（基础数学专业论文）哈密顿系统的gkn理论及谱与振动性.pdf

山东大学博士学位论文 哈密顿系统的g k n 理论及谱与振动性 郑召文 ( 山东太学数学与系统科学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 摘要 哈密顿( h a m i l t o n ) 系统的理论自建立以来，一直是非线性科学领域的一个重要组 成部分由于哈密顿系统广眨的存在于数理科学、生命科学以及其它的许多科学领域， 特别是天体力学、量子力学、航天科学以及生物工程中的许多数学模型都是以哈密顿 系统的形式出现的，因此对该领域的研究多年来一直长盛不衰，而今已成为非线性科 学领域中的个最具有发展潜力的研究领域之一 虽然几乎所有由实际阅题所产生的啥密顿系统都是非线性的，但在许多情况下需 要研究其在平衡点或周期解附近的解的各种性质，这样，就需要对非线性哈密顿系统 进行线性化，线性化的哈密顿系统虽然不是实际问题的真实反映，但却可以反映实际 问题的比较精确的性质，并且，在一定的范围内，所研究的问题的解是稳定的本文 所研究的就是线性哈密顿系统， 对微分算子谱问题的研究可以分为奇异和非奇异两大类定义在有限区间上的非 奇异的谱问题的研究已相当完善，至今已形成完整的理论体系，如特征值问题、特征 函数的正交性、( 权) 平方可积函数关于特征函数系的展开定理、r a y l e i g h 原理以及正 交多项式理论等，对非奇异的谱问题的研究，又可以分为两类，一是定义在有限区问 上的，系数函数在端点处( 有限端点) 有某些奇异性，二是定义在无穷区间上的，如量 子力学、最优控制中的一些问题就是在无穷区间上考虑的同非奇异的谱问题相比， 这些问题的谱除了点谱外，还可能有本质谱 研究奇异微分算子的谱的方法，可分为分析法和算子法，分析法是根据解析函数理 论分析预解式、利用g r e e n 函数和微分方程解的渐近性质来判断微分算子谱的性质 这方面的工作以t i t c h m a r s h 和w e y l 为代表在t i t c h m a r s h 的经典著作中( 见 1 6 】) ，我 们可以看到，在谱的定性分析中这种“硬分析”的方法表现出的高度的技巧性和工作 的艰巨性对于高阶的微分算子，分析的方法依然可以奏效( 见 4 0 i ) 正是利用此方 法，綦建刚( 见 7 8 】) 研究了线陛哈密顿系统的t i t c h m a r s h - w e y l 理论算子法也称为 赢接法，其理论基础是h i l b e r t 空间中的闭线性算子的谱理论和关于全连续摄动的h w e y l 理论 对奇异微分算子的结构的研究，主要采用“软分析1 的方法，即由g l a z m a n ，k r e i n 和n a i m a r k 所刨立的g k n 理论g k n 理论所采用的工具是复辛几何和复辛代数， 首先给出合适的h i l b e r t 空间，在此空间中定义了两个算子：最大算子和最小算子，然 后讨论了最小算子的自伴扩张的存在性与亏指数之间的关系，最后给出最小算子的自 伴扩张与l & g r a n g e 辛子空间之间存在一对应的关系 本文研究了线性哈密顿系统的谱理论中的几个方面，主要是研究了哈密顿系统的 山东大学博士学位论文 g k n 理论，本质谱下方有界与振动性之间的关系以及哈密顿系统振动性的充分条件， 取得了一系列的成果这些结果进一步完善了哈密顿系统的谱理论，也为研究其他的 谱问题，如离散哈密顿系统的谱理论，打下了良好的基础 本文可以分为三部分 ( 一) 第一部分包括本文的第一章，主要给出了哈密顿系统的最大算子日、最小 算子h 的定义及它们之间的关系，即h + = h ，h 4 = h 给出了最小算子h 的自伴扩张 的全体 k ) 与商空间d ( 日) 归( ) 的l a g r a n g ed - 子空间的一一对应关系，即g k n 理论这一结果是纯量方程在高维哈密顿系统上的非平凡推广，当权函数矩阵秩为1 时，包含了wn e v e r i t t 和l m a r k u s ( 见【7 2 ， 7 3 】) 的关于常微分算子的g k n 理论 ( 二) 第二部分包括本文的第二章至第四章，主要研究了哈密顿系统的谱与振动性 之间的联系 利用p r u f f e r 变换( 极坐标变换) 研究二阶微分方程的振动性是非常有用的一种方 法，w m w h y b u r n 利用这种方法研究了二阶非线性微分方程解的性态，j hb a r r e t t ( 见 3 4 ) 和w t r e i d ( 见 7 4 ) 首次对矩阵微分系统引入p r u f f e r 变换我们在第二章 给出了哈密顿系统的p r u f f e r 变换，研究了哈密顿系统的振动性，并给出了哈密顿系统 振动性的一些条件 下方有界的微分算子的本质谱下方有界与相应的微分方程的振动性之间有密切的 关系n d u n f o r d 和j t s c h w a r t z ( 见 4 6 ) 讨论了二阶，gl m ：l a