高等数学微积分习题册上册答案.pdf

学院 姓名 学号 日期 1.2 数列的极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 1 一、根据数列极限的定义证明下列极限： （1）0 ) 1( lim 2 = n n n ； 证明：对任意，解不等式 22 ( 1)11 |0| n n nn = = 取 1 N = =，当 nN 时 2 ( 1) |0| n n ，所以0 ) 1( lim 2 = n n n （2） 5 2 15 32 lim= + n n n ； 证明：对任意，解不等式 2321711 | 5155(51) n n nnn = + =N 时 232 | 515 n n + + ，所以 5 2 15 32 lim= + n n n 。 （3）0)1(lim=+ nn n ； 证明：对任意，解不等式 2 111 |10| 1 nnn nnn += + +=N 时|10|nn +，所以0)1(lim=+ nn n 。 （4） sin lim0 n n n =. 证明：对任意，解不等式 sin11 |0| n n nn N 时 sin |0| n n N 时| n xa . 由于| | nn xaxa N1时 21 | k xa N2时 2 | k xa N 时| n xa 0，解不等式 |5212| 5|2|2| 5 xxx + += 取 5 = =，当0 |2|x , |5212|x + +0，(|2| 1x) 解不等式 2 |4| |2|xx 取min(1, ) = =，当0 |2|x , 2 |4|x 0， 解不等式 2 4 |4| |2| 2 x x x + +=+ + =+ + 取 = =，当0 |2|x +, 2 4 |4| 2 x x + + + + ，所以 2 2 4 lim4 2 x x x = + 。 二、 证明11) 14(lim 3 = x x ， 并求正数， 使得当 |3| x时， 就有001. 0|11) 14( |x. 证明：对任意， 解不等式 |4111| 4|3|3| 4 xxx = 取 4 = =，当0 |3|x , |4111|x , 2 1 |0| x , cos |0| x x 0，解不等式 2 222 1111 | 2122(21) x x xxx = + = , 2 2 1 | 212 x x 2) ，解不等式 2 111 |1| 11 x x xxx = = ,|1| 1 x x ， 当1xX 或2xX 时 ，|( )|f xA ,|( )|f xA 当 0 0 |xx 时，|( )| 1f xA。 即1( )1Af xA+，当 10 0 xx 或 02 0 xx 时 ，|( )|f xA 。 取 12 min(,) = =， 当 0 0 |xx ,|( )|f xA = kk xfkkx，当+x时，)(xf不是无穷大. 四、判断下列命题的正确性： （1）两个无穷小的和也是无穷小. （ ） （2）两个无穷大的和也是无穷大. （ ） （3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （ ） （4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （ ） （5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （ ） （6）无穷大与无穷大的积也是无穷大. （ ） 五、举例说明： （1）两个无穷小的商不一定是无穷小； （2）无限个无穷小的和不一定是无穷小. 解： （1）当0x时，1 sin x x ；0 2 x x （2）当n时，1 2 1 . 1 2 1 +0,根据不等式 =| 1 sin|0)(|x x xxf，取=，当= x x exf x ，任取0， 当0, 根 据 不 等 式 ln 1 ln 1 |0)(| 1 0，当Mx时，0lim= x x e，即 x exf=)(为无穷小. 学院 姓名 学号 日期 1.5 极限运算法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 8 一、算下列极限: （1）)423(lim 2 2 + xx x ； （2） 2 13 lim 2 2 1 + x xx x ； （3） 2 4 lim 2 2 x x x ； 解： （1）1242223)423(lim 22 2 =+=+ xx x ； （2）1 21 131 2 13 lim 2 2 1 = + = + x xx x ； （3）4 1 2 lim 2 4 lim 2 2 2 = + = x x x xx ； （4） 1 1 lim 1 x xn x （n是正整数） ； （5）) 1 1 1 3 (lim 3 1 xx x ； （6） h xhx h 33 0 )( lim + . 解： （4）nxxx x x nn x n x =+= ) 1.