ) 求出i n 三g ( 少) 和曩： ( 4 ) 利用d u r b i n 模拟平滑算法，从重要密度g ( h iz ) 独立地抽取n 个随机样本 1 7 2 随机波动模型及其参数估计硕士论文 ( 5 ) 对每个办( ，f _ l ，2 ，n ，构造对偶变量万”，计算以，用式( 2 3 1 7 ) 计算矿 和j 2 ； w ( 6 ) 将万 s 。2 代入( 2 3 1 8 ) ，计算1 1 1 厶( y ) ，将l i l 厶( ) 极大化，即可得到模型参 数的估计。 硕士论文 随机波动模型下的非交易日效应研