s ( 见 2 8 ) 讨论了2 n 阶微分算子的本质谱下方有界与相应的微分方程的振动性之间的关系在第三章中， 我们给出了哈密顿算子本质谱下方有界与相应的哈密顿系统振动性以及对应的二次泛 函之间的一个充分必要的条件当权函数矩阵秩为1 时，它包含了以上提到的结果 在此基础上，第四章给出了谱离散且下方有界( 即谱性b d ) 的充分必要条件，并利用 二次型比较的方法，给出判断哈密顿算子的谱性b d 的一个纯系数的充分必要条件， 它推广并包含了e m u l ! e r p f e i f f e r ( 见 1 8 ) 的结果 ( 三) 第三部分包括本文的第五章微分方程的振动性理论一直是数学工作者的一 个重要的研究课题，( 见 3 1 1 6 ，f 3 3 ， 5 5 】等) ，积分均值的方法在研究微分方程的振动 性理论中被广泛的应用( 见 2 2 ， 2 5 2 7 h 3 1 ， 3 4 1 ， 3 6 ， 3 8 等) ，在这一章中，我们也主 要是利用了这一方法利用r i c c a t i 变换，并结合利用矩阵分析的技巧，给出了哈密顿 系统振动性的区间判别法以及y a n 型判别法区间判别法只依赖于系数矩阵在某些子 区间上的性质，而对剩余的子区间上的性质不予考虑，从而可以判断一类更广泛的哈 密顿系统的振动性；而y a n 型判别法改进了著名的k a m e n e v 判别法所得的结果推广 改进了i s k u m a r i 和s u m a m a h e s w a r a m ( 见 3 2 】) 的结果这些判据进一步补充、完 善了哈密顿系统的振动性理论 关键词：哈密顿系统，g k n 理论，本质谱，振动性，谱性b d 儿 山东大学博士学位论文 g k nt h e o r y s p e c t r aa n do s c i l l a t i o n f o rl i n e a rh a m i i j t o n i a ns y s t e m s z h a o w e nz h e n g ( s c h o o lo fm a t h a n ds y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h et h e o r yo fh a m i l t o n i a ns y s t e m sh a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nm a t h e m a t i c s a s w e l la si np r a c t i c a la p p t i c a t i o n sf o ro v e rt w oc e n t u r y b e c a u s eo fi t sw i d e l yu s ei nq u a n - t u r nm e c h a n i c s la e r o p l a n es c i e n c ea n dl i f es c i e n c e ，t h er e s e a r c ho fh a m i l t o n i a n s y s t e m sn o w b e c o m e s ap r o s p e r o u sp r o j e c t t h er e s e a r c ho fs p e c t r u mf o rl i n e a rh a m i l t o n i a no p e r a t o rc a nd i v i d ei n t ot w oc l a s s i f i c a t i o n s f i r s t ，t h o s ed e f i n e do v e rf i n i t ei n t e r v a l sw i t hw e l l b e h a v e dc o e f f i c i e n t sa r ec a l l e d r e g u l a r t h e i rs p e c t r aa r ed i s c r e t e ，e i g e n f u n c t i o n sa r em u t u a l l yo r t h o g o n a l ，as q u a r ei n t e - g r a b l ef u n c t i o nc a ne x p a n da c c o r d i n gt ot h ee i g e n f u n c t i o n s y s t e m s a n o t h e rp r o b l e m sa r e c a l l e ds i n g u l a r t h e s i n g u l a r i t ym a y o c c u ro nt h eb o u n d a r i e so ff i n i t ei n t e r v a l s ，o ro ni n f i n i t e i n