(lim 1 1 lim 21 11 ； （5） 3 1 1 2 lim 1 2 lim) 1 1 1 3 (lim 2 1 3 2 1 3 1 = + = = xx x x xx xx xxx ； （6） 222 0 322 0 33 0 3)33(lim 33 lim )( limxhxhx h hxhhx h xhx hhh =+= + = + . 二、计算下列极限： （1）) 1 2)( 1 3(lim 2 xx x + ； （2） 14 13 lim 2 2 + + xx x x ； 解： （1）6) 1 2)( 1 3(lim 2 =+ xx x ； （2） 4 3 /1/14 /13 lim 14 13 lim 2 2 2 2 = + + = + + xx x xx x xx ； （3） 15 1 lim 23 2 + + xx xx x ； （4） 110 53 lim 2 + + x xx x ； 解： （3）0 /1/15 /1/1/1 lim 15 1 lim 2 32 23 2 = + + = + + xx xxx xx xx xx ； 学院 姓名 学号 日期 1.5 极限运算法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 9 （4）= + + = + + 2 22 /1/10 /5/13 lim 110 53 lim xx xx x xx xx ； （5） 222 121 lim(.) n n nnn +； （6） 2 2 1. lim(| 1 | 1) 1. n n n aaa ab bbb + + ，； 解： （5） 2 1) 1( 2 1 lim) 1 . 21 (lim 2222 = + = + n nn n n nn nn ； （6） a b b a a b bbb aaa n n n n n n = = + + + + 1 1 1 1 1 1 lim .1 .1 lim 1 1 2 2 ； （7） 11 32 32 lim + + + nn nn n ； （8） 222 111 lim(.) 12 n nnnn + + . 解： （7） 3 1 3) 3/2(2 1) 3/2( lim 32 32 lim 11 = + + = + + + n n n nn nn n ； （8）1) 1 . 2 1 1 1 (lim 1 1 . 2 1 1 1 22222222 = + + + + + = + + + + + + ,分别求函数)(xf在1=x与1=x的左极限、右极限和极限. 解： 2 1 1111 lim( )lim (5)4, lim( )lim ( )1,lim( ) x xxxx f xxf xxf x + = = 不存在 2 1 1111 lim( )lim(5)4,lim( )lim( )1,lim( ) x xxxx f xxf xxf x + = =不存在 八、设 1 1 lim)( 2 2 + = n n n x x xf，试求)(xf的表达式. 解：当|x|1, 22 22 111/ ( )limlim1 111/ nn nn nn xx f x xx = + = + 当 x=1, 2 2 1 ( )lim0 1 n n n x f x x = + = + 所以 1 | | 1 ( )1| | 1 01 x f xx x = 学院 姓名 学号 日期 1.6 极限存在准则两个重要极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 12 一、利用夹逼定理求下列极限： （1） 222 111 lim(.) 12 n nnnn + + ； 解：因为 22222 111 . 121 nn nnnnnnn + + ， 22 limlim0 1 nn nn nnn = + 所以 222 111 lim(.)0 12 n nnnn += + （2） 222 111 lim(.) 12 n nnnnnnn + + ； 解：因为 22222 111 . 2121 nn nnnnnnnnnnn + + ， 22 limlim0 21 nn nn nnnn = + ，所以 222 111 lim(.) 12 n nnnnnnn + + 0= （3） 2 )(arctan 1 limx x x ； 解：因为 2 2 11 0 |(arctan ) | 4 x xx ， 2 1 lim0 4 x x =，所以 2 )(arctan 1 limx x x 0= 二、证明：332lim=+ nnn n . 证明：因为3233 2 nnnn +=， 证明 12 lim. nnn n m n aaaa +=. 证明：因为 12 . nnnn n m aaaaa m+0, 2 2 (1) (1)10 (1) 2 1 2 nn n n nnn ahh n n a h =+ + , 2 lim0 (1) 1 2 n n n n h = + = + ，所以0lim= n n a n 五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限： （1） 121 2 ,22,2 nn xxxx =+=+, .， .； 证明: (I)使用数学归纳法证明单调性: 1nn xx =成立; (2) 假设 1nn xx 成立, 则 111 22 nnnnnn xxxxxx + +成立. 