t e r v a l sf o re x a m p l e ，s o m ek n o w np r o b l e m si nq u a n t u mm e c h a n i c sa r ec o n s i d e r e di na n i n f i n i t ei n t e r v a l t h o s e s p e c t r ap r o b l e m sa r ed i f f i c u l tt od i s c u s sa n di n t e r e s t i n g b e c a u s et h e i r s p e c t r am a y h a v ee s s e n t i a ls p e c t r a m o r et h a n p u r e l yp o i n ts p e c t r a ，a n da sar e s u l th a v eo n l y b e e ne x a m i n e dc l o s e l yd u r i n gt h el a s tc e n t u r y ， t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h eg k n t h e o r y ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ne s s e n t i a ls p e c t r a a n do s c i l l a t i o nf o rl i n e a rh a m i l t o n i a n o p e r a t o m a n d o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rl i n e a rh a m i l t o n i a n s y s t e m s g k n t h e o r yi sn a m e di nm e m o r yo fg l a z m a n ，k r e i na n dn a i m a r k ，t i l em o s tk n o w n s c i e n t i s t si ns o v i e t g k n t h e o r yg i v et h eb a s i ca l g e b r a i cp r o p e r t i e sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ，w h i c hi n v o l v ec o m p l e xs y m l e c t i cs p a c e sa n dt h e i rl a g r a n g i a ns u b s p a c e s ，w h i c h d e f i n e di na c c o r dw i t hm o t i v a t i o n sf r o ml a g r a n g i a nc l a s s i c a ld y n a m i ca n df r o mo r d i n a r y d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s g k nt h e o r yd e t e r m i n e sa l ls e l f - a d j o i n te x t e n s i o n so fm i n i - o p e r a t o ri n t e r mo fg e n e r a l i z e db o u n d a r yc o n d i t i o n si m p o s e do nt h ee l e m e n t so ft h em a x i m a ld o m a i na t t h ee n d - p o i n t s t h i si so n eo ft h em a j o rt h e o r e m so ft h et h e o r yo fl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ，p a r t i c u l a r l yi nv i e wo ft h ef a c tt h a tt h ec o n d i t i o n so ft h em a i nt h e o r e ma r eb o t h n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t i nc h a p t e r1 w ed e d u c et h eg k n t h e o r yf o rl i n e a rh a m i l t o n i a n o p e r a t o r s ，w h i c hg e n e r a l i z et h i sk n o w nt h e o r y t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ne s s e n t i a ls p e c t r aa n do s c i l l a t i o nf o rs e c o n do r d e ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra r ed i s c u s s e di nt h eb o o ko fn d u n f o r da n dj t s c h w a r t z 4 6 1 ，l a t e r b eg e n e r a l i z e dt oh i g ho r d e rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so fo r d e r2 nb yg l a d a s 2 s i nc h a p t e r 3 ) w eg e n e r a l i z et h i st h e o r yt ol i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s m o r e o v e r ，w ea l s od i s c u s sb d 山东大学博士学位论文 p r o p e r t i e sf o rl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s w h i c hi s t h ea b b r e v i a t i o no fb o u n d e db e l o wa n d d i s c r e t ea n dc o n s i d e r e db ym a n ya u t h o r sf o rl i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ) f o re x a m p l e ， 1 8 2 1 2 4 3 0 t h eb dp r o p e r t i e sf o rl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m sa r ed i s c u s s e di nc h a p t e r4 一jg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np r o p e r t yb da n do s c i l l a t i o n m o r e o v e r as u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rp r o p e r t yb d w h i c hi n v o l v i n gt h ec o e f f i c i e n t so n l yi s g i v e nt h e r e o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rl i n e a rh a m i l t o n i a n s y s t e m s a r ed i s c u s s e di nc h a p t e r5t h e r ea r e n l a n yo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o fl i n e a ro rn o n l i n e a r ，a n ds e c o n d o r d e rm a t r i xd i f f e r e n t i a ls y s t e m s s o m eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rl i n e a rh a n f i l t o n i a ns y s t e m sa r e g i v e nb yw ac o p p e l 6 7 a n di s k u m a r ie t a l a 2 u s i n gr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n dt h e m e t h o d so fm a t r i xa n a l y s i s ，w eg i v e st w ok i n do fo s c i l l a t i o nc r i t e r i a o n ei si n t e r v a lc r i t e r i o n w h i c hr e l yo nt h ep r o p e r t i e so fc o e f f i c i e n