所以数列单调增加. (II)使用数学归纳法证明有界性: 2 n x (1) 当 n=1 1 22x=成立; (2) 假设2 n x成立, 则 1 2222 nn xx + =+=成立. 所以2 n x. (III)设lim n n xa =， 11 2lim2lim22 nnnn nn xxxxaaa + =+=+=+= （2） 11 12 11 111 11 n n n xx xxx xx =+=+ + ， .， . 证明: (I)使用数学归纳法证明单调性: 1nn xx (1) 当 n=2, 显然成立; (2) 假设 1nn xx 成立, 则 11 11 1111 22 1111 nnnn nnnn xxxx xxxx + + 成立. 所以数列单调增加. (II) 1 1 22 1 n n x x = + (III)设lim n n xa =， 学院 姓名 学号 日期 1.6 极限存在准则两个重要极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 14 2 1 1115 2210 112 n n xaaaa xa + = + 六、设 11 xayb=，(0)ab， nnn yxx= +1 ， 2 1 nn n yx y + = + . （1）证明数列 n x单调增加，数列 n y单调减少且满足(1,2,.) nn xy n=； （2）证明数列 n x和 n y都收敛，并且有相同的极限. 证明： （1） 11 (1,2,.) 2 nn nnnnnn xy xx yyxyn + + + =； 1 22 nnnn nn xyyy yy + + + + + = = + = xf， 试 证 明 ： 存 在0， 使 )(0)( 00 +xf，取 00 1 ()0 2 f x = = ，存在0，当 00 xxx + 十 一 、 设)(xf和)(xg是 连 续 函 数 ， 试 证 明)()(max)(xgxfx，=和 )()(min)(xgxfx，=也是连续函数. 证明： ( )( ) |( )( )| ( )max ( )( ) 2 f xg xf xg x xf xg x + = + = +- ， +- ， ( )( ) |( )( )| ( )min ( )( ) 2 f xg xf xg x xf xg x = = +- ， +- ， 十二、 （1）在点 0 x处)(xf连续,)(xg不连续,则( )( )f xg x+和( ) ( )f x g x在点 0 x是否不 连续？ （2）设)(xf和)(xg在点 0 x不连续，则( )( )f xg x+和( ) ( )f x g x是否在点 0 x不连续？ 解： （1）( )( )f xg x+不连续(反证)；( ) ( )f x g x不一定连续：)(xf=0，)(xg=sgn(x)(x=0) （2）( )( )f xg x+和( ) ( )f x g x不一定连续: 1010 ( ), ( ),( )( )0,( ) ( )1 1010 xx f xg xf xg xf x g x xx =+= =+= ，至少有一个不超过ba+的正根. 证明：令( )sinF xxaxb=， (0)0,()sin()1sin()0FbF ababaabbaab= ，至少有一个不超过ba+的正根. 四、三次方程0396 23 =+xxx有多少个实根？并指出实根所在区间. 解：令 32 ( )693F xxxx=+=+， 2 ( )31293(1)(3)0Fxxxxx = =+=+= (1)1,(3)3FF= = 有三个实根，分别位于区间(,1),(1,3),(3,) +. 五、设)(xf和)(xg在,ba上连续，且( )( )f ag a . 试证：在),(ba内至少存在一点c，使)()(cgcf=. 证明：令( )( )( )F xf xg x=，( )( )( )0,( )( )( )0F af ag aF bf bg b= =， 在),(ba内至少存在一点c，使( )0F c= =)()(cgcf=. 学院 姓名 学号 日期 1.10 连续函数的性质 四川大学数学学院高等数学教研室编 23 六、设)(xf在,ba上连续， 12 . n axxxb. 试证：存在 1n xx，使 12 1 ( ) ()().() n ff xf xf x n =+. 证明：设 1212 min (),(),.,(),max (),(),.,() nn Af xf xf xBf xf xf x=，所以 12 1 ()().() n Af xf xf xB n 0 时， 0 1 limsin0(0) x xf x =，连续； （2）当1 时， 1 00 1 sin0 1 (0)limlimsin0 xx x x fx xx = =可导. 九、设)()()(xaxxf=，其中)(x在ax=处连续，求)(a f . 解: ( )( ) ( )limlim ( )( ) xaxa f xf a faxa xa = = 十、设)10()2)(1()(=xxxxfL，求)10( f . 解: ( )(2).(10)(1)(3).