t so ns o i u ei n t e r v a l s ，a n dt h ep r o p e r t i e so ft h e r e l n a i n d e rp a r t sm a y “b a d ”，t h eo t h e ri so s c i l l a t i o nc r i t e r i o no fy a nt y p e ，w h i c hg e n e r a l i z e o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n do r d e rm a t r i xd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h e s eo s c i l l a t i o nc r i t e r i a e n l a r g ea n dc o n l p l e t et h et h e o r i e sf o rh a m i l t o n i a ns y s t e m st os o m ed e g r e e k e y w o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m g k n t h e o r y j e s s e n t i a ls p e c t r u m ， o s c i l l a t i o n ，p r o p e r t yb d l v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：p 盟 日期：塑! i ，丝 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 k 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：兰阻导师签名：e 垒缱日期：丝! i ：! ：乡一 山东大学博士学位论文 符号说明 拟微分算子 y 的n 阶拟导数 o l a z m a n ，k r e i n ，n a i m a z k 哈密顿系统的权函数矩阵 辛形式( 辛内积) 实数轴上的某一区间a ，轨其中一n 0 4 0 d i a g ( a ，a 2 d e t a n e k 矩阵a 的迹 矩阵a 的最大特征值 矩阵a 的最小特征值 对称矩阵a 半正定 对称矩阵a 正定 a 。)对角线上的元素为0 h 0 2 ，a 。的对角矩阵 矩阵a 的行列式 n 阶单位方阵 标准的2 n 2 n 辛矩阵 n 阶方阵，右上角分块矩阵为厶，其余的块矩阵为0 v l 山东大学博士学位论文 第章哈密顿系统的g k n 理论 1 1 引言 奇异微分算子的谱问题是常微分算子理论中最重要的内容之一由于微分算子的 谱理论与应用联系密切，待别是奇异微分算子谱理论是解决许多量子力学问题，流体 的稳定性以及数学物理中的反问题的数学工具，因此受到数学、物理工作者的广泛关 注对奇异微分算子的谱问题的研究，从二阶到高阶，从不加权到加权，从实系数到 复系数，取得了众多的结果，也提出了一些新的问题 对拟微分算子 w - 1 m i v = i n w 一1 9 努 谱问题( 其中m a 为拟微分算子，掣为拟导数( 见 7 2 ) ，w ( x ) 0 ae 于工= ( n 、b ) c r ) 的研究，有几种不周的方法：一是分析的方法，即古典的w e y l k o d a i r a - t i t c h m a r s h 谱理 论，它主要采用解析函数的理论来分析预解式，g r e e n 函数和微分方程解的渐近性质 来判断微分算子的谱的性质二是利用h i l b e r t 空间中闭线性算子的谱理论和关于全连 续摄动的hw e y l 理论，即由w - 1 m a 在合适的复h i l b e r t 函数空间( 通常取工：，( 工) ) 上 生成自伴算子，由自伴算子的理论来研究由于这种方法在某种程度上接近于数学物 理中的直接方法，因此也称之为微分算子谱理论的直接方法三是通过合适的边界条 件来刻画这些自伴算子的集合，所采用的工具是复辛几何和代数，即由g l a z m a a ，k r e i n 和n a i m a r k 所创立的g k n 理论它给出了线性常微分方程边值问题和h i l b e r t 空间上 的宕伴算子之闽的代数结构 由w - 1 m 生成的微分算子的g k n 理论最早出现在n m m a x k 所著的l i n e a r d i f f e t e n t i a lo p e r a t o r s ( 见【4 0 ) 中g k n 理论首先证明了在加权h i l b e r t 空间工：( z ) 上存在 两个无界微分算子，即最大算子乃和最小算子邛，它们具有如下的性质： ( a 7t o 和丑如下定义： v ( t i ) ：= ，：z _ c l s 口( a ) ，”一1 m i f l 2 w ( z ) ， t , f ：= - 1 朋a 【，】：，口( 丑) ， v ( t o ) ：= ，口( 乃) f ，g 】 ( 6 ) 一驴，拼 ( 。) = o ，v g d ( 噩) t o l ：= u - 1 m a ，v ( t o ) ， 这里，h 】a 为_ d ( a ) d ( a ) 到c 上的反对称双线性型； ( b ) 口( 墨) 在瑶f 刃中疆，口( 乃) 口陬) 且乃s 是； ( c ) 如在：( z ) 中为闭对称算子，丑在玩( z ) 中为闭算子； ( d ) 嚣= t l ，对= t o ，表示l 0 ( z - ) 中的伴随算子； ( e ) 若而的亏指数为( d + ，d - ) ，则0 d + ，d 一n 由对称算子的一般理论可知，最小算子乃在三知上存在自伴扩张当且仅当正 负亏指数相等g k n 理论通过在口( t 1 ) 上强加在区间z 的左端点n 和右端点b 处不 山东大学博士学位论文 同的边界条件，决定出的所有自伴扩张，这是常微分算子理论中一个重要的定理 特别的，由定理的叙述中可得，g k n 理论给出的条件是充分必要的在此，我们引入 这个定理( 见f 4 0 0 定理11 1 ( g l a z m a n k r e i n n a i m a r k ) 假设m a 及l 知( z ) 如上定义，最小算子 r ! 碍，( z ) 上有相同的正负亏指数，即d + = d 一：= d ，则有如下结果：( 1 ) 设一族函数 ， ，l 茎isd ) l 乱( z ) 满足 ( i ) 觑口( t 1 ) ，1 i d ， ( i i ) 岛：1 i d ) 在_ d m ) 归( t o ) 上线性无关， ( i i i ) 反) 满足对称条件岛 a ( 6 ) 一 岛，觑 a ( n ) = 0 ，1 i ，j d ， 定义 d = ，口( 丑) l i ，卢d a ( b ) 一 ，岛 a ( o ) = 0 ，1 茎i d ) ， 以及算子k ：d ( k ) _ l 知( 工) ，其中，v ( k ) = d ，k ：= w 矗1 川a 【孔则k 为如的一个 自伴扩张 ( 2 j 反过来，若k 为马的一个自伴扩张，则存在一族函数愠：1 i d ) 满足( i ) - ( i i i ) ， 使得d ( k ) 可以写成如上的形式 1 9 9 2 年，e v e r i t t 和z e t t l ( 见f 7 1 1 ) 将g k n 理论推广到具有复系数的任意阶的拟 微分算子，并且讨论了具有可数多个区间的拟微分算子的g k n 理论，从而包含了定 义在实轴上的具有可数多个孤立奇异点的势函数的二阶s c h r 6 d i n g e r 方程由于论所讨 沦的空间是复辛空间，而复辛空间是l a g r a n g e 经典力学的实辛空间的非平凡推广，因 此，叉进一步推进了g k n 理论的研究 但是，对于哈密顿系统，最大算子、最小算子以及相应的g k n 理论，目前还没有 这厅面的结果本章将给出哈密顿系统的最大算子，最小算子的定义及关系，并给出 哈密顿系统的g k n 理论 1 2 辛空间与l a g r a n g e 子空间 定义1 2 1 复线性空间s ，以及定义在乘积空间s s 上的复值函数 s s 斗c ，x ，y _ ：y ， 称为一个预辛空间，若满足 ( 1j ( 共轭双线性性) 【z ：x + y = z ：x 】+ z ：y 】 【x + y ：z = 【x ：z + y ：z 】 【p x ：y = 卢i x ：l ， ，【。：肛y 】= 芦 x ：y 】 对任意的x z s 及p c 都成立 ( 2 ) ( 反对称性) x ：y = 一：x ，v x ，y s 2 山东大学博士学位论文 若s 还满足 ( 3 ) ( 非退化性) v y s ，【x ：y 】= 0 ；x = 0 ， 则称s 为一个辛空间，【： 称为s 上的辛形式 由于复辛空间s 在形式上与一个厄米内积空闻类似，通赏我们也弥 ：】为辛内 积，若瞵y - 0 ，也称x ，y 辛正交另外须指出的是，辛空间的线性子空间未必是 辛子空间，因为非退化性未必满足 定义12 ，2 ，设( s ， 】) 为一个复的预辛空间，s 的一个线性子空间l 称为l a g r a n g e 子空间，若满足 x ：y 】= 0 ，v x ，y l 进一步，s 的一个l a g r a n g e 子空间l 称为是完全的，若满足 x s ( x ：5 1 = 0jx l ， 1 3 哈密顿系统的最大最小算子的定义 考虑线性哈密顿系统 fz = a ( t ) x + b ( t ) “ lu = ( g f ) 一a 岛( t ) ) z a + ( t ) u 。 或等价地 l y ：= j y 一w = a g( 12 ) 的边值腻其忙( x ) 7 = u( j ：) ，= ( 案九彳 岛= ( 譬：) 。j = ( ；j ) 为反对称矩阵，t ei = c n u 一。 一。