(10) (1)(2)(4).(10).(1).(9) fxxxxxx xxxxxx =+ + =+ + , (10)9!f= 十一、已知 = 0, 0,sin )( xx xx xf，求)(x f . 解: cos ,0 ( ) 1,0 xx fx x = = 十二、求曲线xyln=在点) 1 ,(e处的切线方程. 解: 1 (ln ) |x ex e = = =,切线方程: 1 1()0yxexey e = 十三、求曲线 x ey =经过原点的切线方程. 解: 0 () |1 x x e = = =,切线方程: yx= = 十四、设)(xf为偶函数，)0(f存在，证明：0)0(=f，并用函数图形解释其几何意义. 解: 00 ( )()0 (0)limlim0 22 xx f xfx f xx = =,偶函数在 x=0 出导数为 0 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则 (1)导数的四则运算 四川大学数学学院高等数学教研室编 26 一、求下列函数的导数： （1） 223 43axxxy+=； 解: 2 364yxx = + = + （2）1sincos4sin3+=xxy； 解: 3cos4sinyxx = + = + （3）xxxy 2 log5lg2ln+=； 解: 125 ln10ln2 y xxx = + = + （4）) 1 1 )(1(+= x xy； 解: 11111 (1)(1) 22 yxxy xxxxx =+= =+= （5） 2 1 ln x xx y + =； 解: 222 22222 (ln1)(1)2ln11 ln (1)1(1) xxxxx yx xxx + = =+ + + = =+ + （6）xxxycosln 2 = 解: 2 2 lncoscoslnsinyxxxxxxxx = + = + 2. 设xxxfarctan)1 ()( 2 +=，求)0(f. 解: ( )2 arctan1,(0)1fxxxf=+=+= 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则(2)复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 27 一、求下列函数的导数： （1） 5 )63(+=xy； 解: 4 15(36)yx = + = + （2）xy2sin3=； 解: 2 6sin 2yx = = （3） 22 xay=； 解: 22 2x y ax = = （4）)ln( 22 xaxy+=； 解: 222222 121 (1) 2 x y xaxaxax = += + = += + （5）)arctan( 3 xy=； 解: 2 6 3 1 x y x = + = + （6） x ey 1 cos2 =. 解: 22 11 coscos 22 11112 ( 2cos)( sin)()sin xx yee xxxxx = = = = 二、设函数可导，证明： 偶函数的导数是奇函数； （2）奇函数的导数是偶函数； （3）周期函数的导数是周期函数. 证明： （1）设函数 f(x)为偶函数，导数，则 00 ()()()( ) ()limlim( ) hh fxhfxf xhf x fxfx hh + = + = （2）设函数 f(x)为奇函数，导数，则 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则(2)复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 28 00 ()()()( ) ()limlim( ) hh fxhfxf xhf x fxfx hh + = = + = = （3）设函数 f(x)为周期为 T 的周期函数，导数，则 00 ()()()( ) ()limlim( ) hh f xhTf xTf xhf x fxTfx hh + += + += 三、设)(xf可导，求下列函数的导数： （1）)( 2 x efy = 解: 2222 ()( 2 )2() xxxx yfeexxefe = = （2）) 1 (arcsin x fy=. 解: 2 22 2 111|1 (arcsin)()(arcsin) 1 1 1 x yff xxx xx x = = 四、求下列函数的导数： （1）xxy+=； 解: 11 (1) 2 2 y x xx = + + = + + （2）)21arcsin(xy=； 解: 22 21 1(12 ) y xxx = = = = （3） x x y 2sin1 2sin1 + =； 解: 22 1sin2sincos ()ln2ln(sincos )2ln(sincos ) 1 sin2sincos xxx yyxxxx xxx + =+ + =+ 22 (cossin )(cossin ) sincossincos y xxxx yxxxx =+ + =+ + 3 3 2(sincos )2(sincos ) cossin(sincos ) xxxx y xxxx + = + = 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则(2)复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 29 （4）)tanln(secxxy+=. 