， a ( ) ，b ( t ) ，c ( t ) ，c o ( t ) 为工上的n n 复的矩阵值函数，b ，g ，瓯为厄米矩阵，c k 正 定称1 为形式哈密顿算子，它的定义域为： 口( ；) = 9 ：工- c 2 “1 9 a c l 。( z ) ， 其中a c i 。( z ) 表示区间z 上的局部绝对连续的2 n 维向量函数的全体 定义l3 1 ，称系统是可控的，若z = 0 ，t z t z 总有。= = o ，t 工称 2 n l 向量函数，( t ) 是“平方可积”的，若丘，+ ( t ) w ( t ) f ( t ) d t 0 ，故存在正定矩阵r ( t ) ， 使得r 2 ( ) = g ( ) 。令形= 毋，定义从三影( z ) 到三茹口) 上的变换u 如下： v y l 品( 工) ，研们( ) = 雪= d i a g ( 尺，厶一，厶一 只一1 1 可( t ) ( 1 4 ) 为，方便起见，记r ，c t ，= ( m 。t 厶0 一。) 。，则 ( “川( ) ) 2 上既谚吼 = ( 鼍1 善。) 形( 言：。) v - 2 厶蝣w l2 ( y l ，2 ) l 知 故u 为l 缸( 工) 到三斋( z ) 上的线性等距影射，从而u 一1 存在，且 眯，= ( r 兄孙。 对l 乱( z ) 上的任一由l 生成的算子t ，令工琵( 工) 上的算子于= u t u ，则于为由 可：= j 9 7 一粕 山东大学博士学位论文 在工专( 工) 上生成的算子，其中 面= ( 。r 誓蕊i 。( j 由于l 知( z ) 和l 舅( z ) 酉等价，从而若t 在二乱( z ) 中自伴，则于在工静( z ) 中也必定 自伴，反之也成立f 的自伴边值条件也可由f 的自伴边值条件得到事实上，若f 满足 左边界条件( 不妨假设左边界是正则的且假设a = o ) ，n ( o ) = 0 ，o = ( n l ，。2 ) ，其中c 玑。2 满足d 1 。；+ 口2 d i ：o ，0 1 ：+ 0 2 d ；：j ，且r a n kf q 1 l ：n ，也即1 。( o ) + a 2 u ( o ) = o 由于 0 2 圹( 乞10 ，) ( i ) ，故上式可化粕那m 硼，其帆一巾， 卢2 = 啦r 1 ( o ) 显然卢。，岛也满足自伴条件。即上式为f 的自伴左边界条件 由酉等价性可知如下结论 命题l3 ，1 设阢h 如上定义，则 ( 1 )盯( ) = 盯( 元) ， ( 2 ) p ( h ) = p ( ) ，p ( ) 表示相应算子的的点谱， ( 3 )盯。( ) = 盯。( 五) 由此命题出发，以后我们所讨论的由此出发，以后我们所讨论的哈密顿系统( 11 ) 将恒假设权矩阵w = 雨 定义1 3 2 ( 6 ，定义2 1 3 ) 称9 2 ( i ) 是容许的，蒂g 口( f ) 且一= 刖砷z + 口( m i 对某个a 成立称哈密顿算子l 是形式自伴的，若满足 其中 ( f ，g ) w = ( ，l g ) w ，w ，g 口0 ( f ) d 0 ( f ) = 7 ：) ( 1 ) l ( s u p p y ) 紧包含在j 内) 引理1 3 ，l r 若z ) o ( 1 ) 中的元素金为容许的，则1 形式自伴 证明对任意 se v o q ) , ，= ( 2 ) ，= ( 兰) ，则爿= = a f + b f 2 g i = a g l + 日9 2 ，选取b ，倒cz 充分大，使得( s u p p f ) ，( s u p p g ) 陋，凰从而 ( f ，9 ) ：f f a * w ( t i ) ；f 4 9 + ( j ，一h ，) j 。j 口 胁。；， ( ；j ) ( 毳) 一- c ：) ( 矧 5 、， r a o r，b 吼 r 山东大学博士学位论文 = i 一酊尼+ g ；c f l 一硝a + 止 ：一g ：，2 l g + ，。9 ：c ，1 + g j b f 2 r 卢 = g i c f l + g ；b f 2 同洋的方法可得 ( f ，l g ) w = 贫g + 疰b f 2 从而( i f ，g ) w = ( f ，l g ) w ，故f 为形式自伴的 由引理1 31 ，可得如下推论 推论1 31 若，g 口( f ) 为容许的，则对任意的紧区间陋，例z ，有 r p 9 + w ( i f ) 一( 1 9 ) + w ，= g j f l 一9 ：，2 ：= b + j ， ： 由形式自伴的形式哈密顿算子2 在加权h i l b e r t 空间l 2 ，( 工) 上生成的算子，有一 个钟：子日是“最大”的，即仅要求f 和日，都在所讨论的同一个h i l b e r t 空间l 形( z ) h 它的定义域是所考虑的边值问题的最大可行域 定义1 33 ，定义算子h ： h ：口( 日) l 乱( 工)( 1 5 ) y + h y = f 口( 日) = y a c t 。