解: 2 1 (sectansec)sec sectan yxxxx xx = += + = += + 五、设)()()(mxbfmxbfxg+=，其中f可导，求)0(g. 解: (0)()()gm fbmxfbmx=+=+ 六、求) 4 tan( 2 x y =在(1,1)处的切线方程. 解:切线方程 22 2 11 1tan() |(1)sec ()|(1)(1) 424 1(1) xx xxx yxxx yx = = =+ = =+ 七、求 x y 1 =的经过(2,0)的切线方程. 解:设切点为(t,1/t), 切线为 2 11 ()yxt tt = = ,带入(2, 0),1t= =,切线为2yx+=+= 学院 姓名 学号 日期 2.3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 30 一、求下列函数的二阶导数： （1）xxyln=； 解： 1 ln1, yxy x =+=+= （2）xxyarctan)1 ( 2 +=； 解：2 arctan1, 2arctan2yxxyx=+=+=+=+ （3）)cos(ln)sin(lnxxxy+=； 解： 2 sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )2cos(ln ), sin(ln )yxxxxxyx x =+= =+= （4） x xy=. 解： 21 (ln1), (ln1) xxx yxxyxxx =+=+=+=+ 二、求下列函数的 n 阶导数： （1） 12 121 . nnn nn yxa xa xaxa =+ 解: y(n) = n! （2）)sin(baxy+= 解: cos()sin() 2 yaaxbaaxb = +=+ = +=+ 22 cos()sin(2) 22 yaaxbaaxb = +=+ = +=+? ? ( )( ) sin() 2 nn yaaxbn =+=+? ? （3） bax y + = 1 学院 姓名 学号 日期 2.3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 31 解: 12 11111 ()( 1)() bb yxyx b axbaaaaa x a =+= + + + =+= + + + 3( )1 1( 1)! ( 1)( 2)()() n nn bnb yxyx aaaa = +=+ = +=+ （4） x x y + = 1 1 解: 12 12 12(1)12( 1)(1) 11 x yxyx xx =+ =+ + =+ =+ + 3( )1 2( 1)( 2)(1)2( 1)!(1) nnn yxynx =+=+=+=+ 三、设)(xf二阶可导，求函数的二阶导数y ： （1）)(sinxfy=； （2） )(xf ey= 解: （1） 2 (sin )cos ,(sin )cos(sin )sinyfxx yfxxfxx= （2） ( )( )2( ) ( ),( )( ) f xf xf x yefxyefxefx=+=+ 四、求函数 3x yx e=的 15 阶导数. 解: 3 (15)3(15)3 ( )32 0 ()()(366) xxkx k yx eexexxx = =+ 五、设)(xf在),(+内有连续的二阶导数，且0)0(=f.设 = = 0, 0, )( )( xa x x xf xg （1）确定a的值，使)(xg在),(+内连续； （2）求)(xg. 解： （1） 0 ( ) (0)lim(0) x f x agf x = （2）当0 x ， 2 ( )( ) ( ) xfxf x g x x = =； 当0 x= =， 2 000 ( )(0)( )(0)11 (0)limlimlim()(0) 22 hhh g hgf hfh gfhf hh = 学院 姓名 学号 日期 2.3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 32 六、试从公式 ydy dx = 1 导出下列反函数的高阶导数公式： 32 2 )(y y dy xd =； （2） 32 35 3() () d xyy y dyy = = . 证明: （1） 2 223 11 ()()/ ()() d xddxddyyy dydy dydx ydxyyy = = = = ? ? （2） 322 3235 3() ()/ ()() d xdd xdydyyy y dydy dydxydxy = = = = 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 33 一、求下列方程所确定的隐函数yy（x）的导数 dx dy ： （1）xyyx6 33 =+； 解: 2 3322 2 2 63366 2 dydydyyx xyxyxyyx dxdxdxyx +=+=+= +=+=+= （2）xyyxcos)sin( 2 =+； 解: 22 sin()cossin()(1)2 cossin dydy xyyxxyyxyx dxdx +=+=+=+= 2 sin()sin 2 cossin() dyxyyx dxyxxy + = + = + + （3） x y yxarctan)ln( 22 =+. 22 2222 22 2 ln()arctan 2 dydy xyxy ydyxy dxdx xy xxyxydxxy + + + += + += + 二、求曲线 242 5xxy=在点(1, 2)处的切线方程. 解: 3 242 (1,2) 109 5| 2 dyxxdy yxx dxydx = = 切线方程: 9 2(1)9250 2 yxxy = 三、证明：曲线ayx=+上任意点处的切线在两坐标轴上的截距之和恒为a. 证明：曲线ayx=+上任意点(x,y)处的切线() y YyXx x = = ,两坐标轴上的 截距之和 2 ()()2()xyxxyyxyxyxya+ +=+=+=+=+=+= 四、设函数)(xyy=满足方程yyxexy=+)sin( 2 ，试求)0(y. 解： 222 sin()()cos()(2) xyxy ex yyeyxyx yxyx yy +=+=+=+= 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 34 011xyy= 五、列函数的导数： （1） x xy =； 解: ln ln (ln )() 2 xxxxx xx yxeyxxxyx xx =+=+ （2） x xy)(ln=； 解: lnln 1 (ln )(ln ) ( lnln )(ln ) (lnln) ln xxxxx yxeyxxxyxx x =+=+ （3） x x y + = 1 1 ； 解: 2 111 11111 lnln(1) ln(1) 122 11111 xxx yyxxy xxxxxx + =+=+= + + =+=+= + （4） 3 2 2 ) 1( ) 1( + = x xx y. 解: 22 2 33 222 (1)11(1) 122 lnlnln(1) 2ln(1) (1)33(1)11 x xx xx yyxxxy xxxxx + =+=+ + + =+=+ + 六、设 xy yx=，求 dx dy . 解: ln lnlnlnln ln yx y y dyyx dydy x xyyxxyxy x dxxy dxdx x y =+=+= =+=+= 七、求隐函数的一阶导数 dx dy 和二阶导数 2 2 dx yd ： （1）16 44 =+yx； 解: 3 4433 3 16440 x xyxy yy y +=+= +=+= 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 35 23322462 677 3348 3 x yx y yx yxx y yyy + = = = + = = = （2）3+=xyey. 解: 3 3 yy y yy exye yyxyyy exxyx =+=+=+=+= + 2 23 (3)(1)(2)(3) (3)(3) xyxyy yxyyyxyxxy y xyxxyx + = = + + = = + 八、已知1= y xey，求 2 0 2 |x d y dx = . 解: 1,010(0) 1 y yyy y e yxexyyexe yyye xe = = 2 2 (1)() (0)2 (1) yyyyy y e yxeeexe y yye xe + = + = 九、求参数方程所确定的函数)(xyy=的导数， dx dy ： （1）15313 353 +=+=ttyttx，； （2）teytex tt cossin= ，； （3） 2 arcsin 1 t x t = + ， 2 1 arccos 1 y t = + . 解： （1） 42 2 2 1515 5 33 dytt t dxt + = + + = + （2） 2 cossin cossin tt t tt dyetet e dxetet = = （3） 22 sin2 sincos1 sin2 dyx xy dxy += =， 2 1 arccos 1 y t = + 十、求 2 3 1 at x t = + ， 2 2 3 1 at y t = + 在2=t处的切线和法线的方程. 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 36 解：曲线导数为 2322 2222 6(1)63 (1)6 2 (1)(1) dyattatatat t ttdx + = + 在2=t处： 612 ,4 55 aa dy xy dx =，切线方程： 126 4() 55 aa yx= 法线方程： 1216 () 545 aa yx= 11. 设 23 btyatx=，求 dy dx ， 2 2 d y dx . 解： 2 22 1 33