( z ) n l 知( 工) l 存在，l 2 ( z ) ，使得l y = ， 称h 为由i 生成的最大哈密顿算子这里，a c l 。( z ) 表示区间工上的局部绝对连续 的2 n 维向量函数的全体 注1 31 口( 日) 中的元素一定是容许的 注。2 由于权函数w = ( 0 ：2 n x 2 n ，岛= ( 台：) 。故。c 日，可写成下面 的形式： 口c 日，= ，= ( ：) l 。= ( 。x 2 1 ) , x 1 l 2 ( z ) , 3 f = ( 0 ) ，t l 2 c 工，使得 。= a z + b “，“= c z a + + ，其中z 1 ， 都是k 维向量1 定义1 3 4 从口( 日) x 口( 日) 到c 上的算子【：】称为边界型，若满足对任意的 f ，v ( h ) ， ( ，：g 】_ 9 + w ( h f ) 一( h g ) + w ，= ( 日，9 ) 一( f ，日9 ) j z 6 山东大学博士学位论文 显然，边界型是反对称的，即 f ：g = 一曲：， ，v f ，9 口( h ) 由注1 3l 及推论1 31 可得，对任何f ，9 口( 日) ，对任意的紧区间 d ，例z 有 “g r e e n ”公式： r p 9 4 w ( h f ) 一( h g ) + w ，= g ；f l 一硝，2 圪= 扩l ，艮( 16 ) 当 o t ，纠趋近于区间工的端点a ，b 时， f ：g 】= t i n 囟； 一9 ：，2 j ( 卢) 一曲； 一g ：，2 】( o ) ) d _ + b 显然，对f ，g 口( 日) ，单边极限一定存在且有限，即 ：觋 菸 一吠如 妇) = 胁i ，z 一或南 ( o ) ， 溉燃，1 一g 洌( _ 日) = g ；f l 一9 捌( 6 ) 下面，令 v o ( b ) = y d ( 竭 ( 8 u p p y ) 紧包含在z 内) 。 则v o ( h ) = 7 9 ( h ) n v o ( o ，且任意f ，g d o ( h ) ，由引理1 知，【f ：别= 0 定理1 3 1 ( 稠定性) 瓦忑可= 工乱( 工) 证明对任意紧区间【。，纠c 工，令 口o ( 【o ，卢 ) = v ( h ) l ( s u p p y ) c q ，卢 ) 显然玩( b 捌) c v o ( h ) 再令 l 知( a ，p ) = z l 乱( z ) l z = 0a e 于 a ，卢 之夕h ) 则塌，( o ，卢】) 在相同的内积之下也构成一h i l b e r t 空间( 商空间意义下) 只须证 瓦i i 而= 玮，( 陋，用) ( 1 7 ) 为此首先证明如下的引理 引理1 3 2 对任意紧区间 o ，纠z l 1 2 矿( o l ，卢】) = 月o ( n ，卢】) op ( b ，卢 ) 只o ( 陋，用) 三知( 【a ，纠) 为仇( 【o ，纠) 在日之下的象集，p ( h 剜) l 影( h 纠) 为满足如 下条件的函数z ( z ) ： k = j z 7 7 t z = 0 ，t 陋，卢1 且z ( t ) i0 ，工【d ，创 7 山东大学博士学位论文 且r ( 】( 【n ，卢 ) 和p ( 陋，明) 为l 乱( 陋，绷) 的闭子空间 证明由( 1 6 ) 式知，对任意，9 z ) ( - ) ， _ 9 + w ( u y ) 一( h 9 ) + w ，= 【9 ； 一9 ；，2 倦 若9 口0 ( 陋，例) ，则，1 一g i ，2 ( ) = 0 ，t z h 卢 此时厝矿( f ，) = ( f 9 ) + w f 任 意r o ( 。，纠) ，由定义知，存在9 d o ( h 用) ，使得f g = w ，下证，在l 知( a ，剜) 中 正交于p ( b ，明) 令= ( t ) 为哈密顿系统f z = j z 一7 4 z = 0 在陋，翻上的解，然后将z ( t ) 延展到z 上， 使得延展后的函数( 仍记作z ( ) ) 属于工知( b ，明) 则这种延展只可能或者z d o ( 日) ，或 者：尸( a ，用) 对此两种情形， 8 。+ w y ： 4 ：+) ：4 ( 日。) t w w y w ( h yg + 懒一。浏： z += z 4) = ( 日2 ) g + 瞄9 1 一。：y 2 艮 由于h z = 0 ，t 。，卢 及口o ( o ，卢 ) ，从而【2 ；9 1 一z ：2 】( a ) = 。；9 1 一z ：9 2 ( 卢) = 0 所以譬。+ ，= 0 特别地，上式对= p ( b 用) 也成立，所以，尸( 陋，明) 1 ，这样 ，扎( 【f r 卢 ) p ( n ，卢 ) 上 反过来，首先在h 纠上选取微分系统f z = j z 7 一记= = 0 的一组基z 1 ，z 2 ，z 使得( = i2 2z 2 n ) ( 卢) = k 将u = 1 ，2 ，2 n 延展到z 上，使得延展后的函数( 仍 记怍( t ) ) 属于p ( 陋，鼬) 对任意，p ( h 纠) 1 l